Taller Construcció d’envolupants de corbes amb Cabri · 2010-09-08 · Construcció amb Cabri de...
13
Taller Construcció d’envolupants de corbes amb Cabri Autor: Ricard Peiró i Estruch. Llicenciat de Matemàtiques. Universitat de València. Professor de secundària. IES “Abastos” València. El món de les corbes és fascinant per als matemàtics per la seua bellesa i per l’estudi de les seues propietats. Mostrarem l’estudi de corbes clàssiques (les còniques, la cardioide, la nefroide, el deltoide, l’astroide) con envolupants. El treball ha estat elaborat amb ajut dels programes informàtics Cabri Géomètre i MuPAD. La introducció de materials informàtics en l’aula, comporta un gran canvi metodològic. Permet l’anàlisi dels resultats agilitant els processos de càlcul i ajuden a la visualització de situacions difícils d’abstraure a partir d’una expressió verbal o a la pissarra. Aquest treball pot ser interdisciplinari amb el departament de Plàstica i Visual on els alumnes poden construir les envolupants amb fils estirats sobre cartró, com es pot veure en les imatges finals, a bé dibuixar-les amb regles i compàs Envolupant. Una corba envolupant és una corba tangent a totes les d’una família de corbes donada. Espanyol: envolvente, francés: enveloppante, anglés: envelope. La circumferència. Donat el segment OP de longitud constant, O fix i P variable. L’envolupant formada per les rectes perpendiculars sobre els segments OP en el punt P, és la circumferència de centre O. O P
Transcript of Taller Construcció d’envolupants de corbes amb Cabri · 2010-09-08 · Construcció amb Cabri de...
Taller Construcció d’envolupants de corbes amb Cabri
Autor: Ricard Peiró i Estruch. Llicenciat de Matemàtiques. Universitat de
València. Professor de secundària. IES “Abastos” València.
El món de les corbes és fascinant per als matemàtics per la seua bellesa i per
l’estudi de les seues propietats.
Mostrarem l’estudi de corbes clàssiques (les còniques, la cardioide, la nefroide,
el deltoide, l’astroide) con envolupants. El treball ha estat elaborat amb ajut dels
programes informàtics Cabri Géomètre i MuPAD.
La introducció de materials informàtics en l’aula, comporta un gran canvi
metodològic. Permet l’anàlisi dels resultats agilitant els processos de càlcul i
ajuden a la visualització de situacions difícils d’abstraure a partir d’una
expressió verbal o a la pissarra.
Aquest treball pot ser interdisciplinari amb el departament de Plàstica i Visual
on els alumnes poden construir les envolupants amb fils estirats sobre cartró,
com es pot veure en les imatges finals, a bé dibuixar-les amb regles i compàs
Envolupant.
Una corba envolupant és una corba tangent a totes les d’una família de corbes
donada. Espanyol: envolvente, francés: enveloppante, anglés: envelope.
La circumferència.
Donat el segment OP de longitud constant, O fix i P variable.
L’envolupant formada per les rectes perpendiculars sobre els segments OP en
el punt P, és la circumferència de centre O.
O
P
Algunes corbes envolupants
Els llocs geomètrics amb Cabri. La paràbola i la cardioide.
Un lloc geomètric és un conjunt de punts determinats per una o diverses
condicions.
La paràbola és el lloc geomètric dels punts del plànol que equidisten d’una
recta anomenada directriu i d’un punt anomenat focus.
Construcció amb Cabri de la paràbola com a lloc geomètric:
a) Dibuixeu la recta d (directriu).
b) Dibuixeu un punt F (focus) exterior a la recta d.
c) Dibuixeu un punt H sobre la recta d.
d) Dibuixeu la recta t perpendicular a la recta d que passa pel punt H.
e) Dibuixeu la recta r mediatriu al segment FH.
f) Feu la intersecció de les rectes r, t. Anomeneu el punt X.
g) Comproveu que )H,X(d)d,X(d)F,X(d == .
h) Dibuixeu el lloc geomètric del punt X al variar H sobre la recta d .
Construcció amb Cabri de la cardioide com a lloc geomètric:
a) Obriu els eixos coordenats d’origen O.
b) Dibuixeu un punt A sobre l’eix d’abscisses.
c) Dibuixeu la circumferència 1C de centre A que passa pel punt O.
El radi de la circumferència és AOR = .
d) Dibuixeu un punt M sobre la circumferència 1C .
e) Dibuixeu la recta r que passa pels punts O, M.
f) Dibuixeu els punts P, P’ de la recta tal que R2'MPMP == .
Dibuixeu la circumferència 2C de centre M i radi AOR = .
Feu la intersecció N de la circumferència 2C i la recta r.
Dibuixeu la circumferència 3C de centre N que passa per M.
Feu la intersecció P de la circumferència 3C i la recta r.
Fe el punt simètric P’ del punt P respecte de M.
g) Dibuixeu el lloc geomètric del punt P al variar M.
h) Dibuixeu el lloc geomètric del punt P’ al variar M.
O1
1
A
M
N
P
P'
Construcció de les envolupants amb Cabri.
La paràbola Siga una recta r
Siga F un punt fix exterior a la recta r
Siga P un punt de la recta r
Siga el conjunt de rectes
perpendiculars a FP en P. La
paràbola de focus F simètrica a la
recta perpendicular a r que passa per
F és l’envolupant d’aquest conjunt de
rectes.
r
F
P
L’el·lipse Siga una circumferència C.
Siga F un punt interior a la
circumferència.
Siga P un punt de la circumferència C.
Siga el conjunt de rectes
perpendiculars a FP en P. L’el·lipse
de focus F i eix major el diàmetre la
circumferència C és l’envolupant
d’aquest conjunt de rectes.
F
P
La hipèrbola. Siga una circumferència C.
Siga F un punt exterior a la
circumferència.
Siga P un punt de la circumferència C.
Siga el conjunt de rectes
perpendiculars a FP en P. La hipèrbola
de focus F i eix major el diàmetre la
circumferència C és l’envolupant
d’aquest conjunt de rectes.
F
P
La cardioide 1 Siga la circumferència de centre O i
radi OA .
Siga P un punt de la circumferència
anterior.
Siga la circumferència de centre P
que passa per A.
Siga conjunt de les circumferències
de centre P que passen per A. La
cardioide és l’envolupant d’aquest
conjunt de circumferències.
O
A
P
La cardioide 2 Siga la circumferència de diàmetre AA’ i
centre O
Siga P un punt sobre la circumferència.
Siga un punt Q sobre la circumferència tal
que es té la igualtat dels arcs: PA2Q'A ⋅= .
Siga la recta r que passa pels punts P, Q.
Siga el conjunt de rectes que passa per P,
Q al variar P sobre la circumferència. La
cardioide és l’envolupant d’aquest conjunt
de rectes.
A' AO
P
Q
La cardioide 3 Siga la circumferència de diàmetre AA’ i
centre O.
Siga P un punt sobre la circumferència.
Siga la recta r que passa per P, A.
Siga la recta s que passa per P, O.
Siga la recta t simètrica de la recta r
respecte de la recta s.
Siga el conjunt de rectes t al variar P
sobre la circumferència. La cardioide és
l’envolupant d’aquest conjunt de rectes.
A' AO
P
r
s
La nefroide 1 Siga la circumferència de diàmetre AA’ i
centre O.
Siga P un punt sobre la circumferència.
Siga Q la projecció de P sobre el diàmetre
AA’.
Siga conjunt de les circumferències de
centre P que passen per Q. La nefroide és
l’envolupant d’aquest conjunt de
circumferències.
A
A'
O
PQ
La nefroide 2 Siga la circumferència de diàmetre AA’ i
centre O.
Siga P un punt sobre la circumferència.
Siga un punt Q sobre la circumferència tal
que es té la igualtat d’arcs: AP2PQ ⋅= .
Siga la recta r que passa pels punts P, Q.
Siga el conjunt de rectes que passa per P,
Q al variar P sobre la circumferència. La
nefroide és l’envolupant d’aquest conjunt
de rectes.
A'AO
P
Q
La nefroide 3 Siga la circumferència de diàmetre AA’ i
centre O.
Siga P un punt sobre la circumferència.
Siga la recta r que passa per P Q (Q de la
circumferència) i és paral·lela al diàmetre AA’.
Siga la recta s simètrica de la recta r respecte
de OQ.
Siga el conjunt de rectes r al variar P sobre la
circumferència. La nefroide és l’envolupant
d’aquest conjunt de rectes.
A'AO
PQ
El deltoide
Siga el triangle ∆
ABC .
Siga C la seua circumferència
circumscrita.
Siga P un punt de la circumferència C.
Siga r la recta de Simson de P respecte
del triangle ∆
ABC .
Siga el conjunt de rectes r al variar P
sobre la circumferència. El deltoide és
l’envolupant d’aquest conjunt de rectes.
A
BC
P
L’astroide Siga PQ un segment constant P sobre
l’eix d’ordenades i Q sobre l’eix
d’abscisses.
Siga la recta r que passa per P, Q.
Siga el conjunt de rectes r al variar P
l’eix d’abscisses. L’astroide és
l’envolupant d’aquest conjunt de rectes.
P
Q
L’astroide
Siga 0a > .
L’envoltant de la família d’el·lipses 1)ca(
ycx
2
2
2
2
=−
+ , ] [a,0c ∈ és l’astroide
d’equació cartesiana 3/23/23/2 ayx =+ , OAa = .
O1
1
A
La lemniscata de Bernoulli
Donada la hipèrbola equilàtera xk
y = , i una punt A de la hipèrbola la
lemniscata de Bernoulli és l’envolupant de les circumferències de centre A que
passen per l’origen de coordenades, al variar sobre la hipèrbola .
O 2
2A
Fórmules de les corbes:
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
-4 -2 2 4-4-2
24
x
y
-10 -5 5
-10
-5
5
10
x
y
Circumferència
4yx 22 =+ 2=ρ (polar)
==
tsin3ytcos3x
El·lipse
116y
25x 22
=+
==
tsin4ytcos5x
Hipèrbola
14y
9x 22
=−
2 4 6 8 10
-10
10
x
y
2 4 6 8
-4-2
24
x
y
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
x
y
Paràbola
2y41
x =
Cardioide )tcos1(4 +=ρ (polar)
Nefroide. Epicicloide de 2 voltes.
−=−=
t3sintsin3yt3costcos3x
-1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Deltoide Hipocicloide de 3 voltes
−=+=
t2sintsin2yt2costcos2x
Astroide Hipocicloide de 4 voltes
−=+=
t3sintsin3yt3costcos3x
Bibliografia:
BOLTIANSKI, V.G. La envolvente. Ed. Mir. Moscou. 1977.
VASÍLIEV, N.B. GTENMÁJER, V.L. Rectas y curvas. Ed. Mir. Moscou. 1980.
PEDOE, D. La geometría en el arte. Ed. Gustavo Gili. Barcelona. 1979.
REDÓN GÓMEZ, A. Geometría paso a paso. Ed. Tébar. Madrid. 2000.
JON MILLINGTON. Curve Stitching. Ed. Tarquin publications. 2007.
Treballs amb fils estirats
Tres paràboles en un triangle Quatre paràboles en un quadrat
Una el·lipse en una circumferència Una cardioide en una circumferència
El deltoide La astroide i quatre paràboles
De les envolupants planes a les tres dimensions.
A. Alfaro. Magúncia A. Alfaro. València
A. Pevsner B. Prades
B. Hepworth Ch. Perry
