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Cálculos de potencia

Temario

Potencia y EnergíaPotencia Instantánea

Energía 

Potencia media (activa)

Ejemplo: En la figura siguiente se muestran las formas de la tensión aplicada y la corriente que circula por un determinado componente pasivo. Determinar la potencia instantánea, la energía absorbida y la potencia media.

p t =v t . i t Watios p0=potencia absorbidap0=potencia entregada

W=∫t 1

t 2

p t dt Julios

Pmedia=1T∫t 0

t 0T

p t dt P=WT

Potencia y EnergíaSolución:

La potencia instantánea sería

como en la figura.

La energía absorbida la 

calcularemos:

La potencia media sería 

W=∫0

T

p t dt=∫0

6 ms

400 dt ∫6 ms

10 ms

−300 dt ∫10 ms

20 ms

0 dt=1,2 J

P=WT=

1,2 J20 ms

=60W

Bobinas y CondensadoresEnergía almacenada en una bobina

Potencia media absorbida por una bobina 

La potencia instantánea no es 0

La tensión media también es 0 

Energía almacenada en un condensador 

Potencia media absorbida por un condensador 

La potencia instantánea no es 0

La intensidad media es 0 

w t =12

. L.i2 t

PL=0

V L=1T∫t 0

t 0T

vL t dt=0

w t =12

.C .v2 t

PC=0

IC=1T∫t 0

t 0T

iC t =0

Bobinas y CondensadoresEjemplo: La corriente que circula por la bobina del circuito es la onda triangular representada. Determinar la tensión, potencia instantánea y la potencia media.

Bobinas y CondensadoresSolución:

Tensión

Potencia instantánea 

Potencia media = 0

vL=Ldidt

p t =v t . i t

Recuperación de la EnergíaCircuito para alimentar una bobina:

El Transistor se encargará de conectar y desconectar la alimentación a la carga

Recuperación de la EnergíaCorriente que circula por la bobina y por el transistor:

Recuperación de la EnergíaIntervalo 0 a t1:

Intervalo t1 a T:

Potencia media entregada por la fuente de corriente continua:

V L=V CC

iL t = 1L∫0

t

vL ƛ d ƛiL 0 = 1L∫0

t

V CC d ƛ0=V CC . t

L

iL t1 =V CC t1

L

iL=V CC t1

L .e−t−t 1

donde =LR

P=V CC .[ 1T∫0

T

i t dt ]=V CC .[ 1T∫0

t 1 V CC t

L dt1T∫t 1

T

0 dt ]= V CC t1 2

2. L.T

Recuperación de la Energía

Otro método, con dos transistores:

Las dos bases no están conectadas

directamente.

Están activados desde 0

hasta t1

Recuperación de la EnergíaIntervalo de 0 hasta t1. La tensión en la bobina es la misma que la de la fuente.

Intervalo desde t1 hasta T

La corriente media es 0 por lo que la Potencia media es 0 también.

V L=V CC

iL t = 1L∫0

t

vL ƛ d ƛiL 0 = 1L∫0

t

V CC d ƛ0=V CC . t

L

vL=−V CC

iL t = 1L∫t 1

t

vL diL t1 =1L∫t 1

t

−V CC dV CC . t1

L=V CC

L [ t1−t t1 ]

iL t =V CC

L 2 t1−t

Recuperación de la EnergíaProblema. El circuito de la transparencia 8 tiene las siguientes características:

* Vcc = 100V, L=100mH, R=10, t1=10ms, T=100ms

Calcular:

• Corriente de pico.

• Energía acumulada en la bobina.

• Potencia media absorbida por la resistencia.

• Potencia media y de pico suministrada por la fuente.

• Comparar los resultados aplicándolo al circuito de la transparencia 11

Valor EficazTambién conocido como valor cuadrático medio.

Se basa en la potencia media entregada a una resistencia:

Obteniéndose la siguiente expresión:

P=1T∫0

T

v t i t dt=1T∫0

T v2 t R

dt=1R [ 1

T∫0

T

v2 t dt ]P=

V CC2

R

P=V ef

2

R

V ef=V rms= 1T∫0

T

v2 t dt

Valor EficazDetermine el valor eficaz de una señal de pulso como la de la figura:

V rms= 1T∫0

DT

V m2 dt∫

DT

T

02= 1T

V m2 DT =V mD

Valor EficazDeterminar los valores eficaces de una forma de onda:

a) senoidal y

b) rectificación de onda completa

c) rectificación de media onda.

V rms= 1T∫0

T

V m2 sen2 t dt=

V m

2

V rms= 12. ∫

0

V m2 sen2 t ∫

2.

02 d t V rms=1

2 12 ∫0

2

V m2 sen2 t d t

V rms=V m

2

Valor EficazCorriente por el conductor neutro en un sistema trifásico.

Unas oficinas se alimentan con una red trifásica. La carga no es lineal debido a las fuentes de alimentación de los ordenadores. Las corrientes se muestran en la figura. La corriente del neutro es la suma de las corrientes de fase. 

Valor EficazSolución: En el caso de que las tres corrientes sean iguales (en módulo), podríamos calcular la corriente por el neutro de la siguiente forma.

Observe que la corriente eficaz por el neutro es mayor que por cualquiera de las fases, lo cual es muy diferente a lo que ocurriría si la carga fuera lineal.

El valor eficaz de dos tensiones periódicas podríamos determinarlo a partir de...

El producto de v1 con v2 es 0 si son ortogonales, quedándosenos...

Si generalizamos, tendremos...

I N ,rms= 1T∫0

T

iN2 t dt=3 I R ,rms

V rms2 =

1T∫0

T

v1v2 2dt=

1T ∫0

T

v12 dt∫

0

T

2 v1 v2 dt∫0

T

v22 dt

V rms=V 1,rms2 V 2,rms

2

V rms=∑n=1

N

V N ,rms2

Valor EficazSupongamos ahora dos señales senoidales sumadas:

Calculemos el valor eficaz cuando:

1.­ Cuando las senoides tienen frecuencias diferentes, los términos son ortogonales:

2.­ Cuando las frecuencias son iguales, debemos combinar las ecuaciones mediante suma de fasores:

Con lo que el valor eficaz sería...

v t =48 sen 1 t10º 5 sen 2 t50º

1.− 2=21

2.− 2=1

V rms=42 8

2 2

5

2 2

=7,8V

8∢10º5∢50º=12,3∢25,2ºV

V rms=42 12,3

2 2

=9,57V

Valor EficazSeñales triangulares. Supongamos unas señales como las de la figura.

Calcular la corriente eficaz de la forma de onda a

Sol:

Calcular la corriente eficaz de la forma de onda b

i t =[2 I m

t1

t−I m 0tt1

−2 I m

T−t1

tI m Tt1 T−t1

t1tT ]I rms

2 =1T [∫0t 1 2 I m

t1

−I m2

dt∫t 1

T −2 I m

T−t1

I m Tt1

T−t1

2

dt ]I rms=

I m

3

I rms= I 1,rms2 I 2,rms

2 = 2

3 2

32=3,22 A

Potencia aparente y factor de potenciaPotencia aparente  S es la magnitud de la potencia compleja .

Factor de potencia: Es el coeficiente de la potencia media y la potencia aparente.

En el caso particular en que se usen señales senoidales, lo anterior daría lugar a:

Donde ϕ es el ángulo de fase entre las señales senoidales de tensión y de corriente.

S=V rms I rms

fp=PS=

PV rms I rms

fp=cos

Cálculos de potencia en alterna.Cálculo de potencia con señales senoidales:

La potencia media es:

La potencia reactiva sería:

Y la potencia compleja: 

Que, en módulo, sería: 

v t =V m cos t i t =I m cos t p t =[V m cos t ] [ I m cos t ]p t =V m I m

2 [cos 2 t cos − ]

P=1T∫0

T

pt dt=V m I m

2T ∫0

T

[cos 2 t cos − ]dt=V m I m

2 cos − =V rms I rms cos −

Q=V rms I rms sen −

S=P j Q

∣S∣=P2Q2

Cálculos de potencia en alterna.Cálculo de potencia en señales no senoidales. Las series de Fourier pueden ayudar. La serie de Fourier de cualquier función periódica puede expresarse:

Y el valor eficaz sería:

f t =a0∑n=1

∞

[an cos n0 t bn sen n0 t ]

a0=1T∫−T2

T2

f t dt

an=2T∫−T2

T2

f t cos n0 t dt

bn=2T∫−T2

T2

f t sen n0 t dt

también

f t =a0∑n=1

∞

an2bn

2 sen n0 tarc tan an

bn

F rms=a02∑

n=1

∞ an2bn

2

2 2

Cálculos de potencia en alterna.Potencia media. Es la suma de las potencias para las frecuencias contenidas en las series de Fourier.

P=∑n=0

∞

Pn=V 0 ¿ I 0∑n=0

∞

V n ,rms I n ,rms cos n−n ó

P=V 0 I 0∑n=0

∞ V n , máx I n , máx

2 cos n−n

Cálculos de potencia en alterna.Factor de distorsión.  Es el cociente entre el valor eficaz a la frecuencia fundamental y el valor eficaz total.

Representa la reducción del factor de potencia debido a la propiedad no senoidal de la corriente, con lo que el factor de potencia sería:

Distorsión Armónica. Es la relación entre el valor eficaz de todos los términos correspondientes a las frecuencias distintas de la fundamental y el valor eficaz del término correspondiente a la frecuencia fundamental:

Otras relaciones:

FD=I 1,rms

I rms

fp=[cos 1−1 ]FD

DAT=∑n≠1

I n ,rms2

I 1,rms2 = I rms

2 −I 1,rms2

I 1,rms2

FD= 1

1DAT 2S=P2Q2D2 donde D=

V 1

2 ∑n≠1

∞

I n2 ; factor de forma=

I rms

I med

; factor de pico=I pico

I rms