Tarea IV

TAREA IV

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

Catedrático: Dr. Artemio Jesús Benítez Fundora

Alumno: Hernández Jerónimo Julio César

Matricula: s13014439

Tarea IV: Flujo Compresible

TAREA IV

Se muestra la resolución de un problema de tubería normal con flujo compresible donde

se nos pide calcular el diámetro necesario, por lo cual se mostraran los datos con los que se

trabajaran.

DATOS

Aire Pa=7.81(Bar) Tb=51.5(°C) R=8314.43(N-m/Kmol-K)

K=1.379(adim) Pb=7.03(Bar) m=12.9(Ton/hr)

Z=0.9849(adim) Ta=61(°C) MW=28.96(Kg/mol)

De la configuración de la tubería tenemos

𝚺𝐋 = 11 + 7 + 38 + 4 + 9 + 6 + 1 = 76m

De la configuración tenemos 6 codos y 2 válvulas de compuerta

𝚺𝑲 = 𝑁𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠90 ∗ 30𝑓𝑟 + 𝑁𝑉𝐺 ∗ 340𝑓𝑟

𝚺𝑲 = 6 ∗ 30𝑓𝑟 + 1 ∗ 340𝑓𝑟 = 180𝑓𝑟 + 680𝑓𝑟 = 860𝑓𝑟

TAREA IV

Aplicación de la ecuación de Bernoulli para flujo isotérmico

Análisis para flujo isotérmico

Método deducción moderna

𝑷𝟏𝝆+𝑽𝟏𝟐

𝟐+ 𝒈 ∗ 𝒛 =

𝑷𝟐𝝆+𝑽𝟐𝟐

𝟐+ 𝒈 ∗ 𝒛𝟐 +

𝚫𝑷𝒇𝒓

𝝆

Y se puede escribir la ecuación en forma diferencial

Así tenemos que

𝑑𝑃

𝜌+ 𝑑 (

𝑉2

2) + 𝑔𝑑𝐻 + [(𝑓𝑟

Σ𝐿

𝑑𝑖+ Σ𝐾) ∗ 𝑑 (

𝑉2

2) ] = 0 (1)

De la ecuación de continuidad tenemos que

𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉 ∗ 𝐴

𝑚

𝐴= 𝐺 = 𝜌𝑣(

𝑘𝑔

𝑠 ∗ 𝑚2)

𝑉 = 𝐺 ∗ 𝑣 =𝐺

𝜌

Entonces

𝑉2

2=(𝐺 ∗ 𝑣)2

2= 𝐺2

𝑣2

2

Remplazando en 𝑑 (𝑉2

2)

𝑑 (𝑉2

2) = 𝑑 (

(𝐺 ∗ 𝑣)2

2) =

𝐺2

2𝑑(𝑣2) =

𝐺2

2∗ 2 ∗ 𝑣 ∗ 𝑑𝑣 = 𝐺2 ∗ 𝑣𝑑𝑣

Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli tenemos

𝑑𝑃

𝜌+ 𝐺2 ∗ 𝑣𝑑𝑣 + 𝑔𝑑𝐻 + [(𝑓𝑟

Σ𝐿

𝑑𝑖+ Σ𝐾) ∗ 𝐺2 ∗ 𝑣𝑑𝑣 ] = 0

TAREA IV

Integrando la expresión anterior para un punto a y b

∫𝑑𝑃

𝜌

𝑏

𝑎

∫ 𝐺2 ∗ 𝑣𝑑𝑣𝑏

𝑎

∫ 𝑔𝑑𝐻𝑏

𝑎

∫ [(𝑓𝑟Σ𝐿

𝑑𝑖+ Σ𝐾) ∗ 𝐺2 ∗ 𝑣𝑑𝑣 ] = 0

𝑏

𝑎

Tenemos la siguiente expresión

𝑃𝑎 − 𝑃𝑏

𝜌+𝐺2

2(𝑣𝑎

2 − 𝑣𝑏2) + 𝑔(𝐻𝑎 − 𝐻𝑏) + (𝑓𝑟

Σ𝐿

𝑑𝑖+ Σ𝐾) ∗

𝐺2

2(𝑣𝑎

2 − 𝑣𝑏2) (2)

De la ecuación de los gases reales

𝑃𝑣 =𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊…… . 𝑣 =

𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊𝑃

Y elevando al cuadrado

𝑣2 = (𝑍𝑅

𝑀𝑊)2

(𝑇

𝑃)2

Sustituyendo en la ecuación (2)


𝜌+𝐺2

2[(𝑍𝑅

𝑀𝑊)2

(𝑇𝑎

𝑃𝑎)2

− (𝑍𝑅

𝑀𝑊)2

(𝑇𝑏

𝑃𝑏)2

] + 𝑔(𝐻𝑎 − 𝐻𝑏) + (𝑓𝑟Σ𝐿

𝑑𝑖+ Σ𝐾)

∗𝐺2

2 [(

𝑍𝑅

𝑀𝑊)2

(𝑇𝑎

𝑃𝑎)2

− (𝑍𝑅

𝑀𝑊)2

(𝑇𝑏

𝑃𝑏)2

] = 0

La expresión queda


𝜌+𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅

𝑀𝑊)2

[(𝑇𝑎

𝑃𝑎)2

− (𝑇𝑏

𝑃𝑏)2



𝐺2

2

∗ (𝑍𝑅

𝑀𝑊)2

[(𝑇𝑎

𝑃𝑎)2

− (𝑇𝑏

𝑃𝑏)2

] = 0

Para flujo isotérmico Ta=Tb


𝜌+𝐺2

2∗ (𝑍𝑅𝑇𝑎

𝑀𝑊)2

[(1

𝑃𝑎)2

− (1

𝑃𝑏)2



𝐺2

2

∗ (𝑍𝑅𝑇𝑎

𝑀𝑊)2

[(1

𝑃𝑎)2

− (1

𝑃𝑏)2

] = 0

TAREA IV

Si llamamos a 𝑵 = (𝒇𝒓𝚺𝑳

𝒅𝒊+ 𝚺𝑲) , por lo que tenemos


𝜌+𝐺2


𝑀𝑊)2

[(1

𝑃𝑎)2

− (1

𝑃𝑏)2

] + 𝑔(𝐻𝑎 − 𝐻𝑏) + 𝑁 ∗𝐺2

2

∗ (𝑍𝑅𝑇𝑎

𝑀𝑊)2

[(1

𝑃𝑎)2

− (1

𝑃𝑏)2

] = 0

Factorizando términos tenemos


𝜌+𝐺2


𝑀𝑊)2

[1 − (𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

] + 𝑔(𝐻𝑎 − 𝐻𝑏) + 𝑁 ∗𝐺2


𝑀𝑊)2

[1 − (𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

]

= 0

Para el análisis de flujo compresible de manera isotérmica existen 2 formas de desarrollarlo,

la primera es deducir una fórmula de manera moderna como lo proponen Kim y Singh

Una densidad media para el proceso de disipación de energía por fricción:

�̅�𝑓∫ 𝜌 𝑑𝑃

(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

Una densidad media para el proceso de disipación de energía por aceleración del flujo debido a la

expansión isotérmica del gas:

𝑣𝑘 =1

𝜌𝑘=

∫𝑣 𝑑𝑃


Si desarrollamos las integrales para cada una de las ecuaciones anteriores

Como 𝑣 =1

𝜌 tenemos, para la ecuación del gas ideal

𝑃

𝜌=𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊……… . . 𝜌 =

𝑃 ∗ 𝑀𝑊

𝑍𝑅𝑇

Integrando ∫𝜌 𝑑𝑃 = ∫𝑃∗𝑀𝑊

𝑍𝑅𝑇

𝑏

𝑎 𝑑𝑃 =

𝑀𝑊

𝑍𝑅𝑇∫ 𝑃 𝑑𝑝𝑏

𝑎

TAREA IV

∫𝜌 𝑑𝑃 = 𝑀𝑊

𝑍𝑅𝑇[𝑃𝑎2 − 𝑃𝑏

2

2]

Si integramos la 2da ecuación tenemos

∫𝑣 𝑑𝑃 = ∫𝑍𝑅𝑇

𝑃 ∗ 𝑀𝑊 𝑑𝑃 =

𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊∫

𝑑𝑃

𝑃=𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊ln (𝑃𝑎

𝑃𝑏)

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

Sustituyendo en

�̅�𝑓∫ 𝜌 𝑑𝑃


�̅�𝑓 =

𝑀𝑊𝑍𝑅𝑇 [

𝑃𝑎2 − 𝑃𝑏

2

2 ]

(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)=

𝑀𝑊2𝑍𝑅𝑇 [𝑃𝑎

2 − 𝑃𝑏2]

(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)=

𝑀𝑊2𝑍𝑅𝑇

[(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)(𝑃𝑎 + 𝑃𝑏)]


�̅�𝑓 =𝑀𝑊

𝑍𝑅𝑇∗𝑃𝑎 + 𝑃𝑏

2

Y para ∫ 𝑣 𝑑𝑃

(𝑃𝑎−𝑃𝑏)

�̅� =1

𝑣𝑘=𝑃𝑎 − 𝑃𝑏

∫𝑣 𝑑𝑃=


𝑍𝑅𝑇𝑀𝑊 ln (

𝑃𝑎𝑃𝑏)=𝑀𝑊(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

𝑍𝑅𝑇 ∗ 𝑙𝑛(𝑃𝑎𝑃𝑏)

Utilizar 2 valores de densidad promedio justifica que haya una expansión isotérmica por lo

que nuestra expresión general queda de la siguiente manera:

𝑃𝑎 − 𝑃𝑏 = −𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃𝑎)2

[1 − (𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

] ∗ �̅�𝑘 − 𝑔(𝐻𝑎 − 𝐻𝑏) ∗ �̅�𝑘 − 𝑁𝐺2

2

∗ (𝑍𝑅𝑇


[1 − (𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

] ∗ �̅�𝑓

En los gases los cambios existentes en sus alturas no afecta mucho por la baja densidad que

estos poseen, por lo que podemos eliminar su energía potencial, y nuestra expresión

quedaría:

TAREA IV

𝑃𝑎 − 𝑃𝑏 =𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗ �̅�𝑘 + 𝑁𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12] ∗ �̅�𝑓

Simplificando los términos de manera individual

𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗ �̅�𝑘 =𝐺2

2∗ (𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊)2

[(𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

𝑃𝑎2 ∗ 𝑙𝑛(𝑃𝑎𝑃𝑏)

𝑁𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12] ∗ �̅�𝑓 = 𝑁

𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12]



Sustituyendo en


2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗ �̅�𝑘 + 𝑁𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12] ∗ �̅�𝑓

Tenemos


2∗ (𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊)2

[(𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

𝑃𝑎2 ∗ ln (𝑃𝑎𝑃𝑏)+ 𝑁

𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12]



Sacando factor común y simplificando


2∗ (𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊){([(

𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

𝑃𝑎2 ∗ ln (𝑃𝑎𝑃𝑏)) + 𝑁 ∗ [(

𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12]


2Pa2} = 0


2∗ (𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊)(

1

𝑃𝑎2) [(

𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1]{(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

ln (𝑃𝑎𝑃𝑏)

+ 𝑁 ∗(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

2Pa2}


2∗ (𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊) [

1

𝑃𝑏2−

1

𝑃𝑎2] {(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)


+ 𝑁 ∗(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

2}

Despejando G, tenemos

𝐺 =

√ 2(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏) ∗

𝑍𝑅𝑇𝑀𝑊

[1𝑃𝑏2

−1𝑃𝑎2

] {(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)


+ 𝑁 ∗(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

2}

TAREA IV

Y recordemos que

𝑵 = (𝒇𝒓𝚺𝑳

𝒅𝒊+ 𝚺𝑲)

𝐺 =

√ 2(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏) ∗

𝑀𝑊𝑍𝑅𝑇

[1𝑃𝑏2

−1𝑃𝑎2

] {(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)


+ (𝑓𝑟Σ𝐿𝑑𝑖+ Σ𝐾) ∗

(𝑃𝑎 + 𝑃𝑏)2

}

Además que

𝐺 = 𝑃𝑣 =4𝑚

𝜋𝑑𝑖2

Por lo que nuestra expresión necesaria para poder calcular nuestro diámetro requerido es igual a

𝐺 =4𝑚

𝜋𝑑𝑖2

𝒅𝒊(𝟏) = √𝟒𝒎

𝝅𝑮

Solución

Para la resolución de este problema será necesario ver con que datos contamos para

encontrar el valor de G, para posteriormente encontrar el valor del diámetro además de

saber cuáles serán los datos a suponer. Algunos valores se le realizaron las conversiones

necesarias

Pa=781000 Pa K=1.379 Σ𝐿 = 76𝑚

Pb=703000 Pa T=(Ta+Tb)/2=329.25 °K Ncodos=6

Z=0.9849(adim) m=12.9 ton/hr=3.58kg/s Nvg=2

TAREA IV

Resolución mediante el programa Tk solver

Para poder resolver este tipo de ecuaciones yo ocupare el programa TK solver para que

resuelva las ecuaciones desconocidas y arroje los valores requeridos. En el desarrollo del

problema supondré los valores para di y fr

Valores supuestos

Di=0.05m fr=0.020

Programar las fórmulas necesarias en TK solver

Para calcular la viscosidad (el

cual ocuparemos en todos los

casos que se presentaran) del

aire requerimos de los servicios

del NIST que viene en el

programa TK SOLVER.

TAREA IV

En el apartado de variables colocamos los datos que tenemos y los datos que

suponemos(mediante Guess)

Después oprimimos el botón Solve para que el programa resuelva.

TAREA IV

Resultados

di=0.099788 m Re=2277046.85 fr=0.0166596 G=458.17

kg/sm^2

Para normalizar el diámetro se muestra a continuación la siguiente tabla

di(mm) de(mm) dN(mm) Cedula Material

102.26mm 114.13 100 40S Acero

Además de que Ma=0.198863<1(Muy subsónico)

TAREA IV

Deducción Tradicional

Para el desarrollo tradicional la forma de calcular la densidad promedio varía de acuerdo

al proceso de disipación de energía, así que la expansión isotérmica esta dad por:

�̅� =𝑀𝑊(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

𝑍𝑅𝑇 ∗ ln (𝑃𝑎𝑃𝑏)= �̅�𝑘

Partiendo de eso procedemos a sustituir en la ecuación


2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗ �̅� + 𝑁𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12] ∗ �̅�

Desarrollando los términos de manera individual tenemos

𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗ �̅� =𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗𝑀𝑊(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

𝑍𝑅𝑇 ∗ ln (𝑃𝑎𝑃𝑏)

𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗ �̅� =𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃𝑎) [(

𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

𝑃𝑎2 ∗ ln (𝑃𝑎𝑃𝑏)

𝑁𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12] ∗ �̅� = 𝑁

𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12] ∗

𝑀𝑊(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

𝑍𝑅𝑇 ∗ ln (𝑃𝑎𝑃𝑏)

𝑁𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12] ∗ �̅� = 𝑁

𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃𝑎) [(

𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12] ∗



Remplazando en la ecuación


2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗ �̅� + 𝑁𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇


[(𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12] ∗ �̅�


2∗ (

𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃𝑎) [(

𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

− 1] ∗(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

𝑃𝑎2 ∗ ln (𝑃𝑎𝑃𝑏)+ 𝑁

𝐺2

2∗ (

𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃𝑎) [(

𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12] ∗



TAREA IV

Simplificando términos


2(

𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃𝑎){[(

𝑃𝑎

𝑃𝑏) − 12] ∗


𝑃𝑎2 ∗ ln (𝑃𝑎𝑃𝑏)(1 + 𝑁)}


2(

𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃𝑎){[

1

𝑃𝑎2−

1

𝑃𝑏2] ∗


ln (𝑃𝑎𝑃𝑏)(1 + 𝑁)} = 0

Despejando G, se obtiene

𝐺 =

√ 2(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏) (


)

{[1𝑃𝑎2

−1𝑃𝑏2

] ∗(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

ln (𝑃𝑎𝑃𝑏)(1 + 𝑁)}

Y como 𝑁 = 𝑓𝑟Σ𝐿

𝑑𝑖+ Σ𝐾

𝐺 =

√ 2(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏) (


)

{[1𝑃𝑎2

−1𝑃𝑏2

] ∗(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

ln (𝑃𝑎𝑃𝑏)(1 + (𝑓𝑟

Σ𝐿𝑑𝑖+ Σ𝐾))}

Además que


𝜋𝑑𝑖2

Por lo que nuestra expresión necesaria para poder calcular nuestro diámetro requerido es

igual a

𝐺 =4𝑚

𝜋𝑑𝑖2

𝒅𝒊(𝟐) = √𝟒𝒎

𝝅𝑮

TAREA IV

Resolución mediante el programa TK solver

El método de resolución en TK solver será muy parecido al que se mostro anteriormente

Valores supuestos

Di=0.05m fr=0.020



suponemos (mediante Guess).

TAREA IV

Después oprimimos el botón Solve para que el programa resuelva

Resultados

di=0.099769 Re=2277483.56.56 fr=0.01666 G=458.354 kg/s

m^2

Además de que Ma=0.198939<1(Muy subsónico)



102.26mm 114.13 100 40 Acero

Podemos observar que los resultados obtenidos tanto en deducción tradicional como

en deducción moderna para flujo isotérmico son muy parecidos casi iguales.

TAREA IV

Análisis adiabático

DEDUCCIÓN TRADICIONAL

El procedimiento a utilizar será parecido a las deducciones anteriores

Cuando una tubería se encuentra perfectamente aislada, por lo que no permite la

transferencia de calor al exterior se considera que se encuentra en un estado

adiabático. En el proceso adiabático se cumple que:

𝑃𝑎 𝑣𝑎𝑘 = 𝑃𝑏 𝑣𝑏𝑘 = 𝑐𝑡𝑒…… . .𝑣𝑏

𝑣𝑎= (

𝑃𝑎

𝑃𝑏)

1𝑘

Elevando al cuadrado, tenemos

(𝑣𝑏

𝑣𝑎)2

=𝑣𝑏2

𝑣𝑎2= (

𝑃𝑎

𝑃𝑏)

2𝑘

Si despejamos 𝑣𝑏2

𝑣𝑏2 = 𝑣𝑎2 (𝑃𝑎

𝑃𝑏)

2𝑘

Entonces remplazamos en la ecuación (2), los valores que obtuvimos


𝜌+𝐺2

2(𝑣𝑎

2 − 𝑣𝑏2) + 𝑔(𝐻𝑎 − 𝐻𝑏) + (𝑓𝑟

Σ𝐿


𝐺2

2(𝑣𝑎

2 − 𝑣𝑏2)


𝜌+𝐺2

2(𝑣𝑎

2 − 𝑣𝑎2 (𝑃𝑎

𝑃𝑏)

2𝑘) + 𝑔(𝐻𝑎 − 𝐻𝑏) + (𝑓𝑟

Σ𝐿


𝐺2

2(𝑣𝑎

2 − 𝑣𝑎2 (𝑃𝑎

𝑃𝑏)

2𝑘)

= 0


𝜌+𝐺2𝑣𝑎

2[1 − (

𝑃𝑎

𝑃𝑏)2



𝐺2𝑣𝑎

2[1 − (

𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

]

TAREA IV

Recordar que 𝑁 = 𝑓𝑟Σ𝐿

𝑑𝑖+ Σ𝐾, por lo que


𝜌+𝐺2𝑣𝑎

2[1 − (

𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

] + 𝑔(𝐻𝑎 − 𝐻𝑏) + 𝑁 ∗𝐺2𝑣𝑎

2[1 − (

𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

] = 0

Y recordar que de la ecuación de los gases ideales

𝑣𝑎2 = (𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃)2

Así que la expresión queda

𝑃𝑎 − 𝑃𝑏 (𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃)2

[1 − (𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

] ∗ �̅� + 𝑔(𝐻𝑎 − 𝐻𝑏) + 𝑁 ∗𝐺2

2(𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃)2

[1 − (𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

] �̅� = 0

Donde la �̅� para un proceso adiabático está dado por

�̅� =(𝑘 − 1𝑘

)(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

(𝑍𝑅𝑇𝑀𝑊

) [1 − (𝑃𝑏𝑃𝑎)

𝑘−1𝑘]

= �̅�𝑘

Sustituyendo y acomodando tenemos


2 (

𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃)2

[1 − (𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

] ∗ �̅� + 𝑔(𝐻𝑎 − 𝐻𝑏) + 𝑁 ∗𝐺2

2(𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃)2

[1 − (𝑃𝑎

𝑃𝑏)2

] �̅� = 0

𝑃𝑎 − 𝑃𝑏 = (𝑁 + 1)𝐺2

2(𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃)2

(1

𝑃𝑎2) [(

𝑃𝑎

𝑃𝑏)

2𝑘− 1]

{

(𝑘 − 1𝑘

)

[1 − (𝑃𝑏𝑃𝑎)

𝑘−1𝑘]

+ 𝑁 ∗(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

2

}

+ 𝑔(𝐻𝑏 − 𝐻𝑎) ∗

(

𝑘 − 1

𝑘(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)


[1 − (𝑃𝑏𝑃𝑎)

𝑘−1𝑘])

= 0

TAREA IV

En los gases los cambios existentes en sus alturas no afecta mucho por la baja densidad que

estos poseen, por lo que podemos eliminar su energía potencial, y nuestra expresión

quedaría:

𝑃𝑎 − 𝑃𝑏 = (𝑁 + 1)𝐺2

2(𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊) (

1

𝑃𝑎2) [(

𝑃𝑎

𝑃𝑏)

2𝑘− 1]

{

(𝑘 − 1𝑘

)

[1 − (𝑃𝑏𝑃𝑎)

𝑘−1𝑘]

+ 𝑁 ∗(𝑃𝑎 + 𝑃𝑏)

2

}

= 0

Y despejando G, tenemos que

𝐺 =

√ 2(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

𝑁 + 1 (𝑍𝑅𝑇𝑀𝑊

) (1

𝑃𝑎2) [(

𝑃𝑎𝑃𝑏)

2𝑘− 1]

{

(𝑘 − 1𝑘

) (𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

[1 − (𝑃𝑏𝑃𝑎)

𝑘−1𝑘]}

Y recordar que

Además que


𝜋𝑑𝑖2


igual a

𝐺 =4𝑚

𝜋𝑑𝑖2

𝒅𝒊(𝟑) = √𝟒𝒎

𝝅𝑮

TAREA IV

La resolución de este problema es igual que en los casos anteriores, con nuestros

datos conocidos y valores supuestos que será resuelto por el programa TK solver.


Valores supuestos

Di=0.05m fr=0.020




TAREA IV


Resultados

di=0.09279 Re=2448473 fr=0.01689 G=529.807 kg/s m^2

Ma=0.195819<1(Muy subsónico)



95.5 101.6 90mm 40 Acero

TAREA IV

DEDUCCIÓN MODERNA

Para el desarrollo tradicional la forma de calcular la densidad promedio varía y está dada

por:

�̅�𝒇 =𝑴𝑾

𝒁𝑹𝑻∗𝑷𝒂 + 𝑷𝒃

𝟐

Utilizando un proceso similar que en los casos anteriores


2(𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃) (

1

𝑃𝑎2) [(

𝑃𝑎

𝑃𝑏)

2𝑘− 1]

{

(𝑘 − 1𝑘

) (𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

[1 − (𝑃𝑏𝑃𝑎)

𝑘−1𝑘]}

+ 𝑔(𝐻𝑏 − 𝐻𝑎) ∗

(

𝑘 − 1



[1 − (𝑃𝑏𝑃𝑎)

𝑘−1𝑘])

+𝐺2

2(𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃)2

(1

𝑃𝑎2) [(

𝑃𝑎

𝑃𝑏)

2𝑘− 1] ∗ (

𝑃𝑎 + 𝑃𝑏

2)


2(𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃) (

1

𝑃𝑎2) [(

𝑃𝑎

𝑃𝑏)

2𝑘− 1] ∗

{

(𝑘 − 1𝑘

) (𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

[1 − (𝑃𝑏𝑃𝑎)

𝑘−1𝑘]

+ 𝑁 ∗𝑃𝑎 + 𝑃𝑏

2

}

+ 𝑔(𝐻𝑎 − 𝐻𝑏)

∗

(

𝑘 − 1



[1 − (𝑃𝑏𝑃𝑎)

𝑘−1𝑘])

Como en los gases los cambios existentes en sus alturas no afecta mucho por la baja

densidad que estos poseen, por lo tanto podemos eliminar las diferencias de altura


2(𝑍𝑅𝑇

𝑀𝑊 ∗ 𝑃) (

1

𝑃𝑎2) [(

𝑃𝑎

𝑃𝑏)

2𝑘− 1] ∗

{

(𝑘 − 1𝑘

) (𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

[1 − (𝑃𝑏𝑃𝑎)

𝑘−1𝑘]

+ 𝑁 ∗𝑃𝑎 + 𝑃𝑏

2

}

TAREA IV

Finalmente despejando G, tenemos que

𝐺 =

√

2(𝑀𝑊𝑍𝑅𝑇

)(𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

(1

𝑃𝑎2) [(

𝑃𝑎𝑃𝑏)

2𝑘− 1]

{

(𝑘 − 1𝑘

) (𝑃𝑎 − 𝑃𝑏)

[1 − (𝑃𝑏𝑃𝑎)

𝑘−1𝑘]

+ 𝑁 ∗(𝑃𝑎 + 𝑃𝑏)

2

}

Además que


𝜋𝑑𝑖2


igual a

𝐺 =4𝑚

𝜋𝑑𝑖2

𝒅𝒊(𝟒) = √𝟒𝒎

𝝅𝑮

TAREA IV

La resolución del problema nuevamente se llevara a cabo como en los casos anteriores a

través del TK solver


Valores supuestos

Di=0.05m fr=0.020




TAREA IV


Resultados

di=0.09253 Re=2455333.22 fr=0.016904 G=532.78 kg/s

m^2

Ma=0.196918<1(Muy subsónico)



95.5 101.6 90mm 40 Acero

Notamos que los valores del diámetro para flujo adiabático en deducción moderna como

tradicional varían muy pero muy poco

TAREA IV

Ahora se presenta una tabla con los valores obtenidos, con sus respectivos valores

normalizados

di

Obtenido(mm)

di(mm) dN(mm) de(mm) Cedula Material Modo

99.788 102.26 100 114.13 40 Acero Iso. Moderna

99.769 102.26 100 114.13 40 Acero Iso. Tradicional

92.79 95.5 90 101.6 40 Acero Adiab.Tradicional

92.53 95.5 90 101.6 40 Acero Adiab. Moderna

Los diámetros obtenidos tanto en forma isotérmica en sus dos versiones (moderna

y tradicional) son muy parecidos así que al estandarizarlos se encuentran con el

mismo diámetro nominal (100mm o 4’’) lo mismo sucede cuando es en forma

isotérmica los valores obtenidos son muy parecidos así que al estandarizarlos

también tienen el mismo diámetro nominal (90mm o 3 ‘’’). El más recomendable

será el que se calculó cuando el fluido está en modo isotérmico y esto es porque al

hacerlo de manera isotérmica el diámetro resultante es mayor que en el adiabático,

y así existe un margen de error mayor de la tubería habría menor pérdida de presión

por fricción ya que el diámetro es mayor.

En cambio sí se optara por el de menor diámetro se tendría un riesgo que el fluido

no lo atravesará de manera adecuada causando pérdidas de funcionamiento en la

planta y por lo tanto, pérdidas económicas.

Tubería de acero de 4’’ de diámetro nominal cedula 40,

Acero

TAREA IV

Conclusión

Trabajar con Bernoulli de manera incompresible resulta hasta cierto modo más fácil

que hacerlo con flujo compresible y esto es porque para hacerlo trabajar con flujo

compresible se le hacen muchos arreglos necesarios para poder ocuparse, pero como

ingenieros debemos trabajar con cualquier tipo de fluido, y en diferente estado.

Si bien obtuvimos el resultado de 4 diámetros , pero cuando fueron normalizados se

redujo a dos, uno para isotérmico y otro para adiabático, pero para escoger el

diámetro a ocupar nos basamos en que siempre es mejor escoger el que tenga el

mayor diámetro para asegurar que el fluido llegue la cantidad adecuada de fluido.

Bibliografía

Transporte de fluidos en tuberías y conductos. Dr. Artemio Benítez

Fundora

Mecánica de Fluidos. Sexta edición .Robert L.Mott

Tarea IV

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