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C TECNICAS DE INTEGRACION

C.1 CONCEPTOS PRELIMINARES

C.1.1 Funcion primitiva

Sea f : I → R, donde I es un intervalo real. Diremos que la funcion F : I → Res una funcion primitiva de la funcion f en I si se cumple que

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

Observaciones:

• Si F : I → R es una primitiva de la funcion f , entonces tambien es unaprimitiva de f la funcion G = F + C para cualquier C ∈ R.

• Si F y G son dos funciones primitivas cualesquiera de la funcion f enel intervalo I, entonces se cumplira que F ′(x) = G′(x) = f(x), ∀x ∈ I.En particular, F ′(x) − G′(x) = 0, ∀x ∈ I, de donde se concluye que lasfunciones F y G se diferencian en una constante, es decir,

G(x) = F (x) + C ∀x ∈ I,

para alguna constante C ∈ R.

Las observaciones anteriores justifican la siguiente definicion. Dada una fun-cion f : I → R, se llama integral indefinida de f , y se denota por

∫f(x) dx,

al conjunto de todas las funciones primitivas de f en el intervalo I. Sueleescribirse, ∫

f(x) dx = F (x) + C, C ∈ R,

donde F es una primitiva cualquiera de la funcion f en el intervalo I.555

556 TECNICAS DE INTEGRACION.

C.1.2 Linealidad de la integral

De las propiedades de la derivada se deduce facilmente que

1) Si F : I → R es una primitiva la funcion f en el intervalo I y G : I → Res una primitiva de la funcion g en el intervalo I, entonces F + G es unaprimitiva de la funcion f + g en el intervalo I, por lo que∫

(f(x) + g(x)) dx =∫

f(x) dx +∫

g(x) dx.

2) De igual forma, si F : I → R es una primitiva de la funcion f en elintervalo I y λ es un numero real cualquiera, entonces la funcion λF esuna primitiva de la funcion λ f en el intervalo I. En terminos de integralindefinida, esta propiedad significa que,∫

λ f(x) dx = λ

∫f(x) dx.

C.2 TECNICAS DE INTEGRACION.

C.2.1 Integrales inmediatas

Consideraremos como integrales inmediatas las comprendidas en la siguientetabla

a)∫

[f(x)]nf ′(x) dx =[f(x)]n+1

n + 1+ C, si n 6= −1.

b)∫

f ′(x)f(x)

dx = ln |f(x)|+ C.

c)∫

af(x)f ′(x) dx =af(x)

ln a+ C. (a > 0, a 6= 1).

d)∫

ef(x)f ′(x) dx = ef(x) + C.

e)∫

f ′(x) sen[f(x)] dx = − cos[f(x)] + C.

f)∫

f ′(x) cos[f(x)] dx = sen[f(x)] + C.

g)∫

f ′(x)(1 + tg2[f(x)]) dx =∫

f ′(x)cos2[f(x)]

dx = tg[f(x)] + C.

TECNICAS DE INTEGRACION 557

h)∫

f ′(x)(1 + cotg2[f(x)]

)dx =

∫f ′(x)

sen2[f(x)]dx = − cotg(f(x)) + C.

i)∫

f ′(x)√1− [f(x)]2

dx = arsen [f(x)] + C.

j)∫

f ′(x)1 + [f(x)]2

dx = artg (f(x)) + C.

k)∫

f ′(x) sh [f(x)] dx = ch [f(x)] + C.

l)∫

f ′(x) ch [f(x)] dx = sh [f(x)] + C.

m)∫

f ′(x)ch 2[f(x)]

= th [f(x)] + C.

n)∫

f ′(x)√1 + [f(x)]2

dx = argsh [f(x)] + C = ln∣∣∣f(x) +

√[f(x)]2 + 1

∣∣∣ + C.

o)∫

f ′(x)√[f(x)]2 − 1

dx = argch [f(x)] + C = ln∣∣∣f(x) +

√[f(x)]2 − 1

∣∣∣ + C.

p)∫

f ′(x)1− [f(x)]2

dx = argth (f(x)) + C =12

ln∣∣∣∣1 + f(x)1− f(x)

∣∣∣∣ + C.

Ejemplo C.1

• Calcular las siguientes integrales:

a)∫

3√

x2 dx b∫

cotg x dx b)∫

tg2 x dx.

Solucion:

a)∫

3√

x2 dx =∫

x2/3 dx =x

23+1

23 + 1

+ C =35

3√

x5 + C.

b)∫

cotg x dx =∫

cosx

sen xdx = ln | sen x|+ C.

c)∫

tg2 x dx =∫

(tg2 x + 1− 1) dx =∫

(tg2 x + 1) dx−∫

dx = tg x− x + C.


C.2.2 Integrales casi inmediatas

Se denominan integrales casi inmediatas a aquellas que se pueden reducirfacilmente a una integral inmediata mediante operaciones elementales en lafuncion integrando. Generalmente habra que multiplicar y dividir por unaconstante apropiada.∫

dx

k2 + (x± a)2=

∫dx

k2[1 +

(x±a

k

)2]

=1k

∫1/k

1 +(

x±ak

)2 dx =1k

artg(

x± a

k

)+ C.

Mediante un desarrollo analogo al anterior se deducen facilmente las siguientesformulas de integracion

∫dx

k2 − (x± a)2=

1k

argth(

x± a

k

)+ C.

∫dx√

k2 − (x± a)2= arsen

(x± a

k

)+ C.

∫dx√

k2 + (x± a)2= argsh

(x± a

k

)+ C.

∫dx√

(x± a)2 − k2= argch

(x± a

k

)+ C.

Ejemplo C.2


a)∫

dx

x2 + x + 1b)

∫dx√

2 + 2x− x2.

Solucion:

a)∫

dx

x2 + x + 1=

∫dx(

x + 12

)2 − 14 + 1

=∫

dx(x + 1

2

)2 +(√

32

)2

=2√3

artg(

2x + 1√3

)+ C.

b)∫

dx√2 + 2x− x2

=∫

dx√(√

3)2 − (x− 1)2= arsen

(x− 1√

3

)+ C.


C.2.3 Integracion por sustitucion (cambio de variable)

Todas las formulas que figuran en la tabla de integracion inmediata obedecenal mismo esquema y se basan en la regla de la cadena para calcular la derivadade una funcion compuesta. Mas concretamente, si F (x) es una primitiva dela funcion f(x), entonces se tiene que∫

f(g(x))g′(x) dx = F (g(x)) + C.

En efecto, aplicando la regla de la derivada de una funcion compuesta se tieneque

d[F (g(x))] = F ′(g(x))g′(x)dx = f(g(x))g′(x)dx.

En la practica se procede de la siguiente forma.

1) Supongamos que nos encontramos una integral que podemos escribirla enla forma ∫

f(g(x))g′(x) dx. (C.2.1)

a) Hacemos el cambio de variable t = g(x)

t = g(x) ⇒ dt = g′(x) dx.

b) Sustituimos en la integral inicial.∫

f(g(x))g′(x) dx = t = g(x)dt = g′(x) dx

=∫

f(t) dt.

c) Calculamos una primitiva de la funcion f(t),∫f(t) dt = F (t) + C.

d) Finalmente, deshacemos el cambio de variable.

F (t) + C = F (g(x)) + C.

Todo el proceso anterior se puede sintetizar en la forma∫

f(g(x))g′(x)dx = t = g(x)dt = g′(x)dx

=∫

f(t)dt = F (t) + C = F (g(x)) + C.

2) Si no es posible expresar nuestra integral en la forma (C.2.1) podemosintentar resolverla efectuando un cambio de variable directo del tipo x =ϕ(t) donde ϕ(t) es una funcion con derivada continua y tal que ϕ′(t) 6= 0∀t.


En este caso,∫

f(x) dx = x = ϕ(t)dx = ϕ′(t)dt

=∫

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt.

Habremos logrado nuestro objetivo si la integral resultante es mas facilque la integral inicial. Una vez resuelta esta integral se procede a desha-cer el cambio de variable despejando la variable t en la igualdad x = ϕ(t),es decir, t = ϕ−1(x).

Si suponemos que F (t) es una primitiva de la funcion f(ϕ(t))ϕ′(t), todoel proceso anterior se puede escribir como∫

f(x)dx = x = ϕ(t)dx = ϕ′(t)dt

=∫

f(ϕ(t))ϕ′(t)dt = F (t)+C = F(ϕ−1(x)

)+C.

3) Si nuestra integral inicial se puede expresar en la forma (C.2.1) puedeensayarse tambien un cambio de variable del tipo g(x) = ϕ(t) dondeϕ(t) esta en las condiciones dadas en el apartado anterior. En este caso,

∫f(g(x))g′(x)dx = g(x) = ϕ(t)

g′(x)dx = ϕ′(t)dt=

∫f(ϕ(t))ϕ′(t) dt

= F (t) + C = F(ϕ−1(g(x))

)+ C.

Ejemplo C.3

• Calcular las siguientes integrales mediante un cambio de variable:

a)∫

dx

x +√

xb)

∫dx

sen 2x ln(tg x).

Solucion:

a)∫

dx

x +√

x= x = t2

dx = 2t dt=

∫2tdt

t2 + t= 2

∫1

t + 1dt = 2 ln |t + 1|+ C

= 2 ln |√x + 1|+ C.

b)∫

dx

sen 2x ln(tg x)=

t = ln(tg x)

dt =1

tg x

1cos2 x

dx =1

sen x cosxdx =

2sen 2x

dx

=12

∫dt

t=

12

ln |t|+ C =12

ln | ln(tg x)|+ C.


C.2.4 Integracion por partes

La formula de integracion por partes se basa en la regla de derivacion de unproducto de funciones. Si u, v denotan dos funciones derivables, entonces setiene que

d(u v) = u dv + v du.

Integrando en los dos terminos de la expresion anterior y despejando, se obtienela formula ∫

u dv = u v −∫

v du,

que se conoce como formula de integracion por partes.La formula de integracion por partes se aplica, en general, cuando la funcionintegrando sea del tipo: polinomica por exponencial, trigonometrica por ex-ponencial, ..., haciendo una eleccion adecuada de u y dv en la integral dada.Obviamente, el metodo tendra interes si la integral del segundo miembro re-sulta mas sencilla o del mismo tipo que la integral dada.

Ejemplo C.4

• Calcular las siguientes integrales mediante integracion por partes

a)∫

x5 ln x dx b)∫

ex cosx dx c)∫

sen2 x dx.

Solucion:

a)∫

x5 ln x dx =u = ln x ⇒ du = 1/x dx

dv = x5 dx ⇒ v = x6/6=

16

x6 ln x− 16

∫x5 dx

=16

x6 ln x− 136

x6 + C.

b)∫

ex cos x dx = u = ex ⇒ du = ex dxdv = cos x dx ⇒ v = sen x

= ex senx−∫

sen x ex dx.

Aplicando nuevamente integracion por partes en la integral resultante,∫

ex sen x dx = u = ex ⇒ du = ex dxdv = sen x dx ⇒ v = − cos x

= −ex cos x +∫

ex cosx dx.

Sustituyendo en la integral inicial, se obtiene∫

ex cos x dx = ex senx−(−ex cosx +

∫ex cos x dx

)

= ex senx + ex cos x−∫

ex cos x dx.


Finalmente, reagrupando las integrales y despejando, se llega a∫

ex cos x dx =12

ex(senx + cosx) + C.

c)∫

sen2 x dx = u = sen x ⇒ du = cos x dxdv = sen x dx ⇒ v = − cosx

= − sen x cosx +∫

cos2 x dx

= − senx cosx+∫

(1−sen2 x)dx = − senx cosx+∫

dx−∫

sen2 x dx

Reagrupando las integrales en el primer termino y despejando, se obtiene∫

sen2 x dx =12

(x− sen x cos x) + C.

La integral anterior puede tambien resolverse de manera inmediata a partir delas igualdades trigonometricas

sen2 a =1− cos 2a

2, cos2 a =

1 + cos 2a

2.

En nuestro caso,∫

sen2 x dx =∫

1− cos 2x

2dx =

12

∫dx− 1

2

∫cos 2x dx =

12

x− 14

sen 2x + C.

C.2.5 Integracion por reduccion

Consideremos la integral indefinida

In =∫

fn(x) dx

que depende de un numero natural n. El metodo de reduccion consiste enresolver la integral In de forma recurrente a partir de las integrales Ik, conk < n. En la mayorıa de los casos se utilizara para ello integracion por partes.

Ejemplo C.5

• Encontrar una formula de recurrencia para la siguiente integral

In =∫

dx

(a2 + x2)n

donde n ∈ N y particularizar para n = 3.


Solucion:

In =∫

dx

(a2 + x2)n=

1a2

∫a2 dx

(a2 + x2)n=

1a2

∫a2 + x2 − x2

(a2 + x2)ndx

=1a2

∫a2 + x2

(a2 + x2)ndx− 1

a2

∫x2

(a2 + x2)ndx

=1a2

(∫dx

(a2 + x2)n−1−

∫x2

(a2 + x2)ndx

)

=1a2

(In−1 −

∫x2

(a2 + x2)ndx

)

(∗)=

1a2

[In−1 −

(x

2(1− n)1

(a2 + x2)n−1− 1

2(1− n)In−1

)]

=1a2

[− x

2(1− n)(a2 + x2)n−1+

(1 +

12(1− n)

)In−1

].

(∗)∫

x2 dx

(a2 + x2)n=

u = x ⇒ du = dx

dv =x

(a2 + x2)ndx ⇒ v =

12(1− n)

1(a2 + x2)n−1

=x

2(1− n)1

(a2 + x2)n−1−

∫1

2(1− n)1

(a2 + x2)n−1dx

=x

2(1− n)1

(a2 + x2)n−1− 1

2(1− n)In−1.

Aplicando la formula anterior para n = 3, se tiene

I3 =∫

dx

(a2 + x2)3=

1a2

[x

4(a2 + x2)2+

34

I2

]

I2 =1a2

[x

2(a2 + x2)+

12

I1

]

I1 =∫

dx

a2 + x2=

1a

artg(x

a

)+ C.

Ahora basta ir sustituyendo de abajo a arriba y obtenemos I3.

C.2.6 Integracion de funciones racionales

En este apartado abordamos el estudio de las integrales del tipo∫

p(x)q(x)

dx,

donde p(x) y q(x) son polinomios en la variable x.


Una operacion que aparece con bastante frecuencia en la resolucion de estetipo de integrales es la de completar cuadrados. Mas concretamente, escribirun polinomio de segundo grado como un cuadrado perfecto mas una constante.

a x2 + b x + c = a

[x2 +

b

ax +

c

a

]= a

[(x +

b

2a

)2

− b2

4a2+

c

a

]

= a

[(x +

b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a2

](a 6= 0).

C.2.6.1 Un caso particular de integrales racionales. Dos tipos de integralesracionales que aparecen con mucha frecuencia en la practica son∫

1ax2 + bx + c

dx,

∫mx + n

ax2 + bx + cdx.

En la resolucion de ambos tipos de integrales se utiliza la tecnica de completarcuadrados en el polinomio del denominador.

1) I1 =∫

dx

ax2 + bx + c=

∫dx

a

[(x +

b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a2

] .

Segun que b2−4ac sea positivo o negativo dara como resultado un argtho un artg .

2) I2 =∫

mx + n

ax2 + bx + cdx.

El primer paso en la resolucion de esta integral es tratar de obtener enel numerador la derivada del denominador. De esta forma podemos des-componer nuestra integral como suma de una integral inmediata y otradel tipo anterior.

Ejemplo C.6

• Calcular las siguientes integrales racionales:

a)∫

dx

2x2 − 5x + 7b)

dx

x2 − 4x− 1c)

∫3x + 1

2x2 − 5x + 7.

Solucion:

a) I1 =∫

dx

2x2 − 5x + 7=

∫dx

2[(

x− 54

)2 + 3116

] =12

∫dx(

x− 54

)2 + 3116

=


12

4√31

artg(

4x− 5√31

)+ C =

2√31

artg(

4x− 5√31

)+ C.

b)∫

dx

x2 − 4x− 1=

∫dx

(x− 2)2 − 5= − 1√

5argth

(x− 2√

5

)+ C.

c) I2 =∫

3x + 12x2 − 5x + 7

dx =34

∫4x + 4

3

2x2 − 5x + 7dx =

34

∫4x− 5 + 5 + 4

3

2x2 − 5x + 7dx

=34

∫ (4x− 5

2x2 − 5x + 7+

19/32x2 − 5x + 7

)dx

=34

∫4x− 5

2x2 − 5x + 7dx +

194

∫dx

2x2 − 5x + 7=

34

∫4x− 5

2x2 − 5x + 7dx +

194

I1

=34

ln |2x2 − 5x + 7|+ 194

2√31

artg(

4x− 5√31

)+ C.

C.2.6.2 El caso general. Consideremos la integral

I =∫

p(x)q(x)

dx,

donde p(x) y q(x) son polinomios en x. Si grd(p(x)) ≥ grd(q(x)), entoncespodemos descomponer

p(x)q(x)

= c(x) +r(x)q(x)

,

donde c(x) y r(x) son los polinomios cociente y resto, respectivamente, de ladivision de p(x) entre q(x). De esta forma se tendra que

I =∫

p(x)q(x)

dx =∫ [

c(x) +r(x)q(x)

]dx =

∫c(x) dx +

∫r(x)q(x)

dx.

• La integral∫

c(x) dx es inmediata porque c(x) es un polinomio en x.

• Por otro lado, la integral∫

r(x)q(x)

dx es una integral racional en la que

grd(r(x)) < grd(q(x)). Esta integral se resuelve descomponiendo la frac-cion r(x)/q(x) en suma de fracciones algebraicas simples.


C.2.6.3 Descomposicion de una fraccion algebraica en fracciones simples.El primer paso para descomponer la fraccion p(x)/q(x) en suma de fraccionessimples sera obtener la descomposicion factorial del polinomio q(x) para locual sera necesario hallar las raıces de la ecuacion q(x) = 0.Si x1, x2, · · · , xr son las raıces de q(x) con multiplicidades n1, n2, · · · , nr,respectivamente, entonces q(x) se descompone en la forma

q(x) = A(x− x1)n1(x− x2)n2 · · · (x− xr)nr ,

siendo A el coeficiente lıder del polinomio q(x). Ademas, si un polinomio decoeficientes reales admite la raız compleja z = α + β i, entonces tambien tienecomo raız el numero complejo conjugado z = α − β i. Esto nos va a permitiragrupar los factores correspondientes a raıces complejas y sus conjugadas paraobtener factores cuadraticos. Mas concretamente, si α + β i es una raız com-pleja de q(x) = 0, de multiplicidad m, entonces α− β i tambien sera una raızcompleja de q(x) de multiplicad m. Entonces en la descomposicion factorialde q(x) apareceran los factores

[x− (α + β i)]m[x− (α− β i)]m = (x− α− β i)m(x− α + β i)m,

que pueden agruparse en la forma,

[(x− α− β i)(x− α + β i)]m = [(x− α)2 + β2]m.

De acuerdo con lo anterior, en la descomposicion factorial de p(x) puedenaparecer factores del tipo

a) (x− a), correspondiente a una raız real simple.

b) (x− a)m, correspondiente a una raız real multiple (de multiplicidad m).

c) (x − α)2 + β2, factor cuadratico correspondiente a una raız real simpleα + β i y su conjugada α− β i.

d) [(x − α)2 + β2]m, factor cuadratico multiple correspondiente a una raızcompleja multiple, α + β i y su conjugada α− β i (de multiplicidad m)

La descomposicion en fracciones elementales de p(x)/q(x) se hara de la si-guiente manera:

a) Por cada factor del tipo (x − a), correspondiente a una raız real simple,escribiremos una fraccion del tipo

A1

x− a.

b) Por cada factor del tipo (x − a)m, correspondiente a una raız real demultiplicad m, escribiremos m fracciones del tipo

Ak

(x− a)k, k = 1, 2, · · · ,m.


c) Por cada factor cuadratico del tipo (x− α)2 + β2, correspondiente a unaraız compleja simple y su conjugada, escribimos una fraccion del tipo

M1x + N1

(x− α)2 + β2.

d) Por cada factor del tipo [(x − α)2 + β2]m, correspondiente a una raızcompleja y su conjugada de multiplicidad m, escribimos m fracciones deltipo

Mkx + Nk

((x− α)2 + β2)k, k = 1, 2, · · · ,m.

Por ejemplo, supongamos que la ecuacion q(x) = 0 tiene la raız real simplex = a, la raız real x = b con grado de multiplicidad m y la raız complejax = α± β i con orden de multiplicidad n. Entonces q(x) se descompone en laforma

q(x) = A(x− a)(x− b)m[(x− α)2 + β2]n,

siendo A el coeficiente del termino de mayor grado de q(x). En este caso, eldesarrollo en fracciones simples de r(x)/q(x) vendra dado por

r(x)q(x)

=A1

x− a+

B1

x− b+

B2

(x− b)2+ · · ·+ Bm

(x− b)m+

M1 x + N1

(x− α)2 + β2+

M2 x + N2

[(x− α)2 + β2]2+ · · ·+ Mn x + Nn

[(x− α)2 + β2]n

siendo Ak, Bk, Mk, Nk coeficientes reales a determinar.Para calcular estos coeficientes se multiplican ambos miembros de la igualdadanterior por q(x). A continuacion pueden seguirse dos estrategias distintas:

• Desarrollar la expresion, agrupar e identificar los coeficientes de los termi-nos del mismo grado.

• Evaluar la igualdad resultante para valores adecuados de la variable x.(Por lo general esta tecnica resulta mas ventajosa que la anterior).

Una vez determinados los coeficientes que figuran en la descomposicion dep(x)/q(x) en suma de fracciones simples, la integral

∫p(x)q(x)

dx,

se descompone en suma de integrales de los siguientes tipos:

a)∫

A1

x− adx = A1 ln |x− a|+ C.


b)∫

Bk

(x− b)kdx =

−Bk

(k − 1)(x− b)k−1+ C, (k > 1).

c)∫

M1x + N1

(x− α)2 + β2dx, resuelta anteriormente.

d)∫

Mkx + Nk

[(x− α)2 + β2]kdx, con k > 1.

Este tipo de integrales puede resolverse por reduccion, haciendo previa-mente el cambio de variable t = (x − α)/β. Sin embargo, debido a ladificultad que esta tecnica conlleva si k > 2, es aconsejable resolverlasaplicando el metodo de Hermite, que veremos mas adelante.

Ejemplo C.7

• Resolver las siguientes integrales racionales:

a)∫

dx

x2 − 4x + 3b)

∫x + 1

x3 + x2 − 6xdx c)

∫x + 1

x3 + x2 − 6xdx

Solucion:

a)∫

dx

x2 − 4x + 3.

(1) Descomposicion factorial de q(x) = x2 − 4x + 3,

x2 − 4x + 3 = 0 ⇒{

x = 3x = 1 ⇒ x2 − 4x + 3 = (x− 3)(x− 1).

(2) Descomposicion en fracciones elementales,1

(x− 3)(x− 1)=

A

x− 3+

B

x− 1

1 = A(x− 1)+B(x− 3) ⇒{

x = 1 ⇒ 1 = −2Bx = 3 ⇒ 1 = 2A

⇒{

A = 1/2B = −1/2

1(x− 3)(x− 1)

=1/2

x− 3− 1/2

x− 1.

(3) Calculo de la integral∫

dx

x2 − 4x + 3=

∫ (1/2

x− 3− 1/2

x− 1

)dx =

12

∫1

x− 3dx− 1

2

∫1

x− 1dx

=12

ln |x− 3| − 12

ln |x− 1|+ C.


La integral anterior puede tambien resolverse mediante la tecnica de completarcuadrados en el denominador∫

dx

x2 − 4x + 3=

∫dx

(x− 2)2 − 1= Integracion casi inmediata

= − argth (x− 2) + C = −12

ln∣∣∣∣x− 1x− 3

∣∣∣∣ + C.

b)∫

x + 1x3 + x2 − 6x

dx

(1) Descomposicion factorial del polinomio q(x) = x3 + x2 − 6x,

x3 − x2 − 6x = 0 ⇒{

x = 0x = 2x = −3

⇒ x3 − x2 − 6x = x(x− 2)(x + 3)

(2) Descomposicion en fracciones elementalesx + 1

x3 − x2 − 6x=

x + 1x(x− 2)(x + 3)

=A

x+

B

x− 2+

C

x + 3

x + 1 = A(x− 2)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x− 2) ⇒{

A = −1/6B = 3/10C = −2/15

x + 1x3 − x2 − 6x

=−1/6

x+

3/10x− 2

+−2/15x + 3


x + 1x3 + x2 − 6x

dx =∫ (−1/6

x+

3/10x− 2

+−2/15x + 3

)dx

=∫ −1/6

xdx +

∫3/10x− 2

dx +∫ −2/15

x + 3dx

=−16

ln |x|+ 310

ln |x− 2| − 215

ln |x + 3|+ C.

c)∫

x3

2x3 + 3x2 − 2x− 3dx.

(1) Como el grado del numerador es igual que el grado del denominador,efectuamos la division y escribimos

x3

2x3 + 3x2 − 2x− 3=

12

+− 3

2x2 + x + 32

2x3 + 3x2 − 2x− 3.

(2) Descomponemos el polinomio q(x) = 2x3 + 3x2 − 3x− 3 en factores,


2x3 + 3x2 − 2x− 3 = 0 ⇒{

x = 1x = −1x = −3/2

2x3 + 3x2 − 2x− 3 = 2(x− 1)(x + 1)(x + 3

2

)= (x− 1)(x + 1)(2x + 3)

− 32x2 + x + 3

2

(x− 1)(x + 1)(2x + 3)=

A

x− 1+

B

x + 1+

C

2x + 3⇒

{A = 1/10B = 1/2C = −27/10


x3

2x3 + 3x2 − 2x− 3dx =

∫ (12

+− 3

2x2 + x + 32

2x3 + 3x2 − 2x− 3

)dx =

12

∫dx+

∫ − 32x2 + x + 3

2

2x3 + 3x2 − 2x− 3dx =

12

x+∫ − 3

2x2 + x + 32

(x− 1)(x + 1)(2x + 3)dx =

12

x +∫ (

1/10x− 1

+1/2

x + 1− 27/10

2x + 3

)dx =

12

x +110

∫1

x− 1dx +

12

∫1

x + 1dx− 27

10

∫1

2x + 3dx =

12

x +110

ln |x− 1|+ 12

ln |x + 1| dx− 2720

ln |2x + 3|+ C.

d)∫

x + 1x2 + 4x + 4

dx.

(1) Descomposicion en factores del polinomio q(x) = x2 + 4x + 4

x2 + 4x + 4 = 0 ⇒ x = −2(doble) ⇒ x2 + 4x + 4 = (x + 2)2.

(2) Descomposicion en fracciones elementalesx + 1

(x + 2)2=

A

x + 2+

B

(x + 2)2⇒ x + 1 = A(x + 2) + B = A x + (2A + B)

Identificando coeficientes:{

1 = A1 = 2A + B

⇒{

A = 1B = −1

x + 1(x + 2)2

=1

x + 2− 1

(x + 2)2


x + 1(x + 2)2

dx =∫ (

1x + 2

− 1(x + 2)2

)dx

=∫

1x + 2

dx−∫

1(x + 2)2

dx = ln |x + 2|+ 1x + 2

+ C.


e)∫

x3 − x

x2 + 4x + 13dx

a) Como el grado del numerador es igual que el grado del denominador,efectuamos la division y escribimos,

x3 − x

x2 + 4x + 13dx = x− 4 +

2x + 52x2 + 4x + 13

.

b) Completamos cuadrados en el denominador: x2 + 4x + 13 = (x + 2)2 + 9.

c) Resolvemos la integral∫

x3 − x

x2 + 4x + 13dx =

∫ (x− 4 +

2x + 52x2 + 4x + 13

)dx

=∫

(x− 4) dx +∫

2x + 52x2 + 4x + 13

dx

=x2

2− 4x + ln |x2 + 4x + 13|+ 48

3artg

(x + 2

3

)+ C.

f)∫

x2 + 1x4 − x2

dx.

a) Descomposicion factorial del polinomio q(x) = x4 − x2

x4 − x2 = x2(x2 − 1) = x2(x + 1)(x− 1).

b) Descomposicion en fracciones elementales

x2 + 1x4 − x2

=x2 + 1

x2(x− 1)(x + 1)=

A

x+

B

x2+

D

x− 1+

E

x + 1⇒

A = 0B = −1D = 1E = −1

c) Calculo de la integral∫

x2 + 1x4 − x2

dx =∫ (−1

x2+

1x− 1

+−1

x + 1

)dx =

=∫ −1

x2dx +

∫1

x− 1dx−

∫1

x + 1dx

=1x

+ ln |x− 1| − ln |x + 1|+ C =1x

+ ln∣∣∣∣x− 1x + 1

∣∣∣∣ + C.

g)∫

x + 1(x2 + 1)(x2 + 4)

dx.

a) Descomposicion en fracciones elementalesx + 1

(x2 + 1)(x2 + 4)=

Ax + B

x2 + 1+

Dx + E

x2 + 4


x + 1 = (Ax + B)(x2 + 4) + (Dx + E)(x2 + 1)

= (A + D)x3 + (B + E)x2 + (4A + D)x + 4B + E

Identificando coeficientes:

0 = A + D0 = B + E1 = 4A + D1 = 4B + E

⇒

A = 1/3B = 1/3D = −1/3E = −1/3

x + 1(x2 + 1)(x2 + 4)

=13 x + 1

3

x2 + 1+− 1

3 x− 13

x2 + 4

b) Calculo de la integral∫

x + 1(x2 + 1)(x2 + 4)

dx =13

∫ (x + 1x2 + 1

− x + 1x2 + 4

)dx =

13

∫x + 1x2 + 1

dx− 13

∫x + 1x2 + 4

dx =

16

ln(x2 + 1) +13

artg x− 16

ln(x2 + 4)− 16

artg(x

2

)+ C.

C.2.6.4 Metodo de Hermite. Supongamos que q(x) tiene las raıces realesx = a, x = b de grados de multiplicidad r y s respectivamente y las raıcescomplejas conjugadas x = α ± β i y x = γ ± δ i de grados de multiplicidad ny m. Entonces q(x) se puede poner de la forma

q(x) = A(x− a)r(x− b)s[(x− α)2 + β2]n[(x− γ)2 + δ2]m

siendo A el coeficiente del termino de mayor grado de q(x). El metodo deHermite consiste en descomponer la fraccion r(x)/q(x) en la forma

r(x)q(x)

=A1

x− a+

B1

x− b+

M1x + N1

(x− α)2 + β2+

M2x + N2

(x− γ)2 + δ2+

d

dx

[c0 + c1x + · · ·+ ckx

k

(x− a)r−1(x− b)s−1[(x− α)2 + β2]n−1[(x− γ)2 + δ2]m−1

]

siendo k una unidad menos que el grado del denominador que figura dentrodel corchete.Para calcular los coeficientes A1, B1,M1, N1,M2, N2 y cj , j = 1, 2, · · · , k, bastaderivar la expresion que esta dentro del corchete, multiplicar ambos miembrosde la igualdad por q(x), desarrollar e identificar coeficientes de terminos delmismo grado.


Ejemplo C.8


a)∫ (

x2 + 1)2

(x− 1)6dx, b)

∫dx

(x2 + 2x + 5)2.

Solucion:

a)∫ (

x2 + 1)2

(x− 1)6dx

En el denominador aparece el factor (x− 1)6 correspondiente a una raız real demultiplicidad 6. En este caso, la descomposicion de Hermite sera,

x4 + 2x2 + 1(x− 1)6

=A

x− 1+

d

dx

[Dx4 + Ex3 + Fx2 + Gx + H

(x− 1)5

]

Derivando se obtiene

x4 + 2x2 + 1(x− 1)6

=

A

x−1+

(4Dx3 + 3Ex2 + 2Fx + G)(x−1)− 5( dx4 + Ex3 + Fx2 + Gx+H)(x− 1)6

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por (x− 1)6,

x4 + 2x2 + 1 = A(x− 1)5 + (4Dx3 + 3Ex2 + 2Fx + G)(x− 1)

− 5(Dx4 + Ex3 + Fx2 + Gx + H)Desarrollando, igualando coeficientes y resolviendo el sistema, se obtiene

A = 0, D = −1, E = 2, F = −8/3, G = 4/3, H = −7/15.

Luego,∫

x4 + 2x2 + 1(x− 1)6

dx =∫

d

dx

[−x4 + 2x3 + 83 x2 + 4

3 x− 715

(x− 1)5

]dx

=−x4 + 2x3 + 8

3x2 + 43x− 7

15

(x− 1)5+ C.

b)∫

dx

(x2 + 2x + 5)2.

En el denominador aparece un factor cuadratico doble(x2 + 2x + 5

)2=

[(x + 2)2 + 1

]2,

correspondiente a la raız compleja, z = −2 + i, y su conjugada, z = −2 − i, demultiplicidad 2. La descomposicion de Hermite nos proporciona

1[(x + 2)2 + 1)]2

=Ax + B

(x + 2)2 + 1+

d

dx

[Dx + E

(x + 2)2 + 1

]


Derivando e identificando coeficientes se obtiene:

A = 0, B =18, D =

18, E =

18.

Luego,∫

dx

(x2 + 2x + 5)2=

∫1

[(x + 2)2 + 1]2dx

=18

∫1

(x + 2)2 + 1dx +

18

∫d

dx

[x + 1

(x + 2)2 + 1

]dx

=18

artg(x + 2) +x + 1

8(x2 + 2x + 5)+ C

C.2.7 Integracion de funciones trigonometricas

C.2.7.1 Caso general. Las integrales del tipo∫

R(senx, cosx) dx,

donde R es una funcion racional, siempre se reducen a una integral racionalcon el cambio de variable t = tg (x/2) . En efecto,

x

2= artg t ⇒ x = 2 artg t ⇒ dx =

2dt

1 + t2

sen x = 2 sen(x

2

)cos

(x

2

)=

2 sen(

x2

)cos

(x2

)

cos2(

x2

)+ sen2

(x2

) =2 tg

(x2

)

1 + tg2(

x2

) =2t

1 + t2

cosx = cos2(x

2

)− sen2

(x

2

)=

cos2(

x2

)− sen2(

x2

)

cos2(

x2

)+ sen2

(x2

) =1− tg2

(x2

)

1 + tg2(

x2

) =1− t2

1 + t2

Ejemplo C.9

•∫

dx

1 + 2 sen x= tg

(x2

)= t =

∫ 21 + t2

dt

1 + 22t

1 + t2

= 2∫

dt

t2 + 4t + 1=

= resolviendo como integral racional =1√3

ln |t+2−√

3|− 1√3

ln |t+2+√

3|+C

=1√3

ln∣∣∣tg

(x

2

)+ 2−

√3∣∣∣− 1√

3ln

∣∣∣tg(x

2

)+ 2 +

√3∣∣∣ + C.


C.2.7.2 Casos particulares. En determinado casos la integral,∫

R(senx, cosx) dx,

puede resolverse mediante otros cambios de variable que tambien reducen laintegral a una de tipo racional y, generalmente, mas sencilla que la que seobtiene con el cambio anterior.

1. Si R es una funcion impar en senx (R(− senx, cosx) = −R(senx, cosx)),hacemos el cambio cosx = t.

2. Si R es una funcion impar en cosx (R(senx,− cosx) = −R(senx, cosx)),hacemos el cambio senx = t.

3. Si R es una funcion par en senx y cosx,

R(− senx,− cosx) = R(senx, cosx),

hacemos el cambio tg x = t. En este caso, se tiene

x = artg t, dx =dt

1 + t2,

senx =tg x√

1 + tg2 x=

t

1 + t2, cosx =

1√1 + tg2 x

=1√

1 + t2.

C.2.7.3 Integrales del tipo.∫

sen ax cos bx dx,

∫sen ax sen bx dx,

∫cos ax cos bx dx.

Se transforman en integrales inmediatas mediante las formulas

senA sen B =12

[cos(A−B)− cos(A + B)]

cosA cosB =12

[cos(A−B) + cos(A + B)]

sen A cosB =12

[sen(A−B) + sen(A + B)]

Ejemplo C.10

•∫

senx

1 + cos x + cos2 xdx.

Dado que la funcion subintegral es impar en senx, hacemos el cambio de varia-


ble cos x = t.∫sen x

1 + cos x + cos2 xdx = cosx = t

− sen x dx = dt=

∫ −dt

1 + t + t2=

Resolviendo como integral racional = − 2√3

artg(

2t + 1√3

)+ C =

− 2√3

artg(

2 cos x + 1√3

)+ C.

•∫

cos2 x

1 + sen2 xdx.

Dado que la funcion subintegral es par en sen x y cos x, hacemos el cambio devariable tg x = t.∫

cos2 x

1 + sen2 xdx = tg x = t =

∫ 11 + t2

1 +t2

1 + t2

dt

1 + t2=

∫dt

(1 + 2t2)(1 + t2)=

Integral racional =√

2 artg (√

2t)− artg t + C =√

2 artg (√

2 tg x)− x + C.

En los dos ejemplos anteriores tambien podıamos haber efectuado el cambiocanonico para integrales trigonometricas t = tg

(x2

). Sin embargo, puede com-

probarse que mediante este cambio la integral racional resultante es bastantemas complicada.

•∫

sen 5x cos 6x dx =12

∫(sen 11x− sen x) dx =

12

∫sen 11x dx− 1

2

∫sen x dx

= − 122

cos 11x +12

cosx + C.

•∫

cos4 x

sen2 xdx.

Esta integral puede abordarse por diferentes metodos:

1. Mediante el cambio canonico, t = tg(

x2

).

2. Dado que la funcion subintegral es par en sen x y cos x, podemos efectuarel cambio t = tg x.

3. Metodo alternativo (Idea feliz)∫

cos4 x

sen2 xdx =

∫(1− sen2 x)2

sen2 xdx =

∫1− 2 sen2 x + sen4 x

sen2 xdx =

∫1

sen2 xdx− 2

∫dx +

∫sen2 x dx =

− cotg x− 2x +x

2− 1

4sen 2x + C = − cotg x− 3

2x− 1

4sen 2x + C.


C.2.8 Integracion de funciones hiperbolicas

C.2.8.1 El caso general. Las integrales del tipo∫R( shx, chx) dx

con R una funcion racional, se resuelven de manera analoga a las de la seccionanterior. Mediante el cambio de variable, t = th

(x2

), se reducen a una integral

de tipo racional. Desarrollando este cambio se tiene

x = 2 argth t ⇒ dx =2dt

1− t2, shx =

2t

1− t2, chx =

1 + t2

1− t2

C.2.8.2 Casos particulares. En algunos casos particulares hay otros cam-bios de variable que tambien reducen la integral una de tipo racional, massencilla que la que se obtiene con el cambio estandar.

1. Si R es una funcion impar en shx, R(− shx, chx) = −R( sh x, chx),hacemos el cambio chx = t.

2. Si R es una funcion impar en chx, R( shx,− chx) = −R( sh x, chx),hacemos el cambio shx = t.

3. Si R es una funcion par en shx y chx, R(− shx,− chx) = R( sh x, chx),hacemos el cambio thx = t. En este caso, se tiene

x = argth t ⇒ dx =dt

1− t2, shx =

t√1− t2

, chx =1√

1− t2.

C.2.9 Integracion de funciones irracionales

C.2.9.1 Primer caso particular. I1 =∫

dx√ax2 + bx + c

.

Completando cuadrados en el radicando, se obtiene

I1 =∫

dx√ax2 + bx + c

=∫

dx√a

[(x + b

2a

)2 − b2−4ac4a2

] .

Ahora, segun el signo de a y de b2 − 4ac, la integral anterior dara lugar a unarsen , argsh o argch .

Ejemplo C.11

•∫

dx√2x2 − 5x + 7

=∫

dx√

2√

3116 +

(x− 5

4

)2=

1√2

argsh(

4x− 5√31

)+ C.


•∫

dx√2 + 2x− x2

=∫

dx√3− (x− 1)2

= arsen(

x− 1√3

)+ C.

•∫

dx√x2 − 2x− 2

=∫

dx√(x− 1)2 − 3

= argch(

x− 1√3

)+ C.

C.2.9.2 Segundo caso particular. I2 =∫

mx + n√ax2 + bx + c

dx

El primer paso en la resolucion de esta integral sera tratar de obtener en elnumerador la derivada de la funcion subradical.

∫mx + n√

ax2 + bx + cdx =

m

2a

∫2ax + 2an

m + b− b√ax2 + bx + c

dx =

m

2a

∫2ax + b√

ax2 + bx + cdx +

m

2a

(2an

m− b

)∫dx

ax2 + bx + c=

m

a

√ax2 + bx + c +

(n− mb

2a

)I1,

donde la integral I1 es del tipo anterior.

Ejemplo C.12

•∫

3x + 1√2x2 − 5x + 7

dx =34

∫4x + 4

3√2x2 − 5x + 7

dx =34

∫4x− 5 + 5 + 4

3√2x2 − 5x + 7

dx =

32

∫4x− 5

2√

2x2 − 5x + 7dx +

419

∫dx√

2x2 − 5x + 7=

32

√2x2 − 5x + 7 +

194√

2argsh

(4x− 5√

31

)+ C.

C.2.9.3 Integrales irracionales simples. Se trata de integrales del tipo∫

R(xh/k, xs/t, · · · , xu/v) dx

siendo R una funcion racional de xh/k, xs/t, · · · , xu/v. Se transforman en unaintegral racional haciendo x = tm, donde m = MCM(k, t, · · · , v).


Ejemplo C.13

•∫ √

x− 16( 3√

x + 1)dx =

∫x1/2 − 1

6(x1/3 + 1)dx = x = t6

dx = 6 t5dt=

∫t3 − 1

6(t2 + 1)6t5dt =

∫t8 − t5

t2 + 1dt =

∫(t6 − t4 − t3 + t2 + t− 1− t

1 + t2+

11 + t2

)dt

=t7

7− t5

5− t4

4+

t3

3+

t2

2− t− 1

2ln(1 + t2) + artg t + C =

17

x7/6− 15

x5/6− 14

x2/3+13

x1/2+12

x1/3−x1/6− 12

ln(1+x1/3)+ artg (x1/6)+C.

C.2.9.4 Integrales irracionales lineales. Son aquellas del tipo∫

R

[x,

(ax + b

cx + d

)h/k

,

(ax + b

cx + d

)s/t

, · · · ,

(ax + b

cx + d

)u/v]

dx,

donde R una funcion racional. Se transforman en integrales racionales median-te el cambio de variable (ax+ b)/(cx+d) = tm, donde m = MCM(k, t, · · · , v).

Ejemplo C.14

•∫

dx√2x + 1− 4

√2x + 1

= 2x + 1 = t4

2 dx = 4t3 dt=

∫2t3

t2 − tdt =

2∫ (

t + 1 +1

t− 1

)dt = 2

(12

t2 + t + ln |t− 1|)

+ C

=√

2x + 1 + 2 4√

2x + 1 + ln(

4√

2x + 1− 1)2

+ C.

C.2.9.5 Integrales irracionales binomias. Son integrales del tipo∫xr(a + b xs)p dx,

siendo los exponentes r, s, p numeros racionales y los coeficientes a, b numerosreales. Mediante el cambio de variable, t = xs, la integral anterior se convierteen la integral ∫

(a + b t)ptq dt,

con p, q numeros racionales. Dicha integral puede reducirse a una integralracional en los siguientes casos:


1) Si p es entero, q = m/n, mediante el cambio u = t1/n.

2) Si q es entero y p = m/n, mediante el cambio u = (a + bt)1/n.

3) Si p + q es entero, haciendo el cambio z = 1/t, se reduce al caso anterior.

Ejemplo C.15

• La integral∫

x3√

x

(x3 − 1)2dx, puede escribirse en la forma

∫x7/2(−1+x3)−2 dx.

Se trata de una integral binomia. Realizamos el cambio de variable t = x3, esdecir, x = t1/3, con el que se obtiene

∫x7/2(−1 + x3)−2 dx =

x = t1/3

dx =13

t−2/3=

13

∫t1/2(−1 + t)−2dt

Puesto que p = −2 es entero y q = 1/2, hacemos el cambio u = t1/2,

13

∫t1/2(−1 + t)−2dt =

u = t1/2

du =12

t−1/2=

23

∫u2

(u2 − 1)2du =

16

∫ (1

u− 1+

1(u− 1)2

+−1

u + 1+

1(u + 1)2

)du =

16

(L

∣∣∣∣u− 1u + 1

∣∣∣∣−1

u− 1− 1

u + 1

)+ C =

16

ln

∣∣∣∣∣

√x3 − 1√x3 + 1

∣∣∣∣∣−√

x3

3(x3 − 1)+ C.

C.2.9.6 Integrales irracionales del tipo

∫R

(x,

√±a2 ± x2

)dx.

Estas integrales se pueden reducir a una integral del tipo∫R1(sen t, cos t)dt o

∫R2( sh t, ch t)dt,

ya estudiadas con anterioridad mediante los cambios

1) Para∫

R(x,

√a2 − x2

)dx, cambio de variable x = a cos t o x = a sen t.

2) Para∫

R(x,

√a2 + x2

)dx, cambio de variable x = a tg t o x = a sh t.

3) Para∫

R(x,

√x2 − a2

)dx, cambio de variable x = a/ cos t o x = a ch t.


Ejemplo C.16

•∫ √

x2 − 9x3

dx =x =

3cos t

dx =3 sen t

cos2 tdt

=∫

√9

cos2 t− 9

27cos3 t

3 sen t

cos2 tdt =

13

∫sen2 t dt =

16(t− sen t cos t) + C =

16

arsen(x

3

)−√

x2 − 92x2

+ C.

•∫ √

9− x2

xdx = x = 3cos t

dx = −3 sen t dt= −3

∫sen2 t

cos tdt = u = sen t

du = cos t dt=

3∫

u2

u2 − 1du = 3

∫ (1 +

1/2u− 1

+−1/2u + 1

)du =

3u +32

ln |u− 1| − 32

ln |u + 1|+ C =√

9− x2 − 3 ln

(3 +

√9− x2

x

)+ C.

C.2.9.7 Integrales irracionales del tipo

∫R

(x,

√ax2 + bx + c

)dx.

Pueden abordarse diferentes metodos de resolucion para este tipo de integrales

1. El cambio t = x +b

2ala reduce a uno de los tipos de integral estudiados

anteriormente.

2. Los cambios de variable de Euler la transforman en una integral racional

(b.1) Si a > 0, con el cambio√

ax2 + bx + c =√

a x + t

(b.2) Si c > 0, con el cambio√

ax2 + bx + c = t x +√

c

(b.3) Si α ∈ R es raız de la ecuacion ax2 + bx + c = 0, con el cambio√ax2 + bx + c = t(x− α).

Ejemplo C.17

•∫

x + 1x +

√x2 + x + 1

dx.

Hacemos el cambio de variable√

x2 + x + 1 = x + t. Despejando la variable x,


se tiene que

x =t2 − 11− 2t

, dx = 2−t2 + t− 1(1− 2t)2

dt

Sustituyendo en la integral∫

x + 1x +

√x2 + x + 1

dx =∫

(t2 − 2t)(1− 2t)2(−t2 + t− 1)(1− 2t)(t− 2)(1− 2t)2

dt =

2∫ −t3 + t2 − t

(1− 2t)2dt =

∫ (− t

2+

3/41− 2t

+−3/4

(1− 2t)2

)dt =

− t2

4− 3

8ln |1− 2t| − 3/8

1− 2t+ C.

Deshaciendo el cambio de variable, resulta finalmente,∫

x + 1x +

√x2 + x + 1

dx = −2x2 + x + 1− 2x√

x2 + x + 14

−38

ln∣∣∣1 + 2x− 2

√x2 + x + 1

∣∣∣− 38(1 + 2x− 2

√x2 + x + 1)

+ C.

C.2.9.8 Casos particulares. A partir de la integral

I1 =∫

dx√ax2 + bx + c

ya estudiada, se resuelven mas facilmente los siguientes casos particulares

1)∫

p(x)√ax2 + bx + c

dx, donde p(x) es un polinomio de grado n.

Se resuelven haciendo la siguiente descomposicion (metodo aleman)∫

p(x)√ax2 + bx + c

dx = q(x)√

ax2 + bx + c + D

∫dx√

ax2 + bx + c,

donde q(x) un polinomio de coeficientes indeterminados de grado n− 1 yD otra constante a determinar. Para calcular los coeficientes que figuranen la descomposicion anterior derivamos ambos miembros de la igualdad,multiplicamos por

√ax2 + bx + c, agrupamos los terminos e identificamos

los coeficientes de los terminos del mismo grado.

Ejemplo C.18

•∫ −12x3 + 14x2 + 7x + 9√−x2 + x + 2

dx


Aplicando el metodo aleman, la integral se descompone en la forma∫ −12x3+14x2+7x+9√−x2 + x + 2

dx=(Ex2+Fx+G)√−x2+x+2 + D

∫dx√−x2+x+2

.

Derivando ambos miembros se tiene

−12x3 + 14x2 + 7x + 9√−x2 + x + 2= (2Ex + F )

√−x2 + x + 2

+ (Ex2 + Fx + G)−2x + 1

2√−x2 + x + 2

+D√−x2 + x + 2

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por√−x2 + x + 2,

−12x3+14x2+7x+9 = (2Ex+F )(−x2+x+2)+12(Ex2+Fx+G)(−2x+1)+D.

Desarrollando e identificando coeficientes, se obtiene

E = 1, F = −12, G =

32, D =

52.

De esta forma,∫ −12x3 + 14x2 + 7x + 9√−x2 + x + 2

dx =

(x2 − x

2+

32

) √−x2 + x + 2 +

52

∫dx√−x2 + x + 2

=

(x2 − x

2+

32

) √−x2 + x + 2− 5

2arsen

(1− 2x

3

)+ C.

2)∫

dx

(rx + s)n√

ax2 + bx + c, donde n ∈ N y r, s ∈ R.

Haciendo el cambio rx + s =1t

resulta una integral del tipo anterior.

3)∫ √

ax2 + bx + c dx

Multiplicando y dividiendo por√

ax2 + bx + c se transforma en una delprimer tipo.

PROBLEMAS PROPUESTOS

Resolver las siguientes integrales

(01)∫

x3

2 + x8dx (02)

∫e arsen x

√1− x2

dx

(03)∫

dx

x ln x(04)

∫x

exdx

(05)∫

artg x dx (06)∫

e2x sen 3x dx

(07)∫

e−2x sen 7x dx (08) Ip =∫

senx

epxdx, p ∈ R+

(09)∫

xnex dx (10)∫

senn x dx

(11)∫

tgn x dx (12)∫

28x− 100x2 − 6x + 5

dx

(13)∫

23x− 78x2 − 6x + 9

dx (14)∫

2x + 32x2 + 2x + 1

dx

(15)∫

5x2 − 9x + 9x4 − 3x3

dx (16)∫

x3

x2 + 2x + 1dx

(17)∫

x4

x3 − x2 + 9x− 9dx (18)

∫x3

x2 − 6x + 13dx

(19)∫

x− 5x3 − 2x2 + x

dx (20)∫

x + 3x(x− 1)3

dx

(21)∫

2x3 − 2x2 + 16x(x2 + 4)2

dx (22)∫

dx

1 + senx

585

586 PROBLEMAS PROPUESTOS

(23)∫

4 sen x

cos3 xdx (24)

∫cos2 x

sen5 xdx

(25)∫

sen x

1 + cos2 xdx (26)

∫sen2 3x dx

(27)∫

tg3 2x dx (28)∫

x3√

x +√

xdx

(29)∫ √

3− x2 dx (30)∫

dx√4− x2

(31)∫

2x− 1√4− 9x2

dx

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