Taller 7 geotrigo

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA PRIMER SEMESTRE DE 2012

TALLER No. 7 Elaborado por:

Mg. Jorge A Ortiz Sánchez Esp. Guillermo Cadena

OBJETIVO: Plantear y resolver situaciones problémicas que permitan la aplicación y la interconexión de la Trigonometría en las matemáticas, la vida diaria y las ingenierías.

EJES TEMÁTICOS:

� Ley de Senos. � Ley de Cosenos. � Aplicaciones

BIBLIOGRAFÍA*:

� BALEY, J. Y SARELL, G. Trigonometría, Editorial McGraw Hill, 2004. � IBAÑEZ, P Y GARCÍA, G. Geometría y Trigonometría, Editorial Thomson, 2006. � SWOKOWSKY, E. Y COLE, J. Algebra y trigonometría con geometría analítica, Editorial

Thomson, undécima edición, 2005. (*) Sirven como textos guía y han sido tomados algunos ejercicios en el diseño del taller.

I. CONCEPTUALIZACIÓN

1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique.

a. (____) El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de las longitudes de los mismos lados por el coseno del ángulo entre ellos.

b. (____) Sólo en los triángulos oblicuángulos, la razón entre el seno de un ángulo y el lado opuesto a ese ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el lado opuesto a éste.

c. (____) El teorema del coseno no es aplicable en los triángulos rectángulos.

d. (____) Se puede aplicar la ley de los cosenos para resolver un problema que implican triángulos si se conoce las medidas de dos de sus lados y el ángulo que forman ellos.

e. (____) Se puede aplicar la ley de los senos para resolver un problema que implican triángulos si se conoce de éste las medidas de sus tres lados.

f. (____) Se puede utilizar la ley de los senos y de los cosenos para resolver un problema que implican triángulos si se conoce las medidas de dos de sus lados y el ángulo que forman ellos.

g. (____) Es imposible utilizar la ley de los senos para resolver un problema que implican triángulos si se conoce de este la medida de sus tres ángulos.





2. En la columna izquierda encontrará información incompleta acerca del triángulo ABC, analice y marque en la columna de la derecha con cuál de las leyes, seno, coseno, se puede encontrar la información faltante del triángulo. Si dicho problema se puede resolver con cualquiera de las dos leyes marque ambas opciones, en caso contrario marque “Ninguna”.

a. � = 20°, =γ 80° = 7

b. � = 47.73°, � = 131.07 = 97.83

c. � = 15°, � = 12 = 8

d. � = 121.624°� = 0.283 = 0.178

e.� = 20, � = 20 = 100

f. � = 60, � = 20 = 30

__ L. Seno __ L. Coseno __ Ninguna






3. Aplique el sentido Común para relacionar las variables y los valores que se presentan a continuación.

(a) � (A) 3 (b) � (B) 0.87 (c) � (C) 8.24 (d) � (D) 1.92 (e) (E) 6.72 (f) � (F) 0.35

II. EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS

1. Resuelva el ∆�� con la información que se le suministra:

• � = 41°, � = 77°, � = 10.5 • � = 20°, � = 31°, � = 210 • � = 27°40�, � = 52°10�, � = 32.4





• � = 50°50�, � = 70°30�, = 537 • � = 42°10�, � = 61°20�, � = 19.7 • � = 103.45°, � = 27.19°, � = 38.84 • � = 103.45°, � = 20 = 30 • � = 45°, � = 10, � = 15 • � = 150°, � = 150, = 30 • � = 73°50�, = 14, � = 87.0 • � = 115°10�, � = 1.10, � = 2.1 • � = 23°40�, = 4.3, � = 70 • � = 2, � = 3, = 4 • � = 20, � = 20, = 10

III. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro de 1.8 Km en los puntos A y B, y se encuentra una bolla situada en un punto C. Si la piedra A mide un ángulo CAB igual a 79.3° y el que está en B mide un ángulo CBA igual a 43.6°, ¿a qué distancia está la bolla de la costa?

2. Un poste forma un ángulo de 79° con el piso. El ángulo de elevación del sol desde el piso es de 69°. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m.

3. Si medimos los ángulos de elevación de una montaña desde lo más alto y desde la base de una torre de 20 metros de alto y éstos son 38.5° y 40.2° respectivamente ¿Cuál es la altura de la montaña?

4. Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en carreteras rectas que difieren 84° en dirección. Si viajan a 60 y 45 millas por hora, respectivamente, ¿a que distancia aproximada se hallarán uno del otro al cabo de 20 minutos?

5. Un terreno triangular tiene lados de 420, 350 y 180 pies de longitud. Calcular el ángulo más

pequeño entre los lados.

6. Una embarcación sale del puerto a la 1:00 p.m. y navega S35°E a una velocidad de 24 millas por hora. Otra sale del mismo puerto a la 1:30 pm. y navega al S20°O a 18 millas por hora. ¿Aproximadamente a qué distancia se encuentran una de la otra a las 3:00 p.m.?

7. Un trotador corre a una velocidad constante de una milla cada 8 minutos en dirección S40°E

durante 20 minutos y luego en dirección N20°E durante los siguientes 16 minutos. Calcular,





al decimo de milla más cercano, la distancia desde el punto final al punto de partida de la pista.

8. Un guardabosques ubicado en un punto de observación A avista un incendio en dirección

N27°10’E, Otro guardabosques, que esta en un punto de observación B a 6.0 millas directamente al este de A, advierte el mismo incendio en N52°40’O. Calcular la distancia entre cada punto de observación y el incendio.

IV. PROFUNDIZACIÓN

1. Topografía. Para medir la altura de un árbol vertical que crece en la ladera de una colina, un guardabosque averiguó que la pendiente de dicha colina era de 15°. Después, a partir del pie del árbol, camino 200 pies hacia abajo por la pendiente y, con ayuda de un teodolito, midió que el ángulo de elevación de la parte más alta del árbol era de 43°. ¿Cuál era la altura del árbol? Redondear la respuesta al pie más próximo.

2. Ingeniería Un poste de servicios públicos está colocado verticalmente en una carretera inclinada y proyecta una sombra de 52.0 pies directamente hacia debajo de la inclinación, a lo largo de la carretera, cuando el ángulo de elevación del Sol es de 55°. Si la altura del poste es de 65.0 pies, calcular el ángulo de inclinación de la carretera.

3. Construcción Dos de los ángulos de un terreno triangular miden 36.2° y 58.6°, y la longitud del lado que se encuentra entre ellos es de 215 metros. ¿Cuántos metros de cerca se necesitarán para rodear toda la parcela descrita?

4. Ingeniería Una vieja tubería para agua tiene que ser remplazada por una nueva. Dado que el terreno era rocoso, la vieja tubería se tuvo que tender hacia el oeste en una extensión de 650 pies y desde ese punto hacia el N60°O por otros 750 pies. Se decidió hacer un corte a través de la roca, con equipo moderno, y remplazar la vieja instalación con una tubería recta. ¿Cuánto tubo se necesita para tender una tubería recta?

5. Aviación Un piloto voló su avión a una velocidad constante de 220 millas por hora con una orientación de 120°. Después de una hora de vuelo, cambió la dirección de su rumbo a





72°. Prosiguió en esta dirección durante una hora y media hasta llegar a su destino. ¿Cuánta distancia más recorrió en este vuelo, en comparación con lo que habría recorrido en un vuelo en línea recta hasta su destino?

6. Ingeniería El poblado A está a 56 millas, directamente al oeste del poblado B. Para ir del poblado A al poblado B una persona debe recorrer 36 millas en dirección noreste y luego 48 millas en dirección sureste. Redondeando tu respuesta al grado más próximo, ¿cuál es la dirección de cada una de las dos carretas que comunican al poblado A con el poblado B?

7. Ingeniería. En la figura se ilustra la parte superior del ala de un caza a reacción. a. Calcula el ángulo �. b. Si el fuselaje mide 4.80 pies de ancho, calcula la envergadura del ala CC’.

8. Aviación

Un helicóptero vuela a altitud de 10000 pies desde la cima de una montaña que mide 5250 pies, según se indica en la figura. Desde lo alto de esta montaña y desde el helicóptero se ve una segunda montaña, más elevada que la primera. Desde el helicóptero, el ángulo de depresión es de 43°, y desde la cima de la primera montaña, el ángulo de elevación es de 18°. a. Calcular la distancia de pico a pico. b. Calcular la altitud de la montaña más alta.

9. Ingeniería.





La portezuela trasera de un auto mide 42 pulgadas de largo. Hay que fijar un soporte, que mide 24 pulgadas cuando está extendido por completo, tanto a la portezuela como a la carrocería, de modo que cuando la portezuela se abra del todo, el soporte quede en posición vertical y haya un espacio libre de 32 pulgadas, como se ilustra en la figura. Calcular las longitudes de los segmentos TQ y TP.

10. Geología Los sismólogos investigan la estructura del interior de la Tierra analizando las ondas sísmicas ocasionadas por los terremotos. Si se supone que el interior del globo terráqueo es homogéneo, entonces estas ondas viajarán en línea recta a una velocidad constante v. En la figura se exhibe una sección transversal del planeta, con el epicentro en E y un observatorio en S. Utiliza la ley de los cosenos para demostrar que el tiempo t para que una onda viaje por el interior de la Tierra de E a S está dado por:

� =2

!"#$

%

2

Donde R es el radio de la Tierra y % es el ángulo indicado por el vértice en el centro del planeta.

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