TALLER – PRÁCTICA 1

ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES- FC

2015 – 01

1. ¿El siguiente conjunto es un Subespacio vectorial de ℝ3? Explique su respuesta {(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑥𝑦 = 0⁄ }

2. Sea la transformación lineal

𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧; 𝑦 + 𝑧; 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 a. Determine una base y la dimensión de 𝐼𝑚(𝑇) b. Determine una base y la dimensión de 𝑁𝑢(𝑇)

3. Hallar los valores y vectores propios de las siguientes matrices.

a. 𝐴 = (2 51 −3

)

b. 𝐴 = (2 −37 −4

)

4. Sea 𝑇: ℝ2 → ℝ2 transformación lineal cuya matriz asociada en la base canónica es 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗], donde

𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 − 𝑗.

a. Determine el núcleo de 𝑇

b. Los vectores propios de la matriz 𝐴.

5. Determine si el conjunto de vectores {𝑖 + 𝑗 + �⃗⃗�, 𝑖 − 𝑗 + �⃗⃗�, 𝑖 + �⃗⃗�} es una base de 𝑅3.

6. Definimos el simétrico de un punto 𝑃 ∈ ℝ3 con respecto a un plano 𝑀 como el punto 𝑃′ ∈ ℝ3 tal

que el segmento 𝑃𝑃′̅̅ ̅̅̅ interseca perpendicularmente al plano 𝑀 en su punto medio (punto medio de

𝑃𝑃′̅̅ ̅̅̅). En el caso que 𝑃 ∈ 𝑀 se tiene, naturalmente, que 𝑃 = 𝑃′. Si 𝑀 es un plano que pasa por el origen de coordenadas, pruebe la linealidad de la transformación

𝑇: ℝ3 → ℝ3 definida como 𝑇(𝑃) = 𝑃′.

7. Calcule el valor de la segunda coordenada del vector (4 , 𝑏) considerando que este pertenece al

conjunto imagen de la transformación 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 − 2𝑧 , 3𝑥 − 3𝑧)

8. Determinar si os vectores 1 2 3v (1, 0,0, 1), v (0,1, 1, 0) y v (2, 1,1, 2) son linealmente

independientes, caso contrario eliminar el vector que depende de las otras.

9. Una transformación lineal 𝑇: ℝ3 → ℝ2 cumple lo siguiente 𝑇(1,1,2) = (1,4), 𝑇(0,2, −1) = (0,1), 𝑇(−1,1, −1) = (1, −1).

a. Determine 𝐼𝑚(𝑇) b. Determine la matriz asociada a tal transformación. c. Solucione el sistema de ecuaciones 𝑇(𝑥, 𝑦) = (0,0)

10. Calcule el valor de 𝑡 para que los vectores (1 , 𝑡 + 1, 1), (2 , 1 , 𝑡), (1 , 1, 𝑡 − 1) formen una base de ℝ3.

11. Denote por 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, los valores propios de la matriz 𝐴 del ejercicio anterior y por 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 a sus

vectores propios respectivos. Considere la matriz 𝑃 = [𝑣1 𝑣2 𝑣3] de orden 3, esta es una matriz cuyas primera, segunda y tercera columna son 𝑣1, 𝑣2 𝑦 𝑣3, respectivamente. a. Sin necesidad de calcular el determinante de 𝑃, indique por qué esta matriz es

invertible.

b. Compruebe la igualdad [1 3 3

−3 −5 −33 3 1

] = 𝑃−1 [

𝜆1 0 00 𝜆2 00 0 𝜆3

] 𝑃

12. Modele la regla de correspondencia del operador lineal 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2, sabiendo que, para todo (𝑥, 𝑦), el segmento de recta determinado por (𝑥, 𝑦) y 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥′, 𝑦′) es horizontal y tiene su punto medio en la

recta 𝑦 = 𝑥. ¿Cuál es la imagen del eje Y por la transformación 𝑇?

13. Determine el núcleo e imagen de cada una de las siguientes transformaciones lineales

a. T(x , y ) = [1 −12 −2

] [xy]

b. T(x , y , z ) = [0 −2 4

−1 1 −3−2 0 −2

] [xyz

]