Modelos de Colas

Instituto Tecnológico de Querétaro

Unidad Pinal de Amoles

División de Educación Presencial a Distancia

Materia: Investigación de Operaciones

Ingeniería en Sistemas Computacionales.

Actividad: Resumen Modelos de Colas

Alumno: José Luis Pérez Ortega

Asesor: Ing. Víctor Rubén Ledesma Hernández

vledesma_depad_qro@hotmail.com

Tutor: Ing. Eduardo Cruz Hernández

e_cruz_depad_pin@hotmail.com

Viernes 30-Mayo-2014

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Modelos de Colas 2014

Teoría de Cola

INTRODUCCIÓN Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola, en el transmetro, en la

barriga de la madre, en el pago de los recibos, etc. Por tal motivo se estudiaran ciertos

modelos matemáticos para las líneas de espera, lo cual surgen preguntas que pueden ser

contestadas por los modelos que se van a plantear, las preguntas son:

1 ¿Cuánto tiempo está ocioso cada servidor?

2 ¿Cuál es el número esperado de clientes presentes en la cola?

3 ¿Cuál es el tiempo previsto que un cliente debe pasar en la cola?

4 ¿Cuál es la probabilidad de clientes presentes en la cola?

5 ¿Cuál es la probabilidad del tiempo de espera de un cliente?

De acuerdo a estas preguntas podemos determinar que no solo se juega con un factor de riesgo si

es cierto o incierto si no que como podemos determinar que en mi sistema no exista cola en el

sistema porque en este capítulo podemos determinar cómo Tambien conocida como "Líneas de

Esperas". Una línea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un bien o

servicio supera la capacidad que puede proporcionar dicho sistema [1]. Un sistema de

cola tiene tres elementos:

1. Sistema de la población (Entidades).

2. Sistema de Cola.

3. Sistema de Servicio (Servidor).

Esquema Líneas de Espera

En el sistema Las llegadas deben estar con distribución Poisson y los tiempos de servicio deben

estar distribuidas exponencialmente.

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"La condición para que exista cola es cuando el número de entidades supera el numero de

servidores". Y cuando va existir cola en mi sistema y que puedo hacer yo

para contrarrestar ese fenómeno continuación.

PROCESO DE LLEGADA

Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de

probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Cada llegada ocurre aleatoriamente

e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuando ocurrirá[2]. La

distribución que proporciona una buena descripción del patrón de llegadas es la de Poisson. La

función de probabilidad es:

Donde:

λ= La cantidad de llegadas en el periodo.

x= La cantidad promedio de llegadas por periodo.

PROCESO DE SERVICIO

El proceso de servicio de un sistema de líneas de espera se especifica una distribución de

probabilidad la cual rige el tiempo de servicio a un cliente. La distribución de probabilidad para el

tiempo de servicio es la exponencial[3]. La probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o

igual que un tiempo de duración t es:

Donde:

µ= La cantidad de unidades que pueden servirse por periodo.

CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA DE COLA

1. Sistema de una sola etapa.

-Una línea de espera(cola), un servidor (o un canal)

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-Una línea de espera (cola), múltiples servidores (o múltiples canales)

-Varias líneas de espera (cola), múltiples servidores (o múltiples canales)

"En los sitemas de múltiples canales o servidores, la cola unificada (una sola línea de espera) es

mejor que el de varias colas".

2. Sistema de Multietapas. Es cuando hay varios sistemas interconectados.

NOTACIÓN KENDALL-LEE

Kendall y Lee Proponen un sistema de clasificación para sistemas de líneas de espera:

(a/b/c)(d/e/f)[4].

a) Distribución de probabilidad del tiempo de llegadas.

b) Distribución de probabilidad del tiempo de servicio.

c) Número de servidores o canales.

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d) Orden de atención de los cliente.

e) Número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo.

f) Número de clientes potenciales del sistema de línea de espera.

Notación Kendall-Lee

SISTEMA M/M/1

- Proceso de Llegada Poisson.

- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.

- Existe un solo servidor.

-Cola de capacidad infinita y población infinita.

Características Operativas de Estado Estable de una Linea de Espera

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SISTEMA M/M/k

- Los clientes llegan de acuerdo a la distribución Poisson.

- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.

- Existen k servidores.

-Existe una población infinita e infinitas colas.

Características Operativas de Estado Estable de una Linea de Espera

ECUACIONES DE LITTLE

Little muestra que: el número promedio de unidades en la línea de espera (Lq), el número de

unidades en el sistema (Ls), el tiempo promedio que cada unidad pasa en la línea de espera (Wq) y

el tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema (Ws) estan relacionadas en toma general y

se aplican a diversos modelos de líneas de espera independiente.

Primera Ecuación: El número de unidades en el sistema es igual a la tasa promedio de llegadas por

el tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:

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Igualmente, el número promedio de unidades en la cola es igual a la tasa promedio de llegadas por

el tiempo promedio que una unidad pasa en la cola:

Segunda Ecuación: El tiempo promedio en el sistema es igual al tiempo en espera mas el tiempo

promedio de servicio:

La importancia de las ecuaciones de little es que se aplican a cualquier modelo de espera

independientemente de que si las llegadas siguen una distribución poisson o no y si los tiempos de

servicios siguen una distribución exponencial o no.

MODELO DE COSTO DE UN M/M/K

Es un costo unitario por unidad de tiempo.

CT= Costo de Espera/Período + Costo de Servir/Período

CT= Ls.Cw/Período + K.Cs/Período

TEORÍA:

Se define como el conjunto de principios que hace que opere o funcione.

Hay tres grande elementos o sistema que son:

Población (ENTIDADES)

Cola(PROCESO DE ESPERA)

Servidores(PROCESO DE SERVICIO)

Por medio de esto se determina el proceso de llegada que se da por :

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Tiempo entre llegada.(Lapso de tiempo/Llegada)

Tasa(Numero de Entidades/Tiempo)= landa

Lo cual requiere un promedio espera que se da por :

Lapso de tiempo/servicio prestado.

Tasa de servicio(Numero de servidores/tiempo)=miu

CONDICIÓN:

MÍNIMO TIENE QUE A VER UNA PERSONA EN ESPERA,PARA QUE HALLA COLA,EL NUMERO DE

ENTIDADES ES DIFERENTE ALA CANTIDAD PARA HACER ATENDIDOS POR EL SERVIDOR , ES DECIR

QUE SON INVERSAMENTE PROPORCIONAL PARA QUE SE CUMPLA ESTA CONDICIÓN.

E>S ( COLA)

E=S (NO HAY COLA )

E<S(NO HAY COLA)

Donde :

E= Entidades.

S=Servidores.

PROCESO DE ENTRADA O LLEGADA

El proceso de entrada se denomina, por lo regular, proceso de llegada. Las

llegadas se llaman clientes. En todos los modelos que se estudian, se supone que no más de

una llegada ocurre en un instante dado.

Existen dos situaciones comunes en las cuales el proceso de llegadas podría depender de la

cantidad de clientes presentes. La primera se presenta cuando las llegadas se extraen de una

pequeña población,los modelos en los cuales las llegadas se toman de una

pequeña población reciben nombre de modelos de origen finito.

PROCESO DE SALIDA O DE SERVICIO

Para poder definir el proceso de salida de un sistema de linea de espera o un sistema de colas , se

especifica una distribución de probabilidad , llamada distribución del tiempo de servicio, la cual

rige el tiempo de servicio de un cliente, lo cual se supone que la distribución de l tiempo de

servicio es independiente de la cantidad de clientes presentes, de aquí se infiere que el servidor o

canal , no trabajara mas rápido cuando hay mas clientes presentes.

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En lo cual se encuentran dos tipos de servidores: servidores en paralelo y servidores en serie. los

servidores están en paralelo si todos ofrecen el mismo tipo de servicio y un cliente solo requiere

pasar por un servidor o canal para completar su servicio por ejemplo : los cajeros de bancos, los

servidores están en serie cuando un cliente debe pasar por varios servidores antes de terminar el

servicio por ejemplo: una linea de ensamble.

DISCIPLINA DE LAS LINEAS DE ESPERA.

Explica el método usando para determinar el orden con cual se atienden los clientes.

la disciplina mas común es la disciplina FCFS(frist come,frist served, es decir , al primero que llega

es al primero que se le atiende),en la cual se atiende a los clientes según el orden en que llegan,

en la disciplina LCFC(last come,frist served,el ultimo en llegar es el primero en salir),las llegadas

mas recientes son los primeros en entrar al servicio ejemplo de este caso el

elevador, disciplina SIRO(service in random order, servicio en orden aleatorio),cuando una

persona que llama a una areolinia se le hace esperar, la suerte determina con frecuencia quien

sera el siguiente persona en ser atendida por un operador, y por ultimo las disciplina de la

prioridad en las colas , una disciplina de prioridad clasifica cada llegada en una categoría por

ejemplo las salas de urgencia de un hospital.

SISTEMAS DE COLAS BÁSICO

SISTEMA DE COLAS DE UN SOLO CANAL CON UN SOLO SERVIDOR

SISTEMA DE COLAS DE UN SOLO CANAL CON MÚLTIPLES SERVIDORES

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SISTEMA DE COLAS CON MÚLTIPLES CANALES

CON MÚLTIPLES SERVIDORES

SISTEMA DE COLAS MULTIFACETICO

CLASIFICACIÓN DE KENDALL Y LEE

En 1953 Kendall y Lee propusieron un sistema de clasificación de los sistemas de líneas de espera,

ampliamente utilizado en la actualidad. Esta clasificación considera seis de las características

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mencionadas en la estructura de los modelos de líneas de espera, expresándolas en el formato (a /

b I c) (d I e I f), donde:

a distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones.

b distribución de probabilidad del tiempo de servicio.

Los símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:

D: constante.

Ek: distribución Erlang con parámetro k.

G: cualquier tipo de distribución.

GI: distribución general independiente.

H: distribución hiperexponencial.

M : distribución exponencial. C número de servidores D orden de atención a los clientes.

Los símbolos utilizados en este campo son:

FCFS: primeras entradas, primeros servicios.

LCFS: últimas entradas, primeros servicios

SIRÓ: orden aleatorio.

PR: con base en prioridades.

GD: en forma general.

E : número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo.

/ número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera.

Por ejemplo, un modelo (M/D/3) (FCFS/20/20) representa la clasificación de un sistema

donde existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras

entradas, primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene sólo 20

clientes potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El

tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y, en caso de llegar y

encontrar todos los servidores ocupados, pasan a formarse en una fila común. En otro caso, un

modelo (M/M/l)(LCFS/oo/oo) es la clasificación de una línea de espera donde hay 1 servidor

atendiendo de acuerdo con un orden de últimas entradas, primeras salidas, con tiempo de

servicio exponencial. El sistema da servicio a un número infinito de clientes potenciales, mismos

que al llegar serán aceptados por el sistema. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue

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una distribución exponencial y en caso de llegar y encontrar al servidor ocupado, pasan a

formarse en una fila común.

CAPACIDAD DEL SISTEMA

En algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en la

cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas. Esta limitación puede ser

considerada como una simplificación en la modelización de la impaciencia de los clientes.

¿COMO DETERMINAR SI MI SISTEMA TIENE RENDIMIENTO?

La tarea de un analista de colas puede ser de dos tipos:

a) establecer mecanismos para medir la efectividad del sistema.

b) diseñar un sistema “óptimo” (de acuerdo a algún criterio).

Diseñar eficientemente consiste, básicamente, en definir un sistema cuyo coste (de diseño y de

operación) se justifique por el servicio que da. Dicho servicio se puede evaluar mediante el coste

de “no darlo”. De este modo al diseñar se pretende minimizar unos supuestos costes totales .A

partir de los datos que nos suministra la teoría de colas se puede obtener la información necesaria

para definir el número de asientos necesarios en una sala de espera, o la estructura de etapas de

un proceso de atención al cliente.

En cualquier caso, para poder tomar decisiones hacen falta datos que la teoría de colas puede dar

en alguno de los siguientes tres aspectos:

a) tiempo de espera (en el total del sistema o en la cola)

b) cantidad de clientes esperando (en el sistema o en las colas)

c) tiempo ocioso de los servidores (total o particular de cada servicio)

TERMINOLOGÍA

λ:Número de llegadas por unidad de tiempo

µ:Número de servicios por unidad de tiempo si el servidor está ocupado

K : Número de servidores en paralelo

N(t): Número de clientes en el sistema en el instante t

Nq(t): Número de clientes en la cola en el instante t

Ns(t): Número de clientes en servicio en el instante t

Pn(t): Probabilidad que haya n clientes en el sistema en el instante t=Pr{N(t)=n}

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N: Número de clientes en el sistema en el estado estable

Pn : Probabilidad de que haya n clientes en estado estable Pn=Pr{N=n}

L : Número medio de clientes en el sistema

Lq : Número medio de clientes en la cola

Tq : Representa el tiempo que un cliente invierte en la cola

S : Representa el tiempo de servicio

T =Tq+S: Representa el tiempo total que un cliente invierte en el sistema

Wq=[Tq]: Tiempo medio de espera de los clientes en la cola

W=[T]: Tiempo medio de estancia de los clientes en el sistema

r: número medio de clientes que se atienden por término medio

Pb: probabilidad de que cualquier servidor esté ocupado

NOTA: cuando λ es constante para toda n , cuando la tasa medida de servicio por servidor

ocupado es constante para toda n >=1, esta constante se denota por muí.en estas circunstancias ;

los tiempos entre llegadas esperadas y los tiempos de servicio esperados que conforman el factor

de utilizaron para la instalación de servicio;es decir;la fracción de tiempo que los servidores

individua les están ocupados entre la fracción de capacidad de servicio de sistema que utilizan en

promedio los clientes que llegan al sistema.

EL SISTEMA M/M/1

Una cola M/M/1 tiene un único servidor y las tasas de llegada y de servicio siguen una

Distribución de Poisson, siendo por tanto:

La tasa de llegada es a(t)=λe-λt

La tasa de salida es a(t)=µe.µt

La condición de aplicabilidad de las formulas que siguen es:

µ>λ.

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FORMULAS

Factor de utilización La probabilidad de que haya n clientes

Número promedio Número promedio de unidades en el sistema

De unidades en la línea de espera

Tiempo promedio que utiliza la unidad Tiempo promedio que una unidad

En la línea de espera ocupa en el sistema

Probabilidad de que una unidad Probabilidad de que el sistema este N unidades

que llega tiene que esperar servicio

EL SISTEMA (M/M/2)

Suposiciones

La línea de espera tiene 2 ó más canales (instalaciones de servicio)

El patrón de llegada es de distribución de poisson.

El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución exponencial

La tasa promedio de servicio µ ,es la misma para todos los canales.

Las unidades que llegan aguardan en una sola línea de espera y después pasan al primer canal

libre para obtener servicio.

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La disciplina del servicio es FCFS(frist come,frist served, es decir , al primero que llega es al primero

que se le atiende).

Características de operación

λ= tasa promedio de llegadas al sistema

µ= tasa promedio de servicio para cada canal

k = número de canales

kµ= tasa promedio de servicio para el sistema de canales múltiples

λ= Tasa de llegada

1/λ= Tiempo promedio entre llegadas

µ= Tasa de servicio

1/µ= Tiempo promedio de servicio

La condición de aplicabilidad de las formulas que siguen es:

kµ>λ

FORMULAS

Probabilidad de que no exista Número promedio de unidades

Unidades en el sistema en la línea de espera

Número promedio de unidades en el sistema Tiempo promedio que ocupa una

Unidad en la línea de espera

Tiempo promedio que una unidad Probabilidad que exista n unidades

Ocupa en todo el sistema en el sistema

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Referencias

Varela, José Manuel (S/F). Teoría de colas. Consultado el 30 de mayo de 2014. Recuperado de:

http://investigaciondeoperacionesjosevarela.blogspot.mx/p/teoria-de-colas_14.html

Cataño, Candelaria (S/F). Teoría de colas. Consultado el 30 de mayo de 2014. Recuperado de:

http://investdeoperaciones.blogspot.mx/p/teoria-de-colas.html