Algebra LinealFacultad de IngenierıaPrimer ParcialNombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Codigo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Encontrar k de tal manera que las ma-

trices:

(3 −4−5 1

)y

(7 45 k

)conmuten.

2. Si A =

(2 −6−1 3

)encontrar B2×2 6= 02×2

y B2×2 6= I2×2 talque A y B conmuten.

3. Si A =

(2 −6−1 3

)encontrar B2×2 6= 02×2

talque AB = 02×2

4. Sean p(x) = 2x3 − x2 + 5x − 3 y A =(1 −10 2

)determinar p(A).

5. Considere las matrices: A =(1 23 6

). B =

(3 −82 3

)y C =

(5 21 −2

)Calcule AB y AC compare y analice.

6. Sean A,B ∈ Mn×n y supongamos queexiste P ∈Mn×n no singular talque B =PAP−1 , ademas se sabe que A5 = 2I,entonces: B5 =

7. Sean A,B ∈ Mn×n , si A2 = A, entonces(AB − ABA)2 =

8. En los problemas siguientes determi-nar la matriz X2×2 que satisfaga cadauna de las ecuaciones matriciales plan-teadas

a) Si 2X

(1 −12 1

)=

(4 21 −1

)t

b) (5X)−1 =

(1 21 3

)t

c) (I2 +X)−1 =

(1 01 −1

)t

+

(2 1

21 −3

4

)t

9. Si A y B son matrices cuadradas, de-muestre que (I − BA) es invertible si

(I − AB) es invertible (sugerencia em-piece con la siguiente igualdad B(I −AB) = (I −BA)B

10. Si el producto M = ABC de tres ma-trices cuadradas es invertible, enton-ces A,B y C son invertibles. Encuentreuna formula para B−1 que involucre aM−1, A, y C

11. Calcule la inversa de la matriz A =1 −1 32 1 01 −1 2

12. Calcule el determinante de las siguien-

tes matrices

a)

(1 −12 1

)

b)

1 2 −2 02 3 −4 1−1 2 0 20 2 5 3

c)

1 2 −2 00 3 −4 10 0 π 20 0 0 3

13. Si una matriz 4 × 4 tiene por deter-

minante |A| = 12. encuentre |2A|, | −

A|, |A2|, |A−1|

14. Complete

1 3 02 5 1−3 −9 −1

−1

= 4 3 3· · · −1 −1· · · · · · −1

15. Si

∣∣∣∣∣∣a b cp q rx y z

∣∣∣∣∣∣ = 6 entonces

∣∣∣∣∣∣a+ x b+ y c+ z3x 3y 3z−p −q −r

∣∣∣∣∣∣ =

16. Encontrar x ∈ R que satisfaga:∣∣∣∣x −13 1− x

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 0 −32 x −61 3 x− 5

∣∣∣∣∣∣17. Determinar si la proposicion es ver-

dadera o falsa (JUSTIFICAR) A,B ∈Mn×n

a) det(AAt) = det(A2)

b) Si A es antisimetrica, entoncesdet(A) = 0

c) Si A es ortogonal, entonces det(A) =±1

d) Si det(A) = 0 ,entonces A = 0

e) det(A+B) = det(A) + det(B)

f ) Si Ak = On×n para algun k enteropositivo, entonces A es singular.

g) Si det(A) = −2,entonces el sistemaAX = 0 tiene solamente la soluciontrivial.

h) Si A es idempotente, entoncesdet(A) = 0

i) Si B = PAP−1 y P es no singular,entonces det(A) = det(B)

j ) Si A y B son matrices no singula-res, entonces A+B es no singular.

k) det(AB) = det(BA)

l) M y N son matrices 3× 3 tales quedet(2M−1N) = 12 y det(N) = 3, en-tonces det(M) = 1

2

m)

∣∣∣∣∣∣a b cx y zs t u

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣y b tx a sz c u

∣∣∣∣∣∣18. Coloque el menor numero de ceros en

una matriz 4 × 4 que garantice quedetA = 0

19. a) Si a11 = a22 = a33 = 0 ¿ Cuantos delos 6 terminos de detA son cero

b) Si a11 = a22 = a33 = a44 = 0 ¿ cuantosde los 24 terminos del detA son cero

c) Suponga que detA = 1 y que se co-nocen todos los cofactores de A,como puede encontrarse A

d) Si se conocen todos los 16 cofac-tores de la matriz A4×4 invertible¿como se puede encontrar A?

e) A partir de la formula

AAdjA = detAI

demuestre que

|AdjA| = (detA)n−1

2