UNIVERSIDAD DE NARIODepartamento de Matemticas y Estadstica
Variable Compleja
Programa: Licenciatura en Matemticas
Profesor:Miller Cern Gmez
Taller No 2
1. Calcule las Integralesxdz y
ydz, si es:
a) : es el segmento rectoque une el origen con 2 + i
b) : es la semicircunferencia|z| = 1, 0 arg z pi
c) : es la circunferencia |za| = r
2. Calcule la integral |z|dz si es:
a) : es el segmento recto que une el origen con 2 i
b) : es la semicircunferencia |z| = 1, 0 arg z pi
c) : es la semicircunferencia |z| = 1, pi/2 arg z pi/2, (el camino se inicia en el punto z = i)
d) : es la circunferencia |z| = r
3. Calcule la integral
z
zdz donde es la frontera del simianillo representado en la siguiente figura
1 2 3123
1
2
4. Calcule la Integral |z| z dz si es una curva cerrada compuesta por la semicircunferencia superior
|z| = 1 y por el segmento 1 x 1, y = 0
5. Evaluar
a)(z 2)1 dz , donde : |z 2| = 3
b)Imz dz , donde : |z| = r
c)|z| dz , donde : une los puntos i hasta i de la siguiente forma:
1) El segmento rectilneo que une los puntos.
2) el crculo unitario en el semiplano izquierdo.
3) el crculo unitario en el semiplano derecho.
6. Evaluar f(z) dz, donde
a) f(z) = 4z 3 , donde : es el segmento rectilneo que va de i hasta 1 + i
b) f(z) = z5 + z3 , donde : es el arco superior del crculo unitario de 1 hasta 1
c) f(z) = z5 + z3 , donde : es el arco inferior del crculo unitario de 1 hasta 1
7. Evaluar las siguientes integrales aplicando el teorema fundamental
a) 1+i0
z2 dz
b) 3i2i(z + 4)2 dz
c) pii0
ez dz
d) 3piipii
e2z dz
e) i1zez
2
dz
f ) ii
sen z dz
8. Calcule la integral
dz
z2 + 9donde:
a) el punto 3i se encuentra dentro de y el punto 3i fuera de l
b) el punto 3i se encuentra dentro de y el punto 3i fuera de l
c) los puntos 3i se encuentran dentro de .
9. Calcule la integral
dz
z(z2 1)para diferentes posiciones de la curva . Se supone que la curva no
pasa por ninguno de los puntos 0, 1 y 1.
10. Calcule|z|=1
ekzn
zdz con n entero positivo. Ahora, muestre que
2pi0
ek cosn cos(k senn)d = 2pi
11. Calcule la integral|za|=a
zdz
z4 1, a > 1
12. Calcule la integral
ezdz
z(1 z)3si:
a) el punto 0 se encuentra dentro de y el punto 1 fuera de l
b) el punto 1 se encuentra dentro de y el punto 0 fuera de l
c) los puntos 0 y 1 se encuentran dentro de .
13. Encontrar el valor de la integral de la funcin dada en torno al crculo unitario, en sentido contrarioal del movimiento de las manecillas del reloj, e indicar si se puede aplicar el teorema de Cauchy.
a) f(z) = |z|
b) f(z) = ez5
c) f(z) =1
(2z 5)
d) f(z) =1
z
e) f(z) =1
(z2 + 2)
f ) f(z) = z
14. Evaluar las siguientes integrales
a)
sen z
z + 3idz donde : |z 2 + 3i| = 1
b)
2z + 1
z2 + zdz donde : es a) |z| =
1
4, b) |z
1
2| =
1
4, c) |z| = 2
c)
z2 1
3z3 z
dz donde : |z 1
2| = 1
15. Pruebe que pi/20
ea cos t cos(t+ a sen t)dt =sen a
a, con a > 0, si integra ez a lo largo de la curva de Jordan
en el primer cuadrante, compuesta del cuarto de crculo |z| = a y de los segmentos de recta de ia a0 y de 0 a a.
16. Calcule la integral
|z|=3
2
e3z
(3z i)2dz
17. Qu cantidad de diferentes valores puede tener la integral
dz
w(z)donde w(z) = (z z1)(z z2)(z z3) y la curva no pasa por ninguno de los puntos z1, z2, z3? Calculeestas integrales
18. Integrar1
z4 1en sentido contrario a las manecillas del reloj, alrededor del crculo
a) |z + 1| = 1 b) |z + 3| = 1 c) |z i| = 1 d) |z 1| = 1
19. Integrar la siguientes funciones, alrededor del crculo unitario
a) cos z/z
b)(z + 2)
(z 2)
c)ez
z
d)(ez 1)
z
e)z3
(2z i)
f ) tanhz
20. Integrar la siguientes funciones, alrededor del crculo |z| = 2
a) cos z/z3
b)z2
(z i)2
c)epiz
z2
d)(ez
3
)
z3
e)z3
(z + 1)3
f )zn
(z + 1)n+1
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