TALLER DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMASBALDOSAS ALGEBRÁICAS

PROBLEMA N°1

El área de un terreno rectangular es x2+3xy+2 y2.Se quiere crear dicho terreno con 3 corridas de alambre.¿Cuánto alambre necesita?

Descripción

Estas baldosas son modelos concretos de variables y/o enteros que nos ayudan a explorar conceptos y relacionarlo con el lenguaje matemático.Mediante el proceso concreto – gráfico – simbólico podemos ir, desde los conceptos más básicos del álgebra hasta la operatoria, como por ejemplo, productos notables.

Material

El set de baldosas consta de: * Cuadrados azul – rojo* Rectángulos verde – rojo* Cuadraditos amarillo – rojo

Intrucciones

Indique a los alumnos que manipulen el material e identifiquen las características de las piezas.

Pídales que observen los lados de las distintas baldosas y busquen relación entre las piezas

Si observaste las distintas piezas, podrás ver que el lado del cuadrado mide lo mismo que uno de los lados del rectángulo. Y, el otro lado del rectángulo mide lo mismo que el lado del cuadrito.

Como no sabemos las medidas de los lados, vamos a asignarle una letra x para representar e identificar el lado de la baldosa cuadrada, e y al lado de la baldosa del cuadrito.

En algebra, una variable, como por ejemplo x ó y, representan cualquier numero. Usando esta presentación tenemos que:

yy y2

y2

COLOR LONGITUD DE LOS LADOS ÁREA

azul

amarilla

verde

Actividad N° 1: “Modelos polinomiales”

Con las baldosas y utilizando la expresión de área en cada caso podemos representar modelos de polinomios, por ejemplo:

2 x2+3 xy+ y2

azul verde amarillo3 x2+6 y2

Para asignar un valor negativo, lo representaremos con las baldosas rojas, así podemos representar mediante modelos polinomios con términos negativos, por ejemplo:

x2+(−2 xy ) 3 xy+(−x2) rojo

x

x

x2

Yx

xy

xy

xy

xy

x2

x2

rojo

Ejercicio N° 1:

1.1.- usa las baldosas para construir el modelo que representa cada expresión polinomial:

EXPRESIÓN POLINOMIAL MODELO

4 xy

5 x2−2 y2

−3 x2−xy+2 y2

1.2.- El profesor proyecta distintos polinomios y los alumnos identifican el polinomio que representa cada modelo.

MODELO EXPRESIÓN POLINOMIAL

1.3.- Si cambiamos las variables x e y por la inicial de tamaño, es decir, g al lado del cuadrado grande y p al lado del cuadrado pequeño, el rectángulo será gp.

a) Usando estas nuevas formas de representar las variables, identifica el polinomio:

MODELO EXPRESIÓN POLINOMIAL

b) Si al lado del cuadrado mayor le asignamos la variable a y al lado del cuadrado menor la variable b, entonces construye los modelos de los siguientes polinomios:

POLINOMIOS MODELOS

5a2+2ab−b2

−b2−2a2

2a2+4b2−6ab

c) inventa tu propia representación del largo de los cuadrados y construye tus propios modelos para que luego intercambien con sus compañeros para descubrir el polinomio que representa.

DESAFIOS:1. ¿Cómo representarías el polinomio 2 x2+3 xy+z2?

¿Cómo representarías el polinomio x3+2x2 y+ x y2+ y3?

2. ¿Qué modificaciones le harías al material para poder representar los polinomios de la pregunta 1?

3. ¿Cuántas variables se necesitan? Dibuja las piezas con sus modificaciones y da un ejemplo con ellos.

Desarrollo del PROBLEMA N° 1

- Lo primero es identificar las piezas que forman el trinomio que representa el área del terreno:

x2+3xy+2 y2

- Luego, se ordenan estas piezas formando una superficie rectangular:

Considerando las variables asignadas a cada lado, se tiene un rectángulo de lados:

Area = base altura

- Por lo tanto el perímetro del terreno es: P =x+2 y+x+ y+2 y+x+ y+xP =4 x+6 y

- Entonces la cantidad de alambre que se necesita es:Alambre =3∙ (4 x+6 y )¿12 x+18 y

Respuesta: Se necesitan 12 x+18 y de alambre para poder cercar el terreno indicado.

x2+3xy+ y2=( x+2 y ) ∙(x+ y)

x+ y+ y

x+¿ y

x+¿ y

x+ y+ y

PROBLEMA N°2

Deseamos emplear una bodega cuyas dimensiones son:(x+5) metros de largo, x metros de ancho, (x−3) metros de alto.Se sabe que un rollo cubre 5m2.

¿Cuántos rollos se necesitan?

ACTIVIDAD N°2: “Representación del cero”

Si asignamos la variable a, se tiene:

a2Entonces

−a2

Obs.: a2y −a2son inversos aditivos.

Luego, si ponemos a2+−a2=¿ _____ su resultado es ___________.

cero

Ejercicio N°2:

2.1.- Dado el modelo, construye el modelo del inverso aditivo:MODELO SU ADITIVO INVERSO

EXPRESIÓN EXPRESIÓN

2.2.- Si se asigna al lado del cuadrito una unidad, podemos representar:

2 = 3 =

Manteniendo la variable x para el lado del cuadrado grande, tenemos:

MODELO ADITIVO INVERSO

EXPRESIÓN

x2−3 x+4

EXPRESIÓN

2.3.- Define con tus palabras el concepto de “inverso aditivo”” y da un ejemplo con un modelo, su expresión y su expresión inverso aditivo.

(Compártelo con tu grupo y comenta)

2.4.- Dada la expresión: 2a2+0ab+b2

a) ¿Cuál es el mínimo número de baldosas que representan la expresión?

b) ¿Puedes, usando 5 fichas representar la misma expresión? y 6? y 7?

c) Usa 10 baldosas para representar la expresión 3 x2−2xy− y2.(Obs.: Existen seis formas. Investiga cuales son.)

DESARROLLO PROBLEMA N°2

DESAFIOS:

¿Cómo representaras un rectángulo de lados “x” y “x-y” usando las baldosas?

x2

1x12

x

x

x11 1

- Lo primero es entender y representar el problema, ubicando la información den el dibujo.

- Al descomponer la figura, en sus paredes respectivas, se pueden identificar:

X x+5

x−3

x2−3 x

X-3

x2+2x−15

- Por ser dos paredes congruentes de cada tipo, entonces:

ATOTAL=2 (x2−3 x )+2(x2+2x−15)

ATOTAL=4 x2−2 x−30

Entonces el número de rollos de papel necesarios son:

N° rollos = 4 x2−2 x−305

Actividad N°3 : “Adición de expresiones algebraicas”

Si consideramos como x2 la baldosa cuadrada grande e y2 la baldosa cuadrada chica. Usando el concepto de “cero”, eliminaremos aquellas baldosas que se anulan, siempre que sea posible.

Ej.:

Ejercicio N°3:

3.1.- - Representa los modelos con tus baldosas.- Escribe el polinomio de cada modelo.- Encuentra la suma de los dos polinomios, dibújalos y escribe la expresión:

(x2+2xy+3 y2 )+( 2x2+xy− y2 )=¿ 3 x2+3 xy+2 y2

a)

___________________ + ___________________ = ___________________

b)

___________________ + ___________________ = ___________________

c)

___________________ + ___________________ = ___________________

d)

___________________ + ___________________ = ___________________3.2.- Considerando el cuadrado grande como x2 y el cuadrado chico como 1 unidad, resuelve las siguientes adiciones, construyendo el modelo y escribiendo las expresiones:

a)

b)

3.3.- Si el cuadrado grande es a2 y el pequeño b2, entonces completa los modelos y expresiones:

Obs: Hacer más ejercicios hasta que el alumno deje de necesitar el material concreto.

(3 x2−5 x+4) + (2 x−6) =

(3 x−2 x2+7) + (3 x2−2 x−8) =

(4a2−3b2) + (2ab+b2 )+(b2−ab−2a2) =

3.4. – Dados los polinomios, utiliza tus baldosas para representarlos y luego suma, escribe la expresión de tu resultado:

a) (3 x+2 )+ (−2x+3 )=¿ ____________________

b) (5 x2+6 x+1 )+ (−7 x+2 )=¿ ____________________

c) (−4 x2+6 x−3 )+(−7 x2−4 x+5 )=¿ ____________________

- Analiza los ejercicios resueltos, revisa cada término de los sumandos y busca alguna relación con su resultado respectivo.

- ¿Podrías plantear alguna regla para la adición de expresiones algebraicas?Escríbela y coméntala.

3.5.- Resuelve las siguientes adiciones aplicando la regla y/o utilizando baldosas:

a) (3 x2+2x−2 )+ (−2 x2+5 x+5 )=¿ _____________

b) (12m2+9m−10 )+(8m2+3m+15 )=¿ _____________

c) (5 x¿¿2+6 x2−3x+1)+(5 x4−6 x3+2 x−5 )=¿¿ _____________

d) (8a5−6a3+6a+5 )+( 17a5+3a3+4a−7 )=¿ _____________

e) (−3cd 4+6d2+2cd−1 )+(−3d2+2cd+1 )=¿ _____________

DESAFIOS:

1. La suma de dos polinomios es 2 x2+x+8. Uno de los polinomios es x2+3. ¿Cuál es el otro polinomio?

2. Puede demostrar que la suma de los polinomios es conmutativa.3. Si tenemos las siguientes baldosas:

a. Encontrar la suma de sus áreas.b. Si x = 3, cuánto es la suma de sus áreas.c. Si x = 8, cuánto es la suma de sus áreas.d. Si x = 3, cuál es la expresión de la suma de sus áreas.

Actividad N°4: “Sustracción de expresiones algebraicas”

Recordemos que la sustracción en aritmética consiste en quitarle al minuendo el valor del sustraendo, es decir:

Minuendo7 – 4 = 3

Sustraendo

Revisaremos tres métodos para representar la sustracción

Aplicando el mismo procedimiento de la sustracción en aritmética, ahora en expresiones polinomiales, se tiene:

a)(2 x2+5 xy+3 y2 )− (x2+2 xy+ y2 )=? A la expresión del minuendo le quitamos las baldosas del sustraendo.

El resultado es: (x2+3xy+2 y2)

b) Si el cuadrado grande es x2 y el pequeño 1 unidad, al resolver la sustracción se tiene. Ahora, quitaremos directamente lo que nos indica el sustraendo, sin representarlo, como el ejemplo anterior. Observa:

(3 x2−7 x+4 )−(x2−2x+2 )=? Al minuendo le quitamos las baldosas correspondientes del sustraendo, el resultado es:

El resultado es: (2 x2−5 x+2)

c) Otro método de usar las baldosas es representando el inverso aditivo de sustraendo para luego juntar las parejas de baldosas que se hacen cero:

Recordar que 5 + (-5) = 0, aplicando esto en los polinomios, si tenemos el polinomio:

2 x2−4 x+3 , su inverso aditivo es−(2 x2+4 x−3).

Ej.:

(2 x2−7 x+4 )−(x2+2 x+2 )=?

(2 x2−7 x+4 )+−(x2+2x+2 )=?

El resultado es: (x2+3xy+2 y2)

El inverso de un polinomio se puede encontrar sustituyendo cada termino por su inverso aditivo.

Ejercicio: Encuentra el inverso aditivo de:

a) 5 x2−7 xy+25 x b) 12a4−3a2+4a c)−13 x6 y 4−3 x2+ xy−0,5

Recuerda que podemos restar dos números si sumamos un inverso aditivo: a−b=a+(−b). Aplicando esta regla a los polinomios tenemos:

Ejercicio N°4:

4.1.- Resuelve las sustracciones utilizando las baldosas, achura las baldosas que se eliminan y luego escribiendo la expresión que se obtiene como resultado:

a)

____________________ - ____________________ = ____________________

b) ( 4 x2+3 )−5 (x2+3 x+5 )=¿ ____________________

c) (5 p2+3 p+6 )−(9 p2−5 p−3 )=¿ ____________________

4.2.- Resuelve las sustracciones:

a) (a2−2a+4 )−(a2−4 a−3 )=¿

b) (5 x2+4 )−(2 x2−1 )=¿

c) (−7 y+2 y2+5 )−( y2−6−5 y )=¿

d) (5 p2−3 p+6 )−( 9 p2−5 p−3 )=¿

DESAFIOS:

La diferencia de dos polinomios es 2 x2+x+4. Un polinomio es 3 x2+x. ¿Cuál es el otro?