Tarea_2_Resuelta

7/25/2019 Tarea_2_Resuelta

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Electromagnetismo I

Semestre: 2014-2

TAREA 2 Y SU SOLUCION

Dr. A. Reyes-Coronado

Solucion por Carlos Andres Escobar Ruz

1.- Problema: (20pts) a) Una carga puntualq esta localizada en el centro de un cubode ladod. Calcula el flujo de campo electrico (E=

S

E da) sobre cualquiera de lascaras. b) Si la carga se mueve a una de las esquinas del cubo, calcula el flujo electricoen cada una de las caras del cubo.

!"

!

#

$"

!

#

Solucion al problema 1

a)El campo electrico de una carga puntual es radial, es decir, para una distancia fijar

este tiene la misma intensidad en todas direcciones. Ahora bien, considerando que la cargaesta encerrada y a la mitad del cubo, tenemos que existe una relaci on entre el flujo a travesde un area dada y la proporcion de esta respecto al area total.

Por la ley de Gauss tenemos que el flujo total esta dado por

E da= q

0. (1)

Dado que la proporcion del area de una de las caras del cubo respecto al area total esde 1/6, se sigue que

Flujo por una de las caras=1

6Flujo total=

q

6 0. (2)

Notese que esto deja de ser valido si la carga no esta en el centro, esto es debido aque el flujo en distintas caras sera generalmente diferente, (los diferenciales de area nuncacambian sobre las caras del cubo pero las magnitudes y direcciones del campo electrico s lohacen). Aunque lo anterior deja de ser valido, no ocurre lo mismo con la ley de Gauss (1),la cual siempre es valida independientemente de donde se localiza la carga encerrada. Paraclarificar un poco mas el problema podemos mencionar que el flujo sobre 2 caras del cuboes 2

6

q0

, sobre 3 caras 36

q0

, sobre 4 caras 46

q0

, sobre 5 caras 56

q0

y sobre las 6 caras 66

q0

= q0 ,esto ultimo es la ley de Gauss aplicada a una superficie cerrada.

1


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b)El flujo a traves de las tres caras contiguas donde esta posicionada la carga es nulo,esto es porque sobre estas caras el campo electrico y la diferencial de area son ortogonales.Para determinar el flujo sobre las tres caras restantes podemos aplicar el razonamientodel inciso anterior, para lo cual solo es necesario encerrar a la carga en una superficie

imaginaria conveniente de la cual las tres caras formen parte. Consideremos que la cargaesta en el centro de un cubo de lado 2d. El flujo total sobre este cubo de lado 2 dlo volvemosa obtener por la ley de Gauss y en este caso el area de una de las caras (del cubo inicial)sera de 1

24del area total del cubo de lado 2d. Por lo tanto, sobre estas tres caras restantes

tenemos que

Flujo por una de las caras= 1

24Flujo total=

q

24 0. (3)

2. Problema: (20pts) Un cascaron esferico posee una densidad de carga

(r) = kr2

,

en la region a r b (ver figura), donde k es una constante. Calcula el campoelectrico en las tres regiones: i) r < a,ii) a < r < b y iii) r > b. Grafica la magnituddel campo electrico como funcion de r.

!

#


Dada la alta simetra (la densidad de carga solo tiene dependencia radial), podemoshacer uso de la ley de Gauss en su forma integral para las tres distintas regiones del espacio(r < a, a < r < b y r > b).

E

da=

Q

0 , (4)

donde Q es la carga total encerrada por una superficie gaussiana, la la tomaremos comoesferas con centro en el origen de coordenadas (concentricas a los cascarones esfericos).

i) Para r < a, la carga encerrada por nuestra superficie gaussiana es cero, con lo cualE= 0 (independientemente del radio de la esfera que tomemos, recordando que r < a).

ii) Paraa r b tenemos,

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E da= E(4r2) = Q

0=

1

0

dV, (5)

= 1

0 ra

k

r2 (4r2

dr),

= 4k

0(r a).

De lo cual tenemos que

E= k

0

(r a)r2

r. (6)

iii)Parar bbasta sustituir en la integral anterior el l mite superiorr b, con lo cualobtenemos

E= k

0

(b a)r2

r. (7)

La grafica de la magnitud del campo como funcion de r es la siguiente

3. Problema: (25pts) Un cable coaxial muy largo posee una densidad volumetrica decarga uniforme sobre el cilindro interior, de radio a, y una densidad superficialde carga sobre el cascaron cilndrico exterior, de radio b (ver figura). La densidadsuperficial de carga es negativa y justo de la magnitud correcta para que el cable ensu conjunto sea electricamente neutro. Calcula el campo electrico en las tres regiones:i) dentro del cilindro interior (r < a), ii) entre los dos cilindros (a < r < b) y iii)fuera del cable (r > b). Grafica la magnitud del campo electrico como funcion de r.

!

#

!

#

3


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Nuevamente, la alta simetra del problema nos permite hacer uso de la ley de Gauss en suforma integral. Cabe mencionar que el termino cable largo lo tomaremos en el entendido

de infinito, con lo cual tenemos que la magnitud del campo electrico solo depende de ladistancia al eje del cable coaxial, es decir, el sistema tiene simetra cilndrica.

Lo anterior nos dice que las superficies gaussianas que debemos de tomar son cilindroscon el eje coincidiendo con el eje del cable. Sobre las tapas del cilindro el campo electricoes ortogonal a la diferencial de area, mientras que para las partes que no son las tapas elcampo electrico y la diferencial de area son paralelas.

Dicho lo anterior procedemos como en el ejercicio anterior.

i) Para r < a tomamos un cilindro de radio r con altura l .

E da= E(2rl) =

Q

0 =r2l

0 , (8)

E= r

20r, (9)

donde r es un vector unitario que apunta en la direccion radial al eje del cilindro.

ii) Paraa r < b.

E da= E(2rl) = Q0

=a2l

0, (10)

E= a

2

2 0rr. (11)

iii) Para r > b la carga total encerrada es cero, de lo cual se sigue que E= 0.

La grafica de la magnitud del campo electrico como funcion de r es la siguiente

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4. Problema: (25pts)

a) Usando la siguiente ecuacion

(r) = 1

40

ni=1

q

|r ri| ,

calcula el potencial a una distancia z0 sobre el centro de una distribucion decargas como se muestra en la figura. Calcula E= y compara tu resultadocon el de la TAREA 1.

! !

!z0

ez

+q +q

d/2

d/2

b) Usando la siguiente ecuacion

(r) = 1

40

(r )|r r | dl

,

calcula el potencial a una distancia z0 sobre el centro de una distribucion decargas como se muestra en la figura. Calcula E= y compara tu resultadocon el visto en clase.

!"

!

z

"

ez


a) La distancia de cualquiera de las dos cargas el punto de observacion z0 es r =(d2

)2 +z20

, con lo cual el potencial como funcion de z0 es

(z0) = 1

40

2q(d2

)2 +z20

. (12)

Calculando el campo electrico a partir de esta expresion tenemos

E= = (z0)z0

z= 1

40

2 q z0(d2

)2 +z20

3/2 z, (13)lo cual esta de acuerdo con lo obtenido en la tarea 1.

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b)Haciendo uso de directo de la ecuacion sugerida

(z) = 1

40

L

L

dx

z2

+x2

=

40

ln(x+ z2 +x2)

L

L

, (14)

=

40ln

L+

z2 +L2

L+

z2 +L2

,

=

40ln

L+

z2 +L2

L+ z2 +L2 L +

z2 +L2

L+

z2 +L2

,

=

20ln

L+

z2 +L2

z

.

Notemos que la integral anterior puede resolverse haciendo el cambio de variable x =z tan().

Para obtener el campo electrico tenemos

E= = (z)z

= 1

20

L

z

z2 +L2z, (15)

lo cual nuevamente esta de acuerdo con lo obtenido en la tarea 1.

5. Problema: (10pts) Considera que el campo electrico en una cierta region del espacioesta dado por E= k r3 er, donde k es una constante. a) Calcula la densidad de cargavolumetrica y b) calcula la carga total encerrada en una esfera de radio R.


a)Considerando la ley de Gauss en su forma diferencial tenemos que

= 0 E=0 1r2

r(r2 kr3) = 50kr2, (16)

(poniendo atencion de hacer uso de la divergencia en coordenadas esfericas).

b)Podemos hacer uso de la ley de Gauss en su forma integral porque sabemos que elcampo es radial

Q= 0

E da= 0(kR3)(4R2) = 40kR5. (17)

6. Problema TORITO: (30pts) Una superficie conica (como un cono de helado huecopuesto de cabeza) posee una densidad de carga superficial uniforme . La altura delcono es h, al igual que el radio de la base circular. Calcula la diferencia de potencialentre el punto mas alto del cono (el vertice) y el centro del crculo de radio h (basedel cono).

6


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Vamos a obtener el potencial producido por una distribucion de carga superficial me-diante

(r) = 1

40

(r)

r da, (18)

siendo r la distancia de la fuente (en este caso un diferencial de area) al punto deobservacion.

Haciendo uso de coordenadas esfericas sabemos que la restriccion = constante da comoresultado un cono donde el origen de este y el de coordenadas coinciden. La diferencialde area en coordenadas esfericas para este caso ( = cte.) se encuentra dado por da =r sin(c) drd. Ahora bien, dado que la altura y la base son iguales (de valor h) se sigue quec = 45

.

Para el punto en la base del cono tenemos que

(a) = 1

40

2

0

2h

0

(rsin(c) drd)r

, (19)

= 1

40

2

0

2h

0

2

drd,

= h

20.

En los pasos anteriores hicimos uso de sin(45) = 12

, y a su vez para abarcar desde la

punta del cono hasta su base debemos de tener 0

r

h2 +h2 =

2h.

Para el punto sobre la base tenemos que proceder de igual forma, solo que en este casola distancia l que va de la fuente al punto de observaci on no esta directamente dada enterminos de la coordenada r , sin embargo haciendo uso de la ley de cosenos esta puede serobtenida como

l2 =h2 +r2 2 cos(45)h r = h2 +r2

2h r, (20)

de lo cual se sigue que

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(b) = 1

40

2

0

2h

0

(rsin(c) drd)l

, (21)

= 140

22

2h0

rh2 +r2 2hr

dr,

= h

20ln(1 +

2).

En el ultimo paso se realizo la integracion y el resultado fue reducido por algebra ele-mental. El proceso de integracion no es trivial pero puede ser obtenido analticamente. Sise desea realizarlo se sugiere hacer uso del metodo aleman. Dado lo anterior el resultadofinal es

(a) (b) = h20

[1 ln(1 +

2)]. (22)

Otra manera de plantear las integrales es notar que el cono puede ser visto como unconjunto de anillos de radio r, (siendo r la distancia que va de forma ortogonal del ejeprincipal del cono al cono mismo), cada uno de los puntos sobre este anillo produce lamisma aportacion al potencial, con lo cual bastara integral sobre todos estos anillos.

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