TEMA 07 LEYES DE NEWTON - Cursos de Física “movere” (mover) y en la mecánica de Newton está...

TEMA 07LEYES DE NEWTON

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Prof. Ricardo Nitsche Corvalán

7.1.- CONCEPTOS BÁSICOS.

7.1.1.- La Cantidad de Movimiento (Momentum Lineal).

Cuando se estudia el movimiento en cinemática, para describir el tipo de

movimiento basta conocer la velocidad y la aceleración del cuerpo. Pero para

definir las causas del movimiento estas dos cantidades no bastan. Una de las

nuevas cantidades es la cantidad de movimiento, también llamada

momentum lineal entre los latinos de este lado del charco o Ímpetu en

España.

Los antiguos pensaban que los cuerpos conservaban el movimiento; así

como el calor se conservaba algún tiempo después en las cenizas, aún cuando

las brazas ya se hubieran apagado. La palabra momentum deriva de la palabra

latina “movere” (mover) y en la mecánica de Newton está relacionada con dos

cantidades físicas: masa y velocidad.

La idea es la siguiente si una mosca se

mueve a 10 m/s y un camión también,

ambos tiene igual rapidez (velocidad);

pero ¿usted a cuál de ambos (mosca

o camión) se atrevería a detener con

la mano?.

Su respuesta es lo que lleva a definir una magnitud que fuera proporcional

tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad, la hoy conocida CantidadCantidadCantidadCantidad

de Movimiento o de Movimiento o de Movimiento o de Movimiento o MomentumMomentumMomentumMomentum líneal:líneal:líneal:líneal:

→ p = m $

→ v

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7.1.2.- El Concepto de Fuerza.

La fuerza se define como una medida de la interacción entre

dos o más cuerpos. Recordemos que la física es la ciencia que estudia las

interacciones. Pero ¿Qué es una interacción?. Pongamos un ejemplo simple;

supongamos que Andrés va muy tranquilo por la calle caminando, y

repentinamente se escucha el silbato (pito) de un carro, si Andrés se detiene y

busca la fuente del sonido ha ocurrido una interacción; si sigue caminando pero

aún así gira la cabeza para buscar la fuente del sonido, podemos decir que ha

ocurrido una interacción, en menor grado que la anterior ya que siguió

caminando, pero ha interactuado con el sonido que lo ha perturbado; cuando

Andrés continua caminando sin haberse molestado en siguiera mirar, entonces

podemos señalar que no ha ocurrido una interacción. Claro que siempre queda

la posibilidad de que Andrés sea sordo, pero la idea sigue siendo la misma.

Ocurre una interacción cuando un objeto que se mueve muestra unOcurre una interacción cuando un objeto que se mueve muestra unOcurre una interacción cuando un objeto que se mueve muestra unOcurre una interacción cuando un objeto que se mueve muestra un

cambio en su condición de movimiento.cambio en su condición de movimiento.cambio en su condición de movimiento.cambio en su condición de movimiento. Si la condición de movimiento es

establecida por el momentum lineal, entonces la fuerza viene dada como el

cambio de esa condición en un intervalo de tiempo; cuán rápido ocurre el

cambio del movimiento durante la interacción es la medida de la fuerza.

→ F =

→ dpdtd

→ F = m $

→ dvdtd

→ F = m $

→ a

Cuando se golpea una pelota esta cambia su

movimiento; la fuerza aplicada ocurrió en un

diferencial de tiempo (intervalo de tiempo muy

corto), pero el cambio de movimiento de la

pelota fue evidente. La fuerza aplicada en esta

situación se conoce como fuerza impulsiva.

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La variación de la cantidad de movimiento ante una fuerza impulsiva es lo

que se define actualmente como ímpetu:

→ I =

→ �p = ¶

→ F $ dt l

→ F $ �t

Determinamos las velocidades inicial y final:

→ v i = −10m/s $ i→ v f = 30m/s $ cos(30o ) $ i + 30m/s $ sen(30o ) $ j

→ v f = 26m/s $ i + 15m/s $ j

Determinamos el ímpetu que experimentó la pelota:

→ I =

→ �p = →

p f − → p i = m $

→ v f −m $→

v i→ I =

→ �p = 0,14kg $ 26m/s $ i + 15m/s $ j − 0,14kg $ −10m/s $ i

→ I =

→ �p = 3,64kg $m/s $ i + 2,10kg $m/s $ j + 1,40kg $m/s $ i

→ I =

→ �p = 5,04kg $m/s $ i + 2,10kg $m/s $ j

→ I =

→ �p =

5,46kg $m/s15o sobre la horizontal

Ejemplo 7.1.- Una pelota de béisbol 140 gr es lanzada por el lanzador haciael bateador con una rapidez de 10 m/s horizontalmente; el bateador golpea lapelota y esta voltea de sentido y viaja ahora a 30 m/s formado un ángulo conla horizontal. ¿Cuál es el ímpetu que experimentó la pelota?; y ¿Cuál es lamagnitud de la fuerza impulsiva si el tiempo del impacto fue de 0,2 seg?

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La fuerza impulsiva es por tanto:

→ F =

→ �p�t

=5,04kg $m/s $ i + 2,10kg $m/s $ j

0,2s= 25,2N $ i + 7,0N $ j

→ F =

27,3N

15o sobre la horizontal

Ejercicio propuesto 7.1.- Una pelota cae a la tierra desde una altura de 20 m; si tras chocar contra el piso rebota nuevamente y alcanza una altura de15 m. Determinar cuál fue el ímpetu que experimentó la pelota y la fuerza querecibió en el impacto si el contacto con el piso duró 0,1 s. La masa de lapelota es de 200 gr.

7.2.- LEYES DEL MOVIMIENTO PARA UNA PARTÍCULA.

7.2.1.- Ley de la Masa (2° ley).

El movimiento fue estudiado desde muy antiguo; los griegos asumían que

los cuerpos se movían sólo porque sobre ellos actuaba una fuerza. Cuando un

cuerpo era lanzado, ya no era evidente la fuerza que lo impulsó; por ello los

griegos suponían que los cuerpos (como si fueran una pila) conservaban ese

impulso hasta que se les acababa. Esta idea que viene desde la época de

Aristóteles fue modificada en el siglo XVI, y pasaron casi dos milenios antes de

que se refutara la idea.

El primero que la refutó fue Galileo y luego sus experiencias fueron la base

para que Isaac Newton formulara las leyes del movimiento. La segunda ley ya la

hemos explicado al definir que es una fuerza. En una partícula de masa constante

debe ocurrir:

→ F = m $

→ a

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La segunda ley señala: Si sobre un cuerpo actúa una fuerza, el cuerpoSi sobre un cuerpo actúa una fuerza, el cuerpoSi sobre un cuerpo actúa una fuerza, el cuerpoSi sobre un cuerpo actúa una fuerza, el cuerpo

varia su movimiento, acelera, varia su movimiento, acelera, varia su movimiento, acelera, varia su movimiento, acelera, desaceleradesaceleradesaceleradesacelera o varia su trayectoria; cuanto mayor o varia su trayectoria; cuanto mayor o varia su trayectoria; cuanto mayor o varia su trayectoria; cuanto mayor

es la fuerza, mayor es el cambio de su movimientoes la fuerza, mayor es el cambio de su movimientoes la fuerza, mayor es el cambio de su movimientoes la fuerza, mayor es el cambio de su movimiento .

La masa surge en este punto como una

constante de proporción entre la fuerza que

se aplica sobre el cuerpo y la aceleración

que experimenta el mismo. A mayor masa,

se requiere mayor fuerza para acelerar un

cuerpo.

7.2.2.- Ley de la Inercia (1° ley).

Aunque parezca contradictorio empezar con la segunda ley, lo cierto es

que la primera es un caso particular de la segunda. La primera ley establece que

si sobre un cuerpo la suma de las fuerzas que actúan sobre el mismo es nula;si sobre un cuerpo la suma de las fuerzas que actúan sobre el mismo es nula;si sobre un cuerpo la suma de las fuerzas que actúan sobre el mismo es nula;si sobre un cuerpo la suma de las fuerzas que actúan sobre el mismo es nula;

entonces el cuerpo se encuentra en reposo o con movimiento rectilíneoentonces el cuerpo se encuentra en reposo o con movimiento rectilíneoentonces el cuerpo se encuentra en reposo o con movimiento rectilíneoentonces el cuerpo se encuentra en reposo o con movimiento rectilíneo

uniformeuniformeuniformeuniforme. Se indica que si una partícula que no interactua con el resto del

universo, entonces la partícula se conoce con el nombre de partícula librepartícula librepartícula librepartícula libre .

→ F =

→ 0 d

→ p = m $

→ v = constante

7.2.3.- Ley de Acción y Reacción (3° ley).

En las matemáticas existen condiciones que se consideran axiomasaxiomasaxiomasaxiomas, esto es

una regla que no puede ser demostrada. Algo similar ocurre con la tercera ley. Es

base de otras leyes y como veremos más adelante resurge de esas leyes que ella

misma propone. Si cambiáramos esta ley, ello cambiaría todas las reglas que

tiene la mecánica y por tanto creer en ella es más un acto de fe que de

demostración. Se acepta porque las predicciones de las tres leyes se cumplen en

la práctica.

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Si recordamos la imagen de la portada, el burro y el hombre se halan

mutuamente, como no se mueve ninguno, entonces la suma de ambas fuerzas

debe nula como lo señala la primera ley; así la tercera ley dice que lala tercera ley dice que lala tercera ley dice que lala tercera ley dice que la

interacción entre dos cuerpos es igual en magnitud y diinteracción entre dos cuerpos es igual en magnitud y diinteracción entre dos cuerpos es igual en magnitud y diinteracción entre dos cuerpos es igual en magnitud y dirrrrección pero conección pero conección pero conección pero con

sentidos contrariossentidos contrariossentidos contrariossentidos contrarios .

→ F en A por culpa de B = −

→ F en B por culpa de A

7.3.- LEYES DEL MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS.

7.3.1.- Centro de Masas.

Hasta el momento hemos trabajado con un solo cuerpo; que hemos

asumido carente de dimensiones (partícula). Pero los cuerpos están formado por

más de una partícula. Supongamos un conjunto de partículas, cada una tiene

una masa (mi ) y ocupa una posición con respecto a un sistema de coordenadas

( ). → r i

Se define como centro de masa aquella

posición que permite “transformar” todo el

sistema y equipararlo a una partícula cuya

masa será igual a la suma de las masas de

todo el conjunto.

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La ecuación correspondiente será para sistemas discretos (donde podemos

contar los objetos) la siguiente:

(�m i ) $→ rcm =� m i $

→ r i

(m1 +m2 +m3 + ...) $ → rcm = m1 $

→ r1 +m2 $

→ r2 +m3 $

→ r3 + ...

Aplicando la definición y ubicando los objetos a los largo de un mismo ejetenemos:

(m1 +m2 ) $ xcm = m1 $ x1 +m2 $ x2 d

xcm = m1 $ x1 +m2 $ x2m1 +m2

d

xcm =1,25 $ 1022kg $ 0km + 1,52 $ 1021kg $ 19570km

1,25 $ 1022kg + 1,52 $ 1021kg

xcm = 2122km.

Como el radio de Plutón es de 1195 km; el centro de masa del sistema seencuentra fuera del planeta enano, a diferencia de lo que ocurre entre la Tierray la Luna, ello fundamenta de que se trata de un sistema planetario doble.

Ejemplo 7.2. Pluton y Caronte forman un sistema binario donde ambosplanetas enanos giran respecto a un centro común; sabiendo que la masa dePlutón es de 1,25·1022 kg y la Caronte es 1,52·1021kg; la distancia entreambos es 19570 km. Determinar la distancia del centro de masa del sistemarespecto a Plutón.

a. Sea la masa de la Tierra igual a la unidad, y la luna tiene una masaochenta veces más pequeña que la tierra; siendo el radio de la Tierra6370 km y la luna gira a una distancia de 60 veces el radio de laTierra; demostrar que el centro de masas del sistema tierra luna seubica a unos 4700 km de centro del planeta.

Ejercicios Propuestos 7.2: Dado los siguientes problemas, determinar lascantidades que se indican:

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b. En un balancín usado para jugar se montan dos niños, sabiendo que ladistancia desde el centro del balancín a los asientos de los niños es de1,5 m a ambos lados del centro; y que los niños pesan respectivamente30 kgf y 65 kgf. Determinar la distancia que desde el centro delbalancín se ubica el centro de masas del sistema.

________Nota: En el sistema internacional la fuerza se mide en Newton Newton Newton Newton (N) y 1 N = 1kg·m/s2. Pero

existen otros sistemas, en el usado en ingeniería y en la vida cotidiana los pesos no se miden enNewton sino en kilogramos-fuerzas kilogramos-fuerzas kilogramos-fuerzas kilogramos-fuerzas (omitimos la palabra fuerza), en estos sistemas la masa deun cuerpo es igual a su peso solo si la aceleración es 9,8m/s2. Y en el caso del sistema ingles,la fuerza se mide en Libras;Libras;Libras;Libras; y la masa el libras-masalibras-masalibras-masalibras-masa cuando la aceleración es 32,2 pies/s2. Enotras circunstancias la masa se mide en slugslugslugslug; donde 1 libra = 1 slug·pie/s2.

7.3.2.- Segunda Ley para sistemas de Partículas

En este punto haremos un proceso de derivación, recordaremos que la

derivada de la posición respecto al tiempo es la velocidad; y la derivada de la

velocidad respecto al tiempo es la aceleración. Según esto debe ocurrir:

(�m i ) $→ rcm =� m i $

→ r i

(m1 +m2 +m3 + ...) $ → rcm = m1 $

→ r1 +m2 $

→ r2 +m3 $

→ r3 + ...

Derivando:

(�m i ) $→ vcm =� m i $

→ v i =�

→ p i

(m1 +m2 +m3 + ...) $ → vcm = m1 $

→ v1 +m2 $

→ v2 +m3 $

→ v3 + ... = →

p1 + → p2 + →

p3 + ...

Volviendo a derivar:

(�m i ) $→ acm =� m i $

→ a i =�

→ F i

(m1 +m2 +m3 + ...) $ → acm = m1 $

→ a1 +m2 $

→ a2 +m3 $

→ a3 + ... =

→ F1 +

→ F2 +

→ F3 + ...

Consideremos el siguiente ejemplo, imagine un salón vacío con sólo dos

personas dentro A (Andrés) y B (Beatriz); el salón es en este caso un sistema

formado por dos cuerpos A y B. Supongamos que C (Carla), la novia de Andrés,

se asoma por la puerta, entonces A y B no sólo interactuan entre ellos, sino con

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C. Las fuerzas que actúan en las partículas del sistema son para A el producto de

su interacción con B y C; y para B las fuerzas resultantes de interactuar con A y C.

Aplicando la última expresión resulta:

(�m i ) $→ acm =� m i $

→ a i

(mA +mB ) $→ acm = mA $

→ aA +mB $

→ aB =�

→ FA +�

→ FB

Sea ; y , entonces resulta:M = mA +mB �→ FA =

→ FA/B +

→ FA/C �

→ FB =

→ FB/A +

→ FB/C

M $→ acm =

→ FA/B +

→ FA/C +

→ FB/A +

→ FB/C

Pero como por tercera ley ocurre que:

el resultado final es sólo→

FA/B = −→

FB/A

quedan las suma de las fuerzas de los

cuerpos dentro del sistema que

interactuan con el objeto externo.

Por tanto sea: ; la segunda ley para sistema dela segunda ley para sistema dela segunda ley para sistema dela segunda ley para sistema de→

FA/C +→

FB/C = �→ F externas

partículas señala que la interacción de un sistema de partículas sólo toma enpartículas señala que la interacción de un sistema de partículas sólo toma enpartículas señala que la interacción de un sistema de partículas sólo toma enpartículas señala que la interacción de un sistema de partículas sólo toma en

cuenta las fuerzas externas al sistema. cuenta las fuerzas externas al sistema. cuenta las fuerzas externas al sistema. cuenta las fuerzas externas al sistema.

M $→ acm = �

→ F externas

7.3.3.- Principio de Conservación del Momentum Lineal

Si no hay fuerzas externas sobre el sistema debe ocurrir que al no ser la

masa del sistema nula, lo es la aceleración del centro de masas; ello señala que

la velocidad del centro de masa es constante y resulta:

si la �→ F externas =

→ 0 dM $

→ vcm = �→

p i = → p1 + →

p2 + → p3 + ... = constante

Y ello se conoce como Principio de Conservación del Momentum Lineal.

En un sistema aislado (que no interatua con el resto del universo) formado por

dos partículas que interactuan entre si, debe ocurrir al obedecer el principio

anterior lo siguiente:

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→

pA inicio + → pB inicio = →

pA final +→

pB final d

→ pA inicio − →

pA final = → pB final −

→ pB inicio d −�→

pA = �→ pB

Dividiendo entre el tiempo resulta la tercera ley del Newton:

−�

→ pA

�t=�

→ pB

�td −

→ FA/B =

→ FB/A

Aplicando principio de conservación del momentum lineal se tiene:

m tronco $→ v ti +mganso $

→ vgi = m tronco $

→ v tf +mganso $

→ vgf

Como ambos (tronco y ganso) permanecen juntos después del impacto,entonces la velocidad final de ambos es la misma; omitiendo el vector porquevamos en la misma dirección tenemos:

m tronco $→ v ti +mganso $

→ vgi = (m tronco +mganso ) $

→ v f d

30kg $ 30km/h + 12kg $ 75lm/h = (30kg + 12kg) $ v f d

v f =900kg $ km/h + 900kg $ km/h

42kgd

v f = 42,8km/h en la direccion que fluye el r�o

Ejemplo 7.3. Sobre un río va un tronco cuya masa es de 30 kg; moviéndosea la velocidad del caudal de río de 30 km/h. Un ganso de 12 kg que vuelasobre el tronco aterriza sobre mismo a una rapidez de 75 km/h en la mismadirección y sentido que el tronco. ¿Cuál es la velocidad después del impacto?

a. Dos carros “A” y “B” de igual masa viajan a 90 km/h y 60 km/hrespectivamente; si se mueven en sentidos contrarios, después delchoque, ¿cual es la velocidad final si permanecen juntos?

b. Repita el problema, pero en este caso después del choque hay unrebote y el carro “A” retrocede a 20 km/h. ¿Cuál es la velocidad de“B”?


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c. Suponga que “A” del primer problema golpea contra un camión “C”cuya masa es 12 veces la masa del carro. ¿Cual es la velocidaddespués del choque?

d. Superman intenta detener un tren que viaja a 80 km/h; si la masa dehéroe es de 100 kg y la del tren de 80 toneladas métricas, ¿a quevelocidad debe Superman impactar el tren para que este se detenga?

e. Dos carros “A” y “B” de masas iguales viajan ambos a 60 km/h; perouno en dirección norte y otro en dirección este. Si al llegar aun cruceimpactan, cuál es la velocidad (magnitud y dirección) de ambosvehículos si continúan juntos después del choque.

f. Repita el problema anterior, pero ahora “A” es golpeado por uncamión “C”, cuya masa es 12 veces la masa del carro.

7.4.- LA LEY DE GRAVEDAD

7.4.1.- Momentum Angular y Torque.

Antes de introducirnos en la ley de Gravedad Universal de Isaac Newton

necesitamos conocer dos conceptos básicos, cuya aplicación estudiaremos en

más detalle en el próximo tema. Aunque las “partículas” solo trasladan y no

experimentan rotación, existen dos conceptos asociados a una partícula que se

vinculan con la rotación. El primero es el momentum angular o momento

cinético y está dado por el producto vectorial:→ L = →

r %→ p = →

r %m $→ v

El segundo es el torque o momento de una fuerza:

→ � = →

r %→ F = →

r %m $→ a

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Es demostrable que en el caso de una partícula que al igual que la fuerza

y el momentum lineal están relacionados, ocurre igual entre el momentum

angular y el torque o momento de una fuerza; la demostración implica uso de las

propiedades del calculo diferencial y por tanto asumiremos esta relación como un

acto de fe en este curso:

→ � =

→ dLdt

Si el Si el Si el Si el torquetorquetorquetorque o momento de una fuerza sobre una partícula es nulo, debe o momento de una fuerza sobre una partícula es nulo, debe o momento de una fuerza sobre una partícula es nulo, debe o momento de una fuerza sobre una partícula es nulo, debe

ocurrir que el ocurrir que el ocurrir que el ocurrir que el momentummomentummomentummomentum angular es constante angular es constante angular es constante angular es constante. Eso define el principio de

conservación del momentum angular:

si→ � =

→ 0 d

→ L = constante

Y es justamente esta relación la que nos interesa conocer. ¿Cuándo el

torque es cero?. En primer lugar cuando la fuerza sobre el cuerpo es nula; es por

ello que si un cuerpo no si un cuerpo no si un cuerpo no si un cuerpo no interactuainteractuainteractuainteractua con otro, el con otro, el con otro, el con otro, el momentummomentummomentummomentum lineal y el lineal y el lineal y el lineal y el

momentummomentummomentummomentum angular se conservan angular se conservan angular se conservan angular se conservan. Una consecuencia importante es que si

observamos un MRU de una partícula va a ocurrir que el vector posición barreel vector posición barreel vector posición barreel vector posición barre

áreas iguales en intervalos de tiempo igualesáreas iguales en intervalos de tiempo igualesáreas iguales en intervalos de tiempo igualesáreas iguales en intervalos de tiempo iguales .

El área de cada triángulo es Base·Altura/2, la base es v·∆t, y la altura

h=r·sen(θ)=constante; el resultado nos da que como “v” y “h” son constantes,

entonces Area = v $ �t $ h/2 d Area/�t = v $ h/2 =constante.

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Existe un segundo caso en el cual el torque o momento de una fuerza es

constante; si vemos la magnitud del torque es por definición de producto vectorial

igual a: ; si “r ” y “F ” no son nulos, la condición es que el� = r $ F $ sen(�)

sen(θ)=0; y eso es posible cuando el ángulo entre los vectores es 0° o 180°.

Cuando la fuerza y el vector posición son vectores paralelos o antiparalelos el

torque es nulo y las fuerzas que cumplen con esa propiedad reciben el nombre de

Fuerzas Centrales, la fuerza de gravedad y la fuerza eléctrica son ejemplos de

este tipo de fuerzas.

7.4.2.- Un poco de historia.

Para todos lo que observamos los cielos vemos cada día al Sol salir por el

este y ocultarse por el oeste, la Luna camina más lentamente en sentido contrario,

cada día está un poco más cerca del este que del oeste; y ambos se mueven

sobre un cielo de estrellas que tarda un año en volver a colocar las estrellas en la

misma posición. Para los antiguos los cuerpos en la tierra seguían una trayectoria

lineal, cuando el burro halaba una carrera esta se movía en la dirección del

andar del burro y los objetos en la Tierra caen al soltarlos en línea recta hacia

abajo. Visto así los “objetos” de los cielos parecen moverse en círculos alrededor

del gran centro que es la Tierra y en la Tierra el movimiento propio de los cuerpos

es el lineal. El primer modelo que explicaba los cielos se debe a los griegos y se

conoce como modelo geocéntrico y en el modelo todo rota o gira alrededor

de la Tierra en círculos perfectos —El circulo era para los griegos una figura

ideal—.

Y todo hubiera estado bien si no fuera por la órbita de los planetas, estos

parecen algunas veces avanzar y otras retroceder en los cielos. El modelo

geocéntrico hubo de ser revisado y en el siglo I d.C en el mundo romano

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Ptolomeo plantearía una solución, los planetas giran en círculos cuyo centro a su

vez giran en un circulo mayor alrededor de la Tierra.

Hay una regla importante en toda búsqueda del conocimiento, si las cosas

se complican, seguro que por ahí no es el camino. El modelo geocéntrico

modificado de Ptolomeo duraría hasta el siglo XVI, cuando Copernico se atrevió a

dar una solución distinta y más sencilla. La luna gira alrededor de la Tierra, pero

la Tierra y los demás planetas giran alrededor del Sol —el modelo

heliocentrico—. Esto provocaría un revuelo en todo el mundo, implicaba que

ya la Tierra no era el centro del universo y eso alteraba la imagen que la fe

(religión) establecía del mundo —aunque la Biblia nunca hablo de las órbitas

planetarias—.

Claro que algunos otros factores ayudaron, la

Iglesia Católica estaba en decadencia, se

produjo la Reforma y los pueblos que la

apoyaron, como una forma de fastidiar a la

Iglesia Católica, apoyaron a los revolucionarios

de los cielos.

Dos personajes se suman al cuento, el primero Tycho Brahe, noble danés

que paso gran parte de su vida observando la posición de los astros en el cielo.

Aunque Brahe proponía que los planetas giraban alrededor del sol, el sol y la

luna seguían girando alrededor de una Tierra fija. Los datos de Brahe pasaron a

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su “discípulo” Johannes Kepler, quien tras muchas peleas con los datos daría una

nueva visión del cosmo, en ella sus tres leyes de los movimientos planetarios:

1. Los planetas tienen movimientos elípticosalrededor del Sol, estando éste situado enuno de los 2 focos que contiene la elipse.

2. Las áreas barridas por los radios de losplanetas, son proporcionales al tiempoempleado por estos en recorrer el perímetrode dichas áreas.

3. El cuadrado de los períodos de la órbita delos planetas es proporcional al cubo de ladistancia promedio al Sol.

7.4.3.- El cierre de Newton.

Tras el trabajo de Kepler los cielos quedaron descritos, se abandonaba el

circulo perfecto que venía desde los griegos por la elipse, se encontró una

relación entre las distintas órbitas (3°Ley), y si vemos bien, ¿no nos suena

conocida la segunda ley?. Ahora faltaba explicar por que eran así las leyes de

Kepler.

Newton aplicaría sus tres leyes del movimiento

y con ellas explicaría no sólo los movimientos

en la Tierra mundana, sino también en los

cielos divinos. Y aunque la imagen tradicional

nos cuenta como al caer sobre su cabeza una

manzana, ese golpe abrió su mente —no

pensemos que hubiera ocurrido si le hubiera

caído un coco del caribe—.

Lo cierto es que eso no fue así; pero la caída de la manzana, que en otro

tiempo por comer la fruta del conocimiento la humanidad fue expulsada del

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Edén; esa fruta ahora abriría las puertas a una nueva forma de ver el mundo. El

razonamiento de Newton fue más o menos así:

1. Algo atrae los cuerpos a la Tierra, ese algo lo conocemos como gravedad.

La gravedad debe actuar como la luz de una bombilla, mientras más lejos

menor luz nos llega, ello ocurre porque la luz se distribuye en un área

mayor al aumentar la distancia, por tanto con la “gravedad” debe ocurrir

igual.

Fgravedad }1

Aread Fgravedad }

1R2

2. La segunda ley establece que la fuerza es proporcional a la masa, así la

fuerza de gravedad va a depender de la masa del objeto atraído por la

Tierra, sea la manzana o la Luna

Fgravedad }mR2

3. Por tercera ley la fuerza con que la manzana o la Luna son atraídas por la

Tierra, iguales fuerza actúan sobre la Tierra al ser atraída por la manzana

o la Luna; luego también dependemos de la masa de la Tierra (que

denotaremos con “M” por ser mayor que los otros dos.

Fgravedad }M $mR2

4. Agregamos finalmente una constante de proporción y el resultado es la

magnitud de la fuerza de la Gravedad, que actúa en la dirección que une

los centros de masas de los cuerpos, en sentido atractivo.

Fgravedad = G $ M $mR2

El valor de la constante “G” fue determinado por el físico y químico

británico Henry Cavendish en 1798, a casi un siglo de la formulación de la ley de

Gravitación Universal de Newton, que apareció en 1687. Un error muy común es

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asumir que Cavendish buscaba el valor de la constante “G”, lo que realmente

buscaba era “pesar” la Tierra. El valor de G es 6,67·10G es 6,67·10G es 6,67·10G es 6,67·10 –11–11–11–11 N·mN·mN·mN·m2222 /kg/kg/kg/kg2222....

Por que funcionaba la ley; la respuesta viene con los resultados que se

tuvieron de ella. Primero, si vamos al tema 6, pagina 7, ejemplo 6,2; tenemos la

aceleración de gravedad que experimenta la Luna. Se puede observar que:

Fg (manzana) = m1 $ ag = G $m1 $M(R1 )

2 d ag = 9,8m/s2 = G $ M(R1 )

2

Fg (Luna) = m2 $ ag = G $m2 $M(R2 )

2 d ag = G $ M(R2 )

2

Despejando de ambas la cantidad “G·M”, resulta la formula de la pagina

8, del tema anterior y que aplicada al ejercicio 6.2.d nos confirmaba que la

aceleración normal experimentada por la Luna es igual a la aceleración generada

por la gravedad de la Tierra sobre la Luna y que vale 0,0027 m/s2.

Ahora veamos la propuesta de Cavendish, aplicando la ley de la

Gravedad tenemos que el peso de una manzana de masa “m” es igual al

producto de la masa por la aceleración de la gravedad; resulta por tanto que la

masa de la Tierra es:

Fg = G $ m $MR2 = m $ ag dG $ M

R2 = ag dM =R2 $ ag

Gd

M =(6.370.000m)2 $ 9,8m/s2

6,67 $ 10−11m3/(kg $ s2 )= 5555, 99996666 $ 1111000024kkkkgggg

Asumamos que los planetas giran en una órbita circular uniforme

alrededor del Sol, entonces relacionando la “aceleración normal” con la fuerza

de gravedad de Newton resulta:

F = m $ aN = G $ m $MR2 d aN = R $�2 = GM

R2 d2�T

2

$ R3 = G $M d

RRRR 3

TTTT 2 = GGGG $MMMM4444��2

= constante g Tercera ley de Kepler

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En una órbita circular al ser la fuerza de gravedad una fuerza central debe

ocurrir que el momentum angular es constante.

L = R $ p = R $m $ v = R $m $ (R $�) = R 2 $m $ 2�T =constante

El radio de la órbita es constante, la masas es constante y el periodo en un

movimiento circular uniforme es constante, por tanto “L” es constante. Por otra

parte el área de un circulo es π·R 2; si despejamos el área del circulo de la

expresión anterior resulta:

L = 2m $ � $ R2

T d

LLLL2222 $mmmm

= AAAArrrreeeeaaaaTTTT

= constanteg Segunda ley de Kepler

Newton había logrado unificar los cielos y la Tierra, desde este momento

el mundo se percibió como un gran reloj; donde interesaba conocer sus leyes

para entenderlo. Hubo que esperar hasta el siglo XX para que las cosas

cambiaran, cuando Albert Einstein explicara ¿qué es la gravedad? ¿qué es la gravedad? ¿qué es la gravedad? ¿qué es la gravedad? y su teoría de

la relatividad y el principio de incertidumbre de Werner Heisenberg acabaran con

la visión determinista del mundo newtoniano; pero esa es otra historia.

a. Marte es un planeta cuyo radio es aproximadamente 3400 km;sabiendo que la aceleración de la gravedad marciana es 3,7 m/s2;demostrar que la masa del planeta es de 6,4·1023 kg.

b. Fobos y Deimos son las lunas de Marte, los radios de sus órbitas sonrespectivamente 9377 km y 23470 km respectivamente. Demostrar queel periodo de traslación de cada luna es de 7,65 horas y 30 horasrespectivamente.

c. Dos soles de igual masa giran sobre un centro común de radio “R”;determine el periodo de rotación de ambos soles.

d. La Tierra órbita al sol a una distancia de 1,49·108 km, cual es la masadel Sol.


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e. El sol se ubica a unos 30.000 años luz del centro de la galaxia; y sesabe que su velocidad orbital (v) es de 250 km/s alrededor del centrogaláctico. Determinar la masa aproximada de la Vía Láctea yasumiendo que la galaxia esta formada por miles de estrellas similares a nuestro Sol, cuantas estrellas contiene la Vía Láctea.

f. Un satélite artificial es colocado a 200 km sobre la superficie terrestre;si la masa del satélite es de 200 kg y gira en una órbita circular, ¿cuáles su periodo de revolución?.

g. Cuando la nave Apolo XI óbito la Luna tenía una masa de 10000 kgaproximadamente; y su periodo esta de 119 minutos a una distancia de1,85·106 m del centro de la Luna. ¿Cuál es la masa de la Luna?

h. Algunos científicos para explicar el porque algunos meteoros y cometasvienen desde más allá de Neptuno sugieren que el Sol tiene una estrellacompañera muy tenue llamada Némesis que tiene una órbita el íptica yque cuando se acerca al Sol altera las órbitas de esos meteoros ycometas enviándolos hacia el centro del sistema solar. El periodo orbitalde Nemesis establecido según el aumento de estos visitantes del sistemasolar exterior es de 30 millones de años; asumiendo que la masa deNemesis es el 20% de la masa del Sol y sea una unidad astronómica (1 ua) la distancia que hay entre la Tierra y el Sol, a cuantas “ua” seencuentra la órbita promedio de Nemesis.

Nota: Neptuno órbita a 30 ua.

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TEMA 07 LEYES DE NEWTON - Cursos de Física “movere” (mover) y en la mecánica de Newton está...

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