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Tecnicas algebraicas en el estudio de los codigoscorrectores de errores

Grupo de investigacion en Algebra 1

Departamento de MatematicasUniversidad de Murcia

Junio 2017

1Financiado por MTM2016-77445-P y la Fundacion Seneca 19880/GERM/15

Codigos de grupo

Definicion (punto de partida)

Un codigo de grupo es un ideal en un anillo de grupo

Clasificacion segun el grupo

Codigos cıclicos y abelianos.

Codigos diedricos, de cuaterniones, o mas en general, metacıclicos,metabelianos, etc.

Codigos (Universidad de Murcia) Algebra y Codigos Junio 2017 2 / 34

Codigos de grupo

Dos cuestiones como punto de partida

1 Si un codigo lineal C esta identificado en un anillo de grupo FG , ¿nohabra otro anillo de grupo FH donde pueda estudiar mejor a C?

2 Dado un codigo lineal C ¿puede realizarse como codigo de grupo?,¿para cuales grupos?

Ejemplo trivial

El codigo de repeticion de longitud n es un codigo de grupo para todogrupo de orden n

Ejemplo trivial

Problema 1:

Identificar un codigo lineal como codigo de grupo

J.J. Bernal , A. del Rıo, J. J. Simon, How to know if a linear code is a group code? En Angela Barbero (ed.), Coding Theoryand Applications, Springer (2008), pp. 33-36.

J.J. Bernal , A. del Rıo, J. J. Simon, An intrinsical description of group codes, Des. Codes Cryptogr. 51(3) (2009), 289-300.

Una caracterizacion intrınseca para los codigos de grupo

Definicion

Sea C un codigo lineal de longitud n sobre F. El subgrupo deautomorfismos de permutacion es:

PAut(C ) = {σ ∈ Aut(C ) | σ permuta la posicion de las coordenadas}

Teorema

Sea C un codigo lineal de longitud n sobre F, y sea G un grupo de orden n.

1 C es un G -codigo por la izquierda si y solo si G es isomorfo a unsubgrupo transitivo de Sn contenido en PAut(C ).

2 C es un G -codigo (bilatero) si y solo si G es isomorfo a un subgrupotransitivo H de Sn, tal que H ∪ CSn(H) ⊆ PAut(C ).

Definicion

Teorema

Definicion

Teorema

Definicion

Teorema

Definicion

Teorema

Codigos abelianos y no abelianos

Sea G un grupo finito, G = AB, A,B subgrupos de G tales que sonabelianos.

Teorema.

Sea G un grupo como antes. Entonces todo G codigo (bilatero) es codigoabeliano.

Codigos afın invariantes y codigos de grupo

J.J. Bernal , A. del Rıo, J. J. Simon, There are not non-obvious cyclic affine-invariant codes, LNCS-Springer 5527 (2009).

J.J. Bernal , A. del Rıo, J. J. Simon, Group code structures of affne-invariant codes, J. Algebra 325 (2011), 269-281.

Definicion

Sea K un cuerpo con qm elementos (que podemos ver como grupoabeliano). Un codigo, C , q-ario de longitud qm decimos que es afıninvariante si

1 C ⊆ F[K].

2 PAut(C ) es cerrado para las aplicaciones (o transformaciones) afinesde K; es decir, aquellas f : K→ K tales que

f (k) = αk + β con α ∈ K∗; β ∈ K

Definicion

1 C ⊆ F[K].

f (k) = αk + β con α ∈ K∗; β ∈ K

Definicion

1 C ⊆ F[K].

f (k) = αk + β con α ∈ K∗; β ∈ K

Resultados

C ⊆ F[K] es G codigo

��

G es un p-grupo elemental abeliano.

G ∼=∏

Z2 ×∏

G ∼= Fma−2u−1

pa ×((Fupa × Fu

pa)o Fpa

G ∼= Fma−2u

pa ×((Fu−1pa × Fu−1

pa)o Fa

donde Fa = Fpa × Fpa con el producto(x1, y1)(x2, y2) = (x1 + y1 + x1y2, x2 + y2)

Resultados

C ⊆ F[K] es G codigo��

��

G ∼=∏

Z2 ×∏

G ∼= Fma−2u−1

pa ×((Fupa × Fu

pa)o Fpa

G ∼= Fma−2u

pa)o Fa

Resultados

C ⊆ F[K] es G codigo��

��

G ∼=∏

Z2 ×∏

G ∼= Fma−2u−1

pa ×((Fupa × Fu

pa)o Fpa

G ∼= Fma−2u

pa)o Fa

Problema 2:

Decodificacion

Decodificacion por permutacion

Sabemos que...

En todo codigo lineal se puede determinar (al menos) un conjunto deinformacion y un conjunto de posiciones de control.

Supongase que recibimos la palabra v ∈ Fn y queremos decodificarla.

Teorema

Los sımbolos de informacion de la palabra recibida v son correctos si y solosi w(Hv t) ≤ s, donde s es la capacidad de correccion del codigo.

Tarea:

Queremos permutar las posiciones del vector y ∈ Fn con elementos delPAut(C ) de tal forma que los errores acaben cayendo fuera de unconjunto prefijado de informacion.

Sabemos que...

Teorema

Tarea:

Sabemos que...

Teorema

Tarea:

Sabemos que...

Teorema

Tarea:

Definicion:

Sea C un codigo lineal e I un conjunto de informacion. Un subconjuntoP ⊆ PAut(C ) decimos que es un s-PD-conjunto para I, si cualesquiera sposiciones del conjunto de informacion pueden ponerse fuera de eloperando solo con los elementos de P.

Observacion:

Ocurre que la eleccion del conjunto de informacion y del subconjunto delPAut no son independientes. Ası que la tarea es:

1 Determinar un conjunto de informacion.

2 Determinar un subconjunto del PAut adecuado para el conjunto deinformacion dado.

Comenzamos estudiando el problema restringidos a la familia de loscodigos abelianos.

Definicion:

Observacion:

Definicion:

Observacion:

Definicion:

Observacion:

Definicion:

Observacion:

Problema 2.1:

Conjuntos de informacion en codigos abelianos.

J. J. Bernal,J. J. Simon, Information sets for abelian codes, Proceedings of 2010 IEEE Information Theory Workshop - ITW2010 Dublin, IEEE Xplore (2010), 1-5.J. J. Bernal, J. J. Simon, Information sets in abelian codes: defining sets and Groebner basis, 3rd ICMTA, UAB, Barcelona(2011).J. J. Bernal, J. J. Simon, Information sets from defining sets in abelian codes, IEEE Trans. Inform. Theory. 57(12)(2011).J. J. Bernal, J. J. Simon, Information sets in abelian codes: defining sets and Groebner basis, Designs Codes Crip(2014).

Notacion y preliminares

F = Fq como antes, es el cuerpo con q-elementos.

r1, . . . , rs son enteros positivos y n =∏

ri con gcd(n, q) = 1.

Ası que el algebraF(r1, . . . , rs) = F[X1, . . . ,Xs ]/(X r1

1 − 1, . . . ,X rss − 1)

es semisimple.

Un codigo abeliano de longitud n puede verse como un ideal delalgebra F(r1, . . . , rs)

Rri denota el conjunto de todas las raıces ri -esimas de la unidad,i ∈ {1, . . . , s}.Uri denota el conjunto de todas las raıces ri -esimas primitivas de launidad, i ∈ {1, . . . , s}.Hacemos R =

∏si=1 Rri and U =

∏si=1 Uri .

Sea L|F una extension de cuerpos tal que ∪si=1Uri ⊂ L.

1 − 1, . . . ,X rss − 1)

es semisimple.

∏si=1 Rri and U =

∏si=1 Uri .

1 − 1, . . . ,X rss − 1)

es semisimple.

∏si=1 Rri and U =

∏si=1 Uri .

1 − 1, . . . ,X rss − 1)

es semisimple.

∏si=1 Rri and U =

∏si=1 Uri .

1 − 1, . . . ,X rss − 1)

es semisimple.

Rri denota el conjunto de todas las raıces ri -esimas de la unidad,i ∈ {1, . . . , s}.Uri denota el conjunto de todas las raıces ri -esimas primitivas de launidad, i ∈ {1, . . . , s}.

Hacemos R =∏s

i=1 Rri and U =∏s

i=1 Uri .

1 − 1, . . . ,X rss − 1)

es semisimple.

∏si=1 Rri and U =

∏si=1 Uri .

1 − 1, . . . ,X rss − 1)

es semisimple.

∏si=1 Rri and U =

∏si=1 Uri .

Hechos

En el caso semisimple, todo codigo abeliano esta determinado por suconjunto de ceros

Z (C ) = {r ∈ R | c(r) = 0, ∀c ∈ C} .

y ademas, dim(C ) = n − |Z (C )|.

Fijado un α = (α1, . . . , αs) ∈ U, todo codigo abeliano C estadeterminado por su conjunto de definicion

Dα (C ) ={

(a1, . . . , as) ∈∏

Zri | c(αa11 , . . . , α

ass ) = 0, ∀c ∈ C

Hechos

En el caso semisimple, todo codigo abeliano esta determinado por suconjunto de ceros

Z (C ) = {r ∈ R | c(r) = 0, ∀c ∈ C} .

y ademas, dim(C ) = n − |Z (C )|.Fijado un α = (α1, . . . , αs) ∈ U, todo codigo abeliano C estadeterminado por su conjunto de definicion

Dα (C ) ={

(a1, . . . , as) ∈∏

Zri | c(αa11 , . . . , α

ass ) = 0, ∀c ∈ C

Hechos

Dα (C ) ={

(a1, . . . , as) ∈∏

Zri | c(αa11 , . . . , α

ass ) = 0, ∀c ∈ C

Dado un elemento a = (a1, . . . , as) ∈∏

Zri se define su q-orbitamodulo (r1, . . . , rs) como Q(a) = {(a1q

i , . . . , asqi ) ∈

∏Zri | i ∈ N}.

Todo conjunto de defincion de un codigo abeliano es union deq-orbitas modulo (r1, . . . , rs) y todo conjunto de q-orbitas modulo(r1, . . . , rs) determina un codigo abeliano.

En el caso de los codigos cıclicos s = 1, r1 = n una q-orbita se llamaclase q-ciclotomica de b ∈ Zn, Cq,n(b) = {b · qi ∈ Zn | i ∈ N}.

Hechos

Dα (C ) ={

(a1, . . . , as) ∈∏

Zri | c(αa11 , . . . , α

ass ) = 0, ∀c ∈ C

i , . . . , asqi ) ∈

∏Zri | i ∈ N}.

Hechos

Dα (C ) ={

(a1, . . . , as) ∈∏

Zri | c(αa11 , . . . , α

ass ) = 0, ∀c ∈ C

i , . . . , asqi ) ∈

∏Zri | i ∈ N}.

Hechos

Dα (C ) ={

(a1, . . . , as) ∈∏

Zri | c(αa11 , . . . , α

ass ) = 0, ∀c ∈ C

i , . . . , asqi ) ∈

∏Zri | i ∈ N}.

Ejemplo. Codigos de longitud 45 = 5× 9.Escribimos en rectangulos las 2-orbitas en Z5 × Z9, que denotamosQ(i , j), para un representante (i , j).

(0, 0) ,

(0, 1)(0, 2)(0, 4)(0, 5)(0, 7)(0, 8)

,(0, 3)(0, 6)

, (1, 0) (2, 0) (4, 0) (3, 0)

(1, 1) (2, 2) (4, 4) (3, 8)(1, 7) (2, 5) (4, 1) (3, 2)(1, 4) (2, 8) (4, 7) (3, 5)

,(1, 2) (2, 4) (4, 8) (3, 7)(1, 5) (2, 1) (4, 2) (3, 4)(1, 8) (2, 7) (4, 5) (3, 1)

(1, 3) (2, 6) (4, 3) (3, 6) , (1, 6) (2, 3) (4, 6) (3, 3) .

Por ejemplo, los codigos de dimension 30 y longitud 45 son

D(C1) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 3) ∪ Q(1, 0) ∪ Q(1, 3) ∪ Q(1, 6)

D(C2) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 1) ∪ Q(1, 0) ∪ Q(1, 3),

D(C3) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 1) ∪ Q(1, 0) ∪ Q(1, 6),

D(C4) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 1) ∪ Q(1, 3) ∪ Q(1, 6),

D(C5) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 3) ∪ Q(1, 1),

D(C6) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 3) ∪ Q(1, 2)

(0, 0) ,

(0, 1)(0, 2)(0, 4)(0, 5)(0, 7)(0, 8)

,(0, 3)(0, 6)

, (1, 0) (2, 0) (4, 0) (3, 0)

(1, 1) (2, 2) (4, 4) (3, 8)(1, 7) (2, 5) (4, 1) (3, 2)(1, 4) (2, 8) (4, 7) (3, 5)

,(1, 2) (2, 4) (4, 8) (3, 7)(1, 5) (2, 1) (4, 2) (3, 4)(1, 8) (2, 7) (4, 5) (3, 1)

(1, 3) (2, 6) (4, 3) (3, 6) , (1, 6) (2, 3) (4, 6) (3, 3) .

D(C1) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 3) ∪ Q(1, 0) ∪ Q(1, 3) ∪ Q(1, 6)

D(C2) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 1) ∪ Q(1, 0) ∪ Q(1, 3),

D(C3) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 1) ∪ Q(1, 0) ∪ Q(1, 6),

D(C4) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 1) ∪ Q(1, 3) ∪ Q(1, 6),

D(C5) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 3) ∪ Q(1, 1),

D(C6) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 3) ∪ Q(1, 2)

(0, 0) ,

(0, 1)(0, 2)(0, 4)(0, 5)(0, 7)(0, 8)

,(0, 3)(0, 6)

, (1, 0) (2, 0) (4, 0) (3, 0)

(1, 1) (2, 2) (4, 4) (3, 8)(1, 7) (2, 5) (4, 1) (3, 2)(1, 4) (2, 8) (4, 7) (3, 5)

,(1, 2) (2, 4) (4, 8) (3, 7)(1, 5) (2, 1) (4, 2) (3, 4)(1, 8) (2, 7) (4, 5) (3, 1)

(1, 3) (2, 6) (4, 3) (3, 6) , (1, 6) (2, 3) (4, 6) (3, 3) .

D(C1) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 3) ∪ Q(1, 0) ∪ Q(1, 3) ∪ Q(1, 6)

D(C2) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 1) ∪ Q(1, 0) ∪ Q(1, 3),

D(C3) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 1) ∪ Q(1, 0) ∪ Q(1, 6),

D(C4) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 1) ∪ Q(1, 3) ∪ Q(1, 6),

D(C5) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 3) ∪ Q(1, 1),

D(C6) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 3) ∪ Q(1, 2)

(0, 0) ,

(0, 1)(0, 2)(0, 4)(0, 5)(0, 7)(0, 8)

,(0, 3)(0, 6)

, (1, 0) (2, 0) (4, 0) (3, 0)

(1, 1) (2, 2) (4, 4) (3, 8)(1, 7) (2, 5) (4, 1) (3, 2)(1, 4) (2, 8) (4, 7) (3, 5)

,(1, 2) (2, 4) (4, 8) (3, 7)(1, 5) (2, 1) (4, 2) (3, 4)(1, 8) (2, 7) (4, 5) (3, 1)

(1, 3) (2, 6) (4, 3) (3, 6) , (1, 6) (2, 3) (4, 6) (3, 3) .

D(C1) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 3) ∪ Q(1, 0) ∪ Q(1, 3) ∪ Q(1, 6)

D(C2) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 1) ∪ Q(1, 0) ∪ Q(1, 3),

D(C3) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 1) ∪ Q(1, 0) ∪ Q(1, 6),

D(C4) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 1) ∪ Q(1, 3) ∪ Q(1, 6),

D(C5) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 3) ∪ Q(1, 1),

D(C6) = Q(0, 0) ∪ Q(0, 3) ∪ Q(1, 2)Codigos (Universidad de Murcia) Algebra y Codigos Junio 2017 16 / 34

Conjuntos de informacion. El caso s = 2.

Se considera el conjunto de definicion, D = Dα(C) y se elige un

conjunto de representantes D bajo ciertas reglas.

Ejemplo

Sea C tal que

D(C ) = { (0, 3)(0, 6)

,(1, 2) (2, 4) (4, 8) (3, 7)(1, 5) (2, 1) (4, 2) (3, 4)(1, 8) (2, 7) (4, 5) (3, 1)

, (1, 6) (2, 3) (4, 6) (3, 3) }.

Elegimos

D = {(0, 3), (1, 2), (1, 6)}.

Ejemplo

Sea C tal que

D(C ) = { (0, 3)(0, 6)

,(1, 2) (2, 4) (4, 8) (3, 7)(1, 5) (2, 1) (4, 2) (3, 4)(1, 8) (2, 7) (4, 5) (3, 1)

, (1, 6) (2, 3) (4, 6) (3, 3) }.

Elegimos

D = {(0, 3), (1, 2), (1, 6)}.

Ejemplo

Sea C tal que

D(C ) = { (0, 3)(0, 6)

,(1, 2) (2, 4) (4, 8) (3, 7)(1, 5) (2, 1) (4, 2) (3, 4)(1, 8) (2, 7) (4, 5) (3, 1)

, (1, 6) (2, 3) (4, 6) (3, 3) }.

Elegimos

D = {(0, 3), (1, 2), (1, 6)}.

D = { (0, 3)(0, 6)

,(1, 2) (2, 4) (4, 8) (3, 7)(1, 5) (2, 1) (4, 2) (3, 4)(1, 8) (2, 7) (4, 5) (3, 1)

, (1, 6) (2, 3) (4, 6) (3, 3) }

D = {(0, 3), (1, 2), (1, 6)}.

Se disponen los rectangulos

(1, 6) (2, 3) (4, 6) (3, 3)

(1, 2) (2, 4) (4, 8) (3, 7)(1, 5) (2, 1) (4, 2) (3, 4)(1, 8) (2, 7) (4, 5) (3, 1)

(0, 3)(0, 6)

y con esto determinamos el conjunto

D = { (0, 3)(0, 6)

,(1, 2) (2, 4) (4, 8) (3, 7)(1, 5) (2, 1) (4, 2) (3, 4)(1, 8) (2, 7) (4, 5) (3, 1)

, (1, 6) (2, 3) (4, 6) (3, 3) }

D = {(0, 3), (1, 2), (1, 6)}.

Se disponen los rectangulos

(1, 6) (2, 3) (4, 6) (3, 3)

(1, 2) (2, 4) (4, 8) (3, 7)(1, 5) (2, 1) (4, 2) (3, 4)(1, 8) (2, 7) (4, 5) (3, 1)

(0, 3)(0, 6)

y con esto determinamos el conjunto

-g [2] = 5 = r1

r2 = 9

El interior de la escalera es el conjunto

Γ(C ) = {(a, b) ∈ Zr1 × Zr2 | f [2] ≤ a < f [1] y b < g [1]}∪{(a, b) ∈ Zr1 × Zr2 | a < f [2] y b < g [2]}

-g [2] = 5 = r1

r2 = 9

Se puede probar que Γ(C ) es un conjunto de posiciones de paridad.De hecho las esquinas forman la huella (footprint) de la base reducida deGroebner de la imagen inversa de C en F[X1,X2]

Problema 2.2:

Decodificacion parcial por permutacion

J. J. Bernal, J. J. Simon, Partial permutation decoding for abelian codes, ISIT 2012 Boston-Cambridge, Massachusetts, 2012

J. J. Bernal, J. J. Simon, Partial permutation decoding for abelian codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 59 (8) (2013).

Aplicaciones

Nuestros PD-conjuntos del PAut(C ) estaran formados por las traslaciones:

Para cada i ∈ {1, . . . , s} se define

Zr1 × Zrs Ti−→ Zr1 × Zrs

(j1, . . . , js) 7→ (j1, . . . , ji + 1, . . . , js)

Se puede probar que 〈T1, . . . ,Ts〉 ⊂ PAut(C ).

S. G. S. Shiva y K. C. Fung, [IEEE Trans. Inf. Theory, vol. IT-16, no. 5,1970], probaron que en longitud 51 no existıan codigos cıclicos de longitudmayor o igual a 33 que se pudiesen decodificar por permutacion con losPD-sets y conjuntos de informacion conocidos hasta entonces.

Nosotros encontramos codigos abelianos en F(3, 17) (que puedenidentificarse como cıclicos) de dimension 34 decodificables con nuestrosPD-sets de traslaciones y el conjunto Γ(C ).

Aplicaciones

Nuestros PD-conjuntos del PAut(C ) estaran formados por las traslaciones:Para cada i ∈ {1, . . . , s} se define

(j1, . . . , js) 7→ (j1, . . . , ji + 1, . . . , js)

Aplicaciones

(j1, . . . , js) 7→ (j1, . . . , ji + 1, . . . , js)

Aplicaciones

(j1, . . . , js) 7→ (j1, . . . , ji + 1, . . . , js)

Aplicaciones

(j1, . . . , js) 7→ (j1, . . . , ji + 1, . . . , js)

Problema 3:

Cotas a la distancia mınima

J. J. Bernal, D. H. Bueno-Carreno, J. J. Simon, A characterization of cyclic codes whose minimum distance equals theirmaximum BCH bound, Proceedings ACA 2013, Malaga, 109-113.J. J. Bernal, D. H. Bueno-Carreno, J. J. Simon, Computing the Camion’s multivariate BCH bound, Proceedings of the 2013IEEE Information Theory Workshop ITW Sevilla, 2013, 355-359.J. J. Bernal, D. H. Bueno-Carreno, J. J. Simon, Apparent distance and a notion of BCH multivariate codes, IEEE Trans. Inform.Theory, 62(2), 2016, 655-668.J. J. Bernal, D. H. Bueno-Carreno, J. J. Simon, Cyclic and BCH Codes whose Minimum Distance Equals their Maximum BCHbound, Adv Math Comm, 10 (2016), 459-474.J. J. Bernal, M. Guerreiro, J. J. Simon, Ds-bounds for cyclic codes: new bounds for abelian codes. ISITA 2016, Monterey,California, USA, 2016.

Introduccion

Ademas de la decodificacion por permutacion, hay otras tecnicas muyeficientes de decodificacion, como la extension del algoritmo deBerlekamp-Massey de Sakata, bases de Groebner, etc.

Aun cuando todos ellos requieren de conocer la distancia mınima o almenos una cota, habıa poca literatura al respecto.

La idea de extender la cota BCH para varias variables fue dadaoriginalmente por P. Camion en 1970 con la nocion de distanciaaparente, cuyo calculo original se hace sobre polinomios.

Nosotros proponemos una simplificacion del calculo usando metodosmatriciales (original de R. Sabin).

Introduccion

La transformada de Fourier discreta, o polinomio deMattson-Solomon

Definicion

La transformada de Fourier discreta (TFD) de f ∈ F(r1, . . . , rs) respectode la lista α ∈ U se define como

ϕα,f (X) =∑

j∈∏

f (αj)Xj ∈ L(r1, . . . , rs)

Es sabido que la TFD puede ser vista como un isomorfismo dealgebras ϕα : L(r1, . . . , rs) −→ (L

∏ri , ?), donde la multiplicacion “?”

en L∏

ri se define coordenada a coordenada.

Ası, puede verse a ϕα,f como un vector en L∏

ri o como un polinomioen L(r1, . . . , rs) o su matriz de coeficientes.

Definicion

ϕα,f (X) =∑

j∈∏

f (αj)Xj ∈ L(r1, . . . , rs)

en L∏

Definicion

ϕα,f (X) =∑

j∈∏

f (αj)Xj ∈ L(r1, . . . , rs)

en L∏

El caso de la cota BCH

Decimos que a1, . . . , at ∈ Zn es un conjunto de enteros consecutivos(CEC) modulo n si ai+1 = ai + 1 para todo i = 1, . . . , t.

Recordemos la cota BCH. Si existe una cadena i0, i1, . . . , iδ−2 enDα(C ) de enteros consecutivos modulo n entonces d(C ) ≥ δ.

Ejemplo de la cota BCH

Hacemos n = 15 y q = 2. Sea C el codigo determinado porDα(C ) = {1, 2, 4, 8} ∪ {3, 6, 12, 9}. Tomando N ⊆ Dα(C ), algunas cotasBCH pueden ser

δ = 3 considerando en D(C ) = {1, 2, 4, 8} ∪ {3, 6, 12, 9}.δ = 3 considerando en D(C ) = {1, 2, 4, 8} ∪ {3, 6, 12, 9}.δ = 5 considerando en D(C ) = {1, 2, 4, 8} ∪ {3, 6, 12, 9}.

Hacemos n = 15 y q = 2. Sea C el codigo determinado porDα(C ) = {1, 2, 4, 8} ∪ {3, 6, 12, 9}.

Tomando N ⊆ Dα(C ), algunas cotasBCH pueden ser

δ = 3 considerando en D(C ) = {1, 2, 4, 8} ∪ {3, 6, 12, 9}.

δ = 3 considerando en D(C ) = {1, 2, 4, 8} ∪ {3, 6, 12, 9}.δ = 5 considerando en D(C ) = {1, 2, 4, 8} ∪ {3, 6, 12, 9}.

δ = 3 considerando en D(C ) = {1, 2, 4, 8} ∪ {3, 6, 12, 9}.δ = 3 considerando en D(C ) = {1, 2, 4, 8} ∪ {3, 6, 12, 9}.

δ = 5 considerando en D(C ) = {1, 2, 4, 8} ∪ {3, 6, 12, 9}.

Distancia aparente para vectores

Sea v ∈ Ln un vector. La distancia aparente de v , que denotamos∆(v) se calcula como sigue.

Si v = 0, entonces ∆(v) = 0.

Si v 6= 0, entonces hacemos N = Zn \ supp(v) y

∆(v) = max{|A|+ 1 | A ⊆ N es un CEC modulo n}

Por ejemplo ∆(100011001) = 4.

Resultado importante

Sea c ∈ C ≤ F(n) una palabra y v = ϕα,c . Entonces w(c) ≥ ∆(v)

Por ejemplo ∆(100011001) = 4.

Distancia aparente de matrices

Escribimos una matriz r1 × r2 como columna, M =

| |C1 . . . Cr2

Definimos v = (v1, . . . , vr2) tal que vj = 0 si Cj = 0 (la columna cero)y vj = 1 en otro caso.

Calculamos ∆(v).

Ahora, calculamos ∆ = max{∆(Cj) | j = 1, . . . , r1}.Entonces la distancia aparente por columnas es ∆2(M) = ∆(v)∆.

Analogamente calculamos la distancia aparente por filas ∆1(M) yfinalmente, la distancia aparente es

∆(M) = max{∆1(M),∆2(M)}

Resultado importante:

Sea c ∈ C ≤ F(r1, . . . , rs) una palabra y v = ϕα,c . Entonces w(c) ≥ ∆(v)

| |C1 . . . Cr2

Calculamos ∆(v).

∆(M) = max{∆1(M),∆2(M)}

| |C1 . . . Cr2

Calculamos ∆(v).

∆(M) = max{∆1(M),∆2(M)}

| |C1 . . . Cr2

Calculamos ∆(v).

Ahora, calculamos ∆ = max{∆(Cj) | j = 1, . . . , r1}.

Entonces la distancia aparente por columnas es ∆2(M) = ∆(v)∆.

∆(M) = max{∆1(M),∆2(M)}

| |C1 . . . Cr2

Calculamos ∆(v).

∆(M) = max{∆1(M),∆2(M)}

| |C1 . . . Cr2

Calculamos ∆(v).

∆(M) = max{∆1(M),∆2(M)}

| |C1 . . . Cr2

Calculamos ∆(v).

∆(M) = max{∆1(M),∆2(M)}

Ejemplo

Consideremos

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 00 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 00 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 00 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0

La distancia aparente por filas es ∆1(M) = ∆(v) ·∆ = 2 ∗ 6 = 12. Elmaximo de filas se alcanza con la fila R3. (Con el calculo original deCamion se tiene 10 con R4.)

La distancia aparente por columnas es∆2(M) = ∆(v) ·∆ = 4 ∗ 4 = 16. El maximo de columnas se alcanzacon las columnas C1 y C4. (Con el calculo original de Camion se tiene8 con C12.)

Por tanto ∆(C ) = 16.

Ejemplo

Consideremos

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 00 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 00 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 00 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0

Ejemplo

Consideremos

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 00 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 00 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 00 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0

Ejemplo

Consideremos

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 00 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 00 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 00 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0

La distancia aparente de un codigo abeliano

Definicion

Sea C un codigo abeliano en F(r1, . . . , rs).

1) La distancia aparente de C respecto de α ∈ U es

∆α(C ) = min{∆(M (ϕα,c)) | c ∈ C}.

2) La distancia aparente de C

∆(C ) = max{∆α(C ) | α ∈ U}.

Claramente ∆(C ) ≤ d(C ).

Calcular el distancia aparente con la fuerza bruta es peor que calcular ladistancia mınima de igual manera.

P. Camion demuestra que basta calcular el mınimo sobre todos losidempotentes del codigo, pero sigue siendo un calculo de complejidadexponencial 2{num. idempotentes primitivos de C}

Definicion

Sea C un codigo abeliano en F(r1, . . . , rs).1) La distancia aparente de C respecto de α ∈ U es

∆α(C ) = min{∆(M (ϕα,c)) | c ∈ C}.

∆(C ) = max{∆α(C ) | α ∈ U}.

Definicion

∆α(C ) = min{∆(M (ϕα,c)) | c ∈ C}.

∆(C ) = max{∆α(C ) | α ∈ U}.

Definicion

∆α(C ) = min{∆(M (ϕα,c)) | c ∈ C}.

∆(C ) = max{∆α(C ) | α ∈ U}.

Definicion

∆α(C ) = min{∆(M (ϕα,c)) | c ∈ C}.

∆(C ) = max{∆α(C ) | α ∈ U}.

Definicion

∆α(C ) = min{∆(M (ϕα,c)) | c ∈ C}.

∆(C ) = max{∆α(C ) | α ∈ U}.

Calculo de la distancia aparente en s = 2

Sea C un codigo abeliano en F(r1, r2), con conjunto de definicion Dα(C ).

Se construye la matriz M [Dα(C )] = (mij) tal que mij = 0 si(i , j) ∈ Dα(C ) y 1 en otro caso.

M [Dα(C )] es, de hecho, la matriz de coeficientes de la TFD delidempotente generador de C .

Entonces, el soporte de M esta organizado en q-orbitas querepresentan todos los idempotentes en C .

Usando este hecho, desarrollamos un algoritmo que nos permiteencontrar una lista de matrices que representan algunos de esosidempotentes y que nos conducen al valor mınimo. Es una especie de“busqueda de los idempotentes adecuados a traves de matrices”.

Ejemplo de un calculo

Hacemos q = 2, n = 75 = 5× 15 y se considera el codigo con matriz

0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

Hay doce 2-orbitas en el soporte, ası que el codigo tiene 212

idempotentes.

El calculo de la distancia aparente por filas es∆1(M) = ∆(v) ·∆ = 1 ∗ 8 = 8 involucrando a la fila R0.

Por columnas es ∆2(M) = ∆(v) ·∆ = 2 ∗ 3 = 6 involucrando aC1,C4,C11,C14.

Ahora hacemos 0 las filas y columnas involucradas, junto con sus2-orbitas.

0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

idempotentes.

0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

idempotentes.

0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

idempotentes.

0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

idempotentes.

En el siguiente paso nos queda.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

Si e ∈ C es un idempotente con matriz de coeficientes de ϕα,c = P talque ∆(P) < ∆(M1) entonces supp(P) ⊂ supp(M1)

El calculo de la distancia aparente por filas es ahora∆1(M) = ∆(v) ·∆ = 2 ∗ 4 = 8 involucrando a la fila R3.

Por columnas, ∆2(M) = ∆(v) ·∆ = 2 ∗ 4 = 8 involucrando a C1,C4.

Como el soporte supp(R3) tiene elementos de todas las 2-orbitas setiene que M2 = 0.

Ası que ∆(C ) = 8.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

Ası que ∆(C ) = 8.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

Ası que ∆(C ) = 8.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

Ası que ∆(C ) = 8.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

Ası que ∆(C ) = 8.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

Ası que ∆(C ) = 8.

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