Ricardo Alejos

Cálculo Tensorial

1

Tarea 05

Ejercicio 1

Enunciado

Sea el tensor que proyecta los vectores sobre el eje

. Considerando el significado geométrico de la

acción de este tensor, halle sus valores propios y sus

vectores propios.

Solución

Todo vector sobre el eje es transformado al vector

cero, y entonces su valor propio correspondiente será

.

Note además que todo vector sobre el eje será

proyectado sobre sí mismo al aplicarle el tensor ,

como estos vectores son transformados en sí

mismos, el valor propio correspondiente es .

Ambos valores propios tienen una multiplicidad

geométrica y algebraica de 1.

Ejercicio 2

Enunciado

Vuelva a encontrar los valores propios y vectores

propios del tensor del problema anterior, pero ahora

utilice el método que recurre a la ecuación de valores

propios:

( )( )

Solución

El tensor se puede escribir y podemos

obtener sus valores propios con la expresión:

( )( )

Así entonces:

( )( ) [

] [ ]

[

( ) ]

[ ]

Sujeto a:

| |

|

|

( )

La ecuación anterior tiene dos respuestas posibles,

que son los valores propios del tensor en cuestión:

Dado que cada raíz es única, ambas tienen

multiplicidad algebraica de 1.

Para

( )( ) [ ]

[ ( ) ( )

]

[ ]

Por lo tanto, el valor propio aplica para todos los

vectores cuya dirección sea la del vector unitario

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(vectores sobre el eje ) y así se comprueba que la

multiplicidad geométrica es 1 para este valor propio.

Ahora, para

( )( ) [ ]

[ ( ) ( )

]

[ ]

Así bien, de forma similar al primer valor propio,

también tiene multiplicidad geométrica unitaria, ya

que es aplicable a todos los vectores en la dirección

(vectores sobre el eje ).

Ejercicio 3

Enunciado

Sea el tensor que refleja los vectores respecto a la

recta . Encuentre los valores y vectores

propios del tensor , utilizando, como en el

problema anterior, la ecuación de valores propios.

Solución

Encontremos primero las componentes del tensor .

Dichas componentes se pueden encontrar con la

expresión

( )

Una vez realizados los cálculos, correspondientes,

podemos escribir el tensor en su representación

matricial:

[

]

[

]

De modo que la ecuación para los valores propios es:

| |

|

|

Así entonces encontramos que los valores propios

son y . Ambos con multiplicidad

algebraica unitaria.

Siendo

( )( ) [

] [ ]

[

]

[ ]

Para

( )( ) [ ]

[ ( ) ( )

]

[

]

Por lo tanto, los vectores propios correspondientes al

valor propio son todos los que tienen ambas

componentes iguales. Por lo tanto el valor propio

tiene multiplicidad geométrica unitaria (todos los

vectores propios están sobre una línea recta)

Para

( )( ) [ ]

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[ ( ) ( )

]

[

]

Así entonces, los vectores propios correspondientes

a son aquellos que tienen componentes

semejantes, sólo invertidas por el signo. Al igual que

el valor propio anterior, tiene multiplicidad

geométrica unitaria.

Ejercicio 4

Enunciado

Demuestre que la ecuación característica para un

tensor cualquiera (en el espacio tridimensional)

puede escribirse como

Donde

( )

|

| |

| |

|

[ ]

Solución La ecuación característica es:

| |

|

|

( )

Dónde:

( )( )

( )

( )

Tras manipular la expresión anterior de forma

algebraica, primero expandiéndola y después

factorizando con los factores comunes (

) se llega a la expresión que comprueba la

veracidad de lo escrito en el enunciado.

Ejercicio 5

Enunciado

Demuestre que el coeficiente del problema

anterior puede escribirse como

[ ( ) ( )]

Solución Primero calculemos cada término de la expresión

indicada en el enunciado.

( )

( ) ( )

Elevar un tensor al cuadrado equivale a multiplicarlo

por sí mismo una vez, de modo que:

Así entonces, la traza de un tensor al cuadrado es:

( ) ( )

( )

Al utilizar los resultados anteriores, obtenemos:

[ ( ) ( )]

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Ejercicio 6

Enunciado

Si es la matriz de cambio de base cartesiana,

demuestre que .

Solución

Primero transponemos los índices de , y para no

alterar el resultado, también transponemos el

resultado (recordemos que ( ) ):

( )

[

] [

]

[

]

[

]

Ejercicio 7

Enunciado

Siguiendo un proceso análogo al que nos llevó en

clase a la fórmula de transformación de componentes

de un vector , obtenga la fórmula

correspondiente que nos da las componentes del

vector de la base antigua ( ) en términos de las

componentes de la base nueva ( ).

Solución

( )

Ejercicio 8

Enunciado

Obtenga la misma fórmula solicitada en el problema

anterior, pero ahora partiendo de , y

tratando de “despejar” las componentes no primadas.

Solución Si multiplicamos ambos lados de la ecuación dada

en el enunciado por obtenemos:

Por lo tanto,

Ejercicio 9

Enunciado Similarmente, obtenga a partir de la relación

una fórmula que dé las coordenadas

de las componentes del tensor de la base antigua

( ) en términos de las componentes de la base

nueva ( ).

Solución

Si multiplicamos ambos lados de la igualdad dada en

el enunciado por obtenemos:

Renombrando los índices (

), obtenemos finalmente:

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Ejercicio 10

Enunciado

Escriba la fórmula de transformación para las

componentes de un tensor de rango.

Solución