Taller de Matemáticas - Test Page for Apache...

Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2

1 Universidad CNCI de México

Taller de Matemáticas I



Temario

1. Los números positivos 1. 1. Representación de números positivos

1.1.1. Fracciones 1.1.2. Decimales 1.1.3. Porcentajes 1.1.4. Conversiones entre distintas representaciones

1. 2. Jerarquización de operaciones numéricas 1. 3. Planteamiento de una expresión algebraica 1.3.1. Procedimiento para el planteamiento de una ecuación

2. Uso de los números reales y las variables algebraicas 2.1. El conjunto de los números reales y sus subconjuntos 2.2. Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden 2.2.1. Simétrico de un número real 2.2.2. Valor absoluto de un número real 2.2.3. Relaciones de orden 2.3. Comparación y relación entre números reales 2.3.1. Razones 2.3.2. Tasas 2.3.3. Proporciones 2.3.4. Variaciones

3. Sucesiones y sumas numéricas 3.1 Sucesiones 3.2. Sucesiones y series aritméticas

3.2.1. Sucesiones aritméticas 3.2.2. Series aritméticas

3.2.3. Representación gráfica de una sucesión aritmética 3.3. Sucesiones y series geométricas 3.3.1. Sucesiones geométricas 3.3.2. Series geométricas 3.3.3. Representación gráfica de una sucesión geométrica 4. Conceptos algebraicos importantes 4.1. Términos semejantes 4.2. Potencias 4.3. Leyes de los exponentes 5. Operaciones con monomios y polinomios 5.1. Suma de polinomios 5.2. Resta de polinomios 5.3. Multiplicación de polinomios



5.3.1. Monomio por monomio 5.3.2. Monomio por polinomio 5.3.3. Polinomio por polinomio

6. Productos Notables 6.1. Binomios conjugados 6.2. Binomios con un término común 6.3. Binomios al cuadrado 7. Factorización 7.1. Factorización por factor común 7.1.1. Un monomio como factor común 7.1.2. Un polinomio como factor común 7.1.3. Factor común por agrupación 7.2. Factorización de una diferencia de cuadrados 7.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto 8. Factorización de trinomios de segundo grado 8.1. Factorización de un trinomio de la forma x2+bx+c 8.2. Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c con a ≠ 0, 1 9. Factorización combinada

10. Simplificación de expresiones algebraicas racionales 11. División de polinomios

Sesi

Los t

1 1.1. Los nun síconta El 1 eel 3, aparresul

Por e¿Cómy col

A palímitA su la sig

4 Univers

ón 1

temas a rev

1

1. Los númRepresentanúmeros suímbolo conar, establec

es el menorel 3 mayorecieron opeltado de ella

ejemplo: mo represenocarlo en la

rtir de ese e; es decir, vez el conj

guiente ima

sidad CNCI d

visar el día d

1. Los núme1. 1. Rep

1.1.1.1.1.1.1.1.

1. 2. Jera1. 3. Plan

1.3.

meros positivación de núurgieron de n una magnciendo un o

r de todos, r que el 2 yeraciones cas debe ser

ntarías la aua recta com

momento sel conjuntojunto de losgen:

de México

de hoy son:

eros positivpresentació.1. Fraccion.2. Decima.3. Porcent.4. Conversarquización nteamiento1. Procedim

vos úmeros posla necesida

nitud. Los prden para i

el 2 es el q así sucesivcomo la sumr un número

usencia de o el primer

se puede coo de números números

Taller d

:

vos n de númernes les tajes siones entrede operaci

o de una expmiento para

sitivos ad de reprerimeros núndicar cuál

ue le siguevamente. Asma y multio de este m

cantidad? L número o

ontar desdeos es infinitpositivos se

de Matem

ros positivo

e distintas riones numépresión alga el plantea

sentar cantmeros creaera mayor

, etc., pero sí fue comoplicación, cismo conju

La respuestel menor de

e el cero hao y se denoe puede cla

máticas I

os

representacéricas ebraica miento de

tidades, es ados teníany cuál meno

también elo surgió la rcon la restrnto.

a es anexare todos:

sta donde sominan númsificar com

I Semana

Seman

ciones

una ecuaci

decir, relacn la intencióor.

l 4 es mayorecta numéicción de q

r el número

se desee, nmeros positio se muest

1 y 2

na 1

ón

cionar ón de

r que rica y que el

o cero

o hay vos. tra en



Los números positivos pueden representarse de tres maneras: • Como fracciones, por ejemplo: • Como decimales, por ejemplo: 9.81, 16.15, 0.00013 • Como porcentajes, por ejemplo: 2%, 46.8%, 77%

1.1.1. Fracciones Las fracciones constan de dos números: el superior llamado numerador y el inferior llamado denominador. Una fracción describe una parte de un todo. Por ejemplo, si un pastel se divide en doce partes iguales y ocho de las rebanadas se reparten entre los asistentes de una fiesta, la fracción que representa lo anterior es: Número de rebanadas repartidas entre los asistentes Número total de rebanadas del pastel Al cociente o división de dos números enteros se le llama número racional o fraccionario y ese conjunto de números se representa por Q. Se debe tener cuidado de que el denominador no sea cero. Algunos ejemplos son: Se observa que las primeras dos fracciones en realidad son dos números enteros divididos entre la unidad; así, un número natural es al mismo tiempo entero y por tanto, racional.

1.1.2. Decimales Los números positivos pueden tener una representación decimal de tres tipos:

• Decimal exacto: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Por ejemplo:

• Decimal periódico puro: la parte decimal completa se repite

indefinidamente, la cual puede ser representada con una línea encima de los dígitos que representan al periodo. Ejemplo:

• Decimal periódico mixto: al principio de la parte decimal hay una parte que no se repite y otra que sí se repite. Por ejemplo:

1.1.3. Porcentajes Es una manera de expresar un número positivo como una parte de 100 y se representa por el símbolo %. Se puede pensar como el numerador de una fracción que tiene un denominador de 100:

675,

83,

210

0 con ,rdenominado

numerador≠= b

ba

un todoparte una

128=

129

756

112

15

25.041=

25.325252525.3 =L

2512.312252525.3 =L

%5610056

100==

numerador



1.1.4. Conversiones entre distintas representaciones Conversión de fracción a: a) Decimal. Se divide el numerador entre el denominador. Por ejemplo: b) Porcentaje. Se convierte a decimal y se multiplica por 100%. Por ejemplo: Conversión de porcentaje a: a) Fracción. Se quita el símbolo de porcentaje y se coloca la cantidad en el numerador. Siempre se utiliza como denominador el número 100. Se debe simplificar la fracción en caso de ser posible: b) Decimal. Se quita el símbolo de porcentaje y se recorre el punto decimal dos cifras hacia la izquierda. Se agrega el cero como parte entera. La razón por la cual se recorre el punto dos cifras a la izquierda es porque esta operación es equivalente a dividir el número entre 100, y estas dos cifras representan los dos ceros que contiene el número 100. Por ejemplo: Conversión de decimal a: a) Fracción.

Caso Descripción Ejemplo

Número con parte entera igual a cero y parte decimal periódica pura

El numerador será igual a la parte periódica y el denominador será igual a tantos nueves como dígitos contenga el periodo

Número con parte entera

distinta a cero y parte decimal periódica pura

Será igual a la parte entera más un racional que tendrá como numerador la parte periódica y como denominador tantos nueves como dígitos contenga el periodo

Número con parte entera

distinto de cero y parte decimal

periódica mixta

Será igual a la parte entera más un racional que tendrá como numerador la parte no periódica seguida de la parte periódica menos la parte no periódica, y como denominador tantos nueves como dígitos contenga el periodo y tantos ceros como dígitos contenga la parte no periódica

625.085=

%25%10025.025.041

=×⎯→⎯=

5039

10078%78 =⎯→⎯

1562.0100

62.1526510%62.15

=

⎯ →⎯ •

31

933.0 ==

99236

9938

99198

9938238.2

=+

=+=

990030913

99001213

990029700

990012133

99001212253

2512.3

=+

=+

=−

+

=



b) Porcentaje. Multiplicar por 100% o recorrer el punto decimal de la cantidad dos lugares hacia la derecha y agregar el símbolo %. Por ejemplo: Un resumen de las distintas representaciones de los números positivos descritos en los cuatro ejemplos anteriores se muestra en la tabla siguiente:

Natural (N) Decimal Decimal Periódico

Fracción Porcentaje

4 4.0 400%

No es natural

7.282828… 728.28%.

No es natural 0.135

13.5%

No es natural 0.125192 No aplica 12.5%

Práctica de ejercicios Práctica 1 Complementa el siguiente cuadro con las diferentes maneras de representación de los números positivos:

Natural Decimal Decimal Periódico

Fracción Porcentaje

75%

3.4444…

0.414

28.799721

0135.020027

1000135

=

1964375245925

%41.26%1002641.02641.0 =×⎯→⎯%41.2614620 ⎯→⎯•

3.1

78

28.10

32.4



Práctica 2 Relaciona las columnas que a continuación se muestran, de manera que coloques la letra del inciso en el paréntesis que indica el número equivalente.

Práctica 3 Resuelve el siguiente problema y contesta lo que se te pide. Un anciano millonario dejó una herencia para repartir entre su único hijo y el asilo donde pasó sus últimos días. La repartición fue la siguiente: 3/4 para su hijo y el resto para el asilo.

1. Si el hijo recibió 63 millones. ¿Cuánto dinero recibió el asilo?

2. Representa la cantidad anterior como: a) porcentaje. b) fracción. 3. ¿Cuánto dinero dejó de herencia el anciano?

1.2. Jerarquización de operaciones numéricas En matemáticas como ciencia formal, existe una jerarquía u orden en las operaciones para proceder a resolverlas, así como también existen leyes que rigen el despeje de las expresiones, y los elementos de un conjunto deben escribirse en una forma específica para tener sentido matemático. En las operaciones numéricas se sigue un orden cuando en una expresión aparecen varios operadores:

1º Se deben efectuar aquellas que indiquen potenciación, es decir, potencias ( ) y raíces ( ). nxxx ,, 32 144,25,9

En ocse rosu resímb Ejem

Utilizante Anterepresuma Si utimane

El res

9 Univers

2la 3(

casiones seompe; por eesultado pobolos de agr

mplo:

zando la carior.

es que nadesentan a la, resta, mu

ilizas una caera:

sultado en e

sidad CNCI d

2º Se realizaas divisione

3º Por últim

e deben expejemplo, se or un númerupación: p

alculadora s

da debes falos parénteultiplicación

alculadora c

el display o

92,825 ++

34+

de México

an las multies (

o se realiza ) y las sus

presar operdesea realiero. Para eparéntesis (

se puede l

amiliarizartesis, así comn y división,

científica Ca

pantalla de

60,321÷

9

81532 −×

Taller d

iplicaciones ).

n las adiciostracciones

aciones en izar primeroexpresar est), corchete

legar a la s

e con tu cmo las teclaincluyendo

asio, puede

e la calculad

545,20/0

[{ 8714 −÷÷

de Matem

s (

ones o sumao restas (

la que el oo una adicióte tipo de s [ ] y llaves

solución de

calculadoraas para las o la raíz y la

es “escribir”

dora debe s

55,183×

2

( )]2330 +−−

máticas I

) y

as

rden que són para desoperaciones { }.

e la expres

. Identificaoperacionepotencia.

” la ecuació

er 46.

( ) 25*7,95

29,145 −−

}1+

I Semana

y

).

e ha establspués multies se utiliza

ión del eje

a las teclases básicas c

n de la sigu

2

1 y 2

ecido plicar an los

emplo

s que como

uiente



Práctica 4 Javier reconoce que su salud está en peligro debido a que tiene sobrepeso de 10 Kg con respecto a la recomendación de su médico, por lo que ha decidido utilizar su caminadora que registra los kilómetros que ejercita. El lunes recorre Km; martes y miércoles Km; el jueves 4 Km, viernes y sábado Km y el domingo de Km. Determina la cantidad de kilómetros que recorrió Javier en la semana.

1.3. Planteamiento de una expresión algebraica Para resolver problemas o modelar situaciones por medio del lenguaje del álgebra, lo primero que debes hacer es traducir del lenguaje natural al lenguaje algebraico. Las operaciones básicas en matemáticas se caracterizan por símbolos como La siguiente tabla muestra algunas operaciones expresadas en lenguaje común y su representación en lenguaje algebraico.

En la tabla anterior se utilizaron las letras minúsculas para representar dos números cualesquiera. Esas letras, así como cualquier otra letra minúscula que se utilice para representar algún número, se conocen como literales y en matemáticas se utilizan comúnmente para expresar variables, las cuales dependiendo de la situación que se desea modelar, pueden representar:

511 3

12

533 3

4

÷×−+ ,,,

""y"" ba



a) un valor específico (cuando se utilizan en ecuaciones) y se les denominan incógnitas. b) un rango específico de valores delimitado por una condición (cuando se ubican en una relación funcional o función) y se les denominan variables. c) cualquier valor y se les denominan números generales.

Práctica 5:

Traduce el siguiente enunciado al lenguaje algebraico. “Encuentra un número que sumado a 10 es 25”.

Plantea la expresión algebraica del siguiente enunciado: “10 menos el doble del número es tres veces el doble del número menos 5”.

Representa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico.



Sesión 2 Los temas a revisar el día de hoy son:

2. Uso de los números reales y las variables algebraicas 2.1. El conjunto de los números reales y sus subconjuntos 2.2. Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden 2.2.1. Simétrico de un número real 2.2.2. Valor absoluto de un número real 2.2.3. Relaciones de orden 2.3. Comparación y relación entre números reales 2.3.1. Razones 2.3.2. Tasas 2.3.3. Proporciones 2.3.4. Variaciones

2. Uso de los números reales y las variables algebraicas 2.1. El conjunto de los números reales y sus subconjuntos En la sesión anterior conociste los números positivos, entre ellos los enteros, los naturales y los racionales. Una representación que se tiene acerca de esos números es la recta numérica teniendo como referencia al cero u origen.

El cero representa la ausencia total de cantidad. Los enteros positivos (Z+) se ubican a la derecha del cero y representan cantidades “completas”, es decir, cantidades que son enteras que se utilizan para contar. Los enteros negativos (Z‐ ) se ubican a la izquierda del cero y con signo negativo.

El conjunto de los números reales está formado por varios subconjuntos: 1. Los números naturales: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, } 2. Los números enteros positivos: Z+ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, } 3. Los números enteros negativos: Z‐ ={ , …, ‐9, ‐8, ‐7, ‐6, ‐5, ‐4, ‐3, ‐2, ‐1} 4. El conjunto que contiene al cero: {0}

Algunos símbolos importantes para utilizar conjuntos son:

1. El símbolo que significa “unión de conjuntos”. Se deben tomar en cuenta todos los elementos de los conjuntos a unir.

2. El símbolo indica que un conjunto es un “subconjunto” de un conjunto mayor. Su contraparte es el símbolo indica que no es subconjunto de otro.

∞∞

∞−

∪⊂

⊄



3. El de pertenencia que indica si un elemento está dentro de un conjunto. El que niega que un elemento pertenezca a un conjunto es . De acuerdo a lo anterior, los números enteros se forman de los números enteros negativos y positivos y se representan por Z:

Otro conjunto que pertenece a los reales son los números racionales, que son los que se pueden obtener a partir de una fracción y se representan por la letra Q. Así, en notación de conjuntos se tiene que: Existen más números que no se representan como naturales, enteros o racionales, ejemplos son el número (pi), o . A estas cantidades se les denomina números irracionales y se representa por . La parte decimal de un número racional carece de un periodo repetitivo. En notación de conjuntos se tiene que: Ejemplo: identifica a qué conjunto pertenecen los siguientes números. a) El ‐5 es un número: entero negativo y real. b) El es un número: racional y por lo tanto real. c) El es un número: irracional y real. d) El 90 es un número: natural y por lo tanto real. 2.2. Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden Existen algunas relaciones entre los números reales que son importantes: el simétrico de un real, el valor absoluto y las relaciones de orden. 2.2.1. Simétrico de un número real A los reales negativos que están a la misma distancia del cero que los positivos, se les llaman números simétricos o números opuestos.

Ejemplo: El ‐3 es el simétrico de 3:

∈∉

{ }{ }0∪=+ NZ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +∪−= ZZZ

QZ ⊂

QR ∪Ι=

3,2 y

43

2π

Ι



2.2.2. Valor absoluto de un número real

El valor absoluto de un número representa la distancia de éste al origen. El símbolo que lo representa son dos barras verticales entre las cuales se “encierra” el número. Por ejemplo: Se lee “el valor absoluto de ‐15 es igual a 15”.

En general, se puede decir que “el valor absoluto de un número es el valor numérico sin tener en cuenta si el signo es positivo o negativo”.

En una recta numérica es la distancia entre el número y el cero.

2.2.3. Relaciones de orden

Antecesor y Sucesor de un número entero

El conjunto de los números enteros tiene una característica especial: cada uno de sus elementos tiene antecesor y sucesor. El antecesor de un número es el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él; el sucesor es el que está inmediatamente a su derecha. Por ejemplo:

Relaciones Mayor que y Menor que

Los números reales son un conjunto ordenado, es decir, hay números reales mayores o menores que otros. Un número real es menor que otro (<), si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor (>), cuando está a su derecha. Ejemplo 1. Observa la siguiente recta numérica:

En este caso, el número ‐7 es el menor de todos porque está más a la izquierda, mientras que el 6 es el mayor de todos porque es el que está más a la derecha. Así pues:

6317 <<−<−



Práctica 6 Realiza lo que se te pide. 1. Identifica a qué conjunto pertenecen los siguientes números colocando la letra que le corresponda (N: naturales, Z+ : enteros positivos, Z– : enteros negativos, Q : racionales, I: irracionales, R: reales). Si un número pertenece a más de un conjunto, indícalos. a) El es ________________ b) El ‐125 es __________________ 2. Indica el valor absoluto de las siguientes cantidades:

a) b)

3. Encuentra el opuesto o simétrico, el antecesor y el sucesor de los siguientes números: a) ‐36 b) 81 4. Establece la relación correcta entre los siguientes pares de números utilizando los símbolos > y <. a) 8 _______ ‐4 b) 0 _________ 7 5. Utiliza los símbolos y para indicar lo que se pide. a) ‐6 _______ Z+ b) 3.14 _______ Q

Práctica 7 1. Ordena de menor a mayor los siguientes números: a) b) 2. Escribe el opuesto, el valor absoluto, el antecesor y el sucesor de cada uno de los siguientes números: a) ‐4 b) 18 c) 0 d) ‐25

53

−

28−91

−

∉∈

{ }58,22,85,41,18,35,8,5 −−− { }5,1,12,0,10,11,25,58 −−−−



2.3. Comparación y relación entre números reales 2.3.1. Razones Es el cociente de dos números o dos cantidades que tienen las mismas unidades. Con ellas se pueden comparar cantidades numéricas. Existen tres formas de escribir una razón:

1) Como fracción, donde el numerador se llama antecedente y el denominador consecuente.

2) Como dos números separados por la letra “a”. 3) Como dos números separados por dos puntos.

Ejemplo: representa las cantidades de las tres formas que existen para escribir una fracción.

2.2.1. Tasas Es un cociente de dos cantidades con distintas unidades. Se escribe como fracción.

Ejemplo: en la etiqueta de una lata de pintura se lee “Cobertura: Un cuarto cubre 200 pies cuadrados”. Escribe lo anterior como una tasa. Cuando escribas una tasa siempre incluye las unidades de las mediciones.

2.2.2. Proporciones Es una afirmación de la igualdad de dos razones o tasas y se expresa matemáticamente como: donde “b” y “d” deben ser distintos de cero. A los términos “a” y “d” se les llama extremos y a los términos “b” y “c” se les nombra medios. Ejemplo: un sastre compró 5 metros de tela y pagó por ella $25. Si necesita 8 metros de la misma tela, ¿cuánto deberá pagar? Aplicando el concepto de proporciones: A esta expresión generalmente se le llama regla de tres simple y para resolverla se emplea un procedimiento sencillo, ya que se multiplican los datos que se conocen como medios y se divide entre el dato extremo que se conoce:

cuadradospiescuarto

2001

xmm 8

25$5

=

405

825=

×=x



Realizando las operaciones, el sastre deberá pagar $40 por los 8 metros de tela que le faltan. Propiedad fundamental de las proporciones. En cualquier proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Con esta propiedad se puede comprobar si dos razones dadas son una proporción o no. A esto se le llama productos cruzados:

Variación directa. Cuando dos variables x, y están relacionadas de tal manera que la

razón no cambia; es decir, es igual a una constante, entonces se dice que y varía

directamente con x.

Lo anterior se expresa matemáticamente como:

y varía directamente con x, significa que = constante = k donde k se llama constante de proporcionalidad y debe ser diferente de cero. Dicho lo anterior, si despejas y, entonces y = kx también representa una variación directa. “En una variación directa si una de las magnitudes aumenta, la otra también”. Ejemplo: José quiere repartir de forma directamente proporcional a la edad de sus hijos, la cantidad de $15,000. Sus hijos Carlos, Juana y Mario tienen 15, 12 y 10 años respectivamente. Primero, debes expresar las variaciones en forma de proporción: Utilizando una regla de tres: A Mario le corresponde: A Juana le toca: A Carlos le corresponde:

xy

;151210zyx

== 000,15=++ zyx

edadcantidadzyx

=++++

151210

05.405437

)10(150001037

==⎯→⎯=++ xxzyx

86.486437

)12(150001237

==⎯→⎯=++ yyzyx

08.608137

)15(150001537

==⎯→⎯=++ zzzyx

xy

VariarelacMatetiene

dondla pr

Variatres proplas minvercomb ComEjemprodColoc

Repr

Desp La prSusti Desp La pr

18 Univers

ación invercionadas aemáticamenen una varia

de . imera es igu

ación compo más m

porcionales magnitudes rsa y entre binación de

binación demplo: cuatroucidos por cando los d

resentado lo

pejando x de

roducción dituyendo x=

pejando nue

roducción e

xyk =

sidad CNCI d

rsa. Tiene cumenta, lnte se dice ación invers

Si una magual al produ

puesta. Un magnitudes.dos a dos dA, B, y C, B y C pued

e proporcion

e dos propoo costureras10 costurerdatos en una

o anterior c

e las magni

de 10 costur=800 en las

evamente x

es de 1,280

de México

como caraca otra dique las dosa si:

gnitud varíaucto de una

problema e Al intervde las magnla relación

de ocurrir lones directas

orciones dirs producen ras en 16 día tabla:

omo propo

tudes A y B

reras en 10 magnitudes

x:

piezas en 1

10(800

=x

Taller d

cterística prsminuye; ys cantidade

a inversa y p constante

es de propovenir más nitudes puen proporcioo mismo, ds e inversas

rectas en 10 días ías?

orción:

:

días es de 8s B y C:

6 días por 1

32=x

=x

8

0)16

1=x

de Matem

rincipal quey si dismes son inver

proporcionapor el recíp

orcionalidadde dos m

eden ser disonal entre Aicho de otr.

320 vestido

800 vestido

10 costurera

4)10(20

800

1610800

=x

280

máticas I

e si una deinuye, la rsamente p

almente coproco de la s

d compuestmagnitudesstintas, es dA y B puedra manera,

os. ¿Cuánto

os.

as.

I Semana

las magnitotra aum

proporciona

n otra, entosegunda.

ta si intervis las relacdecir, si tende ser direse presenta

os vestidos s

1 y 2

tudes menta. ales o

onces

ienen ciones emos cta o a una

serán



Práctica 8: Resuelve matemáticamente y contesta lo que se te pide.

1) Un vehículo recorre 305 kilómetros con 30 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros recorre con un litro de gasolina?

2) Si en la construcción de una calle se emplearon 10 obreros y se terminó en 20

días, ¿en cuántos días hubieran realizado 40 obreros la misma construcción?

3) Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 130 pesos. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

Resuelve el siguiente problema algebraico.

4) La suma de las edades de cuatro miembros de una familia es 146 años. El padre es 4 años mayor que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 21 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?




3. Sucesiones y sumas numéricas 3.1 Sucesiones 3.2. Sucesiones y series aritméticas 3.2.1. Sucesiones aritméticas 3.2.2. Series aritméticas

3. Sumas y sucesiones numéricas 3.1. Sucesiones Una sucesión es un conjunto de números reales escritos en un orden específico, de tal manera que sea claro saber cuál es el primer término, el segundo y todos los términos sucesivos mediante una fórmula que permite obtener cualquiera de ellos. La notación de una sucesión es donde el subíndice indica el lugar del término de la sucesión:

es el primer término es el segundo término es el tercer término es el n‐ésimo término. El valor de n debe ser un número natural, es decir: 1, 2, 3, 4, etc.

El término n‐ésimo o término general de una sucesión, es el término que ocupa el lugar “n” y generalmente se expresa mediante una fórmula. Las sucesiones se clasifican de la siguiente manera:

• Sucesiones convergentes: son las que tienen límite porque son finitas o contables.

• Sucesiones divergentes: son las que no tienen límite finito, es decir, no se sabe donde terminan.

Ejemplo: clasifica las siguientes sucesiones como convergentes o divergentes.

• a) Los números pares. Sucesión divergente

• b) Los años en los que se han jugado los mundiales de fútbol hasta hoy. Sucesión convergente

{ }LL ,,,,, 321 naaaa

naaaa

3

2

1

{ }naaaa ,,,, 321 L

{ }LL ,,,,, 321 naaaa



Práctica 9 Completa las siguientes sucesiones: 3, 6, 9, 12, 15, _____ , 21, 24, ______ , 30, 1, 3, ______ , 7, 9, 11,_____ , 15, 17,_____ , 21, 3, 5, 7,_____, 11, 13, _____ , 17, 19, Analiza las siguientes sucesiones

Ejemplo: obtén la fórmula para calcular el n‐ésimo término de las siguientes sucesiones y utilízala para calcular el término a50 y a100. a) b) c) Para encontrar la fórmula de cada sucesión primero es necesario saber que se está representando:

a) Los números en los denominadores representan al conjunto de los números naturales.

b) Cada número es el cuadrado del conjunto de los números naturales. c) Los numeradores representan el conjunto de los números naturales, los

denominadores representan los números impares iniciando en 3.

De acuerdo a lo anterior, trata de obtener la fórmula (recuerda que los valores que puede tomar “n” son los números naturales, es decir, n = 1, 2, 3, 4, …) a) b) c)

L,41,

31,

21,1 L,16,9,4,1 L,

94,

73,

52,

,31

nan

1= 2nan = 12 +

=nnan



Los términos a50 y a100 para cada sucesión son: a) b) c) Práctica 10 Obtén la fórmula para calcular el n‐ésimo término de las siguientes sucesiones y utilízala para calcular el término a23 y a68. a) b) 3.2. Sucesiones y series aritméticas 3.2.1. Sucesiones aritméticas Una sucesión aritmética es una sucesión de números en la cual la diferencia entre dos términos sucesivos, a excepción del primero, es constante y se le nombra diferencia común (que puede ser positiva o negativa). A una sucesión aritmética también se le conoce como progresión aritmética. Cuando se desea encontrar el valor de un término cualquiera an de una sucesión aritmética, es necesario sumar (o restar) el valor constante. La fórmula del término general está dada por: donde: an = término n‐ésimo de la sucesión a1 = primer término de la sucesión d = diferencia común entre término y término n = número de términos que se pide encontrar A partir de la fórmula anterior se pueden encontrar los valores de a1, d y n. Para encontrar el primer término: Para encontrar la diferencia común: Para encontrar el número de términos que tiene la sucesión:

1001501

100

50

=

=

a

a000,10100

2500502

100

250

==

==

a

a

201100

1)100(2100

10150

1)50(250

100

50

=+

=

=+

=

a

a

L,54,

43,

32,

21 L,

536,

425,

316,

29,4

)1(1 −+= ndaan

)1(1 −−= ndaa n

11

−−

=naad n

11 +−

=daan n

EjemLos dsabe

perode lo= 2.

AhorEl núde la 3.2.2Matenos ra una La suextre dondSn = sn = a1 = an = Ejem Lo prfórm Susti La se

23 Univers

mplo: encuedatos abajo s que:

no tienes eos términos

ra sí, sustituúmero que sa sucesión e

2. Series aremáticamenreferimos aa progresió

uma de los temos por el

de: suma de losnúmero deprimer térmn‐ésimo té

mplo: encue

rimero que mula:

ituyendo en

erie de los 5

,4

sidad CNCI d

ntra el valoson una su

n = 3el valor de “(o algo má

uye en la fórse encuentres 62.

itméticas nte habland una serie an aritmética

términos de número de

s términos de términos dmino de la sérmino de la

ntra la serie

debes hace

n la fórmula

5 términos d

,12,10,8,6

1017,

23

5=n

de México

or del términucesión aritm

30 “d”. Para els simple: al

rmula los dara en el térm

do, una seraritmética, a.

e una serie ae términos;

de una sucede la sucesiósucesión a sucesión

e de la sigui

er es identi

a:

de esta prog

L,

1023,

1021,

1019,

a5

nS =

55

⎜⎝⎛

=S

Taller d

no 30 de la mética, y pa

lo, necesitasegundo té

atos: mino 30

ie es la sumes la suma

aritmética fes decir:

esión aritméón

iente suces

ificar los tre

gresión arit

03

23

1 =

2)( 1 naan +

21023

23

⎟⎠⎞

⎝⎛ +

de Matem

siguiente suara encontr

aas obtener lérmino rést

ma de los té de todos lo

finita, es igu

ética

ión aritmét

es valores q

mética es 1

1 += aan

2430 +=a

2( 1

nanS +

=

1023

=na

5 =S

5S

máticas I

ucesión: rar el siguien

a1 = 4 a diferenciaale el prime

érminos de os términos

ual a la sem

ica.

que necesita

19/2.

)1( −+ nd

62)130(2 =−

)na

03

21023

10155

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

219

=

I Semana

nte término

a entre cadaero) entonc

una sucesiós perteneci

isuma de lo

as sustituir

2

210385

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

1 y 2

o sólo

a uno ces, d

ón. Si entes

os

en la

25

195 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=



Práctica 11 En las siguientes progresiones o sucesiones aritméticas encuentra lo que se te pide. a) El 8º término de: b) La cantidad de términos de la sucesión si se sabe que: c) La diferencia común si d) El primer término si e) ¿Cuántas campanadas da diariamente un reloj que suena tantas veces como cada hora que marca? Práctica 12 Contesta lo que se te pide. El último graderío de un gimnasio tiene capacidad para 1,000 aficionados; el penúltimo, para 930; el antepenúltimo para 860, y así sucesivamente. Si el estadio tiene 15 graderíos, ¿cuál es su capacidad total?

L,1528,

1519,

32

32,

1549,

53

1 === daa n

80,227,101 =−== naa n

1,27,7 =−=−= nad n




3.2.3. Representación gráfica de una sucesión aritmética 3.3. Sucesiones y series geométricas 3.3.1. Sucesiones geométricas 3.3.2. Series geométricas 3.3.3. Representación gráfica de una sucesión geométrica

3.2.3. Representación gráfica de una sucesión aritmética La característica principal de una progresión aritmética es que el valor de an depende directamente del que pueda tener la diferencia común “d”. Gráficamente, representa una recta cuya inclinación está en función del valor de “d”. La siguiente tabla muestra los primeros siete términos de tres progresiones aritméticas obtenidas a partir de tres valores diferentes de “d”, la diferencia común entre dos términos.

Grafica las tres series en un plano cartesiano, tomando en cuenta que los pares ordenados serán (n,d), es decir, en el eje “x” va el número de términos de la sucesión (n), y en el eje “y” los términos de la sucesión (an), para los diferentes valores de “d”.

ObseCuan(comdecre 3.3. Una térmA un Cuangeomtérm dondan = ta1 = pr = rn = n

26 Univers

erva qué sundo la difemo en esteeciente.

Sucesiones3.3.1. Suce

sucesión gminos sucesia sucesión g

ndo se desmétrica, es mino genera

de: término n‐éprimer térmrazón comúnúmero de

sidad CNCI d

cede con larencia come ejemplo)

s y series geesiones geo

geométrica vos es consgeométrica

ea encontrnecesario

al está dada

ésimo de la mino de la sún entre tértérminos q

de México

a inclinaciónmún “d” es , mientras

eométricasométricas

es una sucstante y se la también se

rar el valordividir (o por:

sucesión. ucesión. rmino y térmue se pide e

=na

Taller d

n de las recpositiva, l

s que si “

cesión de ne nombra re le conoce

r de un térmultiplicar

mino. encontrar.

11

−= nra

de Matem

ctas para losa progresió“d” es neg

números dorazón comúcomo prog

rmino cualq) el valor

máticas I

s diferentesón aritmétgativa, la

onde el cocún. gresión geo

quiera an dconstante.

I Semana

s valores deica es crecprogresión

ciente entre

métrica.

de una sucLa fórmula

1 y 2

e “d”. ciente será

e dos

cesión a del



Ejemplo. Indica por qué la siguiente sucesión es una progresión geométrica. Observa que todos los términos (excepto el primero), se obtiene a partir del número 4; si divides el segundo término entre 4, obtienes el primer término; si divides el tercer término entre la misma razón, obtienes el segundo término, y así sucesivamente. Entonces, la sucesión es una progresión geométrica debido a que sus elementos se obtienen mediante una razón común que es r = 4. En general, para determinar la razón común de una sucesión geométrica, se divide un término entre el término antecedente. Lo anterior se representa algebraicamente como: Práctica 13 Realiza lo que se te pide. La tabla siguiente muestra el registro de un corredor que se prepara para una competencia. Complétala y traza su gráfica, considera que los datos tienen un comportamiento aritmético.

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado DomingoKilómetros recorridos

7.5 10

Considera los números 5 y 320. Encuentra dos medios geométricos. Importante: dos medios geométricos tienen como característica que se encuentran precisamente a cierta distancia, la cual es determinada por la multiplicación de una constante por los elementos antecedentes y sirve para encontrar los consecuentes, de manera que se tiene una progresión en la que se conocen el primero y el cuarto de los elementos.

5, ? , ? , 320 Práctica 14 Resuelve lo que se te pide.

1. Grafica los primeros 10 términos de la siguiente sucesión Si el décimo término de una progresión geométrica es 118,098 y la razón común es 3, ¿cuál es el primer término de la progresión?

L,192,48,12,3

1−

=n

n

aar

L,22,17,12,7,2



3.3.2. Series geométricas Una serie geométrica, es la suma de todos los términos pertenecientes a una progresión geométrica. La suma de los términos de una serie geométrica finita se obtiene por: donde: Sn = suma de los términos de una sucesión aritmética. n = número de términos de la sucesión. a1 = primer término de la sucesión. r = razón común entre término y término. Ejemplo. Si los términos de una progresión son 3, 18, 108, 648, 3888, …, y el valor de la razón común es r = 6, la serie geométrica hasta el cuarto elemento es: Práctica 15 La señora Luisa pidió un presupuesto para reparar ocho joyas. El encargado de la joyería le dice que le cobrará $6 por la primera joya, y por cada pieza sucesiva lo triple de la anterior. ¿Cuánto tendrá que pagar la señora Luisa al joyero? Al deducir la información para averiguar lo que le cobrarán a la señora Luisa, sólo sabes que: a1 = 6 (lo que cobra por reparar la primera pieza) n = 8 (número de piezas que se van a reparar) r = 3 (la razón común que cobrará por cada pieza subsiguiente) a8 = ? (lo que costará reparar la última pieza) 3.3.3. Representación gráfica de una sucesión geométrica La característica principal de una progresión geométrica es que el valor de an depende directamente del valor que pueda tener la razón común “r”. Gráficamente, esto se representa mediante una curva exponencial cuyo crecimiento está en función del valor de “r”. Ejemplo. La siguiente tabla muestra los primeros cinco términos de tres progresiones geométricas obtenidas a partir de tres valores diferentes de “r”, la razón común entre dos términos.

rraSn

n −−

=1

)1(1

7775

38855

)1295(35

)12961(361

)61(31

)1( 441

4 =−

−=

−−

=−−

=−−

=−−

=rraS



Sucesiones Geométricas con diferentes tamaños de “r”

Observa que sucede con la curvatura de las sucesiones para los diferentes valores de “r”. Cuando la razón común “r” es positiva, la progresión geométrica es creciente (como en este ejemplo), mientras que si “r” es negativa, la progresión será decreciente. Práctica 16 Realiza lo que se te pide. Una empresa tiene un crecimiento geométrico a razón del triple por año. Si inició con un capital de 200 millones de pesos, ¿cuánto habrá crecido y cuál será su capital total en diez años?

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

1 2 3 4 5 6

r=2

r=3

r=4



Práctica 17 Plantea y resuelve la ecuación del siguiente enunciado. Antonio tiene 7 años, su hermano Roberto 14 y su padre 40. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?



Semana 2 Sesión 5 Los temas a revisar el día de hoy son:

4. Conceptos algebraicos importantes 4.1. Términos semejantes 4.2. Potencias 4.3. Leyes de los exponentes 5. Operaciones con monomios y polinomios 5.1. Suma de polinomios 5.2. Resta de polinomios 5.3. Multiplicación de polinomios

5.3.1. Monomio por monomio 5.3.2. Monomio por polinomio 5.3.3. Polinomio por polinomio

4. Conceptos algebraicos importantes Coeficiente. Es cualquier cantidad numérica: Literal. Es cualquier letra minúscula que represente una cantidad desconocida: Exponente. Es la potencia a la que se eleva el término. Término. Es la expresión algebraica que presenta cuatro elementos: signo, coeficiente, literal y exponente. Un ejemplo de un término es:

donde el signo sólo puede ser positivo (+) o negativo (‐). Cuando no aparece el signo en un término algebraico, automáticamente se considera de signo positivo. Si no se especifica el coeficiente o el exponente de un término, se le asigna el valor de 1. Un monomio es un sólo término y en él no aparecen ni la adición ni la sustracción. Un binomio es una expresión algebraica compuesta de dos términos, un trinomio se compone de tres términos, y un polinomio es formado por dos o más términos. En resumen, un polinomio recibe su nombre a partir del número de términos que tiene:

L,20,83,33,5 −−

L,,,,, zyxba



4.1. Términos semejantes Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas literales, elevadas a los mismos exponentes. Aquí, los signos y los coeficientes pueden ser diferentes. Ejemplo. Indica si los términos son semejantes:

y Términos semejantes porque la literal y el exponente son iguales.

y

No son términos semejantes porque aunque las literales son iguales, éstas NO tienen el mismo exponente.

y

No son términos semejantes porque aunque las literales son iguales, éstas NO tienen el mismo exponente.

y

Términos semejantes porque las literales y los exponentes son iguales.

y

Términos semejantes porque la literal y el exponente son iguales.

y

No son términos semejantes porque aunque los exponentes son iguales, las literales no son las mismas.

b3 b

ab4 ba26−

235 yx323 yx−

2323 yx− 239 yx

5−xk 57 −xk

cs4cz4

4.2. A la een doprod Mate

Ejema)

Al remult

Prác Reali a) 4.3. 1eramism 2da. base 3erapote

(−

33 Univers

Potencias expresión aonde “a” esducto de la b

emáticamen

mplo: Resue

sultado de iplicas se le

ctica 18

iza las siguie

Leyes de lo

. Ley. La mma base y su

Ley. La div y restar lo

. Ley. Si la mncia, todos

5)4−

sidad CNCI d

an se le conos la base y “base multip

nte:

lve las sigui

una multipes llama fact

entes poten

os exponen

multiplicacióumar los ex

visión de doos exponent

multiplicacilos factore

de México

oce como p“n” es el expplicada por s

ientes expre

licación se ltores.

ncias:

tes

ón de dos cponentes:

os cantidadtes:

ón de dos os toman el

n

m

aa

(a ⋅

Taller d

otencia de ponente. Lasí misma “n

esiones:

le llama pro

b)

antidades d

des de la m

o más cantimismo expo

⎜⎝⎛

nm aa =⋅

nmn

m

a −=

) mm ab =

de Matem

un númeroa potencia dn” cantidad

b)

oducto, y a

de la mism

misma base,

dades cualeonente:

74

⎜⎝⎛

7

21⎟⎠⎞−

nma +=

mmb

máticas I

o o expresióde un númede veces.

las cantidad

a base, es

es igual a

esquiera est

74

74

3

33

==⎟⎠⎞

I Semana

ón exponencero es igual

des que

igual a tom

tomar la m

tá elevada

346

777444=

⋅⋅⋅⋅

1 y 2

cial, al

mar la

misma

a una

434



4ta. Ley. Si la división de dos cantidades cualesquiera está elevada a una potencia, tanto el numerador como el denominador toman el mismo exponente: 5ta. Ley. Si una potencia se eleva a otra potencia, se toma la misma base y se multiplican los exponentes: 6ta. Ley. Toda expresión con exponente negativo, es igual a su recíproco: 7ma. Ley. Toda cantidad elevada a la potencia cero, es igual a 1: 8va. Ley. Un número elevado a una potencia fraccionaria es igual a la raíz de ese número: Ejemplo. Aplica las leyes de los exponentes a los siguientes ejercicios: a) Ley 1: b) Ley 2: c) Ley 3: d) Ley 4: e)Ley 5: f) Ley 6: g) Ley 7: h) Ley 8:

Práctica 19 Simplifica las siguientes expresiones utilizando las reglas de los exponentes:

a) b)

m

mm

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( ) nmnm aa ⋅=

mm

aa 1

=−

10 =a

m nmn aa =

86262 5555 ==⋅ + 5383

8

6666

== −

( ) 444 6565 =⋅3

33

75

75

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( ) 84242 333 == ×

91

313 2

2 ==−

11570 = 3 434 4545 =

fgfg xx 5554 +−− ⋅cb

cb

aa

52

23

−

+

5. O 5.1Para semeSi deque l EjemLo pracom Lo pracom

PrácSuma Recuobte 5.2. Para nega EjemAl núresta Al núresta

35 Univers

peraciones1. Suma de realizar o

ejantes. eseas realizlas literales

mplo. Suma rimero que modarlos de

rimero que modarlos de

ctica 20 a los polino

uerda que ner un com

Resta de presolver u

ativo (‐) por

mplo. Resta úmero que ar es el sust

úmero que ar es el sust

Se suacuerd

sidad CNCI d

s con monopolinomiosoperaciones

ar una adicse mantien

los polinomdebes hacee tal manera

debes hacee tal manera

omios

para sumamún denomi

olinomios na resta enla totalidad

le vas a restraendo, de

le vas a restraendo, de

man los coedo con el sig

cada térm

125

−

z 63 2 +

de México

mios y polis s entre po

ción de polnen con sus

mios er es identifa que se pu

er es identifa que se pu

y

ar o restarnador y des

ntre dos o md de términ

de star se llama manera qu

star se llama manera qu

96 3 −x

eficientes dgno que tiemino.

157

25

−y

z56−

Taller d

nomios

olinomios e

inomios, de exponente

ficar los térmedan suma

ficar los térmedan suma

y

r fraccionesspués trata

más polinoos que se v

a minuendoue la resta s

a minuendoue la resta s

159 2 −+ xx

de ne

109

95

−y

z68 2 ++−

de Matem

es necesari

ebes sumares.

y minos semer:

minos semer:

s con difer de simplif

mios es neayan a rest

o, mientrase expresa d

o, mientrase expresa d

10 x 78 3 −

z4+

máticas I

o que los

r los coefic

ejantes en c

ejantes en c

rente denoficar:

cesario muar.

que el númde la siguien

que el númde la siguien

x 557 2 +−

dc

ba±

I Semana

términos

ientes, mie

cada polino

cada polino

ominador d

ultiplicar el

mero que sente forma:

mero que sente forma:

x5

bdbcad

dc ±=

1 y 2

sean

entras

mio y

mio y

debes

signo

e va a

e va a

Obsese m

Prác A Realia) b) 5.3. En la

123

5. expo Ejema) En esque s

65

(8

(−

(−

36 Univers

erva cómo eultiplica po

ctica 21

res

iza las siguie

Multiplicaca multiplicac1. Monomi2. Monomi3. Polinom

3.1. Mono Para mul

onentes par

mplo 1. Resu

ste caso losson iguales

9−x

38 2 −− aa

b 112 4 −−

)(85 6 8− yx

sidad CNCI d

el sustraendor cada uno

tar

entes opera

ción de polición de expio por monoio por polinio por polin

omio por moltiplicar dorticularmen

uelve los sig

s coeficient:

43

− x

) ( 51 −+ a

)bb 150 2 −

)66 −xy

( 58− yx

de México

do se colocade los térm

aciones bás

inomios resiones algomio omio nomio

onomio os monominte la 1era.

guientes pro

tes se multi

61

+x

492 +− a

) ( b 16 4 +−

)( 68 6 −xyy

Taller d

a entre paréminos para e

icas.

gebraicas p

os es neceLey:

oductos.

plican y se

)

bb 1315 2 +

ma ⋅

) 548−= x

de Matem

éntesis paraefectuar la r

uedes obse

esario que

suman los

)b

mn aa +=

6815 −+ y =

máticas I

a indicar la resta:

ervar tres ca

utilices la

exponente

n+

648 yx−=

I Semana

resta; este

asos:

as leyes d

es de las lite2y

1 y 2

signo

e los

erales

5.3.2En elos té Ejem Multrespe

El res

PrácReali a) b) M 5.3.3Para térmtérm Ejem Aquí requcont

(5

37 Univers

2. Monomil producto érminos de

mplo. Realiz

tiplica el moetes las leye

sultado del

ctica 22 iza la siguie

Multiplica

3. Polinomimultiplicar

minos del priminos semej

mplo. Multip

es necesaiere que minuación ha

)(cba 82 45

65

sidad CNCI d

o por polinde un monl polinomio

za la siguien

onomio pores de los ex

producto d

nte multipl

por

io por polinr un polinomimer polinoantes, habr

plicar

ario que remultipliques arás lo mism

96x

)ba 34 −

5

65m

6 −x

de México

omio omio por u y se aplica

nte multiplic

r cada uno dxponentes e

del monomi

icación:

nomio mio por otroomio se mulrá que redu

por

ealices tres6x por cad

mo con ‐5, y

89 4 yx−

4

34m

5 5 2x

Taller d

un polinomin las leyes d

cación:

de los 5 téren las sumas

o por el po

o polinomiotiplique pocirlos.

s pasos pada uno de loy por último

(2x

311 12x+

87 +− x

de Matem

io se multipde los expo

minos del ps de las liter

linomio es:

o es necesarr los términ

ra obteneros términoso reducirás l

)( 465 3 yxy

10 16xy −

máticas I

plica el monnentes en la

polinomio. Erales iguale

rio que cadanos del otro

r el producs del segunos términos

536 2− − yx

96 2xyx −

I Semana

nomio por tas literales.

Es necesarios.

a uno de los. Si existen

cto; primerndo polinoms semejante

426 − −+ yx

25yx

1 y 2

todos

o que

s

ro se mio; a es.

38 −−− yxy )4−

Otra de fopode

Prác Mult

Mult Desa a) b) c)

38 Univers

forma de rorma que acer realizar la

ctica 23

tiplica

tiplica

arrolla y sim

3 3x

3 5 +x

( 5 4 +− z

( zyx 856

(− 312 ba

sidad CNCI d

esolver la ocomodes loas sumas o

mplifica los s

54 2 +− x

25 24 −+ xx

) (93 2 −+ z

)( )zxz 36 2

)⎜⎝⎛−− 24

72 cb

de México

operación ans productosrestas algeb

po

siguientes p

45 +x

442 +− x

( 42 3 −− zz

−− 41 572 bca

Taller d

nterior es us obtenidosbraicas más

or

por

roductos.

62 3 +x

5 3 −x

)7−z

+−4

95 abc

de Matem

utilizando uns con sus tés fácilmente

96 −x

2+x

⎟⎠⎞− 43ba

máticas I

n arreglo corminos seme:

I Semana

omo el siguimejantes par

1 y 2

iente, ra




6. Productos Notables 6.1. Binomios conjugados 6.2. Binomios con un término común 6.3. Binomios al cuadrado 7. Factorización 7.1. Factorización por factor común 7.1.1. Un monomio como factor común 7.1.2. Un polinomio como factor común 7.1.3. Factor común por agrupación 7.2. Factorización de una diferencia de cuadrados 7.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

6. Productos Notables Los productos notables son productos especiales cuyos resultados se obtienen sin llevar a cabo la multiplicación como lo viste anteriormente, sino que es posible obtener los resultados mediante el uso de algunas reglas simples. Estos productos se encuentran clasificados según su forma en:

• Binomios conjugados • Binomios con un término común • Binomios al cuadrado

6.1. Binomios conjugados Es el producto de dos binomios cuyo primer término es idéntico al segundo, sólo que uno es positivo y el otro negativo; es decir, son dos binomios iguales con signos diferentes, los cuales tienen la forma algebraica siguiente:

“El primer término de cualquier paréntesis elevado al cuadrado, menos el segundo término de cualquier paréntesis elevado al cuadrado”.

Ejemplo. Desarrolla el binomio

( )( ) 22 bababa −=−+

( )( )aa −+ 66

( )( ) 22666 aaa −=−+

236 a−=



Práctica 24

a) Desarrolla el binomio

b) Resuelve el producto

6.2. Binomios con un término común El producto de binomios que contienen un término común tiene la siguiente forma algebraica: “El cuadrado del término común, más la suma algebraica de los términos no comunes por el término común, más el producto algebraico de los términos no comunes”. Ejemplo: desarrolla el binomio

Práctica 25

a) Resuelve el producto

b) Desarrolla el binomio

( )( ) abxbaxbxax +++=++ )(2

( )( )2323 4747 nmnm +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

34

512

34

512 44 yxyx

( )( )29 −+ mm

( )( ) )2)(9()29(29 2 −+−+=−+ mmmm

1872 −+= mm

( )( )35 75 88 −− ww

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

53464 7

373

aa



6.3. Binomios al cuadrado

Es una expresión algebraica que incluye un par de términos diferentes que están elevados al cuadrado. La fórmula que sirve para desarrollar este tipo de producto notable es:

“El cuadrado del primer término, más el doble del producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término”.

Ejemplo: desarrolla el binomio al cuadrado

Práctica 26

a) Desarrolla el binomio

b) Resuelve el binomio al cuadrado

7. Factorización Factorizar es el proceso inverso de multiplicar. Factorizar una expresión significa escribir una expresión equivalente expresada como la multiplicación de dos o más expresiones. Ejemplo. El procedimiento de factorizar se puede ilustrar mediante la siguiente tabla comparativa:

( ) 222 2 bababa ++=+

( )243 +y

( ) ( ) ( )( ) ( )222 4432343 ++=+ yyy

16249 2 ++= yy

( )25332 53 qpnm −

284

56

94

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ba



Los procedimientos principales de factorización son 3:

• Factor común • Diferencia de cuadrados • Trinomio cuadrado perfecto

7.1. Factorización por factor común

¿Te acuerdas cómo se multiplica un monomio por un polinomio?

El monomio multiplica a todos los términos del polinomio y se aplican las leyes de los exponentes en las literales, por ejemplo: Factorizar es aplicar el producto inverso y se dice que estás sacando factor común. Su nombre lo dice, es el factor que está en todos los términos (en este caso el 5m3):

Los polinomios que tienen factor común pueden tener alguna de las siguientes características, o ambas: sus términos son divisibles en un número común y/o cuentan con una letra presente en cada uno de los términos del polinomio.

Existen tres casos de factorización por factor común: 1. Un monomio como factor común. 2. Un polinomio como factor común. 3. Factor común por agrupación.

7.1.1. Un monomio como factor común

Un factor común de este tipo es un monomio que está presente en cada término del polinomio que se va a factorizar.

Ejemplo: factoriza el polinomio

Los coeficientes de este polinomio son 18, ‐45 y 27. Busca el número más grande que divida a los tres, en este caso el nueve, por lo que el primer paso para factorizar es poner el nueve a la izquierda de un paréntesis:

Existen muchas maneras de factorizar 12a2, cada una de ellas se llama factorización de 12a2.

( ) 3523223 2015104325 mnmnmnmnm +−=+−

( )4325201510 2233523 +−=+− nmnmmnmnm

274518 2 +− xx

( )9274518 2 =+− xx



A continuación, dentro del paréntesis coloca números y literales que, al ser multiplicados por el factor común 9, den por resultado el polinomio que deseas factorizar:

Ejemplo: encuentra el factor común del polinomio

Los coeficientes del polinomio son 6, ‐9 y 3, y su factor común es 3; es decir, es la cantidad más grande que puede dividir exactamente a los tres. En las literales, el factor común es “x” “y” debido a que son las letras que se repiten en cada término y que a la vez tienen el menor exponente. Por lo tanto:

Práctica 27

a) Factoriza

b) Factoriza el polinomio

7.1.2. Un polinomio como factor común

Un factor común de este tipo es un polinomio que aparece en cada término de la expresión que se va a factorizar.

Ejemplo: factoriza

El factor común en los dos términos de esta expresión algebraica es (a+b):

Ejemplo: factoriza

El factor común es (m‐2n):

7.1.3. Factor común por agrupación

En este tipo de factorización se intenta extraer un doble factor común.

Ejemplo: factoriza

En este polinomio, “a” es factor común de los dos primeros términos, y “b” es factor común de los últimos dos términos, por lo que puedes escribir:

( ) ( ) ( )( )ymxnbabaymbaxn ++=+++

( ) ( )nmbnma 222 −−−

( ) ( ) ( )( )banmnmbnma −−=−−− 22222

( )3529274518 22 +−=+− xxxx

xyxyyx 396 22 +−

( )1323396 22 +−=+− yxxyxyxyyx

5864102 8124 yxyxyx +−

83746655264 3520155 cbabacbacba +−+

( ) ( )baymbaxn +++

bybxayax +++

( ) ( )yxbyxabybxayax +++=+++



En esta última expresión matemática (x+y) es factor común de “a” y “b” por lo que la factorización final es:

7.2. Factorización de una diferencia de cuadrados

Recuerda que al multiplicar dos binomios conjugados obtienes una diferencia de cuadrados: Pero ahora conoces la diferencia de cuadrados y deseas factorizar, es decir, quieres obtener los binomios conjugados. Para que un binomio sea la diferencia de cuadrados, se deben cumplir tres condiciones:

1. Debe tener dos términos. 2. Debe haber un signo negativo entre los dos términos. 3. Que se pueda obtener la raíz cuadrada exacta de ambos términos.

Los pasos que debes realizar para factorizar una diferencia de cuadrados son:

1. Escribe dos paréntesis: ( )( ). 2. En el centro de uno de los paréntesis pon el signo positivo, y en el centro del

otro, pon el signo negativo, de manera que separen a los dos términos de cada binomio conjugado: ( + )( ‐ ).

3. Obtén la raíz cuadrada del primer término y anótalo dentro de los paréntesis: (a + )(a ‐ ).

4. Obtén la raíz cuadrada del segundo término y anótalo dentro de los paréntesis: (a + b)(a ‐ b).

Ejemplo: factoriza la siguiente diferencia de cuadrados

Práctica 28

a) Factoriza la diferencia de cuadrados

b) Factoriza

( )( )bayxbybxayax ++=+++

( )( ) 22 bababa −=−+

22 49 bx −

( )( )bxbxbb 232324 2 −+⎯→⎯=

( )( )( )( )−+

( )( )−+⎯→⎯= xxxx 3339 2

108 6481 nm −

42 2516 pp −



7.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

Recuerda que un binomio al cuadrado te da el siguiente trinomio: Pero ahora conoces el trinomio y deseas factorizarlo; es decir, obtener un binomio al cuadrado. Para que un trinomio sea cuadrado perfecto, se deben cumplir tres condiciones:

1. Debe tener tres términos. 2. El primer término y el tercero deben tener raíz cuadrada exacta. 3. La doble multiplicación de la raíz del primer término por la raíz

del tercer término, es el segundo término del trinomio original. Los pasos que debes realizar para factorizar un trinomio cuadrado perfecto son:

1. Escribe un paréntesis: ( ). 2. El signo que tendrá el binomio será el signo del segundo término del trinomio:

( ). 3. Obtén la raíz cuadrada del primer término y anótalo dentro de los paréntesis:

(a ). 4. Obtén la raíz cuadrada del tercer término y anótalo dentro de los paréntesis:

(a b). 5. Eleva al cuadrado el binomio resultante: (a b)2.

Ejemplo 1: Factoriza el siguiente polinomio: Práctica 29 Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

a) b) c)

( ) 222 2 bababa ++=+

±

±

±±

962 ++ pp

( )339 +⎯→⎯= p

( )+

( )+⎯→⎯= ppp2

( )23+p

( )( ) ( )( )1111 2 +−+−+ aaaa

cdcbdbcadac 10156946 2 −++−−

( )64161 2 −+x



Sesión 7

Los temas a revisar el día de hoy son: 8. Factorización de trinomios de segundo grado 8.1. Factorización de un trinomio de la forma x2+bx+c 8.2. Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c con a ≠ 0, 1 9. Factorización combinada

8. Factorización de trinomios de segundo grado 8.1. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c Un trinomio de segundo grado es el resultado de multiplicar dos binomios con un término común. Hay que resaltar que este trinomio no es cuadrado perfecto, debido a que no cumple con la segunda condición (tener raíz cuadrada exacta el primer y el tercer término).

Considera el producto de los siguientes binomios: Si se definen “b” y “c” como: Sustituyendo lo anterior en (1):

A partir de esto, y de manera inversa, se puede decir que es posible factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, de la siguiente manera: Los pasos que debes realizar en esta factorización son:

1. Busca dos factores que multiplicados den como resultado el primer término. 2. Busca dos factores que multiplicados den como resultado el tercer término. 3. Multiplica cruzado los factores de los pasos anteriores y súmalos

algebraicamente para que den como resultado el segundo término. 4. Anota dentro de dos paréntesis los binomios resultantes.

( )1( )( ) mnxnmxnxmx +++=++ )(2

mncnmb

=+=

( )( ) cbxxnxmx ++=++ 2

( )( )nxmxcbxx ++=++2



Práctica 30

a) Factoriza

b) Factoriza

422 −− yy

1032 −− nn

8.2. FUn trdiferla an Los trino

123

Anot

9. FaAlgumás El pro

Siemmás.

48 Univers

Factorizaciórinomio de rente de cernterior, aunq

pasos que omio de seg

1. Busca do2. Busca do3. Multiplic

algebraicta dentro de

actorizaciónnas expresiformas de focedimient

1. S2. L3. D4. T

cmpre factoriz

sidad CNCI d

ón de un trila forma axro y de unoque se resu

debes reaundo grado

os factores os factores ca cruzado lcamente pae dos parén

n combinadones algebrfactorizacióto general pSiempre emLuego examDos términoTres términocon otro tipoza las veces

de México

inomio de lx2+bx+c, tie, por lo tanelve de la m

alizar en eso de la form

que multiplque multipllos factoresara que denntesis los bin

da raicas que són involucrapara realizarpieza buscaina el númeos: checa si os: checa si o de trinoms que sea ne

Taller d

la forma axne como cato, su factomisma mane

sta factorizma x2 + bx +

licados denlicados dens de los pason como resunomios resu

son factorizadas. r una factorando factorero de térmes una difees un trino

mios. ecesario has

de Matem

x2 + bx + c característicaorización es era que el t

zación son c:

como resucomo resuos anterioreultado el segultantes.

ables tiene

rización com común.

minos: rencia de cuomio cuadra

sta que ya n

máticas I

con a ≠ 0, 1 a que el coeun poco mtrinomio ant

los mismo

ltado el primltado el teres y súmalogundo térm

n, al mismo

mbinada es:

uadrados. ado perfecto

no sea posib

I Semana

eficiente deás complejaterior.

os que par

mer términcer términoos mino.

o tiempo, do

:

o, sino prue

ble factoriza

1 y 2

e x2 es a que

ra un

o. o.

os o

eba

ar



Ejemplo. Factoriza Inicialmente la expresión algebraica tiene la forma de una diferencia de cuadrados, pero es obvio que ninguno de los dos términos tiene raíz exacta. El binomio tiene como factor común al número 6, por lo que: En la expresión resultante es posible factorizar utilizando diferencias de cuadrados: Práctica 31

a) Factoriza

b) Factoriza

246 2 −x

( )46246 22 −=− xx

( )( )226246 2 −+=− xxx

168 24 +− xx

5335 5018 nmnm −



Sesión 8

Los temas a revisar el día de hoy son:

10. Simplificación de expresiones algebraicas racionales 11. División de polinomios

10. Simplificación de expresiones algebraicas racionales Las expresiones algebraicas racionales están formadas por polinomios indicados como una división. Algunos ejemplos son:

Una expresión racional se denota con la expresión , Q(x) ≠ 0 donde P(x) es el polinomio que está en el numerador y Q(x) es el polinomio que está en el denominador de la fracción. Para simplificar expresiones algebraicas racionales es necesario que utilices el principio fundamental de las fracciones que enuncia lo siguiente: Si cada miembro de una fracción se multiplica o se divide por una misma cantidad diferente de cero, el valor de la fracción no se altera. El principio te permite eliminar los factores comunes en el numerador y el denominador de una fracción dada: , siempre y cuando b, k ≠ 0 Una fracción está totalmente simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes diferentes de 1 y ‐1. Al mismo tiempo, el principio te permite encontrar fracciones equivalentes multiplicando el mismo número al numerador y al denominador de una fracción; a este proceso se le conoce como elevar una fracción, es decir: En el caso de que en una fracción el numerador y el denominador tengan algún factor común, puedes hacer uso de los diversos procedimientos para encontrar sus factores y simplificarla.

19246583,

1641,

86 23

23

22 −+−−−+

−++− xxxxxx

xxxxx

)()(xQxP

ba

bkak

=

bkak

ba=

Ejem Para mane En lapuednuev de m Prác

a

b

c 11. DLa sfactolleva Una cons(resu

La di

51 Univers

mplo. Simpl

simplificarera que com

a fracción redes factorizvamente el

manera que

ctica 32

a) Simplific

b) Simplific

c) Simplific

División de simplificacióorización virse a cabo p

división inta de un dultado de la

visión de po

sidad CNCI d

ifica la fracc

r la fracciónmpartan un

esultante, ezarlo comoprincipio fu

la simplifica

ca la fracció

ca la fracció

ca

polinomiosón de fracsta anteriopor medio d

ndependiendivisor (el división) y

olinomios r

3632

3

−−xxx

2 −x

x

2

2 4a

a −

de México

ción

n, es posibl factor com

el numerado la difereundamental

ación es:

n

n

s cciones noormente, ede la divisió

temente sique divideresiduo (es

espeta la si

xx

33 3 −

33

32

=−

+xxx

(1

12=

−+

xxx

3

1630

2

2

−−

xx

74202 −bb

2

2

444bbab

−+

Taller d

le factorizamún:

or es un trencia de d de las fracc

siempre n algunas ón directa d

i es de can), dividends la parte qu

guiente ser

xxxx

336

2

2

−+−

(( 13

23 2

−−xxxxx

) (11 2

=−− xxx

33632

23

−+−xx

xx

511519

+−

xx

275−

+b

de Matem

r el numer

inomio cuados términciones:

puede reaocasiones e polinomio

ntidades nuo (lo que ue sobra si l

rie de pasos

x

))

1 2 −=

+x

x

)( )( )1

11−

−−xxx

13−=

+ xxx

máticas I

rador y el d

adrado perfos al cuad

alizarse poesa reduccos.

uméricas ose va a diva división n

s:

112

−+−

xx

1−= x

1

I Semana

denominado

fecto, por lodrado y ut

or medio dción tendrá

de polinovidir), cocno es entera

1 y 2

or de

o que tilizar

de la á que

mios, ciente a).

1

2

3

4

El res EjemPrimmen Primmen

Ahor

52 Univers

1. Ordena menor o

2. Divide eobtendrá

3. Multiplicdividend

4. Con lo o3 hasta grado m

sultado se e

mplo. Divideero ordenaor:

ero ordenaor:

ra sí, divide:

sidad CNCI d

los términoo viceversa) el primer téás el primerca el términdo, obteniénobtenido enque obtenenor que e

expresa de

e a los términ

a los términ

:

67 +− xx

de México

os de ambde alguna d

érmino del r término dno del cociendose un nu el paso angas un resil del dividen

la siguiente

entrnos de amb

nos de amb

192 −x

Taller d

os polinomde las literadividendo eel cocienteente del pasuevo divideterior se reiduo igual ando.

e manera:

re bos polinom

bos polinom

d

25+−

de Matem

mios según les comuneentre el pri. so anterior ndo. epiten las opa cero o un

mios según

mios según

divisordividendo

x2

máticas I

las potences a los dos imero del d

por el divis

peraciones na expresió

n las potenc

n las potenc

cociente=

I Semana

ias (de mapolinomiosdivisor, con

sor y se rest

de los pasoón algebraic

cias de ma

cias de ma

divisorresiduoe+

1 y 2

yor a s. n esto

ta del

os 2 y ca de

yor a

yor a

ro

El coresidLa fo Prác

a

b

53 Univers

ociente de laduo en la oporma como

ctica 33

a) Determi

b) Divide y

sidad CNCI d

a división eperación. debes expr

na el cocien

2 42 −+ yy

de México

s ;

esar lo ante

nte y el resi

43 +x

23 3 −+ yy

Taller d

la división n

erior es:

duo de la d

entre

ddiv

6x

2 2

de Matem

no es exact

ivisión

cdivisorvidendo

=

521972

−−−

xx

3m

yy 32 −+

máticas I

a, debido a

rcociente+

3 += x

28 23

−+−

mmm

I Semana

que se tien

divisorresiduo

5214−

++x

8

1 y 2

ne un

5

Taller de Matemáticas - Test Page for Apache...

Documents

Transcript of Taller de Matemáticas - Test Page for Apache...