INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIA SANTOSAREA OPTATIVA ASIGNSATUTA FINANZA Y ESTADISTICA

ALUMNO: __________________________________________ No ______ 9° ____ 2015Esp. Rosa Rosiris Daza Quiroz

EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y

EVENTOS

Definición de experimento aleatorio Definición de espacio muestral Sucesos o eventos.

Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por S. A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

EJEMPLOEn un dado, S={1,2,3,4,5,6}En una moneda, S={C,S}Un experimento aleatorio cumple con las siguientes características: El experimento puede realizarse bajo idénticas

condiciones cuantas veces sea necesario. Los posibles resultados son todos conocidos. El resultado del experimento es incierto, depende

del azar. Se observa cierto patrón de regularidad a medida

que aumentan las repeticiones.

Sucesos o Eventos.El espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:S = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}Podemos considerar algunos subconjuntos de S, por ejemplo:Salir múltiplo de 5: A = {5,10,15}Salir número primo: C = {2,3,5,7,11,13,17}Salir mayor o igual que 12: D = {12,13,14,15,16,17,18} Todos estos subconjuntos del espacio muestral S los llamamos sucesos o eventos.

Suceso o Evento de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral S. Los elementos de S se llaman sucesos individuales o sucesos elementales. También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio S, suceso seguro.Si S tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n. EJEMPLO {1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son

sucesos individuales. En un dado hay 26 = 64 sucesos. En una moneda hay 22 = 4 sucesos, que son: Ø,

{C},{S}, {C,S} Es decir, S={Ø,{C},{+},{C,+}}

TÉCNICAS DE CONTEO

En el cálculo de las probabilidades se debe poder determinar el número de veces que ocurre un evento o suceso determinado. Es muchas situaciones de importancia práctica es imposible contar físicamente el número de ocurrencias de un evento o enumérelos uno a uno se vuelve un procedimiento engorroso. Cuando se está frente a esta situación es muy útil disponer de un método corto, rápido y eficaz para contar.

A continuación se presentan algunas de estas técnicas, denominadas técnicas de conteo o análisis combinatorio, entre las cuales se tienen: el principio fundamental del conteo, permutaciones, variaciones, combinaciones, la regla del exponente y el diagrama de árbol.

En la teoría fundamental del conteo se tienen unos principios básicos, que son la base para desarrollar otros conceptos como permutaciones y combinaciones que se verán más adelante.

Estos principios son:

Factorial de un número Principio de multiplicación ó multiplicativo Principio aditivo

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Algunos problemas de probabilidad pueden resolverse aplicando este principio. Suponga que una persona desea preparar un almuerzo para sus amigos y tiene dos recetas para la sopa, tres para el plato principal y dos para el postre. ¿De cuántas maneras puede el anfitrión hacer su menú? En la figura 5 se señalan todas las maneras posibles para preparar el almuerzo.

Diagrama de las posibles opciones para preparar un menú.

Las alternativas que tendrá son:{1,3,6} {1,3,7} {1,4,6} {1,4,7} {1,5,6} {1,5,7}{2,3,6} {2,3,7} {2,4,6} {2,4,7} {2,5,6} {2,5,7} En total se tienen 12 maneras diferentes de preparar un delicioso almuerzo. Aplicando el principio de multiplicación se tiene: 2 x 3 x 2 = 12 Generalizando, si un evento determinado puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, además, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes y así sucesivamente, y si al mismo tiempo cada evento es independiente del otro, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto:

Ejemplos 1. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3

premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.

10 x 9 x 8 = 720

2. ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 4680003. Calcular cuántos números enteros diferentes de

tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos no pueden repetirse.

Solución:Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los seis dígitos restantes y finalmente el dígito de las unidades seelegirá de los cinco últimos dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

7x6x5 = 210 números

4. Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos puedenrepetirse.

Solución:Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los siete dígitos y finalmente el dígito de las unidades se elegirá de los siete dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

7x7x7 = 343 números

5. Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de tres asientos.

Solución:El primer niño puede sentarse en cualquiera de los tres lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los dos asientos restantes y el tercer niño se sentará en el único lugar que queda. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

3x2x1 = 6 maneras diferentes5.- Calcular cuántos passwords de cuatro letras distintas se pueden diseñar con las letras de la palabra MEMORIA.

Solución:La palabra memoria tiene siete letras distintas, de modo que la primera letra del password puede elegirse de siete maneras, la segunda letra de seis maneras, la tercera de cinco maneras y la cuarta letra del password de cuatro maneras. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

7x6x5x4 = 840 passwords

TALLER1. Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de cuatro asientos.2. Calcular cuántos passwords de cuatro letras se pueden diseñar con las letras de la palabra memoria.3. Calcular cuántas placas de automóvil se pueden hacer de manera que tengan tres letras seguidas de cuatro dígitos con la condición de que no pueden repetirse las letras ni los dígitos y deben ser seleccionados de los conjuntos {A,B.D.E.M.R} y {1,3,4,5,7,8,9}.4. Calcular cuántos números de tres dígitos distintos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos. 1,2,4,6,7,8,9.5. Calcular cuántos números de tres dígitos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos 1,2,4,6,7,8,9.6. Calcular cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MOUSE de modo que empiecen con consonante, terminen con vocal y que no se repitan las letras.7. Un Ingeniero en Sistemas va a ensamblar un servidor para la empresa en la cual trabaja. Tiene a su disposición tres tipos diferentes de procesadores, cuatro modelos de gabinete, memorias RAM de tres capacidades distintas y una tarjeta madre de dos modelos distintos. ¿Cuántas opciones tiene para ensamblar el servidor?8. Rosa posee 3 blusas distintas, 2 pantalones diferentes y 4 pares de zapatos diferentes. ¿De cuantas maneras distintas puede vestirse utilizando las prendas mencionadas?9. Víctor desea viajar de Montería a Barranquilla y tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 5 líneas terrestres, en ambos sentidos. ¿de cuantas maneras diferentes puede realizar el viaje de ida y vuelta? En caso de que la empresa usada, no lo quiera volver a usar de regreso ¿Cuántas opciones tiene para ello?10.La oficina de tránsito cuanta con tres secretarias para la revisión de documentos, hay cuatro cajeros para los pagos, dos fotógrafos y para la entrega hay disponible tres personas. ¿De cuántas maneras puede tramitarse una licencia?

PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCIONSi una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:                       m+n maneras.

Este principio tiene las mismas premisas del principio multiplicativo, pero con la condición no de que los eventos sean independientes sino de que sean mutuamente excluyentes, es decir que cada uno ocurra sin la necesidad de que otro lo haga.

Ejemplo:

1. Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

PRESA                     PLAYASEconómico Residencial Californiano Condominio           Provenzal m=2                          n=3           2+3= 5 maneras 2. Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:M = Número de maneras de seleccionar una lavadora WhirpoolN = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca EasyW = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 manerasN = 3 x 2 x 2 = 12 manerasW = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora  

3. Para preparar el pescado, él encuentra cinco maneras diferentes de hacerlo al horno, dos para hacerlo frito y tres para prepararlo cocido. ¿De cuántas maneras diferentes puede cocinar su pescado?

Solución:Cada una de las maneras de preparar el pescado es excluyente de las otras dos. Es decir, si el cocinero decide preparar el pescado cocido, ya no podrá prepararlo ni frito ni al horno; de igual manera sucede si decide hacerlo al horno o frito. Así que en total, y de acuerdo con el principio aditivo, sólo hay 5+2+3=10 maneras diferentes de cocinar el pescado.

Reglas de la suma y el producto

1. ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante?

2. Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que:a. ningún dígito se pueda repetir.b. se pueden repetir los dígitos.

3. Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una joyería, justo antes de que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron interrogadas por la policía, las dos jóvenes dieron la siguiente información acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de cuatro dígitos). María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q, y que el último dígito era un 3 o un 8. Ana dijo que la primera letra de la placa era una C o una G y que el primer dígito era definitivamente un 7.

¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía?

4. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido.

5. Suponga que una persona que vive en el municipio de Bello (Antioquia) trabaja en el centro de la ciudad de Medellín. Para llegar a su sitio de trabajo, este tiene tres rutas distintas para llegar a la Autopista y de allí puede tomar otras tres rutas para llegar al centro de la ciudad. En el centro, puede tomar cuatro rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina. ¿De cuántas maneras o rutas distintas podría tomar la persona para llegar de la casa al parqueadero más próximo a su oficina?

6. En un restaurante en el centro de la ciudad ofrecen almuerzos ejecutivos con las siguientes opciones: tres tipos diferentes de sopa, cuatro tipos de carne con la bandeja, cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre. ¿De cuántas maneras puede un comensal elegir su menú que consista de una sopa, una carne para su bandeja, una bebida y un postre?

7. Dados los siguientes seis números: 2, 3, 5, 6, 7, 9; y si no se permiten repeticiones, resuelva:a) ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden

formar con estos seis dígitos?b) ¿Cuántos de estos son menores de 400?c) ¿Cuántos son pares?d) ¿Cuántos son impares?e) ¿Cuántos son múltiplos de cinc

 

PRINCIPIO DE PERMUTACION:

A diferencia de la fórmula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el número de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la fórmula que se utiliza para contar el número total de permutaciones distintas es:       FÓRMULA: n P r = n! /(n - r)

1. Ejemplo: ¿Cómo se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes? Aplicando la fórmula de la permutación tenemos:                                                  n P r = n! /(n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

15! = 32760(15-4)!

Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !

EJERCICIOS RESUELTOS¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?m = 5     n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

4. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

5. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

6. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8

7. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

8. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

9. Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

10. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2.Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

11. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

12. Resolver las ecuaciones:

1. 

  

2. 

 

3. 

 13. Tienes 5 libros para acomodar en un estante de cuantas formas los puedes acomodar:P 5 en 5 = 5*4*3*2*1= 1201b Si solo hay tres lugares de cuantas formas se pueden acomodar los librosP 5 en 3= 5*4*3= 60

14. En una carrera corren 8 caballos, si solo los 3 primeros ganan premio de cuantas maneras se puede hacer la premiacion:P de 8 en 3 = 8*7*6= 336 maneras

PRINCIPIO DE COMBINACION:

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CBCombinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.La fórmula de combinaciones es:

                                                          n C r = n!                          r! (n – r)!

Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35 r! (n – r )!  3! (7 – 3)!  3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

Estas son una pagina interactiva interesantes, que les puede ser muy util para el mejor  entendimiento de las Tecnicas de Conteo:

EJERCICIOS RESUELTOS1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.

No se repiten los elementos.

2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

4. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4..

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

5. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

6. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?

Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Son  , a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.

7. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

8. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

9. Resolver las ecuaciones combinatorias:

1. 

2. 

3. 

27 no es solución porque el número de orden en las combinaciones es menor que el número de elementos.

Reglas de la suma y el producto

8. ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante?

C V C--- --- --- 5.3.4 = 60 (regla del producto)5 3 4

9. Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que:

c. ningún dígito se pueda repetir.

9 9 8 7 6 5--- --- --- --- --- ---9.9.8.7.6.5 = 136.080 (regla del producto)

b. se pueden repetir los dígitos.

9.10.10.10.10.10 = 900.000 (regla del producto)

10.Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una joyería, justo antes de que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron interrogadas por la policía, las dos jóvenes dieron la siguiente información acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de cuatro dígitos). María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q, y que el último dígito era un 3 o un 8. Ana dijo que la primera letra de la placa era una C o una G y que el primer dígito era definitivamente un 7.

¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía?

C/G Q/O 7 0 a 9 0 a 9 8 ó 3----- ----- ----- ----- ----- ----- | | | | | |2 x 2 x 1 x 10 x 10 x 2 =

800 (regla del producto)

11. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido.

¿De cuántas formas puede Juan ir del pueblo A al pueblo C?2 + 4.3 = 14 (reglas de la suma y del producto)¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al pueblo C y de regreso al pueblo A?14.14 = 196 (regla del producto)¿Cuántos de los trayectos completos de la parte (b) son tales que el viaje de regreso (del pueblo C al pueblo A) es diferente, al menos parcialmente, de la ruta que toma Juan del pueblo A al pueblo C? (Por ejemplo, si Juan viaja de A a C por las rutas R1 y R6 podría regresar por las rutas R6 y R2, pero no por R1 y R6).14.13 = 182 (regla del producto)