Técnicas de enumeración o conteo.

Las técnicas de enumeración o conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de  todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

Principio de la multiplicación

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;                                    N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formasEl principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad debe ser llevado a efecto, uno tras otro.

Ejemplos:1)      Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?Solución:Considerando que r = 4 pasosN1= maneras de hacer cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 3N3= maneras de hacer techos = 2N4= maneras de hacer acabados = 1N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

2)      ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.Solución:a.      Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 926 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75, 760,000 placas para automóvil que es posible diseñarb.      26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78, 624,000 placas para automóvilc.      1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvild.      1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil

Permutaciones con repetición

Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces,... (m = a + b + c +... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que:

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

Ejemplos:

1)      Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.Solución:n = 6 banderinesX1 = 2 banderines rojosX2 = 3 banderines verdesX3 = 1 banderín morado                  6P2, 3,1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes

3)      ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos?Solución:n = 9 árbolesX1 = 2 nogalX2 = 4 manzanosX3 = 3 ciruelos                  9P2, 4,3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de plantar los árboles

Permutaciones sin repetición: 

Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.

El número de estas permutaciones será:

Ejemplo: ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13... = 20, 922, 789, 888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

Ejemplo: ¿de cuántas formas pueden sentarse cuatro amigos A, B, C y D en un banco del parque?

Se trata de una permutación (sin repetición) de cuatro elementos: 

TOTAL = P4 = 4! = 24 formas distintas. 

Combinación con repetición

Las combinaciones con repetición de un conjunto son las distintas formas en que se puede hacer una selección de elementos de un conjunto dado, permitiendo que las selecciones puedan repetirse.

De manera formal, una combinación con repetición es la selección de un multiconjunto cuyos elementos pertenezcan a un conjunto dado.

Ejemplo

¿De cuántas maneras se puede repartir 10 caramelos a 4 niños?

Vamos a imaginar que los nombres son Alonso, Beto, Carlos y Daniel (que representaremos como A, B, C, D).

Una posible forma de repartir los caramelos sería: dar 2

caramelos a Alonso, 3 a Beto, 2 a Carlos y 3 a Daniel.

Dado que no importa el orden en que se reparten,

podemos representar esta selección como

AABBBCCDDD

Otra forma posible de repartir los caramelos podría ser:

dar 1 caramelo a Alonso, ninguno a Beto y Carlos, los 9

restantes se los damos a Daniel. Esta repartición la

representamos como

ADDDDDDDDDD

De manera inversa, cualquier serie de 10 letras A, B, C, D

corresponde a una forma de repartir los caramelos. Por

ejemplo, la serie AABBBBBDDDcorresponde a:

Dar dos caramelos a Alonso, 5 caramelos a Beto,

ninguno a Carlos y 3 a Daniel.

De esta forma, por el principio de la biyección, el número

de formas en que se puede repartir los caramelos es

igual al número de series de 10 letras (sin tomar en

cuenta el orden) A, B, C, D. Pero cada una de ellas

corresponde a un multiconjunto con 10 elementos, por lo

que concluimos que el número total de formas de repartir

los caramelos es  .

En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas.

¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

No  entran todos los elementos. Sólo elije 4...

No  importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y

2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una

botella del mismo tipo.

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN

Combinaciones sin repetición o combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por Cm, n. (n≤m).

Ejemplos: 1a). Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del la universidad, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b).si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuántos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c).¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?Solución:

A).n=14, r=514C5=14!/(14–5)!5!=14!/ 9!5!= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= 2002 grupos

B) Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5

En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres8C3*6C2 = (8! / (8 –3)!3!)*(6! / (6 – 2)!2!)= (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!)= 8 x7 x 6 x 5 /2!= 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas

C). En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o más Los grupos de interés son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres= 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6 = 126 grupos

Ejemplo: 2

Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a). ¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.)¿Cuántas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?, c.)¿Cuántas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, d).¿Cuántas maneras tiene si debe contestar como máximo una de las 3 primeras preguntas?Solución:a. n = 12, r = 912C9 = 12! / (12 – 9)!9! = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3! = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examenb). 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que están las dos primeras preguntasc). 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que está una de las tres primeras preguntasd). En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas3C0*9C9 + 3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a contestar

Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol. Ejemplo: Si Juan tiene 3 pantalones y 2 camisas basta multiplicar 3x2=6 y son 6 posibilidades de que se pueda vestir.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.

Ejemplos

Una universidad está formada por tres facultades:

La 1ª con el 50% de estudiantes.

La 2ª con el 25% de estudiantes.

La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

 Pero también podría ser lo contrario.

Bibliografia

1. http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_%C3%A1rbol.2. http://estructurasdiscretasunerg.blogspot.com/2010/04/

combinaciones.html.3. http://www.amolasmates.es/cuarto_eso/tecnicas_de_recuento/

combinatoria_archivos/per_marco.htm.4. http://www.vitutor.com/pro/1/a_r.html.5. http://www.monografias.com/trabajos93/tecnicas-conteo/tecnicas-

conteo.shtml.

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

FRANCISCO DE MIRANDA

ÁREA: TECNOLOGIA

PROGRAMA: INGENIERIA MECANICA

BACHILLERES:

GARCIA YEFRYC.I: 22.608.592

C.I:

C.I:

PROFESORA: ZULEY MEDINA

SANTA ANA DE CORO; MARZO 2014