UNIVERSIDAD DE LA SALLE

PROGRAMA DE INGENIERIA AMBIENTAL

DESTINO Y TRANSPORTE DE CONTAMINANTES

SEGUNDO SEMESTRE DE 2014

SOLUCIÓN TALLER #5

2. Para un contaminante que se degrada con una cinética de primer orden y se transporta

exclusivamente por difusión, mostrar que la concentración máxima (en x=0) en estado estable está

dada por la expresión

𝐶𝑚𝑎𝑥 =𝐽

2√(𝑘𝐷)

Partiendo de

𝐷𝑑2𝐶

𝑑𝑥2− 𝑘𝐶 = 0

Si 𝜶 =𝒅𝑪

𝒅𝒙

Entonces

𝛼2 −𝑘𝐶

𝐷= 0

Donde obtenemos que

𝛼1 = √𝑘

𝐷 𝑦 𝛼2 = −√

𝑘

𝐷

Solución de la forma:

𝐶 = 𝑀1𝑒𝛼1𝑥 + 𝑀2𝑒𝛼2𝑥

𝐶 = 𝑀1𝑒√𝑘

𝐷𝑥

+ 𝑀2𝑒−√𝑘

𝐷𝑥

Tenemos entonces que:

0 = 𝑀1𝑒√

𝑘

𝐷∗∞

entonces 𝑀1 = 0

0 = 𝑀2𝑒−√

𝑘

𝐷∗0

entonces 𝑀2 = 𝐶𝑚𝑎𝑥

Usando la segunda expresión

𝐶 = 𝑀2𝑒−√𝑘

𝐷∗𝑋

Derivando

𝑑𝐶

𝑑𝑥= [−√

𝑘

𝐷] ∗ 𝑀2𝑒

−√𝑘 𝐷

∗𝑋

Teniendo en cuenta las consideraciones

𝑥 = 0

𝐽

2= −𝐷

𝑑𝐶

𝑑𝑥 por lo tanto

𝐽

−2𝐷=

𝑑𝐶

𝑑𝑥

Reemplazando según las consideraciones, obtenemos

𝐽

−2𝐷= [−√

𝑘

𝐷] ∗ 𝑀2

𝐽2𝐷

[√𝑘 𝐷

]

= 𝑀2

𝐽

2𝐷 ∗ [√𝑘 𝐷]

= 𝑀2

Obtenemos finalmente la expresión

𝐽

2 ∗ √𝑘𝐷= 𝑀2 = 𝐶𝑚𝑎𝑥

Donde J es el flux (M/L-2T-1), k es la constante de degradación de primer orden (T-1) y D es el

coeficiente de difusión (L2/T). (Clave: establecer como condición de frontera en x=0, flux

difusión=J/2, dado que la difusión ocurre en ambos sentidos y en x=±∞, C=0).

3. El monóxido de carbono (CO) se encuentra en el aire a una concentración promedio de 5ppm y

tiene un tiempo de vida media de 3.5 horas. Construya el perfil de concentración vs distancia (km)

asumiendo transporte del CO sólo por advección, con una velocidad del viento de 3 m/s. Repita de

nuevo el perfil (C vs x) asumiendo transporte sólo por difusión (el CO tienen un coeficiente de

difusión en el aire de 0.2x104 m2/s). Qué se puede concluir al comparar las dos situaciones?

DATOS

𝐶𝑖𝑛 (ppm) 5

𝑡1/2 (hr) 3,5

k (ℎ−1) 0.198

u (m/s) 3

D (𝑚2/𝑠) 2000

ADVECCIÓN (x= 5km)

0 = −𝑢𝜕𝐶

𝜕𝑥− 𝑘𝐶

Resolviendo, obtenemos:

𝐶 = 𝐶𝑖𝑛 ∗ е(−

𝑘𝑢

∗ 𝑥)

𝐶 = 5𝑝𝑝𝑚 ∗ е(−

0,198ℎ−1

3𝑚𝑠

∗ 3600 𝑠

1 ℎ

∗ 5𝑘𝑚 ∗ 1000𝑚

1𝑘𝑚)

= 4.56 𝑝𝑝𝑚

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Co

nce

ntr

ació

n (

pp

m)

Distancia (km)

Concentración vs. Distancia

C (ppm)

DIFUSIÓN (x= 5km)

0 = 𝐷𝑥

𝜕2𝐶

𝜕𝑥2− 𝑘𝐶

Resolviendo, obtenemos:

𝐶 = 𝐶𝑖𝑛 ∗ е(−√𝑘

𝐷 ∗ 𝑥)

𝐶 = 5𝑝𝑝𝑚 ∗ е

(−√0,198ℎ−1

2000𝑚2

𝑠 ∗

3600𝑠1ℎ

∗ 5𝑘𝑚 ∗ 1000𝑚

1𝑘𝑚)

= 2.18 𝑝𝑝𝑚

En el aire para el monóxido de carbono, el transporte por difusión sucede mas rápido que el

transporte por adveccion.

4. Para un contaminante que se degrada de acuerdo a una cinética de primer orden, sin transporte

de ninguna clase, encuentre una expresión que permita definir la concentración en función del

tiempo. Luego estime la concentración a un tiempo de 1 segundo:

i. De forma analítica, con c(0)=1ppm, k=2 𝑠−1

𝑑𝐶

𝑑𝑡= −𝑘𝐶

∫𝑑𝐶

𝐶

𝐶

𝐶𝑜

= −𝑘 ∫ 𝑑𝑡𝑡

0

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Co

nce

ntr

ació

n (

pp

m)

Distancia (km)

Concentración vs. Distancia

C (ppm)

𝐿𝑛 (𝐶

𝐶𝑜) = −𝑘𝑡

𝐶 = 𝐶𝑜𝑒−𝑘𝑡

𝐶 = 1𝑝𝑝𝑚 ∗ 𝑒−2𝑠−1∗1𝑠

𝐶 = 0,135𝑝𝑝𝑚

ii. Usando un método numérico de forma explícita, con c(0)=1ppm, k=2 𝑠−1 y Δt=0.1s

𝐶𝑖+1 − 𝐶𝑖

𝛥𝑡= −𝑘𝐶𝑖

𝐶𝑖+1 = 𝐶𝑖 − 𝑘𝐶𝑖𝛥𝑡

𝐶𝑖+1 = 1𝑝𝑝𝑚 − (2𝑠−1 ∗ 1𝑝𝑝𝑚 ∗ 0.1s)

𝐶𝑖+1 = 0,8𝑝𝑝𝑚

Luego se sigue iterando diez veces hasta llegar a t=1s y obtener el resultado final.

iii. usando un método numérico de forma implícita, con c(0)=1ppm, k=2 𝑠−1 y Δt=0.1s

𝐶𝑖+1 − 𝐶𝑖

𝛥𝑡= −𝑘𝐶𝑖+1

𝐶𝑖+1 − 𝐶𝑖 = −𝑘𝐶𝑖+1𝛥𝑡

𝐶𝑖+1 + 𝑘𝐶𝑖+1𝛥𝑡 = 𝐶𝑖

𝐶𝑖+1(1 + 𝑘𝛥𝑡) = 𝐶𝑖

𝐶𝑖+1 =𝐶𝑖

(1 + 𝑘𝛥𝑡)

𝐶𝑖+1 =1ppm

(1 + 2 𝑠−10.1s)

𝐶𝑖+1 =1ppm

(1 + 2 𝑠−10.1s)

𝐶𝑖+1 = 0,833𝑝𝑝𝑚

Luego se sigue iterando diez veces hasta llegar a t=1s y obtener el resultado final.

5. Un accidente resulta en un derrame de 10 kg de un contaminante a una quebrada que tiene un

flujo volumétrico de 3m3/s y un área transversal al flujo de 10 m2. La dispersión del contaminante

en la dirección del flujo se presenta con un coeficiente de dispersión de 0.5 m2/s. El contaminante

se degrada de acuerdo a una cinética de primer orden con una velocidad de reacción k=2 d-1.

Estimar y graficar la concentración del contaminante aguas abajo del derrame luego de 30 minutos

y 2 horas de ocurrido el accidente.

𝑑𝐶

𝑑𝑥= −𝑢

𝑑𝐶

𝑑𝑥+ 𝐷𝑋

𝑑2𝐶

𝑑𝑥2− 𝑘𝐶

𝐶(𝑥, 𝑡) =𝑚

2√𝜋𝐷𝑋𝑡𝑒𝑥𝑝 [−

(𝑥 − 𝑢𝑡)2

4𝐷𝑋𝑡− 𝑘𝑡]

Teniendo en cuenta que:

𝑢 =3m3/s

10 m2= 0,3m/s

𝑚 =10Kg

10 m2= 1𝐾𝑔/m2

Remplazo

𝐶(𝑥, 𝑡) =1 ∗ 106𝑚𝑔/m2

2√𝜋 ∗ (0,5𝑚2

𝑠) ∗ 𝑡

𝑒𝑥𝑝 [−(𝑥 − 0,3

ms ∗ 𝑡)2

4 ∗ (0,5𝑚2

𝑠) ∗ 𝑡

− (2,31 ∗ 10−5𝑠−1) ∗ 𝑡]

Siguiendo con el punto anterior, si como resultado del derrame se tiene una concentración inicial

del contaminante de 6.0 mg/L, estimar en estado estable la distancia a la cual la concentración

decaería a un nivel menor a 0.01 mg/L.

0 = −𝑢𝑑𝐶

𝑑𝑥+ 𝐷𝑋

𝑑2𝐶

𝑑𝑥2− 𝑘𝐶

Solución analítica de la forma

𝐶 = 𝐶𝑜𝑒𝑥𝑝 [𝑢𝑥

2𝐷𝑋(1 − √1 +

4𝑘𝐷𝑋

𝑢2)]

𝐿𝑛𝐶

𝐶𝑜=

𝑢𝑥

2𝐷𝑋(1 − √1 +

4𝑘𝐷𝑋

𝑢2)

𝑥 =2 ∗ 𝐷𝑋 ∗ 𝐿𝑛 (

𝐶𝐶𝑜

)

𝑢 ∗ (1 − √1 +4𝑘𝐷𝑋

𝑢2 )

Reemplazando

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Co

nce

ntr

ació

n [

mg/

m3

]

Distancia [m]

Concentración del contaminante aguas abajo del Derrame

t= 30 minutos t= 2 horas

𝑥 =2 ∗ 0,5

𝑚2

𝑠 ∗ 𝐿𝑛 (0,01 𝑚𝑔/𝐿

6 𝑚𝑔/𝐿)

0,3𝑚𝑠

∗ (1 − √1 +4 ∗ 2,31481 ∗ 10−5𝑠−1 ∗ 0,5

𝑚2

𝑠

(0,3𝑚𝑠

)2 )

= 82915,04𝑚 = 83𝑘𝑚

6. Como resultado de un accidente químico ocurrido hace dos año 500 litros de clorobenceno

(densidad 1.11 g/cm3) caen en el suelo donde rápidamente infiltran hasta el agua subterránea. El

acuífero tiene un espesor de 6m, una porosidad de 0.38 y la velocidad de Darcy es 5.5 cm/día. Los

coeficientes de difusión son: en la dirección longitudinal DL=500 m2/año y en la dirección

transversal DT=50 m2/año. Estimar la concentración actual del C6H5Cl en un pozo de monitoreo

ubicado a 100m en la línea central donde ocurrió el accidente. Construya un perfil de la

concentración vs la línea central.

Teniendo en cuenta que:

Densidad*Volumen = Masa de clorobenceno

1,11𝑔

𝑐𝑚3∗ 500𝐿 ∗

1000𝑐𝑚3

1𝐿= 555000𝑔

𝑀𝑍 =𝑚𝑎𝑠𝑎

𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑=

555000𝑔

6𝑚 ∗ 0,38= 243421,0526 𝑔/𝑚

Velocidad lineal efectiva promedio para agua subterránea (𝑣)

𝑞 =5,5 𝑐𝑚

𝑑í𝑎∗

1 𝑚

100 𝑐𝑚∗

365 𝑑í𝑎𝑠

1 𝑎ñ𝑜= 20,075 𝑚/𝑎ñ𝑜

Sabiendo que 𝑞 =𝑄

𝐴 , reemplazo en el termino

𝑣 =𝑄

𝑛𝐴 → 𝑣 =

𝑞

𝑛

𝑣 =𝑞

𝑛=

20,075 𝑚/𝑎ñ𝑜

0,38= 52,83 𝑚/𝑎ñ𝑜

Solución analítica 2D de la forma:

𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑡) =𝑀𝑧

4𝜋 ∗ 𝑛 ∗ 𝑡 ∗ √𝐷𝐿 ∗ 𝐷𝑇

∗ 𝑒𝑥𝑝 − [(𝑥 − 𝑣𝑡)2

4 ∗ 𝐷𝐿 ∗ 𝑡+

𝑦2

4 ∗ 𝐷𝑇 ∗ 𝑡]

Reemplazando

𝐶(100𝑚,0𝑚,2𝑎ñ𝑜) =243421,0526 𝑔/𝑚

4𝜋 ∗ 0,38 ∗ 2𝑎ñ𝑜𝑠 ∗ √500𝑚2

𝑎ñ𝑜 ∗ 50𝑚2

𝑎ñ𝑜

∗ 𝑒𝑥𝑝

− [(100𝑚 − [

52,83𝑚𝑎ñ𝑜 ∗ 2𝑎ñ𝑜𝑠])

2

4 ∗ 500𝑚2

𝑎ñ𝑜∗ 2𝑎ñ𝑜𝑠

]

𝐶(100𝑚, 0𝑚, 2𝑎ñ𝑜𝑠) = 159,914 𝑔

𝑚3

A medida que se avanza a lo largo de la línea Central, vemos que la concentración disminuye a

causa de la retención por el material litológico y una posible dilución a lo largo del transporte del

contaminante.

7. Realizar un balance de materia sobre un elemento diferencial de dimensiones x, y, z

sobre un tiempo t. Luego permitir que x, y, z, t tiendan a cero. Incluir advección,

difusión y reacción química. Con el fin de simplificar la expresión final hacer uso del operador

nabla (∇). La expresión final debería ser de la forma

𝜕𝐶

𝜕𝑡+ 𝑢∇𝐶 = ∇(D∇C) ± R

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

10

0

11

0

12

0

13

0

14

0

15

0

16

0

17

0

18

0

19

0

20

0

21

0

22

0

23

0

24

0

25

0

26

0

27

0

28

0

29

0

30

0

Co

nce

ntr

ació

n (

g/m

3)

Linea Central (m)

Concentración vs. Linea Central

Concentración(g/m3)

𝑑𝑀

𝑑𝑡=

𝑉𝑑𝐶

𝑑𝑡= (𝐽𝑥 − 𝐽𝑥+∆𝑥)∆𝑦∆𝑧 + (𝐽𝑦 − 𝐽𝑦+∆𝑦)∆𝑧∆𝑥 + (𝐽𝑧 − 𝐽𝑧+∆𝑧)∆𝑦∆𝑥 ± 𝑅

𝑅 = −𝑘𝑉𝐶 (𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛)

Dividiendo por V=∆𝑥∆𝑦∆𝑧

𝑑𝐶

𝑑𝑡=

(𝐽𝑥 − 𝐽𝑥+∆𝑥)

∆𝑥+

(𝐽𝑦 − 𝐽𝑦+∆𝑦)

∆𝑦+

(𝐽𝑧 − 𝐽𝑧+∆𝑧)

∆𝑧± 𝑅

𝑅 = −𝑘𝐶

Permitiendo que∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧, ∆𝑡 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑎 0

𝜕𝐶

𝜕𝑡=

−𝜕

𝜕𝑥(𝐽𝑥) +

−𝜕

𝜕𝑦(𝐽𝑦) +

−𝜕

𝜕𝑧(𝐽𝑧) ± 𝑅

Modelando Advección+ Difusión 𝐽𝑖 = 𝐶𝑖𝑢𝑖 + (−𝐷𝑖𝑑𝐶𝑖

𝑑𝑖)donde: 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧

𝜕𝐶

𝜕𝑡=

−𝜕

𝜕𝑥(𝐶𝑥𝑢𝑥 − 𝐷𝑥

𝜕𝐶

𝜕𝑥) +

−𝜕

𝜕𝑦(𝐶𝑦𝑢𝑦 − 𝐷𝑦

𝜕𝐶

𝜕𝑦) +

−𝜕

𝜕𝑧(𝐶𝑧𝑢𝑧 − 𝐷𝑧

𝜕𝐶

𝜕𝑧) ± 𝑅

Asumiendo 𝑢𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑢𝑧 𝑦 𝐷𝑥 = 𝐷𝑦 = 𝐷𝑧

𝜕𝐶

𝜕𝑡= −𝑢 (

𝜕𝐶

𝜕𝑥+

𝜕𝐶

𝜕𝑦+

𝜕𝐶

𝜕𝑧) + 𝐷 (

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝐶

𝜕𝑥+

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝐶

𝜕𝑦+

𝜕

𝜕𝑧

𝜕𝐶

𝜕𝑧) ± 𝑅

Aplicando la definición de nabla ∇C = (𝜕𝐶

𝜕𝑥+

𝜕𝐶

𝜕𝑦+

𝜕𝐶

𝜕𝑧)

𝜕𝐶

𝜕𝑡= −𝑢∇𝐶 + ∇D∇C ± R

𝜕𝐶

𝜕𝑡+ 𝑢∇𝐶 = ∇(D∇C) ± R