INSTRUCCIONES TAREA 1

1.) Esta tarea vale por un control. La entrega considera el envıo de un mail con un informe ylos documentos computacionales.

2.) La tarea es grupal, con a lo mas 6 personas por grupo.

3.) La FECHA DE ENTREGA DE LA TAREA 1 es el Jueves 15 de OCTUBRE de2015. El informe de la tarea junto con el codigo fuente debe ser enviado al correo e-mailoptimizacionuandes@gmail.com, incluyendo en el “subject” Tarea 1: Nombre de grupo.

4.) Las tareas que no cumplan con los formatos establecidos o no sean entregadasen la fecha antes mencionada, seran calificadas inmediatamente con la notamınima.

5.) Las consultas las pueden hacer llegar al email optimizacionuandes@gmail.com.

Universidad de Los AndesFacultad de Ingenierıa y Ciencias Aplicadas

Semestre 2015-2

Profesores: Miguel Carrasco, Marcelo Tapia

Ayudantes de Catedra: Gonzalo Dominguez, Sofıa Murgadas

Tarea 1Introduccion a la Optimizacion

Para guiarlos en el desarrollo de esta tarea, se encuentran en la pagina del curso los siguientescodigos fuentes

poligono.m: que entrega el grafico de un pentagono y algunas curvas de nivel de lafuncion x+ y.

writefile.m: que escribe y lee archivos.

Pueden ser utiles las funciones de matlab plot, line, fill, hold on y hold off , fopen,fprintf y fclose.

P1. La firma C&M produce y vende tres tipos diferentes de whiskies, Etiqueta Roja, Azul yNegra, a partir de cuatro maltas conocidas en la distelerıa con los nombres de M3, M5,M8, M9. Las formulas empleadas para producir estos whiskies se pueden resumir ası:

Etiqueta Roja: 50 % de M3 , entre 20-25 % de M5, no mas del 20 % de M8 y no masde 10 % de M9.

Etiqueta Azul: no mas de 30 % de M3 , al menos un 30 % de M5, un 30 % de M8 yno mas de 15 % de M9.

Etiqueta Negra: nada de M3, al menos un 30 % de M5, no mas de un 10 % de M8 yno mas de 25 % de M9.

Los suministros de maltas M3, M5, M8 y M9 estan limitados a 10.000, 12.500, 15.000 y15.000 litros, y su costo de produccion por litro es 6, 50$, 6, 00$, 5, 25$ y 4, 50$ respec-tivamente. Los whiskies C&M Etiqueta Roja, Azul y Negra se venden a los mayoristas a8$, 6, 50$, y 6$ por litro, sin impuesto, y la fabrica puede vender todo lo que produce.

Utilizando los software AMPL, GAMS y el Solver de MS Excel para optimizacion.determinar el tipo de mezclas a utilizar y el nivel de produccion, de manera que se obtengala mayor utilidad posible.

P2. Una empresa transnacional exportadora de frutas que opera en America del Sur deseadeterminar un plan de distribucion de la fruta desde las plantas empacadoras hasta loscentros de distribucion, para el perıodo de verano. Las plantas se encuentran ubicadas enRancagua, San Pablo y Bogota. El mercado se ha agrupado en cuatro regiones, siendo cadauna de ellas atendida por un distribuidor. Los centros de distribucion estan localizados en

Santiago, Rıo de Janeiro, Quito y Caracas. Ademas, Lima y Mendoza pueden funcionarcomo puntos intermedios de distribucion. En la tabla se senalan los costos unitarios detransporte en M$$, los requerimientos de cada region y la produccion de fruta en lasplantas, para el perıodo de verano.

Orıg/Dest Stgo Rıo de Janeiro Quito Caracas Lima Mendoza Produc. Capac.

Rancagua 3 20 30 30 10 6 300 0

San Pablo 15 5 35 40 20 12 250 0

Bogota 45 25 10 12 25 30 200 0

Santiago 0 15 30 48 12 10 0 0

Lima 12 22 8 30 0 15 0 150

Mendoza 10 15 12 35 15 0 0 180

Requerimientos 120 300 80 200 0 0 - -

Se busca formular un modelo de programacion lineal que permita minimizar los costos detransporte. Programe este modelo en los software AMPL, GAMS y el Solver de MSExcel para optimizacion.

P3. El diseno de minas de tajo abierto para la extraccion de un mineral se realiza a traves deun modelo de bloques como el que se muestra en la figura 1.

Figura 1: El modelo de bloques de una mina sin explotar se describe con una malla de n filasy m columnas. Cada casilla representa un bloque de material que puede ser extraıdo. Como elsuelo no es homogeneo, no necesariamente los bloques tienen la misma masa.

La extraccion del material consiste en seleccionar bloques para extraerlos y procesarlospara obtener el mineral. Esta seleccion de bloques debe ser tal que:

la mina sea a tajo abierto,

la diferencia de profundidad de la mina de dos columnas vecinas sea a lo mas de unbloque,

la profundidad de la 1.a y ultima columna debe ser a lo mas de un bloque.

Dado un bloque (i, j), por cada tonelada de material extraıdo hay un costo ci,j asociado yademas hay un porcentaje mi,j del mineral.

Si el precio de la tonelada del mineral es p, plantee un problema de programacion linealque permita decidir que bloques extraer de modo que maximice las utilidades.

Suponga ahora que se especifican los siguientes datos:

p = 65,

ci,j = i+ j(16− j)mi,j en una matriz en el archivo.

Calcule mediante un programa la solucion del problema de programacion lineal que planteo.

P4. Sea m ∈ N \ 0, 1. Definimos θm := 2πm y para k ∈ 0, . . . ,m(

xkyk

):=

(cos(kθm)sen(kθm)

).

Ahora definimos para k ∈ 1, . . . ,m los vectores

nk :=

(yk − yk−1xk−1 − xk

).

Consideremos los dominios definidos por

Ωm :=m⋂k=1

(x, y) ∈ R2 |

⟨(x− xk−1y − yk−1

), nk

⟩≤ 0

.

a) Dibuje el dominio Ω3 y Ω4. Indique que figura son los Ωm.

b) Considere una funcion f : R2 → R continua. Demuestre, utilizando los teoremas deexistencia vistos en clases, que f posee un mınimo y un maximo en Ωm.

c) Escriba un procedimiento en Matlab o Python que reciba como input los vectores(c1, c2) ∈ R2, α ∈ Rn, un natural m ≥ 3 y realiza las siguientes acciones:

Dibuja el conjunto Ωm

En el mismo grafico anterior dibuja las curvas de nivel αi, i = 1, . . . , n, de lafuncion f(x, y) = c1x+ c2y.

Escribe un programa en AMPL o GAMS con el modelo de optimizacion parael problema

min(x,y)∈R2

f(x, y) | (x, y) ∈ Ωm. (Pm)

d) Reporte una tabla con la solucion de (Pm), obtenida en AMPL o GAMS, para(c1, c2) = (0,−1) y para m = 3, . . . , 40, distinga los casos en que m (mod 4) = 0, 1, 2y 3. Grafique las soluciones en estos casos.

Observacion: para este problema pueden ser utiles las funciones de Matlab : fill, line,fopen, fprintf, fclose y los programas: poligono.m y writefile.m.