UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTECAJAMARCA SETIEMBRE 2014ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVILCICLO 2014 IIHOJA DE TRABAJO

CURSO:MTODOS NUMRICOS PARA INGENIERA CLASE:9305 DOCENTE:EVER ROJAS HUAMN EQUIPO DE TRABAJO:Cerna Loyola, ManuelBriones Martnez, AlejandraSilva Rivera, PatriciaAraujo Bautista, Jonathan

HOJA DE TRABAJO 1

1. Ttulo del material de lectura.Notacin matricial. Operaciones con matrices.

2. Tema de la semana segn slabo. Notacin matricial Suma y resta de matrices Producto de una matriz por un escalar Producto de matrices Transpuesta de una matriz.

3. Verificar el cumplimiento y significado de todos los comandos MatLab indicados en nuestro material de lectura.Al haber verificado todos los comandos en el MatLab, indicados en el material de lectura, se puede ver que todos se cumplen, excepto el primero que aparece en la pgina 3, pero siguiente a ese aparece el comando con la respuesta correcta.

4. Qu es una matriz?Ordenacin rectangular de elementos algebraicos que pueden sumarse o multiplicarse de varias maneras. A las matrices formadas por una sola fila o columna se les denominan vectores filas y columna respectivamente. A la matriz que tiene el mismo nmero de filas y columnas, se le llama matriz cuadrada.

5. Cul es la interpretacin de la notacin R mn?La interpretacin es que es el espacio vectorial de las matrices reales de dimensin mxn, sea m el nmero de filas y n, el nmero de columnas.

6. Por qu el elemento de una matriz presenta dos subndices?El primer subndice representa la fila del nmero y el segundo subndice representa la columna del mismo dentro de la matriz. Por ejemplo en:

El quiere decir q el nmero est ubicado entra la fila 3 y la columna 47. Qu condiciones deben cumplir dos matrices para poder ser sumadas?Para poder sumar o restar matrices, stas deben tener el mismo nmero de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 2 y otra de 3 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es as ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los trminos que ocupan el mismo lugar en las matrices

8. Qu condiciones deben cumplir dos matrices para poder ser multiplicadas?Dadas dos matrices A y B se define la matriz producto de ambas como una nueva matriz C = () de dimensin m x n:

C = A B; =

Para que la multiplicacin sea posible, el nmero de columnas de la primera matriz tiene que ser igual al nmero de filas de la segunda. Se puede demostrar que el producto de matrices no es conmutativo, en general AB BA.

9. Verificar el cumplimiento de las propiedades de la matriz transpuesta, indicadas en el material de lectura.En el programa del MatLab, si se cumple el comando de la matriz transpuesta, que consiste en invertir las filas por las columnas.10. Explicar la relacin entre la teora y la aplicacin prctica del tema trabajado:Matlab, al ser una herramienta de software muy completa y desarrollada nos ayuda a trabajar con matrices, desde su manipulacin hasta resolver ejercicios con matrices que seran complicados al resolverlos manualmente. Mientras que las matrices son muy aplicables a la vida real, como resolver un sistema de ecuaciones, manipulacin de imgenes (rotaciones, reflexiones y proyecciones) a travs de operaciones con matrices; Para administracin y finanzas es necesario si se conoce que para las ventas hay que llegar a un punto de equilibrio dado por la suma de utilidad (costos de produccin).

11. Material bibliogrfico utilizado propuesto por el docente: Chapra,S. Mtodos Numricos Para ingenieros. 2011. Matthews, J. Mtodos Numricos con MATLAB. 2000

12. Material bibliogrfico utilizado propuesto por el equipo de trabajo:http://www.aulafacil.com/matematicas-matrices-determinantes/curso/Lecc-3.htm

HOJA DE TRABAJO 2Responder detalladamente todos los tems de la Hoja de Trabajo 2 en base al material de lectura de la semana 2, del material bibliogrfico propuesto por el docente as como de los alcances de clase. Presentar al docente en la primera clase de la siguiente semana.1. Ttulo del material de lectura:CASOS PARTICULARES DE MATRICES. DETERMINANTE, RANGO E INVERSA.

2. Tema de la semana segn silabo:Casos particulares de matrices. Determinante de una matriz. Rango de una matriz. Inversa de una matriz.

3. Construir manualmente y con ayuda del MatLab, una matriz identidad, matriz nula, matriz simtrica a una matriz dada, matriz triangular inferior, matriz triangular superior, matriz diagonal. MATRIZ IDENTIDADManualmenteMatlap

MATRIZ NULAManualmenteMatlap

MATRIZ SIMTRICA A UNA MATRIZ DADAManualmenteMatlap

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIORManualmenteMatlap

MATRIZ TRIANGULAR INFERIORManualmenteMatlap

MATRIZ DIAGONALManualmenteMatlap

4. Dar un ejemplo de sistema de filas linealmente dependientes y un ejemplo de sistema de filas linealmente independientes. En R2 dos vectores u = (a , b) y v = (c , d) son linealmente independientes cuando no son proporcionales, es decir, no existe ningn nmero real que verifique: u = . v.Ejemplo: u = (3 , 5) y v = (9 , 6) son linealmente independientes puesto que no son proporcionales. En R2 dos vectores u = (a , b) y v = (c , d) son linealmente dependientes cuando son proporcionales, es decir, existe un nmero real que verifica: u = . v.Ejemplo: u = (3 , 5) y v = (9 , 15) son linealmente dependientes puesto que son proporcionales: v = 3 . u

5. A que se denomina determinante de una matriz cuadrada?El determinante de una matriz A(n,n), es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como |A|. El valor numrico es conocido tambin como mdulo de la matriz.6. Calcular manualmente y con ayuda del MatLab, el determinante de una matriz cuadrada.ManualmenteMatlap

7. Verificar con ayuda del MatLab y/o maple, las propiedades del determinante de una matriz cuadrada.

8. A qu se denomina rango de una matriz?Rango de una matriz es el nmero de lneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. Una lnea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinacin lineal entre ellas. Una lnea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinacin lineal entre ellas.El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

9. Calcular manualmente y con ayuda del MatLab, el rango de una matriz.ManualmenteMatlap

10. A qu se denomina matriz inversa a una matriz dada?Matriz Invertible, tambin llamada matriz, no singular, no degenerada, regular.Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A1, tal que:AA1 = A1A = In,Donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea cero.La inversin de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

11. Calcular manualmente y con ayuda del MatLab, la matriz inversa a una matriz.Manualmente:

Matlap:

12. Explicar la relacin entre la teora y la aplicacin prctica del tema trabajado:El tema de matrices es un tema muy importante ya que nos ayuda en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, diferenciales y de las derivadas parciales.Es un tema importante ya que hoy en la actualidad los lenguajes de programacin, introducen sus datos en computadoras como tablas organizadas en "filas" y "columnas".Adems facilita al alumno en la resolucin de problemas con ecuaciones, y hacen que las matemticas no se ve como un mostro de 1000 cabezas, si no como un curso interesante y razonable.

13. Material bibliogrfico utilizado propuesto por el docente: Chapra, S. (2011). Mtodos numricos para ingenieros. Mathews, J. (2000). Mtodos numricos con MATLAB.

14. Material bibliogrfico utilizado propuesto por el equipo de trabajo: Domnguez Bguena, V., & Rapn Banzo, L. (2006). Matlab en cinco lecciones de Numrico. Unavarra. Schwartz, J. T. (2001). Introduction to Matrices and Vectors. New York: Dover .

HOJA DE TRABAJO 3

1. Ttulo del material de lectura.Mtodos directos para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales.2. Tema de la semana segn slabo:Mtodos directos para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales: Sistemas triangulares, mtodo de eliminacin de Gauss, mtodo de Gauss Jordan.

3. Representar matricialmente un sistema de ecuaciones lineales.Se representa de esta manera:

Siendo la matriz de coeficientes, el vector solucin y el vector independiente.

4. Cul es la diferencia entre mtodos directos e iterativos para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales?La diferencia entre mtodos directos y mtodos iterativos es que los primeros no dan la solucin exacta el problema usando el mtodo de Gauss y variantes, mientras que los ltimos nos dan la solucin como lmite de una sucesin de vectores, usando Gauss-Seidel y Jacobi.

5. Qu se entiende por sistemas de ecuaciones lineales compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible? Dar un ejemplo y caracterizar su grfica en cada caso.Las ecuaciones lineales compatibles determinadas son las que tiene una nica solucin.Las ecuaciones lineales compatibles indeterminadas son las que tienen infinitas soluciones.Las ecuaciones lineales incompatibles son las que no presentan ninguna solucin.6. Qu informacin nos brinda el determinante o el rango de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales?

Si el determinante de una matriz es diferente de cero, el sistema analizado se considera compatible determinado, es decir posee una nica solucin. Si el determinante de un matriz es igual a cero, al igual que su rango de la matriz ampliada, el sistema analizado se considera compatible indeterminado, es decir posee infinitas soluciones. Si el determinante de una matriz es cero y el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada, el sistema analizado se considera incompatible, es decir no posee soluciones.

7. Efectuar paso a paso la fase de reduccin del sistema a uno triangular superior, seguida de la fase de sustitucin hacia atrs, en el mtodo de eliminacin gaussiana.El mtodo de eliminacin de Gauss es posiblemente el mtodo de resolucin de sistemas de ecuaciones ms popular, y comprende de 2 fases:1. La primera fase de eliminacin hacia delante de las incgnitas para reducir el sistema a uno triangular superior, as:Por ejemplo consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:(I) + + = 1 + + = 5 + - = 2

Para resolverlo, en primer lugar se elimina de las ecuaciones II Y III. Para ello, se le resta a la ecuacin II dos veces la ecuacin I y a la ecuacin III una vez la ecuacin I. As: + + = 5 + + = 1] - = 3

+ - = 2 + + = 1] - = 1

Por lo que nos quedara lo siguiente:

(I) + + = 1(II) - = 3(III) - = 1

En segundo lugar eliminamos de la ecuacin III, restndole a la ecuacin III cuatro veces la ecuacin II as: - = 1 - = 3] 2 = -11

Nos quedara finalmente el sistema triangular superior:(I) + + = 1(II) - = 3(III) 2 = -11

2. Para la segunda fase lo nico que basta es sustituir hacia atrs el sistema triangular superior de la siguiente manera:(I) + + = 1(II) - = 3(III) 2 = -11 = , sustituyendo este valor en (II), tenemos: (II) () = 3 = , y despus sustituimos y en (I)

(I) + () + () = 1 = 9

9. Explicar la relacin entre la teora y la aplicacin prctica del tema trabajado:Nos damos cuenta que el uso de las matrices es una herramienta muy prctica y til para desarrollar sistemas de ecuaciones fcilmente, tambin es as para el desarrollo de problemas referentes a armaduras estticas, y, contando con el Matlab esta herramienta se hace mucho ms prctica y manejable.

10. Material bibliogrfico utilizado propuesto por el docente. Chapra,S. Mtodos Numricos Para ingenieros. 2011. Matthews, J. Mtodos Numricos con MATLAB. 2000

11. Material bibliogrfico utilizado propuesto por el equipo de trabajo. http://www.slideshare.net/rlopegg/mtodo-de-gauss-3791724 http://www.ditutor.com/ecuaciones_grado2/metodo_gauss.html - http://www.ditutor.com/matrices/triangular_superior.html