1º I.T.I. : 1º I.T.I. : MECANICA IMECANICA I

Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALESDepartamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

TEMA Nº 2: TEMA Nº 2: ESTÁTICAESTÁTICA

SISTEMAS DE FUERZAS CONCURRENTESSISTEMAS DE FUERZAS CONCURRENTES

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IndiceIndice

Punto 2.1 Introducción Punto 2.2 Las Fuerzas y sus características

Punto 2.2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Punto 2.2.2 Principio de transmisibilidad Punto 2.2.3 Clasificación de las fuerzas Punto 2.2.4 Diagramas de sólido libre

Punto 2.3 Resultante de dos Fuerzas Concurrentes Punto 2.4 Resultante de tres o más fuerzas concurrentes Punto 2.5 Descomposición de una Fuerza en componentes Punto 2.6 Componentes rectangulares de una Fuerza. Punto 2.7 Resultantes por componentes rectangulares.

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2.1 Introducción

La fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro debida al contacto físico directo entre los cuerpos o debido a una acción a distancia como puede ser el efecto gravitatorio, eléctrico o magnético entre cuerpos separados.

La fuerza que se ejerce sobre un cuerpo tiene sobre él dos efectos:

• Uno exterior, la tendencia a cambiar su movimiento• Otro interior, la tendencia a deformarlo. (Si suponemos que no se deforma el cuerpo es rígido)

Si un sistema de fuerzas (varias fuerzas) aplicado a un cuerpo no da lugar a ningún efecto exterior, se dice que está equilibrado y el cuerpo está en equilibrio. Si no es así y el sistema no está equilibrado y tiene una resultante, el cuerpo deberá experimentar un cambio en su movimiento.

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Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si producen el mismo efecto exterior cuando se apliquen, uno u otro, a un cuerpo dado. La resultante de un sistema de fuerzas, obtenida por composición de fuerzas, es el sistema equivalente más sencillo al que se puede reducir el sistema original.

El proceso de desarrollar una fuerza o sistema de fuerzas dando otro equivalente menos sencillo se llama descomposición. Así pues, llamaremos componente de una fuerza a una de las dos o más fuerzas en las que puede descomponerse la fuerza dada.

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2.2 Las Fuerzas y sus características

Las características o propie-dades necesarias para describir una fuerza son:

1.   Módulo (Intensidad de la fuerza, Unidad: N o kN)

2. Dirección y sentido (la del segmento orientado que se utiliza para representarla)

3.   Punto de aplicación (punto de contacto entre los dos cuerpos)

Dos Dimensiones Tres Dimensiones

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Concepto a tener en cuenta:

Recta soporte o línea de acción: recta que pasa por el punto de aplicación y tiene la dirección de la fuerza.

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2.2.1 Magnitudes escalares y vectoriales

Las magnitudes escalares son aquellas que quedan completamente descritas por un número. (Ej.- masa, densidad, longitud, área, volumen, energía, tiempo, temperatura, etc.)Las magnitudes vectoriales tienen módulo, dirección y sentido y obedecen la regla de adición del paralelogramo. (Ej.- fuerza, momento, despla-zamiento, velocidad, aceleración, impulso, cantidad de movimiento, etc.).

Los vectores pueden clasificarse en tres tipos:1. Libres. Tiene módulo, dirección y sentido definidos, pero su recta soporte no pasa por un punto definido en el espacio. Ej. Vector , 2. Deslizantes. Tiene módulo, dirección y sentido específicos y su recta soporte pasa por un punto definido en el espacio. El punto de aplicación de este vector puede ser cualquiera de su recta soporte. Ej. Cuerda que tira de un peso arrastrado. 3. Fijos. Tiene módulo, dirección, sentido y punto de aplicación definido.

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2.2.2 Principio de transmisibilidad

Este principio dice que el efecto exterior de una fuerza sobre un cuerpo rígido es el mismo para todos los puntos de aplicación de la fuerza a lo largo de su recta soporte.

Así podemos tratar a las fuerzas como vectores deslizantes. En cambio, el efecto interior de una fuerza (esfuerzo y deformación) puede verse muy influido si varía el punto de aplicación de la fuerza a lo largo de su recta soporte.

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2.2.3 Clasificación de las fuerzas

1.   Fuerzas de contacto o de superficie. (Ej.- empuje o tracción por medio mecánicos)2.   Fuerzas másicas o de acción a distancia (Ej.- efecto de la gravedad)

Fuerza distribuida, aplicada sobre una longitud o superficie, (Ej.- peso)

Fuerza concentrada (toda fuerza aplicada sobre un área pequeña comparado con el elemento cargado)

En función de la interacción:

Atendiendo a la zona sobre la cual actúan:

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Además, un sistema de fuerzas constituido por dos o más fuerzas puede ser:

1.   Monodimensional. (colineal, con recta soporte común)

2. Bidimensional. (coplanario, caso particular: fuerzas paralelas)

3.   Tridimensional. 

Un sistema de fuerzas es concurrente cuando las rectas soporte de todas las fuerzas se corten en un punto común.

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2.2.4 Diagramas de sólido libre

Dibujo cuidadosamente preparado que muestre el cuerpo de interés separado de los demás cuerpos que interactúan sobre él y en el cual figuren todas las fuerzas aplicadas exteriormente a dicho cuerpo. 

Etapas en el trazado de un diagrama de sólido libre:

1.   Decidir qué cuerpo o parte de un cuerpo o grupo de cuerpos hay que aislar y analizar. Preparar un esquema del contorno exterior del cuerpo seleccionado.

2.  Representar todas las fuerzas, conocidas y desconocidas, aplicadas por otros cuerpos al cuerpo aislado, mediante vectores en sus posiciones correctas. Si se desconoce el sentido de alguna de las fuerzas, se puede suponer y una vez finalizados los cálculos si sale positiva la fuerza tiene el sentido que se le supuso y viceversa (No válido para el rozamiento).

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2.3 Resultante de dos Fuerzas Concurrentes

Dos fuerzas concurrentes F1 y F2 que actúen sobre un cuerpo se pueden sustituir por una sola fuerza Resultante R, que producirá sobre el cuerpo el mismo efecto que las dos originales.

La suma se puede realizar de dos formas:

Gráficamente:Suma vectorial aplicando la regla del paralelogramo o la regla del triángulo

Matemáticamente:Ecuación vectorial: F1 + F2 = R = F2 + F1

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Los métodos gráficos exigen un dibujo a escala preciso si se quieren obtener resultados precisos.En la práctica se obtienen resultados numéricos utilizando métodos trigonométricos basados en los teoremas del seno y del coseno junto con el esquema del sistema de fuerzas.

En el triángulo de la figura siguiente el teorema del seno se expresa así:

sen

c

sen

b

sen

a

y el teorema del coseno se expresa así:

cos2222 abbac

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Problema 2.1Problema 2.1Determinar el módulo de R y el ángulo θ.

Anclaje

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2.4 Resultante de tres o más FuerzasConcurrentes

El método de la regla del paralelogramo o la regla del triángulo se puede extender a los casos de tres o más fuerzas concurrentes.

En definitiva, se construyen polígonos de fuerzas dando igual el orden en que sumemos las fuerzas. Ejemplo:

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Si tenemos más de tres fuerzas colocamos una fuerza a continuación de la otra obteniendo como resultante el lado de cierre del polígono.

Dado que este método es laborioso, en la práctica se utiliza el método de las componentes rectangulares.

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2.5 Descomposición de una Fuerza en componentes

Así como podemos sumar dos o más fuerzas para obtener una resultante, una fuerza se puede sustituir por un sistema de dos o más fuerzas (componentes de la original).

El proceso de descomposición no da un conjunto único de componentes vectoriales.

En la resolución de muchos problemas prácticos no es corriente utilizar componentes oblicuas de una fuerza pero si es habitual el empleo de componentes ortogonales (rectangulares).

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Problema 2.2Problema 2.2Determinar las magnitudes de las componentes u y v de la fuerza de 900 N de la figura.

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Problema 2.3Problema 2.3Determinar el módulo de F2 y el ángulo a que forma la recta soporte de la fuerza F2 con el eje x.

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2.6 Componentes rectangulares de una Fuerza

En el caso bidimensional el proceso de obtención de componentes rectangulares es muy sencillo ya que el triángulo que aparece es un triángulo rectángulo y solo hay que aplicar Pitágoras.

En forma vectorial cartesiana podemos escribir:F = Fx + Fy = Fx i +Fy j

Donde:cos.FFx

senFFy .22

yx FFF

x

y

F

Farc tan

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En casos tridimensionales, una fuerza F en el espacio se puede descomponer en tres componentes rectangulares mutuamente ortogonales.

F = Fx + Fy + Fz

F = Fx i +Fy j + Fz k

F = F xcos i + F ycos j + F zcos k

Donde: xx FF cos.

yy FF cos.

zz FF cos.

222zyx FFFF

F

Fxx arccos

F

Fyy arccos

F

Fzz arccos

x2cos +y2cos+ z2cos = 1

Los cosenos directores deben cumplir la relación:

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Si un ángulo es mayor que 90º, su coseno es negativo, lo que indica que el sentido de la componente es opuesto al sentido positivo del eje de coordenadas correspondiente.

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La componente rectangular Fn de una fuerza F según una dirección arbitraria n se puede obtener utilizando el producto escalar y el vector en (vector unitario según la dirección n), así:

Fn = F . en = (Fx i + Fy j + Fz k) . en =

(Fx i + Fy j + Fz k) . ( ´cos x i + ´cos y j + ´cos z k) =

Fx ´cos x + Fy

´cos y + Fz ´cos z =

F ( xcos ´cos x + ycos ´cos y + zcos ´cos z )

Vectorialmente:Fn = Fn en = (F . en) en = Fn (

´cos x i + ´cos y j + ´cos z k)

F

Fnarccos

El ángulo que forma la recta soporte de la fuerza F con la dirección n se puede determinar así:

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Problema 2.4Problema 2.4a) Determinar las componentes x e y de la fuerza de la figura.b) Determinar las componentes x´ e y´ de la fuerza de la figura.c) Expresar F en forma vectorial cartesiana para los ejes xy y x´y´

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Problema 2.5Problema 2.5a) Determinar las componentes x, y y z de la fuerza de la figura.b) Expresar F en forma vectorial cartesiana.

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Problema 2.6Problema 2.6a) Determinar los ángulos θx, θy y θz que forma la Fuerza con los ejes.b) Determinar las componentes x, y y z de la fuerza.c) Determinar la componente rectangular Fn de la fuerza según la

recta OA.

- - 2727 - -

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2.7 Resultantes por componentes rectangulares

Rx = Fx = F1x + F2x + F3x + …+ Fnx = (F1x + F2x + F3x + …+ Fnx) i = Rx i

Ry = Fy = F1y + F2y + F3y + …+ Fny = (F1y + F2y + F3y + …+ Fny) j = Ry j

En el caso de un sistema cualquiera de fuerzas coplanarias concurrentes y tras determinar las componentes rectangulares de todas las fuerzas, tenemos:

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Y según la regla del paralelogramo:

R = Rx + Ry = Rx i + Ry j

El módulo de R se calcula aplicando Pitágoras:

22yx RRR

Además, el ángulo que forma la recta soporte de R con el eje x es:

x

yx R

Rarctan ó

R

Rxx arccos ó

R

Ryarcsenx

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En el caso general de tres o más fuerzas concurrentes en el espacio y tras obtener sus componentes rectangulares, se tiene:

Fx = F1x + F2x + F3x + …+ Fnx = (F1x + F2x + F3x + …+ Fnx) i = Rx i

Fy = F1y + F2y + F3y + …+ Fny = (F1y + F2y + F3y + …+ Fny) j = Ry j

Fz = F1z + F2z + F3z + …+ Fnz = (F1z + F2z + F3z + …+ Fnz) k = Rz k

Rx =

Ry =

Rz =

R = Rx + Ry + Rz = Rx i + Ry j + Rz k

El módulo de R se calcula así: 222zyx RRRR

R

Rxx arccos

R

Ryy arccos

R

Rzz arccos

Los ángulos que forma R con los semiejes de coordenadas positivos son:

- - 3030 - -

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Problema 2.7Problema 2.7Determinar el módulo R de la resultante de las cuatro fuerzas y el ángulo θx que forma su recta soporte con el eje x.

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Problema 2.8Problema 2.8

Determinar el módulo R de la resultante de las tres fuerzas y los ángulos θx, θy y θz que forma la recta soporte de la Resultante con los semiejes positivos de coorde-nadas x, y y z.

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Problema 2.9Problema 2.9Determinar el módulo R de la resultante de las tres fuerzas y los ángulos θx, θy y θz que forma la recta soporte de la Resultante con los semiejes positivos de coorde-nadas x, y y z.