Taller de Probabilidad 2013-i

CORPORACION UNIVERSITARIA REMINGTON

FACULTAD DE LAS CIENCIAS APLICADAS

TALLER DE ESTADISTICA PROBABILISTICA I-2013

TUTORA: ING. FANNY CRUZ

CONCEPTOS BASICOS Y TEORIA DE CONJUNTOS

1. Dos estaciones de gasolina se encuentran en un cierto cruce de la ciudad, en cada una hay 4

bombas para despacho de gasolina. Considere el experimento en que el número de bombas en uso en un día particular se determina para cada una de las estaciones. Un resultado experimental especifica cuantas bombas están en uso en la primera estación y cuantas están en uso en la segunda.

a.- Cuales son los posibles resultados del experimento b.- Defina el evento A: el número de bombas en uso es el mismo en ambas estaciones, el evento B: el número de bombas en uso es máximo dos en cada estación, el evento C: el número total de bombas en uso en ambas estaciones es cuatro.

c.- Defina A∪B, B∩C

2. Una mujer es portadora de hemofilia clásica. Esto significa que, aunque la mujer no tenga hemofilia, puede transmitir la enfermedad a sus hijos. Ella tiene tres hijos. Describa el espacio muestral de este experimento.

3. En una encuesta realizada entre 200 inversionistas activos, se halló que 120 utilizan corredores

por comisión, 126 usan corredores de tiempo completo y 64 emplean ambos tipos de corredores. Determine el número de inversionistas tales que:

a) Utilizan al menos un tipo de corredor. b)Utilizan exactamente un tipo de corredor. c)Utilizan sólo corredores por comisión. d)No utilizan corredores.

4. La tabla siguiente presenta un resumen de las características solicitadas en 100 órdenes de compra de computadores.

Sean: A: evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional y sin procesador opcional de alta velocidad. B: evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional.

Determine el número de muestras en un diagrama de ven y represente A′ ∩ B , B ′ ,A ∪ B . Dibuje un

diagrama. 5. Se le pidió a 110 comerciantes que dijeran que tipo de programa de televisión preferían. La tabla

muestra las respuestas clasificadas a la vez según el nivel de estudios de los comerciantes y según el

tipo de programa preferido:





Especifique el número de elementos en cada uno de los siguientes eventos y defínalos con palabras: a) D,

b) A ∪ M

c) W `

d) C ∩ N

e) D ∩ B f) (M ∩ A) ´

TECNICAS DE CONTEO 6. El productor de un programa de televisión, tiene diez números para distribuir en una hora. ¿Cuantos programas diferentes puede organizar si cada numero solo lo puede presentar una vez?

7. Un contratista tiene 16 planos de casas, de los cuales tiene que seleccionar nueve, para utilizarlos en la construcción de nueve casas en un callejón de un nuevo barrio de cuantas maneras diferentes se pueden construir las casas si cada una de ellas se construye según un plano diferente?

8. Si un futbolista conoce 7 jugadas diferentes y si el entrenador le instruye para que juegue las 7 sin que ninguna se repita, ¿qué libertad le queda a ese jugador? 9¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabra REMINGTON ? 10. En una pizzería se anuncia que ofrecen más de 500 variedades distintas de pizza. Un cliente puede ordenar una pizza con una combinación de uno o más de los siguientes nueve ingredientes: jamón, champiñones, piña, pimentón, salchicha, cebolla, peperoni, salami y aceitunas. ¿Es cierto lo que afirma su publicidad? 11. El muy conocido BALOTO electrónico es un juego de azar que consiste en acertar en

6 números de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuántos boletos de juego debe usted

comprar para asegurar que tendrá el boleto ganador. La empresa del BALOTO asegura también

que usted puede ganar un monto determinado si acierta 3, 4 o 5 veces, calcule también cuántos

boletos debe comprar para asegurar 3, 4 y 5 aciertos. ¿Todavía cree en el BALOTO? 12. En una urna se tienen 10 bolitas: 5 rojas, 3 blancas y 2 azules. Si se toman 3 con reemplazo, ¿de cuántas maneras se pueden sacar las tres bolitas de modo que todas sean del mismo color? 13. Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres alternativas, de las cuales sólo debe marcar una. ¿En cuántas formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas?





14. ¿Cuántas placas vehiculares se pueden elaborar en Colombia? Recuerde que éstas constan de tres letras del alfabeto y tres dígitos. Tome 26 letras del alfabeto. 15. Un Testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó le indica al policía que el numero de matricula tenia las letras RHL seguida por tres dígitos el primero de los cuales era cinco, el testigo no puede recordar los otros dos pero esta seguro que los tres números eran diferentes, encuentre el numero máximo de registros que debe verificar la policía

16. Seis alumnos de último año de bachillerato participan en un concurso de ensayo literario. No

puede haber empates. ¿Cuántos resultados diferentes son posibles?

¿Cuántos grupos de primero, segundo y tercer puesto puede haber?

PROPIEDADES BASICAS DE LAS PROBABILIDADES

17. Se extrae una carta al azar de una baraja de 40 cartas. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que sea dos o

sea un siete? b.- Cual es la probabilidad de que sea oro o un 6?

18. Consideremos el lanzamiento de un dado, usted gana si el resultado es impar o divisible

por dos. ¿ cuál es la probabilidad de ganar?

19. En el curso de estadística la probabilidad de que los estudiantes tengan computador es de 0.60, la probabilidad de que tengan auto es de 0.25 y ambas cosas es de 0.15. Cual es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar tenga computador o auto? 20. De entre 20 tanques de combustible fabricados para el transbordador espacial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente 4 tanques: a.- cual es la probabilidad de que ninguno de los tanques sea defectuoso b.- Cual es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos. 21. En la tabla aparecen 1000 estudiantes universitarios clasificados de acuerdo con los puntajes que obtuvieron en un examen de admisión a la universidad. También muestra la clasificación de los colegios en donde se graduaron de bachilleres:

Puntaje

Colegio Total Inferior (I) Regular ( R ) Superior (S)

Bajo (B) 100 50 50 200

Medio (M) 75 175 150 400

Alto (A) 25 75 300 400

Total 200 300 500 1000

Calcular la Probabilidad de que un estudiante escogido al azar: a) haya obtenido un puntaje bajo en el examen. b) Se haya graduado en un colegio de nivel superior c) haya obtenido un puntaje bajo en el examen y se haya graduado en un colegio de nivel superior d) haya obtenido un puntaje bajo en el examen dado que se haya graduado en un colegio de nivel inferior e) si el estudiante escogido termino en un colegio de grado regular encontrar la probabilidad de que tenga un puntaje alto en el examen. 21. Fabián y Pilar estudian en un mismo curso. La probabilidad de que Fabián no pierda ninguna materia es del 85% y la de Pilar es del 90%. a) Cual es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia. b) Cual es la probabilidad de que Fabián pierda una materia y Pilar ninguna. C) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia.





22. Cuatro amigos se dirigen a un lugar y toman 4 rutas diferentes de acuerdo al riesgo de tener un accidente. Las probabilidades de riesgo de cada ruta son 0.2, 0.15, 0.25, 0.10 respectivamente. Cual es la probabilidad de que ninguno sufra un accidente. 23. Una maquina que produce un determinado artículo fue adquirida bajo la condición de que el 3% de los artículos producidos son defectuosos. Si el proceso se realiza bajo control, es decir independiente cual es la probabilidad de que a.- dos artículos seguidos sean defectuosos, b.- dos artículos seguidos no sean defectuosos, c.- el primero sea defectuoso y el segundo bueno. 24. La probabilidad de que un doctor diagnostique en forma correcta una determinada enfermedad es de 0.7. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que un paciente presenta una demanda es de 0.9. ¿ cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente presente una demanda? 25. En una ciudad grande el 70% de los hogares compra un periódico matutino y el 90% uno vespertino. Si se supone que los dos eventos son independientes cual es la probabilidad de que un hogar escogido al azar sea uno de los que compra ambos periódicos?

26. La tabla muestra el resultado de 500 entrevistas hechas durante una encuesta. Los datos se

clasificaron según el sector de la ciudad donde se aplico el cuestionario.

Sector

Resultado de la entrevista Total Contesto ( C ) No contesto (N) No estaba ( S)

M 100 5 20 125

N 115 5 5 125

O 50 15 60 125

P 35 40 50 125

Total 300 65 135 500

Si se selecciona un cuestionario. Cual es la probabilidad de a) No se haya contestado b) La persona no estaba en casa c) el cuestionario se haya contestado y la persona viva en el sector N d) Dado que la persona viva en el sector O, no haya contestado el cuestionario e) La persona viva en el sector M ó Conteste el cuestionario. F) Si la persona no estaba cual es la probabilidad de que viva en el sector O.

27. En el ejercicio anterior, el resultado de la entrevista es independiente del sector de la ciudad

donde vive la persona ? Comprobar la respuesta

28. Una compañía encontró que el 82% de las personas seleccionadas para su programa de entrenamiento de vendedores termino el curso. De estos solamente 60% se convirtieron en vendedores productivos. Si un aspirante nuevo llega al curso cual es la probabilidad de que termine el curso y se convierta en un vendedor productivo. 29. En un centro médico, los fumadores que se sospecha tenían cáncer pulmonar, el 90% lo tenía, mientras que el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es del 45% a) Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer seleccionado al azar sea fumador? B) Cual es la probabilidad de que la persona tenga cáncer..





30. Un investigador de una clínica de especialistas ha descubierto que durante un periodo de varios años, el 20% de los pacientes que llegaron a la clínica tenían la enfermedad D1, el 30% la enfermedad D2, y el 50% la enfermedad D3. El investigador descubrió también que un conjunto de síntomas bien definidos al que denomino S, se encontraba en un 25% de los pacientes con la enfermedad D1, 60% de los que tenían la enfermedad D2, y 80% de los que tenían la enfermedad D3. El investigador quiere utilizar esta información para hacer rápidamente el diagnostico a los pacientes recién llegados. Supongamos que ha sido admitido un paciente con el conjunto de síntomas S, cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D3, cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D1.

31. Un científico ha descubierto en un hospital para enfermedades crónicas que el 15% de los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 días, mientras que el 85% de los pacientes permanece 30 días o más. También ha descubierto que el 20% de los que se quedan menos de 30 días y el 60% de los que se quedan 30 días o más, presentan cierto grupo de características. Cual es la probabilidad de que un paciente que llega al hospital con esas características permanezca menos de 30 días?. 32. A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable en 90% cuando la persona es c ulpable y en 99% cuando la persona es inocente. En otras palabras el 10% de los culpables se consideran inocentes cuando se usa el suero y el 1% de los inocentes se juzgan culpables. Si el sospechoso se escogió de un grupo del cual solo 5% han cometido alguna vez un crimen y el suero indica que la persona es culpable, cual es la probabilidad de que sea inocente?

33. Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se reúnen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros. El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero.

a.- Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido.

b.- Si se sabe que un jugador se ha lesionado, determinar la probabilidad de que haya sido un

defensa.

34. Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, de estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Se pide: a.- Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. b.- Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. ¿Cuál es la probabilidad de que sea

varón?

35. Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5. a.- ¿Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica?

b.- ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes?

c.- ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes?

d.-Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también la

práctica?

36. En una caja hay x bolas blancas y 1 bola roja. Al extraer de la caja dos bolas al azar sin remplazamiento, la probabilidad de que sean blancas es 1/2. Calcula el número de bolas blancas que debe tener la caja.





37. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

38. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos. 39. Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos b) en más de 2 tubos se condense el vapor c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos. 40. La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que: a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB c)que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB d)encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar. 41. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?. 42. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) por lo menos 2 no exploten? 43. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? 44. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.





45. El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada? 46. Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida Normalmente, con una media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida Normalmente con una media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas. a. ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor de 9,000 horas? b. ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5,000 horas? 47. La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad Normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución Normal, con una media de 200 y una desviación estándar de 50.

a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores?

b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores?

c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor

estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender

plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuantos interruptores terminales deberá

producir la compañía cada día?

48. El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está normalmente distribuido con una media de 10 cm y una desviación estándar de 0.03 cm.

a) ¿Qué proporción de los anillos tendrá un diámetro interno que exceda de 10.075 cm?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno entre 9.97 y

10.03 cm?

c) ¿Debajo de qué valor de diámetro interno caerá el 15% de los anillos de pistón?

49. Un detector de monóxido de carbono en el hogar de los Wheelock se activa una vez cada 200 dias en

promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que :

a) Haya una alarma dentro de los 60 dias?

b) Pasen cuando menos 400 dias antes de la siguiente alarma?

c) ¿Pasen entre 150 y 250 dias hasta la próxima alarma?

50. El “tiempo de Buteo” (el lapso que transcurre entre la aparicion de lapantalla de la Bios hasta que el

primer archivo es descargado en Windows ) de la computadora personal de Erick Mouser sigue una

distribución exponenecial, con media de 27 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que este buteo

requirirá?:





a) Menos de 15 segundos

b) Mas de go segundos

c) Entre 30 y 45 segundos

d) Cual es el punto debajo del cual ocurre solo 10% de los buteos?

51. Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $9.25 por hora con una desviación estándar de 60 centavos. Si los salarios están distribuidos aproximadamente en forma normal y los montos se cierran a centavos,

a) ¿Qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $8.75 y $9.69 por hora inclusive?

b ¿el 5% más alto de los salarios por hora de empleado es mayor a qué cantidad?

52. Se sabe que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cuerda se distribuye normalmente con media de 2000 libras y una varianza de 25,000 lbs2. Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 cuerdas; determine la probabilidad de que en esa muestra:

a. La resistencia media encontrada sea de por lo menos 1958 libras. b. La resistencia media se mayor de 2080 libras.

53. Como parte de un proyecto general de mejoramiento de la calidad, un fabricante textil decide controlar el número de imperfecciones encontradas en cada pieza de tela. Se estima que el número promedio de imperfecciones por cada pieza de tela es de 12, determine la probabilidad de que en la próxima pieza de tela fabricada se encuentren:

a. Entre 10 y 12 imperfecciones. b. Menos de 9 y más de 15 imperfecciones.

54. En una prueba de aptitud la puntuación media de los estudiantes es de 72 puntos y la desviación estándar es de 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, formados de 28 y 36 estudiantes, respectivamente, difieran en su puntuación media en:

a. 3 ó más puntos. b. 6 o más puntos. c. Entre 2 y 5 puntos.

55. Un especialista en genética ha detectado que el 26% de los hombres y el 24% de las mujeres de cierta región del país tiene un leve desorden sanguíneo; si se toman muestras de 150 hombres y 150 mujeres, determine la probabilidad de que la diferencia muestral de proporciones que tienen ese leve desorden sanguíneo sea de:

a. Menos de 0.035 a favor de los hombres. b. Entre 0.01 y 0.04 a favor de los hombres.

56.- El peso promedio de una muestra de 50 bultos de productos Xmedia = 652.58 Kgs., con S = 217.43

Kgs. Determinar el intervalo de confianza al NC del 95% y al 99% donde se encuentra la media del

proceso (poblacional).

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