TE

Algebra Lineal II

Jose Alejandro Lara Rodrguez

Facultad de MatematicasUniversidad Autonoma de Yucatan

[email protected] A, Planta alta, cubculo 4

16 de abril de 2015

Alejandro Lara (Fmat- Uady) Algebra Lineal II 16 de abril de 2015 1 / 80

Contenido


Contenido

1 Teora EspectralValores y vectores propiosDiagonalizacionTriangulacion de operadores linealesDiagonalizacion unitariaDescomposicion en valores singularesSecciones conicas y superficies cuadraticasEl polinomio mnimo de una matrizLa forma canonica de Jordan


Valores y vectores propios

1 Sea T : V V un operador lineal sobre un K -e.v. V .

2 K es un valor propio de T si existe 0 6= v V tal queTv = v .

3 El espectro de T

(T ) = { K : es un valor propio de T}4 Los vectores v 6= 0 tales que Tv = v son los vectores propios de

T correspondientes a .5 El espacio propio de T correspondiente al valor propio es

E

= {v V | Tv = v}= ker(T 1V )= {vectores propios correspondientes a } {0}.



1 Sea T : V V un operador lineal sobre un K -e.v. V .2 K es un valor propio de T si existe 0 6= v V tal que

Tv = v .

3 El espectro de T



E





Tv = v .

3 El espectro de T

(T ) = { K : es un valor propio de T}

4 Los vectores v 6= 0 tales que Tv = v son los vectores propios deT correspondientes a .

5 El espacio propio de T correspondiente al valor propio es

E





Tv = v .

3 El espectro de T


T correspondientes a .

5 El espacio propio de T correspondiente al valor propio es

E





Tv = v .

3 El espectro de T



E





Tv = v .

3 El espectro de T



E = {v V | Tv = v}

= ker(T 1V )= {vectores propios correspondientes a } {0}.




Tv = v .

3 El espectro de T



E = {v V | Tv = v}= ker(T 1V )

= {vectores propios correspondientes a } {0}.




Tv = v .

3 El espectro de T



E = {v V | Tv = v}= ker(T 1V )= {vectores propios correspondientes a } {0}.


Ejemplos

Ejemplo

1 Sea T : R2 R2 dada por

T(

xy

)=

(3x + 2y3x 2y

)

2 Entonces T(

21

)=

3 Un valor propio es =4 Un vector propio es v =5 Espacio propio correspondiente a = 4:

E4 = ker(T 4 1R2) =


Ejemplos

Ejemplo1 Sea T : R2 R2 dada por

T(

xy

)=

(3x + 2y3x 2y

)

2 Entonces T(

21

)=


E4 = ker(T 4 1R2) =


Ejemplos


T(

xy

)=

(3x + 2y3x 2y

)

2 Entonces T(

21

)=

3 Un valor propio es =

4 Un vector propio es v =5 Espacio propio correspondiente a = 4:

E4 = ker(T 4 1R2) =


Ejemplos


T(

xy

)=

(3x + 2y3x 2y

)

2 Entonces T(

21

)=

3 Un valor propio es =4 Un vector propio es v =

5 Espacio propio correspondiente a = 4:

E4 = ker(T 4 1R2) =


Ejemplos


T(

xy

)=

(3x + 2y3x 2y

)

2 Entonces T(

21

)=


E4 = ker(T 4 1R2) =


Ejemplo

1 Sea T : R[t ]4 R[t ]4 dado por

T(

a0 + a1t + a2t2 + a3t3)

= (2a0 + a1)+2a1t+(2a2 + a3) t2+2a3t3.

2 Entonces T (3 + 5t2) =3 Un vector propio es v =4 un valor propio es =5 E2 =


Ejemplo


T(

a0 + a1t + a2t2 + a3t3)

= (2a0 + a1)+2a1t+(2a2 + a3) t2+2a3t3.

2 Entonces T (3 + 5t2) =

3 Un vector propio es v =4 un valor propio es =5 E2 =


Ejemplo


T(

a0 + a1t + a2t2 + a3t3)

= (2a0 + a1)+2a1t+(2a2 + a3) t2+2a3t3.

2 Entonces T (3 + 5t2) =3 Un vector propio es v =

4 un valor propio es =5 E2 =


Ejemplo


T(

a0 + a1t + a2t2 + a3t3)

= (2a0 + a1)+2a1t+(2a2 + a3) t2+2a3t3.

2 Entonces T (3 + 5t2) =3 Un vector propio es v =4 un valor propio es =

5 E2 =


Ejemplo


T(

a0 + a1t + a2t2 + a3t3)

= (2a0 + a1)+2a1t+(2a2 + a3) t2+2a3t3.

2 Entonces T (3 + 5t2) =3 Un vector propio es v =4 un valor propio es =5 E2 =


Ejemplo

1 Sea T el operador lineal derivacion:

T (f ) = f

2 T (e3x ) =

1 Un vector propio es:2 Un valor propio es:3 Cuantos valores propios distintos tiene T ?

3 Sea T el operador lineal doble derivacion:

T (f ) = f

4 T (sen(x)) =

1 Cuantos valores propios distintos tiene T ?


Ejemplo


T (f ) = f

2 T (e3x ) =1 Un vector propio es:

2 Un valor propio es:3 Cuantos valores propios distintos tiene T?


T (f ) = f

4 T (sen(x)) =



Ejemplo


T (f ) = f

2 T (e3x ) =1 Un vector propio es:2 Un valor propio es:

3 Cuantos valores propios distintos tiene T ?3 Sea T el operador lineal doble derivacion:

T (f ) = f

4 T (sen(x)) =



Ejemplo


T (f ) = f

2 T (e3x ) =1 Un vector propio es:2 Un valor propio es:3 Cuantos valores propios distintos tiene T ?


T (f ) = f

4 T (sen(x)) =



Ejemplo


T (f ) = f

2 T (e3x ) =1 Un vector propio es:2 Un valor propio es:3 Cuantos valores propios distintos tiene T ?


T (f ) = f

4 T (sen(x)) =1 Cuantos valores propios distintos tiene T ?


Ejemplo

Ejemplo

1 Sea T : R[t ]2 R[t ]2 el operador lineal dado por

T (a + bt) = (5a + 3b) + (6a 4b)t

1 Calcular el espectro de T .2 Determinar E para cada (T ).

Ejercicio

1 Sean W un subespacio no nulo de Rn y P : Rn Rn la proyeccionortogonal de Rn sobre W .

2 Pruebe que los unicos valores propios de P son 0 y 1.3 Determine E0 y E1.


Ejemplo

Ejemplo1 Sea T : R[t ]2 R[t ]2 el operador lineal dado por

T (a + bt) = (5a + 3b) + (6a 4b)t


Ejercicio




Ejemplo


T (a + bt) = (5a + 3b) + (6a 4b)t

1 Calcular el espectro de T .

2 Determinar E para cada (T ).

Ejercicio




Ejemplo


T (a + bt) = (5a + 3b) + (6a 4b)t


Ejercicio




Ejemplo


T (a + bt) = (5a + 3b) + (6a 4b)t


Ejercicio1 Sean W un subespacio no nulo de Rn y P : Rn Rn la proyeccion

ortogonal de Rn sobre W .



Ejemplo


T (a + bt) = (5a + 3b) + (6a 4b)t



ortogonal de Rn sobre W .2 Pruebe que los unicos valores propios de P son 0 y 1.

3 Determine E0 y E1.


Ejemplo


T (a + bt) = (5a + 3b) + (6a 4b)t



ortogonal de Rn sobre W .2 Pruebe que los unicos valores propios de P son 0 y 1.3 Determine E0 y E1.


Caracterizacion de los valores propios

Teorema

1 Sea T : V V un operador lineal.2 es un valor propio si y solamente si T 1V no es inyectivo.

Teorema

1 V de dimension finita.2 T : V V lineal.3 Las siguientes afirmaciones son equivalentes

1 (T ).2 El operador T 1V no es inyectivo.3 det(T 1V ) = 0.



Teorema1 Sea T : V V un operador lineal.

2 es un valor propio si y solamente si T 1V no es inyectivo.

Teorema





Teorema1 Sea T : V V un operador lineal.2 es un valor propio si y solamente si T 1V no es inyectivo.

Teorema






Teorema1 V de dimension finita.

2 T : V V lineal.3 Las siguientes afirmaciones son equivalentes





Teorema1 V de dimension finita.2 T : V V lineal.

3 Las siguientes afirmaciones son equivalentes





Teorema1 V de dimension finita.2 T : V V lineal.3 Las siguientes afirmaciones son equivalentes






1 (T ).

2 El operador T 1V no es inyectivo.3 det(T 1V ) = 0.





1 (T ).2 El operador T 1V no es inyectivo.

3 det(T 1V ) = 0.


Valores y vectores propios de matrices

Definicion

1 Sea A K nn.2 K es un valor propio de A si es un valor propio de

TA : K n K n, TA(x) = Ax ,

el operador lineal inducido por A.3 Equivalentemente, K es un valor propio de A si y solamente si

existe un vector x 6= 0 tal que Ax = x .4 (A) es el conjunto de los valores propios de A.5 El espacio propio de (A) es:

E = {x K n : Ax = x} = N(A I)



Definicion1 Sea A K nn.

2 K es un valor propio de A si es un valor propio de




E = {x K n : Ax = x} = N(A I)



Definicion1 Sea A K nn.2 K es un valor propio de A si es un valor propio de


el operador lineal inducido por A.

3 Equivalentemente, K es un valor propio de A si y solamente siexiste un vector x 6= 0 tal que Ax = x .

4 (A) es el conjunto de los valores propios de A.5 El espacio propio de (A) es:

E = {x K n : Ax = x} = N(A I)






existe un vector x 6= 0 tal que Ax = x .

4 (A) es el conjunto de los valores propios de A.5 El espacio propio de (A) es:

E = {x K n : Ax = x} = N(A I)






existe un vector x 6= 0 tal que Ax = x .4 (A) es el conjunto de los valores propios de A.

5 El espacio propio de (A) es:

E = {x K n : Ax = x} = N(A I)







E = {x K n : Ax = x} = N(A I)



CorolarioSea A K nn. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1 (A).2 N(A I) 6= {0}.3 det(A I) = 0.




1 (A).

2 N(A I) 6= {0}.3 det(A I) = 0.




1 (A).2 N(A I) 6= {0}.

3 det(A I) = 0.




1 (A).2 N(A I) 6= {0}.3 det(A I) = 0.


El polinomio caracterstico

Teorema

1 Sean A K nn y p() = det(A I).2 Entonces

1 p() es un polinomio de grado n en la variable .2 El coeficiente de n es (1)n.3 El coeficiente de n1 es (1)n1 traza(A).4 El termino constante de p() es det(A).

DefinicionEl polinomio caracterstico de A es pc() = det(A I).



Teorema1 Sean A K nn y p() = det(A I).

2 Entonces





Teorema1 Sean A K nn y p() = det(A I).2 Entonces






1 p() es un polinomio de grado n en la variable .

2 El coeficiente de n es (1)n.3 El coeficiente de n1 es (1)n1 traza(A).4 El termino constante de p() es det(A).





1 p() es un polinomio de grado n en la variable .2 El coeficiente de n es (1)n.

3 El coeficiente de n1 es (1)n1 traza(A).4 El termino constante de p() es det(A).





1 p() es un polinomio de grado n en la variable .2 El coeficiente de n es (1)n.3 El coeficiente de n1 es (1)n1 traza(A).

4 El termino constante de p() es det(A).



Ejercicios

1 Si los eigenvalores de A R77 son 2,2,2,5,5,3,3,determine el polinomio caracterstico de A.

2 Sea V un espacio tridimensional, A : V V un operador lineal talque traza(A) = 2, det(T ) = 6 y Tv = v para cierto vector0 6= v V . Determine el espectro de A.

3 Sean 1, . . . , n todos los valores propios de A K nn. Pruebeque

traza(A) =n

i=1

i , det(A) =n

i=1

i


Multiplicidad algebraica y geometrica

Definicion

1 Sea (A).

1 La multiplicidad algebraica de es el numero de veces queaparece como raz del polinomio caracterstico.

2 es un valor propio simple si su multiplicidad algebraica es 1.3 La multiplicidad geometrica de es la dimension de E4 es semisimple si sus multiplicidades algebraica y geometrica

coinciden.



Definicion1 Sea (A).



coinciden.





2 es un valor propio simple si su multiplicidad algebraica es 1.

3 La multiplicidad geometrica de es la dimension de E4 es semisimple si sus multiplicidades algebraica y geometrica

coinciden.





2 es un valor propio simple si su multiplicidad algebraica es 1.3 La multiplicidad geometrica de es la dimension de E

4 es semisimple si sus multiplicidades algebraica y geometricacoinciden.






coinciden.


Ejemplos

1 Determine el polinomio caracterstico, el espectro y lasmultiplicidades algebraica y geometrica de cada una de lassiguientes matrices:

1 A =(

0 11 0

) R22

2 A =(

0 11 0

) R22

3 A =(

0 11 0

) C22

4 A =

2 0 01 4 03 6 2

R335 A =

2 0 09 4 01 0 2

R33


Ejemplos


1 A =(

0 11 0

) R22

2 A =(

0 11 0

) R22

3 A =(

0 11 0

) C22

4 A =

2 0 01 4 03 6 2

R33

5 A =

2 0 09 4 01 0 2

R33


Ejemplos


1 A =(

0 11 0

) R22

2 A =(

0 11 0

) R22

3 A =(

0 11 0

) C22

4 A =

2 0 01 4 03 6 2

R335 A =

2 0 09 4 01 0 2

R33


Existencia de valores propios

Teorema

1 Si A Cnn, entonces A tiene exactamente n valores propios.


Existencia de valores propios

Teorema1 Si A Cnn, entonces A tiene exactamente n valores propios.


Multiplicidad geometrica multiplicidad algebraica

Teorema

1 Sean V un espacio de dimension finita y positiva y T : V Voperador lineal.

2 Sea 0 un valor propio de T .3 Entonces

Multiplicidad geometrica 0 Multiplicidad algebraica 0



Teorema1 Sean V un espacio de dimension finita y positiva y T : V V

operador lineal.

2 Sea 0 un valor propio de T .3 Entonces





operador lineal.2 Sea 0 un valor propio de T .

3 Entonces





operador lineal.2 Sea 0 un valor propio de T .3 Entonces



Contenido



Operadores diagonalizables

Definicion

1 Un operador lineal T sobre un espacio de dimension finita V esdiagonalizable, si existe una base para V tal que [T ] esdiagonal.

2 Se dice que la base diagonaliza al operador T .3 Una matriz cuadrada A es diagonalizable si la transformacion

lineal TA inducida por A es diagonalizable.



Definicion1 Un operador lineal T sobre un espacio de dimension finita V es

diagonalizable, si existe una base para V tal que [T ] esdiagonal.







2 Se dice que la base diagonaliza al operador T .

3 Una matriz cuadrada A es diagonalizable si la transformacionlineal TA inducida por A es diagonalizable.


Operadores lineales diagonalizables

Teorema

1 Sea T un operador lineal sobre un espacio V de dimension finita.2 Entonces T es diagonalizable si y solo si existe una base = {v1, . . . , vn} de V formada por vectores propios de T .



Teorema1 Sea T un operador lineal sobre un espacio V de dimension finita.

2 Entonces T es diagonalizable si y solo si existe una base = {v1, . . . , vn} de V formada por vectores propios de T .



Teorema1 Sea T un operador lineal sobre un espacio V de dimension finita.2 Entonces T es diagonalizable si y solo si existe una base = {v1, . . . , vn} de V formada por vectores propios de T .


Matrices diagonalizables

Definicion

1 Sea V de dimension finita y A un operador lineal sobre V . Unconjunto completo de vectores propios para A es una base para Vformada por vectores propios.

2 Un conjunto completo de vectores propios para A K nn es unconjunto de n vectores propios linealmente independientes.

CorolarioSea A K nn. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1 A es diagonalizable2 A tiene un conjunto completo de vectores propios.3 Existe una matriz invertible P y una matriz diagonal D tal que

A = PDP1.



Definicion1 Sea V de dimension finita y A un operador lineal sobre V . Un

conjunto completo de vectores propios para A es una base para Vformada por vectores propios.




A = PDP1.







1 A es diagonalizable

2 A tiene un conjunto completo de vectores propios.3 Existe una matriz invertible P y una matriz diagonal D tal que

A = PDP1.







1 A es diagonalizable2 A tiene un conjunto completo de vectores propios.

3 Existe una matriz invertible P y una matriz diagonal D tal queA = PDP1.








A = PDP1.


Ejemplo

1 Sea T el operador lineal sobre R2 dado por:

T(

xy

)=

( 7 156 12

)(xy

)= A

(xy

).

2 Determine si T es diagonalizable o no.3 Si lo fuera, determine una base que diagonalice.4 Solucion:

1 p() = det(A I) = 2 5+ 6 = ( 3) ( 2)2 N(A 2I) = 5e1 3e23 N(A 3I) = 3e1 2e24 Base P = [v1, v2] =

(5 33 2

).

5 A = P(

2 00 3

)P1 = PDP1.


Ejemplo


T(

xy

)=

( 7 156 12

)(xy

)= A

(xy

).

2 Determine si T es diagonalizable o no.

3 Si lo fuera, determine una base que diagonalice.4 Solucion:


(5 33 2

).

5 A = P(

2 00 3

)P1 = PDP1.


Ejemplo


T(

xy

)=

( 7 156 12

)(xy

)= A

(xy

).

2 Determine si T es diagonalizable o no.3 Si lo fuera, determine una base que diagonalice.

4 Solucion:


(5 33 2

).

5 A = P(

2 00 3

)P1 = PDP1.


Ejemplo


T(

xy

)=

( 7 156 12

)(xy

)= A

(xy

).



(5 33 2

).

5 A = P(

2 00 3

)P1 = PDP1.


Ejemplo


T(

xy

)=

( 7 156 12

)(xy

)= A

(xy

).


1 p() = det(A I) = 2 5+ 6 = ( 3) ( 2)

2 N(A 2I) = 5e1 3e23 N(A 3I) = 3e1 2e24 Base P = [v1, v2] =

(5 33 2

).

5 A = P(

2 00 3

)P1 = PDP1.


Ejemplo


T(

xy

)=

( 7 156 12

)(xy

)= A

(xy

).


1 p() = det(A I) = 2 5+ 6 = ( 3) ( 2)2 N(A 2I) = 5e1 3e2

3 N(A 3I) = 3e1 2e24 Base P = [v1, v2] =

(5 33 2

).

5 A = P(

2 00 3

)P1 = PDP1.


Ejemplo


T(

xy

)=

( 7 156 12

)(xy

)= A

(xy

).


1 p() = det(A I) = 2 5+ 6 = ( 3) ( 2)2 N(A 2I) = 5e1 3e23 N(A 3I) = 3e1 2e2

4 Base P = [v1, v2] =(

5 33 2

).

5 A = P(

2 00 3

)P1 = PDP1.


Ejemplo


T(

xy

)=

( 7 156 12

)(xy

)= A

(xy

).



(5 33 2

).

5 A = P(

2 00 3

)P1 = PDP1.


Ejemplo

1 Determine si la siguiente matriz es diagonalizable

A =

2 0 09 4 01 0 2

2 Si fuera diagonalizable, determine P tal que A = PDP1, con Ddiagonal.

3 Solucion:

1 p() = ( 2)2( 4)2 N(A 2I) = e33 N(A 4I) = e2.4 A no es diagonalizable.


Ejemplo


A =

2 0 09 4 01 0 2

2 Si fuera diagonalizable, determine P tal que A = PDP1, con D

diagonal.

3 Solucion:



Ejemplo


A =

2 0 09 4 01 0 2


diagonal.3 Solucion:



Ejemplo


A =

2 0 09 4 01 0 2



1 p() = ( 2)2( 4)

2 N(A 2I) = e33 N(A 4I) = e2.4 A no es diagonalizable.


Ejemplo


A =

2 0 09 4 01 0 2



1 p() = ( 2)2( 4)2 N(A 2I) = e3

3 N(A 4I) = e2.4 A no es diagonalizable.


Ejemplo


A =

2 0 09 4 01 0 2



1 p() = ( 2)2( 4)2 N(A 2I) = e33 N(A 4I) = e2.

4 A no es diagonalizable.


Ejemplo


A =

2 0 09 4 01 0 2





Ejemplo


A =

2 0 01 4 03 6 2

2 Si fuera diagonalizable, determine P tal que A = PDP1, con Ddiagonal.

3 Solucion:

1 p() = ( 2)2( 4)2 N(A 2I) = 2e1 + e2,e33 N(A 4I) = e2 + 3e3.4 A es diagonalizable.

5 A = PDP1, donde P =

2 0 01 0 10 1 3

y D = 2 0 00 2 0

0 0 4

.


Ejemplo


A =

2 0 01 4 03 6 2


diagonal.

3 Solucion:



2 0 01 0 10 1 3

y D = 2 0 00 2 0

0 0 4

.


Ejemplo


A =

2 0 01 4 03 6 2





2 0 01 0 10 1 3

y D = 2 0 00 2 0

0 0 4

.


Ejemplo


A =

2 0 01 4 03 6 2



1 p() = ( 2)2( 4)

2 N(A 2I) = 2e1 + e2,e33 N(A 4I) = e2 + 3e3.4 A es diagonalizable.


2 0 01 0 10 1 3

y D = 2 0 00 2 0

0 0 4

.


Ejemplo


A =

2 0 01 4 03 6 2



1 p() = ( 2)2( 4)2 N(A 2I) = 2e1 + e2,e3

3 N(A 4I) = e2 + 3e3.4 A es diagonalizable.


2 0 01 0 10 1 3

y D = 2 0 00 2 0

0 0 4

.


Ejemplo


A =

2 0 01 4 03 6 2



1 p() = ( 2)2( 4)2 N(A 2I) = 2e1 + e2,e33 N(A 4I) = e2 + 3e3.

4 A es diagonalizable.


2 0 01 0 10 1 3

y D = 2 0 00 2 0

0 0 4

.


Ejemplo


A =

2 0 01 4 03 6 2





2 0 01 0 10 1 3

y D = 2 0 00 2 0

0 0 4

.


Ejemplo


A =

2 0 01 4 03 6 2





2 0 01 0 10 1 3

y D = 2 0 00 2 0

0 0 4

.Alejandro Lara (Fmat- Uady) Algebra Lineal II 16 de abril de 2015 24 / 80

Ejercicio

1 Determine si el operador lineal T inducido por la matriz A esdiagonalizable.

1

(4 21 1

)2

3 0 00 4 20 1 1

3

3 0 02 2 02 1 2

4

3 0 02 2 03 0 2

.


Ejercicio


1

(4 21 1

)

2

3 0 00 4 20 1 1

3

3 0 02 2 02 1 2

4

3 0 02 2 03 0 2

.


Ejercicio


1

(4 21 1

)2

3 0 00 4 20 1 1

3

3 0 02 2 02 1 2

4

3 0 02 2 03 0 2

.


Independencia lineal de vectores propios

Teorema

1 Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial V .2 Sean v1, . . . , vm vectores propios de T con valores propios1, . . . , m, respectivamente.

3 Si i 6= j para i 6= j , entonces los vectores propios v1, . . . , vm sonlinealmente independientes.

CorolarioSi A K nn tiene n valores propios distintos, entonces A esdiagonalizable.



Teorema1 Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial V .

2 Sean v1, . . . , vm vectores propios de T con valores propios1, . . . , m, respectivamente.





Teorema1 Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial V .2 Sean v1, . . . , vm vectores propios de T con valores propios1, . . . , m, respectivamente.




La suma de subespacios propios es directa

Teorema

1 Sea T un opeador lineal sobre un espacio vectorial de dimensionfinita y positiva.

2 Sean 1, . . . , r los distinto valores propios de T .3 i una base para Ei = ker(T i1V ).4 Entonces:

1 Ei

j 6=iEj

= {0} para 1 i r .2 = 1 2 . . . r es base para W = E1 + + Er .3 W = E1 Er ,4 dim W = dim E1 + + dim Er .



Teorema1 Sea T un opeador lineal sobre un espacio vectorial de dimension

finita y positiva.

2 Sean 1, . . . , r los distinto valores propios de T .3 i una base para Ei = ker(T i1V ).4 Entonces:

1 Ei

j 6=iEj





finita y positiva.2 Sean 1, . . . , r los distinto valores propios de T .

3 i una base para Ei = ker(T i1V ).4 Entonces:

1 Ei

j 6=iEj





finita y positiva.2 Sean 1, . . . , r los distinto valores propios de T .3 i una base para Ei = ker(T i1V ).

4 Entonces:

1 Ei

j 6=iEj





finita y positiva.2 Sean 1, . . . , r los distinto valores propios de T .3 i una base para Ei = ker(T i1V ).4 Entonces:

1 Ei

j 6=iEj






1 Ei

j 6=iEj

= {0} para 1 i r .

2 = 1 2 . . . r es base para W = E1 + + Er .3 W = E1 Er ,4 dim W = dim E1 + + dim Er .





1 Ei

j 6=iEj

= {0} para 1 i r .2 = 1 2 . . . r es base para W = E1 + + Er .

3 W = E1 Er ,4 dim W = dim E1 + + dim Er .





1 Ei

j 6=iEj

= {0} para 1 i r .2 = 1 2 . . . r es base para W = E1 + + Er .3 W = E1 Er ,

4 dim W = dim E1 + + dim Er .





1 Ei

j 6=iEj



Caracterizacion de operadores diagonalizables

Teorema

1 Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial V dedimension finita y positiva.

2 Sean 1, . . . , r los distintos valores propios de T .3 Las siguientes condiciones son equivalentes:

1 T es diagonalizable.2 El polinomio caracterstico de T es:

p() = (1 )dim E1 (r )dim Er

3 dim V = dim E1 + + dim Er .



Teorema1 Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial V de

dimension finita y positiva.

2 Sean 1, . . . , r los distintos valores propios de T .3 Las siguientes condiciones son equivalentes:







dimension finita y positiva.2 Sean 1, . . . , r los distintos valores propios de T .

3 Las siguientes condiciones son equivalentes:







dimension finita y positiva.2 Sean 1, . . . , r los distintos valores propios de T .3 Las siguientes condiciones son equivalentes:








1 T es diagonalizable.

2 El polinomio caracterstico de T es:




Teorema espectral para matrices diagonalizables

Teorema

1 Sean A Cnn y (A) = {1, . . . , r}.2 Entonces, A es diagonalizable si y solo si existen matrices

G1, . . . ,Gr tales que:

1 A = 1G1 + + r Gr (Descomposicion espectral de A).2 G1 + + Gr = I.3 GiGj = 0 si i 6= j .4 G2i = Gi .5 R(Gi ) = N(A i I) y N(Gi ) = R(A i I).



Teorema1 Sean A Cnn y (A) = {1, . . . , r}.

2 Entonces, A es diagonalizable si y solo si existen matricesG1, . . . ,Gr tales que:




Teorema1 Sean A Cnn y (A) = {1, . . . , r}.2 Entonces, A es diagonalizable si y solo si existen matrices

G1, . . . ,Gr tales que:





G1, . . . ,Gr tales que:1 A = 1G1 + + r Gr (Descomposicion espectral de A).

2 G1 + + Gr = I.3 GiGj = 0 si i 6= j .4 G2i = Gi .5 R(Gi ) = N(A i I) y N(Gi ) = R(A i I).




G1, . . . ,Gr tales que:1 A = 1G1 + + r Gr (Descomposicion espectral de A).2 G1 + + Gr = I.

3 GiGj = 0 si i 6= j .4 G2i = Gi .5 R(Gi ) = N(A i I) y N(Gi ) = R(A i I).




G1, . . . ,Gr tales que:1 A = 1G1 + + r Gr (Descomposicion espectral de A).2 G1 + + Gr = I.3 GiGj = 0 si i 6= j .

4 G2i = Gi .5 R(Gi ) = N(A i I) y N(Gi ) = R(A i I).




G1, . . . ,Gr tales que:1 A = 1G1 + + r Gr (Descomposicion espectral de A).2 G1 + + Gr = I.3 GiGj = 0 si i 6= j .4 G2i = Gi .

5 R(Gi ) = N(A i I) y N(Gi ) = R(A i I).




G1, . . . ,Gr tales que:1 A = 1G1 + + r Gr (Descomposicion espectral de A).2 G1 + + Gr = I.3 GiGj = 0 si i 6= j .4 G2i = Gi .5 R(Gi ) = N(A i I) y N(Gi ) = R(A i I).


Ejemplo

1 Determine A =

2 0 09 4 01 0 2

es diagonalizable.

2 (A) = {2,4}.3 Si A fuera diagonalizable, existiran matrices G1 y G2 tales que:

A = 2G1 + 4G2, I = G1 + G2,

G21 = G1, G22 = G2, G1G2 = 0, G2G1 = 0.

4 G2 = 12(A 2I) = 12

0 0 09 2 01 0 0

5 G1 = 12(A 4I) = 12

2 0 09 0 01 0 2

.6 G2i 6= Gi para i = 1,2 y G1G2 6= 0.7 A no es diagonalizable.


Ejemplo

1 Determine A =

2 0 09 4 01 0 2

es diagonalizable.2 (A) = {2,4}.

3 Si A fuera diagonalizable, existiran matrices G1 y G2 tales que:

A = 2G1 + 4G2, I = G1 + G2,

G21 = G1, G22 = G2, G1G2 = 0, G2G1 = 0.

4 G2 = 12(A 2I) = 12

0 0 09 2 01 0 0

5 G1 = 12(A 4I) = 12

2 0 09 0 01 0 2



Ejemplo

1 Determine A =

2 0 09 4 01 0 2

es diagonalizable.2 (A) = {2,4}.3 Si A fuera diagonalizable, existiran matrices G1 y G2 tales que:

A = 2G1 + 4G2, I = G1 + G2,

G21 = G1, G22 = G2, G1G2 = 0, G2G1 = 0.

4 G2 = 12(A 2I) = 12

0 0 09 2 01 0 0

5 G1 = 12(A 4I) = 12

2 0 09 0 01 0 2



Ejemplo

1 Determine A =

2 0 09 4 01 0 2


A = 2G1 + 4G2, I = G1 + G2,

G21 = G1, G22 = G2, G1G2 = 0, G2G1 = 0.

4 G2 = 12(A 2I) = 12

0 0 09 2 01 0 0

5 G1 = 12(A 4I) = 12

2 0 09 0 01 0 2

.

6 G2i 6= Gi para i = 1,2 y G1G2 6= 0.7 A no es diagonalizable.


Ejemplo

1 Determine A =

2 0 09 4 01 0 2


A = 2G1 + 4G2, I = G1 + G2,

G21 = G1, G22 = G2, G1G2 = 0, G2G1 = 0.

4 G2 = 12(A 2I) = 12

0 0 09 2 01 0 0

5 G1 = 12(A 4I) = 12

2 0 09 0 01 0 2

.6 G2i 6= Gi para i = 1,2 y G1G2 6= 0.

7 A no es diagonalizable.


Ejemplo

1 Determine A =

2 0 09 4 01 0 2


A = 2G1 + 4G2, I = G1 + G2,

G21 = G1, G22 = G2, G1G2 = 0, G2G1 = 0.

4 G2 = 12(A 2I) = 12

0 0 09 2 01 0 0

5 G1 = 12(A 4I) = 12

2 0 09 0 01 0 2

.6 G2i 6= Gi para i = 1,2 y G1G2 6= 0.7 A no es diagonalizable.Alejandro Lara (Fmat- Uady) Algebra Lineal II 16 de abril de 2015 30 / 80

Contenido



Triangulacion de operadores lineales

Definicion

1 T un operador lineal sobre un espacio dimension V de finitasobre un campo K .

2 T es triangulable sobre V si existe una base para V tal que lamatriz de T en la base es triangular.

3 A K nn es triangulable si el operador TA es triangulable.

TeoremaUna matriz A K nn es triangulable si y solo si existe una matrizinvertible P tal que P1AP es una matriz triangular.



Definicion1 T un operador lineal sobre un espacio dimension V de finita

sobre un campo K .

2 T es triangulable sobre V si existe una base para V tal que lamatriz de T en la base es triangular.






sobre un campo K .2 T es triangulable sobre V si existe una base para V tal que la

matriz de T en la base es triangular.






sobre un campo K .2 T es triangulable sobre V si existe una base para V tal que la

matriz de T en la base es triangular.3 A K nn es triangulable si el operador TA es triangulable.



Semejanza ortogonal/unitaria

Definicion

1 Sean A,B Rnn. A es ortogonalmente semejante a B si existeuna matriz ortogonal V tal que

A = VBV1 = VBV T

2 Sean A,B Cnn. A es unitariamente semejante a B si existe unamatriz unitaria U tal que

A = UBU1 = UBU


Semejanza ortogonal/unitaria

Definicion1 Sean A,B Rnn. A es ortogonalmente semejante a B si existe

una matriz ortogonal V tal que

A = VBV1 = VBV T

2 Sean A,B Cnn. A es unitariamente semejante a B si existe unamatriz unitaria U tal que

A = UBU1 = UBU


T. de Schur: Triangulacion ortogonal / unitaria

Teorema

1 Cada matriz A Cnn es unitariamente semejante a una matriztriangular superior T .

2 Los elementos en la diagonal principal de T son los valorespropios de A.

Corolario

1 Si A Rnn y sus valores propios son reales, entonces A esortogonalmente semejante a una matriz triangular superior real S.

2 Ademas los elementos de la diagonal principal de S son losvalores propios de A.



Teorema1 Cada matriz A Cnn es unitariamente semejante a una matriz

triangular superior T .

2 Los elementos en la diagonal principal de T son los valorespropios de A.

Corolario






triangular superior T .2 Los elementos en la diagonal principal de T son los valores

propios de A.

Corolario







propios de A.

Corolario1 Si A Rnn y sus valores propios son reales, entonces A es

ortogonalmente semejante a una matriz triangular superior real S.






propios de A.

Corolario1 Si A Rnn y sus valores propios son reales, entonces A es

ortogonalmente semejante a una matriz triangular superior real S.2 Ademas los elementos de la diagonal principal de S son los

valores propios de A.


Contenido



Diagonalizacion unitaria y ortogonal

Definicion

1 A Rnn es ortogonalmente diagonalizable si A = PDPT , dondeP es ortogonal y D es diagonal.

2 A Cnn es unitariamente diagonalizable si A = UDU, donde Ues unitaria y D es diagonal

3 A Cnn es normal si AA = AA.



Definicion1 A Rnn es ortogonalmente diagonalizable si A = PDPT , donde

P es ortogonal y D es diagonal.

2 A Cnn es unitariamente diagonalizable si A = UDU, donde Ues unitaria y D es diagonal





P es ortogonal y D es diagonal.2 A Cnn es unitariamente diagonalizable si A = UDU, donde U

es unitaria y D es diagonal





P es ortogonal y D es diagonal.2 A Cnn es unitariamente diagonalizable si A = UDU, donde U

es unitaria y D es diagonal3 A Cnn es normal si AA = AA.


Ejemplos de matrices normales

Ejemplo

1 Matrices diagonales2 Matrices reales simetricas3 Matrices reales antisimetricas4 Matrices reales ortogonales5 Matrices hermitianas6 Matrices anti-hermitianas7 Matrices unitarias



Ejemplo1 Matrices diagonales

2 Matrices reales simetricas3 Matrices reales antisimetricas4 Matrices reales ortogonales5 Matrices hermitianas6 Matrices anti-hermitianas7 Matrices unitarias



Ejemplo1 Matrices diagonales2 Matrices reales simetricas

3 Matrices reales antisimetricas4 Matrices reales ortogonales5 Matrices hermitianas6 Matrices anti-hermitianas7 Matrices unitarias



Ejemplo1 Matrices diagonales2 Matrices reales simetricas3 Matrices reales antisimetricas

4 Matrices reales ortogonales5 Matrices hermitianas6 Matrices anti-hermitianas7 Matrices unitarias



Ejemplo1 Matrices diagonales2 Matrices reales simetricas3 Matrices reales antisimetricas4 Matrices reales ortogonales

5 Matrices hermitianas6 Matrices anti-hermitianas7 Matrices unitarias



Ejemplo1 Matrices diagonales2 Matrices reales simetricas3 Matrices reales antisimetricas4 Matrices reales ortogonales5 Matrices hermitianas

6 Matrices anti-hermitianas7 Matrices unitarias



Ejemplo1 Matrices diagonales2 Matrices reales simetricas3 Matrices reales antisimetricas4 Matrices reales ortogonales5 Matrices hermitianas6 Matrices anti-hermitianas

7 Matrices unitarias



Ejemplo1 Matrices diagonales2 Matrices reales simetricas3 Matrices reales antisimetricas4 Matrices reales ortogonales5 Matrices hermitianas6 Matrices anti-hermitianas7 Matrices unitarias


Diagonalizacion unitaria

LemaUna matriz triangular T Cnn es normal si y solo si T es diagonal.

TeoremaA Cnn es unitariamente diagonalizable si y solo si A es normal.

ObservacionDVP: descomposicion en valores propios de una matriz normal

A = UDU U unitaria,D diagonal.



TeoremaA Cnn normal. Entonces, los vectores propios de A asociados avalores propios distintos son ortogonales.

Teorema

1 Si A Cnn es hermitiana, entonces (A) R2 Si A Rnn es simetrica, entonces (A) R




Teorema1 Si A Cnn es hermitiana, entonces (A) R

2 Si A Rnn es simetrica, entonces (A) R




Teorema1 Si A Cnn es hermitiana, entonces (A) R2 Si A Rnn es simetrica, entonces (A) R


DVP de matrices reales simetricas

CorolarioA Rnn simetrica. Entonces:

1 6= (A) R2 Para cada valor propio de A hay al menos un vector propio real.3 En particular, A es ortogonalmente diagonalizable.


DVP de matrices reales simetricas

CorolarioA Rnn simetrica. Entonces:

1 6= (A) R

2 Para cada valor propio de A hay al menos un vector propio r

TE

Documents

Transcript of TE