TEG Sandra

Un modelo proyectivo de la

geometrıa de Mobius de R2.

Sandra De Guglielmo

Mayo, 2013

ii Trabajo Especial de Grado

iii

Universidad de Carabobo

Facultad Experimental de Ciencias y Tecnologıa

Departamento de Matematicas

Un modelo proyectivo de la

geometrıa de Mobius de R2.

Br. Sandra De Guglielmo Dr. Jose R. Ortega

CI: 19.756.996 CI: 3.987.442

Tesista Tutor

Mayo del 2013

Valencia, Venezuela.

iv Trabajo Especial de Grado

Introduccion

El grupo de Mobius o grupo conforme de R2 es el grupo generado por las inversiones

sobre circunferencias y las reflexiones sobre rectas del plano, ası, la geometrıa de Mobius

de R2 es la familia de circunferencias y rectas del plano bajo la accion del grupo de

Mobius.

A partir de los trabajos de Cayley, Lie, Klein y Darboux se sabe que un modelo de

la geometrıa de Mobius lo constituye el exterior de una cierta cuadrica Φ en P3(R) (el

espacio proyectivo tridimensional real), bajo la accion del grupo de las transformaciones

proyectivas que preservan la cuadrica.

El estudio de esta geometrıa se ha revitalizado en las ultimas decadas, dada su

importancia en la modelacion geometrica.

v

vi Trabajo Especial de Grado

Indice general

1. Circunferencias 1

1.1. Posicion relativa entre rectas y circunferencias . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Potencia de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Angulo entre dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Eje radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Haces coaxiales de circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1. Haces ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Circunferencias generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.1. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.2. Posicion relativa entre circunferencias generalizadas . . . . . . . 21

1.6.3. Eje radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.4. Haces de circunferencias generalizadas . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Inversiones 33

2.1. Recta polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2. El inverso de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3. Propiedades de la inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4. R2 y la proyeccion estereografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5. Inversion de circunferencias generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.6. Inversion de haces de circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7. El grupo de Mobius de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

vii

viii Trabajo Especial de Grado

3. Espacios proyectivos 57

3.1. Espacios y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2. Coordenadas homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3. Referencial proyectivo (Bases) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4. Transformaciones proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5. Rectas, planos e hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6. Cuadricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.6.1. Formas bilineales y cuadraticas en espacios vectoriales . . . . . . 71

3.6.2. Cuadricas en espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.7. Homogeneizacion de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4. Polinomios de Mobius y el espacio de circunferencias 89

4.1. Modelo proyectivo del espacio de circunferencias . . . . . . . . . . . . . 89

4.1.1. Coordenadas canonicas del espacio de circunferencias . . . . . . 92

4.2. La cuadrica fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3. Una base Φ-ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3.1. La identificacion fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4. Subespacios de P3 y su relacion con la cuadrica . . . . . . . . . . . . . 98

4.4.1. dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4.2. Incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4.3. La imagen de if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.5. Interpretacion geometrica del modelo proyectivo . . . . . . . . . . . . . 105

4.5.1. Subconjuntos naturales de P(M) y P3 . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.5.2. Interpretacion geometrica de if . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.5.3. Haces de circunferencias generalizadas . . . . . . . . . . . . . . 112

4.6. Accion del grupo de Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Capıtulo 1

Circunferencias

Es bien conocido que el trabajo hecho por Descartes revoluciono el mundo de las

matematicas, abriendo un lugar de encuentro entre el algebra y la geometrıa. Gracias a

estas tecnicas, podemos establecer una correspondencia biunıvoca entre los siguientes

elementos:

• Un punto en el plano euclıdeo

• Un par ordenado(xy

)de numeros reales.

• Un vector que va desde el origen al punto.

A lo largo de este capıtulo desarrollaremos algunas de las propiedades importantes

de las circunferencias en el plano, apoyados en el poder de esta equivalencia, por lo que,

al referirnos a punto, par ordenado o vector, unicamente estaremos resaltando diferentes

connotaciones.

1.1. Posicion relativa entre rectas y circunferencias

Definicion 1.1. Se llama circunferencia al conjunto de puntos X =(xy

)que equidistan

de un punto fijo C =(c1c2

)llamado centro. A dicha distancia la llamaremos el radio de

la circunferencia y lo denotaremos por r.

1

2 Un modelo proyectivo de la geometrıa de Mobius de R2

Figura 1.1: Circunferencia de centro C y radio r.

Si X es un punto cualquiera sobre la circunferencia, entonces, la longitud del radio

vendra dada por:

r = ‖−→CX‖ =

√(x− c1)2 + (y − c2)2 = ‖X− C‖

Observacion. Sea X ∈ R2, denotaremos el producto interno de X consigo mismo como:

X2. Es decir:

X2 = X • X = ‖X‖2

Entonces, si llamamos C a la circunferencia de centro C y radio r, una ecuacion

para C vendra dada por:

C : (x− c1)2 + (y − c2)2 = r2

O equivalentemente:

C : (X− C)2 = r2 (1.1)

1. Circunferencias. 3

Definicion 1.2. Sea C la circunferencia con ecuacion (3.6.2), diremos que el punto

A =(a1a2

)es:

• Interior a C si: ‖A− C‖ < r

• Esta sobre C (A ∈ C ) si: ‖A− C‖ = r

• Exterior a C si: ‖A− C‖ > r Figura 1.2: Cırculo y puntos

Como se muestra en la figura 1.2, los puntos A1, A2 y A3 son, respectivamente,

interior, perteneciente y exterior a C .

Definicion 1.3. Sea C la circunferencia con ecuacion (3.6.2), y L una recta dada.

Decimos que L es:

• Secante a C si corta a C en dos puntos.

• Tangente a C si corta a C en un punto.

• Exterior a C si no interseca a C . Figura 1.3:

Cırculo y rectas

De igual manera, podemos ver en la figura 1.3 la posicion relativa de las rectas

respecto a C : L1 es secante, L2 tangente y L3 es exterior a C

Proposicion 1.1. Dada la circunferencia C : (X− C)2 = r2 y la recta L, llamemos A

a la proyeccion ortogonal de C sobre L. Entonces:

i) L es secante a C si A es interior a C .

ii) L es tangente a C si A ∈ C .

iii) L es exterior a C si A es exterior a C .


Demostracion. Sea −→v un vector director unitario de L.

Entonces, una ecuacion para L sera:

L : A + t · −→v , t ∈ R

Es decir que para cada X =(xy

)∈ L existe un unico

t ∈ R (recıprocamente para cada t existira un X)

tal que X = A + t · −→v , ası:

‖−→AX‖2 = ‖X− A‖2 = ‖t · −→v ‖2 = t2 · ‖−→v ‖2 = t2

Y tambien:

‖−→CX‖2 = ‖

−→CA‖2 + ‖

−→AX‖2 (Por teorema de Pitagoras)

Por lo que:

‖−→CX‖2 = ‖

−→CA‖2 + t2 (1)

Por otro lado, si X ∈ C , necesariamente:

‖−→CX‖2 = r2 (2)

Entonces L cortara a C en todos los puntos que cumplan (1) y (2), es decir:

r2 = ‖−→CA‖2 + t2

Notemos que el sentido de esta ecuacion dependera unicamente de la distancia de A a

C. Ası:

i) Si A es interior a C , k2 = ‖−→CA‖2 < r2, entonces: t2 = r2 − k2 > 0. Lo cual nos

da dos valores distintos para t, es decir, dos puntos de corte entre L y C .

ii) Si A ∈ C , ‖−→CA‖2 = r2 y t2 = 0, con lo cual existira un solo punto de corte.

iii) Si A es exterior a C , k2 = ‖−→CA‖2 > r2, y no existira t que cumpla: t2 = r2−k2 < 0,

por lo que L y C no se cortaran.


Observe que en la demostracion anterior si L : A+t·−→v es tangente a C la cortara en

t = 0, entonces A sera dicho punto de corte. Y de manera inmediata llegamos al siguiente

resultado:

Corolario 1.2. Si L es tangente a C en el punto A,

entonces la recta L2 que pasa por A y por el centro

de C es perpendicular a L.

Demostracion. Como L es tangente a C en A, entonces A es la proyeccion ortogonal

del centro de C en L, y L2 es perpendicular a L.

Proposicion 1.3. Sean C : (X− C)2 = r2 y A un punto en el plano, entonces:

i) A es interior a C ⇔ Toda recta que pasa por A es secante a C .

ii) A es exterior a C ⇔ Existe al menos una recta que pase por A exterior a C .

Figura 1.4: Punto interior a C Figura 1.5: Punto exterior a C

Demostracion. (⇒)

i) Supongamos que A es interior a C , y sea L una recta que pasa por A. Sea B la

proyeccion ortogonal de C sobre L . Entonces:

‖−→CB‖ = ‖

−→CA‖ < r

Ası L sera secante a C (por proposicion anterior).


ii) Supongamos que A es exterior a C , nuevamente por proposicion anterior, la recta

L perpendicular a−→CA sera exterior a C .

(⇐)

i) Si toda recta que pasa por A es secante a C , necesariamente A sera interior a C(ya que si A ∈ C existirıa una recta tangente, y si A fuese exterior a C existirıa

una recta exterior).

ii) Sea L una recta exterior a C que pasa por A, y tomemos la proyeccion ortogonal

de C en L (llamemosla B), entonces:

r < ‖−→CB‖ ≤ ‖

−→CA‖

Por lo cual A es exterior a C .

Observacion. Al conjunto de todas las rectas que pasan por un punto A fijo se le suele

llamar Haz de rectas que pasan por A.

1.2. Potencia de un punto

Antes de definir lo que es la potencia de un punto respecto a una circunferencia

dada mostremos algunas relaciones que se mantienen constantes en las circunferencias:

Proposicion 1.4. Sean C : (X − C)2 = r2, P,Q ∈ C dos puntos diametralmente

opuestos, y A cualquier otro punto en C . Entonces:

−→AP •

−→AQ = 0

Demostracion. Como P y Q son diametralmente opuestos, tenemos que:

−→CP •

−→CQ = ‖

−→CP‖ · ‖

−→CQ‖ · cos(PQ,CQ) = −r2


Y:−→CP +

−→CQ =

−→0

Entonces:

−→AP •

−→AQ =

(−→AC +

−→CP)•(−→

AC +−→CQ)

=−→AC

2+−→AC •

(−→CP +

−→CQ)

+−→CP •

−→CQ

=−→AC

2− r2

Y puesto que A∈C , tenemos:

−→AC

2= ‖−→AC‖

2= r2

Con lo cual:−→AP •

−→AQ = 0

Proposicion 1.5. Sean C : (X − C)2 = r2 y A un punto cualquiera en el plano.

Entonces, para cualquier recta L que pase por A y sea secante a C en los puntos P1 y

P2, se tiene que:−−→AP1 •

−−→AP2 es siempre constante.

Demostracion. Llamemos Q al punto de C que esta diametralmente opuesto a P2.

Entonces, por la proposicion anterior:

−−→AP2 •

−−→QP1 = 0

Y ası:

−−→AP1 •

−−→AP2 =

(−→AQ +

−−→QP1

)•−−→AP2

=−→AQ •

−−→AP2 +

−−→QP1 •

−−→AP2

=−→AQ •

−−→AP2

=(−→

AC +−→CQ)•(−→

AC +−−→CP2

)=−→AC

2+−→AC •

(−→CQ +

−−→CP2

)+−→CQ •

−−→CP2


Ademas notemos que−→CQ = −

−−→CP2 , con lo cual:

−→CQ +

−−→CP2 =

−→0 y

−→CQ •

−−→CP2 = −r2

Es decir:−−→AP1 •

−−→AP2 =

−→AC

2− r2

Que no depende de los puntos P1 y P2 (y por lo tanto es siempre constante).

Definicion 1.4. La potencia de A∈ R2 con respecto a C : (X − C)2 = r2 se define

como:

PC(A) :=−→AC

2− r2 (1.2)

Observacion. Cuando resulte evidente respecto a cual circunferencia estemos hablando

denotaremos a la potencia de A sencillamente como P(A).

Es interesante notar que la potencia de un punto nos proporciona muy buena

informacion de la posicion relativa de dicho punto respecto a la circunferencia. Ası,

• Si P(A) < 0 entonces A es interior a C

• Si P(A) > 0 entonces A es exterior a C

• Y si P(A) = 0 entonces A ∈ C . (De hecho, las raıces del polinomio P(X)

representaran a la circunferencia C en el plano).

1.3. Angulo entre dos circunferencias

Sabemos que el angulo formado por dos curvas que se cortan en un punto P viene

dado por el angulo de sus rectas tangentes en ese punto, pero ya hemos visto que una

recta tangente a una circunferencia en un punto P sera ortogonal al vector que va desde

el centro hasta P (ver Corolario 1.2). Con esto tenemos una definicion de angulo entre

circunferencias equivalente a esta, pero sin tener que pasar por las rectas tangentes:

Definicion 1.5. Diremos que el angulo entre dos circunferencias secantes es el angulo

formado por los segmentos que van desde cada centro al punto de corte mutuo.


Proposicion 1.6. Sean A : (X − A)2 = α2 y B : (X − B)2 = β2 dos circunferencias

secantes, y tomemos P ∈ A ∩B , entonces el angulo entre A y B vendra dado por:

cos(θ) =

−→AP •

−−→BP

α · β(1.3)

Demostracion..

Como:

−→AP •

−→BP = ‖

−→AP‖ · ‖

−→BP‖ · cos(θ)

Y ademas: ‖−→AP‖ = α y ‖

−→BP‖ = β

De manera sencilla tenemos que:

cos(θ) =

−→AP •

−−→BP

α · β

En las secciones posteriores nos resultara de bastante interes cuando A y B sean

ortogonales (denotado porA⊥B ) en este caso, por teorema de Pitagoras, tendrıamos:

‖−→AB‖

2= ‖−→AP‖

2+ ‖−→BP‖

2

Es decir:

‖−→AB‖

2= α2 + β2 (1.4)

Esta caracterizacion es sumamente util, pues no necesitamos conocer el punto de corte

entre A y B .

1.4. Eje radical

Definicion 1.6. El eje radical entre dos circunferencias A y B son todos los puntos

del plano cuya potencia con respecto a A es igual a su potencia con respecto a B .


Si A : (X−A)2 = α2 y B : (X−B)2 = β2 son dos circunferencias en el plano, el eje

radical de A y B vendra dado por los X ∈ R2 tal que:

PA(X) = PB(X)

Es decir:

(X− A)2 − α2 = (X− B)2 − β2

X2 − 2 · A • X + A2 − α2 = X2 − 2 · B • X + B2 − β2

2 · (B− A) • X = B2 − A2 + α2 − β2

Observacion. Esta definicion carece de sentido si A y B son concentricos.

Ası, el eje radical entre dos circunferencias vendra dado por la recta:

2 (B− A) • X = B2 − A2 + α2 − β2 (1.5)

Proposicion 1.7. El eje radical de A y B sera una recta perpendicular al vector−→AB

tal que:

i) Si A y B se cortan (o son tangentes), pasara por los puntos de corte (o por el

punto de tangencia).

ii) Y si no se intersecan, no tocara a ninguna de las circunferencias.


Demostracion. De la ecuacion (1.4) se sabe que un vector normal al eje radical de

A y B vendra dado por: 2 (B− A) (el cual es paralelo al vector−→AB ).

Ahora bien, si existe X0 ∈ A∩B , entonces:

PA(X0) = PB(X0) = 0

Y por lo tanto X0 estara en el eje radical.

Recıprocamente, si el eje radical interseca a alguna de las circunferencias en algun

punto, tendrıamos que las potencias con respecto a ambas serıan iguales a cero en

ese punto (es decir que el punto esta en ambas circunferencias). Ası que, si las

circunferencias no se intersecan, el eje radical no las tocara.

1.5. Haces coaxiales de circunferencias

Definicion 1.7. Dadas las circunferencias A : (X−A)2 = α2 , B : (X−B)2 = β2, el

haz coaxial (o sistema coaxial) de circunferencias generado por A y B seran todas

las circunferencias de la forma:

(1− λ)(X− A)2 + λ(X− B)2 = (1− λ)α2 + λβ2 con λ ∈ R (1.6)


De la ecuacion dada arriba puede que no sea tan evidente que el haz coaxial es un

conjunto de circunferencias, pero veamos que es cierto:

Proposicion 1.8. Para cada λ ∈ R, el conjunto

(1− λ)(X− A)2 + λ(X− B)2 = (1− λ)α2 + λβ2

es una circunferencia de centro

(1− λ)A + λB

y radio cuadrado

(1− λ)α2 + λβ2 − λ(1− λ)(A− B)2

Demostracion. Basta hacer una simple comprobacion:

(1− λ)(X− A)2 + λ(X− B)2 = (1− λ)α2 + λβ2

(1− λ)[X2 − 2A • X + A2

]+ λ

[X2 − 2B • X + B2

]= (1− λ)α2 + λβ2

X2 − 2 [(1− λ)A + λB] • X = (1− λ)α2 + λβ2 −[(1− λ)A2 + λB2

](X− [(1− λ)A + λB])2 = (1− λ)α2 + λβ2 − (1− λ)A2 − λB2 + [(1− λ)A + λB]2

(X− [(1− λ)A + λB])2 = (1− λ)α2 + λβ2 −[λ(1− λ)A2 − 2λ(1− λ)A • B + λ(1− λ)B2

](X− [(1− λ)A + λB])2 = (1− λ)α2 + λβ2 − λ(1− λ)(A− B)2

Para la siguiente proposicion es importante destacar que la ecuacion (1−λ)A +λB

nos garantiza que todos los centros del haz coaxial estaran sobre la recta generada por

A y B.

Aunque no necesariamente todos los puntos de la recta generada por A y B

perteneceran a algun centro del haz, pues, para cada λ, el radio al cuadrado debera ser

un numero positivo para generar una circunferencia.


Figura 1.6: Haz coaxial generado por A y B

Proposicion 1.9. Todos los elementos de un haz coaxial poseen el mismo eje radical.

Demostracion..

Sean C 1 y C 2 dos circunferencias del haz coaxial generado porA y B ; y tomemos

los λ1 y λ2 correspondientes a C 1 y C 2 respectivamente. Entonces, de la proposicion

anterior y de la ecuacion (1.4), el eje radical entre C 1 y C 2 vendra dado por:

(∗) (∗∗)

2︷︸︸︷((1− λ2)A + λ2B − (1− λ1)A + λ1B) •X =

︷︸︸︷((1− λ2)A + λ2B)2 − ((1− λ1)A + λ1B)2

+[(1− λ1)α2 + λ1β

2 − λ1(1− λ1)(A− B)2]−[(1− λ2)α2 + λ2β

2 − λ2(1− λ2)(A− B)2]

︸︷︷︸(∗∗∗)

Pero:

(∗) = (λ1 − λ2)A − (λ1 − λ2)B

= (λ2 − λ1)(B− A)

Por otro lado:


(∗∗) = [(1− λ2)2 − (1− λ1)2] A2 − 2 [λ2(1− λ2)− λ1(1− λ1)] A • B +[λ2

2 − λ12]

B2

= (λ2 − λ1)(λ2 + λ1 − 2)A2 + 2(λ2 − λ1)(λ2 + λ1 − 1)A • B + (λ2 − λ1)(λ2 + λ1)B2

= (λ2 − λ1)[

(λ2 + λ1)(A + B2)− 2A2 − 2A • B]

Y por ultimo:

(∗∗∗) = (λ2 − λ1)α2 − (λ2 − λ1)β2 −[λ1 − λ12 − λ2 + λ2

2]

(A− B)2

= (λ2 − λ1)[α2 − β2 − (λ2 + λ1 − 1)(A− B)2

]Entonces, de la ecuacion original nos queda:

2 (B− A) • X = [(λ2 + λ1)(A + B2)− 2A2 − 2A • B] +[α2 − β2 − (λ2 + λ1 − 1)(A− B)2

]= (λ2 + λ1)

[(A + B)2 − (A− B)2

]− 2A2 − 2A • B + (A− B)2 + α2 − β2

= 4(λ2 + λ1)A • B− A2 − 4A • B + B2 + α2 − β2

= B2 − A2 + α2 − β2 + 4(λ2 + λ1 − 1)A • B

Veamos que esta recta es el eje radical entre A y B :

Si X es un punto de la recta, entonces, para cada t ∈ R, el punto X′ = X + t(B−A)

tambien pertenecera a la recta.

En particular, si tomamos convenientemente

t =−2(λ2 + λ1 − 1)A • B

(B− A)2

Ası, la ecuacion del eje radical entre C 1 y C 2 sera equivalente a:

2 (B− A) •(

X′ + 2(λ2+λ1−1)A•B(B−A)2

(B− A)))

= B2 − A2 + α2 − β2 + 4(λ2 + λ1 − 1)A • B

2 (B− A) • X′ + 4(λ2 + λ1 − 1)A • B = B2 − A2 + α2 − β2 + 4(λ2 + λ1 − 1)A • B

2 (B− A) • X′ = B2 − A2 + α2 − β2

Que es justamente el eje radical entre A y B .


Corolario 1.10. Si A y B tienen puntos en comun, entonces toda circunferencia

perteneciente al haz coaxial pasara por dichos puntos; si son concentricos, todo el haz

sera concentrico; y si no se cortan, ninguna circunferencia del haz se cortara con otra.

1.5.1. Haces ortogonales

Definicion 1.8. Sea F un haz coaxial de circunferencias,

denotaremos por F ⊥ al conjunto de todas las circunferen-

cias ortogonales a F . Es decir:

F ⊥ ={C : C es circunferencia y C⊥A ∀A ∈ F }

Observacion. Para simplificar notacion diremos que C⊥F si C⊥A ∀A ∈ F

Proposicion 1.11. F ⊥ es tambien un haz coaxial de circunferencias.

Figura 1.7: Haces ortogonales de circunferencias.


Demostracion. Sean A : (X−A)2 = α2 y B : (X−B)2 = β2 dos circunferencias

distintas de F . Y sea C : (X−C)2 = r2, veamos que:

C⊥F ⇔ C⊥A y C⊥B

El directo es trivial, pues A y B ∈ F . Para probar el recıproco, de la ecuacion

(1.4) tenemos que si C⊥A y C⊥B entonces:

α2 + r2 = (C− A)2 y β2 + r2 = (C− B)2

Por otro lado, para cualquier circunferencia de F existira un λ ∈ R para el cual

la circunferencia pueda escribirse como en la proposicion 1.8. Y ası:

[(1− λ)α2 + λβ2 − λ(1− λ)(A− B)2

]+ r2

= (1− λ)(α2 + r2) + λ(β2 + r2) − λ(1− λ)(A− B)2

= (1− λ)(C− A)2 + λ(C− B)2 − λ(1− λ)(A− B)2

= (1− λ) [C2 − 2C • A + A2] + λ [C2 − 2C • B + B2] − λ(1− λ) [A2 − 2A • B + B2]

= C2 − 2C • [(1− λ)A + λB] + (1− λ)2A2 + λ2B2 + 2λ(1− λ)A • B

= C2 − 2C • [(1− λ)A + λB] + [(1− λ)A + λB]2

= ( C − [(1− λ)A + λB] )2

Con lo cual C⊥ F .

Podemos entonces afirmar que, si A y B son dos circunferencias distintas de F :

F ⊥ = { C circunferencia : C⊥A y C⊥B }

Ahora bien, sean C1 y C2 ∈ F dos circunferencias distintas, y llamemos F ∗ al haz

coaxial generado por C1 y C2. Entonces:


C ∈ F ∗ ⇔ ∃λ ∈ R tal que C = (1− λ)C1 + λC2

⇔ C⊥A y C⊥B

⇔ C ∈ F ⊥

Por lo tanto F ⊥ es tambien un haz de circunferencias.

Corolario 1.12.(F ⊥

)⊥= F .

Proposicion 1.13. El eje radical de F ⊥ esta formado por los centros de F (de la

misma manera, los centros de F ⊥ seran el eje radical de F ).

Demostracion..

Sean A : (X−A)2 = α2 y B : (X−B)2 = β2

dos circunferencias distintas en F .

Para facilitar los calculos hagamos que,

mediante movimientos rıgidos, los puntos A

y B esten sobre el eje x de tal manera que el

eje radical de F sea la recta x = 0.

Ası, basta probar que:

Si C :((

xy

)−(c1c2

))2= r2 ∈ F ⊥ entonces c1 = 0

Llamemos A=(a0

)y B=

(b0

)a los centros de A y B respectivamente.

De la ecuacion (1.4) sabemos que el eje radical de A y B vendra dado por:

2

(b− a

0

)•(x

y

)= b2 − a2 + α2 − β2

En particular para(xy

)=(00

)(pues el

(00

)pertenece al eje radical)


Entonces, tenemos que:

b2 − a2 + α2 − β2 = 0

Por otro lado, como C ∈ F ⊥, tenemos que C⊥A y C⊥B, ası:

∥∥∥∥(c1c2)−(a

0

)∥∥∥∥2 = r2 + α2

∥∥∥∥(c1c2)−(b

0

)∥∥∥∥2 = r2 + β2

Y restando ambas ecuaciones tenemos:

(c1 − a)2 − (c1 − b)2 = α2 − β2

2(a− b)c1 + a2 − b2 = α2 − β2

2(a− b)c1 = b2 − a2 + α2 − β2

2(a− b)c1 = 0

Y como a− b 6= 0, pues A y B son distintos, necesariamente c1 = 0.

Es decir, los centros de F ⊥ estan sobre el eje radical de F .

Corolario 1.14. Si F es un haz tangente, F ⊥ sera un haz tangente; si todos los

elementos de F se cortan en dos puntos, los elementos de F ⊥ no se tocaran; y si los

elementos de F no se intersecan, los elementos de F ⊥ se cortaran en dos puntos.

Demostracion. Como:

∥∥∥∥( 0

c2

)−(a

0

)∥∥∥∥2 = r2 + α2

∀ C ∈ F ⊥ y ∀A ∈F entonces:


a2 − α2 = r2 − c22

Si F es un haz tangente, entonces a2 = α2, y por lo tanto F ⊥ tambien sera un

haz tangente.

Si todos los elementos de F se cortan en dos puntos, a2 > α2, ası c22 < r2, y

por lo tanto los elementos de F ⊥ no se tocaran.

Y si los elementos de F no se intersecan, a2 < α2, ası c22 > r2, y por lo tanto

los elementos de F ⊥ se cortaran en dos puntos.

1.6. Circunferencias generalizadas

Hasta ahora hemos restringido los resultados de la seccion anterior a haces

de circunferencia con centros distintos, pero ¿Que pasarıa si tomamos un haz de

circunferencias concentricas?, ¿Cual serıa el haz ortogonal? o ¿Tendrıan eje radical?.

Estas preguntas no podrıan responderse con las construcciones hechas hasta ahora, para

ello necesitamos extender la definicion de circunferencias a algo un poco mas general.

Si tomamos la circunferencia A : (X−A)2 = α2 con centro A=(a1a2

)y expandimos

la ecuacion, obtenemos:

A : X2 − 2A • X + A2 − α2 = 0

Mas aun, si multiplicamos esta ecuacion por un escalar cualquiera seguirıamos

obteniendo la misma circunferencia A .

Con estas ideas pasemos entonces a definir las circunferencias generalizadas:


Definicion 1.9. Una circunferencia generalizada en el plano es el conjunto de puntos

X que cumplen con la ecuacion:

a4X2 − 2A • X + a3 = 0

Donde A =(a1a2

)∈ R2 y a3, a4 ∈ R

Notemos que en esta definicion estamos generalizando el concepto de circunferencia,

pues admitimos la posibilidad de que a4 = 0, con lo cual, en vez de una circunferencia,

obtendrıamos una recta con vector normal 2A.

Si a4 6= 0 basta hacer una simple agrupacion para obtener la circunferencia:

A :

(X− A

a4

)2

=A2 − a3a4

a42

De centro Aa4

y radio cuadrado A2−a3a4a42

.

Si A2 − a3a4 < 0 decimos que A es una circunferencia “virtual” de R2, pues,

aunque el conjunto solucion esta fuera de R2, algebraicamente sigue siendo consistente.

Tenemos entonces que las circunferencias generalizadas vendran dadas por: las

circunferencias, las rectas y las circunferencias virtuales de R2.

Definicion 1.10. Llamaremos polinomio circular a la funcion A : R2 −→ R tal que:

A(X) = a4X2 − 2A • X + a3 (1.7)

Por conveniencia lo denotaremos de la misma manera que la circunferencia

generalizada A , ya que las soluciones de la ecuacion A(X) = 0 seran justamente

los X que conforman dicha circunferencia.

Pasemos entonces a extender los conceptos tratados en las secciones anteriores a

estos nuevos conjuntos:


1.6.1. Potencia

Sean A : a4X2 − 2A • X + a3 = 0 una circunferencia generalizada con a4 6= 0 y

X0 un punto fijo, entonces, de lo dicho anteriormente y de la ecuacion (1.2) tenemos

que la potencia de X0 con respecto a A vendra dada por:

PA(X0) =

(X0 −

A

a4

)2

− A2 − a3a4a42

Y reordenando:

PA(X0) = X02 − 2A•X0

a4+ A2

a42− A2

a42+ a3

a4

= a4X02− 2A•X0 + a3

a4

= A(X0)a4

Con lo cual:

PA(X0) =1

a4A(X0) (1.8)

1.6.2. Posicion relativa entre circunferencias generalizadas

Recordemos de la seccion 1.3 que el angulo entre dos circunferencias

A : (X − A)2 = α2 y B : (X −B)2 = β2 secantes en el punto P viene dado por:

cos(θ) =

−→AP •

−−→BP

α · βUsemos esto para definir la posicion relativa entre dos circunferencias:

Tomemos nuevamente a las circunferencias A y B mencionadas arriba, y llamemos

δ = ‖A− B‖ a la distancia entre los centros. Entonces:


δ2 = (A− B)2

= (A− P − (B− P))2

= (A− P)2 − 2(A− P) • (B− P) + (A− P)2

= α2 − 2−→AP •

−−→BP + β2

Despejando:

−→AP •

−−→BP =

α2 + β2 − δ2

2

Y sustituyendo en la ecuacion anterior:

cos(θ) =α2 + β2 − δ2

2αβ

Notese que esta ecuacion ya no depende del punto de tangencia, con lo cual

podemos extender este concepto a cualquier par de circunferencias en el plano, mas

aun, si elevamos ambos terminos al cuadrado podemos abarcar tambien circunferencias

virtuales.

Definicion 1.11. Sean A : (X − A)2 = α2 y B : (X − B)2 = β2 dos circunferencias

en el plano, entonces la posicion relativa entre A y B se define como:

S :=(α2 + β2 − δ2)

2

4α2β2

Observacion. Se denota con una S porque suele llamarsele Separatriz inversiva, ya que,

como veremos mas adelante, esta se mantiene invariante bajo el efecto de las inversiones.

Analogamente, si tenemos una circunferencia A : (X − A)2 = α2 y una recta con

ecuacion normal B :−→v • (X − B) = 0 que se cortan en el punto P , el angulo entre

A y B sera:

cos(θ) =

−→AP • −→vα‖−→v ‖


Pero ademas−→AP =

−→AB +

−−→BP

Y como−−→BP • −→v = 0

Entonces:

cos2(θ) =(−→AB • −→v )2

(α‖−→v ‖)2

Ası la posicion relativa entre A y B vendra dada por:

S :=( (B − A) • −→v )2

α2−→v 2

Por ultimo, si tenemos dos rectas A :−→u • (X −A) = 0 y B :−→v • (X −B) = 0 ,

entonces:

S :=(−→u • −→v )2

−→u 2−→v 2

Veamos ahora como estas tres definiciones coinciden al tener un par de circunferen-

cias generalizadas A : a4X2 − 2A • X + a3 = 0 y B : b4X

2 − 2B • X + b3 = 0:

• Si a4 y b4 son distintos de cero, entonces:

A :

(X− A

a4

)2

=A2 − a3a4

a42

B :

(X− B

b4

)2

=B2 − b3b4

b42

Y ası:


S =

(A2−a3a4a42

+ B2−b3b4b4

2 −(Aa4− B

b4

)2)2

4A2−a3a4a42

B2−b3b4b4

2

=a4

2b42(a3a4

+ b3b4

+ 2A•Ba4b4

)24(A2 − a3a4)(B2 − b3b4)

=

(A •B − 1

2(a3b4 + a4b3)

)2(A2 − a3a4)(B2 − b3b4)

.

• Si a4 6= 0 pero b4 = 0 , tenemos:

A :

(X− A

a4

)2

=A2 − a3a4

a42

B : −2B •(X − b3

2B2B

)= 0

Entonces:

S =

(( b32B2B − A

a4) • (−2B)

)2A2−a3a4a42

(−2B)2

=

(−b3 + 2A•B

a4

)24a42

(A2 − a3a4)B2

=

(A •B − 1

2a4b3

)2(A2 − a3a4)B2


• Y por ultimo, si a4 = b4 = 0 :

A : −2A •(X − a3

2A2A)

= 0

B : −2B •(X − b3

2B2B

)= 0

Ası:

S =( (−2A) • (−2B) )2

(−2A)2(−2B)2

=(A •B)2

A2B2

Es decir, que sin importar los valores de A, B, a3, a4, b3 y b4, la posicion relativa

entre A : a4X2 − 2A •X + a3 = 0 y B : b4X

2 − 2B •X + b3 = 0 vendra dada por:

S =

(A •B − 1

2(a3b4 + a4b3)

)2(A2 − a3a4)(B2 − b3b4)

Observacion. De las construcciones anteriores es interesante destacar que:

1. S = cos2(θ) < 1 si y solo si A y B se cortan.

2. S = cos2(θ) = 1 si y solo si A y B son tangentes (o dos rectas paralelas).

3. Y por ende, S > 1 si y solo si A y B no se intersecan (y al menos uno es

circunferencia).

4. El numerador

A •B − 1

2(a3b4 + a4b3)

es conocido como la potencia entre dos circunferencias, pues generaliza el concepto

dado de potencia de un punto respecto a una circunferencias. Si B tiene radio

cero, obtenemos la potencia del centro de B con respecto a A .


1.6.3. Eje radical

Tomemos ahora dos circunferencias generalizadas A : a4X2 − 2A • X + a3 = 0 y

B : b4X2 − 2B • X + b3 = 0 con a4 6= 0 y b4 6= 0 . De la ecuacion (1.5) tenemos que

el eje radical entre A y B sera la recta:

2

(B

b4− A

a4

)• X =

B

b4

2

− A

a4

2

+A2 − a3a4

a42− B2 − b3b4

b42

Y cancelando terminos:

2

(B

b4− A

a4

)• X =

b3a4 − a3b4a4b4

(1.9)

Observacion..

• Si a4 6= 0 pero b4 = 0, por conveniencia, diremos que el eje radical es la recta B .

• Si A y B son rectas (a4 = b4 = 0) entonces no esta definido el eje radical.

1.6.4. Haces de circunferencias generalizadas

Anteriormente habıamos dicho que un haz coaxial era una combinacion baricentrica

de dos circunferencias, ahora no solo permitiremos que los conjuntos sean circunferencias

generalizadas, sino que ademas admitiremos combinaciones lineales cualesquiera entre

ellas.

Definicion 1.12. Sean A : a4X2−2A•X +a3 = 0 y B : b4X

2−2B•X + b3 = 0 dos

circunferencias generalizadas, diremos que el haz coaxial generado por A y B seran

todas las circunferencias generalizadas de la forma:


λ · A(X) + µ · B(X) = 0

con λ, µ ∈ R (ambos no nulos a la vez).

Notese que esta ecuacion es equivalente a:

(λa4 + µb4) X2 − 2 (λA + µB) • X + (λa3 + µb3) = 0 (1.10)

Lo que nos trae como consecuencias inmediatas:

1) Para cada λ y cada µ la ecuacion define una circunferencia generalizada.

2) Si A y B son rectas paralelas (a4 = b4 = 0 y A = kB), entonces el haz seran

todas las rectas paralelas a ellas.

3) Si A y B son rectas que se cortan en P (a4 = b4 = 0 y A(P) = B(P) = 0)

entonces el haz seran todas las rectas que pasen por P.

4) Si B es una recta (b4 = 0), pero A no lo es (a4 6= 0), existira un unico λ para

el cual la ecuacion generara una recta. Especıficamente, para λ = 0 y cualquier µ

se generara la recta B .

5) Y nuevamente tenemos las consecuencias de la definicion original (sin importar

los valores de a4 y b4):

• Si A y B se cortan en dos puntos, todo el haz se cortara en dichos puntos.

• Si son tangentes, todo el haz sera tangente (en el mismo punto).

• Y si no se intersecan, ningun elemento de haz tocara a otro.

Y una de las consecuencias mas interesantes (aunque no tan evidente), es que todo

par de elementos del haz tendra el mismo eje radical, el cual, ademas de ser unico

tambien pertenecera al haz. Veamoslo:


Proposicion 1.15. Sean A : a4X2 − 2A •X + a3 = 0 y B : b4X2 − 2B •X + b3 = 0

dos circunferencias generalizadas con al menos a4 6= 0, y llamemos L al eje radial

entre ambos. Entonces:

i) L pertenecera al haz generado A y B .

ii) L sera la unica recta en el haz.

iii) Si C 1 y C 2 pertenecen al haz generado por A y B (con C1 6=C 2), Lsera tambien el eje radical entre ellos.

Observacion. Ponemos la condicion “con al menos a4 6= 0” para garantizar que A y

B no sean un par de rectas, pues en este caso no tendrıa sentido hablar de eje radical;

y del haz generado por ellos no habrıa mas que decir que lo hecho en las consecuencias

2) y 3).

Demostracion..

i) • Si b4 = 0 : B , que pertenece a haz, sera el eje radical entre A y B .

• Si b4 6= 0 : Tomamos λ = 1a4

y µ = − 1b4

, ası, una recta del haz sera:(a4a4− b4b4

)X2 − 2

(1

a4A− 1

b4B

)• X +

(a3a4− b3b4

)= 0

2

(B

b4− A

a4

)• X =

b3a4 − a3b4a4b4

Que es justamente el eje radical entre A y B .

ii) Toda recta en el haz tendra un par λ y µ, los cuales necesariamente anularan al

termino X2, es decir:

λa4 + µb4 = 0

• Si b4 = 0 : Necesariamente λ = 0, y toda recta del haz vendra dada por:


µ · B(X) = 0

Con lo cual B sera la unica recta en el haz.

• Si b4 6= 0 : Para cada µ fijo tendremos λ = −µb4a4

. Entonces, toda recta del

haz sera de la forma:

(0)X2 − 2

(−µb4a4

A + µB

)• X − µb4

a4a3 + µb3 = 0

µb4 ·[

2

(B

b4− A

a4

)• X =

b3a4 − a3b4a4b4

]Y nuevamente, el eje radical entre A y B sera la unica recta en el haz.

iii) Sean C 1 : λ1A(X) + µ1B(X)

C 2 : λ2A(X) + µ2B(X)

dos elementos del haz generado por A y B . Veamos que C 1 y C 2 generan el

mismo haz:

α · C1(X) + β · C2(X) = 0

α (λ1A(X) + µ1B(X)) + β (λ2A(X) + µ2B(X)) = 0

(αλ1 + βλ2)A(X) + (αµ2 + βµ2)B(X) = 0

λ · A(X) + µ · B(X) = 0

Y como α y β son no nulos a la vez (igualmente para λ1 λ2 y µ1 µ2 pues de lo

contrario tendrıamos C 1 =C 2). Entonces λ y µ seran no nulos a la vez.

Ahora bien, de i) sabemos que el eje radical de C 1 y C 2 tambien estara en el

haz; pero por ii) tenemos que habra una unica recta en el haz; de lo que podemos

concluir que C 1 y C 2 tendran el mismo eje radical que A y B .


Podemos entonces clasificar los diferentes haces de circunferencias generalizadas en

dos tipos:

• Haces intersecantes.

• Haces no intersecantes.

En los haces interesantes tenemos:

1. El haz coaxial de circunferencias secantes

2. Haz coaxial de circunferencias tangentes

3. Y el haz de rectas que pasan por un punto.


Observacion. Notemos que:

1. El hecho de que todos los elementos del haz coincidan en uno o dos puntos nos

garantiza que ninguno de ellos sera una circunferencia virtual (pues estas no tienen

lugar geometrico en el plano).

2. Los haces 1. y 2. los hemos estudiado ya en la seccion 1.5, solo que, como hemos

visto, ahora consideraremos el eje radical como parte del haz.

3. El haz 3. es generalmente considerado un haz degenerado.

Y los haces no intersecantes son:

4. El haz coaxial de circunferencias que no se cortan

5. Haz de rectas paralelas


6. Y el haz de circunferencias concentricas.

Observacion. En este caso:

1. El haz 6. seran todas las circunferencias con centro en un mismo punto (incluyendo

las circunferencias virtuales)

2. Los haces 5. y 6. tambien son considerados haces degenerados

3. El lugar geometrico del haz 4. corresponde al haz coaxial de circunferencias

no intersecantes estudiado en la seccion 1.5. Este haz esta caracterizado por

dos puntos lımites (circunferencias de radio cero), colocados de forma simetrica

respecto al eje radical, que discriminan a las circunferencias reales de las virtuales.

Capıtulo 2

Inversiones

En este capıtulo haremos la construccion geometrica y desarrollaremos las principa-

les propiedades de las inversiones respecto a circunferencias, estas son transformaciones

en el plano; veremos que objetos se mantienen invariantes bajo la accion de las inver-

siones y cuales no se preservan.

Sera de mucho interes estudiar las inversiones de haces coaxiales de circunferencias

generalizadas, pues, como veremos mas adelante, estas familias se mantiene invariante

bajo estas transformaciones.

2.1. Recta polar

Tomemos una circunferencia fija C : (X−C)2 = r2

y un punto A exterior a ella, trazamos el par de

rectas tangentes a C que pasan por A y llamemos

T1 y T2 a los respectivos puntos de tangencia.

La recta polar de A respecto a C (la cual

denotaremos por PA) sera la recta que pasa por

T1 y T2.

Busquemos entonces la expresion analıtica de PA:

Como A, C y T1 forman un triangulo rectangulo

con hipotenusa AC (ver Corolario 1.2), tenemos:

‖−→AC‖

2= ‖

−−→AT1‖

2+ ‖−−→T1C‖

2

‖−→AC‖

2= ‖

−−→AT1‖

2+ r2

33


Ası:

‖−−→AT1‖

2= ‖−→AC‖

2− r2

Tracemos ahora la circunferencia Acon centro en A y radio ‖

−−→T1C‖, y

por ultimo tomamos el eje radical

entre A y C (que sera justamente

la recta que pasa por la interseccion

de A y C , es decir, por T1 y T2).

Entonces, la recta polar de A con

respecto a C vendra dada por:

2(A− C) • X = A2 − C2 + r2 − ‖−−→AT1‖

2

2(A− C) • X = A2 − C2 + r2 − ‖−→AC‖

2+ r2

2(A− C) • X = (A− C) • (A + C) − (A− C)2 + 2r2

2(A− C) • X = (A− C) • (A + C− A + C) + 2r2

2(A− C) • X = 2(A− C) • C + 2r2

(A− C) • (X− C) = r2

Notese que esta expresion no depende de los puntos de tangencia, mas aun, no

depende de que existan rectas tangentes, por lo tanto, podemos extender este concepto

a cualquier punto A 6= C del plano:

Definicion 2.1. Sean C : (X−C)2 = r2 y A 6= C un punto dado, la recta polar de A

con respecto a C es la recta con ecuacion:

PA : (A− C) • (X− C) = r2

Tambien se dice que A es el polo de dicha recta.

Observacion. De la construccion hecha tenemos de manera inmediata que PA es

perpendicular al segmento AC (ver Proposicion 1.7).

2. Inversiones 35

2.2. El inverso de un punto

Tomemos la circunferencia C : (X−C)2 = r2 y un punto A 6= C en el plano. Al punto

A′, que resulta de intersecar PA con la recta que pasa por A y C , lo llamaremos el

inverso de A respecto a C .

Una ecuacion para la recta que pasa por los

puntos A y C es:

(1− t) · C + t · A con t ∈ R

Como A′ pertenece a dicha recta, existe un

t0 ∈ R tal que:

A′ = (1− t0)C + t0A

Bastarıa entonces tener el valor de t0 para encontrar una expresion para A′.

Sabemos que A′∈ PA, es decir:

(A− C) • (A′ − C) = r2

Y ası:

(A− C) • ((1− t0)C + t0A − C) = r2

(A− C) • (t0A − t0C) = r2

t0(A− C) • (A− C) = r2

t0 = r2

(A−C)2

Por lo tanto, el inverso de A respecto a C vendra dado por:

A′ = (1− r2

(A−C)2) · C + r2

(A−C)2· A

= C + r2

(A−C)2· (A− C)


Notese que podrıa hablarse de A′ como la proyeccion ortogonal de C en PA, es

decir, que la distancia entre ellos viene dada por:

r2

‖−→AC‖

Pasemos ahora a formalizar lo hecho en esta seccion:

Definicion 2.2. Dada una circunferencia C : (X−C)2 = r2 , la transformacion

IC : R2r{C} −→ R2r{C} tal que:

IC(X) = C +r2

(X − C)2· (X − C)

Se denomina inversion con respecto a C .

A lo largo de este capıtulo nos centraremos en estudiar con detalle esta transfor-

macion, en la seccion siguiente veremos que relacion conservan los conjuntos con sus

imagenes.

2.3. Propiedades de la inversion

A partir de ahora trabajaremos con una circunferencia C : (X−C)2 = r2 fija, por lo

cual usaremos terminos como “el inverso de X” o “la imagen del conjunto” sin hacer

mencion de la circunferencia C con la cual estamos invirtiendo.

Tambien, para simplificar el lenguaje, denotaremos con X′, A′, B′, etc. a la imagen

del punto X , del conjunto A, del conjunto B, etc. bajo la transformacion IC. Es decir:

A ′ = IC(A ) :={

IC(X) : X ∈A }

Proposicion 2.1. X es el inverso de X ′.

2. Inversiones 37

Demostracion.

X ′′ = IC ( IC(X) )

= IC

(C + r2

(X−C)2· (X − C)

)= C + r2(

C+ r2

(X−C)2(X−C)−C

)2 ·(C + r2

(X−C)2(X − C) − C

)= C + r2

r4

(X−C)2

·(

r2

(X−C)2(X − C)

)= C + X − C

= X

Corolario 2.2. IC es una transformacion involutiva ( IC ◦ IC = Identidad ).

Corolario 2.3. IC : R2r{C} −→ R2r{C} es una funcion biyectiva.

Demostracion. La existencia de la inversa nos garantiza que IC es inyectiva, ademas:

Rgo (IC) = Dom(IC−1) = Dom (IC) = R2r{C}

Proposicion 2.4. Los puntos de C quedan invariantes bajo IC.

Demostracion. Si X ∈ C entonces (X − C)2 = r2 . Ası:

X ′ = C +r2

(X − C)2· (X − C) = C + X − C = X

Proposicion 2.5. Si X es exterior a C , X ′ es interior a C y viceversa.


Demostracion. Sabemos que (X −C) • (X ′−C) = r2, y ademas como X, X ′ y C son

colineales tenemos:

‖−−→CX ′‖ =

r2

‖−−→CX‖

Por lo tanto, si X es exterior a C , ‖−−→CX‖ > r y ası: ‖

−−→CX ′‖ < r.

Analogamente, si X es interior a C , ‖−−→CX‖ < r y ası: ‖

−−→CX ′‖ > r.

Observacion. Tenemos entonces que IC es una funcion biyectiva en R2r {C} , que

transforma el interior de C en el exterior, el exterior en el interior y a los puntos

sobre C los mantiene invariantes.

Proposicion 2.6. Si A y B son dos puntos de R2r{C} , entonces la distancia entre

sus imagenes vendra dada por:

‖−−→A′B′‖ =

r2‖−→AB‖

‖−→CA‖‖

−−→CB‖

Demostracion.

A′ = C +r2

(A− C)2· (A− C)

B′ = C +r2

(B − C)2· (B − C)

Ası:

‖−−→A′B′‖ = (B′ − A′)2

= r2(

(B−C)

(B−C)2− (A−C)

(A−C)2

)2= r2

(1

(B−C)2− 2 (A−C)(B−C)

(A−C)2(B−C)2+ 1

(A−C)2

)= r2

((A−C)2−2(A−C)(B−C)+(B−C)2

(A−C)2(B−C)2

)= r2( (B−C)− (A−C) )2

(A−C)2(B−C)2

= r2‖−→AB‖

‖−→CA‖‖

−−→CB‖

2. Inversiones 39

Proposicion 2.7. Las inversiones son transformaciones conformes (preservan angulos).

Observacion. Es importante recalcar que las inversiones no necesariamente transforman

lıneas rectas en lıneas rectas, por lo cual quizas serıa mas claro enunciar la proposicion

anterior de la siguiente manera:

“Sean A y B dos curvas en el plano que se cortan en un punto P . Entonces, el

angulo formado por las rectas tangente a A y B en P sera igual al angulo formado

por las rectas tangentes a A ′ y B ′ en P ′.”

Demostracion. Antes de demostrar nuestra proposicion escribamos a IC como

composicion de transformaciones mas elementales. Llamemos:

• TC(X) = X + C (Traslacion bajo el vector ~C).

• Hk(X) = k ·X (Homotecia de razon k).

• IU(X) = XX2 (Inversion bajo la circunferencia unitaria X2 = 1).

Entonces podemos escribir IC como:

IC = TC ◦ Hr2 ◦ IU ◦ T−C

Veamos:

TC ◦ Hr2 ◦ IU ◦ T−C(X) = TC ◦ Hr2 ◦ IU(X − C)

= TC ◦ Hr2

(X−C

(X−C)2

)= TC

(r2

(X−C)2(X − C)

)= C + r2

(X−C)2(X − C)

= IC(X)


Y, como las traslaciones y las homotecias preservan angulos, solo bastarıa ver que

IU preserva angulos.

Con este fin parametricemos a A y a B en un entorno de P como:

A(t) = (f(t) , g(t)) y B(t) = (h(t) , i(t)) , t ∈ [−ε, ε]

con

A(0) = B(0) = P

Tenemos entonces que los respectivos vectores tangentes a A y B en P vendran

dados por:−→a = (f ′(t) , g′(t)) y

−→b = (h′(t) , i′(t))

Observacion. A partir de ahora, y hasta el final de la demostracion, usaremos el ′

unicamente para indicar ∂∂t

en las funciones f , g, h e i. A las imagenes bajo inversion

las denotaremos con IU( ) para evitar confusion.

Podemos ademas asumir que la parametrizacion es por longitud de arco, con esto el

angulo entre A y B en P sera:

cos(α) = −→a •−→b = (f ′h′ + g′i′)(0)

Por otro lado, las curvas imagen IU(A ) y IU(B ) en un entorno de IU(P) vendran

dadas por:

IU (A(t)) =

(f

f 2 + g2,

g

f 2 + g2

)(t)

IU (B(t)) =

(h

h2 + i2,

i

h2 + i2

)(t)

2. Inversiones 41

Y por lo tanto, unos vectores tangentes a IU(A ) y IU(B ) en IU(P) seran:

−→aI =

(f ′(f 2 + g2)− 2f(ff ′ + gg′)

(f 2 + g2)2,g′(f 2 + g2)− 2g(ff ′ + gg′)

(f 2 + g2)2

)(0)

−→bI =

(h′(h2 + i2)− 2h(hh′ + ii′)

(h2 + i2)2,i′(h2 + i2)− 2i(hh′ + ii′)

(h2 + i2)2

)(0)

Acomodemos los numeradores y reescalemos los vectores (quitando el denominador)

para facilitar los calculos:

−→aI =(f ′(g2 − f 2)− 2fgg′ , g′(f 2 − g2)− 2fgf ′

)(0)

−→bI =

(h′(i2 − h2)− 2hii′ , i′(h2 − i2)− 2hih′

)(0)

Ası el angulo entre IU(A ) y IU(B ) en IU(P) vendra dado por:

cos(αI) =−→aI •−→bI

‖−→aI‖ ‖−→bI‖

Hagamoslo paso a paso (recordemos que f(0) = h(0) y g(0) = i(0) ):

−→aI •−→bI = [f ′(g2 − f 2)− 2fgg′] [h′(i2 − h2)− 2hii′] + [g′(f 2 − g2)− 2fgf ′] [i′(h2 − i2)− 2hih′]

= f ′h′(g2 − f 2)(i2 − h2)− 2f ′i′hi(g2 − f 2)− 2g′h′fg(i2 − h2) + 4i′g′fghi

+ g′i′(f 2 − g2)(h2 − i2)− 2g′h′hi(f 2 − g2)− 2f ′i′fg(h2 − i2) + 4f ′h′fghi

=(

(f ′h′ + g′i′)(f 2 − g2)2 + 4(f ′h′ + g′i′)f 2g2)

(0)

= ( (f ′h′ + g′i′)[f 4 − 2f 2g2 + g4 + 4f 2g2] )(0)

=(

(f ′h′ + g′i′)(f 2 + g2)2)

(0)


Por otro lado:

‖−→aI‖ =√−→aI •−→aI

=√(

(f ′2 + g′2)(f 2 + g2)2)(0)

= (f 2 + g2)(0)

Y analogamente:

‖−→bI‖ = (h2 + i2)(0) = (f 2 + g2)(0)

Entonces:

cos(αI) =

((f ′h′ + g′i′)(f 2 + g2)

2

(f 2 + g2)2

)(0) = (f ′h′ + g′i′)(0) = cos(α)

Proposicion 2.8. Dado A∈ R2r{C} , toda circunferencia que pase por A y por A′ es

ortogonal a C

Demostracion. Sea B :(X −B)2 = β2 una circunferencia que pasa por A y A′,

Notemos que la proyeccion ortogonal de B en AA′

es el punto medio de estos (A+A′

2). Por lo cual el

vector−−→AA′ es ortogonal a

(A+A′

2−B

)Y recordemos que A, A′ y C son colineales, ası:

(A− C) • (A+ A′ − 2B) = 0

2. Inversiones 43

Por otro lado sabemos que

(A− C) • (A′ − C) = r2 y (A−B)2 = β2

Entonces:

r2 + β2 = (A− C) • (A′ − C) + (A−B)2

= A • A′ − A • C − A′ • C + C2 + A2 − 2A •B +B2

= C2 +B2 − 2C •B + 2C •B − 2A •B + A2 − A • C + A • A′ − A′ • C

= (C −B)2 − 2(A− C) •B + (A− C) • A+ (A− C) • A′

= (C −B)2 + (A− C) • (A+ A′ − 2B)

= ‖−−→BC‖2

Es decir, B y C son ortogonales.

Proposicion 2.9. Si C 1 : X2 = r12 y C 2 : X2 = r2

2 son dos circunferencias con

centro en el origen, entonces IC1 ◦ IC2 es una homotecia de razon(r1r2

)2.

Demostracion. Basta hacer una simple comprobacion:

IC1 ◦ IC2(X) = IC1 (IC2(X)) = IC1

(r22

X2X)

= r12(r2

2

X2 X)2 ·

(r22

X2X)

= r12X2

r24·(r22

X2X)

=(r1r2

)2·X


2.4. R2 y la proyeccion estereografica

Hasta ahora hemos restringido nuestra transformacion a conjuntos en R2r{C}, en

esta seccion pretendemos extender estos resultados a todo R2.

Comencemos con una justificacion intuitiva; Recordemos que un punto X y su

inverso X ′ cumplen la relacion:

‖X − C‖ =r2

‖X ′ − C‖

Es decir, que mientras mas cerca este X del centro de C , mas lejos se encontrara su

inverso de dicho centro; y si hacemos a X tender a C verıamos como X ′ se aleja tanto

que se pierde de vista.

Formalicemos entonces estas ideas:

Tomemos un punto que no esta en R2 (al cual denotaremos con ∞) y consideremos

al conjunto R2 := R2 ∪ {∞}.

Definicion 2.3. La transformacion IC : R2 −→ R2 vendra dada por:

IC(X) =

∞ si X = C

C + r2

(X−C)2(X − C) si X ∈ R2r{C}

C si X =∞

Observacion. Al agregar el punto ∞ al plano, lo estamos haciendo compacto, pues las

vecindades abiertas de R2 seran:

• Si X ∈ R2, Bε := {y ∈ R2 : ‖−−→XY ‖ < ε} (las bolas usuales de R2)

• Y las vecindades de ∞ seran: {∞} ∪ {y ∈ R2 : ‖Y ‖ > M para algun M > 0}

2. Inversiones 45

Ademas diremos que L es una recta en R2 si y solo si existe una recta L en R2

que satisfaga:

L = L ∪ {∞}

Con esto es sumamente sencillo ver que todas las propiedades de IC vistas en la

seccion anterior se extienden a R2.

Esta extension suele hacerse forma geometrica mediante la inyeccion de R2 en la

esfera unitaria S2 ⊂ R3 de la siguiente manera:

Consideremos en R3 el conjunto:

S2 ={

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}

E identifiquemos:

R2 ∼={

(x, y, 0) : (x, y) ∈ R2}

Llamemos polo norte al punto:

N = (0, 0, 1) ∈ S

Para cada punto (x, y, 0) tomamos la recta L ∈ R3 que pasa por el y N , dicha recta

corta a la esfera en exactamente un punto P = (x0, y0, z0) 6= N . Como P ∈ L, entonces

existe t 6= 1 para el cual:

(x0, y0, z0) = (1− t)(x, y, 0) + t(0, 0, 1)


Ademas, como P ∈ S2:x0

2 + y02 + z0

2 = 1

Ası:

(1− t)2x2 + (1− t)2y2 + t2 = 1

Es decir:

(1− t)2(x2 + y2) = (1− t)(1 + t)

Como t 6= 1, despejando tenemos:

t =(x2 + y2)− 1

(x2 + y2) + 1

Y sustituyendo en la ecuacion de la recta obtenemos:x0 = 2x

(x2+y2)+1

y0 = 2y(x2+y2)+1

z0 = (x2+y2)−1(x2+y2)+1

Por ultimo, hacemos corresponder:

∞ −→ N

Con lo cual tenemos una correspondencia biunıvoca entre R2 y S2, la cual

llamaremos proyeccion estereografica de R2 en S2.

Definicion 2.4. Se llama proyeccion estereografica a la biyeccion P : R2 −→ S2 tal

que, a cada punto X =(xy

)le asigna:

P(X) =

(

2x(x2+y2)+1

, 2y(x2+y2)+1

, (x2+y2)−1(x2+y2)+1

)si X 6=∞

( 0 , 0 , 1 ) si X =∞

2. Inversiones 47

2.5. Inversion de circunferencias generalizadas

Proposicion 2.10. La inversion transforma circunferencias generalizadas en cir-

cunferencias generalizadas. Mas aun, si C : (X − C)2 = r2 es la circunferencia de

inversion, IC transforma:

1. Circunferencias que no pasan por C en circunferencias que no pasan por C

2. Circunferencias que pasan por C en rectas que no pasan por C

3. Rectas que no pasan por C en circunferencias que pasan por C

4. Las rectas que pasan por C se quedan invariantes.

Demostracion. Tomemos la circunferencia generalizada

A : a4X2 − 2A •X + a3 = 0

Donde A =(a1a2

)∈ R2 es un vector constante y a3, a4 ∈ R son tambien constantes,

Y veamos cual es su imagen bajo IC:

Recordemos que IC es una transformacion involutiva, por lo cual los puntos X ∈Apueden escribirse en funcion de sus inversos X ′ de la siguiente manera:

X = C +r2

(X ′ − C)2(X ′ − C)

2

Ası A ′ sera el conjunto de todos los X ′ tal que:

a4

(C +

r2

(X ′ − C)2(X ′ − C)

2

)− 2A •

(C +

r2

(X ′ − C)2(X ′ − C)

2

)+ a3 = 0

Ordenando:


a4

(C2 +

2r2

(X ′ − C)2C • (X ′ − C) +

r4

(X ′ − C)2

)− 2A•C+

2r2

(X ′ − C)2A•(X ′ − C)

2+ a3 = 0

(a4C

2 − 2A • C + a3)

+2r2

(X ′ − C)2(a4C • (X ′ − C)− A • (X ′ − C)) +

a4r4

(X ′ − C)2= 0

Multiplicando por (X ′ − C)2:

(a4C

2 − 2A • C + a3)

(X ′ − C)2

+ 2a4r2

(C − A

a4

)• (X ′ − C) + a4r

4 = 0

Y si llamamos b4 = a4C2 − 2A • C + a3, B = a4r

2(C − A

a4

), y b3 = a4r

4,

tenemos que:

A ′ : b4(X ′ − C)2 − 2B • (X ′ − C) + b3 = 0

Donde B ∈ R2 es un vector constante y b3, b4 ∈ R son tambien constantes; que

vuelve a ser la ecuacion de una circunferencia generalizada.

Ahora bien:

Si A pasa por el centro de C tendrıamos que C cumplira la ecuacion:

b4 = a4C2 − 2A • C + a3 = 0

yA ′ serıa una recta (equivalentemente, si C�∈A , b4 6= 0 yA ′ serıa una circunferencia).

Por otro lado, si A ′ pasa por C tendrıamos:

b4(C − C)2 − 2B • (C − C) + b3 = 0

y ası b3 = a4r4 = 0 , es decir A ′ pasara por el centro de C si y solo si a4 = 0

(recordemos que si a4 = 0 es porque A es una recta).

2. Inversiones 49

Por ultimo, ya sabemos que IC transforma rectas que pasan por C en rectas que

pasan por C, para ver que dichas rectas se mantienen invariantes basta recordar que los

puntos de corte de estas con C quedan invariantes bajo la transformacion (es importante

recalcar que dichas rectas se mantienen invariantes como conjunto, pero no punto a

punto).

En resumen, tenemos:

IC

Preimagen: Imagen:

1. Circunferencia que no pasa por C Circunferencia que no pasa por C

2. Circunferencia que pasa por C Recta que no pasa por C

3. Recta que no pasa por C Circunferencia que pasa por C

4. Recta que pasa por C La misma recta

Observacion. En literal 1. es importante mencionar que el centro de la circunferencia

imagen no necesariamente sera igual a la imagen del centro de la circunferencia original,

de hecho, la unica forma de que estos coincidan serıa si el centro de la circunferencia

estuviese sobre C , y en este caso la circunferencia se quedarıa invariante (como

conjunto).

2.6. Inversion de haces de circunferencias

Proposicion 2.11. Sea F un haz coaxial de circunferencias y C :(X − C)2 = r2 la

circunferencia de inversion, entonces:

1. Si F es un haz concentrico con centro en C, IC(F ) = F

2. Si F es un haz tangente cuyo punto de tangencia es C, IC(F ) sera el haz de

rectas paralelas al eje radical de F

3. Si F es un haz secante en C y en otro punto A, IC(F ) sera el haz de rectas

que pasan por IC (A)


4. Si F es un haz cualquiera y C esta sobre el eje radical (excluyendo los casos 2.

y 3.), IC(F ) sera un haz de la misma naturaleza que F (secante, tangente,

no secante) y con el mismo eje radical.

5. Por ultimo, si F es un haz cualquiera y C esta fuera del eje radical, IC(F )

sera un haz de la misma naturaleza que F , cuyo eje radical es la recta IC(A )

tal que C ∈A y A∈F .

2. Inversiones 51


Demostracion. Basta tomar los resultados de la seccion anterior y recordar que dos

curvas coinciden en un punto P si y solo si sus imagenes coinciden en el punto IC (P ).

Proposicion 2.12. Si F es un haz de circunferencias generalizadas entonces:

IC

(F ⊥

)= IC

(F )⊥Demostracion. Como la inversion preserva ortogonalidad tenemos:

IC(F ) ⊥ IC

(F ⊥

)Ademas:

IC(F ) ⊥ IC

(F )⊥Y como ambos son haces de circunferencias generalizadas, necesariamente:

IC

(F ⊥

)= IC

(F )⊥

2.7. El grupo de Mobius de R2

Hasta ahora hemos trabajado con inversiones sobre circunferencias de la forma

C :(X − C)2 = r2, sin embargo, nuestro interes en este trabajo va un poco mas

alla de las circunferencias, pretendiendo extender dicha transformacion a circunferencias

generalizadas.

Recordemos que al tener una circunferencia generalizadaA : a4X2−2A•X+a3 = 0

con a4 6= 0 podemos acomodar la ecuacion para hallar su centro y radio:

A :

(X − A

a4

)2

=A2 − a3a4

a42

2. Inversiones 53

Al sustituir en la formula de inversion tenemos que:

IA(X) =A

a4+

A2−a3a4a42

(X − Aa4

)2 · (X −

A

a4)

Acomodando los terminos:

IA(X) =A

a4+

A2 − a3a4(a4X − A)2

· (X − A

a4)

Y obtenemos la inversion de un punto X con respecto a la circunferencia generalizada

A . Pero, ¿Que pasa si a4 = 0?. Esta pregunta, tan natural, nos lleva a una de las

construcciones mas bonitas de este capıtulo:

Es de esperar que a medida que una circunferencia se va expandiendo hasta llegar

a ser una recta, la inversion con respecto a ella vaya siendo una reflexion. Nos es grato

comprobar que este es uno de los casos donde nuestra intuicion da de lleno en el resultado

esperado, para demostrarlo hallaremos primero la ecuacion de la reflexion con respecto

a la recta −2A •X + a3 = 0 y luego demostraremos que si a4 tiende a cero entonces

IA tiende a dicha ecuacion.

La recta −2A •X + a3 = 0 puede ser escrita en su forma normal como:

A •(X − a3

2A2A)

= 0

La reflexion de un punto X con respecto a esta recta puede ser escrita como

composicion de transformaciones mas elementales, haciendo:

T a32A2A◦ R ◦ T− a3

2A2A

donde T es una traslacion y R es a reflexion sobre la recta A • X = 0 , es decir,

trasladamos la recta al origen del sistema de coordenadas, reflejamos con la recta en

el origen y trasladamos de nuevo a la posicion original. Entonces nos basta solo con

encontrar la forma explıcita de R.


Llamemos uA al vector unitario en la direccion de A, entonces:

R(X) = X + 2kuA

Donde k = −X•A‖A‖ , por lo tanto:

R(X) = X − 2X • AA2

A

Y ası, la reflexion de un punto X con respecto a la recta −2A •X + a3 = 0 es:

T a32A2A◦ R ◦ T− a3

2A2A(X) = T a3

2A2A◦ R

(X − a3

2A2A)

= T a32A2A

((X − a3

2A2A)− 2

(X− a32A2A)•AA2 A

)= X − a3

2A2A − 2(X− a3

2A2A)•AA2 A + a3

2A2A

= X − 2(X− a3

2A2A)•AA2 A

= X − 2A•X−a3A2 A

Por otro lado, al invertir con respecto a la circunferencia generalizada

A : a4X2 − 2A •X + a3 = 0 tenemos:

IA(X) = Aa4

+ A2−a3a4(a4X−A)2

(X − Aa4

)

= A2−a3a4(a4X−A)2

X +(

1− A2−a3a4(a4X−A)2

)Aa4

= A2−a3a4(a4X−A)2

X +(

(a4X−A)2−A2+a3a4(a4X−A)2

)Aa4

= A2−a3a4(a4X−A)2

X +(a42X2−2a4A•X+A2−A2+a3a4

(a4X−A)2

)Aa4

= A2−a3a4(a4X−A)2

X +

(a4(a4X2−2A•X+a3)

(a4X−A)2

)Aa4

= A2−a3a4(a4X−A)2

X +(a4X2−2A•X+a3

(a4X−A)2

)A

2. Inversiones 55

Ası, cuando a4 tiende a cero, obtenemos:

IA(X) = X − 2A •X − a3A2

A

Que, como acabamos de ver, es la reflexion con respecto a la recta −2A•X+a3 = 0.

Podemos afirmar entonces que las inversiones con respecto a circunferencias

generalizadas son inversiones con respecto a circunferencias y reflexiones sobre rectas.

Lo que nos lleva a la definicion clave de esta seccion:

Definicion 2.5. El grupo de Mobius o grupo conforme de R2, denotado por M(R2),

es el grupo generado por las inversiones sobre circunferencias y las reflexiones sobre

rectas de R2.

Observacion..

• De la definicion anterior tenemos que:

T ∈M(R2) ⇔ T = T1 ◦ · · · ◦ Tk donde T1, . . . ,Tk ∈M(R2)

• Recordemos que IC es una transformacion involutiva (C fija), ası:

IC ◦ IC = Identidad ∈M(R2)

• Las reflexiones tambien son transformaciones involutivas.

• En la proposicion 2.9 se demostro que las homotecias pueden escribirse como

composicion de dos inversiones, igualmente es facil ver que la composicion de

dos reflexiones sobre rectas paralelas es una traslacion y la composicion de dos

reflexiones sobre rectas que pasan por el origen es una rotacion. Es decir, las

homotecias, traslaciones y rotaciones tambien estan en M(R2), y por lo tanto

el grupo de las transformaciones rıgidas del plano es un subgrupo del grupo de

Mobius.

Capıtulo 3

Espacios proyectivos

En este capitulo se daran los conceptos basicos de los espacios proyectivos, con

especial interes en el espacio proyectivo real tridimensional, denotado P3(R). Para todas

las construcciones se tomaran espacios vectoriales de dimension finita, unicamente con

cuerpo en los reales.

3.1. Espacios y subespacios

Definicion 3.1. Sea V un espacio vectorial de dimension n+ 1 entonces:

1. El espacio proyectivo de V, denotado por P(V), es el conjunto de todos los

subespacios unidimensionales de V

2. A cada subespacio unidimensional de V lo llamaremos punto proyectivo o punto

de P(V)

3. Diremos que la dimension de P(V) sera:

dimP(V) = dimV − 1 = n

Observacion. Cada −→v ∈ V r {−→0 } genera un subespacio unidimensional:

〈−→v 〉 = {λ−→v : λ 6= 0 y λ ∈ R}

Ası:

〈−→v 〉 = 〈−→w〉 sii ∃λ 6= 0 tal que −→w = λ−→v

Se tiene una definicion equivalente a la dada arriba al considerar:

57


−→v ,−→w ∈ V r {−→0 }

y la relacion de equivalencia:

−→v ∼ −→w ⇔ ∃λ 6= 0 : −→w = λ−→v

Con esto:V r {−→0 }∼

∼= P(V)

Ejemplo. Tomemos V = R2 y considere-

mos la recta L : y = 1. Entonces, a cada

subespacio unidimensional 〈−→v 〉 6= (y = 0)

podemos asociarle de manera biunıvoca un

valor en R, tomando a tal que:

(a, 1) = 〈−→v 〉 ∩ L

Y para la recta y = 0 se define el valor ∞.

Ası:P(R2) ∼= R ∪ {∞}

Este espacio tambien suele denotarse por P1(R), llamandolo espacio proyectivo

unidimensional real o recta proyectiva.

Analogamente se denota Pn(R) o sencillamente Pn al espacio proyectivo asociado a

Rn+1, es decir:Pn(R) := P(Rn+1)

Definicion 3.2. Sea V un espacio vectorial y W un subespacio vectorial de V,

entonces:

P(W) :={〈−→w〉 ⊆W : 〈−→w〉 es un subespacio unidimensional

}Igual que en el ejemplo dado, a cada recta vectorial 〈−→v 〉 de Rn+1 que este fuera

del hiperplano H : xn+1 = 0 podemos asociarle de manera biunıvoca un punto de Rn,

tomando (x1, ..., xn) tal que:

(x1, ..., xn, 1) ∈ 〈−→v 〉

3.Espacios proyectivos 59

Y como H ∼= Rn entonces:

P(H) ∼= P(Rn)

Ası:

Pn = P(Rn+1) ∼= Rn ∪ P(Rn)

A los puntos de Pn que estan en el hiperplano H (los que se identifican con puntos de

P(Rn)) se les denomina puntos impropios o puntos en el infinito, y al resto de los puntos

(los que pueden identificarse con puntos de Rn) se les denomina puntos propios de Pn.

Proposicion 3.1. Sea P(V) el espacio proyectivo asociado a un espacio vectorial V y

sea {P(Wi)}i∈I una familia de subespacios proyectivos de P(V), entonces:

⋂i∈I

P(Wi) = P

(⋂i∈I

Wi

)

Demostracion. Un punto 〈−→w〉 ∈ ∩i∈IP(Wi) si y solo si 〈−→w〉 pertenece a cada uno de los

P(Wi) i ∈ I y esto ocurre si y solo si el vector −→w esta en cada uno de los subespacios

Wi de V, por lo cual −→w ∈ ∩i∈IWi, y como ∩i∈IWi es un subespacio vectorial de V,−→w ∈ ∩i∈IWi si y solo si 〈−→w〉 ∈ P (∩i∈IWi).

Observacion. En general, la union de subespacios proyectivos no es un subespacio

proyectivo, ya que la union de subespacios vectoriales no es, en general, un subespacio

vectorial. Pero, ası como la interseccion de subespacios vectoriales es el mas amplio

subespacio contenido en estos, es sabido de los cursos de algebra lineal que la suma de

varios subespacios vectoriales es el subespacio menos amplio que los contiene, lo que

nos lleva a la siguiente definicion:

Definicion 3.3. Sea P(V) el espacio proyectivo asociado a un espacio vectorial V y

sea {P(Wi)}i∈I una familia de subespacios proyectivos de P(V), se denota y define la

suma de subespacios proyectivos como:

∑i∈I

P(Wi) := P

(∑i∈I

Wi

)


Recordemos que:

∑i∈I

Wi =

{−→v ∈ V : −→v =

∑i∈I

−→wi con −→wi ∈Wi

}

Proposicion 3.2. Sean W1 y W2 subespacios vectoriales de un e.v. V, entonces:

dim(P(W1) + P(W2) ) = dimP(W1) + dimP(W2) − dim(P(W1) ∩ P(W2) )

Demostracion.

dim(P(W1) + P(W2) ) = dim(P(W1 + W2) )

= dim( W1 + W2 ) − 1

= dimW1 + dimW2 − dim( W1 ∩W2 ) − 1

= dimW1 − 1 + dimW2 − 1 − dim( W1 ∩W2 ) + 1

= dimP(W1) + dimP(W2) − dim(P(W1 ∩W2) )

= dimP(W1) + dimP(W2) − dim(P(W1) ∩ P(W2) )

3.2. Coordenadas homogeneas

Sabemos que al tener un espacio vectorial V de dimension n + 1 y una base fija

B = {−→v0, . . . ,−→vn} de V, cada −→x ∈ V se representa de manera unica como:

−→x = x0−→v0 + · · ·+ xn

−→vn con xi ∈ R i = 0, . . . , n

Esto nos permite establecer una correspondencia entre V y Rn+1, asociando a cada −→xel vector (x0, . . . , xn). Y si tomamos −→y = y0

−→v0 + · · · + yn−→vn ∈ V tal que −→y = λ−→x ,

λ ∈ R, necesariamente:

(y0, . . . , yn) = λ(x0, . . . , xn)


Entonces, ası como cada punto de V puede escribirse en coordenadas reales, veamos

como tambien podemos hacerlo con los puntos de de P(V):

Definicion 3.4. Sea P(V) el espacio proyectivo asociado al espacio vectorial V con

base fija B = {−→v0, . . . ,−→vn}. Las coordenadas homogeneas de un punto p = 〈−→x 〉 ∈ P(V)

vendran dadas por:

[p]B = [x0 : · · · : xn]B := { (λx0, . . . , λxn) : λ ∈ R, λ 6= 0}

donde −→x = x0−→v0 + · · · + xn

−→vn es un representante del subespacio unidimensional

〈−→x 〉 de V.

Observacion. Notese que, aunque las coordenadas homogeneas de un punto no son

unicas, esto no representa mayor dificultad pues si −→x = x0−→v0 + · · · + xn

−→vn y−→y = y0

−→v0 + · · ·+ yn−→vn estan en la recta vectorial p = 〈−→x 〉 entonces:

[p]B = 〈−→x 〉]B = [x0 : · · · : xn]B = [y0 : · · · : yn]B = [〈−→y 〉]B

A partir de ahora denotaremos [p], [〈−→x 〉], [〈−→v 〉], . . . a los puntos de P(V) sin hacer

especial mencion a la base fija B de V.

3.3. Referencial proyectivo (Bases)

Definicion 3.5. Sean {p0〉, . . . ,pk} puntos del espacio proyectivo P(V) asociado a un

espacio vectorial V. Diremos que {p0〉, . . . ,pk} son proyectivamente independientes (o

solo independientes) si los vectores −→v0, . . . ,−→vk, tales que p0 = 〈−→vi〉 i = 0, . . . , k, son

linealmente independientes.

Hasta ahora hemos construido puntos del espacio proyectivo, pero todavıa sin tener

un conjunto de estos que los represente, para ello realizaremos las siguientes definiciones:


Definicion 3.6. El referencial proyectivo (o base proyectiva) de un espacio proyectivo

P(V) de dimension n es un conjunto ordenado de n + 2 puntos R = {p0, . . . ,pn , u}tales que cualesquiera n+ 1 de ellos son independientes.

Definicion 3.7. Diremos que B = {−→v0, . . . ,−→vn} en V es una base normalizada asociada

al referencial R si:

a) 〈−→vi〉 = pi i = 0, . . . , n

b) 〈−→v0 + · · ·+−→vn〉 = u

Proposicion 3.3. Sea R = {p0, . . . ,pn , u} un referencial proyectivo de P(V),

entonces:

i) Existe una base normalizada asociada a R

ii) Si B = {−→v0, . . . ,−→vn} y B′ = {−→v0

′, . . . ,−→vn

′} son dos bases normalizadas asociadas

a R, entonces ∃λ 6= 0 tal que −→vi′ = λ−→vi ∀i = 0, . . . , n

Demostracion..

i) Como p0, . . . ,pn son rectas vectoriales de V, existen −→u0, . . . ,−→un ∈ V r {−→0 }

que cumplen:

〈−→ui〉 = pi i = 0, . . . , n

Ademas los {−→ui}i=0n

son n+1 vectores linealmente independientes y por lo tanto

forman una base de V, ası existen λ0, . . . , λn ∈ R tales que:

u = 〈λ0−→u0 + · · ·+ λn−→un〉

Tomemos−→u = λ0

−→u0 + · · ·+ λn−→un ∈ V

Si para algun k ∈ {0, . . . , n} tuviesemos que λk = 0, entonces la familia−→u ,−→u0, . . . ,

−−→uk−1,−−→uk+1, . . . ,

−→un fuese linealmente dependiente, contradiciendo que

R sea un referencial proyectivo, por lo tanto:

λi 6= 0 ∀i = 1, . . . , n


Y ası, la familia: { −→vi = λi−→ui : i ∈ {0, . . . , n}

}es una base de V que cumple:

a) 〈−→vi ] = [−→ui〉 = pi i = 0, . . . , n

b) 〈−→v0 + · · ·+−→vn〉 = u

Es decir, una base normalizada asociada a R.

ii) Si B y B′ son dos bases normalizadas asociadas a R, entonces:

〈−→v0 + · · ·+−→vn〈= u = 〈−→v0′+ · · ·+−→vn

′〈

Por lo tanto existe λ 6= 0 tal que:

−→v0 + · · ·+−→vn = λ(−→v0′+ · · ·+−→vn

′)

Por otro lado, para cada i = 1, ..., n tenemos:

〈−→vi〉 = pi = 〈−→vi′〉

con lo cual existen λ0, ..., λn no nulos que cumplen:

−→vi = λi−→vi′i = 1, ..., n

Ası:

λ0−→v0′+ · · ·λn−→vn

′= −→v0 + · · ·+−→vn = λ(−→v0

′+ · · ·+−→vn

′)

Y como los −→vi son linealmente independientes, necesariamente:

λi = λ ∀i = 0, ..., n

Entonces:−→vi = λ−→vi

′ ∀i = 0, ..., n.


Corolario 3.4. Las coordenadas homogeneas de cualquier punto de P(V) quedan

determinadas de manera “unica” al fijar un referencial proyectivo R.

Observacion. Notese que las coordenadas homogeneas de p0, . . . ,pn , u ∈ R vendran

dadas por: [1 : 0 : 0 : · · · : 0] , [0 : 1 : 0 : · · · 0] , . . . , [0, 0 : · · · : 0, 1] y

[1 : 1 : 1 : · · · : 1].

3.4. Transformaciones proyectivas

Definicion 3.8. Sea V un espacio vectorial de dimension n + 1, y sea T : V → V

una transformacion lineal no singular. Se define la transformacion T : P(V) → P(V)

tal que:

T (〈−→x 〉) = 〈T (−→x )〉.

Diremos que T es una transformacion proyectiva.

Observacion. Como T es lineal y no singular, la imagen de rectas vectoriales son rectas

vectoriales y ademas T (−→0 ) solo podra ser

−→0 . Por lo tanto, si 〈−→x 〉 ∈ P(V), tenemos:

T (〈λ−→x 〉) = 〈T (λ−→x )〉 = 〈λT (−→x )〉 = 〈T (−→x )〉 = T (〈−→x 〉) ∀λ 6= 0

Con lo cual T esta bien definido.

Tambien es interesante notar que si T1 y T2 son dos transformaciones lineales

entonces:

T2 ◦ T1(〈−→x 〉) = T2(〈T1(−→x )〉

)= 〈T2(T1(−→x ))〉 = 〈T2 ◦ T1(−→x )〉

Proposicion 3.5. Sean T y T ′ dos transformaciones proyectivas asociadas a T y T ′

respectivamente, entonces:

T = T ′ ⇔ ∃λ 6= 0 : T = λT ′


Demostracion..

(⇒) Si T = T ′ tenemos que ∀〈−→x 〉 ∈ P(V)

〈T (−→x )〉 = 〈T ′(−→x )〉

Es decir, que para cada 〈−→x 〉 ∈ P(V) existira un λ~x 6= 0 tal que:

T (−→x ) = λ~xT′(−→x )

Veamos que el λ no depende del −→x :

Sean −→x ,−→y ∈ V r {−→0 } linealmente independientes, de la ecuacion anterior y de

la linealidad de T y T ′ tenemos:

λ~xT′(−→x ) + λ~yT

′(−→y ) = T (−→x ) + T (−→y )

= T (−→x +−→y )

= λ~x+~yT′(−→x +−→y )

= λ~x+~yT′(−→x ) + λ~x+~yT

′(−→y )

Como −→x y −→y sol linealmente independientes y T ′ es no singular, entonces T ′(−→x )

y T ′(−→y ) tambien son linealmente independientes, ası:

λ~x = λ~x+~y = λ~y

Por otro lado:λα~xT

′(α−→x ) = T (α−→x )

= αT (−→x )

= αλ~xT′(−→x )

= λ~xT′(α−→x )

Entonces tambien:

λα~x = λ~x

Por lo tanto el λ es unico.


(⇐) Si T = λT ′ tenemos que ∀〈−→x 〉 ∈ P(V):

T (〈−→x 〉) = 〈T (−→x )〉 = 〈λT ′(−→x )〉 = 〈T ′(−→x )〉 = T ′(〈−→x 〉)

Proposicion 3.6. Sean Rp = {p0, . . . ,pn,up} y Rq = {q0, . . . ,qn,uq} dos

referenciales proyectivos en un espacio proyectivo P(V) de dimension n, entonces

existe una unica transformacion proyectiva T : P(V)→ P(V) que satisface:

T (pi) = qi ∀i = 0, ..., n y T (up) = uq

Demostracion. Tomemos dos bases normalizadas Bp = {−→v0, . . . ,−→vn} y Bq = {−→w0, . . . ,

−→wn}asociadas a Rp y Rq respectivamente, sabemos que existe una unica transformacion

lineal T : V→ V que cumple:

T (−→vi) = −→wi ∀i = 0, ..., n

Y como Bp y Bq son bases de V, tenemos que T es no singular. Hacemos entonces:

T (〈−→x 〉) = 〈T (−→x )〉.

Ası:

T (pi) = qi ∀i = 0, ..., n y T (up) = uq

Para comprobar que T es unica, si escogemos otras bases normalizadas Bp′ y Bq ′, de la

proposicion 3.2 sabemos que estas seran proporcionales a Rp y Rq respectivamente,

ası si T ′ es tal que T (−→vi′) = −→wi

′ ∀i = 0, ..., n , necesariamente:

∃λ 6= 0 : T = λT ′

Y de la proposicion anterior tenemos:

T ′ = T


3.5. Rectas, planos e hiperplanos

Proposicion 3.7. Sea P(V) el espacio proyectivo asociado a un espacio vectorial V,

un subespacio proyectivo P(W) ⊆ P(V) tiene dimension k si y solo si existen k + 1

puntos independientes p0, . . . ,pn ∈ P(W) que cumplen:

p0 ⊕ · · · ⊕ pn = P(W)

Demostracion. P(W) tiene dimension k si y solo si su subespacio vectorial asociado

W ⊆ V tiene dimension k + 1 y esto ocurre si y solo si existen k + 1 vectores−→w0, . . . ,

−→wn ∈W linealmente independientes tal que:

−→w0 ⊕ · · · ⊕ −→wn = W

o equivalentemente:

P(−→w0 ⊕ · · · ⊕ −→wn

)= P(W )

Y recordemos que:

P(−→w0 ⊕ · · · ⊕ −→wn

)= P

(−→w0

)⊕ · · · ⊕ P

(−→wn

)Llamemos

pi = P(−→wi

)= 〈−→wi〉 i = 1, ..., n

Ası:

p0 ⊕ · · · ⊕ pn = P(W)

Definicion 3.9. Se llaman rectas de un espacio proyectivo a sus subespacios proyectivos

de dimension uno.

Si p y q son dos puntos independientes de P(V), y tomamos −→vp,−→vq ∈ V tal que

〈−→vp〉 = p y 〈−→vq〉 = q . La recta L que pasa por p y q es el conjunto:


L = p⊕ q

O equivalentemente:

L ={〈α−→vp + β−→vq〉 : (α, β) ∈ R2 r {(0, 0)}

}Entonces, si p y q tienen coordenadas homogeneas [p0 : · · · : pn] y [q0 : · · · : qn]

respectivamente, se tiene que un punto x = [x0 : · · · : xn] pertenece a la recta si y solo

si sus coordenadas cumplen con las n+ 1 ecuaciones:λx0 = αp0 + βq0

λx1 = αp1 + βq1...

λxn = αpn + βqn

λ 6= 0

(α, β) 6= (0, 0)

Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones parametricas de la recta.

Definicion 3.10. Los planos de un espacio proyectivo son sus subespacios proyectivos

de dimension dos.

Igual que en la definicion anterior, si p, q y r son tres puntos independientes de

un espacio proyectivo P(V) , el plano Π formado por ellos es el conjunto:

Π = p⊕ q⊕ r

Es decir:

Π ={〈α−→vp + β−→vq + γ−→vr〉 : (α, β, γ) ∈ R3 r {(0, 0, 0)}

}donde −→vp,

−→vq,−→vr ∈ V son tal que p = 〈−→vp〉 , q = 〈−→vq〉 y r = 〈−→vr〉.

Si p, q y r tienen coordenadas homogeneas [p0 : · · · : pn] , [q0 : · · · : qn] y

[r0 : · · · : rn] respectivamente, un punto x = [x0 : · · · : xn] pertenece al plano si y solo

si sus coordenadas cumplen con las n+ 1 ecuaciones:


λx0 = αp0 + βq0 + γr0

λx1 = αp1 + βq1 + γr1...

λxn = αpn + βqn + γrn

λ 6= 0

(α, β, γ) 6= (0, 0, 0)

Llamadas ecuaciones parametricas del plano.

Definicion 3.11. Sea P(V) el espacio proyectivo asociado al espacio vectorial V,

los hiperplanos de P(V) son los subespacios proyectivos asociados a los subespacios

vectoriales maximales de V.

Proposicion 3.8. Los hiperplanos de P(V) son sus subespacios proyectivos maximales.

Demostracion. Veamos que no existe en P(V) ningun subespacio proyectivo que

contenga estrictamente a un hiperplano. Pues si H = P(W) es un hiperplano y P(U)

es un subespacio proyectivo tal que:

H ⊂ P(U) ⊂ P(V)

Entonces, los subespacios vectoriales habran de satisfacer:

W ⊂ U ⊂ V

Pero esto es imposible, ya que W es un subespacio vectorial maximal de V.

Corolario 3.9. Si H es un hiperplano de P(V) y p es un punto fuera de H entonces:

H⊕ p = P(V)

Corolario 3.10. Si H un hiperplano de P(V), y dimP(V) = n , entonces:

dimH = n− 1


Es decir, si p1, . . . ,pn son n puntos independientes de H con vectores asociados−→v1, . . . ,

−→vn ∈ V tenemos que:

H = p1 ⊕ · · · ⊕ pn

O, de igual manera:

H ={〈α1−→v1 + · · ·+ αn

−→vn〉 : (α1, . . . , αn) ∈ Rn r {(0, . . . , 0)}}

Sea [p0i : · · · : pni] las coordenadas homogeneas de pi i = 1, . . . , n. Un punto

x = [x0 : · · · : xn] pertenece al hiperplano si y solo si sus coordenadas cumplen con las

n+ 1 ecuaciones:λx0 = α1p01 + · · ·+ αnp0n

λx1 = α1p11 + · · ·+ αnp1n...

λxn = α1pn1 + · · ·+ αnpnn

λ 6= 0

(α1, . . . , αn) 6= (0, . . . , 0)

Equivalentemente un punto x = [x0 : · · · : xn] pertenece al hiperplano si y solo si

sus coordenadas cumplen:

a0x0 + · · ·+ anxn = 0

Esta ecuacion es llamada ecuacion cartesiana del hiperplano, que se obtiene al pedir

que el siguiente determinante se anule:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x0 p01 · · · p0n

x1 p11 · · · p1n...

.... . .

...

xn pn1 · · · pnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

Proposicion 3.11. En un espacio proyectivo, un hiperplano y una recta que no

este contenida en el, tienen en comun un, y solo un, punto.

Demostracion. Notese que la recta no puede tener dos o mas puntos en comun con el

hiperplano, pues en este caso estarıa totalmente contenida en el.


Basta entonces con demostrar que la recta y el hiperplano tienen al menos un punto

en comun: Sea H un hiperplano y L una recta no contenida en el, ambos en un espacio

proyectivo P(V) de dimension n. Supongamos que L y H no tienen ningun punto en

comun, ası:

dim (L ∩H) = dim(∅) = −1

Entonces:

dim (L+H) = dimL+ dimH− dim (L ∩H) = 1 + (n− 1)− (−1) = n+ 1

Pero esto es imposible pues:

L+H ⊆ P(V)

Por lo tanto, necesariamente:

L ∩H 6= ∅

Observacion. En P3(R) los hiperplanos son los planos del espacio, por lo tanto, en este

caso podemos afirmar que un plano y una recta no contenida en el coinciden siempre

en un punto.

3.6. Cuadricas

Antes de definir cuadricas en espacios proyectivos recordemos algunas definiciones y

propiedades de los espacios vectoriales, no presentaremos las demostraciones ya que este

es material clasico de algebra lineal. Se recuerda al lector que a lo largo de este capıtulo

estaremos trabajando con espacios vectoriales de dimension finita con cuerpo en los

reales.

3.6.1. Formas bilineales y cuadraticas en espacios vectoriales

Sea V un espacio vectorial de dimension n:


• Una funcion f : V → R es una forma bilineal sobre V si para cualesquiera−→x ,−→y ,−→v ,−→w ∈ V y a, b ∈ R se tiene:

f(−→x + a−→y , −→v + b−→w

)= f(−→x ,−→v ) + af(−→y ,−→v ) + bf(−→x ,−→w) + abf(−→y ,−→w)

• Si B = {−→v1, . . . ,−→vn} es una base de V, entonces −→x y −→y se pueden escribir como

−→x = x1−→v1 + · · ·+ xn

−→vn y −→y = y1−→v1 + · · ·+ yn

−→vn , ası:

f(−→x ,−→y ) = f(n∑i=1

xi−→vi ,

n∑j=1

yj−→vj) =

n∑i=1

n∑j=1

xiyjf(−→vi ,−→vj)

Por lo tanto, la forma bilineal queda determinada por los valores de f(−→vi ,−→vj) con

i, j ∈ {1, . . . , n}.

• Llamemos

aij = f(−→vi ,−→vj) X =

x1...

xn

Y =

y1...

yn

A =

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

Entonces podemos expresar f(−→x ,−→y ) de forma matricial como:

f(−→x ,−→y ) = XtAY

Ası, al tener una base fija B de V, podemos asociar a cada forma bilineal f sobre

V una matriz real An×n, esta matriz se conoce como la matriz de Gram de f en

la base B.

• Si introducimos otra base B′, entonces f tendra respecto a B′ otra matriz de Gram

A′, de modo que:

XBtAYB = f(−→x ,−→y ) = XB′

tA′YB′

Sea P la matriz cambio de base:

PXB′ = XB


Entonces:

XBtAYB = (PXB′)

tAPYB′ = XB′t(PtAP

)YB′

Por lo tanto:

A′ = PtAP

• Una forma bilineal es simetrica si:

f(−→x ,−→y ) = f(−→y ,−→x ) ∀−→x ,−→y ∈ V

Y en este caso la matriz de Gram asociada a f sera una matriz simetrica.

• La forma cuadratica asociada a la forma bilineal f es la aplicacion ω : V → Rtal que:

ω(−→x ) = f(−→x ,−→x )

Se deduce inmediatamente que:

- ω(λ−→x ) = λ2ω(−→x ) ∀−→x ∈ V y ∀λ ∈ R

- ω(−→0 ) = 0

- ω(−→x +−→y ) = ω(−→x ) + f(−→x ,−→y ) + f(−→y ,−→x ) + ω(−→y ) ∀−→x ,−→y ∈ V.

• Una forma cuadratica ω puede tener asociadas varias formas bilineales, sin

embargo existe una unica forma bilineal simetrica asociada a ω tomando:

f(−→x ,−→y ) =1

2

(ω(−→x +−→y )− ω(−→x −−→y )

)Entonces, al fijar una base B de V, ω tendra asociada una matriz de Gram

simetrica An×n(aij). Esto es, si −→x = x1−→v1 + · · ·xn−→vn ∈ V, se tiene que:

ω(−→x ) =n∑i=1

n∑j=1

aijxixj =n∑i=1

aiixi2 +

∑i<j

2aijxixj

O equivalentemente:

ω(−→x ) = XtAX.


• El rango de la matriz de Gram asociada a una forma cuadratica no depende de

la base escogida. Ası, si ω es una forma cuadratica con forma bilineal simetrica

asociada f y matriz de Gram A se dice que ω es degenerada si existe −→x ∈ Vr{−→0 }que cumpla:

f(−→x ,−→y ) = 0 ∀−→y ∈ V

Es decir, si existe X ∈ Rn r (0, . . . , 0) tal que:

XtAY = 0 ∀Y ∈ Rn

Pero esto ocurre si y solo si A no es de rango completo. A tal −→x se le denomina

punto singular de ω.

• Una forma bilineal simetrica (o una forma cuadratica) se dice que es:

- Definida positiva si f(−→x ,−→x ) = ω(−→x ) > 0 ∀−→x 6= 0

- Definida negativa si f(−→x ,−→x ) = ω(−→x ) < 0 ∀−→x 6= 0

- Indefinida si ω (o f) toma valores en todo R.

• El par (V, ω) , donde V es un espacio vectorial y ω una forma cuadratica en V,

se denomina espacio ortogonal.

• Una base B{−→v1, . . . ,−→vn} de V es una base ortonormal (u ω-ortonormal) si, para

la forma bilineal f asociada a ω se cumple:

i) f(−→vi ,−→vj) = 0 ∀i, j = 1, . . . , n , i 6= j

ii) f(−→vi ,−→vi) ∈ {−1, 0, 1} ∀i = 1, . . . , n.

Si llamamos:

p = #{i ∈ {1, . . . , n} : f(−→vi ,

−→vi) = 1}

m = #{i ∈ {1, . . . , n} : f(−→vi ,

−→vi) = −1}

o = #{i ∈ {1, . . . , n} : f(−→vi ,

−→vi) = 0}

Como p+m+ o = dimV, entonces p y m determinan el valor de o.


• El par (p,m) se denomina la signatura de la forma cuadratica ω. Tambien se

dice que (p,m) es la signatura del espacio ortogonal (V, ω), la ley de inercia de

Sylvester nos garantiza que dicha signatura no depende de la base ortonormal

escogida.

• La matriz de Gram de ω en una base ortonormal es una matriz diagonal, cuyos

elementos de la diagonal pertenecen al conjunto {−1, 0, 1}. Por conveniencia se

escoge la base de tal forma que en la matriz de Gram escribamos primero todos

los elementos diagonales iguales a 1, luego los iguales a -1 y por ultimo los nulos,

es decir:

A =

1. . .

1 0

−1. . .

−1

0 0. . .

0

Ası mismo, el par (p,m) se denomina tambien signatura de A.

• En (V, ω) siempre existe una base ortonormal B, y para esta base ω se expresa

como:

ω(x1, . . . , xn) =

p∑i=1

xi2 −

p+m∑i=p+1

xi2.

Y dicha expresion se denomina forma canonica de la cuadrica.

• En un espacio ortogonal (V, ω) , una transformacion lineal T : V → V

(T ∈ GL(V)) es ortogonal respecto a ω (u ω-ortogonal) si:

ω(T (−→x )

)= ω(−→x ) ∀−→x ∈ V


Llamemos T a la matriz asociada a la transformacion T en una base fija, si A es

la matriz de Gram asociada a ω, entonces, T es ω-ortogonal si:

TtAT = A.

• La signatura de ω es invariante por transformaciones ω-ortogonales.

• El grupo ortogonal de (V, ω) es el conjunto:

O(V, ω) ={

M ∈ GL(V) : MtAM = A}

Donde A es la matriz de Gram asociada a ω.

Cuando V ≡ Rn este grupo se representa mediante O(p,m) y el (V, ω) como

Rp,m. Ası R1,1 es R2 con la forma cuadratica ω(x, y) = x2 − y2 , es decir, con

matriz de Gram:

A =

(1 0

0 −1

)Entonces:

O(1, 1) ={

M ∈ GL(2) : MtAM = A}

=

{(a b

b a

): a2 − b2 = 1, a, b ∈ R

}

Notese que las matrices de cambio de base pertenecen a O(V, ω).

• En (V, ω) si W es un subespacio vectorial de V, entonces la restriccion de ω a

W da origen al subespacio ortogonal:

(W, ω |W)

Al fijar una base ω-ortonormal de W, ω |W se expresara igualmente en su forma

canonica, y tendra como matriz de Gram a la matriz diagonal[ε1, . . . , εk] donde

εi ∈ {1,−1, 0}. La lista (ε1, . . . , εk) se denomina inercia del subespacio normal,

la cual esta estrechamente ligada a la signatura.


• Si ω es no degenerada pero indefinida, ω |W puede tener una signatura distinta a

la de ω, inclusive puede ser degenerada.

Por ejemplo, en el espacio normal R2,2 (es decir, R4 con la forma cuadratica

x12+x2

2−x32−x42), la restriccion de la forma cuadratica al plano {(x1, x2, 0, 0) :

x1, x2 ∈ R} es definida positiva, en el plano {(0, 0, x3, x4) : x3, x4 ∈ R} es definida

negativa, en {(0, x2, x3, 0) : x2, x3 ∈ R} es indefinida pero no degenerada y la

restriccion de la forma cuadratica al plano {(x, y, x, y) : x, y ∈ R} es degenerada

(de hecho en este plano es nula).

• Se dice que un subgrupo de transformaciones lineales opera transitivamente sobre

los subespacios de V cuando dados dos subespacios W y W′ podemos encontrar

una transformacion T en el grupo tal que:

T (W) = W′

El grupo ortogonal O(n) opera transitivamente sobre los subespacios, pero, si

p < n, O(p,m) solo opera transitivamente sobre los subespacios de la misma

dimension y signatura.

seccion362

3.6.2. Cuadricas en espacios proyectivos

De lo anterior es interesante destacar que si −→x ∈ V es un punto que anula la

forma cuadratica ω , entonces cualquier elemento de la recta vectorial generada por −→xanulara a la forma cuadratica. En efecto:

ω(λ−→x ) = λ2ω(−→x ) = λ20 = 0

Ası, si P(V) es el espacio proyectivo asociado a V y para −→x ∈ V se tiene que

ω(−→x ) = 0, entonces diremos que para p = 〈−→x 〉 se tiene:

ω(p) = 0


Definicion 3.12. Sea P(V) el espacio proyectivo asociado a un espacio vectorial V

de dimension n+ 1. Una cuadrica en P(V) es el conjunto Φ determinado por la forma

cuadratica ω : V→ R tal que:

Φ := {p ∈ P(V) : ω(p) = 0 }

Observacion. Si R es un referencial proyectivo de P(V) , B es una base normalizada

asociada a R y A la matriz de Gram en la base B asociada a ω, entonces:

Φ ={

[p] : [p]tA[p] = 0}

donde [p]t = [p0 : p1 : · · · : pn] son las coordenadas homogeneas del punto p ∈ P(V).

Definicion 3.13. Sea Φ una cuadrica en P(V) determinada por la forma cuadratica

ω : V → R , con forma bilineal simetrica asociada f y matriz de Gram A(n+1)×(n+1)

con respecto a cierto referencial R . Diremos que:

1. Dos puntos p,q ∈ P(V) con p = 〈−→v 〉 y q = 〈−→w〉 son conjugados respecto a Φ si

f(−→v ,−→w) = 0

Observacion. Si tomamos otro par de representantes α−→v y β−→w de p y q

respectivamente, entonces:

f(α−→v , β−→w) = αβf(−→v ,−→w) = αβ0 = 0

Y la definicion no depende del representante escogido.

Por abuso de notacion, cuando p y q sean conjugados respecto a Φ , diremos que:

f(p,q) = 0

.2. Un punto p ∈ P(V) es autoconjugado respecto a Φ si

ω(p) = f(p,p) = 0


3. p ∈ P(V) es un punto singular de Φ si

f(p,x) = 0 ∀x ∈ P(V)

Observacion. Entonces un punto es singular si y solo si [p]tA[x] = 0 ∀x ∈ P(V)

o equivalentemente A[p] =−→0 .

4. Se dice que p es un punto regular de Φ si p ∈ Φ y no es singular.

5. La cuadrica Φ es no degenerada si no tiene puntos singulares y es degenerada si

tiene algun punto singular.

Observacion. Notemos que Φ tendra puntos singulares si y solo existe una

solucion no trivial para el sistema AX =−→0 , X ∈ Rn+1, es decir, si A no es

de rango completo. Por lo tanto:

Φ es no degenerada si y solo si su matriz de Gram asociada es de rango completo.

Sabemos que en el espacio normal (V, ω) de dimension n y signatura (p,m) siempre

podemos encontrar una base ω-ortonormal, y en dicha base:

ω(x0, . . . , xn) =

p−1∑i=0

xi2 −

p+m−1∑i=p

xi2.

Por lo tanto, podemos expresar la cuadrica Φ asociada a ω en P(V) como:

Φ =

{[x0 : · · · : xn] :

p−1∑i=0

xi2 −

p+m−1∑i=p

xi2 = 0

}

Y nuevamente diremos que el par (p,m) es la signatura de Φ.

Es facil comprobar que en esta base ω-ortonormal la forma bilineal asociada a ω se

escribira como:

f(−→x ,−→y ) =

p−1∑i=0

xiyi −p+m−1∑i=p

xiyi


En este trabajo se tiene especial interes en el estudio de las cuadricas con signatura

(n, 1), denominadas cuadricas de Minkouski. Notemos que si dimP(V) = n, entonces

dimV = n + 1, por lo que la matriz de Gram asociada a una cuadrica con signatura

(n, 1) es de rango completo, es decir, la cuadrica es no degenerada. Igualmente, la forma

cuadratica que determina a la cuadrica se denomina forma de Minkouski.

Definicion 3.14. Se denota y define el interior de la cuadrica Φ como:

Φ− := {p ∈ P(V) : ω(p) < 0 }

Igualmente, el exterior de Φ sera:

Φ+ := {p ∈ P(V) : ω(p) > 0 }

Proposicion 3.12. Sea Φ una cuadrica en P(V) con signatura (n, 1) (dimP(V) = n) ,

entonces ni Φ ni Φ− contienen rectas.

Demostracion. Sea

Φ = {p ∈ P(V) : ω(p) = 0 }

Fijemos en V una base ω-ortonormal, entonces:

Φ ={

[x0 : · · · : xn] : x02 + · · ·+ xn−1

2 − xn2 = 0

}Φ− =

{[x0 : · · · : xn] : x0

2 + · · ·+ xn−12 − xn

2 < 0}

Y:

Φ+ ={

[x0 : · · · : xn] : x02 + · · ·+ xn−1

2 − xn2 > 0

}Llamemos H al hiperplano:

H = { [x0 : · · · : xn−1 : 0 ] ∈ P(V)}

Ası:

H ⊂ Φ+


Por lo tanto, si L es una recta en P(V), de la Proposicion (3.11) tenemos que:

L ∩H 6= ∅

Mas aun:

L ∩ Φ+ 6= ∅

Ası, ni Φ ni Φ− pueden contener totalmente rectas.

Corolario 3.13. Φ ∪ Φ− no contiene rectas.

Corolario 3.14. Φ ∪ Φ− no contiene pares de puntos conjugados.

Demostracion. Sea f la forma bilineal simetrica asociada a la forma cuadratica ω que

define a la cuadrica Φ. Supongamos que existen dos puntos diferentes p = 〈−→v 〉 y

q = 〈−→w〉 en el espacio proyectivo tales que:

f(−→v ,−→w) ≤ 0

Tomemos un punto arbitrario x en la recta generada por p y q, para ciertos escalares

α y β podemos escribir a x como:

x = 〈α−→v + β−→w〉

Y ası:

ω(α−→v + β−→w) = α2ω(−→v ) + 2αβf(−→v ,−→w) + β2ω(−→w) = α2ω(−→v ) + β2ω(−→w) ≤ 0

Con lo cual:

ω(x) ≤ 0

Por lo tanto, la recta generada por p y q estarıa totalmente contenida en Φ ∪ Φ+,

contradiciendo el corolario anterior


Observacion. Es importante recalcar que Φ+ si puede tener rectas totalmente con-

tenidas, de hecho, como hemos visto en la proposicion anterior, cualquier recta del

hiperplano H = { [x0 : · · · : xn−1 : 0 ] ∈ P(V)} estara en Φ+.

Proposicion 3.15. Toda recta que pase por Φ− y Φ+ necesariamente cortara a la

cuadrica.

Demostracion. Notemos que ω es una funcion continua, por lo tanto todo conjunto

que pase por Φ− y por Φ+, y que pueda ser definido mediante una funcion continua,

cortara a la cuadrica.

Proposicion 3.16. Una recta no puede tener mas de dos puntos en comun con Φ

Demostracion. Sea f la forma bilineal simetrica asociada a la forma cuadratica ω que

define a la cuadrica Φ. Sabemos que para cada recta L en P(V) existen −→vp,−→vq ∈ V

independientes tales que:

L ={〈α−→vp + β−→vq〉 : (α, β) ∈ R2 r {(0, 0)}

}Ademas, como L no puede estar contenida en Φ, tomemos a 〈−→vp〉 fuera de Φ, es decir:

ω(−→vp) 6= 0

Para todo punto 〈−→x 〉 ∈ L distinto de 〈−→vp〉 existe un escalar t ∈ R con el cual:

〈−→x 〉 = 〈t−→vp +−→vq〉

De modo que:

〈t−→vp +−→vq〉 ∈ Φ ⇔ ω( t−→vp +−→vq ) = 0

Pero esto es equivalente a

t2ω(−→vp) + 2t f(−→vp,−→vq) + ω(−→vq) = 0

Y esta es una ecuacion de segundo grado en t que posee, a lo sumo, dos soluciones

reales.


Subespacios ortogonales de P(Rn,1)

Consideremos el espacio proyectivo asociado al espacio normal Rn,1, es decir, el

espacio P(Rn+1) con la cuadrica de Minkouski:

Φ =

{[x0 : · · · : xn] :

n−1∑i=0

xi2 − xn

2 = 0

}

En lo siguiente estudiaremos la relacion de incidencia de los subespacios de P(Rn+1)

con dicha cuadrica.

Definicion 3.15. Sea Φ una cuadrica en un espacio proyectivo P(V). Un subespacio

proyectivo W, de dimension mayor o igual a uno, se dice que es:

• Incidente cuando W ∩ Φ 6= ∅.

• No incidente cuando W ∩ Φ = ∅.

Si W es incidente, se denomina tangente si W ∩ Φ contiene exactamente un punto e

intersecante cuando contiene mas de un punto.

Proposicion 3.17. Un subespacio W de P(Rn,1) es no incidente si y solo si W ⊂ Φ+.

Demostracion..

(⇐) Si W ⊂ Φ+, entonces W ∩ Φ = ∅.

(⇒) Ahora tomemos W tal que W ∩ Φ = ∅. De la proposicion 3.12 sabemos que

W no puede estar contenido en Φ− (pues estamos considerando subespacios de

dimension mayor o igual a uno), y por la proposicion 3.15 tenemos que W no

puede estar repartido entre Φ− y Φ+ (si ası lo fuera tomarıamos un punto que

estuviese en Φ− y otro en Φ+, la recta que los contiene estarıa en W y tambien

cortarıa a la cuadrica), entonces tenemos que W ⊂ Φ+.


Con esta caracterizacion es facil comprobar que en P(Rn,1) existen tanto subespacios

no incidentes como tangentes e intersecantes. Por ejemplo, ya hemos visto que cualquier

subespacio del hiperplano H = { [x0 : · · · : xn−1 : 0 ] } estara en Φ+ y por lo tanto

sera no incidente, analogamente, notemos que las rectas Ls = { [x0 : 0 : · · · : 0 : xn] } y

Lt = { [x0 : 0 : · · · : 0xn : xn] } son respectivamente intersecante y tangente.

Definicion 3.16. Diremos que la signatura de un subespacio W de P(Rn,1), es la

signatura de su subespacio vectorial asociado W (W = P(W) con W ⊂ Rn+1).

Aun cuando la forma cuadratica ω que genera a la cuadrica de Minkouski es no

degenerada, la restriccion de esta a algun subespacio W si podrıa serlo, sin embargo,

veremos a continuacion que las opciones de signatura de W son bastante limitadas:

Proposicion 3.18. Si {−→w0, . . . ,−→wk} es una base ω-ortonormal de W (dimW = k),

entonces habra a lo sumo un i ∈ {1, . . . , k} tal que:

ω(−→wi) ∈ {0,−1}

Demostracion. Sea f la forma bilineal simetrica asociada a ω. Si existiesen i, j ∈{1, . . . , k} (i 6= j) tal que:

ω(−→wi) ∈ {0,−1} y ω(−→wj) ∈ {0,−1}

Como −→wi y −→wi son ortonormales tenemos:

f(−→wi,−→wi ) = 0

Entonces para cualquier punto 〈−→x 〉 de la recta formada por 〈−→wi〉 y 〈−→wi〉 se tendrıa:

ω(−→x ) = ω(α−→wi + β−→wj) = α2ω(−→wi) + 2αβf(−→wi,−→wj) + β2ω(−→wj) ≤ 0

Es decir que la recta formada por 〈−→wi〉 y 〈−→wi〉 estarıa contenida en Φ ∪ Φ−, pero ya

hemos visto que esto es imposible.


Por comodidad denotaremos la signatura de los subespacios de P(Rn,1) mediante:

(δ0 · · · δk) , con δi ∈ {+, 0,−} i = 1, . . . , k

Colocando primero todos los “+”, luego los “-” y por ultimo los “0” correspondientes,

pues de esta manera precisamos tanto la signatura como la dimension del subespacio.

Entonces, de la proposicion anterior tenemos que los subespacio de P(Rn,1) pueden

tener signaturas unicamente de las formas:

(+ · · ·+ +) , (+ · · ·+ 0) o (+ · · ·+−)

Y, como ya hemos visto, no depende de la base seleccionada.

Proposicion 3.19. Un subespacio W de P(Rn,1) tiene signatura (+ · · ·+ +) si y solo

si W es no incidente.

Demostracion. Sabemos que W es no incidente si y solo si W ⊂ Φ+ y esto ocurre si

y solo si para los vectores {−→w0, . . . ,−→wk} de cualquier base ω-ortonormal que genere a

W se cumple que:

ω(−→wi) > 0 ∀i = 0, . . . , k

es decir, que W tiene signatura (+ · · ·+ +).

Proposicion 3.20. W tiene signatura (+ · · ·+ 0) si y solo si W es tangente.

Demostracion. W tiene signatura (+ · · ·+ 0) si y solo si existe una base {−→w0, . . . ,−→wk}

ω-ortonormal que genere a W que cumpla:

ω(−→wi) > 0 ∀i = 0, . . . , k − 1

ω(−→wk) = 0

Y como cualquier 〈−→x 〉 ∈ W r {〈−→wk〉} puede parametrizarse como:

〈−→x 〉 = 〈α0−→w0 + · · ·+ αk−1

−−−→wk−1 +−→wk〉 (α0, . . . .αk−1) 6= (0, . . . , 0)


Entonces la existencia de tal base es equivalente a que existan {−→w0, . . . ,−→wk} ω-

ortonormales tal que para cualesquiera (α0, . . . .αk−1) 6= (0, . . . , 0) se cumpla:

ω(α0−→w0 + · · ·+ αk−1

−−−→wk−1 +−→wk ) = α02ω(−→w0) + · · ·+ αk−1

2ω(−−−→wk−1) + ω(−→wk) > 0

Y esto ocurre si y solo si W es tangente a Φ.

Corolario 3.21. Si W es tangente a Φ en el punto p, entonces:

W r {p} ⊂ Φ+

Proposicion 3.22. W tiene signatura (+ · · ·+−) si y solo si W es intersecante.

Demostracion. Se sigue inmediatamente de las dos proposiciones anteriores y de que

las unicas opciones de signatura sean (+ · · ·+ +), (+ · · ·+ 0) y (+ · · ·+−).

3.7. Homogeneizacion de polinomios

Definicion 3.17. Un polinomio p(x0, . . . , xn) es homogeneo de grado k si para

cualquier λ ∈ R se cumple que:

p(λx0, . . . , λxn) = λkp(x0, . . . , xn)

Observacion. Sea V un espacio vectorial de dimension n+ 1 y B = {−→v0, . . . ,−→vn} una

base fija de V. Si −→w = w0−→v0 + · · · + wn

−→vn cumple que p(−→w) = p(w1, . . . , wn) = 0 ,

entonces todo elemento −→w ′ de la recta vectorial generada por −→w cumplira: p(−→w ′) = 0.

.

Definicion 3.18..

1. Una curva algebraica en el plano euclıdeo es el conjunto de puntos (x, y) ∈ R2

que satisfacen la ecuacion polinomial p(x, y) = 0 , donde p es un polinomio no

constante.


2. Analogamente, diremos que una curva algebraica en el plano proyectivo es el

conjunto de puntos [x1 : x2 : x3] ∈ P2(R) que satisfacen la ecuacion polinomial

homogenea P(x1, x2, x3) = 0 , donde P es un polinomio homogeneo no constante.

Ejemplo. La circunferencia x2 + y2− 2x− 3 = 0 es una curva de R2 , mientras que la

ecuacion x2 + y2 − 2xt− 3t2 = 0 representa una curva en P2(R).

Notemos que el conjunto:

{(x1, x2, x3) ∈ R3 : P(x1, x2, x3) = 0

}representa una superficie conica de R3 con vertice en el origen, es decir, son todas las

rectas vectoriales que pasan por una curva dada.

El termino “proyectivizar” se usa cuando convertimos una figura euclıdea en

una figura proyectiva, reemplazando cada punto por una recta vectorial. El proceso

de “homogenizacion” que daremos a continuacion es el analogo algebraico de la

proyectivizacion:

Para homogenizar un polinomio p(x0, . . . , xn) de grado k se introducen n + 2

nuevas variables, reemplazando cada xi i = 0, ..., n por xi′

ty multiplicando por tk

el polinomio. Es decir:

P(x0′, . . . , xn

′, t) = tkp(x0′

t, . . . ,

xn′

t)

En este caso el nuevo polinomio P sera un polinomio homogeneo de grado k.

Ejemplo. Al homogenizar el polinomio:

p(x, y) = 3x2 + 5xy − 4y − 1

Tenemos:P(x′, y′, t) = t2

[3x′

t

2+ 5x

′

ty′

t− 4y

′

t− 1]

= 3x′2 + 5x′y′ − 4y′t− t2.


Para recobrar el polinomio original reemplazamos cada xi′ por xi (i = 0, ..., n) y

hacemos t = 1. Es decir:

p(x0, . . . , xn) = P(x0, . . . , xn, 1)

En el caso de la curva p(x, y) = 0 en el plano euclıdeo, observemos que el proceso

de homogeneizacion es colocar la curva en el espacio x, y, t con t = 1 y trazar todas las

rectas que van de la curva al origen del espacio, formando la superficie conica equivalente

a la curva P(x′, y′, t) en P2(R).

Si queremos obtener la curva original intersecamos la superficie con el plano t = 1.

Capıtulo 4

Polinomios de Mobius y el espacio

de circunferencias

4.1. Modelo proyectivo del espacio de

circunferencias

Recordemos que una circunferencia generalizada en el plano es el conjunto de puntos

X =(x1x2

)que cumplen con la ecuacion:

a4X2 − 2A • X + a3 = 0

Donde A =(a1a2

)∈ R2 y a3, a4 ∈ R.

- Si a4 = 0 la ecuacion representa una recta con vector normal −2A.

- Si a4 6= 0 podemos reescribir la ecuacion como:(X− A

a4

)2

=A2 − a3a4

a42

Es decir, una circunferencia de centro Aa4

y radio cuadrado A2−a3a4a42

. CuandoA2−a3a4a42

es negativo decimos que es una circunferencia virtual, cuando es cero

decimos que es una circunferencia punto y cuando es positivo decimos que es una

circunferencia real (o sencillamente una circunferencia).

Recordemos tambien que un polinomio circular es la funcion A(X) : R2 → R con:

A(X) = a4X2 − 2A • X + a3 , A ∈ R2 , a3, a4 ∈ R

89


En es te capıtulo es de sumo interes el estudio de los polinomios circulares

homogeneizados, estos reciben el nombre de polinomios de Mobius.

Definicion 4.1. Un polinomio de Mobius es una funcion A(X, t) : R2 × R→ R de la

forma:

A(X, t) = a4X2 − 2A • Xt+ a3t

2 , A ∈ R2 , a3, a4 ∈ R

Llamaremos M al conjunto de los polinomios de Mobius.

Por comodidad hemos denotado de igual manera tanto a los polinomios de

Mobius como a los polinomios circulares, pues estos ultimos pueden pensarse como

la interseccion de los polinomios de Mobius con el subespacio afın:

E2 =

{(X, 1) ∈ R2 × R : X =

(x1x2

)∈ R2

}Es decir:

A(X, 1) = a4X2 − 2A • X + a3 = A(X)

Por lo que a cada polinomio de Mobius le corresponde un unico polinomio circular.

Esto nos permitira considerar a cada A ∈M bien como una funcion de R2×R→ Ro como una funcion de E2 → R.

Proposicion 4.1. M es un espacio vectorial real de dimension 4.

Demostracion. Los elementos de M son un subconjunto del espacio vectorial de los

polinomios de R2 × R en R, entonces solo basta comprobar que:

- El polinomio nulo es un polinomio de Mobius: En efecto, tomando

a1 = a2 = a3 = a4 = 0

- El opuesto de un polinomio de Mobius es tambien un polinomio de Mobius:

−A(X, t) = −(a4X

2 − 2A • Xt+ a3t2)

= −a4X2 − 2(−A) • Xt− a3t2 ∈ M

4.Polinomios de Mobius y el espacio de circunferencias 91

- La suma de dos polinomios de Mobius es un polinomios de Mobius:

A(X, t) + B(X, t) = a4X2 − 2A • Xt+ a3t

2 + b4X2 − 2B • Xt+ b3t

2

= (a4 + b4)X2 − 2(A + B) • Xt+ (a3 + b3)t

2 ∈ M

Por otro lado, la familia {−2x1t , −2x2t , t2 , x1

2+x22} es un conjunto linealmente

independiente que genera todo M, por lo que:

dimM = 4

Observacion. Como existe una equivalencia entre los polinomios circulares y los poli-

nomios de Mobius, en lo sucesivo podemos considerar cada circunferencia generalizada

como el subconjunto C de R2 × R tal que

C = { (X, t) : A(X, t) = 0 }

para cierto A ∈M.

Nuevamente, el conjunto A(X, t) = 0 es un cono cuyo corte con E2 es la

circunferencia generalizada A(X) = 0. Ademas, si (X, t) ∈ C entonces λ(X, t) ∈ C∀λ 6= 0 (λ ∈ R), por lo que cada C define un conjunto no vacıo de P2.

El polinomio A de M representa a la circunferencia generalizada A(X) = 0 (o

A(X, t) = 0 ) Sin embargo esta representacion no es unica, pues, para cada λ 6= 0

(λ ∈ R) las ecuaciones λA(X) = 0 son equivalentes. Es ası como cada circunferencia

generalizada vendra representada de manera unica por el subconjunto de M:

〈A〉 = {λA : λ 6= 0 y λ ∈ R}

Por lo que podemos identificar al conjunto de las circunferencias generalizadas del plano

con P(M) (el espacio proyectivo asociado al espacio vectorial M), y a cada punto de

P(M) por 〈A〉.


4.1.1. Coordenadas canonicas del espacio de circunferencias

Tomemos la biyeccion que a cada circunferencia generalizada 〈A〉 de P(M) le asigna

el punto de [A : a3 : a4] ∈ P3 = P(R4):

〈A〉 −→ [A : a3 : a4]

Es decir que a cada polinomio de Mobius A ∈ M le estamos asignando sus

coordenadas en la base {−2x1t , −2x2t , t2 , x1

2+x22}, por lo que cada uno de estos

polinomios puede ser escrito como (A, a3, a4).

Al conjunto {−2x1t , −2x2t , t

2 , x12+x2

2}

lo llamaremos la base canonica de M, y diremos que [A : a3 : a4] son las coordenadas

homogeneas de la circunferencia generalizada 〈A〉 en dicha base.

4.2. La cuadrica fundamental

Para cada circunferencia generalizada 〈A〉 con a4 6= 0, el numerador A2 − a3a4 de

la expresion del radio al cuadrado “separa” a las circunferencias reales de las virtuales,

el borde de esta separacion son las circunferencias puntos:

A2 − a3a4 = 0

Pero notemos que la aplicacion

ω : R4 → R

(A, a3, a4) → A2 − a3a4


Es una forma cuadratica en R4, por lo que genera la cuadrica en P3:

Φ ={

[A : a3 : a4] : A2 − a3a4 = 0}

Dicha cuadrica se denomina la cuadrica fundamental del espacio de circunferencias.

Observacion. Notese que el interior de la cuadrica:

Φ− ={

[A : a3 : a4] : A2 − a3a4 < 0}

esta formado por las circunferencias virtuales, mientras que el exterior:

Φ+ ={

[A : a3 : a4] : A2 − a3a4 > 0}

lo constituyen las circunferencias reales (y, como ya hemos mencionado, las circunfe-

rencias punto estaran en la cuadrica).

4.3. Una base Φ-ortonormal

Es facil comprobar que la forma bilineal simetrica B : R4×R4 que genera la cuadrica

Φ viene dada por:

B ( (A, a3, a4) , (B, b3, b4) ) = A • B− 1

2[a3b4 + a4b3]

En las secciones anteriores, de manera natural, hemos considerado al conjunto

{−2x1t , −2x2t , t2 , x1

2+x22} la base para representar cada polinomio de Mobius A

como un punto de R4 tomando las coordenadas (A, a3, a4). Sin embargo, comprobemos

que esta no es una base Φ-ortonormal (o B-ortonormal):

Las coordenadas de t2 y x12+x2

2 son respectivamente (0, 0, 1, 0) y (0, 0, 0, 1), Pero:

B((0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)) = 00 + 00− 1

2[11 + 00] = −1

26= 0


Busquemos entonces una base de R4 Φ-ortonormal:

Recordemos primero que, en una base ortonormal, Φ se escribirıa como suma y resta

de cuadrados, ordenando convenientemente los terminos de Φ tenemos:

A2 − a3a4 = A2 +

(a3 − a4

2

)2

−(a3 + a4

2

)2

Y haciendo el cambio de variable:

a1 = a1

a2 = a2

a3 = a3−a42

a4 = a3+a42

Ası:

Φ : a21 + a22 + a23 − a24 = 0

Llamemos A =(a1a2

)=(a1a2

)= A. Cada polinomio de Mobius puede ser escrito en

termino de los ai como:

A(X, t) = a4X2 − 2A • Xt+ a3t

2

= −2A • Xt+(a3−a4

2

)(t2 − X2) +

(a3+a4

2

)(t2 + X2)

= a1(−2x1t) + a2(−2x2t) + a3(t2 − X2) + a4(t

2 + X2)

= −2A • Xt+ a3(t2 − X2) + a4(t

2 + X2)

Por lo tanto una base Φ-ortonormal de R4 vendra dada por:

B ={−2x1t , −2x2t , t

2 − X2 , t2 + X2}


En terminos matriciales, si tomamos la base canonica {−2x1t , −2x2t , t2 , x1

2+x22}:

−2x1t = (1, 0, 0, 0)

−2x2t = (0, 1, 0, 0)

t2 = (0, 0, 1, 0)

X2 = (0, 0, 0, 1)

Entonces, cada elemento de B se escribira en funcion de esta base como:

−2x1t = (1, 0, 0, 0)

−2x2t = (0, 1, 0, 0)

t2 − X2 = (0, 0, 1,−1)

t2 + X2 = (0, 0, 1, 1)

Por lo tanto la matriz P de cambio de base es:

P =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 −1 1

Y

P−1 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 12−1

2

0 0 12

12

Entonces, si un punto en R4 anteriormente tenıa coordenadas (A, a3, a4), en esta

nueva base tendra coordenadas:

(A, a3, a4

)t= P−1(A, a3, a4)

t =

(A,a3 − a4

2,a3 + a4

2

)t


Pongamos ahora las construcciones hechas en las secciones anteriores en termino de

esta nueva base:

- Cada polinomio de Mobius A(X, t) = a4X2 − 2A • Xt + a3t

2 tiene coordenadas

(A, a3, a4) ∈ R4 con respecto a B, es decir:(A,a3 − a4

2,a3 + a4

2

)

- Cada circunferencia generalizada se escribira como [A : a3 : a4].

- Como vimos anteriormente, la cuadrica fundamental sera:

Φ ={

[A : a3 : a4] : A2 + a23 − a24 = 0}

- Y la forma bilineal B asociada a Φ, en la base B se escribira como:

B(

(A, a3, a4) , (B, b3, b4))

= A • B + a3b3 − a4b4

Seguiremos escribiendo a los elementos de P(M) como 〈A〉 o a4X2−2A•Xt+a3t2 = 0

(es decir en la base canonica), mientras que sus coordenadas en P3 (o en R4) las

tomaremos respecto a la base B. Ya que es mas conveniente trabajar en una base

Φ-ortonormal, y luego llevar los resultados obtenidos al espacio original para su

interpretacion. Para ello haremos la siguiente identificacion:

4.3.1. La identificacion fundamental

Definicion 4.2. Llamaremos identificacion fundamental a la biyeccion If : P(M)→ P3

tal que:

If (〈A〉) =

[A :

a3 − a42

:a3 + a4

2

]


Observacion. If es la proyectivizacion de la aplicacion M → R4, que asocia a

cada polinomio de Mobius sus coordenadas en la base ortonormal B. Entonces las

coordenadas homogeneas de la circunferencia generalizada 〈A〉 vendran dadas por:

[A] =

[A :

a3 − a42

:a3 + a4

2

]=[A : a3 : a4

]

Recıprocamente, la imagen inversa de un punto [A : a3 : a4] ∈ P3 mediante If

genera el polinomio:

If−1(

[A : a3 : a4])

= −2A • Xt + a3 (t2 − X2) + a4 (t2 + X2)

= (a4 − a3) X2 − 2A • Xt + (a4 + a3) t2

Podemos ademas identificar R2 con el conjunto de circunferencias punto en P(M) a

traves de la inyeccion:

R2 ↪→ P(M) ; A→ 〈X2 − 2A • X + A2〉

Esto induce una identificacion de R2 con un subconjunto de P3 a traves de la

composicion:

if : R2 → P(M)→ P3

if (A) =

[A :

A2 − 1

2:

A2 + 1

2

]

Observacion. Notemos que todo punto de la forma [A : A2−12

: A2+12

] en P3 pertenece a

la cuadrica Φ, en efecto:

(A)2 +(

A2−12

)2−(

A2+12

)2= A2 + 1

4

((A2)

2 − 2A2 + 1− (A2)2 − 2A2 − 1

)= A2 + 1

4(−4A2)

= 0


4.4. Subespacios de P3 y su relacion con la cuadrica

A partir de ahora vamos a representar cada punto de P3 por:

[A] =[A : a3 : a4

]Donde [A : a3 : a4] = [A : a3−a4

2: a3+a4

2] son las coordenadas homogeneas del

polinomio A(X, t) = a4X2 − 2A • Xt+ a3t

2 en la base Φ-ortonormal B.

4.4.1. dualidad

Recordemos que dos puntos [A] y [B] de P3 son conjugados respecto a Φ si:

B(

(A, a3, a4) , (B, b3, b4))

= 0

Que, por ser independiente de los representantes encogidos, en el capitulo anterior lo

hemos denotado por:

B ( [A] , [B] ) = 0

Esto nos permite definir la siguiente dualidad entre subconjuntos de P3:

Definicion 4.3. Sea Π : P(P3)→ P(P3) la funcion que asocia a cada subespacio L de

P3 el conjunto:

Π(L) :={

[B] ∈ P3 : [B] es conjugado de [A] ∀[A] ∈ L}

Proposicion 4.2. Π(L) es un subespacio de P3 de dimension 3− dimL− 1.

Demostracion. Tomemos dimL = k, ası podemos hallar −→v0, . . . ,−→vk ∈ R4 vectores B-

ortonormales tales que para cada [A] ∈ L existen escalares α0, . . . , αk que satisfacen:

[A] = [α0−→v0 + · · ·+ αk

−→vk]


Tomemos ahora 3 − k vectores −−→vk+1, . . . ,−→v3 que completen una base B-ortonormal de

R4. Como B es una forma bilineal no degenerada, necesariamente:

B(−→vi ,−→vi) 6= 0 ∀i = 0, . . . , 3

Por lo que los puntos [B] ∈ Π(L) seran de la forma (y solo de la forma):

[B] = [αk+1−−→vk+1 + · · ·+ α3

−→v3]

Entonces Π(L) es un subespacio de P3 de dimension

3− k − 1 = 3− dimL− 1

Observacion. Π(L) recibe el nombre de subespacio conjugado de L.

Corolario 4.3. Π es una funcion involutiva ( Π (Π(L)) = L ).

La siguiente tabla muestra una lista exhaustiva de los tipos de subespacios de P3 y

sus conjugados:

Subespacio de P3 Dimension Subespacio conjugado Dimension

Punto 0 Plano 2

Recta 1 Recta 1

Plano 2 Punto 0

Observacion. El subespacio conjugado de un punto [A] recibe el nombre de plano polar

de [A], y lo denotaremos por Π[A] , decimos tambien que [A] es el polo de Π[A]. Ası si

[A] tiene coordenadas [A : a3 : a4], su plano polar vendra dado por:

Π[A] ={

[X : x3 : x4] ∈ P3 : A •X + a3x3 − a4x4 = 0}

De igual manera, si ` es una recta, `# indicara su recta conjugada.


Proposicion 4.4. [B] ∈ Π[A] si y solo si [A] ∈ Π[B]

Demostracion. La demostracion es inmediata pues [A] es conjugado de [B] si y solo si

[B] es conjugado de [A].

Proposicion 4.5. [A] ∈ Π[A] si y solo si [A] ∈ Φ.

Demostracion. Por definicion [A] ∈ Φ si y solo si ω([A]) = B([A], [A]) = 0.

4.4.2. Incidencia

Hasta ahora hemos modelado el conjunto de circunferencias generalizadas mediante

el espacio P3 y la cuadrica fundamental Φ en el, observemos que la forma cuadratica ω

que define a Φ en la base ortonormal B viene dada por:

A2 + a23 − a24

Por lo que P3 con Φ (o R4 con ω) es un espacio de signatura (3, 1); esto nos permite

interpretar en nuestro modelo los resultados de incidencia obtenidos en la seccion

3.6.2.

Podemos entonces caracterizar el tipo de incidencia de los subespacios de P3 con Φ

a traves de su signatura, en este sentido la siguiente tabla muestra las unicas signaturas

posibles para cada tipo de subespacio y la relacion de este con la cuadrica:


Subespacio Signatura Incidencia con Φ

(+) ∈ Φ+

Punto (0) ∈ Φ

(−) ∈ Φ−

(++) No intersecante

Recta (+0) Tangente

(+−) Secante

(+ + +) No intersecante

Plano (+ + 0) Tangente

(+ +−) Secante

Observacion. De esta equivalencia se sigue inmediatamente que si una recta ` (o un

plano) no tiene puntos en comun con Φ entonces debe estar en el exterior de la cuadrica,

y si es tangente a Φ en el punto [A] entonces `r {[A]} ⊂ Φ+.

Anadiendo a esto los conceptos de dualidad dados arriba tenemos:

Proposicion 4.6. Un subespacio de P3 tiene signatura (+... + +) si y solo si su

subespacio conjugado tiene signatura (+...+−).

Demostracion. Tomemos una base Φ-ortonormal {−→v0, . . . ,−→v3} de tal manera que los

primeros k + 1 vectores generen al subespacio y los ultimos 3 − k − 1 a su conjugado.

Entonces:

ω(−→vi) > 0 i = 0, . . . , k + 1

Pues el subespacio tiene signatura (+...+ +). Por lo tanto existe j ∈ {k + 1, . . . , 3} tal

que:

ω(−→vi) < 0

Ası, la signatura del subespacio conjugado es (+...+−).

La demostracion recıproca es analoga.


Proposicion 4.7. Un subespacio de P3 tiene signatura (+... + 0) si y solo si su

subespacio conjugado tiene signatura (+...+ 0).

Demostracion. El resultado es inmediato de la proposicion anterior y de que las unicas

opciones de signatura son (+...+ +), (+...+−) y (+...+ 0).

Corolario 4.8. Si [A] es un punto de P3 con plano polar Π[A], de manera inmediata

se sigue que:

- [A] ∈ Φ− si y solo si Π[A] ⊂ Φ+.

- [A] ∈ Φ si y solo si Π[A] es tangente a Φ en [A].

- [A] ∈ Φ+ si y solo si Π[A] es secante a Φ.

Igualmente, si ` es una recta con recta conjugada `#:

- ` es secante a Φ si y solo si `# ⊂ Φ.

- ` es tangente a Φ en un punto [A] si y solo si `# es tangente a Φ en [A]

- ` es exterior a Φ si y solo si `# es secante a Φ.

4.4.3. La imagen de if

Mediante la funcion if hemos podido identificar cada punto de R2 con un punto

de Φ, sin embargo esto no es recıproco, pues no todo punto de la cuadrica puede ser

parametrizado mediante

if (A) =

[A :

A2 − 1

2:

A2 + 1

2

]Ası:

Im(if ) ( Φ


Veamos, por ejemplo, que el punto [N] =[(

00

): k : k

]esta en Φ, ya que

(0

0

)2

+ k2 − k2 = 0

pero es imposible hallar un A ∈ R2 tal que[A :

A2 − 1

2:

A2 + 1

2

]= [N]

Con la siguiente proposicion comprobaremos que [N] es el unico punto de Φ que no

esta en la imagen de if :

Proposicion 4.9. Im( if ) = Φr [N]

Demostracion. Ya hemos visto que

Im(if ) ⊂ Φr [N]

Por lo que basta comprobar la otra contencion.

Primero notemos que el plano polar de [N] es:

Π[N] ={

[X : x3 : x4] ∈ P3 :(00

)• X + kx3 − kx4 = 0

}= { [X : x3 : x4] ∈ P3 : x3 = x4 }

Y como [N] ∈ Φ, del corolario 4.8 tenemos que Π[N] es tangente a Φ en [N], es

decir, que el unico punto de la forma [X : k : k] en Φ es [N]. Ası:

Φr [N] ={

[X : x3 : x4] ∈ P3 : X2 + x32 − x42 = 0 y x3 6= x4

}Tomemos un punto [X : x3 : x4] ∈ Φr [N], entonces:

X2 = x42 − x32 y x4 − x3 6= 0


Queremos saber si existe A ∈ R2 tal que if (A) = [X : x3 : x4], es decir:[A :

A2 − 1

2:

A2 + 1

2

]= [X : x3 : x4]

Pero esto es equivalente a que exista un t 6= 0 (t ∈ R) para el cual:X = tA

x3 = t2

(A2 − 1)

x4 = t2

(A2 + 1)

De las 2 ultimas ecuaciones tenemos:

x4 − x3 = t

Entonces:

A =X

x4 − x3

Comprobemos el punto A y el escalar t escogidos satisfacen las 3 ecuaciones:

X = tA

= (x4 − x3)(

Xx4−x3

)= X

Notemos que:

A2 =X2

(x4 − x3)2=

x42 − x32

(x4 − x3)2=

x4 + x3x4 − x3

Ası:x3 = t

2(A2 − 1)

= x4−x32

(x4+x3x4−x3 − 1

)= x4−x3

2

(x4+x3−(x4−x3)

x4−x3

)= x3


x4 = t2

(A2 + 1)

= x4−x32

(x4+x3x4−x3 + 1

)= x4−x3

2

(x4+x3+(x4−x3)

x4−x3

)= x4

Observacion. Al punto [N] =[(

00

): k : k

]lo llamaremos el polo norte de la cuadrica,

veremos mas adelante que este nombre se debe a que existe una relacion estrecha entre

la funcion if y la proyeccion estereografica.

Corolario 4.10. Si [X : x3 : x4] es un punto de Φr [N] entonces:

if−1 ([X : x3 : x4]) =X

x4 − x3

4.5. Interpretacion geometrica del modelo

proyectivo

La conveniencia de modelar el espacio de circunferencias generalizadas mediante

puntos de P3 radica en que todas las demostraciones hechas en el primer capıtulo sobre

circunferencias, y en el segundo acerca del grupo de Mobius, pueden ser realizadas

de manera mas sencillas valiendonos de las propiedades de los espacios proyectivos

estudiadas en el tercer capıtulo.

A continuacion estudiaremos las caracterısticas importantes del espacio P3 y de

la cuadrica Φ, para llevarlas al espacio de circunferencias generalizadas y dar su

interpretacion geometrica en R2.


4.5.1. Subconjuntos naturales de P(M) y P3

Al comienzo del capıtulo hemos dado una clasificado, segun su ecuacion, a las

circunferencia generalizadas, mediante esto podemos separar los elementos del espacio

de circunferencias generalizadas P(M) en 4 subconjuntos, los cuales llamaremos

subconjuntos naturales del espacio de circunferencias generalizadas:

- Circunferencias reales:

Creal :={〈X2 − 2A • X + a3〉 : A2 − a3 > 0

}

- Circunferencias virtuales (de centro real y radio imaginario):

Cvir :={〈X2 − 2A • X + a3〉 : A2 − a3 < 0

}

- Circunferencias puntuales (de centro real y radio nulo):

Cnul :={〈X2 − 2A • X + a3〉 : A2 − a3 = 0

}

- Rectas:

R := { 〈−2A • X + a3〉 }

De este ultimo podemos destacar el punto: 〈a3〉, que representa a todos los

polinomios de Mobius constante no nulos. Entonces el conjunto de rectas con

lugar geometrico en R2 es:


R∗ := Rr {〈a3〉}

Y recordemos que, en P3 tenemos los conjuntos destacados:

Φ ={

[A : a3 : a4] : A2 + a23 − a24 = 0}

Φ+ ={

[A : a3 : a4] : A2 + a23 − a24 > 0}

Φ− ={

[A : a3 : a4] : A2 + a23 − a24 < 0}

Y

Π[N] ={

[A : a3 : a4] ∈ P3 : a3 = a4

}

Ademas un punto de P(M) pasa a P3 mediante la identificacion fundamental:

If(〈a4X2 − 2A • X + a3〉

)=

[A :

a3 − a42

:a3 + a4

2

]

Recıprocamente, un punto [A : a3 : a4] en P3 corresponde a la circunferencia

generalizada:

If−1(

[A : a3 : a4])

=⟨

(a4 − a3) X2 − 2A • X + (a4 + a3)⟩

Veamos que relacion tienen los subconjuntos naturales de P(M) con los de P3:

Supongamos que 〈X2 − 2A • X + a3〉 yace en Creal, entonces:

If(〈X2 − 2A • X + a3〉

)=

[A :

a3 − 1

2:a3 + 1

2

]


A2 +(a3−12

)2 − (a3+12

)2= A2 +

(a3−12

+ a3+12

) (a3−12− a3+1

2

)= A2 + (a3) (−1)

= A2 − a3

> 0

Ası

If ( 〈X2 − 2A • X + a3〉 ) ∈ Φ+ r Π[N]

Recıprocamente, si [A : a3 : a4] esta en Φ+ r Π[N], entonces:

If−1(

[A : a3 : a4])

=⟨

(a4 − a3) X2 − 2A • X + (a4 + a3)⟩

=⟨

X2 − 2 Aa4+a3

• X + a4+a3a4+a3

⟩Con:

signo

[(A

a4−a3

)2−(a4+a3a4−a3

)]= signo

[A2 − (a4 + a3)(a4 − a3)

]= signo

[A2 + a23 − a24

]> 0

Es decir que su preimagen esta en Creal.

Operando de manera analoga con Cvir y considerando que:

Φ− r Π[N] = Φ−

Es facil comprobar Creal esta en correspondencia biunıvoca con Φ−.

Y como ya hemos visto:

Cnul ∼= R2 ∼= Φr {[N]}


Por ultimo, cada recta 〈−2A • X + a3〉 6= 〈a3〉 tenemos:

If (〈−2A • X + a3〉) =[A :

a32

:a32

]Y

If (〈a3〉) =

[(0

0

):a32

:a32

]= [N]

Por lo que podemos poner en correspondencia al subconjunto de rectas L con Π[N]

y al punto 〈a3〉 con [N].

La siguiente tabla muestra cada subconjunto natural del espacio de circunferencias

y su subconjunto isomorfo en P3:

Subconjunto de P(M) Subconjunto de P3

Circunferencias reales Φ+ r Π[N]

Circunferencias virtuales Φ−

Circunferencias puntuales Φr {[N]}Rectas (L∗) Π[N] r {[N]}

Polinomios constantes [N]

4.5.2. Interpretacion geometrica de if

Recordemos que podemos representar el espacio proyectivo tridimensional P3

mediante:

P3 ∼= R3 ∪H∞

Al identificar cada punto de la forma [A : a3 : a4] que verifica a4 6= 0 con el punto:

(x1, x2, x3) ∈ R3 : xi =aia4

i = 1, 2, 3.


Y los puntos que satisfacen a4 = 0:

H∞ ={

[A : a3 : 0]}

llamado plano en el infinito (Notemos que H∞ es el plano polar del punto [0 : 0 : 0 : 1]).

Ası, los puntos de P3 asociados a circunferencia (tanto reales, virtuales y puntuales)

corresponden a puntos en R3, mientras que los asociados a rectas estaran en H∞.

Cada punto [A : a3 : a4] ∈ Φ satisface:

A2 + a23 − a24 = 0

Entonces necesariamente se tiene que a4 6= 0, por lo que cada punto en la cuadrica

tiene un representante con a4 = 1. En esta representacion podemos escribir la cuadrica

como:

x12 + x2

2 + x32 − 1 = 0

Pero notemos que esta es la ecuacion de la esfera unitaria S2 en R3. Ademas, en

particular asociamos [N] al polo norte (0, 0, 1) de la esfera.

Podemos entonces poner en correspondencia el conjunto de las circunferencias de

R2 con los puntos de R3, y cada punto A de R2 (o cada circunferencia puntual) con la

esfera unitaria S2, mediante la funcion:

if (A) =

[A :

A2 − 1

2:

A2 + 1

2

]7−→

(2A

A2 + 1,

A2 − 1

A2 + 1

)

Observemos que esta es la expresion de la proyeccion estereografica desde el polo

norte de S2.

En resumen, mediante if podemos obtener la proyeccion estereografica de R2 en la

esfera unitaria.


Por otro lado, sabemos que if es una biyeccion entre los punto de R2 y los de

Φr [N]. Veamos entonces como transforma if ciertos subconjuntos de R2:

Para cualquier conjuntoA ⊆ R2, diremos que:

if (A) := { if (X) ∈ Φr [N] : X ∈ A}

La circunferencia generalizada:

A ={

X ∈ R2 : a4X2 − 2A • X + a3 = 0

}representa al punto en P3:

[A] = [A :a3 − a4

2:a3 + a4

2]

Dicho punto tiene como plano polar al conjunto:

Π[A] =

{[X : x3 : x4] ∈ P3 : A •X +

(a3 − a4

2

)x3 −

(a3 + a4

2

)x4 = 0

}

Ası, un punto P ∈ R2 esta en A si y solo si:

P ∈ A ⇔ a4P2 − 2A • P + a3 = 0

⇔ A • P +(a3−a4

2

) (P2−1

2

)−(a3+a4

2

) (P2+1

2

)= 0

⇔[P : P2−1

2: P2+1

2

]∈ Π[A]

⇔ if (P) ∈ Π[A]

Ademas, como la imagen de if es Φr [N] tenemos:

if (A) = Π[A] ∩ (Φr [N])


De hecho, si A 6= (a3 = 0):

Π[A] ∩ (Φr [N]) = Π[A] ∩ Φ

Entonces, podemos identificar al conjunto de puntos de R2 que determinan a la

circunferencia generalizada A con el conjunto de puntos en P3:

if (A) = Π[A] ∩ Φ

4.5.3. Haces de circunferencias generalizadas

Recordemos que al tener dos circunferencias generalizadas distintas con ecuaciones

A(X) = 0 y B(X) = 0 respectivamente, el haz generado por ellas son todas las

circunferencias generalizadas de la forma:

αA(X) + βB(X) = 0 (α, β) ∈ R2 r {(0, 0)}

Pero notemos que en P3, si los puntos [A] y [B] representan a dos circunferencias

generalizadas distintas, esta definicion es equivalente a tomar cada elemento del

conjunto:

` ={

[αA+ βB] : (α, β) ∈ R2 r {(0, 0)}}

Es decir, de la recta generada por [A] y [B]. Ademas, sabemos que dos puntos

distintos de un espacio proyectivo determinan una unica recta.

Recıprocamente, cada recta puede ser generada por dos puntos distintos, y dichos

puntos representaran al par de circunferencias generalizadas que generan el haz.


Podemos entonces afirmar que cada haz de circunferencias generalizadas esta

representado por una recta en P3; inversamente, cada recta de P3 representa a un haz

de circunferencias generalizadas.

Recordemos tambien que un plano en P3 y recta que no yace en el se cortan

exactamente en un punto. Ası si ` no yace en Π[N] , el punto:

[L] = ` ∩ Π[N]

representara a la recta L(X) = 0 en R2, que, por ser la unica recta en el haz,

corresponde al eje radical de este (si [L] = [N] entonces el haz no posee eje radical,

es decir es un haz concentrico).

Y si ` ⊂ Π[N] entonces tenemos un haz de rectas de R2.

Veamos como la incidencia de ` con Φ determina el tipo de haz asociado a `:

- Si ` corta a la cuadrica en 2 punto [A] y [B], el haz asociado a ella sera un haz

de circunferencias no intersecantes cuyos puntos lımites seran las circunferencias

puntuales asociadas a [A] y [B]. Y ya hemos mencionado que si uno de los puntos

es [N] entonces ademas es un haz concentrico.

- Si ` es una recta tangente a Φ en [A], entonces tenemos un has de circunferencias

tangentes en el punto (o en la circunferencia puntual) asociado a [A], que es la

unica circunferencia de radio nulo del sistema. Si [A] = [N], entonces ` ⊂ Π[N]

y tenemos un haz de rectas paralelas.

- Y si ` es una recta no incidente a Φ nuestra unica opcion es tener un haz de

circunferencias intersecantes. Y si ademas ` ⊂ Π[N] tendremos un haz de rectas

que coinciden en un punto.


Por ultimo, recordemos que dos circunferencias generalizadas con ecuaciones

respectivas A(X) = 0 y B(X) = 0 son ortogonales si y solo si sus coeficientes cumplen

que:

A • B− 1

2(a3b4 + a4b3) = 0

Reordenando la ecuacion:

A • B +

(a3 − a4

2

)(b3 − b4

2

)−(a3 + a4

2

)(b3 + b4

2

)= 0

Pero esto es equivalente a pedir que los puntos [A] = [A : a3−a42

: a3+a42

] y

[B] = [B : b3−b42

: b3+b42

] sean conjugados.

Tenemos entonces que dos circunferencias generalizadas son ortogonales si y solo si

los puntos de P3 que las representan son conjugados.

A raız de esto podemos afirmar que si ` es la recta proyectiva asociada al haz de

circunferencias generalizadas F entonces `# representara al conjunto de circunferencias

generalizadas ortogonales a F (denotad F⊥). Y de las relaciones de incidencia entre `

y `# demostradas en las proposiciones 4.6 y 4.7 se sigue inmediatamente que:

- F⊥ es tambien un haz de circunferencias generalizadas.

-(F⊥)⊥

= F .

- Si F es un haz tangente, F⊥ sera un haz tangente; si todos los elementos de Fse cortan en dos puntos, los elementos de F⊥ no se tocaran; y si los elementos de

F no se intersecan, los elementos de F⊥ se cortaran en dos puntos.


4.6. Accion del grupo de Mobius

En la seccion 2.7 hemos demostrado que a medida que una circunferencia se va

expandiendo hasta asemejarse a una recta, la inversion con respecto a ella va tomando la

forma de una reflexion. Con esto definimos el grupo de Mobius de R2 (o grupo conforme)

como el generado por las inversiones sobre circunferencias y las reflexiones sobre rectas

del plano. Por ultimo concluimos que cada elemento del grupo puede escribirse como

composicion finita de:

- Transformaciones ortogonales (reflexiones y rotaciones).

- Homotecias.

- Traslaciones.

- Inversion unitaria (respecto a la circunferencia unitaria centrada en el origen).

A continuacion veremos como cada una de estas transformaciones puede identificarse

con un elemento del grupo de transformaciones proyectivas de P3, por lo que tendra una

matriz asociada (recordemos que el grupo de transformaciones proyectivas de P3 viene

dado por GL(4)∼ con: M ∼M ′ ⇔ ∃λ 6= 0 : M = λM ′).

Como ya sabemos de que forma actuan estas transformaciones sobre los puntos

de R2, basta entonces fijar los punto de P3 que estan sobre Φ r [N], pasar a R22

mediante la identificacion if−1, ver que forma tienen los puntos imagen (en R2) bajo la

transformacion y tomar en P3 (de hecho, en Φr [N]) los puntos asociado a estos ultimos

mediante if


Si T : R2 → R2 es una de las transformaciones que generan el grupo de Mobius,

entonces al componer:

if ◦ T ◦ if−1

sabremos como actua el grupo de Mobius en los puntos de la cuadrica y al hallar la

matriz asociada a esta composicion podemos extenderlo a todos los puntos del modelo

proyectivo.

Veamos entonces cual es la transformacion proyectiva de P3 asociada a cada una de

las transformaciones generadoras del grupo de Mobius de R2:

- Si T es una transformacion ortogonal, entonces existe una matriz ortogonal M de

orden 2x2 tal que:

X′ = T (X) = MX

Y satisface ademas:

X′2

= X2

Llamemos M a la matriz de orden 4 × 4 en P3 asociada a la transformacion T

(de hecho, todas las matrices de la forma λM con λ 6= 0 estaran asociadas a T ,

pero basta solo con tomar una). Entonces se cumple que:

M ·[X :

X2 − 1

2:

X2 + 1

2

]t=

[X′ :

X′2 − 1

2:

X′2 + 1

2

]t


Pero esto es equivalente a:

M ·[X :

X2 − 1

2:

X2 + 1

2

]t=

[MX :

X2 − 1

2:

X2 + 1

2

]t

Ası, es evidente que:

M =

(M 02×2

02×2 I2×2

)

- Si T es una homotecia de razon k ( k ∈ Rr {0} ), tenemos:

X′ = T (X) = kX

Llamemos M a la matriz de orden 4 × 4 en P3 asociada a la transformacion T .

Entonces:

M ·[X :

X2 − 1

2:

X2 + 1

2

]t=

[X′ :

X′2 − 1

2:

X′2 + 1

2

]t

Es decir:

M ·[X :

X2 − 1

2:

X2 + 1

2

]t=

[kX :

k2X2 − 1

2:k2X2 + 1

2

]t

Y haciendo unos calculos sencillos es facil comprobar que:

M =

(I2×2 02×2

02×2 H

)


donde H es una matriz de orden 2× 2 que satisface:

H ·(

X2 − 1

2,X2 + 1

2

)t=

(k2X2 − 1

2,k2X2 + 1

2

)t

Y al resolver el sistema no lineal de orden 4 para hallar los coeficientes de H

obtenemos:

H =

(k2+12

k2−12

k2−12

k2+12

)

- Si T es una traslacion por el vector V ∈ R2, tenemos:

X′ = T (X) = X + V

Llamemos M a la matriz de orden 4× 4 en P3 asociada T . Entonces:

M ·[X :

X2 − 1

2:

X2 + 1

2

]t=

[X + V :

(X + V)2 − 1

2:

(X + V)2 + 1

2

]t

Es decir:

M·[X :

X2 − 1

2:

X2 + 1

2

]t=

[X + V :

X2 + 2X • V + V2 − 1

2:

X2 + 2X • V + V2 + 1

2

]t


Si X y V tienen coordenadas respectivas(xy

)y(vw

), tenemos:

M ·

x

yx2+y2−1

2x2+y2+1

2

=

x+ v

y + wx2+y2−1+2xv+2yw+v2+w2

2x2+y2−1+2xv+2yw+v2+w2

2

Y al hacer los calculos respectivos nos queda:

M =

1 0 −v v

0 1 −w w

v w 1− v2+w2

2v2+w2

2

v w −v2+w2

21 + v2+w2

2

- Por ultimo, si T es la inversion unitaria tenemos:

X′ = T (X) =X

X2

Sea M a la matriz de orden 4×4 en P3 asociada a la transformacion T . Entonces:

M ·[X :

X2 − 1

2:

X2 + 1

2

]t=

[X

X2:

(XX2

)2 − 1

2:

(XX2

)2+ 1

2

]t

Pero esto es equivalente a:

M ·[X :

X2 − 1

2:

X2 + 1

2

]t=

[X :

1− X2

2:

1 + X2

2

]t


Ası:

M =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 1

Entonces podemos afirmar que el grupo de Mobius de R2 esta asociado en nuestro

modelo proyectivo al subgrupo de transformaciones proyectivas generado por las

matrices: a b 0 0

c d 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

:

a2 + c2 = 1

b2 + d2 = 1

ab+ cd = 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 k2+12

k2−12

0 0 k2−12

k2+12

: k 6= 0

1 0 −v v

0 1 −w w

v w 1− v2+w2

2v2+w2

2

v w −v2+w2

21 + v2+w2

2

:(vw

)∈ R2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 1

Conclusiones

121

Bibliografıa

[1] Richard E. Pfiefer “Circles, vectors and linear algebra”, Mathematics magazine,

Vol. 66, Numero 2, 1999. New York.

[2] Jean-Marie Becker “A new geometrical approach for new Hough-like transform”,

Vision geometry VII, Vol. 3454, Octubre 1998. California.

[3] Jerzy Kocik “A theorem on circles configurations”, [e-prints] arXiv: 0706.0372,

Junio 2007. Illinois.

[4] S. Grousson “Modeles geometriques pour de nouvelles interpretations en imagerie”,

Universidad de Saint-Etienne, Tesis Doctoral, Francia 2002.

[5] M. D. Sondesa “Metodologıa proyectiva en espacios no convencionales: Aplicacion

al plano cıclico”, Universidad Politecnica de Madrid, Tesis Doctoral, Espana 1996.

[6] D. Pedoe “Circles: A mathematical view”, Dover Publications, New York 1979.

[7] R. Donot “Etude elementaire de la parataxie et des cyclides”, Librairie Vuibert,

Paris 1945.

[8] M. Audin “Geometry”, Espringer, France 2002.

[9] I. Shafarevich, A. Remizov“Linear Algebra and Geometry”, Springer-Verlag, Berlin

2010.

[10] H. S. M. Coxeter“The real projective plane”, Springer-Verlag, New York 1993.

123

TEG Sandra

Documents

Transcript of TEG Sandra