Taller Es Ye Jer Cici Os

Universidad

Industrial de

Santander

Facultad de CienciasEscuela de Matemticas

Clculo I Taller ANmeros reales desigualdadesProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:I. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es cierta o falsa. Justifica tu respuesta:

a) Todo nmero entero es irracional.b) Existen nmeros reales que sean racionales e

irracionales a la vez.c) pq y p q son nmeros naturales si p y q lo son.d) La suma de cualquier par de nmeros irracionales

es un nmero irracional.e) Si m es un nmero irracional y n es un nmero

racional entonces n+m es un nmero irracional.f) Existen nmeros irracionales r y s tales que r s

es racional.g) No existe ningn nmero real tal que x2 + 1 = 0.h) 3a < 7a para todo a R.i) Para todo a y b en R, a.b > 0 implica a > 0 y b > 0.

j) |x 5| < 2 implica que 3 < x < 7.k) Si x y entonces |x y| = |x| |y|.l) No existe nmero real x para el que |x 1| = |x 2|.

m) Para todo x > 0 existe un y > 0 tal que |2x+ y| = 5.n) Para todo x R, |x 5| = |5 x|.) Para todo x R, si x2 > 1 entonces x > 1.o) La expresin 2 7x

3 + xrepresenta un nmero real para todo

x R.p) Si x < 5 entonces |x| < 5.q) |1 + 3x| 1 entonces x 23 .

II. Hallar la solucin de la ecuacin o desigualdad dada, expresarla en forma de intervalo y representarla en la rectanumrica.

1) (x 2)5 9 (x 2)3 = 02) x+ 7

x 2 =x 4x+ 2

+15

x2 43) |x 2| = 2x 64) x2/3 + 4x1/3 5 = 05) 3 |x 2| 2 |x| = 56) 4

x 1 +2

x+ 1=

20

x2 17) 2 = 3 x8) x4 81 = 09) 3x 7 2x+ 1

10) 2x2 + 5x 1 < 2x+ 111) 2 (7x 3) 12x+ 1612) 5 1x < 113) |3x 4| 2x14) |x+ 2| 515) |x 1| > 216) x

2 41 x2 2

17) |x 1| |x+ 2| = 318) |x| 2 |x+ 1|+ 3 |x 2| = 019) |x+ 2| |x 1| < 020)

1x 3 3

21) (x+ 5)(x 2) 0

22) 1(x+

2)(x ) 0

23) x+ 8x 2 < 0

24) |x 1/3| 225) |2x+ 1| < 526) |x+ 4| 227) |2x+2| = 428) |3x+ 4| < x 129) |8x+ 5| > x30) 4|x+ 1| 2|x 3| 431) 7x 1|x+ 2| < 3

32) 1x+ x > 1

33) 7x < 3x 434) 9 5x 5 + 3x35) x 7 3x 5 2x36) 12x > 5x 437) 4x2 4x 3 < 038) 3x2 4x+ 1 > 039) 8x2 + 53x 21 > 040) x2 3x 441) 3x2 + 10x+ 3 042) x2 x 1 043) x3 + 4x2 + x 6 0

44) x3 37x+ 84 < 045) x+ 7

x 5 > 0

46) x 1x

0

47) x2 8x+ 15x 2 < 0

48) 3x+ 2x2 + 4x 5 > 0

49) x+ 12 x 059) 1

1 4x2x

< 3

60)

2 +3 + x 0.

4. Se debe construir un corral rectangular para animales, se usar una pared como uno de los cuatro lados.El pie de cerca para los otros tres lados cuesta $ 5 000 y debe gastar $ 1 000 por cada pie de pinturapara la parte de la pared que forma el cuarto lado del corral. Se tienen $ 180 000 para dicho trabajo.Cules dimensiones maximizan el rea del corral que se debe construir?

5. a) Se sabe que la relacin entre la temperatura en grados Celsius y la temperatura en grados Fahren-heit es lineal y que al nivel del mar, el agua se congela a 32F (0C) y hierve a 212F (100C).Determine una ecuacin lineal que relacione dichas temperaturas y sela para determinar quetemperatura Fahrenheit corresponde a 30C.

b) Se corta un borde de ancho uniforme de un pedazo de tela rectangular. El pedazo de tela resultantees de 20 por 30 cm. Si el rea original era el doble de la actual, halle el ancho del borde que secort.

6. En la figura se muestra la grfica de una funcin y = f (x), cuyo dominio es [0, 4]. Graficar la ecuacindada.

x

yy = f(x) a) y = f (x+ 3).

b) y = f (x 2).c) y = f (x) 3.d ) y = f (x) + 2.e) y = 1

3f (x).

f ) y = 2f (x).g) y = f (3x).h) y = 2 f (x+ 4).i) y = f (x 3) 2.j) y = f

(1

2x

).

Recopilacin de material complementario: talleres y exmenes (propuestos y algunos resueltos); DEGR-GAD, marzo/2014. 4

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Industrial de

Santander


Clculo I Taller EComposicin e inversasProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:1. Considere las grficas de las funciones f(x), g(x) y h(x).

y

x

f(x)

b

b

bc

bc

bc

y

x

g(x)

b

b

bc

y

x0 1

1h(x)

a) Determine el dominio y el recorrido de las funciones f , g y h.b) Halle f(1), g(2), (f + g)(0), (f g)(4), (g f)(4), (f f)(1) y (g g)(2).c) Determine los siguientes conjuntos:

[f ]1 = {x Dom(f) | f(x) 1} y [g]0 = {x Dom(g) | g(x) 0}.d ) Halle los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las funciones.

2. Considere las funciones f(x) = 1x2 1 y g(x) =

x+ 4. Determine las funciones compuestas f g,

g f , f f y g g si existe, indicando su dominio.3. Verifique si la funcin dada es invertible y si lo es encuentre su inversa:

a) f (x) = x1 + x

.b) g(x) = 4x+ 3.

4. Demuestre o refute: la funcin f(x) = x+ 1x 1 es su propia inversa.

5. Considere la grfica de la funcin h(x) dada en el primer item. sela para trazar la grfica de las fun-ciones:

a) y = h(x2

) 1. b) y = h1(x). c) y = h1(x 2).

6. A partir de la grfica de la funcin seno, grafique detalladamente f(x) = 3 sen(x

2

)+ 1.

7. En la teora de la relatividad, la masa de una partcula con rapidez v es m = f (v) =

m20c2

c2 v2 donde m0es la masa en reposo de la partcula y c es a rapidez de la luz en el vaco. Encuentre la funcin inversade f y explique su significado.

8. Se sabe que en condiciones ideales cierta poblacin de bacterias se triplica cada hora. Suponga que alprincipio hay 1000 bacterias.

a) Establezca una expresin para la poblacin de bacterias despus de t horas.b) Cundo la poblacin alcanzar 80000 bacterias?

9. El crecimiento de una colonia de abejas en funcin del tiempo t, en das, est determinado por laecuacin

P (t) =200 000

1 + 49et/10.

a) Cuntas abejas haba inicialmente?b) Encuentre la inversa de la funcin P (t) y explique su significado.c) En cunto tiempo habr una colonia de 100 000 abejas?


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Clculo I Taller FRepaso de funcionesProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Encuentre el dominio y el recorrido de las si-guientes funciones:

a) f (x) = x2 + 1

3x+ 2.

b) g (x) = 25 x2.c) h (x) = ln (2x 3) .

d ) F (x) =

5, si 3 < x 2,cos x, si 3 < x < 5,2x+ 1, si 7 < x 12.

2. El costo mensual de conducir un automvil de-pende del nmero de kilmetros que se recor-ren. Manuel encontr que en el mes de juliorecorrer 800 kilmetros le costo 160 000 pesosy en el mes de agosto le cost 135 000 pesosrecorrer 600 kilmetros.

a) Exprese el costo mensual como funcin dela distancia recorrida, suponiendo que lacorrespondencia es lineal. Trace la grficacorrespondiente.

b) Cul es la pendiente de la grfica y qurepresenta?

c) Cul es la interseccin y de la grfica yque representa?

3. Un barco se mueve con una rapidez de 30 Km/hparalelo al borde recto de la playa. El barco es-t a 6 Km de la playa y pasa frente a un faro almedio da.

a) Exprese la distancia s entre el faro y el bar-co como una funcin de d, la distancia queel barco recorre desde el medio da; es de-cir, hallar f de modo que s = f(d).

b) Exprese a d como una funcin de t, el tiem-po transcurrido desde el medio da; es de-cir, hallar g de tal manera que d = g(t).

c) Hallar f g. Qu representa esta funcin?4. Resuelva para x

a) 2 ln(x) = 1. b) e2x+3 7 = 0.

5. Un cultivo de bacterias inicia con 1000 bacteriasy duplica su tamao cada media hora.

a) Cuntas bacterias existen despus de 3horas?

b) Cuntas bacterias existen despus de thoras?

c) Cuntas bacterias existen despus de 40minutos?

d ) Estime el tiempo para que la poblacin al-cance 100000 bacterias.

6. El crecimiento de una colonia de abejas en fun-cin del tiempo t, en das, est determinado porla ecuacin

P (t) =150 000

1 + 49et/10.

a) Cuntas abejas haba inicialmente?b) Encuentre la inversa de la funcin P (t) y

explique su significado.c) En cunto tiempo habr una colonia de

100 000 abejas?7. Determine si la proposicin es verdadera o fal-

sa. Si es verdadera, explque por qu. Si es fal-sa, explque por qu o d un ejemplo que refutela proposicin.

a) Si f es una funcin, entonces f (s+ t) =f (s) + f (t) .

b) Si f y g son funciones, entonces(g f) (x) = (f g) (x) .

c) tan1 x = sen1 x

cos1 x.

d ) Si f es una funcin uno a uno, entoncesf1 (x) =

1

f (x).

e) f (x) = x3 x7 es una funcin par.


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Clculo I Taller GLmite y continuidad (a)Prof. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Determinar el valor de los siguientes lmites, si existen:

(1) lmx2

8 x3x2 2x

(2) lmx

3x2 2x+ 32x2 + x 4

(3) lmx1

x3 1|x 1|

(4) lmx

cos 2x

x

(5) lmx

(x2 + 1 x

)(6) lm

x23

(x 2)2

(7) lmx3

[|x|] x3 x

(8) lmxpi/2

(2 senx cosx cot x)

(9) lmx

(2 1

x+

4

x2

)

(10) lmn

1 + 2 + 3 + + nn2

(11) lmx

x2 + x 12x+ 5

(12) lmx0

4x3 2x2 + x3x2 + 2x

(13) lmx0

x+ 1 1

x

(14) lmxa

ma mxx a

(15) lmx

(x2 + 1x2 1

)

(16) lmx2

8 x3x2 2x

(17) lmx0

senx

tan x

(18) lmt1

(1 t) tan(2t)

(19) lmx0

sen(a+ x) sen(a x)x

(20) lmx

(x

1 + x

)x

(21) lmx

x2 + 1

x+ 1

(22) lmx0

sen 4x

x

(23) lmx0

x1 cos x

(24) lmupi/3

1 2 cos usen(u pi3 )

(25) lmxx [ln (x+ 1) lnx]

(26) lmt

ln(1 + et)

t

(27) lmx0

sen ax

sen bx

(28) lmx

ax 1x

, a > 1

(29) lmx

eax ebxx

, a > b > 0

(30) lmx

eax ebxx

, b > a > 0

(31) lmx

eax ebxx

, a < b < 0

(32) lmx

eax ebxx

, b < a < 0

(33) lmx

eax ebxx

, a < 0 < b

(34) lmx

x

x+x+

x

(35) lmx1

(x 1x2 1

)x+1

(36) lmx8

1 x 32 + 3

x

(37) lmx0

x+ x2

|x|(38) lm

x0sen (x 1)x(x 1)3

(39) lmx0

csc x

(40) lmx0+

tan 2x

cot(pi4 x)(41) lm

xx(

x2 + 1 x)

(42) lmx

x2 + 1

x+ 1.

(43) lmx

|x||x|+ 1 .

(44) lm0

sen(2)

+ sen .

(45) lmx1

x2 + 2x 3x2 3x+ 2 .

(46) lmx5+

x2 + 3x 10x+ 5

.

(47) lm0

2

sen .

(48) lmx1

x+ 1

x2 x 2 .

(49) lmx1+

1 x|1 x| .

(50) lm0

sec 2 tan 2

.

(51) lmx

x25 + x

x10 (2x15 + ).

(52) lmh0

1

h

(11 + h

1)

.

(53) lm0

1 1 1 .

(54) lmx1

x+ 1

x2 x 2 .

(55) lmx2+

x2 + 3x 10x+ 5

.

(56) lmx0+

e2x(cos x+ 2 sen x).

(57) lmx0+

ex(cos 2x+ sen 2x).


2. a) Trace la grfica de la siguiente funcin y sela para determinar los valores de a para los cuales NOexiste lm

xa f (x) si:

f (x) =

{2 x si x < 1,x si 1 x < 1,

(x 1)2 si x 1.b) Trace la grfica de un ejemplo de una funcin f que cumpla con la siguiente condiciones:

dom { f } = [4, 5], lmx3+

f (x) = 4, lmx3

f (x) = 2, lmx2

f (x) = 3, f (3) = 3, f (2) = 1.

3. De acuerdo con la grfica de la funcin f (x) responda justificando claramente su afirmacin.a) lm

x3f (x), lm

x0f (x),

lmx2

f (x), lmx4

f (x).

b) Indique los puntos donde la funcines discontinua y que clase de dis-continuidad presenta.

c) Escriba las ecuaciones de las asn-totas verticales y horizontales (si lashay).

d ) Se puede aplicar el teorema delvalor intermedio en el intervalo[4,3]?

1

2

3

4

1234

1 2 3 4 5 6 7 8 9123456

y = f(x)


x2f (x), lm

x2f (x), lm

x3f (x).

b) Indique los puntos donde la funcin esdiscontinua y que clase de discontinuidadpresenta.

c) Escriba las ecuaciones de las asntotasverticales y horizontales (si las hay).

d ) Se puede aplicar el teorema del valorintermedio en el intervalo [2, 2]?

1

2

3

4

123

1 2 3 4 512345

y = f(x)


x2f (x), lm

x0f (x), lm

x2f (x).

b) Indique los puntos donde la funcin esdiscontinua.

c) En que punto o puntos la funcin tienediscontinuidad removible.

d ) Escriba las ecuaciones de las asntotasverticales y horizontales (si las hay).

e) Se puede aplicar el teorema del valor in-termedio en el intervalo [1, 2].

1

2

3

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 81234567 x

yy = f(x)


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Santander


Clculo I Taller HLmite y continuidad (b)Prof. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Para cada una de las siguientes funciones, determine el valor o los valores de la constante k, que hacenque la funcin sea continua para los valores de x dados.

a) g (x) ={

kx2 + 2x, x 1,8x k2, x > 1, x = 1. b) g (x) =

{(kx)2 kx+ 1, x < 1,

3x 2, x 1, x = 1.

c) g (x) =k cosx, x < 1,x2 k, 1 x < 2,5 kx, x 2,

x = 1 y x = 2. d) g (x) =k cos x, x < 0,x2 + k, 0 x < 2,3kx 1, x 2,

x = 0 y x = 2.

2. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que x5 + x = 1 tiene una solucin en [1, 1].3. Determine si la afirmacin dada es falsa o verdadera. Si es verdadera, explique por qu. Si es falso,

explique por qu o de un contraejemplo de lo establecido.a) Si f(1) = 1 y f(2) > 0, entonces existe un nmero c (1, 2) tal que f(c) = 0.b) Si f(x) es continua en 3 y f(3) = 4 y f(4) = 2 entonces lm

x52f(2x 6) = 4.

c) Si f (x) y g (x) son dos funciones discontinuas en x = a, entonces f (x)g (x) es tambin discontinuaen x = a.

d ) Si lmxa f (x) = 0 y lmxa g (x) = 0, entonces lmxa [f(x) g (x)] es cero.

e) Si lmxa f (x) = 0 y lmxa g (x) = 0, entonces lmxa [f(x)/g (x)] no existe.

4. Determine lmh0

f (x+ h) f (x)h

, para cada una de la siguientes funciones

a) f(x) = x+ 1x 1 .

b) f(x) = 2x+ 1.c) f(x) = x 1

x+ 2.

d ) f(x) = ax2 + bx+ c.e) f (x) = senx.f ) f (x) = cos x.

5. Considere la funcin

g (x) =

x si x < 0,4 x2 si 0 x < 2,(x 4)2 si x > 2.

a) Evale cada lmite, si existe.

(i) lmx0+

g(x). (ii) lmx0

g(x). (iii) lmx0

g(x).

(iv) lmx2+

g(x). (v) lmx2

g(x). (vi) lmx2

g(x).

b) Dnde es discontinua g? c) Trace la grfica de g.6. Utilice inicialmente una calculadora para determinar el comportamiento de cada expresin cuando x se

acerca cada vez ms al valor indicado. Si tal comportamiento sugiere la existencia del lmite, corrobrelopor manipulacin algebraica. Si no lo sugiere, justifique la no existencia.

a) lmx0+

x

4 +x 2

b) lmx2

|x 2|x 2


7. Utilizando una calculadora, determine el comportamiento de la expresin

f(y) =1

y 1|y|

1 3y,

cuando y toma valores prximos a 0,

a) por la derecha, b) por la izquierda.

Existe lmy0+

f(y)? Existe lmy0

f(y)? Existe lmy0

f(y)?

8. Halle lmxa f(x), para el a indicado, si

a) f(x) =

1

2 3x, x < 3,3x+ 2, x 3,

a = 3. b) f(x) =

x 1x 1 , 0 x < 1,x2 xx2 1 , x > 1,

a = 1.

9. Encuentre las asntotas verticales de las grficas de las funciones indicadas:

a) f(x) = x+ 2x2 1 .

b) f(x) = x2 + 1

x+ 1.

c) f(x) = 2xx 3 .

d ) f(x) = x2 x 2

x4 5x2 + 4 .

10. Considere la grfica de la funcin f(x).

1

2

11 2 312

bc

b

Funcin definida en [1, 3]

Cules de las afirmaciones siguientes acerca dela funcin f(x) son verdaderas?

a) lmx1+

f(x) = 1.

b) lmx2

f(x) = 2.

c) lmx1+

f(x) = 1.

d ) lmx1

f(x) no existe.

e) lmx0+

f(x) = lmx0

f(x).

f ) lmxc f(x) existe para todo c entre 1 y 3.

11. Evale el lmite, si existe.

a) lmx0

f(x), si f(x) ={x2, x < 01 + x, x > 0

b) lmh0

1

h

(11 + h

1)

.

c) lmx0

x

1 +

1

x2

d ) lmx0+

x

1 +

1

x2.

12. Trace la grfica de un ejemplo de una funcin f que cumpla con la siguiente condiciones:dom { f } = [4, 5], lm

x3+f (x) = 4, lm

x3f (x) = 2, lm

x2f (x) = 3, f (3) = 3, f (2) = 1.


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Industrial de

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Clculo I Taller IFunciones, lmites y continuidadProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Halle lmxa f(x), para el valor a indicado, si

a) f(x) =

1

2 3x, x < 3,a = 3;

3x+ 2, x 3,

b) f(x) =

x 1x 1 , 0 x < 1,

a = 1.x2 xx2 1 , x > 1,

2. Encuentre las asntotas verticales y horizontales de las grficas de las funciones indicadas:

a) f(x) = x+ 2x2 4 . b) f(x) =

x2 + 1

x3 x.c) f(x) = 2x

x 3 .

3. Determine los valores de la constante a, para que la funcin

f(x) =

{ax2 + 2x, x 1,8x a2, x > 1,

sea continua en x = 1.4. Sea f(x) = x3 5x2 + 7x 9. Demuestre que existe un nmero real a, tal que f(a) = 0.5. D un ejemplo de una funcin f tal que

a) f es continua en (a, b), f(a)f(b) < 0 y no existe c (a, b) tal que f(c) = 0.b) f est definida en [a, b], es discontinua en x0 (a, b), f(a)f(b) < 0 y no existe c (a, b) tal que

f(c) = 0.

6. Diga si las siguientes funciones son continuas en x = p. Justifique su respuesta usando la definicin decontinuidad.

a) f(x) =

x2, si x Q,

0, si x Q,en x = 0. b) f(x) =

x2 1x 1 , si x 6= 1,2,001, si x = 1,

en x = 1.

7. D un ejemplo de una funcin en cada caso:a) lm

xa f(x) no existe.b) lm

xa f(x) existe, f(a) existe y lmxa f(x) 6= f(a).

8. Considere f(x) = x|x| . Muestre que existen lmx0+ f(x) y lmx0 f(x). Es f continua en x = 0.

9. Sea f(x) ={

senx x < kx+ 2 x Halle el valor de k tal que f sea continua en x = .

10. Escriba cuidadosamente el teorema del valor intermedio (TVI).a) Sea f(x) = tanx. Halle f(/4) y f(3/4). Muestre que no existe c [/4, 3/4] tal que f(c) = 0.

Contradice esto el TVI?b) Compruebe el TVI para f(x) = x3 + 4x2 2x con x [0, 2]


11. Dadas las funciones f y g, y sus grficas. selas para evaluar cada lmite, si existe. Si el lmite no existe,explique por qu.

f (x) =

x2 + 2x, x 1x, 1 < x < 21, x = 2

4 x, 2 < xg (x) =

2(1 x2) , x 0

1 14x2, 0 < x

a) lmx2

[f (x) + g (x)] .

b) lmx1

[f (x) + g (x)] .

c) lmx0

[f (x) g (x)] .

d ) lmx1

f (x)

g (x).

e) lmx2

x3f (x) .

f ) lmx1

3 + f (x).

() Determine si existen valores de x en el dominio de (f g) (x) en los cuales el lmite no exista.12. Determine si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F), justificando su respuesta.

a) La ecuacin x3 5 = 0 tiene una solucin en el intervalo [1, 2].b) Sea f (x) =

{cx+ 1, si x 3cx2 1 si x > 3 . El valor c = 0 hace que la funcin f sea continua.

c) lmx0+

x esen(pi/x) = 0. d ) El lm

x99 x3x no existe.

13. Evale los siguientes lmites si existen:

a) lmx1

2x2 3x+ 1x+ 1

.

b) lmx7+

|x 7|7 x .

c) lmh0

11 h2h2

.

d ) lmx0

sen 3x

senx.

e) lmx

5x3 + 2x2 3(x+ 1) (x2 4) .

f ) lmx

cos x

x.

g) lmx1

3x+ cos x

x+ senx.

h) lmx0

tan x senx1 cos x ,

i) lmx0

2x

|x| x,

j) lmx2

4 x2

k) lmx0

14 + x

12

x,

l) lmx0

senx x tanxx

,

m) lmx3

[[x2

]],

n) lmx7

7 x|x 7| + 2.

14. Teniendo en cuenta la grfica de la funcin f (x), deter-mine si la afirmacin dada es verdadera o falsa (justifiquesu respuesta):

a) f (x) tiene una discontinuidad removible en x = 3.b) lm

x1f (x) =.

c) El lmx3

f (x) no existe.

d ) f (x) es continua en el intervalo (1, 2] .e) lm

x f (x) = 0.

bc

b


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Industrial de

Santander


Clculo I Taller JSobre la nocin de derivadaProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Haga la grfica de la funcin f (x) = x2 + 1.

2. Ubique los puntos (1, 2) y (3, 10)

3. Encuentre la ecuacin de la recta secante a la curva y = f (x), que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 10).

4. Trace nuevamente la curva y = f (x) y ubique los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), con a < b.

5. Encuentre la ecuacin de la recta secante a la curva y = f (x), que pasa por los puntos (a, f(a)) y(b, f(b)) .

6. Si denotamos como x = b a obtenemos que b = x+ a, y denotamos, y = f (b) f (a), entoncesy = f (a+x, a) f (a), obtenemos que la pendiente de la recta secante a la curva es

m =y

x=

f (a+x, a) f (a)b a = 2a+x.

7. Qu pasa con la recta secante cuando (b, f(b)) esta cada vez ms cerca del punto(a, f(a)) ?8. Qu pasa con la pendiente de la recta secante cuando (b, f(b)) esta cada vez ms cerca del punto(a, f(a)),

es decir, cuando x toma valores cercanos a cero?9. Si usted no desea encontrar la ecuacin de la recta secante a la curva, sino la ecuacin a la recta

tangente a la curva en el punto (a, f(a)), que procedimiento hara para encontrarla? Qu puede deciracerca de la pendiente de la recta tangente?

10. Repita el procedimiento para encontrar la ecuacin de la recta tangente a la curva, tomando el punto(1, 2), y despus para el punto (3, 10)

11. Para una curva cualquiera y = f (x), cual sera la ecuacin que representa la pendiente de la rectatangente a la curva en un punto (a, f(a))?


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Clculo I Taller KDerivadas de funcionesProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Sea s = f (t) la ecuacin de una curva de posicin de una partcula en movimiento rectilneo quedepende del tiempo, donde s est en metros y t en segundos. Suponga que s = 1 cuando t = 2 yque la velocidad instantnea de la partcula en ese instante es 3 m/s. Determine la ecuacin de la rectatangente a la curva de posicn cuando el tiempo t = 2.

2. Suponga que y = x2 x.a) La razn de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo 2 x 5 es?b) La razn de cambio instantnea de y con respecto a x en x = 0 es?

3. Se deja caer una roca desde una altura de 784 pies y cae hacia la Tierra en lnea recta. La posicin dela roca en funcin del tiempo t, en segundo, es dada por s = 784 16t2 pies.

a) Cunto segundos demora en caer al piso?b) Cul es la velocidad promedio de la roca durante el tiempo que demora en caer?c) Cul es la velocidad promedio de la roca durante los primeros 2 segundos?d ) Cul es la velocidad instantnea de la roca durante cuando toca el piso?

4. Dibuje la grfica de una funcin f para la cual f (0) = 1, f (0) = 0, f (x) < 0 si x < 0 y f (x) > 0 six > 0.

5. Utilice la definicin de derivada para encontrar f (x) y despus determine la recta tangente a la grficade y = f (x) en x = a.

a) f (x) = x2; a = 1. b) f (x) = 2x+ 1; a = 4. c) f (x) = x2 + x; a = 1.

6. Demuestre quef (x) =

{x2 + 1, x 1,

2, x > 1,

es continua pero que no es derivable en x = 1. Trace la grfica de f .7. Considere la funcin

f (x) =

x

2 sen

(1

x

), x 6= 0,

0, x = 0.

a) Es f continua en (,)? b) Es f diferenciable en (,)?

8. Encuentre una ecuacin de la recta tangente a la grfica de y = f (x) en x = 3, si f (3) = 2 yf (3) = 5.

9. Demuestre que y = x3 + 3x+ 1 satisface la ecuacin diferencial y + xy 2y = 0.

10. Deduzca la frmula para encontrar dnf

dxnsi

a) f (x) = 1x2

.

b) f (x) = cos x. c) f (x) = 1x

.

d ) f (x) = senx.


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Industrial de

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Clculo I Taller KDerivadas de funcionesProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

11. Sea g (x) = x5 + 3x 5; encuentrelmx1

g (x) g (1)x 1 .

12. En cada caso determine h (3) dado que f (3) = 1, f (3) = 4, g (3) = 1, y g (3) = 5.a) h (x) = 3f (x) + 7g (x).b) h (x) = 2f (x) 5g (x).

c) h (x) = f (x) g (x);d ) h (x) = f (x) /g (x).

e) h (x) = 3x4 2g (x) .f ) h (x) = (2x2 + 1) /f (x) .

13. Determine todos los valores de x en los cuales la recta tangente a la curva y = x2 1x+ 2

es horizontal.

14. Determine todos los valores de x en los cuales la recta tangente a la curva y = x2 + 1

x+ 1es paralela a la

recta y = x.

15. Sea f (x) = 3x2 y g (x) = 1 + senx. Encuentre:

a) (f g) (x) y (f g) (x). b) (g f) (x) y (g f) (x).

16. Para cada una de las siguiente funciones, encuentre una ecuacin para la recta tangente en el valorespecificado de x.

a) f (x) = cos(x

2

)cuando x = 3pi2 .

b) f (x) =(x2 +

1

x2

)3cuando x = 1.

c) f (x) = tan(x4

4

)cuando x = 4.

d ) f (x) = x3x2 + x3

x+ 1cuando x = 2.

17. Encuentre todos los valores de x para los cuales la recta tangente a la curva y = 3x tan x es paralelaa la recta y + 1 = x.

18. Encuentre dydx

si

a) y = ln x3 7x2 3.b) y = ln

x+ 11 x.

c) y = ln (lnx).d ) y = ln

x2 + 11 + lnx

.

e) y = arctan(sec2 7x)).23

f ) y =[x2 +

(2 + 3x4

)3/2]2/3.

g) f(x) =(xcos

2 x)senx.

h) y = cossen (tan x).i) y = cos1 + sen (arctan x).


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Clculo I Taller LDerivadas de funciones (b)Prof. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. El movimiento de un resorte que se somete auna fuerza de friccin o una fuerza amortiguado-ra (como un amortiguador en un automvil)se modela a menudo mediante el producto deuna funcin exponencial y una funcin seno ocoseno. Suponga que la ecuacin del movimien-to de un punto sobre tal resorte es

s (t) = 2e1,5t sen 2t

donde s se mide en centmetros y t en segundos

a) Halle la velocidad despus que transcurrent segundos.

b) Cules son la posicin inicial y la veloci-dad inicial de dicho punto del resorte?

2. En la Figura A se muestra la grfica de la funcinf . Enuncie, con razones, los nmeros en que fno es diferenciable.

Figura A.

3. Considere la funcin

f (x) =

x2 1x+ 1

, x < 0, x 6= 1,2, x = 1,senx

x, x 0.

Analice la continuidad de la funcin f (x) cuandox = 0 y x = 1.

4. Determine las ecuaciones de la recta tangentey la recta normal a la curva y = ln

(xex

2)

, en elpunto (1, 1).

5. La ecuacin x2 xy + y2 = 3 representa unaelipse girada; es decir, una elipse cuyos ejesno son paralelos a los ejes de coordenadas (verFigura B). Encuentre los puntos en que estaelipse cruza el eje x y demuestre que las rec-tas tangentes en estos puntos son paralelas.

x

y

Figura B.

6. Hallar una parbola con ecuacin y = ax2 + bx+ c,que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente 8en x = 1 y pasa a travs del punto (2, 15) .

7. Si f(x) = x 1x+ 1

, encuentre f (x) utilizando ladefinicin de derivada.

8. (i) Pruebe que la ecuacin 3x = 1 x tienecuando menos una raz real en el intervalo (0, 1).(ii) Halle un intervalo de longitud 0,01 que con-tenga una raz de dicha ecuacin.

9. Encuentre dydx

, despus escriba una ecuacinpara la recta normal a la grfica de la ecuacinx2y3x5y2 = 4 en el punto (1, 2). Existen pun-tos donde la recta tangente sea horizontal?, siexisten, cules son dichos puntos?

10. Sea

g(x) =

{ 1 2x si x < 1,x2 si 1 x < 1,x si x 1.

(a) Determine en que puntos la funcin es dis-continua.(b) Determine en que puntos del dominio la fun-cin g es diferenciable.(c) Proporcione una frmula para g, y(d) trace las grficas de g y g.


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Clculo I Taller MGrficas vs. derivadasProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

A partir de la grfica responda las siguientes preguntas de seleccin mltiple. (De una justificacin de cada respuesta).

x

y

y = 10

y = f(x)

x1 x2 x5 x6

x3 x4

1. Cual afirmacin es verdadera:

a) f (x1) > 0;b) f (x3) > 0;c) f (x1) = 0;

d) f (x2) = 0;e) N. A.

2. Podemos afirmar que:a) f (0) = 0;b) f (x2) > f (x3);c) f (x1) > f (x2);d) f (x1) > f (x4);e) N. A.

3. lmx

f (x) es:

a) positivo;b) negativo;c) +;

d) ;e) 0.

4. lmx

f (x) es:

a) 0;b) ;

c) 10;d) 10;

e) N. A.

5. La afirmacin verdadera es:a) f (x) > 0, x3 x x5;b) f (x) > 0;c) f (x) es creciente entre x3 y x5;d) f (x4) = 0;e) N. A.

6. Existe un punto de inflexin para:a) x > x6;b) x entre x3 y x4;c) x < x1;d) En ninguna parte;e) N. A.

7. El mximo absoluto de la funcin f (x) en el intervalo[0,) est en x =

a) 0; b) x1; c) x4; d) x6; e) .8. El mnimo absoluto de la funcin f (x) en el intervalo

[0, x6] est en x =

a) 0; b) x1; c) x4; d) x6; e) .9. Sea f una funcin tal que f (x) = 3(x 1)2 para todo

x R. Determine la afirmacin verdadera:a) sobre el intervalo [0, 2] la f alcanza su valor mxi-

mo en en x = 1.b) f alcanza su valor mnimo en [0, 2] en x = 1.c) f alcanza su valor mximo en [0, 2] en x = 2.d) f alcanza su valor mximo en [0, 2] en x = 0.e) f no tiene puntos crticos en [0, 2].

10. Determine si la afirmacin dada es verdadera o falsa(justifique claramente su afirmacin).

a) ddx

(3

1 + x3) =

x2

( 31 + x3)2

.

b) Si y = f(x) satisface la ecuacinx2y + 3xy2 5xy = 0

entonces

dy

dx= 2xy + 3y

2 5yx2 + 6xy 5x .

c) Si f(x) = x2 + 1

x2 4 entonces

f (x) =10(3x2 + 4)

(x2 4)3 .

d) ddt

(f(t)) =

1

2f(t)

.


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Clculo I Taller NMs sobre derivadasProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Utilice la definicin de la derivada para encontrarf (2) si f(x) = 1

2x+ 4.

2. Escriba una ecuacin para la recta tangentey otra para la recta normal a la curva y =1 + 4 sen x en el punto (0, 1).

3. Encuentre la quinta y la n-sima derivada dey = 5(4x+1).

4. Generalice el ejercicio anterior, es decir, en-cuentre la n-sima derivada de y = a(bx+c),donde a R+ y a, b R.

5. Si h(x) =

4 + 3f(x), donde f(1) = 7 y f (1) =4, hallar h(1).

6. Halle una ecuacin de la recta tangente a la cur-va x = sen 2y en el punto (1, /4).

7. Encuentre dydx

, despus escriba una ecuacinpara la recta tangente a la grfica de la ecuacinxy3x5y2 = 4 en el punto (1, 2). Existen puntosdonde la recta tangente sea horizontal? Exis-ten puntos donde la recta tangente sea verti-cal? Si existen, cuales son dichos puntos? Ex-plique.

8. La ecuacin(x2 + y2

)2= x2y2 representa una

lemniscata. Determine los puntos de la lemnis-cata donde la tangente es horizontal y los pun-tos donde la tangente es vertical.

9. a) Si f(x) = h(g(x)) y h(2) = 55, g(1) = 2,h(2) = 1 y g(1) = 7, determine f (1).

b) Encuentre y si x7 + y7 = 1.c) Si y = (1 + u3)2 y u = (1 x2)1/2, calcule

dy

dx.

10. Trace la grfica de una funcin que cumpla lascondiciones dadas.f es impar,f (x) > 0 para 0 < x < 3,f (x) < 0 para x > 3,lmx f (x) = 2, f

(x) < 0 para 0 < x < 4 y

f (x) > 0 para x > 4.

Determine claramente los intervalos de creci-miento y decrecimiento, los intervalos de con-cavidad, las asntotas, y los mximos y mnimos.

11. Trace la grfica de una funcin continua quecumple las siguientes condiciones:f (x) = f (x), f (x) < 0 si 0 < x < 2,f (x) > 0 si x > 2, f (2) = 0, lm

x f (x) = 2,f (x) > 0 si 0 < x < 3, f (x) < 0 si x > 3.

12. Trace la grfica de una funcin que cumpla conlas siguientes condiciones:f es par, f(0) = 1,f (1) = f (3) = f (5) = 0,f (x) > 0 en (0, 1), (2, 3), (5,),f (x) < 0 en (1, 2), (3, 5),

f (x) > 0 en (4, 6),f (x) < 0 en (0, 2), (2, 4), (6,),lmx2

f (x) = y lmx f (x) = 2.

13. Esbozar la grfica de la funcin

f (x) = 3x5 + 5x3

indicando puntos crticos, valores extremos, in-tervalos de crecimiento y decrecimiento, puntosde inflexin e intervalos de concavidad.

14. Trace la grfica de f (x) = x2

x2 1 . Identifique yetiquete todos los extremos, puntos de inflexin,intersecciones con los ejes y asntotas. Muestrela estructura de concavidad, intervalos de cre-cimiento y de decrecimiento, as como el com-portamiento de la grfica en y para x cercade las discontinuidades de la funcin.

15. Esbozar la grfica de la funcin

f (x) = x1/3 (3 x)2/3

indicando puntos crticos, valores extremos, in-tervalos de crecimiento y decrecimiento, puntosde inflexin e intervalos de concavidad.

16. Demuestre que la suma de las interseccionesx y y de cualquier recta tangente a la curvax+

y =

c es igual a c.


17. Aplique sus conocimientos sobre grficas, para relacionar cada funcin con su grfica.

a) senx+ cos x.

b) x3

x2 1 .

c) x2

x2 1 .

d ) x1/3 (3 x)2/3.

e) xx2 1 .

f ) 1x2 1 .

)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

)-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

18. Determine si la proposicin es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por qu. Si es falsa, expliquepor qu o d un ejemplo que refute la proposicin.

a) Si f (c) = 0, entonces f tiene un mximo o un mnimo local en c.b) Si f es continua sobre (a, b) entonces f alcanza un valor mximo absoluto f (c) y un valor mnimo

absoluto f (d) en algunos nmeros c y d en (a, b) .c) Existe una funcin f tal que f (x) < 0, f (x) < 0 y f (x) > 0 para todo x.d ) Si f (x) existe y es diferente de cero para todo x, en tal caso f (1) 6= f (0) .e) Si f(c) es un mximo local de la funcin f entonces f (c) = 0.f ) Toda funcin de la forma f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d con a 6= 0 tiene puntos de inflexin.g) Si h(x) = (f g)(x) y g(2) = 3, f (3) = 4, f (2) = 5, g(2) = 2, entonces h(2) = 10.h) f(x) = (1 x2)1/2(3 + x2)1 satisface las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo [1, 1].i) Para la funcin f(x) = 3x5+5x3, f(1) = 2 es un mximo relativo y O(0, 0) un punto de inflexin.

19. Halle la derivada de las siguientes funciones.

a) y = 2arctan(sen x),

b) y =

1 + sen(

3x),

c) y =

x

x2 + 1,

d ) y = cot(sec 7x)).e) y =

[1 + (2 + 3x)3/2

]2/3.

f ) y = ex+3 log5(1 + 2x)g) y = (tan x)1/xh) y = x arctanx a

a2

i) y = t1 t2

j) y =

2x+ 3 si x < 0,4 si 0 x < 5,

5x2 9 si x > 5.

20. Para cada una de las siguientes ecuaciones determine dydx

.

a) x3 x2y + xy2 y3 = 6.b) x3 cos y + sen(2x2y) = x2y2.

c) x2 cos y + sen 2y = xy.d ) (xy)4 x3y + 3xy3 y4 = 2.


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Industrial de

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Clculo I Taller Aplicaciones de la derivadaProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Un globo esfrico con un radio inicial r = 5pulgadas comienza a desinflarse en el instan-te t = 0 y su radio t segundos ms tarde esr = (60 t) /12 pulgadas. A qu razn (en pul-gadas cbicas/segundo) sale el aire del globocuando t = 30?

2. El aire sale de un globo esfrico a razn cons-tante de 300 cm3/seg. Cul es el radio delglobo cuando su radio decrece a razn de 3cm/segundo?

3. Una embarcacin parte al medio da en di-reccin Norte con una velocidad de 30 km/hr.Una hora ms tarde una segunda nave sale delmismo sitio en direccin Este con rapidez de40 km/hr. Con qu rapidez se separan a la1:30 pm?

4. Al derretirse una bola de nieve con radio inicialde 12 cm, su radio decrece a una razn constan-te. Comienza a derretirse cuando t = 0 (horas)y tarda 12 horas en desaparecer.

a) Cul es la razn de cambio del volumencuando t = 6?

b) Cul es la razn de cambio promedio delvolumen de t = 3 a t = 9?

5. Un granizo esfrico pierde masa por la fusinuniforme sobre su superficie, durante su cada.En cierto instante, su radio es 2 cm, y su volu-men decrece a razn de 0,1 cm3/seg. Qu tanrpido decrece su radio en ese instante?

6. Una escalera de 41 pies de largo descansa so-bre una pared vertical, cuando comienza a res-balar. Su parte superior se desliza hacia abajosobre la pared, mientras que su parte inferior semueve sobre el piso a una velocidad constan-te de 10 pies/seg. Qu tan rpido se mueve laparte superior de la escalera cuando est a 9pies del suela?

7. Un observador sobre el piso ve un avin que seaproxima, volando a velocidad constante y a unaaltura de 20 000 pies. Desde su punto de vista,el ngulo de elevacin del avin aumenta a 0.5opor segundo, cuando el ngulo es 60o. Cules la velocidad del avin?

8. En un tanque entra agua a razn de 5 m3/min,el tanque tiene la forma de cono invertido, de al-tura 10 m, y radio de la base 10 m. Con quvelocidad sube el nivel del agua en el instanteen que la profundidad del agua es de 8 m?

R: 5/16 m/min.

9. Un depsito tiene 10 metros de longitud y susextremos son trapecios issceles con dos me-tros de altura, 2 m de base inferior y 3 m de basesuperior. Si se vierte agua en este depsito arazn de 3 m3/min. A qu velocidad sube el ni-vel de agua cuando la profundidad es de un me-tro? R: 0,12 m/min.

10. Una cmara de televisin sigue desde el sueloel despegue vertical de un cohete, que se pro-duce de acuerdo con S = 50t2, con S en pies y ten segundos. La cmara esta a 2000 pies del lu-gar de despegue; hallar la razn de cambio delngulo de elevacin de la cmara 10 segundosdespus del despegue. R: 2/29 rad/seg.

11. Una escalera de 25 pies de longitud esta apo-yada en una casa si la base de la escalera sesepara de la pared a razn de 2 pies/seg; aqu velocidad esta bajando su extremo superiorcuando la base esta a 15 pies de la pared?

R: -3/2 pies/seg.

12. Un controlador areo sita dos aviones en lamisma altitud, convergiendo en su vuelo haciaun mismo punto en ngulo recto. Uno de ellosesta a 150 millas de ese punto y vuela a 450 mi-llas por hora. El otro esta a 200 millas del puntoy vuela a 600 millas por hora. A qu ritmo variala distancia entre los dos aviones? De cuntotiempo dispone el controlador para situarlos entrayectorias distintas?

R: -750 millas/hora; 20 minutos.

13. Una persona de 6 pies de altura camina a raznde 5 pies/seg; alejndose de una farola de 15pies de altura. Cuando la persona esta a 10 piesde la farola. A qu velocidad se mueve el ex-tremo de su sombra? A qu velocidad cambiala longitud de su sobre?

R: 25/3 pies/seg; 10/3 pies/seg.

14. Un avin vuela a 6 kilmetros de altura hacia elpunto donde se encuentra un observador; convelocidad de 600 km/h. Hallar la razn de cam-bio del ngulo de elevacin cuando l es de 30o.

R: 1/2 rad/min.

15. La temperatura de un alimento colocado en unrefrigerador es T (t) = 700

t2 + 4t+ 10; t es el tiem-

po medido en horas; calcular el ritmo de cambiode la temperatura cuando t = 5 horas.

R: -3,240 grados/hora.


16. Una bola de nieve esfrica se forma de ma-nera que su volumen aumenta a razn de 8pies3/min; hallar la razn a la cual aumenta elradio cuando la bola tiene 4 pies de dimetro.

R: 1/2 pies/min.17. Un auto que viaja a 30 m/seg se acerca a una

interseccin. Cuando el auto esta a 120 metrosde la interseccin, un camin que va a 40 m/segcruza la interseccin. El auto y el camin es-tn en carreteras que forman ngulos rectos en-tree s. Con qu rpidez se separan 2 segun-dos despus que el camin pas por la intersec-cin? R: 14 m/seg

18. Un avin que vuela a una altura de 25000 piestiene una falla en el indicador de la velocidaddel aire. Para determinar su velocidad, el pilotove un punto fijo en el piso. En el momento enque el ngulo de depresin (desde la horizontal)de su lnea de visin es 65o, observa que estengulo aumenta a razn de 1,5o por segundo.Cul es la rapidez del avin? (Ver Figura A).

piso

x

25000 pies

Figura A.19. Una lata de aceite debe tener un volumen de

1000 pulgadas cbicas y la forma de un cilindrocon fondo plano pero cubierto por una semies-fera. Desprecie el espesor del material de la la-ta y determine las dimensiones que minimizarnla cantidad de material necesario para fabricarla(ver Figura B).

h

r

A = 2pir2

Figura B.

20. Suponga que va a fabricar una caja rectangu-lar con una base cuadrada, con dos materialesdistintos. El material de la tapa y los cuatro la-dos de la caja cuesta $100 por pie cuadrado; elmaterial de la base cuesta $200 por pie cuadra-do. Determine las dimensiones de la caja con elmximo volumen posible, si se le permite gastar$14400 para el material.

21. Usted debe fabricar una lata cilndrica con fon-do pero sin tapa, a partir de 300 pulgadascuadradas de una hoja metlica. No debe des-perdiciarse la hoja de metal; se le permite or-denar una pieza circular de cualquier tamaopara labase y cualquier pieza rectangular ade-cuada para formar su lado curvo, siempre quese cumplan las restricciones. Cul es el volu-men mximo posible de dicha lata?

22. Si se cuenta con 12000 cm2 de material para ha-cer una caja con base cuadrada y la parte supe-rior abierta, encuentre el volumen mximo posi-ble de la caja.

23. Un modelo aplicado para el rendimiento R deun cultivo agrcola como una funcin del nivelde nitrgeno N en el suelo (que se mide en lasunidades apropiadas) es

R =2N

1 +N +N2,

donde es una constante. Qu nivel denitrgeno proporciona el mejor rendimiento?Qu pasa con el rendimiento cuando el nivelde nitrgeno es muy grande? Es cierto que lamayor razn de crecimiento se obtiene cuandoN = 1/2?

24. Encuentre los intervalos sobre los cuales f(x) =2x3 + 3x2 36x es:

a) creciente,b) decreciente,c) cncava hacia abajo,d ) cncava hacia arriba.

25. Verifique que se satisfacen las condiciones de la regla de LHpital para encontrar los siguientes lmites.

a) lmx0

cos(ax) cos(bx)x2

b) lmx0+

e1/x

x;

c) lmx0

ex ex1 x ln (e x) ;

d ) lmx0

2x+ ex exx senx ;

e) lmx0

e (1 + x)1/xx

;

f ) lmx0+

xr lnx, r > 0;

g) lmx

lnx

xr, r > 0;

h) lmx

xr

ax, a > 1 y r > 0;

i) lmx0

(1

x2 cot2 x

);

j) lmx

(arctan x

2

);

k) lmx0

(senxx

)1/(1cos x);

l) lmx0+

(tan(2x))x;

m) lmx0

(1

1 cos x)x/ senx

;

n) lmx0+

(1 + tanx)1/x;

) lmx0

(1 + tanx)1/x;

o) lmx0

(1 + senx)1/x;

p) lmx (1 + 2

x) ln

(1 +

3

x

).


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Industrial de

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Clculo I Taller OAplicaciones de la derivada:Grfica de funcionesProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Si f(x) = x3 + 3ax + 5 demostrar que si a > 0,f no tiene extremos relativos; si a < 0, f tieneun mximo relativo y un mnimo relativo.

2. Hallar un polinomio cbico con un mximo rela-tivo en (3, 3); un mnimo realtivo en (5, 1) y unpunto de inflexin en (4, 2).

R: p(x) = x3/2 6x2 + 45x/2 24.3. Graficar cada una de las siguientes funciones,

dando extremos relativos, puntos de inflexin,anlisis de concavidad, asntotas, etc.

a) f(x) = 3x5 + 5x3.b) f(x) = x

2 + 1

x2 1 .c) f(x) = xx+ 3.d ) f(x) = x senx; 0 x 4.e) f(x) = x

x2 + 2.

f ) f(x) = 2x5/3 5x4/3.g) 1

x 2 3.h) y = 3x2/3 2x.i) f(x) = x4 4x3 + 16x 16.j) f(x) = |2x 3|.

4. Esbozar la grfica de una funcin f tal que:f(2) = f(4) = 0; f (x) < 0 si x < 3; f (3), no es-ta definida; f (x) > 0 si x > 3; f (x) < 0, x 6= 3.

5. Qu dimensiones debe tener un rectngulo de100 metros de permetro para que su rea seamxima? R: largo igual a ancho igual 25 m.

6. Un granjero dispone de 200 metros de vallapara delimitar dos corrales adyacentes rectan-gulares. Qu dimensiones debe elegir paraque el rea encerrada sea mxima?

R: b = 25m y h = 100/3m.

7. Se desea hacer una caja abierta con una piezacuadrada de material de 12 decmetros de lado,cortando cuadrados iguales de cada esquina ydoblando, hallar el mximo volumen que puedelograrse. R: 128 dm3.

8. Se forman tringulos rectngulos en el primercuadrante, limitados por los ejes coordenados, ypor una recta que pasa por (2, 3) hallar los vr-tices del tringulo de rea mnima.

R: (0, 0), (4, 0) y (0, 6).

9. Hallar el punto de la grfica y = x que distamenos del punto (4, 0). R:

(7/2,

7/2

).

10. Hallar el volumen mximo de un cono circularrecto inscrito en una esfera de radio R.

R: 32R3/81.

11. Un tanque esta formado por un cilindro circularrecto con dos semiesferas en sus extremos, elvolumen es de 12 pies cbicos, hallar el radiodel cilindro que minimiza el rea del tanque.

R: 3

9/ pul.

12. Con 10 pies de alambre se forman un crcu-lo y un tringulo issceles rectngulo. Cuntoalambre hay que emplear en el crculo para queel rea total encerrada por ambos sea:a) Mnima b) Mxima.

R: a) 10/( + 3 + 22) b) 10 pies.

13. Una central productora de energa esta al ladode un rio de media milla de ancho, y una fbricaesta 6 millas abajo al otro lado del rio. El tendi-do de lneas de conduccin energtica cuesta 6dlares/milla en tierra y 8 dlares/milla en agua.Hallar el trazado del tendido ms econmicodesde la central a un punto situado al otro ladodel rio. R: 3/(2

7) millas aguas abajo.

14. La base de un tringulo esta en el eje x, un ladoesta sobre la recta y = 3x, y el tercer lado pasapor (1, 1). Cul es la pendiente del tercer ladosi el rea del tringulo ha de ser mnima?

R: 3.

15. Hallar la longitud de la varilla ms larga quese puede transportar horizontalmente en la es-quina que une un corredor de 6 metros de anchocon otro de 4 metros de ancho?

R: 4(1 + 34)3/2 m.

16. Un faro se encuentra ubicado en un punto A,situado a 4 kilmetros del punto ms cercano ode una costa recta. En un punto B, tambin enla costa y a 4 km de O hay una tienda. Si elguardafaros puede remar a 4 km/h, y caminara 5 km/h. Qu camino debe seguir para llegardel faro a la tienda en el menor tiempo posible?


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Clculo I Taller PTaller suplementarioProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Trace la grfica de la funcin

f(x) =

{ 1 si x 5,25 x2 si 5 < x < 5,x 5 si x 5.

2. Sea f(x) = 2x 1x+ 1

y g(x) = 1x 1 .

a) Determine f(g(x)).b) El dominio natural de la funcin

h(x) =3 xx

es el mismo que el dominio de f g?Explique su respuesta.

3. Encuentre f1, si existe la inversa:

a) f(x) = 8x3 1b) f(x) = x2 2x+ 1c) f(x) = x+ 2

x 14. Encuentre los lmites:

a) lmx1

x3 x2x 1

b) lmx2

x+ 2

x 2

c) lmx0

x2 + 4 2

x2

d ) lmx

(2x 1)5(3x2 + 2x 7) (x3 9x)

e) lmx0

sen 3x

tan 3x

f ) lmx(pi/2)+

etan x

g) lmx0

ln (sen 2x) ln (tanx)

h) lmx

(1 + 3x

)xi) lm

x2f(x), si

f(x) =

3, si x < 0,x+ 1, si 0 x < 2,x+ 1

x 3 , si x > 2.

5. Use la definicin formal de los lmites para de-mostrar que lm

x3/24x2 92x 3 = 6.

6. Suponga que

f(x) =

{x4 + 3, si x 2,x2 + 9, si x > 2.

f es continua en todas partes? Justifique surespuesta.

7. Demuestre que la ecuacin x4+5x3+5x1 = 0tiene al menos dos soluciones reales en el inter-valo [6, 2] .

8. Suponga que f es continua en el intervalo [0, 1],que f(0) = 2 y que f no tiene ceros en el in-tervalo. Demuestre que f(x) > 0 para toda x en[0, 1] .

9. Suponga que

f(x) =

{x2 1, si x 1,k(x 1), si x > 1.

Para qu valores de k la funcin f es:

a) continua? b) derivable?

10. Una paracaidista salta de un avin. Supon-ga que la distancia que desciende durante losprimeros t segundos antes de abrir el paraca-das es s(t) = 976((0,835)t 1) + 176t, donde sest en pies. Grafique s contra t para 0 t 20,utilice la grfica para estimar la velocidad ins-tantnea en t = 15. Compare este resultadocon la velocidad intantnea hallada utilizandoderivadas.

11. Encuentre todas las rectas que son tangentessimultneamente a la grfica y = x2 + 1 y a lagrfica de y = x2 1.

12. Suponga que f (x) = 2xf(x) y f(2) = 5.

a) Encuentre g(/3) si g(x) = f(secx).b) Encuentre h(2) si h(x) = [f(x)/(x 1)]4


13. Una mancha de aceite sobre un lago est rodea-da por una barrera flotante circular de con-tencin. Cuando se jala la barrera, el rea decontencin circular se reduce. Si la barrera sejala a razn de 5 metros por minuto, con qurapidez se reduce el rea de contencin cuandosta tiene un dimetro de 100 metros?

14. La hipotenusa de un tringulo rectngulo es-t creciendo a razn constante de a centme-tros por segundo y un cateto est decreciendoa razn constante de b centmetros por segun-do. Con qu rapidez cambia el ngulo entre lahipotenusa y el otro cateto en el instante en queambos catetos miden 1 cm?

15. En cada inciso, utilice la informacin indicadapara determinar x,y y dy.

a) y = 1x 1; x disminuye de 2 a 1.5.

b) y = tanx; x se incrementa de /4 a 0.16. En qu punto(s) la recta tangente a la

curva y2 = 2x3 es perpendicular a la recta4x 3y + 1 = 0?

17. En cada inciso, trace una curva continuay = f(x) con las condiciones indicadas:

a) f(2) = 4, f (2) = 1, f (x) < 0 para x < 2,f (x) > 0 para x > 2.

b) f(2) = 4, f (2) = 1, f (x) > 0 para x < 2,f (x) > 0 para x > 2,lmx2

f (x) =, lmx2+

f (x) =.

c) f(2) = 4, f (2) = 1, f (x) < 0 para x 6= 2,lmx2

f (x) = 1, lmx2+

f (x) = 1.

18. Sea g(x) = x3 4x + 6. Encuentre f(x) de talmodo que f (x) = g(x) y f(1) = 2.

19. En cada inciso, determine si se satisfacen lashiptesis del teorema del valor medio en el inter-valo indicado. De no ser as, seale cules sonlas hiptesis que no se cumplen. Si las hipte-sis se cumplen, encuentre todos los valores cgarantizados en la conclusin.

a) f(x) = |x 1| en [2, 2]b) f(x) = x+ 1

x 1 en [2, 3]

c) f(x) ={

3 x2 si x 12x si x > 1

en [0, 2]

20. Un campo est delimitado por un tringulo rec-tngulo con la hipotenusa a lo largo de un arroyorecto. Una cerca delimita los otros dos lados delcampo. Determine las dimensiones del campocon rea mxima que puede delimitarse utilizan-do 100 metros de cerca.

21. Se va a inscribir un rectngulo en un tringu-lo rectngulo que tiene lados de longitud de 6pulgadas, 8 pulgadas y 10 pulgadas. Determinelas dimensiones del rectngulo con rea mayorsuponiendo que slo uno de los vrtices estsobre la hipotenusa.

22. Utilice la curva x2 + y2 = 1 para demostrar que(1, 0) es el punto de la curva ms prximo a(2, 0) .


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Clculo I Taller QTaller complementarioProf. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. a) Demuestre que la funcinf(x) = ln(x+

x2 + 1)

es una funcin impar.b) Encuentre la funcin inversa de f .

2. (i) Si desplaza una curva hacia la izquierda,qu pasa con su reflejo respecto a la l-nea y = x? En vista de este principio ge-omtrico, encuentre una expresin para lainversa de g(x) = f(x+ c) donde f es unafuncin uno a uno.

(ii) Encuentre una expresin para la inversa deh(x) = f(c x), donde c 6= 0.

3. Una ventana normanda tiene la forma de unrectngulo coronado por un semicrculo. Si elpermetro de la ventana es de 30 pies, expreseel rea A de ella como funcin del ancho de lamisma. (Ver Figura B).

Figura B.4. Cuando se apaga el flash de una cmara, las

bateras empiezan de inmediato a recargar elcapacitor del flash, el cual almacena carga elc-trica dada por

Q(t) = Q0

(1 et/a

).

(La capacidad mxima de carga es Q0 y t semide en segundos).

a) Encuentre la inversa de esta funcin y ex-plique su significado.

b) Cunto tarda en cargar el capacitor hasta90 % de su capacidad si a = 2?

5. Determine si la afirmacin dada es verdadera ofalsa, justifique claramente su respuesta.

a) Sea x R {0}, entonces x < x.b) Si a, b R y a < b entonces a2 < b2.c) El valor mximo de la funcin

g(x) = x2 2x+ 2es g(1) = 1.

d ) Existen nmeros racionales que son tam-bin irracionales.

e) El dominio de la funcin h(x) = (g f)(x),donde f(x) = x y g(x) = 1 + x

x 1 , es elconjunto (,1] (1,).

6. Encuentre una frmula para la funcin inversade f(x) = 5 + 2x

2 + 5x.

7. A partir de la grfica de y = f(x) trace la grficade y =

12f (x+ 1)

+ 3.

x

y

y = f(x)

8. Se desea construir una caja sin tapa partiendode una pieza rectangular de cartn, cuyas di-mensiones son 20 30 pulgadas, cortando enlas esquinas cuadros idnticos de rea x2, y do-blando los lados hacia arriba. Exprese el volu-men V , de la caja, como funcin de x.


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Clculo I Taller RTaller (derivadas)Prof. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Hallar la derivada pedida

a) f (1); para f(x) ={

x+ 1 , x 1(x+ 1)2 ; x > 1

b) f (1); para f(x) ={

3x2 ; x 12x2 + 1 , x > 1

c) f (3); para f(x) =

x22

; x < 3

3x ; x 32. Hallar F (x) para:

a) F (x) = ax bcx d ;

b) F (x) = x3 3x 2x4

;

c) F (x) = 3x+ 5x;d ) F (x) = x2 + a2;e) F (x) = a

2 + x2a2 x2 ;

f ) F (x) = 4n(ax2 + bx+ c);g) F (x) = n

1 + x2

1 x2 ;h) F (x) = (x+ 1)n(x2 + 1);

3. Hallar una ecuacin de la recta tangente; y de larecta normal a la grfica de la funciny = x4 3x2 + 2 en x = 1.

4. Determinar los puntos, en los que la grfica dela funcin dada tiene tangente horizontal:

a) y = x+ senx; 0 x 2b) y = x4 3x2 + 2;c) y = 1

x2

5. Hallar f (0) y f (1) para:

a) f(x) = 1 x2

1 + x2

b) f(x) = ax+ bcx+ d

;

6. Si h(0) = 3; h(0) = 2; hallar f (0) para:

a) f(x) = xh(x);b) f(x) = h(x) 1

h(x).

7. Hallar:

a) ddu

(u

u 1 u

u+ 1

);

b) ddt

(t4

2t3 1)

;

8. Si f(t) = (t1 + t2)4. Hallar f (1).

9. Hallar y(x) para:

a) y = 11 + u2

; u = 2x+ 1;

b) y = 2u1 4u ; u = (5x

2 + 1)4.

10. Hallar dydt

para y = 1 7u1 + u2

; u = 1 + x2;x = 2t 5.

11. Hallar:

a) ddx

[f(x2 + 1)

];

b) ddx

[{f(x)}2 + 1

].

12. Para cada funcin hallar los extremos locales (orelativos) y los intervalos de crecimiento y de-crecimiento de la funcin

a) f(x) = x+ 1x

.

b) f(x) = x2 2x+ 1x+ 1

.

c) f(x) = sen2 x+ senx 0 x < 2.13. Hallar los intervalos en que la funcin es conca-

va hacia arriba y concava hacia abajo.a) f(x) = x3 + 9x.b) f(x) = x4 8x3 + 24x2.c) f(x) = x

x2 1 .

d ) f(x) = (x 2)1/5.


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Clculo I Taller STaller (Lmites)Prof. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Explique con sus palabras qu se quiere dar a entender mediante la ecuacin: lmx2

f (x) = 5.

Es posible que se cumpla est ecuacin y sin embargo f (2) = 3? D una explicacin.2. Explique qu se quiere dar a entender con lm

x2+f (x) = 5 y lm

x2f (x) = 3.

En esta situacin, es posible que lmx2

f (x) exista? D una explicacin.

3. A partir de la grfica dada, d el valor del lmite, si existe. Si no existe, explique por qu.

a) lmx3+

f (x) .

b) lmx3

f (x) .

c) lmx1

f (x) .

d ) lmx3

f (x) .

e) lmx3+

f (x) .

f ) lmx3

f (x) .

.

4. Trace la grfica de un ejemplo de una funcin f que satisfaga todas las condiciones dadas:lmx3+

f (x) = 4, lmx3

f (x) = 2, lmx2

f (x) = 2, f (3) = 3, f (2) = 1.

5. Teniendo en cuenta la grfica de la funcin f (x), diga si la afirmacin dada es verdadera o falsa:

f(x) =

1

x+ 2, si x < 2

tan 2,5x, si 2 < x 0

1

2x2, si 0 < x < 2

2x+ 8, si 2 x < 31, si x = 32 (x 4)2 si 3 < x 5

a) f (x) tiene una discontinuidad removible en x = 3.b) lm

x2f (x) =.

c) El lmx3

f (x) no existe.

d ) f (x) es continua en el intervalo (2, 2).e) f (x) es sobreyectiva.

6. Evale las funciones en los nmeros dados (correcto hasta seis cifras decimales). Use los resultadospara conjeturar el valor del lmite o explique por qu no existe.

g (x) =x 1x3 1 ; x = 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 0,9; 0,99; 1,01; 1,1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8.

f (x) =1 cosx

x2; x = 1; 0,5; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0,05; 0,01; 0,001.

7. Evale el lmite y justifique cada paso indicando las propiedades de los lmites utilizadas.


a) lmx4

(5x2 2x+ 3) .

b) lmx1

x 2x2 + 4x 3 .

c) lmt2

(t+ 1)9(t2 1) .

d ) lmx1

x3 + 2x+ 7.

e) lmx4

16 x2.

f ) lmx1

x2 1x 1 .

8. Evale el lmite, si existe.

a) lmx3

x2 x+ 12x+ 3

.

b) lmh0

(5 + h)2 25h

.

c) lmx2

x3 8x2 4 .

d ) lmx1

|x+ 1| .

e) lmx4

|4 x|x 4 .

f ) lmx1

[1

x 1 2

x2 1].

9. Considere la funcin f (x) = x3 + x 6.

a) Encuentre f (2 + x) f (2)(2 + x) 2 para x {1; 0,5; 0,2; 0,1}.

b) Halle lmx4

f (x) f (4)x 4 .

c) D una interpretacin geomtrica de los cocientes y del lmite.

10. Encuentre lmh0

f (x+ h) f (x)h

si:

a) f (x) = 1x+ x. b) f (x) = x2 + x 2

x2. c) f (x) =

x. (Racionalice).

11. Explique que se quiere dar a entender mediante las ecuaciones:

lmx f(x) = L y lmxa f(x) =.


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Clculo I Taller TTaller (funciones)Prof. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Responda verdadero (V) falso (F), justificando claramente su respuesta.a) La funcin f (x) = x5 + 1 es inyectiva.b) Si f (x) = 1x y g (x) = x2 + 1. Entonces (f g) (x) = 1x2 + 1.c) La funcin f (x) = 1 +x 1 tiene como imagen el conjunto [1,).

2. (a) Exprese f (x) en la forma a (x h)2 + k, (b) calcule el valor mximo o mnimo de f (x),(c) encuentre los ceros de f (x), (d) trace la grfica de f .

i) f (x) = 6x2 + 7x 24. ii) f (x) = 2x2 + 20x 43. iii) f (x) = 3x2 6x 6.

3. En cada caso determine el dominio de la funcin dada.

a) f (x) =x 1

x2 + x.

b) f (x) =

1 x24 x2 .

c) f (x) =1 + x1 x

x.

d ) f (x) = x2 1 1.(e) h (x) = (f g) (x) , donde f (x) = 1

x2 + 1y g (x) = 1

x.

4. Encuentre el dominio de f g y g f y una expresin para (f g) (x) y (g f) (x), si:

a) f (x) = 1 x2 y g (x) = 1x.

b) f (x) = 1x2

y g (x) = 1x 1 .

c) f (x) = x 3 y g (x) = 1 x2.

d ) f (x) = xx2 + 5

y g (x) = 3x+ 1.

e) f (x) = x2 1 y g (x) = x+ 1.f ) f (x) = x+ 1

xy g (x) =

x+ 3.

5. Halle (f f) (x) y (f (1/f)) (x), si:a) f (x) = 6x 2. b) f (x) = (x 2)2 4x. c) f (x) = x+ 4

x.

6. Halle (f g h) (x) para las funciones dadas.

a) f (x) = x1 1, g (x) = 1x2

, h (x) = 2x+ 1.

b) f (x) = x, g (x) = x2, h (x) = x 1.7. Para cada caso, evale f (3), f (1), f (0) y f (1), y haga un esbozo del grfico de la funcin.

a) f (x) ={ x2 + 2x si x < 0;

x si 0 x. b) f (x) ={

x+ 2, si x 0;x2 + 1, si x > 0.

8. Si f (x) = x2 determine una funcin g tal que g (f (x)) = x4 + 1.

9. Evale y simplifique f (x+ h) f (x)h

si f (x) = x3 2x+ 1.


10. Para cada caso, halle las grficas de las funciones indicadas, trasladando la grfica de la funcin dada.

1 212

1

2

3

4

1 212

1

11 2 3123

1

2

3

a) y = f (x) + 1;b) y = f (x) 2;

c) y = f (x 1);d ) y = f (x+ 2);

e) y = 12f (2x);f ) y = f (12x).

11. Verifique si la funcin dada es invertible y si lo es encuentre su inversa.

a) f (x) = 2x3 + 1

. b) f (x) = 3 xx+ 5

. c) f (x) = 4x 13x

. d ) f (x) = x+ 12x 1 .

12. Exprese el rea de un hexgono regular en funcin del permetro.13. Exprese el rea de un tringulo equiltero en funcin de su lado.14. La tasa de crecimiento y, de un nio, en libras por mes, se relaciona con su peso actual x, en libras, me-

diante la frmula y = x200

(30 x), y 0 < x < 30. A qu peso se tiene la tasa mxima de crecimiento?Y cul es la tasa de crecimiento?

15. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de v0 pies/seg, y su distancia alpiso s (t) en pies a los t segundos, es s (t) = 16t2 + v0t.

a) Si el objeto llega al piso pasados 12 seg, determine su velocidad inicial v0.b) Calcule su altura mxima sobre el piso.

16. Se debe construir un corral rectangular para animales, se usar una pared como uno de los cuatro lados.El pie de cerca para los otros tres lados cuesta $ 5 000 y debe gastar $ 1 000 por cada pie de pinturapara la parte de la pared que forma el cuarto lado del corral. Se tienen $ 180 000 para dicho trabajo.Cules dimensiones maximizan el rea del corral que se debe construir?

17. Halle dos nmeros reales que hacen mxima la diferencia entre el cuadrado del primero y el duplo delcuadrado del segundo, si la suma de los nmeros es 6.

18. Halle dos nmeros cuya suma sea 20 y tal que la suma de sus cuadrados sea mnima.19. Desde el techo de un edificio de 30 metros de altura se lanza una pelota hacia arriba. Suponga que su

posicin por encima del suelo despus de t segundos est dada por

s(t) = 16t2 + 256t+ 30.a) Cul es la mxima altura desde el suelo alcanzada por la pelota?b) Cundo alcanza esa mxima altura?c) Cunto tiempo tarda en tocar el piso?


Universidad

Industrial de

Santander


Clculo I Taller UTaller (funciones)Prof. Doris Gonzlez Rojas

Gilberto Arenas Daz

Nombre: Cdigo:

1. Determine si la curva es la grfica de una fun-cin de x. Si los es, d el dominio y el recorridode la funcin.

a)

b)

c)

d )2. Dada las grficas de f y g.

a) D los valores de f(2) y g(1).b) Para cules valores de x se tiene que

f(x) = g(x)?c) Estime la solucin de la ecuacin f(x) = 1.d ) En qu intervalo es f(x) decreciente?e) Trace la grfica de f + g.f ) D el dominio y el recorrido de f , g y f + g.

f(x)

g(x)

3. Encuentre f(0), f(2), f(2), f(1 +

2), f(x),

f(x+ 1), 2f(x), f(x+ h) y f(x+ h) f(x)h

si

a) f(x) = 2x2 + 3x 4.b) f(x) = x x2.c) f(x) = x

x+ 1.

4. Encuentre el dominio y trace la grfica de la fun-cin dada.

a) f(x) = 3 2x.

b) f(x) = x2 + 2x 1.c) f(x) = 1 +x+ 2.d ) f(x) =

{1 x si x < 1lnx si x 1.

e) f(x) = 3 2 senx.f ) f(x) = cos 3x.

5. A partir del grfico de la funcin f(x), dibuje lassiguiente funciones.

a) y = f(x 3).b) y = 2 f(x).c) y = f1(x).

d ) y = f(x).e) y = 12f(x) 1.f ) y = f1(x+ 3).

6. Determine si f es par, impar o ninguna de la doscosas.

a) f(x) = 2x5 3x2 + 2.b) f(x) = ex2 .c) f(x) = x3 x7.d ) f(x) = 1 + senx.

7. (a) Exprese f (x) en la forma a (x h)2+k, (b)calcule el valor mximo o mnimo de f (x), (c)encuentre los ceros de f (x), (d) trace la gr-fica de f .

a) f (x) = 6x2 + 7x 24.b) f (x) = 2x2 + 20x 43.c) f (x) = 3x2 6x 6.

8. La tasa de crecimiento y, de un nio, en libraspor mes, se relaciona con su peso actual x, enlibras, mediante la frmula y = x

200(30 x), y

0 < x < 30. A qu peso se tiene la tasa mxi-ma de crecimiento? Y cul es la tasa de creci-miento?


9. Un objeto se lanza verticalmente hacia arribacon una velocidad inicial de v0 pies/seg, y su dis-tancia al piso s (t) en pies a los t segundos, es

s (t) = 16t2 + v0t.a) Si el objeto llega al piso pasados 12 seg,

determine su velocidad inicial v0.b) Calcule su altura mxima sobre el piso.

10. Encuentre el dominio de f g y g f y unaexpresin para (f g) (x) y (g f) (x), si:

a) f (x) = xx2 + 5

y g (x) = 3x+ 1.

b) f (x) = 1x2

y g (x) = 1x 1 .

c) f (x) = x 3 y g (x) = 1 x2.11. Halle la inversa de la funcin dada.

a) f (x) = 2x3 + 1

.

b) f (x) = 3 xx+ 5

.

c) f (x) = 4x 13x

.

12. En los problemas conteste verdadero o falso

a) 32x = 9xb) 3x 3y = 9x+yc) (5x)2 = 5x2d ) (7x + 7x) = (7 + 71)xe) ex + ex = e0

13. Grafique en el mismo plano las funciones dadas.a) f (x) = 3x, g (x) = 2x, h (x) = 5x.b) f (x) = e|x|, g (x) = ex, h (x) = ex.c) f (x) = (32)x, g (x) = (23)x,

h (x) = 12[(

32

)x+(23

)x].

14. Escriba el enunciado exponencial dado en la for-ma logartmica equivalente.

a) 91/2 = 1/3.b) 5y = x.

c) ut = s.d ) 3x 3y = 3x+y.

15. Escriba el enunciado logartmico dado en la for-ma exponencial equivalente.

a) log4 1/2 = 1/2.b) logt v = s.

c) log3 3 = 2.d ) ln (1/e2) = 2.

16. Resuelva la ecuacin dada.a) log2 x+ log2 (x 2) = 3.b) log4

x2 + 60 = 2.

c) 6x + 6x = 2.

d ) 8 (22x) = (21x)2 .17. Grafique detalladamente las seis funciones

trigonomtricas.18. Determine los intervalos en los que cada fun-

cin trigonomtrica es invertible y grafique cadafuncin inversa.

19. Dados los siguientes valores para las funcionesseno y coseno:

grados 0 30 45 60 90radianes 0 pi6

pi4

pi3

pi2

cos 132

22

12 0

sen 0 12

22

32 1

Evalu:

a) cos (15)b)

sen (105)

c) cos (120)d ) cos ( pi12)

e) sen (7pi12 )f ) cos (5pi12 )

20. Resuelva la ecuacin

cos 2 + cos = 0, 0 2.

21. Muestre que

cos(sen1

)=

1 2, para 1 1.

22. Evalu:

a) sen (arc sen 12 + arc cos 0)b) tan

(arc cos 12 + arc sen

32

)23. Demuestre o refute las siguiente identidades:

a) 2 senx+ sen 2x2 senx sen 2x = cot

2 x.

b) sen2 ( 2) = 1 cos 2 .c) cos2 ( 2) = 1 + cos 2 .d ) tan2 ( 2) = 1 + cos2 sen2 .

24. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonomtri-cas en el intervalo dado.

a) 2 sen2 t cos t = 1, 0 t .b) sen tan = sen , 0 .c) tan = tan2 , 0 .d ) 2 sen3 x+sen2 x2 senx1 = 0, 0 x .


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Industrial de

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Primer examenClculo IMayo 27 de 2010

Grupo

Nombre: Cdigo:

Instrucciones:Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pgina de su hoja de examen.No se permite el prstamo de borradores, calculadoras, lpices, etc.El profesor no responder preguntas, porque parte de la evaluacin es la comprensin de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de telfonos celulares durante el examen.

1. a) Una caja rectngular abierta con volumen de 2m3, tiene una base cuadrada. Exprese el rea su-perficial de la caja como funcin de la longitud de uno de los lados de la base.

b) Se infla un baln esfrico y el radio del mismo se incrementa en una cantidad de 2 cm/s.i) Exprese el radio r del baln como funcin del tiempo t (en segundos).ii) Si V es el volumen del baln como una funcin del radio, halle V r.

2. a) Sean f y g funciones lineales con ecuacionesf(x) = m1x + b1 y g(x) = m2x + b2 Es f g unafuncin lineal? Si es as, cul es el valor de supendiente?

b) En la figura se muestra la grfica de f . Dibuje lagrfica de la funcin y = f1(x+ 3).

y

x0 1

1

3. La poblacin de cierta especie en un ambiente limitado, con poblacin inicial 100 individuos y que so-porta una capacidad de 1000 individuos, est dada por P (t) = 100000

100 + 900etdonde t se mide en aos.

Encuentre la inversa de la funcin y sela para encontrar el tiempo requerido para que la poblacinllegue a 900 individuos.

4. Determine si la proposicin es verdadera o falsa. Si es verdadera, explque por qu. Si es falsa, explquepor qu o d un ejemplo que refute la proposicin.

a) tan1(x) = sen1(x)

cos1(x).

b) Siempre se puede dividir entre ex.c) Si f(s) = f(t) entonces s = t.d ) Si f es una funcin entonces f(3x) = 3f(x).e) Si 0 < a < b entonces ln(a) < ln(b).


Solucin del Primer Examen de Clculo I

1.

a)x

y

V = 2m3; Abase = x2; Asuperficial = 4xy + x2

Como V = x2y = 2, entonces y = 2/x2.

Reemplazando en el rea superficial se obtiene

Asuperficial = 4x

(2

x2

)+ x2 =

8

x+ x2 =

8 + x3

x.

b)

r

i) r (t) = 2t.

ii) V (r) = 43r3

(V r) (t) = V (r (t)) = V (2t) = 43 (2t)3 =

4

3(8t3)=

32

3t3.

2. a) f (x) = m1x+ b1, g (x) = m2x+ b2.(f g) (x) = f (g (x)) = f (m2x+ b2) = m1 (m2x+ b2) + b1 = m1m2x+m1b2 + b1Por tanto (f g) (x) es una funcin lineal con pendiente m = m1m2.

b)y

x0 1

1f f1

Se refleja frespecto a larecta y = x

y

x0 1

1f1(x+ 3)

se corre 3 unidadeshacia la izquierda

3. P (t) = 100000100 + 900et

= P [100 + 900et] = 100000= 900Pet = 100000 100P= et = 100000 100P

900P

= et = 900P100000 100P =

9P

1000 P= t (P ) = ln

(9P

1000 P)

Luego t (900) = ln(

9 9001000 900

)= ln 81 = 4 ln 3.


4. a) Falsa. Contraejemplo: tan1 (1) = 4

,

sen1 (1)cos1 (1)

=/2

0no esta definido.

b) Verdadera, ya que ex > 0, x R.c) Falsa. Contraejemplo: si f (x) = x2, se tiene que f (a) = f (a) = a2, pero a 6= a.d ) Falsa. Contraejemplo: si f (x) = x5, no es cierto que:

f (3x) = (3x)5 = 35x5 sea igual a 3f (x) = 3x5.

e) Verdadera, porque la funcin f (x) = lnx es una funcin creciente.


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Industrial de

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Primer examen CIFClculo I17 de marzo de 2014Prof: Gilberto Arenas Daz

Grupo

Nombre: Cdigo:

Instrucciones:Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.No se permite el prstamo de borradores, calculadoras, lpices, etc.El profesor no responder preguntas, porque parte de la evaluacin es la comprensin de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de telfonos celulares durante el examen.

1. Un hombre se encuentra parado en un punto A en la orilla de un ro recto de dos kilmetros de ancho.Para llegar al punto B, 7 kilmetros corriente abajo en la orilla opuesta, rema primero en su bote hastaun punto P en la orilla opuesta y luego camina la distancia restante x hasta el punto B. l puede remara una velocidad de 2 km/h y caminar a una velocidad de 5 km/h. Encuentre una funcin en trminosde la distancia x que permita modelar el tiempo necesario para el recorrido. (Recuerde que distancia esigual a velocidad por tiempo).

2. Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequea con 100000 habitantes.Despus de t das, el nmero de personas que han sido infectadas por el virus se modela mediante lafuncin

I (t) =100000

5 + 12495et.

a) Cuntas personas infectadas hay inicialmente?b) Encuentre la inversa de la funcin I (t) y explique su significado.c) En cuntos das habrn 10000 personas infectadas?

3. Utilizando propiedades de los lmites, determine si existen.

a) lmt4

t2t+ 84 t . b) lmx1

x3 3x+ 6x4 + 7x3 + 1

. c) lm0

sen 8

sen 3.

4. Determine el dominio de la funcin

f (x) =ln (1 + |x+ 2| 2 |x|)

(x2 16) (1 x2) .


Solucin del primer examen de Clculo I - C5 (Curso intensivo Facultad de Ciencias)

1. Un hombre se encuentra parado en un punto A en la orilla de un ro recto de dos kilmetros de ancho.Para llegar al punto B, 7 kilmetros corriente abajo en la orilla opuesta, rema primero en su bote hastaun punto P en la orilla opuesta y luego camina la distancia restante x hasta el punto B. l puede remara una velocidad de 2 km/h y caminar a una velocidad de 5 km/h. Encuentre una funcin en trminosde la distancia x que permita modelar el tiempo necesario para el recorrido. (Recuerde que distancia esigual a velocidad por tiempo).Solucin. Obsrvese que se tienen dos velocidades v1 = 2 km/h (remando) y v2 = 5 km/h (caminando).

b

v2 = 5 km

7 km

A

P Bx

2 km v1 = 2 km

El tiempo se puede expresar comot =

v1+

x

v2,

donde 2 = 22 + (7 x)2; luego =

4 + (7 x)2. Por lo tanto

t (x) =

4 + (7 x)2

2+x

5.

2. Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequea con 100000 habitantes.Despus de t das, el nmero de personas que han sido infectadas por el virus se modela mediante lafuncin

I (t) =100000

5 + 12495et.

a) Cuntas personas infectadas hay inicialmente?b) Encuentre la inversa de la funcin I (t) y explique su significado.c) En cuntos das habrn 10000 personas infectadas?

Solucin. Al reemplazar en el t = 0 se tiene

I (0) =100000

5 + 12495e0=

100000

12500= 8.

Es decir, el nmero de personas infectadas inicialmente es de 8.Encontremos ahora la inversa:

I =100000

5 + 12495et= (5 + 12495et) I = 100000= 12495Iet = 100000 5I= et = 100000 5I

12495I

= t = ln 100000 5I12495I

= t = ln 100000 5I12495I

= ln12495I

100000 5I .


La funcin inversa representa el nmero de das en funcin del nmero de infectados.

I1(t) = ln12495t

100000 5t .

Utilizando la inversa se tiene

t (10000) = ln12495 10000

100000 5 10000 = ln 2499 = 7,8236.

Por lo tanto el nmero de das necesario para que se tengan 10000 personas infectadas es de 8 (o7,8236).

3. Utilizando propiedades de los lmites, determine si existen.

a) lmt4

t2t+ 84 t .

Solucin. Como se da la indeterminacin 00 debemos realizar el siguiente procedimiento:

lmt4

t2t+ 84 t = lmt4

t2t+ 84 t

t+2t+ 8

t+2t+ 8

= lmt4

t2 (2t+ 8)(4 t) (t+2t+ 8)

= lmt4

(t+ 2) (t 4)(4 t) (t+2t+ 8)

= lmt4

(t+ 2)t+

2t+ 8

= (4 + 2)

4 +2 4 + 8 =

64 + 4

= 34

b) lmx1

x3 3x+ 6x4 + 7x3 + 1

.

Solucin. Puede observase que no hay indeterminacin, por tanto se puede evaluar directamente,esto es

lmx1

x3 3x+ 6x4 + 7x3 + 1

=lmx1

x3 3x+ 6lmx1

x4 + 7x3 + 1=

1 3 + 61 + 7 + 1

=4

9.

c) lm0

sen 8

sen 3.

Solucin. Nuevamente se da la indeterminacin 00 , luego hacemos lo siguiente para evaluar ellmite

lm0

sen 8

sen 3= lm

0

8 sen 88

3 sen 33

= lm0

8 sen 88

3 sen 33

=8 lm

0sen 8

8

3 lm0

sen 3

3

=8 13 1 =

8

3.

4. Determine el dominio de la funcin

f (x) =ln (1 + |x+ 2| 2 |x|)

(x2 16) (1 x2) .

Solucin. Dadas las expresiones que se tienen en la funcin se tiene que

Dom (f) ={x | 1 + |x+ 2| 2 |x| > 0 (x2 16) (1 x2) > 0}

= {x | 1 + |x+ 2| 2 |x| > 0} {x | (x2 16) (1 x2) > 0} .El primer conjunto puede verse como la solucin de la desigualdad

1 + |x+ 2| > 2 |x| .


Graficamente puede verse que el conjunto solucin es el intervalo (a, b) donde a es la solucin de1 + (x+ 2) = 2x y b es la solucin de 1 + (x+ 2) = 2x; al solucionar esto se obtiene que a = 1 yb = 3.

Si se busca la solucin va la definicin del valor absoluto se tiene

|x| ={

x, x 0,x, x < 0, y |x+ 2| =

{x+ 2, x 2,x 2, x < 2,

(,2)(a)

[2, 0)(b)

[0,)(c)

a) (,2): 1 + ( (x+ 2)) > 2 (x) = 1 x 2 > 2x = x > 1.Luego S1 = (,2) (1,) = .

b) [2, 0): 1 + (x+ 2) > 2 (x) = 1 + x+ 2 > 2x = 3x > 3 = x > 1.Luego S1 = [2, 0) (1,) = (1, 0).

c) [0,): 1 + (x+ 2) > 2 (x) = 1 + x+ 2 > 2x = 3 > x.Luego S1 = [0,) (, 3) = [0, 3).

Luego tenemos que S1 = S1 S1 S1 = (1, 0) [0, 3) = (1, 3), que corresponde con el mismointervalo (a, b) = (1, 3).Para el segundo conjunto se debe solucionar la desigualdad (x2 16) (1 x2) > 0 o equivalentemente

(x+ 4) (x 4) (1 + x) (1 x) > 0.Si tabulamos tenemos

(,4) (4,1) (1, 1) (1, 4) (4,)x+ 4 + + + +x 4 +1 + x + + +1 x + + +

(x+ 4) (x 4) (1 + x) (1 x) + +

El conjunto solucin ser entonces S2 = (4,1) (1, 4).A partir de lo anterior se tiene que

Dom (f) = (1, 3) {(4,1) (1, 4)} = (1, 3) .


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Abril de 2011Primer examenClculo IProf. Doris Gonzlez

Grupo

Nombre: Cdigo:

Instrucciones:Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pgina de su hoja de examen.No se permite el prstamo de borradores, calculadoras, lpices, etc.El profesor no responder preguntas, porque parte de la evaluacin es la comprensin de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de telfonos celulares durante el examen.

1. a) Exprese el rea de un tringulo equiltero como funcin de la longitud de uno de los lados.b) Exprese la funcin H (x) = sec4 (x) como la composicin de tres funciones f g h.

2. a) En la figura se proporciona la grfica de la funcin f (x).i) Utilice la grfica de la funcin f (x) para dibujar la

grfica de f1 (x).ii) Utilice la grfica de la funcin f (x) para dibujar la

grfica de y = 12f (x) + 3.

b) Cmo se relaciona la grfica de y = f (|x|) con la grfi-ca de f (x)? Utilice este hecho para graficar y = sen |x| .

x

y

y = f(x)

3. Recuerde que en este punto slo debe contestar dos de los items.a) Trace la grfica de la siguiente funcin y sela para determinar los valores de a para los cuales NO

existe lmxa f (x) si:

f (x) =

{2 x si x < 1,x si 1 x < 1,

(x 1)2 si x 1.b) Trace la grfica de un ejemplo de una funcin f que cumpla con la siguiente condiciones:

dom { f } = [4, 5], lmx3+

f (x) = 4, lmx3

f (x) = 2, lmx2

f (x) = 3, f (3) = 3, f (2) = 1.

c) Evale el lmite, si existe. lmh0

1

h

(11 + h

1)

.

4. Se sabe que en condiciones ideales cierta poblacin de bacterias se duplica cada hora. Suponga que alprincipio hay 500 bacterias.

a) Establezca una expresin para la poblacin de bacterias despus de t horas.b) Cundo la poblacin alcanzar 80000 bacterias?


Solucin del primer examen de Clculo I PS2011

1. a) Exprese el rea de un tringulo equiltero como funcin de la longitud de uno de los lados.Solucin. Denote el lado con una variable, por ejemplo x.Ahora, el rea de un tringulo se calcula como

A =(base) (altura)

2=

x h2

.

Por el teorema de Pitgoras se tiene que

x2 = h2 +(x2

)2= x2

(x2

)2= h2

= 34x2 = h2 =

3

2x = h

x

x/2

h

(dado que x es una distancia, slo se considera la solucin positiva).Reemplazando el valor de h, se tiene que

A (x) =x

32 x

2=

3

4x2.

b) Exprese la funcin H (x) = sec4 (x) como la composicin de tres funciones f g h.Solucin. Observe que

H (x) = sec4(

x)=(sec

(x))4

.

Por tanto, se ve que la funcin h (x) = x.La funcin g (h (x)) = sec (x) =, es decir, g (x) = sec x.La funcin f (g (h (x))) = (g (h (x)))4 = (sec (x))4, es decir, f (x) = x4.Existen otras formas para hacer la composicin, por ejemplo:

h(x) = x, g(x) = sec2x, f(x) = x2.

2. a) En la figura se proporciona la grfica de la funcin f (x).i) Utilice la grfica de la funcin f (x) para dibujar la grfica de f1 (x).

Solucin. La grfica de la funcin f1 (x) se puede dibujar haciendo que los puntos (a, b) de lagrfica y = f (x), se reflejen con respecto a la recta y = x, quedando convertidos en los puntosde la forma (b, a), cmo se muestra a continuacin.

x

y

y = f(x)

x

y

y = f(x)

ii) Utilice la grfica de la funcin f (x) para dibujar la grfica de y = 12f (x) + 3.Solucin. La grfica de la funcin que se solicita, se obtiene siguiendo los siguiente pasos:

12f (x) reduce todas las coordenadas en y a la midad;


12f (x) hace que la grfica obtenida se refleje con respecto al eje x;12f (x) + 3 hace que la grfica que tenemos hasta el momento se traslade 3 unidadeshacia arriba.

En la grfica se muestra cada uno de los pasos realizados:

x

y

y = f(x)

x

yy = 12f(x)

x

y

y = 12f(x)

x

y = 12f(x) + 3

b) Cmo se relaciona la grfica de y = f (|x|) con la grfica de f (x)? Utilice este hecho para graficary = sen |x| .Solucin. Dado que |x| =

{x, x 0,x, x < 0 , entonces

y = f (|x|) ={

f (x) , x 0,f (x) , x < 0.

Por tanto, y = f (|x|), refleja la grafica de y = f (x) , x 0 con respecto al eje y. (Observe que elefecto de componer con la funcin valor absolutos es que la funcin resultante es par).Por ejemplo:

x

y

0 1

1

f(x)

x

y

0 1

1

f(|x|)

En consecuencia, para el caso de la funcin

y = sen |x| ={

sen (x) , x 0sen (x) , x < 0 =

{senx, x 0, senx, x < 0.

De donde se tiene que la grfica correspondiente es:

x

yy = senx

x

yy = sen |x|

3. a) Trace la grfica de la siguiente funcin y sela para determinar los valores de a para los cuales NOexiste lm

xa f (x) si:

Taller Es Ye Jer Cici Os

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