Tarea 1 (1)
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Activos Derivados Magıster Finanzas
Tarea 1Otono 2014
Profesor: - Arturo Rodriguez -Alumnos: - Rodrigo Garay, Mario Quintana y Fabio Salinas -
a. Muestre que c < py.
Se busca determinar la siguiente relacion:
c < py (1)
Definimos los siguientes terminos:
p = ~x0 − ~x
c = (~x0 − ~x)~x0
Reemplazando en 1:
(~x0 − ~x)~x0 < (~x0 − ~x)y
Por otro lado, sabemos que:
y′ = (1− α)~x0 + α~y
Con y′ ∈ [~x0, ~y]. De forma equivalente, podemos expresar y′ como:
y′ = ~x0 + α(~y − ~x0)
Volviendo al termino 1, nos queda:
(~x0 − ~x)′~x0 < (~x0 − ~x)[~x0 + α(y − ~x0)]
Lo cual se cumple, dado que el menor valor de y′ sera ~x0.
1. Muestre que el conjunto factible es convexo.
Dado el siguiente valor,
A = ~Ψi tal que ~P = Y ~Ψi, ~Ψ ≤ 0
Bajo el supuesto de que existen (al menos) dos soluciones factibles distintas ~Ψa y ~Ψb ∈A, se tiene que,
Y ~Ψa = ~P ~Ψa ≥ 0 ∀i
Y ~Ψb = ~P ~Ψb ≥ 0 ∀i
Sea un nuevo valor, que es la combinacion lineal convexa de los dos anteriores,
~Ψ = θ~Ψa + (1− θ)~Ψb
Activos Derivados Magıster Finanzas
donde 0 ≤ θ ≤ 1. Si este nuevo valor representa una solucion factible, el conjunto factiblesera convexo. Probamos si esto se cumple:
Y ~Ψi = Y [θ~Ψa + (1− θ)~Ψb]
Y ~Ψi = θY ~Ψa + (1− θ)Y ~Ψb
Y ~Ψi = θ ~P + (1− θ)~P
Y ~Ψi = ~P
Por lo que se prueba que es un conjunto convexo.
c. Derive el CAPM generalizado a partir de lo visto en clases.
A partir del problema de maximizacion intertemporal del consumidor representativo, quemaximizara la suma descontada de su consumo a traves del tiempo dada la informacionque dispone (expectativas racionales) y sujeto a su restriccion presupuestaria, tendremos:
maxx
U(ct) + β · E[U(c, s)]
sujeto a
p0 · x+ c0 = e0
p1 · x+ e1 = c1
Donde c0 es el consumo en el periodo 0, β es el factor de descuento intertemporal, x esel numero de unidades del activo en el que invertira el individuo, y s son los escenariosposibles. La CPO del problema sera:
−U(c0) · p0 + β · E[U ′(c1) · p1]
Luego:
p0 = E
[U ′(c1)
U ′(c0)· βp1
]=∑s
U ′(c1)
U ′(c0)· βπ(s) · p1 (2)
Donde π(s) es la probabilidad de ocurrencia del escenario s. Ademas, el termino U ′(c1)U ′(c0)
· βcorresponde al factor de descuento estocastica. Ademas, debemos notar que:
U ′(c1)
U ′(c0)β · π(s) = p(s) y p1 = y(s)
Por otra parte, a partir del enfoque de Precios-Estado, podemos valorar los activos de lasiguiente forma:
vi =∑s
p(s) · yi(s)
Que es justamente lo que encontramos en 2. luego de utilizar las definiciones de p(s) ey(s). Desarrollando esta expresion:
Activos Derivados Magıster Finanzas
vi =∑s
p(s) · yi(s) =1
1 + rf
∑s
p(s) · (1 + rf ) · yi(s)
Donde:
Q(s) = p(s)(1 + rf )
Por otro lado, el valor esperado sera:
∑s
xi(s)q(s)π(s) = E(x(s)q(s)|π(s))
Por definicion sabemos que:
E(ri|π(s)) =E(xi|π(s))− Vi
Vi(3)
Donde E(ri|π(s)) corresponde al retorno esperado del activo i. Por lo tanto:
∑s
yi(s)q(s)π(s) = E ((1 + ri)q(s)|π(s))Vi (4)
Reemplazando esta ecuacion en la funcion valor:
Vi =1
1 + rfE ((1 + ri)q(s)|π(s))Vi
Desarrollando un poco::
1 =1
1 + rfE ((1 + ri)q(s)|π(s)) (5)
El valor esperado sera una multiplicacion de cada probabilidad del estado por la tasa porq(s). Por lo tanto, llegaremos a:
∑s
p(s)(1 + rf ) = E(q(s)|π(s)) = 1
Luego, si unimos las ecuaciones anteriores y desarrollamos1:
1Los valores esperados son condicionales, por simplicidad se omitira esto
Activos Derivados Magıster Finanzas
(1 + rf ) = E(1 + r : i) + cov((1 + ri), q(s))
(1 + rf ) = E(1 + ri) + cov(ri, q(s))
rf = E(ri) + cov(ri, q(s))
E(ri)− rf = −cov(ri, q(s))
Se cumplira tambien para i=m:
E(rm)− rf = −cov(rm, q(s))
Dividimos estas dos ecuaciones y ordenamos:
E(ri)− rf =cov(ri, q(s))
cov(rm, q(s))(E(rm)− rf )
Por definicion de MCO:
E(ri − rf = β(E(rm)− rf )
Ya tenemos una aproximacion al CAPM generalizado. Ahora, basta reemplazar Los re-tornos esperados, por sus formulas segun valor (es decir, ecuacion (3)). La relacion entrela tasa, del capm generalizado, y los retornos viene dada del hecho que debemos descontarlos flujos F a una tasa k. Por lo tanto:
E(ri) =Vi(1 + ki)− Vi
Vi⇒ E(ri) = k
Por lo tanto:
ki = rf + β(km − rf )