_TEMA 2 : FRACCIONES. NUMEROS RACIONALES.

TEMA 1. FRACCIONES. N RACIONAL. N DECIMALES

1. INTRODUCCIN

El sencillo concepto de fraccin que hoy utilizamos ha sorteado grandes dificultades a lo largo de 3000 aos hasta llegar a la nocin actual. Las fracciones se llamaron en un principio, rotos y despus quebrados, esta ltima designacin todava subsiste; pero el concepto general tard mucho tiempo en arraigarse, limitndose a nombres especiales para cada fraccin de uso frecuente.

La nomenclatura general, mediante la terminacin genrica avos, agregada al denominador es muy reciente, lo que revela la incapacidad de la humanidad sin diferenciar raza y cultura, para alcanzar los conceptos muy generales y, por lo tanto, muy abstractos; los mismos que una vez asimilados seducen por su sencillez.

Origen

La palabra fraccin viene del latn "fractio", utilizada por primera vez en el siglo XII, cuando Juan de Luna tradujo al castellano la Aritmtica rabe de Al-Juarizmi.

El origen de las fracciones se remonta a la Antigedad. Es posible encontrar muestras de su uso en diversas culturas de ese perodo histrico.

Los babilonios y la nocin de fraccin

Los babilonios desarrollaron un eficaz sistema de notacin fraccionaria, que permiti establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes.

Ellos usaron un sistema mixto en la lectura numrica (posicional y aditivo) y en la base (60 y 10).

Los babilonios las utilizaron teniendo como nico denominador al nmero 60

Esta evolucin y simplificacin del mtodo fraccionario permiti el desarrollo de nuevas operaciones que ayudaron a la comunidad matemtica de siglos posteriores a hacer buenos clculos de, por ejemplo, las races cuadradas.

Para los babilonios era relativamente fcil conseguir aproximaciones muy precisas en sus clculos utilizando su sistema de notacin fraccionaria, la mejor de que dispuso civilizacin alguna hasta la poca del Renacimiento.

La base 60 dificultaba la memorizacin de las tablas y por ello editaron gran nmero de tablas. De estas tablas se deduce que la divisin entre dos enteros acostumbraban a presentarla como la multiplicacin de un entero por una fraccin, recurriendo al inverso.

Los aportes de los egipcios

Un papiro encontrado hace mucho tiempo, llamado papiro Rhind, (debido a que a finales del siglo XIX el escocs Rhind adquiri este valioso documento que hoy se encuentra en el Museo Britnico de Londres), es tal vez uno de los documentos ms antiguos que se conoce, pues tiene cerca de 4000 aos. Su autor, Ahmes, fue un sacerdote que vivi probablemente entre los aos 2000 y 1700 a. C.

Anot en un papiro una coleccin de tablas y problemas resueltos que nos han ayudado a saber como los antiguos egipcios hacan Matemticas.

En este documento se menciona la costumbre egipcia de expresar toda fraccin en una suma de fracciones de numerador uno.

Los egipcios utilizaron las fracciones con slo el 1 como numerador y cuyo denominador es 2, 3, 4,..., y las fracciones 2/3 y 3/4 y con ellas conseguan hacer clculos fraccionarios de todo tipo. Su notacin era la siguiente:

De esta forma, aparece la fraccin escrita como: .

Por ejemplo, si queran representar 5/8 escriban: 1/2 y 1/8, considerando que1/2 equivale a 4/8.

Es evidente que los egipcios slo saban operar con fracciones de numerador uno y, por lo tanto, se vean obligados a reducir toda fraccin a la suma de estas.

Este mtodo, con otros mejores, fue posteriormente adquirido por los griegos que marcaban con un acento el numerador, y con dos el denominador.

En todo el papiro aparecen descomposiciones de una fraccin como la representada anteriormente, algunas de estas son correctas y otras falsas.

De esto se deduce que no hay un procedimiento general para hacer tales descomposiciones, lo que evidencia que tambin usaban el tanteo en algunas situaciones. El documento tambin presenta tablas, entre ellas hay una de descomposiciones de todas las fracciones de la forma 2/2n-1 comprendidas entre el 1 y el 49. Es decir todas las fracciones de denominador impar desde 2/3 2/97.

Los chinos y las fracciones

Los chinos conocan muy bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de hallar el mnimo comn denominador de varias fracciones. Como era su costumbre asignaban un rol femenino y otro masculino a los elementos que componen la fraccin. Se referan al numerador como el hijo y al denominador como la madre. El nfasis generalizado en toda la cultura china sobre los principios del ying y el yang haca fcil seguir las reglas para manipular fracciones. Ms importante que estas curiosidades era, no obstante, la tendencia a la decimalizacin de las fracciones en China. La adopcin de un sistema decimal en pesos y medidas dio como resultado que se impusiera el hbito decimal en el manejo de las fracciones.

Por qu fueron creadas?

En la historia, es posible distinguir dos motivos principales por los que fueron inventadas las fracciones.

El primero de ellos fue la existencia de divisiones inexactas. Estas son aqullas en que el cociente no es factor del dividendo, y tiene residuo. Por ejemplo: 7/4 representa 7:4.

Como no hay ningn nmero cardinal que multiplicado por 4 d como producto 7, lo ms exacto es escribir 7/4. Lo mismo sucede con 3/5.

Un segundo motivo por el cual se crearon las fracciones result de la aplicacin de unidades de medida de longitud, es decir para medir.Para realizar las mediciones de trazados, se tomaba otro trazado como unidad de medida, y se vea las veces que estaba contenido en el otro. Como no siempre caba de manera exacta, se divida el trazado que serva de unidad en partes iguales y ms pequeas, para que el resultado fuera exacto. Este resultado de la medicin se expresaba en fraccin.

A continuacin queremos que estudies esto grficamente, con el ejemplo de 7/4.

As, 7/4 representa que el trazo que se utiliz como unidad de medida, debi dividirse en 4 pedazos iguales para que el trazo a medir lo contenga 7 veces exactas.

2. LAS FRACCIONES Y EL LENGUAJE COTIDIANO

Una de las primeras circunstancias que hay que tener en cuenta al comenzar a tratar un tema matemtico es el hecho de que los conceptos que vamos a desarrollar pueden estar vinculados a un lenguaje cotidiano, utilizado por las personas en general.

Este lenguaje o "vocabulario" a veces puede estar identificado ms o menos estrechamente con la nocin matemtica y a veces no. Por tanto, debemos considerar que, en la mayora de las ocasiones, las palabras que se van a utilizar no estn desprovistas de significado ni para los nios, ni para los adultos.

De una forma u otra, el alumno est influenciado por el uso que de ellas se hace en la vida cotidiana. En nuestro caso particular, la palabra fraccin forma parte de un vocabulario relativamente familiar: Mitades, cuartos, tercios, quintos, dcimos, centsimos, milsimos,... Pero jams treinta y siete cuarentaiseisavos! De hecho, hasta el diccionario de la Real Academia de la Lengua Espaola slo llega hasta el trmino veinteavo y no incluye trminos posteriores.

Pero, qu significa fraccin?El diccionario ya separa en su significado dos acepciones bien diferenciadas.

Aclarado su origen (del Latn fractio, romper), por un lado se nos presenta como "la divisin de un todo en sus partes" o "las partes de un todo".

Por otro lado, dentro de los significados propios de la Aritmtica, aparecen acepciones tales como "nmero quebrado", "expresin que indica una divisin que no puede efectuarse", etc.

Si formulamos la pregunta anterior a personas de escasa formacin matemtica, la idea de divisin de un todo en partes prevalece sobre las otras, siendo frecuente tambin asociarla con quebrado, algo que se recuerda de la infancia unido a clculos interminables.

Sin embargo, al escuchar las conversaciones de los nios dentro y fuera de la clase, se aprecia que utilizan espontneamente expresiones en las que aparecen las fracciones.

Frecuentemente, los nios de la escuela elemental utilizan determinadas fracciones al expresarse verbalmente. Ahora bien, aunque el nio pueda or y usar expresiones tales como, por ejemplo, medio da, eso no significa que piense necesariamente en la mitad de un da con relacin a un da completo.

Lo mismo sucede cuando habla de una botella de medio litro. Quiz la nica relacin que puede establecer con la de un litro es que es ms pequea. Si el trmino lo utiliza para pedir "dame la mitad de tu pastel", seguramente el nfasis del significado lo est poniendo en que las dos mitades sean exactamente iguales.

En el caso de las fracciones el uso cotidiano se restringe en realidad a muy pocas: un medio, un tercio, un cuarto y tres cuartos principalmente; dos tercios, un quinto, un octavo, mucho menos. El campo de aplicacin de cada uno de ellas se va reduciendo considerablemente, salvo un medio, que tiene un uso casi universal y aparece automticamente en prcticamente todas las situaciones cuantificables, e incluso como una primera estimacin a una cantidad: media entrada, a mitad del camino, etc.

Por tanto, hemos de tener presente que, asociada a contextos tan diversos como pueden ser las unidades del Sistema Mtrico Decimal (medio kilo, tres cuartos de litro, etc.), perodos temporales (un cuarto de hora, media hora, etc.), situaciones de reparto o descuento (la tercera parte de la ganancia, rebajado un veinte por ciento), o bien como parte de la herencia cultural (una octava en Msica, los Tercios de Flandes en Historia, un dcimo en Lotera, etc.), los alumnos, para bien o para mal, ya han utilizado o simplemente odo las palabras de las que ahora, desde una vertiente matemtica, nosotros les vamos a hablar.

Por cierto, no es ms frecuente decir tres dcimas que tres dcimos?

Pero tras la orden escribe tres dcimos ponemos 3/10, mientras que tras escribe tres dcimas se pone 0,3.

3. El proceso de enseanzaaprendizaje de las fracciones y de las operaciones con fracciones.

Las dificultades que para los nios, sobre todo en los niveles elementales, representa el aprendizaje de las fracciones, han sido constatadas por numerosos investigadores de distintos pases y abarcan tanto la comprensin conceptual como la destreza de clculo.

Ello ha motivado la realizacin de estudios que tratan de detectar el origen de las dificultades para, a partir de su conocimiento, proponer soluciones, buscando aproximaciones alternativas para la enseanza de las fracciones.

Te has planteado que algunas veces utilizamos las fracciones para representar situaciones distintas, como por ejemplo quedaba un tercio de tarta (descripcin de una situacin) o dame un cuarto de tarta (descripcin de una accin)?

Si comparamos los tres usos ms frecuentes de un cuarto:

1/4

1(4

un cuarto de...

observamos que entre ellos hay grandes diferencias:

A 1/4 se le asocia ms con una imagen, que con una accin.

1(4 requiere explcitamente una accin, es una orden que espera su cumplimiento, 1(4 = 0,25.

Un cuarto de... requiere a la vez una imagen y una accin.

Cundo se pregunta qu es un cuarto, muchos alumnos de diez u once aos responden 250 y otros replican con otra pregunta, un cuarto, de qu?.

No es chocante que en los mercados haya carteles con 1/4 de kilo y con 250 gramos, pero ninguno con 0,25 kilos?

Es que se supone que las fracciones son ms sencillas de entender que los decimales?Sin tratar de hacer una descripcin detallada de cada una de las opiniones, investigaciones, etc., es conveniente sealar aqu algunas de ellas.

M, GOUTARD (1964) atribuye las dificultades con las fracciones a la falta de experiencia con las mismas sealando que la diversidad de puntos de vista es esencial en su estudio a un nivel elemental, ya que su introduccin de una forma nica lleva a un conocimiento atrofiado.

Segn lo anterior, la autntica comprensin del concepto de fraccin slo puede alcanzarse mediante presentaciones plurales de dicho concepto.

Esta es una de las razones que llevan a M, GOUTARD a defender las regletas Cuisinaire, siguiendo los trabajos de GATTEGNO, como uno de los procedimientos a utilizar para la introduccin de las fracciones.

El otro mtodo tradicional de introducir las fracciones era el presentado por la relacin parte todo, dividir un todo en partes y considerar algunas de ellas, lo que por otra parte parece ser la ms intuitiva de las interpretaciones de la fraccin.

La aproximacin a las fracciones como operador ha sido desarrollada y estructurada dentro de su teora general por DIENES. Este modo de proceder tiene, como todos, sus defensores y detractores. As, KIEREN (1975) escribe: "A qu conduce centrarse en la interpretacin de los nmeros racionales como operadores?

Esta nocin lleva a la de multiplicacin de racionales, y esto conduce a las propiedades de grupo. No lleva de forma natural a considerar los nmeros racionales como medida, o a las actividades aditivas relacionadas con ella, sino que debido a su base de razn conduce naturalmente a los axiomas de cuerpo.

Por otro lado, otros autores centran su inters ms en la equivalencia de las fracciones que en las fracciones propiamente dichas, para a partir de ah formar las clases de equivalencia que conducen al nmero racional. Esta interpretacin an la podemos ver en muchos de nuestros manuales escolares.

En la actualidad, parece ser una creencia bastante general la necesidad de proporcionar a los nios una adecuada experiencia con las muchas posibles interpretaciones de las fracciones si se quiere que lleguen a comprender el concepto (KIEREN, 1976; STREEFLAND, 1978). En particular es necesario incorporar ciertos aspectos y caractersticas de las fracciones que no han sido prcticamente considerados en la bibliografa hasta muy recientemente. Entre ellos se deben incluir los aspectos que potencian el papel de las fracciones como razn, como transformacin, como cociente de nmeros naturales en situaciones de reparto, su vinculacin con los decimales, etc.

Una opinin que creemos debe ser conocida es la representada por FREUNDENTHAL (1973). Segn l "los nios pueden trabajar intuitivamente con fracciones intuitivas, siendo esta la razn por la que la introduccin intuitiva que tradicionalmente se hace de las fracciones funcione excelentemente. Nios de corta edad pueden tener xito al trabajar con medios, cuartos, etc. Este xito lleva al maestro a una prematura introduccin de los algoritmos y ah es donde aparecen los problemas".

El caso ms extremo lo constituye la divisin, que segn el citado autor, dentro de la Aritmtica elemental no es nada intuitiva, no est motivada y no tiene significado, incluso cuando se consideran fracciones muy sencillas.

La opinin de FREUNDENTAL es que dentro de esta Aritmtica slo debe explicarse aquella parte de las fracciones que sea accesible por los mtodos intuitivos.

El estudio de las fracciones debe continuarse despus, dentro del lgebra.

Debemos por tanto reflexionar sobre las distintas posibilidades y experimentar con ellas hasta alcanzar un modelo del que estemos personalmente convencidos.

4. EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES.

La idea de fraccin, o mejor an, la palabra "fraccin" indicando un par ordenado de nmeros naturales escritos de la forma a/b, es utilizada en contextos y situaciones que muchas veces puede parecer que no tengan nada en comn.

Por ejemplo:

a) Para indicar la relacin que existe entre la parte sombreada y un todo:

Tres de las cinco partes, 3/5.

b) Si un litro de cerveza vale sesenta cntimos, cunto valdrn tres quintos?

c) En un grupo de nios y de nias hay diez nias y cinco nios. En un momento determinado alguien dice: "Hay la mitad de nios que de nias" (hay doble nias que nios). La expresin mitad est empleada en esta situacin para describir una relacin entre dos partes de un conjunto. Se ha realizado una comparacin parteparte y como resultado de esta comparacin se utiliza una fraccin para cuantificar la relacin.

Sin embargo si estamos utilizando el mismo "ente matemtico" para referirnos a dichas situaciones, es de suponer que tengan algo en comn.

Son capaces los nios, de trasladar esa comprensin y destrezas conseguidas a interpretaciones y contextos diferentes?

Parece ser que la capacidad de "trasladar esa comprensin" a situaciones distintas no es del todo clara; es decir, puede ser que el nio tenga claro el significado de una fraccin en una situacin, sabiendo realizar su representacin con diagramas y de forma numrica, as como reconocer el significado de las diferentes operaciones en dicho contexto y esto no implique que sepa utilizar la misma "herramienta" en contextos distintos, aunque tambin conlleven implcitamente la idea de fraccin.

Adems los resultados de numerosas investigaciones (BEHR, et al. , 1983; KERSLASKE, 1986; LESH, et al. , 1983) relativas al proceso de enseanza-aprendizaje de las ideas de "fraccin" han empezado a indicar que: para que el nio pueda conseguir una comprensin amplia y operativa de todas las ideas relacionadas con el concepto de fraccin se deben plantear las secuencias de enseanza de tal forma que proporcionen a los nios la adecuada experiencia con la mayora de sus interpretaciones (KIEREN, 1976; DIENES, 1972).

De todas maneras el alcanzar el concepto de fraccin con todas sus relaciones conlleva un proceso de aprendizaje a largo plazo. La variedad de estructuras cognitivas a las que las diferentes interpretaciones de las fracciones estn conectadas condiciona este proceso de aprendizaje.

En otras palabras, al concepto global de fraccin no se llega de una vez totalmente.

Desde las primeras experiencias de los nios con "mitades" y "tercios" (relacin partetodo) vinculadas a la habilidad de manejar el mecanismo de dividir (repartir), y la habilidad de manejar la inclusin de clases, hasta el trabajo con las razones y la proporcionalidad de los jvenes adolescentes, vinculada a la habilidad de comparar y manejar dos conjuntos de datos al mismo tiempo, y del desarrollo del esquema de la proporcionalidad, existe un largo camino que recorrer.

Los profesores debemos tener en cuenta todas estas caractersticas, es decir:

- las muchas interpretaciones, y

- el proceso de aprendizaje a largo plazo

cuando, pensemos en el desarrollo de secuencias de enseanza que pretendan el aprendizaje de nociones relativas a las fracciones.

De la misma forma tambin existe un largo camino desde el primer contacto intuitivo de los nios con las fracciones (relacin partetodo, "mitades", "tercios"...) hasta afianzar el conocimiento de carcter algebraico asociado a las fracciones.

Es decir, hay que considerar (DICKSON, 1984) el equilibrio que debe existir entre

- el significado de las fracciones en contextos concretos prcticos (situaciones problemticas), y

- en situaciones ms abstractasclculo sin contexto (carcter algebraico).

Las destrezas que se pueden conseguir en el manejo de los smbolos relativos a las fracciones y a las operaciones con fracciones, no son fciles de retener si no hemos sido capaces de crear un esquema conceptual a partir de situaciones concretas.

La comprensin operativa del concepto de fraccin debe proporcionar la fundamentacin en la que se apoyen las operaciones algebraicas que se van a desarrollar posteriormente. Un buen trabajo con las fracciones puede contribuir a que estas operaciones algebraicas no se conviertan en algo sin sentido para los nios.

Llegados a este punto se nos presenta la necesidad de plantear los procesos de enseanza aprendizaje de las fracciones desde todas sus perspectivas, en todas sus interpretaciones posibles, para que un trabajo continuado con dichas interpretaciones ayude al nio a conseguir una comprensin conceptual (operativa) de la idea de fraccin, sin crear "agujeros conceptuales".

Una vez determinada esta necesidad se plantea la tarea de identificar las diferentes interpretaciones, contextos, en los que aparezca el concepto fraccin: la fraccin como un megaconcepto.

Las diferentes interpretaciones de fraccin que se van a describir son:

a) La fraccin como relacin parte-todo y como medida

1. Representaciones en contextos continuos y discretos.

2. Fracciones Decimales.

3. Recta numrica.

b) La fraccin como cociente.

1. Divisin indicada.

2. Como elemento de un cuerpo cociente.

c) La fraccin como razn.

1. Probabilidades

2. Porcentajes

d) La fraccin como operador.

Bajo esta interpretacin las fracciones son vistas en el papel de transformaciones: algo que acta sobre una situacin (estado) y la modifica.4.1. LA FRACCIN COMO RELACIN PARTE-TODO Y COMO MEDIDA.

Se presenta esta situacin cuando un "todo" (continuo o discreto) se divide en partes "congruentes" (equivalentes como cantidad de superficie o cantidad de "objetos").

La fraccin indica la relacin que existe entre un nmero de partes y el nmero total de partes (que puede estar formado por varios "todos").

El todo recibe el nombre de unidad.

Esta relacin parte-todo depende directamente de la habilidad de dividir un objeto en partes o trozos iguales. La fraccin aqu es siempre "fraccin de un objeto".

Sobre esta interpretacin se basan generalmente las secuencias de enseanza cuando se introducen las fracciones (normalmente en su representacin continua).

Las representaciones de esta relacin que vamos a describir son las desarrolladas en contextos continuos, discretos y mediante la utilizacin de la recta numrica.

4.1.1. Representaciones en contextos continuos (rea) y discretos.En un contexto continuo, en el que las representaciones ms frecuentes suelen ser diagramas circulares o rectangulares (dos dimensiones), tenemos:

a)

"De las cinco partes del todo se han sombreado tres"

"3 de las 5";

"3/5".

b) Si la unidad la representamos por entonces

representa:

"1 3/4 es la parte sombreada, siendo 1 3/4 la forma mixta de la fraccin 1+3/4."

Si utilizramos para los diagramas la magnitud longitud, entonces al dividir un segmento en partes iguales

la fraccin 3/5 indica las partes que se toman en relacin al nmero de partes en que se ha dividido el segmento.

En la caracterizacin de la relacin partetodo se habla de "partes congruentes" lo que no indica necesariamente partes de la misma forma. En la figura siguiente la relacin entre las partes sombreadas y el nmero de partes tambin se puede representar por 3/5 (tres quintos).

La nocin de "partes congruentes" es de vital importancia para poder justificar que en la siguiente figura

no podemos indicar por 3/5 (tres quintos) la parte sombreada, al no estar formada por partes congruentes. Esto es debido a que entendemos por 3/5: "la figura tiene sombreada los tres quintos de su superficie".

En un contexto discreto se puede representar:

Donde el "todo" est formado por el conjunto global de las cinco bolas, tres de las cuales son negras.

3/5 indica, la relacin entre el nmero de bolas negras y el nmero total de bolas.

Si por otra parte representamos el todo por:

entonces en la situacin:

"2 1/3 representa la parte sombreada".

Es interesante resaltar que si se utilizan contextos discretos se fuerza a que el nio ample su esquema de la relacin partetodo ya que en este caso, cuando usamos un conjunto de objetos discretos como unidad, por ejemplo:

si queremos representar la fraccin 3/5 (tres quintos) (dividir el conjunto en cinco partes y tomar tres) los subconjuntos que resultan tambin estn formados cada uno de ellos por varios objetos (en este caso por dos):

En contraposicin al contexto continuo en que las partes son trozos simples.

Lgicamente la dificultad aumenta si se toma como unidad:

y se piden los 3/5, es decir, situaciones en las que la fraccin no se puede aplicar.

4.1.2. Fracciones Decimales.Una estandarizacin de la relacin parte todo, junto con las caractersticas de nuestro sistema de numeracin decimal, dan pie a la introduccin de las fracciones decimales.

Por ejemplo, utilizando la representacin continua y el modelo rectngulo, considerando la unidad como un rectngulo y dividindolo en diez partes. Cada una de las partes es en relacin al todo (unidad), 1/10 una de las diez (una dcima).

Si cada "parte" (dcima) la dividimos en otras diez partes, obtenemos "una de diez de una de diez", 1/10 de 1/10 (una centsima).

Queremos indicar con esto, que los decimales (la notacin decimal de algunas fracciones) estn vinculados a la relacin ms general "parte(todo".

El material de Dienes, Bloques Multibase sirve de ayuda, ya que cubitos, barras, placas y cubos se pueden tomar de la siguiente manera:

Un cubito es 1 dcimo de la barra.

Una barra es 1 dcimo de la placa.

Una placa es 1 dcimo del cubo.

Un cubito es una centsima de la placa, etc.

Si tenemos 1 cubo, 3 placas, 4 barras y 5 cubitos al considerar como unidad:

El cubito, tenemos el nmero 1345.

La barra, tenemos el nmero 134,5.

La placa, tenemos el nmero 13,45.

El cubo, tenemos el nmero 1,345.

As concebidas, las fracciones como decimales forman una extensin natural de los nmeros naturales.

4.1.3. Las fracciones como puntos sobre la recta numrica.

En esta situacin se asocia la fraccin a/b con un punto situado sobre la recta numrica en la que cada segmento unidad se ha dividido en b partes (o en un mltiplo de b) congruentes, de las que se toman a.

Tambin se puede considerar como un caso particular de la relacin partetodo.

Se destaca esta interpretacin ya que aqu implcitamente se realiza la asociacin de un punto a una fraccin.

en este caso se puede pensar que la fraccin no se asocia a una parte de una figura o a un subconjunto de objetos, sino que se reduce a un nmero abstracto; as como el 3/5 es un nmero entre el cero y el uno, el 3/2 es un nmero entre el uno y el dos.

Esta representacin hace que se pueda pensar en las fracciones como nmeros parecidos al 1, 2, 3, 4,.. y que se pueden colocar entre ellos.

Aunque esta forma de representar las fracciones provoca algunas dificultades a algunos nios (812 aos), tambin presenta algunas ventajas (DICKSON, I 984):

Hace que las fracciones impropias (fracciones mayores que la unidad) aparezcan de forma mucho ms natural as como los nmeros mixtos. Hace hincapi en el hecho de que el conjunto de las fracciones forma una extensin del conjunto de los nmeros naturales (las fracciones rellenan "huecos" entre los naturales).

Tiene conexiones con la idea de medida (uso de escalas).

Pero, como decamos, su utilizacin puede presentar algunos problemas.

Uno de los problemas que se pueden plantear es la identificacin del segmento unidad cuando la recta numrica se ha extendido ms all del uno:

Si se les pide sealar el 3/5 los nios suelen indicar el punto donde est el tres, sin embargo esta dificultad no se presenta si se les proporciona la representacin siguiente:

Tambin se plantean problemas cuando el segmento unidad est dividido en un mltiplo del denominador.

Por ejemplo: "Seala el 3/5" en el siguiente segmento:

La recta numrica sirve tambin como una buena representacin de la interpretacin de las fracciones como medida.

Identificada una unidad de medida (segmento), admite subdivisiones congruentes.

El nmero de adiciones iterativas de la parte resultante de la subdivisin que cubren el objeto, indica la medida del objeto (proceso de contar iterativo del nmero de unidades (subunidades) que se han utilizado en cubrir el objeto).

"Cunto mide esta cuerda?"

As, desde esta perspectiva ms general, en un contexto de medida, este modelo viene caracterizado por la eleccin de una unidad arbitraria y sus subdivisiones (la unidad debe ser invariante bajo las divisiones) (KIEREN, 1980), significando la tarea de medir, la asignacin de un nmero a una "regin" (en el sentido general).

Al considerar las fracciones en la interpretacin de medida, se proporciona el contexto natural para la suma (unin de dos medidas), y para la introduccin de los decimales (notacin decimal) (KIEREN, I 980).

Adems, el manejo de la representacin de las fracciones a travs de la recta numrica, ayuda al nio a "conceptualizar" las relaciones parte-todo en un contexto y reconocer contextos equivalentes que proceden de nuevas divisiones de la unidad. Es decir, el uso de la recta numrica puede ser una buena introduccin a la nocin de equivalencia: la misma parte de la unidad recibe nombres diferentes en funcin del nmero de divisiones.

Un adecuado recurso didctico para desarrollar estas ideas que relacionan las fracciones y la nocin de medida lo puede constituir los Nmeros en Color. Este material est formado por regletas de madera de diferentes colores y diferentes longitudes:

Con estas regletas, la pregunta qu es la regleta roja de la blanca?

Tiene una traduccin en trminos de medida que indica lo que mide la regleta roja tomando la blanca como unidad.

Para contestar a esta cuestin, hacemos un "tren" de regletas blancas de la misma longitud que la regleta roja dada, tal y como indica la figura

La roja es dos veces la blanca.

Si la pregunta fuera "qu es la blanca de la roja?" Qu mide la regleta blanca cuando tomamos la roja como unidad?

La respuesta sera la blanca es una de las dos que cubre a la roja.

Entonces la relacin entre la blanca y la roja es de 1/2:

En este caso se dice que la regleta blanca es un medio de la roja.

Esta situacin se puede generalizar:

Si consideramos como unidad la regleta amarilla y preguntamos: "qu mide la verde clara?", entonces se puede volver a la regleta blanca y se tiene:Cinco veces la blanca es una amarilla.

la regleta blanca es una de las cinco que cubren a la amarilla, y utilizando la misma notacin anterior, se tiene:

Como la verde clara que est formada por tres blancas, ser:

luego, la verde clara es los tres quintos de la amarilla.

En general, podemos indicar que la relacin parte todo (tanto en su representacin continua como discreta), constituye el fundamento de la interpretacin de las fracciones como medida.

4.2. Las fracciones como cociente.

En esta interpretacin se asocia la fraccin a la operacin de dividir un nmero natural por otro (divisin indicada a: b = a/b). Es decir, dividir una cantidad en un nmero de partes dadas.

KIEREN (1980) seala la diferencia de esta interpretacin con la anterior indicando que, para el nio que est aprendiendo a trabajar con las fracciones, el dividir una unidad en cinco partes y coger tres (3/5) resulta bastante diferente del hecho de dividir tres unidades entre cinco personas, aunque el resultado sea el mismo.

En esta interpretacin se considera que las fracciones tienen un doble aspecto:

a) Ver a la fraccin 3/5 como una divisin indicada, establecindose la equivalencia entre 3/5 y 0,6 en una accin de reparto, yb) Considerar las fracciones (nmeros racionales) como los elementos de una estructura algebraica; es decir, como los elementos de un conjunto numrico en el que se ha definido una relacin de equivalencia, y en el conjunto cociente resultante de unas operaciones (suma y multiplicacin) que cumplen ciertas propiedades de tal forma que dotan a dicho conjunto de una estructura algebraica de cuerpo conmutativo.

Debido a que bajo esta interpretacin se concibe a las fracciones como pertenecientes a un sistema algebraico abstracto donde las relaciones entre los elementos son de ndole deductiva, esta interpretacin debe tener un carcter globalizador y ser posterior en la secuencia de enseanza a las dems interpretaciones.

4.2.1. Divisin indicada (reparto).

La interpretacin de la fraccin indicando una divisin de dos nmeros naturales como (3/5 = 3:5) aparece en un contexto de reparto:

"Tenemos tres barras de chocolate y hay que repartirlas de forma equitativa entre cinco nios, cunto le tocar a cada uno?"

Segn los trabajos de la profesora HART (1980) slo la tercera parte de los nios de doce y trece aos eran capaces de darse cuenta que dos nmeros naturales se pueden dividir uno por otro pudindose expresar el resultado exacto mediante una fraccin.

La resistencia de los nios a ver 3:5 como 3/5 puede ser debido a que muchos de ellos se encuentran familiarizados con la interpretacin parte-todo para las fracciones y por tanto ven los 3/5 como la descripcin de una situacin (de cinco partes hay tres sombreadas), mientras que por otra parte, la divisin indica un proceso, precisamente el proceso de repartir 3 pasteles entre cinco nios.

No hay que olvidar tampoco que muchos nios, debido al manejo de los nmeros naturales, dicen que la divisin 3:5 no se puede realizar cuando se les presenta de forma aritmtica.

Sin embargo, a pesar de esto, existen opiniones (STREEFLAND, 1984) que centran el desarrollo de las secuencias de enseanza de las fracciones alrededor de esta interpretacin, indicando que la dificultad que presenta la enseanza de las fracciones en la escuela, consiste en que se tiende rpidamente a centrarse en un tratamiento formal y algortmico de estas ideas.

La alternativa consistira en buscar situaciones de la vida diaria, de reparto y de medida que conlleven el trabajo con las fracciones y, apoyados en el conocimiento informal que sobre stas tienen los nios cuando entran en la escuela, potenciar a travs de estas situaciones la construccin del concepto, las operaciones y las relaciones en las fracciones por los propios nios.

Bajo esta perspectiva el significado de fraccin y las operaciones estn conectados de tal forma que se desarrollan al mismo tiempo.

Son los nios quienes tienen que construir y no los profesores.

Sin embargo al desarrollo de las secuencias de enseanza con la interpretacin de la idea de cociente (reparto) se le puede plantear algunas matizaciones segn se utilicen en contextos discretos o continuos (rea, longitud).

Ante un contexto discreto: Repartir veinte caramelos entre cinco nios. o un contexto continuo: "Tenemos una cinta de 22 cm. Hay que repartirla entre 4 nios cunto le toca a cada uno?".

Los nios realizan considerablemente mejor las tareas de reparto en contextos discretos que en contextos continuos.

Para finalizar, podemos considerar que, en esta interpretacin de las fracciones como cociente y en las situaciones de divisin(reparto en las que una cantidad se divide en un nmero de partes dadas, se pueden distinguir dos aspectos:

a) Cuando nos proporcionan la cantidad y el nmero de partes en las que hay que dividirlo y nos piden lo que vale cada parte (reparto):

"Tres pizzas entre cinco nios."

b) Cuando nos proporcionan la cantidad y lo que vale cada parte y nos piden el nmero de partes (medida):

Tenemos tres pizzas y a cada nio le ha correspondido los 3/5 de una pizza. A cuntos nios hemos podido dar pizza?

4.2.2. Las fracciones como elementos de una estructura algebraica

Las actividades en situaciones de reparto(medida constituyen el substrato sobre el que se construye la interpretacin de las fracciones como elementos de un cuerpo conmutativo (estructura algebraica).

Se conciben las fracciones (nmeros racionales) como elementos de la forma a/b, siendo a y b naturales (para Q+) () que representan la solucin de la ecuacin:

b x = a.Esta interpretacin de las fracciones, no est estrechamente vinculada al pensamiento natural del nio al desarrollarse de forma deductiva las operaciones y propiedades.

4.3. La fraccin como razn.

Hasta ahora hemos caracterizado las fracciones en situaciones de comparacin parte(todo, pero algunas veces las fracciones son usadas como un ndice comparativo" entre dos cantidades de una magnitud (comparacin de situaciones).

As nos encontramos con el uso de las fracciones como razones. En este caso no existe de forma natural una unidad (un todo) como en los otros casos.

En esta situacin, la idea de par ordenado de nmeros naturales toma nueva fuerza, la relacin parte(parte (o la relacin todo(todo) se describe con a:b.

Algunos ejemplos en diferentes contextos pueden ayudarnos a clarificar esta interpretacin de las fracciones:

a)

La relacin (razn) entre bolas negras y blancas es de tres quintos (3/5).

b)

La altura del mueco A es 3/5 de la de B:

(3:5)

La altura del mueco B es 5/3 de la de A:

(5:3).

c) Las escalas en los dibujos de mapas, planos, etc.

d) Las recetas de comidas, las mezclas de lquidos, las aleaciones,...

Las comparaciones realizadas en los ejemplos anteriores, describen una relacin conjunto a conjunto (todo(todo).

Este camino conduce a situaciones:

- En las que se tienen que comparar razones:Un coche A recorre un trayecto de 3 km en 5 minutos. Un coche B recorre un trayecto de 4 km en 6 minutos. Qu coche lleva una velocidad mayor?

Un nio compra 3 caramelos por 5 cntimos. Otro nio compra 4 caramelos por 6 cntimos quin ha comprado ms barato?

- o a buscar valores adicionales a las razones que se pueden construir (problemas de regla de tres),

"Un coche A recorre un trayecto de 3 km. en 5 minutos. Cunto tardar en recorrer un trayecto de 4 km?"

"Un nio compra 3 caramelos por 5 cntimos. Cunto pagar por 4 caramelos?"que constituyen un marco natural para las proporciones (igualdad de razones(equivalencia de fracciones) con esta interpretacin.

4.3.1. La probabilidad.

Algunos ejemplos de la utilizacin, de las fracciones en este contexto son aquellos en los que se establece una "comparacin" todo(todo entre el conjunto de casos favorables y el conjunto de casos posibles, como:

"En una bolsa hay tres bolas negras y dos blancas. Sacamos aleatoriamente una bola. Cul es la probabilidad de que sea negra?"

"Al lanzar un dado cul es la probabilidad de obtener un seis".

4.3.2. Porcentajes.

La relacin de proporcionalidad que se establece entre un nmero y 100 ( 1000) recibe el nombre particular de porcentaje.

Por regla general los porcentajes tienen asignado un aspecto de operador, es decir, al interpretar el 60 % de 35 se concibe actuando la fraccin 60/100 sobre 35 (hacer 100 partes de 35 y coger 60).

Utilizando el lenguaje de aplicaciones, los porcentajes se pueden entender como el establecimiento de relaciones entre conjuntos (razones), establecindose subconjuntos de cien partes.

Cuando se establecen las rebajas del 15%, estamos estableciendo una relacin de 15 es a 100 que para una cantidad de 300 pesetas vendra representado por:

Entonces existe la misma relacin (definiendo la relacin en el sentido de la aplicacin biunvoca entre subconjuntos) entre "15 es a 100" como en 45 es a 300.

4.4. Las fracciones como operadores.

Se concibe aqu la fraccin como una sucesin de multiplicaciones y divisiones, o a la inversa.

Por ejemplo si en un contexto discreto tomamos como una situacin de partida (estadounidad) el conjunto formado por los 24 nios de una clase, el efecto de la aplicacin del operador 2/3 (dos tercios) se puede representar por:

Estado-Unidad

(situacin)OperadorEstado Final

24 niosDividir por 3 y multiplicar por 216 nios

El estado final 16 nios tambin recibe el nombre de estado dos tercios como la descripcin de un estado de cosas.

En un contexto continuo, por ejemplo cuando acta la fraccin 2/3 considerada como operador sobre un segmento de longitud dada, se obtiene otro segmento de longitud 2/3 del original.

De nuevo hay que insistir en que el operador lleva implcito un convenio: primero acta la divisin y luego la multiplicacin, identificndose as con la interpretacin partetodo. Tambin se puede invertir el convenio y actuar siempre la multiplicacin en primer lugar y luego la divisin.

Hay que observar que, bajo esta interpretacin, las fracciones se utilizan en un doble aspecto:

a) describiendo una orden, una accin a realizar (operador), y

b) describiendo un estado de cosas, es decir, describiendo una situacin.

En el ejemplo anterior utilizando el contexto discreto se mostraban los dos aspectos de la utilizacin de las fracciones bajo esta interpretacin.

De forma esquemtica, si representamos el estado unidad por uno, el resultado de aplicarle el operador dos tercios nos proporciona el estado final 2/3.

Estado UnidadOperadorEstado Final

1x 2/32/3

Este doble aspecto de las fracciones en esta interpretacin predetermina un poco el estudio que se pueda realizar. En este caso, por ejemplo, podemos establecer de dos formas la equivalencia de fracciones:

i) Equivalencia de operadores. Operadores fraccionarios diferentes, que al actuar sobre el mismo estadoinicial dan el mismo estado final

Estado inicialOperadorEstado final

18

18

18x (2/3)

x (4/6)

x (8/12)12

12

12

ii) Equivalencia de estados. Un mismo operador que al actuar sobre estados unidad, diferentes produce la misma transformacin (comparando el estado inicial y final en el sentido descrito en la seccin anterior sobre la "razn", lo que nos introduce de forma natural a la nocin de proporcin.

Estado InicialOperadorEstado Final

12

15

24x (2/3)

x (2/3)

x (2/3)8

10

16

la relacin entre el estado inicial y el estado final siempre es dos a tres.

Esta interpretacin enfatiza el papel de las fracciones (nmeros racionales) como elementos del lgebra de funciones (transformaciones) al mismo tiempo que conduce a la idea de que los nmeros racionales forman un grupo (estructura algebraica) con la multiplicacin.

5. UNA SECUENCIA PARA LA ENSEANZA DEL CONCEPTO DE FRACCIN.

En un primer momento vamos a utilizar el modelo referido a contextos continuos en particular los representados por hojas de papel, folios, cuartillas, hojas de peridico,...

La idea de utilizar el modelo rectngulo en un primer momento frente al tradicional modelo de los crculos (tartas), se debe, como ya se ha indicado, a que es ms fcil para los nios el uso de la forma rectangular para realizar partes congruentes, y para identificarlas. Adems de que resultan ms fciles de obtener hojas rectangulares que circulares.

Los pasos realizados en la secuencia propuesta por COXFORD et al. ( 1975) intentan enfatizar los siguientes puntos del concepto de fraccin:

1. Unidad.

Identificar el nmero de unidades;

Identificar cantidades mayores o menores de la unidad.

2. Partes de una unidad usando materiales concretos:

identificar el nmero de partes de una unidad;

identificar partes del mismo tamao;

dividir una unidad en partes iguales.

3. Nombres orales para partes de la unidad:

Establecer el nombre de las fracciones;

Usar las fracciones para contestar a cuntos?

Identificar fracciones iguales a uno.

4. Utilizar fracciones para representar partes de la unidad:

de forma oral a forma escrita;

de forma escrita a forma oral;

de una forma concreta a forma escrita;

de forma escrita a alguna forma concreta.

5. Representar fracciones con dibujos:

transicin de objetos a diagramas;

repeticin de los pasos anteriores pero con los diagramas.

6. Ampliar la nocin de fraccin:

fracciones mayores que uno;

nmeros mixtos;

modelo discreto, utilizacin de conjuntos;

comparar fracciones, fracciones equivalentes;

5.1. Las fracciones unitarias, el contar y las operaciones con fracciones.

Dos ideas bsicas hemos estado manejando hasta estos momentos en relacin a la secuencia de enseanza que permita conceptualizar las nociones iniciales (atributos) del concepto fraccin (relacin parte(todo).

Estas ideas son:

la nocin de fraccin unitaria, y

el contar dichas fracciones para obtener las dems.

Pues bien, en estos momentos, en los que hemos empezado a representar las relaciones parte(todo a travs de diagramas, forma escrita y smbolos, debemos tambin poner de manifiesto (ya que realmente estn implcitas en estas situaciones) algunas operaciones con las fracciones.

En el momento en que contamos las fracciones unitarias para identificar:

Cunto hay?

"un(cuarto, y otro cuarto, y otro cuarto, y ... "

Se deben ya introducir los smbolos que representan esta situacin:

1/4 + 1/4 + 1/4...

Debemos presentar como un todo los smbolos y relaciones entre los smbolos, que de hecho representan lo mismo.

Si el cuadrado es la unidad.

Entonces la siguiente situacin:

est representada a partir de la secuencia de contar fracciones unitarias por:

1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4

Ampliando la nocin de multiplicacin de nmeros naturales como "tantas veces algo", esta expresin se puede representar por:

5 veces 1/4 es decir: 5 x 1/4

Pero tambin sabemos que se puede representar por:

1 + 1/4 , es decir, 1 1/4.

Todas las representaciones simblicas aparecen de forma natural si utilizamos como apoyo las fracciones unitarias y la secuencia de contar.

No es "lcito" que ocultemos a los nios todas estas representaciones que pueden aparecer de una forma tan clara, y vinculadas a su vocabulario.

Un buen modelo para apoyar estas relaciones lo puede constituir la recta numrica, siempre y cuando, tengamos en cuenta todas las dificultades que puede plantear el asociar una fraccin a un punto de la recta por parte de los nios.

La sucesin de contar hacia adelante tambin puede invertirse.

Contar hacia atrs (quitar fracciones unitarias), desarrolla la idea de resta de fracciones con el mismo denominador.

Si consideramos un cuadrado de papel como unidad y lo dividimos en partes congruentes de las cuales pintamos de rojo tres de estas partes, para establecer la parte pintada en relacin a la unidad:

Dnde si cada parte la hemos llamado uncuarto la parte pintada es la unidad menos un cuarto, 1 ( 1/4.

De esta forma se intenta que al desarrollar en estos momentos las traslaciones entre las representaciones concretas de la fraccin y las formas escritas y simblicas se ample la nocin de fraccin mediante la utilizacin de diferentes representaciones.

Es decir, se pretende que la idea de fraccin se forme (conceptualice) junto con el inicio a las operaciones.

Si se tiene la suficiente precaucin para llegar a estos momentos habiendo manejado los nios gran cantidad de situaciones concretas y realizado gran cantidad de traslaciones entre las representaciones, verbalizando todas las posibilidades que se les presenten delante, o que ellos crean ver, el uso de los smbolos para los nios no debe plantear problemas.

Pero no hay que olvidar que desde este punto al manejo de los algoritmos para las operaciones queda todava un largo camino.Sin embargo, situaciones como:

Tengo en mis manos 3/4 de la hoja y ahora consigo 2/4 ms cunto tengo ahora?

Tena uno y he perdido un cuarto, cunto me queda?

en las que se manipula el material y se expresan verbalmente las descripciones y las relaciones entre los elementos de la situacin, para posteriormente hacer las representaciones mediante los smbolos, pueden introducirnos en este terreno.

5.2. La utilizacin de otros materiales concretos

El establecimiento de relaciones entre los diversos aspectos del concepto inicial de fraccin as como del desarrollo de las diferentes traslaciones entre las representaciones indicadas en el esquema anterior tambin pueden ser mostradas a partir de otro material concreto distinto de los folios y de las hojas rectangulares, como puede ser a travs de las figuras del juego chino TANGRAM, cuya configuracin especial puede ayudar a conceptualizar la idea de partes congruentes sin necesidad de tener la misma forma.

El TANGRAM est formado por un cuadrado de cartulina o plstico dividido en siete partes, como muestra la figura siguiente:

A parte de los diferentes juegos de ndoles geomtricos que se pueden organizar, la nocin parte de la unidad, nombres de las partes,... tambin encuentran con estas figuras un buen campo de desarrollo.

La facilidad de construccin de estas figuras hace posible que todos los nios de un aula puedan disponer del material para trabajar en grupos o individualmente.

La potenciacin de los procesos de verbalizacin de los nios en las diferentes actividades que se puedan desarrollar con este material hace que el "aspecto lenguaje" adquiera su verdadera dimensin en el camino de llegar a la conceptualizacin de la relacin parte(todo.

Las fases de trabajo con este material mantienen los mismos apartados descritos para los trozos de papel rectangulares, atendiendo a las direcciones del esquema de las representaciones y traslaciones. Adems potencia nociones como las de superficies equivalentes, rea, etc.

(Para saber ms sobre el TANGRAM, consultar J. ELFFERS, El juego de formas chino. El TANGRAM, Ed. Labor, 1982),

6. VARIOS NOMBRES PARA LA MISMA RELACIN. IDEA DE EQUIVALENCIA.

Al plantear tareas de clase en las que se desarrollan las nociones iniciales del concepto fraccin, tanto en contextos continuos, discretos, como con la recta numrica, a veces se pueden plantear situaciones en las que la relacin de la parte considerada y el todo puede venir descrita mediante parejas de nmeros distintas.

a)

4 de 8

2 de 4

1 de 2

b)

4 de 8

2 de 4

1 de 2

c)

4 de 8

2 de 4

1 de 2

La importancia de la idea de equivalencia de fracciones se debe al papel clave que juega en diversos aspectos: en la relacin de orden (ordenar dos fracciones, insertar varias fracciones entre dos fracciones dadas), en el desarrollo de los algoritmos de la suma y resta de fracciones de denominador diferentes.

En un nivel ms elevado, la conceptualizacin del nmero racional como clase de equivalencia de fracciones (conjunto de todas las fracciones que describen la misma relacin entre la parte considerada y el todo).

Adems, como ya hemos sealado anteriormente, son requisitos previos para la comprensin de la equivalencia el haber desarrollado las ideas relativas a la relacin parte(todo tanto en contextos continuos como discretos.

De todas formas la idea matemtica de equivalencia puede tener varios niveles de sofistificacin. El manejo de esta relacin en situaciones concretas (continuas o discretas) no tiene por qu inferir el manejo correcto de los smbolos matemticos

1/2 = 2/4 = 4/8 = ...

2/3 = ?/6

Por tanto el trabajo en la escuela debe ir dirigido a que los nios desarrollen en un primer momento estas relaciones (la equivalencia) en contextos concretos (continuos y discretos) potenciando la capacidad del nio de realizar traslaciones entre las representaciones concretas, as como a la forma oral, escrita y simblica.

Por otra parte, la dificultad de la equivalencia de fracciones radica en el hecho de tener que vincular las manipulaciones que se realizan en contextos concretos con la regla de obtener fracciones equivalentes en el nivel de los smbolos.

Es decir, en un contexto continuo (modelo rectngulo) establecemos nuevas divisiones en el todo o ignoramos parte de las que existen para encontrar fracciones equivalentes; en un contexto discreto realizamos nuevas reordenaciones de los elementos (fsica o mentalmente) para obtener fracciones equivalentes.

As, estas actuaciones en el nivel concreto hay que vincularlas a la regla de tener que multiplicar o dividir el numerador y el denominador de la fraccin por el mismo nmero para obtener fracciones equivalentes:

4/8

Adems se presenta el hecho de que los nios en un nivel simblico admiten con mayor facilidad el proceso de obtener fracciones con trminos mayores (mediante la multiplicacin) que el proceso de obtener fracciones de trminos ms pequeos (mediante la divisin).

El tener que fundamentar la regla que produce fracciones equivalentes hace que tengamos que secuenciar debidamente las actividades evitando pasar rpidamente a la manipulacin de los smbolos.

Posteriormente debemos intentar que el pensamiento de los nios se independice del material y de las manipulaciones del mismo, para que se convierta realmente en elaboraciones mentales.

Las secuencias de enseanza basadas en las actividades de doblar papel resultan efectivas para conseguir este propsito.

A ello se aade la necesidad de utilizar un solo modelo (modelo rectngulo, en el contexto continuo) en la realizacin de las actividades, ya que la utilizacin simultnea de contextos continuos y discretos puede ser perjudicial para la adquisicin de la regla que permite obtener fracciones equivalentes.

De todos modos no hay que descartar la posibilidad de utilizar contextos discretos posteriormente para ampliar la red de relaciones relativa a la equivalencia, cuando ya nos hayamos aproximado a la regla de encontrar fracciones equivalentes en el nivel simblico.

A continuacin, vamos a intentar describir las caractersticas de la secuencia de enseanza basada en el contexto continuo, modelo rectngulo, y desarrollada mediante actividades de doblar papel.

Si tenemos dos hojas rectangulares de papel con dos tercios (2/3) sombreados en cada una

dos de tres; 2(tercios; 2/3

Entonces, mientras tenemos una hoja delante, encima de la mesa, con la otra realizamos la siguiente secuencia:

Doblarla por la mitad horizontalmente.

"Desdoblar, en cuntas partes ha quedado dividida ahora la unidad?: en seis". En cuntas partes estaba dividida antes?" (slo hay que comparar con la hoja que tenemos delante): en tres." "En la que tenemos ahora, qu es cada parte de la unidad?: un sexto."

"Cuantos sextos tenemos sombreados? (mientras se cuenta en voz alta, ir sealando con el dedo: cuatro sextos."

"Cmo lo representbamos?: 4/6."

Colocando las dos hojas de papel que tenamos, una al lado de la otra, con la fraccin que indica la parte sombreada.

2/3 = 4/6

2/3

2/3

4/6

Estas actividades son imprescindibles que las hagan los nios.

Tienen poco valor si es el profesor quien realiza la manipulacin guiando con sus comentarios las observaciones. El trabajo de la manipulacin personal, es vital para la interiorizacin de las transformaciones que se estn realizando.

El objetivo en estos momentos es trasladar la atencin de los nios hacia las modificaciones que sufre el nmero de partes sombreadas en relacin al nmero de partes del todo.

Segn ELLERBRUCH et al. (1978):

La idea esencial es relacionar los dobleces de la hoja de papel a la idea de doblar, triplicar, y en general, multiplicar el numerador y denominador por el mismo nmero... Se presiona la relacin entre la expresin verbal de doblar el nmero de piezas y doblar el nmero considerado.As :

.

Podemos mostrar la equivalencia conectando los diagramas rectangulares y la recta numrica.

Es una forma de organizar la informacin que poseemos en estos momentos, que puede ayudar a aproximarnos a la regla. Se apoya en las actividades de generar la familia de medios, de cuartos, de tercios,... que salen a partir de las secuencias de contar fracciones unitarias. Si todos los dobleces los realizamos de forma vertical tenemos:

Familia de los medios:

Familia de los tercios:

Familia de los cuartos:

7. LA COMPARACIN DE FRACCIONES. LA IDEA DE ORDEN

Una de las aplicaciones de la idea de fracciones equivalentes se pone de manifiesto, cuando queremos comparar dos fracciones y determinar si una es ms pequea, igual o mayor que la otra.

De todas formas, el comparar dos fracciones con el mismo denominador, se puede hacer directamente comparando los numeradores. Estas actividades deben seguir la misma secuencia anterior, empezando con concretos y mediante la explicacin por parte de los nios de lo que se est haciendo, o de la razn por la cual se est haciendo determinada cosa, hasta llegar al manejo de los smbolos.

Por ejemplo:

al comparar 4/6 y 5/6:

al realizar los dobleces de papel y sombrear la parte indicada (traslacin smbolo(material en la secuencia del concepto fraccin), tener la unidad separada en el mismo nmero de partes la comparacin es inmediata, apoyndonos en el orden de los nmeros naturales (el orden de los numeradores).

4 veces un sexto y 5 veces un sexto,

y como cuatro es menor que cinco, tenemos que cuatro veces un sexto es menor que cinco veces un sexto.

La primera dificultad se presenta cuando hay que comparar fracciones con el mismo numerador y con denominadores distintos, por ejemplo:

al comparar 4/5 y 4/7 quin es mayor?.

Como al dividir un mismo todo en 5 y en 7 partes, las partes del 5 son mayores que las del 7, si tomamos en ambos casos 4 partes, se tiene que 4/5 > 4/7.

Una mayor dificultad se presenta cuando hay que comparar fracciones con numeradores y denominadores distintos, por ejemplo:

al comparar 5/6 y 2/3.

La construccin con material de las fracciones, y la comparacin directa, puede ser un primer intento a realizar. Pero el propsito de la secuencia de enseanza es conseguir una independencia paulatina del material, y para eso, si centramos nuestra atencin en lo que podemos hacer cuando comparamos fracciones con el mismo denominador representadas en material, encontramos que:

podemos hacer la comparacin directa, y

podemos apoyarnos en el hecho de comparar el nmero de fracciones unitarias que "hay" en cada fraccin.

Una de las ideas implcitas en esta ltima tarea es la necesaria comprensin de la relacin inversa entre el nmero de trozos de la unidad y el tamao de las piezas. (Cuadro siguiente).

TodoNmero de piezasTamao de pieza

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

f) 8

Una actividad (POST et al., 1987) que pone de manifiesto esta relacin puede consistir en que los nios comparen ante crculos de distintos colores divididos en diferentes partes, el nmero de partes que cubren la unidad y el tamao de las partes.

Colocando los nios por parejas y tomando como unidad el crculo (todo) se pide a un nio que divida su crculo en cuartos y al otro el suyo en sextos, plantendose a continuacin preguntas como:

En cuntas piezas se ha dividido el crculo?;

Quin tiene ms piezas?;

Quien tiene la pieza ms grande?y el anotar las respuestas en hojas aparte puede ayudarles a darse cuenta de la relacin inversa existente entre el nmero de trozos en que se divide la unidad y el tamao de cada trozo.

Paulatinamente, las cuestiones deben plantearse de tal forma que los nios deban contestar a las preguntas primero y luego comprobar sus respuestas (si lo creen necesario) utilizando el material.

Adems, los nios pueden utilizar diferentes procedimientos para realizar las comparaciones dependiendo del tipo de fracciones.

La estrategia descrita al principio para fracciones con igual denominador (4/6 y 5/6) de comparacin directa utilizando esquemas de ordenacin de los nmeros naturales no son vlidos cuando las fracciones que tenemos tienen igual numerador pero distinto denominador, como por ejemplo 3/4 y 3/5.

En estas situaciones, haber conseguido una buena comprensin de la relacin entre el nmero de piezas y el tamao de las piezas puede ayudar a que los nios ante esta situacin consideren que como los cuartos son ms grandes que los quintos entonces la fraccin 3/4 debe ser mayor que 3/5, con lo que actividades como las descritas anteriormente que intentaban poner de manifiesto la relacin entre el nmero de piezas del total y su tamao adquieren una gran importancia.

Finalmente, en la comparacin de fracciones del tipo 5/6 y 2/3 es donde las diferentes estrategias utilizadas por los nios en los casos anteriores pueden mejorarse.

Tanto el contar fracciones unitarias como los procedimientos de fijarse en la comparacin del tamao de las partes pueden introducirnos en la utilizacin de estrategias que puedan justificar el uso de algn algoritmo.

As por ejemplo, con la introduccin a la comparacin de fracciones basada en la comparacin del nmero de fracciones unitarias, se establece de forma natural la necesidad de tener fracciones con el mismo denominador cuando queramos compararlas.

De todas formas no hay que olvidar que parte de la dificultad que presentan las tareas de comparar fracciones viene vinculada al tipo de nmeros que se estn utilizando, tanto en contexto continuos como discretos.

8. LAS DISTINTAS INTERPRETACIONES DEL CONCEPTO FRACCIN Y LAS OPERACIONES.

A travs del anlisis del concepto realizado en cada caso, se puede vislumbrar el hecho de que algunas interpretaciones pueden conducir, de una forma ms natural, al concepto de determinadas operaciones.

As, en el aspecto medida caracterizado a travs de la relacin partetodo, los conceptos de suma y resta de fracciones, encuentran su interpretacin mas natural.

Podemos utilizar el modelo de la Recta Numrica para vincular las interpretaciones partetodo, medida y fraccin como nmero:

de metro +

de metro

--------------------------------------------------------------------------------------

Por otra parte el concepto de multiplicacin y divisin de fracciones viene vinculado con mas naturalidad a la interpretacin operador.

El carcter funcional de la multiplicacin/divisin, hace que la interpretacin de las fracciones ms estructuralista (algebraica) les proporcione el contexto adecuado.

Por ejemplo:

i) Coge los dos tercios de la parte sombreada, cunto has cogido del total?

2/3 x (3/4) =

ii) Coge los 3/4 de la tarta. Cmete los 2/3 del trozo que has cogido. Cunto te has comido del total?

Teniendo en cuenta esta relativa familiaridad entre algunas interpretaciones y algunas operaciones, es posible prever dificultades en relacin a la adquisicin del concepto de alguna operacin, en funcin de que interpretacin de las fracciones se haya potenciado en la secuencia inicial de enseanza.

As, teniendo en cuenta esta circunstancia, DIENES por ejemplo, al potenciar la interpretacin operador (entendiendo en este caso la fraccin como una sucesin de una multiplicacin y de una divisin de nmeros naturales), indica que el concepto de multiplicacin es el ms natural y que su introduccin no plantea ninguna dificultad, por lo que introduce la multiplicacin antes que la suma/resta de fracciones con denominador distinto, ya que considera esta operacin, como la sustitucin de dos operadores por uno solo, o la aplicacin de un operador a un estado fraccionario.

Con este planteamiento la idea de fraccin inversa (operador inverso) y la idea de divisin son inmediatas.

Sin embargo esta misma elegancia en la presentacin de la multiplicacin y divisin plantea algunos inconvenientes al introducir la suma de fracciones. DIENES salva esta dificultad hablando de suma de estados finales obtenidos por medio de operadores fraccionarios (en vez de la sustitucin de dos operadores por uno equivalente como en el caso de la multiplicacin).

Por ejemplo, para presentar la suma de las fracciones 2/3 + 4/5 establece los siguientes pasos:

1. Consideramos el estado unidad (inicial), en nuestro caso 15, entonces:

2. Realizamos la suma de estados finales y nos da:que es la representacin del estado 22/15.

Al operador que al actuar sobre el Estado Inicial nos da el Estado Final 22/15 se representar pues por 2/3 + 4/5.

Por otra parte, si la secuencia de enseanza relativa al concepto inicial de fraccin enfatiza el aspecto medida (relacin parte(todo) como en la secuencia descrita por nosotros, es el concepto de suma y de resta el que se presenta con ms naturalidad. Sin embargo, se plantean dificultades a la hora de encontrar aproximaciones intuitivas coherentes con el planteamiento parte(todo, al tratar las operaciones de multiplicacin y divisin de fracciones.

Por ejemplo, podemos preguntarnos qu significa 2/3 dividido entre 4/5 si consideramos las fracciones solo bajo la interpretacin parte(todo.

9. OPERACIONES CON FRACCIONES.

Existen modelos (estrategias de enseanza) que pueden ayudar a afianzar algunos algoritmos, una vez que aparecen en la secuencia de enseanza como sntesis de los procesos personales de resolucin de problemas planteados por los nios.

9.1. Suma y resta de fracciones

En la secuencia que desarrollaba el concepto inicial de fraccin se insista sobre el uso de las fracciones unitarias y el contar, lo que nos introduca de forma natural en las ideas de sumar y restar fracciones en algunos casos determinados.

As, a travs de situaciones problemticas, como por ejemplo:

"Juan se ha comido los 3/8 de la tarta y Pedro los 2/8. Cunta tarta se han comido entre los dos?"

en las que el proceso de solucin viene determinado por el hecho de contar octavos que de forma simblica podamos representar por:

3/8

3 octavos

2/8

2 octavos

5/8

5 octavos

En las primeras situaciones de este estilo hay que ir con cuidado al representar las fracciones, ya que si estas son representadas en "unidades" distintas, puede conducir a error:

creer que su suma es 5/16.

Se enfatizaba en estas situaciones, de nuevo, la identificacin de la unidad, al igual que sucede en las situaciones en las que intervienen fracciones mayores de la unidad.

Juan se ha comido 1 1/3 de los pasteles de chocolate y Pedro 2 1/3. Cuntos pasteles se han comido entre los dos?

1 + 1/3

2 + 1/3

3 + 2/3

El proceso utilizado en las situaciones descritas hasta el momento (tanto para la suma como para la resta) se apoya en el hecho de sumar y restar fracciones unitarias; el nivel de manejo de smbolos se diriga hacia el hecho de que se sumaban los numeradores:

Las primeras dificultades aparecen cuando la "unidad de contar" es distinta en las dos fracciones. Si el objetivo de la secuencia de enseanza es ir trasladando los procedimientos de los nios hacia el procedimiento dado por el algoritmo de la operacin, un camino que ha probado tener buenos resultados es el de la secuenciacin del tipo de fraccin en las actividades propuestas.

En las situaciones en las que se nos presentan fracciones con distinto denominador, la idea que subyace en los procedimientos utilizados es buscar siempre las fracciones escritas de tal forma que podamos aplicar secuencias de contar, es decir, buscar fracciones con el mismo denominador.

Esta idea se apoya en el trabajo hecho con la equivalencia de fracciones. En estos momentos se deben utilizar los pasos que se sistematizaron para encontrar fracciones equivalentes (buscar mltiplos del denominador ms grande que tambin sean mltiplos del otro denominador).

Conviene recordar que los algoritmos para la suma y resta de fracciones con denominadores distintos pertenecen a un nivel poco intuitivo.

Este hecho hay que tenerlo presente al secuenciar los pasos que debemos dar para ayudar a los nios a que se trasladen desde la utilizacin de sus procedimientos personales a un procedimiento sntesis (general) de los procedimientos usados; o incluso a veces, la secuencia de enseanza lo nico que debe hacer es afianzar la "regla" que de forma incipiente han empezado a utilizar los nios.

Todo ello hace que la secuencia de enseanza pueda/deba realizarse en un nivel simblico, aunque independientemente de esto, en algunos casos se debe volver a situaciones concretas para evitar la prdida de la intuicin.

As, continuando la secuencia propuesta en relacin a la clase de fraccin considerada, tenemos:

1) fracciones con denominadores mltiplos entre s: 2/3 + 3/6;2/3 ( 1/6;...

2) denominadores primos entre s:

2/5 + 3/2 ;3/2 ( 1/3;...

3) los denominadores no son mltiplos entre s: 2/6 + 3/4;3/4 ( 2/6;...

El procedimiento en todos los casos, apoyados en la equivalencia de fracciones, consiste en buscar denominadores comunes.

Por ejemplo, en el caso 2/6 + 3/4 =?debemos recalcar los diferentes procedimientos que pueden utilizar los nios.

A veces, se encuentran nios que utilizan procedimientos de clculo del mnimo comn mltiplo (m. c. m.) (pueden ser repetidores, o nios cuyo pap(!) le haya enseado, o nios que hayan llegado a este procedimiento por s mismos...). La idea siempre es intentar llegar a procedimientos ms sistemticos.

Uno de estos procedimientos (los nios pueden encontrar otros) es el encontrar fracciones equivalentes.

Este ltimo caso consiste en:

( Fijarse en el denominador ms grande. En este caso 6.

( Calcular sus mltiplos hasta encontrar uno que tambin sea mltiplo de 4,

6 x 1 = 6 no es mltiplo de 4

6 x 2 = 12 si es mltiplo de 4, ya que 4 x 3 = 12.

Algunas veces, se sugiere que en los primeros casos que se presenten, haya una manipulacin con el material intentando conectar los pasos del algoritmo a las manipulaciones del material concreto.

As, cuando operemos con nmeros mixtos, a veces, se necesita renombrar alguna unidad en trminos de fraccin, en particular con la resta.

Ante esta situacin ASHLOCK (1983) sugiere que el procedimiento de renombrar la unidad tiene sentido para los nios cuando trabajan con el material y hacen anotaciones de las manipulaciones (transformaciones) que realizan.

Por ejemplo, para efectuar la operacin:2 1/4 ( 3/4

podemos poner: 2 1/4 = 2 + 1/4 =1 + 1 + 1/4

Si renombramos una unidad:

entonces la resta 2 1/4 ( 3/4 toma la forma:

De todas formas hay que tener claro que estamos trabajando en un nivel simblico de relaciones entre los objetos (en este caso fracciones) a travs de las nociones de equivalencia y las operaciones.

En determinados niveles, es necesario hacer uso de procedimientos ms generales, como el mnimo comn mltiplo, ya que este procedimiento es til en estudios posteriores (fracciones polinmicas,...).

9.2. La multiplicacin de fracciones. Secuencia didctica.1. Producto de nmero natural por fraccin.

El primer contacto con la operacin de multiplicar vinculada a las fracciones aparece al representar la suma de fracciones iguales (nmero natural por fraccin).

Ana recibe clases de Matemticas de 3/4 de hora durante cinco das a la semana, cuntas horas de Matemticas recibe a la semana?

3/4 + 3/4 + 3/4 + 3/4 + 3/4 = 5 veces 3/4 = 5 x 3/4

y que apoyada en la idea de fracciones unitarias se obtiene: 15 cuartos o tambin, representado como nmero mixto: 3 + 3/4 = 3 3/4

En este caso la aparicin del producto de un nmero natural por una fraccin sigue un camino natural.

2. Producto de fraccin por nmero natural.

En este momento contemplando las operaciones desde una perspectiva terica, podramos llegar a pensar que mediante la propiedad conmutativa se podra tener la operacin: fraccin x nmero natural; como una consecuencia de lo anterior.

Pero esta traslacin no es del todo vlida, ya que responde a situaciones completamente diferentes:

"Ana utiliz 3/4 de una docena de huevos para realizar un pastel, cuntos huevos utiliz?"

"M Jos estuvo caminando durante 7 cuartos de hora, cuntos minutos estuvo caminando?"

"Paco se comi las dos terceras partes de los 18 pasteles que haba. Cuntos pasteles comi?"

En estas situaciones se utiliza la fraccin en su aspecto operador (frente a la idea de medida de las otras situaciones).

Adems la transicin 3/4 de 12 a 3/4 x 12 no es tan inmediata como pueda serlo pasar de 5 veces 3/4 a 5 x 3/4.

Todo esto hace que las situaciones que indican la multiplicacin de una fraccin por un nmero natural son algo ms difciles de resolver por los nios. (PAYNE, 1 975).

Para intentar superar alguna de estas dificultades se sugieren secuencias como la que sigue:

Hay 9 canicas,

Juan necesita el triple de las que hay:

3 veces 9,

3 x 9

Juan necesita el doble de las que hay:

2 veces 9,

2 x 9

Juan necesita un tercio de las que hay:

1/3 de 9,

1/3 x 9

Juan necesita dos tercios de las que hay: 2/3 de 9,

2/3 x 9

Cambiando tanto el tipo de nmeros, como el de fracciones se ayuda a realizar el paso de "de" a "x".

As, a travs de situaciones como las descritas anteriormente, tanto para el caso de nmero natural x fraccin y para el de fraccin x nmero natural, se intenta que los nios se den cuenta de lo comn en cada caso:

es decir, que se multiplica el numerador de la fraccin por el nmero natural.

En este punto se intenta llegar al caso general de fraccin por fraccin.

3. Producto de fraccin por fraccin.El modelo utilizado normalmente en la enseanza es el modelo rea, intentando ser una ampliacin del producto de nmeros naturales para determinar el rea de un rectngulo.

Si tenemos un rectngulo de dimensiones 2 y 3 respectivamente:

el rea viene determinada por el nmero de cuadrados 1x1 que lo forman.

Evidentemente este modelo tambin se puede aplicar a la situacin 5 x 3/4.

Utilizando esta idea, para calcular el rea de un rectngulo cuyas dimensiones sean 3/4 y 2/5, podemos construir un rectngulo como el siguiente:

El rea del rectngulo es 3/4 x 2/5, y como la unidad (de dimensiones 1 x 1) est dividida en 20 partes, y nuestro rectngulo est formado por 6 partes de las veinte, entonces 3/4 x 2/5 = 6/20.

El procedimiento para fracciones mayores que la unidad, (nmeros mixtos) es idntico. Si hay que determinar el rea del rectngulo de dimensiones 2 1/2 y 3 1/3

En esta situacin, la regin unidad est dividida en 6 partes, siendo cada parte 1/6. El rectngulo con las dimensiones dadas est formado por 50 partes congruentes a las anteriores, luego, el rea ser cincuenta sextos (50/6):

A travs de ejercicios diversos, se intenta guiar la atencin de los nios hacia los pasos que se repiten, los cuales constituyen la generalizacin hacia el algoritmo. Al multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores y los denominadores:

Sin embargo el inconveniente que presenta esta introduccin es que el modelo rea, no representa un buen modelo de comprensin para la operacin de multiplicar fracciones ya que no es normal encontrar dicha situacin. Es decir, esta introduccin no es una buena herramienta conceptual, entendiendo esta expresin como que el modelo rea no tiene un carcter general para representar diversas situaciones de multiplicar fracciones. Existen pocas aplicaciones directas de la multiplicacin de fracciones que se puedan trasladar de una forma natural a la idea de encontrar el rea multiplicando longitudes fraccionarias.

Si slo utilizamos esta introduccin a la multiplicacin de fracciones nos encontraremos con dificultades en relacin a la desvinculacin entre el manejo del algoritmo y la resolucin de problemas.

Una aproximacin alternativa se puede plantear con la interpretacin operador, desarrollada con detalle por DIENES, en sus dos aspectos:

1) operador sobre un estado fraccionario, y

2) composicin de dos operadores,

Tanto en contextos discretos como continuos.

En el caso de operador fraccionario sobre un estado fraccionario en contextos continuos se presentar la siguiente situacin

luego podemos afirmar que:2/3 x (3/4) = 2/4.

O en una situacin ms general:

por lo tanto, se tiene que

1/4 x (2/3) = 2/12.

Sin embargo, la necesidad de vincular la multiplicacin de fracciones a situaciones problemticas, nos induce a buscar aproximaciones complementarias.

La observacin de lo que se repite nos llevar a la regla.

Lo que hay que tener en cuenta en estos momentos, es que, generalmente en los problemas (situaciones problemticas) en los que aparece la operacin de multiplicar fracciones, las fracciones suelen tener un carcter de operador.

La representacin de la situacin mediante diagramas puede ayudar a mostrar la situacin que describe el problema con ejemplos del tipo:

"Quedaba 3/4 de tarta en la nevera y me com los dos tercios. Qu porcin de la tarta entera me com?"

(se indica la parte de tarta que hemos comido en relacin al total, "seis de doce").

En estas situaciones los nios pueden "construir" multitud de expresiones para indicar el trozo de tarta que ha comido cada uno, si se ha seguido con ellos una secuencia de enseanza como la sealada.

La discusin que se puede plantear cuando se muestran estas distintas expresiones a la clase entera por parte de cada nio o grupo de nios, puede ayudar a que se superen errores, malas interpretaciones, y se admitan como vlidas expresiones distintas a las que ha producido uno mismo.

El proceso de justificacin de cada expresin as como en la explicacin por cada nio (o grupos de nios) del proceso que se ha seguido para obtener dicha expresin, ayudan a que los nios amplen las nociones sobre fracciones y operaciones de fracciones que poseen en un momento determinado.

Por otro lado, la aparicin de la expresin 6/12 para representar el final del proceso 2/3 x 3/4, junto con la realizacin de numerosas actividades de este estilo y mediante la gua del profesor debe aproximar a los nios a la regla general (algoritmo de la multiplicacin).

Estas situaciones deben venir complementadas mediante la propuesta de situaciones que conlleven la multiplicacin de fracciones en contextos discretos.

"Utilic 3/4 de una docena de huevos para hacer tres tartas. Cuntos huevos tiene cada tarta?"

3/4 de 12 huevos = 9 huevos

1/3 de 9 huevos = 3 huevos.

Aunque estas situaciones, como vemos, inducen a trasladarnos al manejo de nmeros naturales. Este detalle hace que la utilizacin de la multiplicacin de fracciones "per se" sea ms bien un procedimiento de uso dudoso.

Pero a travs de aquellas que permitan una identificacin ms clara del proceso de solucin a la multiplicacin de fracciones, se debe seguir la secuencia descrita anteriormente:

( Presentacin del problema (situacin);

( Trabajos en grupos o individualmente; exposicin de los procedimientos y de las posibles soluciones por parte de los nios;

( Observaciones sobre los procedimientos que conducen a la regla;

( Posible generalizacin, que nos lleva a que el algoritmo de la multiplicacin sea una regla de clculo que represente procedimientos personales de solucin a los problemas.

Finalmente, una vez establecida la regla, y ya en un plano de smbolos, se deben proporcionar actividades (cuentas) para esquematizar(afianzar procedimientos de clculo (utilizando propiedades como la conmutativa, asociativa,...) que nos introducirn posteriormente en las primeras relaciones algebraicas.

Hay que tener en cuenta que el clculo con los nmeros mixtos no requiere nuevas destrezas, siempre y cuando no existan dificultades en renombrar los nmeros mixtos como fracciones, que haba sido uno de los objetivos a desarrollar en la secuencia de enseanza del concepto inicial de fraccin al introducir las fracciones mayores de la unidad.

En un plano simblico se procede as:

9.3. La divisin de fracciones. Secuencia didctica.La secuencia a seguir, ser el planteamiento de situaciones que atiendan a dividir naturales por fracciones, fracciones por naturales y fracciones entre si.

1. Divisin de nmero natural entre fraccin; n: a/b, posee el significado de partir (Cuntas veces cabe la fraccin a/b en n?). Por ejemplo: 6: 2/3 equivale a cuntas veces cabe 2/3 en 6, lo que da 9 veces.

2. Divisin de fraccin entre nmero natural; a/b: a, puede pensarse como repartir una fraccin en n partes. Por lo que 2/3 dividido entre 3 resulta 2/9.

3. Divisin de fraccin entre fraccin; a/b: c/d, corresponde tambin a partir (Cuntas veces cabe c/d en a/b?). Por ejemplo 3/4: 1/4 equivale a cuntas veces cabe 1/4 en 3/4 lo que es igual a 3. Hay diversas estrategias para presentar esta operacin, pero la ms conocida es la que se fundamenta en la idea de fracciones inversas.

La idea de fraccin inversa puede ser desarrollada cuando hablamos de la multiplicacin.

Por ejemplo, si consideramos como unidad la cuartilla, entonces la parte sombreada representa los tres cuartos de la cuartilla.

Pero si consideramos como unidad la parte sombreada,

entonces la cuartilla entera son los 4/3 de la unidad.

Como vemos, la realizacin de estos ejercicios, basados en la idea de relacionar una parte con la unidad una vez identificada la unidad, corresponden al tipo de ejercicios desarrollados al inicio de la secuencia de enseanza para el concepto inicial de fraccin.

Si multiplicamos las dos fracciones que aparecen, tenemos:

cuyo resultado es la unidad.

Estas fracciones se denominan fracciones inversas.

Al apoyar la introduccin de la divisin de fracciones en la idea de fracciones inversas se est planteando la idea de operacin inversa de la multiplicacin (es decir, relaciones de ndole algebraico).

El algoritmo de la divisin entre fracciones

Dividir fracciones resulta dificultoso si el dividendo no es mltiplo exacto del divisor y la regla "La divisin de dos fracciones se transforma en una multiplicacin al invertir la segunda" es muy til, pero es necesario conocer en qu propiedades se apoya:

Para justificar el hecho de que se invierte el divisor existen varios caminos. Por ejemplo:a) Transformar ambas fracciones, en equivalentes de igual denominador. De esta forma se obtiene un entero o unidad comn para ambas fracciones y por lo tanto la relacin de divisin se reduce a dividir los numeradores entre s.

Ejemplos:

Sea dividir 5/6:1/6, esto puede ser pensado como cuntas veces cabe un sexto en 5 sextos? La respuesta es 5 y proviene de dividir 5:1/6:6 = 5/1 = 5,Sea 3/5 : 2/3 = 9/15 : 10/15 = 9/10 (usando un razonamiento similar en este caso, pero como el cociente de numeradores no es entero se deja indicado con una fraccin).

En general: a / b : c I d = ad / bd : bc / bd = ad : bc l bd : bd = ad : bc = ad / bc.(lo que responde a la regla citada en un comienzo)

b) Otra forma es demostrar que es lo mismo a/b : c/d = a/b dlc usando distintas propiedades:

a/b : cId = mln por cociente

mln cId = a/b por inversa de la divisin

Multiplicando ambos miembros por dlc obtengo mln cId dlc = alb dlc

Reemplazando mln y simplificando cId dlc = 1, resulta: a/b : cId = a/b dlc

En efecto, teniendo en cuenta el producto en N:

vemos que dividir 35 entre 5 equivale a multiplicar el inverso de 5 por 35.

De forma anloga podemos afirmar que:

Luego, para dividir dos fracciones se multiplica la primera por la fraccin inversa de la segunda.

En estos momentos hay que tener en cuenta que la divisin de fracciones se fundamenta en relaciones algebraicas:

( la divisin como operacin inversa de la multiplicacin, o

( la multiplicacin de un nmero por su inverso es la unidad

Como hemos sealado anteriormente puede ser que, debido a este carcter algebraico y poco intuitivo de la divisin de fracciones, se cuestione el manejo de este algoritmo en la enseanza primaria.

De todas formas, y una vez establecida la regla (en el nivel que sea) y ya en un plano de manejo de smbolos, tal y como sealbamos para el caso de la multiplicacin, se pueden proporcionar actividades que nos ayuden a esquematizar(afianzar dicho procedimiento de clculo.

10. NMEROS DECIMALES

Son ms difciles o ms fciles que las fracciones?

El sistema de registrar una fraccin como 4/5, es probablemente ms fcil de comprender en los estadios iniciales que 0,8.

Muchos alumnos de 4 de primaria saben que la mitad de 5 es dos y medio, sin que por ello sepan que su escritura en la calculadora es 2.5.

Pero al igual que el sistema arbigo de escritura de los nmeros naturales tiene considerables ventajas, en comparacin con el sistema romano, as el sistema decimal de escribir fracciones tiene ventajas de tipo similar. Por esta razn y ms en particular debido a que el sistema de escritura adoptado en calculadoras, ordenadores, etc. es el decimal, parece probable que la escritura decimal sea cada vez ms utilizada en las aplicaciones y que el uso de las fracciones a un nivel que no sea el informal ir gradualmente desapareciendo.

Toda fraccin tiene sentido como un decimal, mientras que (dejando a parte las fracciones ms comunes) el recproco no es cierto: un nio sabe que mide 1,62 m y nunca dice que mide 162/100 metros; una carrera se hace en 9,73 segundos y nadie ha visto escrita esa cantidad como 973/100 segundos.

Por lo dems, cuando los decimales se introducen despus de las fracciones, se suele poner el nfasis principalmente en relacionar el sistema notacional de los decimales y el de las fracciones de una manera bastante abstracta, bajo el supuesto de que el concepto de fraccin est firmemente captado.

Actualmente hay evidencias que indican que la mayora de los alumnos tiene dificultades en traducir la notacin decimal a la notacin de fraccin.

Las principales dificultades de los decimales son:

1. Las que hay en comprender las convenciones del sistema posicional de numeracin.

2. Las que hay en comprender el concepto de tres dcimos, tres centsimos, etc., es decir, en comprender el significado (los significados) que como fraccin tiene tres dcimos o tres centsimos.

Por tanto, a la pregunta son los decimales ms difciles o ms fciles que las fracciones?

No se debe responder ni en un sentido ni en otro. Es como la pescadilla que se muerde la cola. Por un lado, uno de los significados bsicos de 3/5 es 0,6 y por otro, 0,6 tiene que ser comprendido como 6/10.

En general, cada uno de los significados concretos de fraccin, puede y debe ser introducido en todo programa preparado para ensear el significado de los decimales.

11. Nmeros decimales

Nmero decimalEs la expresin lineal de una fraccin ordinaria o decimal, que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador y que consta de una parte entera y una parte decimal, separadas por una coma o un punto.

Ejemplos:

a. 1 / 2 = 0.5

que es el resultado de dividir 1 : 2

b. 1 / 3 = 0.333... que es el resultado de dividir 1 : 3

c. 1 / 4 = 0.25 que es el resultado de dividir 1 : 4

d. 5 / 4 = 1.25 que es el resultado de dividir 5 : 4

El separador decimal es un smbolo usado para indicar la separacin entre la parte entera y la parte fraccional de un nmero decimal. A fines del 1500 haba surgido la necesidad de hacer clculos en todos los pueblos. Era la poca en que las primeras mquinas daban lugar a una gran produccin; poca de los primeros bancos. Hacer clculos ya no era un lujo, deba convertirse en el patrimonio de todos. Surge as la nocin primitiva del nmero decimal.

El punto, como signo de separacin entre las unidades enteras y decimales, aparece por primera vez en la Aritmtica del italiano Pellos(1492), pero solamente para separar cifras del dividendo, cuando el divisor terminaba en cero. Los primeros vestigios de la coma decimal datan del 1560. Simn Stevin en 1585 public un librito sobre la escritura de los nmeros decimales tratando de hacer comprender cul era la utilidad de esa escritura que evitaba tener que hacer clculos con fracciones y explic lo sencillo que era realizar las cuatro operaciones fundamentales de la aritmtica con ellos.

Juan Napier, un gran aristcrata escocs que vivi entre 1550 y 1617, introdujo la coma decimal como elemento de separacin tan usual entre los pueblos latinos.

En 1579, el francs Franois Vite (en su obra Canon) introduce el uso de una coma o una barra vertical como separador decimal.

En 1582, el matemtico belga Simn Stvin (1548-1620) introduce una notacin muy singular. Donde nosotros escribiramos 123,4567, l escriba:

123(0) 4(1) 5(2) 6(3) 7(4)

simbolizando as 123 unidades enteras, 4 unidades decimales de primer orden (dcimas), 5 unidades decimales de segundo orden (centsimas), 6 unidades decimales de tercer orden (milsimas), 7 unidades decimales de cuarto orden (diezmilsimas).

Diez aos ms tarde, el suizo Jost Brgi simplific la notacin eliminando la mencin intil del orden de las fracciones decimales consecutivas y poniendo encima de la cifra de las unidades el signo : 12,45

El mismo ao, el italiano Magini sustituy ese redondelito por un punto que coloc entre la cifra de las unidades y la de las dcimas. As naci la notacin que todava se utiliza en nuestros das en los pases anglosajones: 123.45

En lo que respecta a la coma decimal, fue ideada a principios del siglo XVII por el matemtico y ptico holands Wilbord Snellius (1580-1667), conocido tambin como Willebrord Snell y Willebrord Snel van Royen: 123,45