Estadística y Probabilidad II

Técnicas de Conteo

Ciclo escolar 2013-2014

Técnicas de Conteo

• El principio fundamental en el proceso de contar, ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos.

• Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Dentro de ellas destacan: – El Principio Multiplicativo – El Principio Aditivo – Factoriales – Permutaciones – Combinaciones

Principio Multiplicativo • También se le conoce como Principio de las Casillas, o Principio

Fundamental de conteo. Es el ocupado en los diagramas de árbol. • Si se desea realizar una actividad que consta de 𝑟 pasos, en donde

el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de 𝑁1 maneras o formas, el segundo paso de 𝑁2 maneras o formas y el 𝑟-ésimo paso de 𝑁𝑟 maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de 𝑁1 × 𝑁2 × ⋯ × 𝑁𝑟 maneras o formas

• El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

• Ejemplo: – Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede

construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Principio Multiplicativo • ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de

tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?

a) Si es posible repetir letras y números. b) No es posible repetir letras y números. c) Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b) empiezan por la letra D y

empiezan por el cero. d) Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b) empiezan por la letra D seguida

de la G.

• ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de

seis dígitos tomados del 0 al 9? a) Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir

dígitos. b) El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos. c) ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número

siete? d) ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?.

Principio Aditivo • Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene

formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de 𝑀 maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de 𝑁 maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de 𝑊 maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de 𝑀 + 𝑁 + ⋯ + 𝑊 maneras o formas

• ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

Principio Aditivo • Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado

que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? si – Cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se

presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática

– Mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática.

– Y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática.

• Rafael Luna desea salir de Chihuahua para hacer un viaje a las Vegas o a Disneylandia en las próximas vacaciones de verano, haciendo escala en el Paso Texas a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue? Si – Tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas – Dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas – Para ir del Paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de transporte,

El Factorial de un Número

Para introducir el factorial de un numero, respondamos el siguiente problema

• En la sala de una casa, se junta la familia para ver una película que acaban de rentar. Si no hay lugares preferentes y hay exactamente el mismo número de asientos que de integrantes de la familia, ¿de cuantas formas se pueden acomodar? Considere a) Hay 2 personas en la familia.

b) Hay 3 personas en la familia.

c) Hay 4 personas en la familia.

d) Hay 5 personas en la familia.

El Factorial de un Número

• El símbolo “!” en matemáticas se lee como factorial y se define como

• Ejemplos 0!=1 1!=1 2!=2x1=2 3!=3x2x1=6 4!=4x3x2x1=24

0

0

1

123)2()1(!

n

nnnnn

Permutaciones

Para introducir la operación permutación, respondamos el siguiente problema

• En la sala de una casa, se junta la familia para ver una película que acaban de rentar. Si no hay lugares preferentes y la sala cuenta con 5 asientos ¿de cuantas formas se pueden acomodar? Considere a) Hay 2 personas en la familia.

b) Hay 3 personas en la familia.

c) Hay 4 personas en la familia.

Permutaciones

• Una permutación de n objetos tomados de 𝑟 en 𝑟, es una elección ordenada de 𝑟 objetos de entre 𝑛. El numero de permutaciones de 𝑛 objetos tomados de 𝑟 en 𝑟 se denota por

y viene dado por

• En particular, el número de permutaciones de 𝑛 objetos tomadas de 𝑟 en 𝑟 es

!

!121

rn

nrnnnnPrn

!nPnn

n

rrn PP

Combinaciones

Nuevamente, para introducir las combinaciones resolvamos el siguiente problema

• En la sala de una casa, se junta la familia para ver una película que acaban de rentar. Si no hay lugares preferentes y la sala cuenta con 5 asientos ¿de cuantas formas puedo escoger los asientos? Considere a) Hay 2 personas en la familia.

b) Hay 3 personas en la familia.

c) Hay 4 personas en la familia

Combinaciones

• Una combinación de 𝑛 objetos tomados de 𝑟 en 𝑟, es una elección, sin importar el orden de los 𝑟 escogidos. El numero de combinaciones de 𝑛 objetos tomados de 𝑟 en 𝑟 se denota por

y viene dado por

!!

!

!

121

rnr

n

r

rnnnn

r

n

r

nCC n

rrn

Problemas de Permutaciones y Combinaciones

• Un entrenador de futbol tiene que decidir como tirar los primeros 5 penales de una tanda de desempate ¿Cuantas elecciones posibles debe considerar?

• Una cadena de tiendas desea abrir 4 tiendas nuevas. Se tienen 12 sitios favorables ¿De cuantas maneras se pueden elegir donde abrir las tiendas?

• Determina el numero de maneras posibles en que 4 nuevos pacientes pueden ser asignados a 8 enfermeras, si cada enfermera por sus múltiples ocupaciones, solo puede aceptar a lo mas 1 paciente nuevo.

• Una baraja inglesa consta de 52 cartas dividas en 4 palos donde cada palo tiene 13 valores distintos. Una “mano” es un conjunto de 5 cartas tomadas del mazo de la baraja ¿Cuántas manos distintas se pueden formar con una baraja inglesa?

Problemas Varios de Técnicas de Conteo

• En un examen un estudiante debe responder 7 de 10 preguntas a) número de formas en que pueden escoger las preguntas

del examen b) número de formas en que se puede responder si la

séptima pregunta es obligatoria. c) número de formas que se puede responder el examen si

4 de las preguntas a responder deben ser escogido der las primeras 6, y las 3 preguntas restantes deben ser tomadas de las siguientes 4.

• En una escuela se tienen 10 pc’s y 3 mac’s ¿de cuantas maneras se pueden asignar a 6 alumnos cumpliendo lo siguiente? a) Ninguno trabaja en mac b) 1 en mac y 5 en pc c) 2 en mac y 4 en pc

Triangulo de Pascal

• Teorema de Pascal. Si 0 ≤ 𝑟 < 𝑛 entonces

• El teorema de Pascal permite construir el triangulo de Pascal

• Donde además 𝑛𝑟

se encuentra en la n_esima fila en la r_esima posición

1

1

1 r

n

r

n

r

n

1 5 10 10 5 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1

1 1

1 2 1

Triangulo de Pascal

Fila 0 Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 Fila 5 Fila 6 Fila 7

1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 20 15 6

1 5 10 10 5 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1

1 1

1 2 1

Posición 1 Posición 2 Posición 3 Posición 4 Posición 0 Posición 6 Posición 7 Posición 5

Posición 1 Posición 2 Posición 3 Posición 4 Posición 0 Posición 6 Posición 5

Posición 1 Posición 2 Posición 3 Posición 4 Posición 0 Posición 5

Posición 1 Posición 2 Posición 3 Posición 4 Posición 0

Posición 1 Posición 2 Posición 3 Posición 0

Posición 1 Posición 2 Posición 0

Posición 1 Posición 0

Posición 0

Binomio de Newton

• Formula del Binomio de Newton.

• Ejemplo

n

i

iinnyx

i

nyx

0

nnnnnny

n

nxy

n

nyx

nyx

nx

nyx

1221

1210