Técnicas de Integración Material 2

8/18/2019 Técnicas de Integración Material 2

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amaniel onzales Salvador Cálculo Integral

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ECONOMÍA

Técnicas de Integración

La integración no es tan directa como la derivación. No hay reglas que garanticen absolutamente laobtención de una integral indefinida de una función. Por consiguiente, es necesario desarrollar técnicas parausar las fórmulas de integración básicas con el fin de obtener integrales indefinidas de funciones más complejas.

Integración por Partes.

Integrales Trigonométricas:

m n sen x co s x dx (a) Si la potencia de la función coseno es impar ( n k 2 1 ), guardar unfactor coseno y utilizar cos x sen x 2 21 para expresar los factoresrestantes en términos de la función seno .

k m k m

k m

sen x cos x dx sen x cos x cos x dx

sen x sen x cos x dx

2 1 2

21

Luego, sustituir u sen x

(b) Si la potencia de la función seno es impar ( m k 2 1 ), guardar unfactor seno y utilizar sen x cos x 2 21 para expresar los factoresrestantes en términos de la función coseno .

k k n n

k n

sen x cos x dx sen x cos x sen x dx

cos x cos x sen x dx

2 1 2

21

(c) Si las potencias de las funciones seno y coseno son pares , usar lasidentidades del semiángulo.

sen x cos x 2 11 2

2 cos x cos x 2 1

1 22

u dv u v v du




m n t an x sec x dx

(a) Si la potencia de la función secante es par ( n k 2 ), guardar un factorde sec x

2 y utilizar sec x t an x 2 21 para expresar los factoresrestantes en términos de tan x .

k m k m

k m

t an x sec x dx t an x sec x sec x dx

t an x t an x sec x dx

12 2 2

12 21

Luego, sustituir u t an x

(b) Si la potencia de la función tangente es impar ( m k 2 1 ), guardarun factor de sec x tan x y utilizar t an x sec x 2 2 1 para expresarlos factores restantes en términos de la función sec x .

k k n n

k n

t an x sec x dx t an x sec x sec x t an x dx

sec x sec x sec x t an x dx

2 1 2 1

2 11

Luego, sustituir u sec x

Para evaluar las integrales: Usar las identidades:

(a) sen m x cos n x dx (a) sen A cos B sen A B sen A B 1

2

(b) sen m x sen n x dx (b) sen A sen B cos A B cos A B 1

2

(c) cos m x cos n x dx (c) cos A cos B cos A B cos A B 1

2




Sustitución Trigonométrica:

Expresión Sustitución Identidad

a x 2 2 x a sen cos sen 2 21

a x 2 2 x a t an sec t an 2 21

x a 2 2 x a sec t an sec 2 2 1

Integración de Funciones Racionales mediante Fracciones Parciales:

Caso 1 : El denominador Q x es un producto de factores lineales distintos.

k

k k

P x AA A. . . . .

Q x a x b a x b a x b

1 2

1 1 2 2

Caso 2 : El denominador Q x es un producto de factores lineales, algunos de los cuales están repetidos.

k k

P x AA A. . . . .Q x a x b a x b a x b

1 2

2

1 1 1 1 1 1

Caso 3 : El denominador Q x contiene factores cuadráticos irreductibles.

P x A x B

Q x ax bx c 2

Caso 4 : El denominador Q x contiene un factor cuadrático irreductible repetido.

k k k

P x A x B A x B A x B . . . . .Q x ax bx c ax bx c ax bx c

1 1 2 2

2 22 2

Sustituciones de Racionalización:

Mediante una sustitución apropiada, algunas funciones se pueden transformar en racionales y por consiguiente,integradas por alguno de los métodos vistos. En particular, cuando un integrando contiene una expresión de laforma n g x , entonces la sustitución n u g x o u g x puede ser efectiva.




Estrategia de Integración.

La integración es más desafiante que la derivación. Al encontrar la derivada de una función es obvio cualfórmula de derivación se debe aplicar, pero puede no resultar obvio que técnica se debe emplear para integraruna función dada.

Veamos ahora una colección de diversas integrales en orden aleatorio y el principal reto consiste en identificarcuál técnica o fórmula se debe usar. No existen reglas rígidas y rápidas con respecto a cuál método se aplica enuna situación dada, pero proporcionaremos algunas sugerencias acerca de la estrategia que puede ser útil.

Un prerrequisito para ello es el conocimiento de las fórmulas de integración básicas. La mayoría de ellas debenser memorizadas.

Una vez proporcionadas estas fórmulas de integración básicas, si no se ve inmediatamente cómo proceder acalcular una integral dada, se podrá intentar la siguiente estrategia de cuatro pasos:

1. Simplificar el integrando siempre que sea posible. Algunas veces el manejo algebraico o las identidadestrigonométricas simplificarán el integrando y harán obvio el método de integración. Los siguientes sonalgunos ejemplos:

x x dx x x dx 1

t an sen d cos d sen cos d sen d

co s sec

2

2

12

2

sen x cos x dx sen x sen x cos x cos x dx sen x cos x dx 2 2 22 1 2

2. Buscar una sustitución obvia. Trate de encontrar alguna función u g x en el integrando y que, su

diferencial du g' x dx también esté presente, excepto por un factor constante. Por ejemplo:

x dx x 2 1

En la integral se observa que si u x 2 1 , entonces du x dx 2 . Por lo tanto se emplea la sustituciónu x 2 1 en vez del método de fracciones parciales.

3. Clasificar el integrando de acuerdo a su forma. Si los pasos 1 y 2 no han llevado a la solución, entoncesse observa la forma del integrando f x .




a) Funciones Trigonométricas. Si f x es un producto de potencias de sen x y cos x o tan x y sec x ocot x y csc x , entonces se usan las sustituciones recomendadas. Si f es una función trigonométrica que no

es de dichos tipos pero no obstante es una función racional de sen x y cos x , entonces se emplea la

sustitución x t t an

2.

b) Funciones Racionales. Si f es una función racional, se utiliza el procedimiento utilizado para lasfracciones parciales.

c) Integración por partes. Si f x es un producto de una potencia de x (o un polinomio) y una funcióntrascendente (tal como una función trigonométrica, exponencial o logarítmica), entonces se prueba laintegración por partes, eligiendo u y dv según los lineamientos dados anteriormente.

d) Radicales. Cuando aparecen ciertos radicales se recomiendan tipos particulares de sustituciones

(i) Si está presente la expresión x a 2 2 , se usa la sustitución trigonométrica adecuada según latabla dada.

(ii) Si aparece la expresión ax b , se usa la sustitución de racionalización u ax b . De

manera más general, este procedimiento es efectivo algunas veces en que aparecen g x .

4. Intentar de nuevo. Si los tres primeros pasos no han producido la respuesta, recuerde que existen básicamente solamente dos métodos de integración: por sustitución y por partes.

(a) Intentar la sustitución. Aún cuando no haya una sustitución obvia (Paso 2), un poco deinspiración o de ingenio (incluso de desesperación) podría sugerir una sustitución apropiada.

(b) Intentar Integración por partes. Aunque la integración por partes se usa la mayoría de las vecesen el caso de productos de la forma descrita en el Paso 3(c), a veces es efectiva en el caso de unasola función.

(c) Manipular el integrando. Las manipulaciones algebraicas (tal vez la racionalización deldenominador o el uso de identidades trigonométricas) pueden ser útiles para transformar laintegral en una forma más sencilla. Esta manipulaciones pueden ser más sustanciales que en elPaso 1 y pueden implicar un poco de ingenio. El siguiente es un ejemplo:

dx dx cos x cos x dx

cos x cos x cos x cos x

cos x cos x dx csc x dx

sen x sen x

2

2

2 2

1 1

1 1 1 1

1




(d) Relacionar el problema con problemas anteriores. Cuando se ha adquirido cierta experienciacon la integración, se puede emplear un método en una integral dada que sea semejante a uno yautilizado con una integral anterior. O se podría incluso expresar la integral dada en términos de

un anterior. Por ejemplo, t an x sec x dx 2 es una integral de apariencia difícil, pero si se hace

uso de la identidad tan x sec x 2 2 1 , se puede escribir:

t an x sec x dx sec x dx sec x dx 2 3

y si sec x d x 3

ha sido calculada previamente, entonces se puede utilizar en el problema presente.

(e) Usar varios métodos. Algunas veces se requieren dos o tres métodos para calcular una integral.El cálculo podría implicar varias sustituciones sucesivas de tipos diferentes o bien combinar laintegración por partes con una o más sustituciones.




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Integración por partes

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http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust1.gif












http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart7.gif





































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Varias

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http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solvar1.gif











































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Solución de varias




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Ejercicios resueltos

Resolver la integral:

Respues ta

Para resolver la integral la descomponemos en otras dos mas sencillas :

que resolvemos por separado.Para la primera tenemos :

Para la segunda hacemos el cambio:

y a partir de ahí tenemos :

con lo que deshaciendo el cambio :

y de ese modo el valor de la integral inicial será



amaniel onzales Salvador Cálculo Integral ...............................................................................................................................................................

calcular la integral :

Respuesta

Para resolver la integral planteada hacemos el cambio :

con lo que tenemos :

y deshaciendo el cambio:

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Resolver la integral:

Respuesta

Sabemos que sec x = 1/cos x; por lo tanto, podemos poner :




temas previos de integrales infinitos.............................................................................................................................................




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