Tema 1 Gravitación

2 Fsica Bachillerato

TEMA 1

GRAVITACIN

Med los cielos y ahora mido las sombras. Mi mente tena por lmite los cielos, mi cuerpo descansa encerrado en la Tierra.Epitafio de Johannes Kepler

Esquema del tema1LeyesdeKeplerdelosmovimientosplanetarios.............................................................................................2

I.ConcepcionesdelUniverso:PtolomeoyCoprnico....................................................................................2II.TychoBraheyJohannesKepler..................................................................................................................2III.PrimeraLeydeKepler...............................................................................................................................3IV.SegundaLeydeKepler..............................................................................................................................3V.TerceraLeydeKepler.................................................................................................................................4

2LeydeGravitacinUniversaldeNewton........................................................................................................5I.Newtonylagravedad...................................................................................................................................5II.DelasLeyesdeKepleralaGravitacinUniversaldeNewton..................................................................5

3TeoradeCampos.............................................................................................................................................7I.Conceptoytiposdecampo...........................................................................................................................7II.TrabajoyEnerga........................................................................................................................................7III.CamposdeFuerzasConservativos............................................................................................................8IV.EnergaPotencial.......................................................................................................................................8V.PrincipiodeConservacindelaEnergaMecnica....................................................................................9

4CampoGravitatorio........................................................................................................................................10I.IntensidaddeCampoGravitatorio..............................................................................................................10II.PrincipiodeSuperposicin........................................................................................................................10

5EnergaPotencialgravitatoria.........................................................................................................................11I.EnergaPotencialGravitatoria....................................................................................................................11II.PotencialGravitatorio...............................................................................................................................11III.Velocidaddeescape.................................................................................................................................12

6CampogravitatorioTerrestre..........................................................................................................................13I.VariacindelaGravedadconlaaltura......................................................................................................13II.VariacindelaGravedadconlalatitud....................................................................................................13III.VariacindelaGravedadconlaprofundidad.........................................................................................13

7MovimientodecuerposenCamposGravitatorios.........................................................................................15I.rbitasdecuerposencamposdefuerzascentrales....................................................................................15II.rbitascirculares.......................................................................................................................................15III.EnergaOrbitalyEnergadeSatelizacin...............................................................................................15

8Ejercicios........................................................................................................................................................17I.LeyesdeKepler..........................................................................................................................................17II.Campogravitatorio....................................................................................................................................17III.Energa,potencialyvelocidaddeescape................................................................................................17IV.rbitas......................................................................................................................................................21V.SELECTIVIDAD......................................................................................................................................23

Tema1 1de25

Manuel Goi Echeverra

1 Leyes de Kepler de los movimientos planetarios

I. Concepciones del Universo: Ptolomeo y Coprnico.UnadelascuestionesmsdiscutidasdurantelahistoriadelaFsicahasidosiemprecmoestconsti

tuidoelUniversoyelSistemaSolar;setrataademsdeuntemaenelquehanintervenidolasreligiones,contribuyendoavecesadificultarlosavancescientficos.

Delasobservacionesdelcielosedescubrequeexistenvariostiposdeobjetos:

Porunladoestnlasestrellas(llamadasfijasantiguamente),quesemuevenporelcieloregularmentedeEsteaOeste,unavezcada24horas,ycambiandolentamentecadanoche,siguiendounciclodeunao.

Porotroladoestnlosplanetas(llamadosestrellaserrantesantiguamente)que,apartedeseguirlosdosciclos(diarioyanual)delasestrellas,vanvariandosuposicinnocheanoche,movindoseentrelasestrellas,avecesenunsentido,otrasvecesenotrosiguiendociclosirregulares.

PorltimoestnlaLunayelSol,quesiguensuspropiosciclos.TantolosplanetascomolaLunayelSolsemuevenporelcieloporlamismazona,llamadabandazodiacal,siguiendoaproximadamentelalneaquerecorreelSolporelcielo:laEclptica.

Paraexplicarestosmovimientos,aparecierondosgrandesteoras:el Geocentrismo enunciadoporClaudioPtolomeoenelSigloII,enAlejandra;yelHeliocentrismopublicadoporprimeravezporNicolsCoprnicoenelSigloXVI.

ElGeocentrismodefiendequelaTierrainmvilocupaelCentrodelUniverso,conlaLuna,elSol,losplanetasylasestrellasgirandoenrbitascircularesconcentroenlaTierra.Paraexplicarlosmovimientosirregularesdelosplanetas,sostienePtolomeoquealavezquesiguensurbita,trazancrculosmspequeos(epiciclos)centradosenlarbita.EstateorafueadoptadaporlaIglesiaCatlicacomoteoraoficialydeclarcomoherejacualquierotrateorasobreelUniverso.

ElHeliocentrismoplanteaqueelSoleselcentrodelUniverso,conlosplanetasylaTierragirandoenrbitascircularesalrededordel,ylaLunagirandoalrededordelaTierra.Losmovimientosirregularesdelosplanetassedanporque,cuandolaTierraensurbitaadelantaaotroplaneta,stepareceretrocederenelcielo,volviendomstardeasucaminonormal.Coprnicoenuncisuteorasinmuchoxito,perodespusladefendieronotroscientficoscomoGalileooKepler.

II. Tycho Brahe y Johannes Kepler.TychoBrahefueelmsgrandeobservadorastronmicoantesdelainvencindeltelescopio,anotan

doduranteaoscongranprecisinlasposicionesdelosplanetasenelcielo.FueastrnomorealenPragahastasumuerteen1601ydefensordelateoraGeocntricadePtolomeo.

JohannesKeplerfuenombradoayudantedeBrahe,convirtindoseensusucesorcuandoBrahemuri.FueunconvencidodefensordeCoprnicoysuteoraheliocntrica.Utilizlasmagnficasobservacionesdesumaestroparaenunciarsustresleyesdelmovimentoplanetario;lasprimerasleyescientficasquetratandeexplicarelUniverso.

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III. Primera Ley de Kepler.Leydelasrbitas:Kepler,conlaayudadelasobservacionesdeBraheylassuyaspropias,descubri

quelosplanetasnosiguenrbitascirculares,comoplanteabaCoprnico,elpticas.LaprimeraLeydeKeplersesueleenunciaras:

LosplanetassiguenrbitaselpticasalrededordelSol,constesituadoenunodelosfocosdelaelipse.

IV. Segunda Ley de Kepler.Leydelasreas:Keplertambinobservquelavelocidaddelosplanetasdependedesuposicinen

larbita,enunciandosusegundaley:

ElradioqueuneelSolconelplanetabarrereasigualesentiemposiguales

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Comoconsecuenciadelasegundaley,elplanetaensurbitaaceleraconformeseacercaalSol,siendosuvelocidadmximaenelperihelio(puntomscercanoalSol),yfrenaconformesealejadelSol,siendosuvelocidadmnimaenelafelio(puntomsalejadodelSol).

LasegundaleydeKeplerseexplicaporlaconservacindelmomentoangulardelplaneta.AlestardirigidahaciaelSol,lafuerzadegravedadformaunngulode180conelvectorqueuneelSolconelplaneta.PorlotantoelmomentodelafuerzadegravedadrespectoalSolesnuloyelmomentoangulardelplanetadebepermanecerconstante.Como L= m rv sen ,siladistanciaalSol( r )disminuye,lavelocidaddebeaumentarparamantenerelmomentoangularconstante;yviceversa.

TambinsepuededemostrarlasegundaleydeKeplermediantelaconservacindelaenergamecnicadelplaneta.SielplanetaseacercaalSol,disminuyesuenergapotencialgravitatoriayporlotantosuenergacintica(yentoncessuvelocidad)debeaumentarparamantenerconstantesuenergamecnica.

V. Tercera Ley de KeplerLeydelosperiodosylosradios:estaleysirvidebasealaLeydeGravitacinUniversaldeNewton,

ysesueleenunciarmatemticamente:

T2 = K R3

DondeTeselperiododeunplanetaensumovimientoalrededordelSol;Reselradiomediodelarbitadelplaneta(semiejemayordelaelipse);yKesunaconstantequeslodependedelamasadelSol,siendoporlotantoigualparatodoslosplanetas.

Sitenemoslosperiodosyradiosmediosdedosplanetas,laterceraleysepuedeexpresaras:

T12

R13 =

T22

R23

DondeT1yT2sonlosperiodosdelosplanetasyR1yR2sonlosradiosmediosdesusrbitas.

LasleyesdeKeplerseenunciaronparaelmovimientodelosplanetasalrededordelSol,perosonigualdevlidasparacualquierobjetoquesigaunarbitaalrededordeotrocuerpo(porejemplosatlitesenrbitaalrededordeotrosplanetas).

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2 Ley de Gravitacin Universal de Newton

I. Newton y la gravedad.ApartirdelasLeyesdeKepler,NewtonenuncisuLeydelaGravitacinUniversal:doscuerposse

atraenconunafuerzadirigidahaciaelcentrodelotrocuerpo,siendoestafuerzadegravedadproporcionalalacantidaddemateria(masa)decadacuerpoeinversamenteproporcionalaladistanciaqueseparaaloscuerpos.

Matemticamenteseexpresaas:

F= Gm1 m 2

r2

Donde F eslafuerzadegravedadentreloscuerpos;m1ym2sonlasmasasdelosdoscuerpos;rladistanciaquelossepara;yGesunaconstanteuniversal,laConstantedeGravitacinUniversal,ysuvaloresaproximadamente:

G = 6,67 1011 N m2 kg2

EstaLeyasenunciadaesvlidaparacuerpospuntuales(contodasumasaconcentradaenunpunto)ycuerposesfricos.Enesteltimocasoladistanciarsiempresemidedesdeelcentrodeloscuerpos.

PorlaterceraleydeNewton,lafuerzaconlaqueatraeelcuerpo1al2,esdelmismomduloquelaqueatraeelcuerpo2al1perodesentidocontrario.

Esunaleyuniversal,porqueseaplicatantoaloscuerposterrestrescomoaloscuerposcelestes.Fuelaprimeraleyqueunilosdosmundos,encontradelavisinanteriorqueseparabalasleyescelestes(divinas)delasterrestresomundanas.

II. De las Leyes de Kepler a la Gravitacin Universal de Newton.Keplerenunci suterceraLey,unaleycorrecta, basndoseenhiptesis incorrectas.Sinembargo

NewtonsebasenlaterceraleydeKeplerparadeducirsuLeydeGravitacinUniversal.

SepuedededucirlaLeydeGravitacinapartirdelaterceraleydeKepleras:

Primerosuponemosquelasrbitasdelosplanetassoncirculares;loque,aunquenoestotalmentecierto,seaproximamuchoalarealidad.Supondremosquelosplanetasrecorrensurbitaconunmovimientocircularuniforme.

PartimosdelasegundaleydeNewtondelamecnicaaplicadaalplaneta:

F = mp a

Comosetratadeunmovimientocircularuniforme,setratadeunafuerzacentrpeta(lafuerzadegravedad)ydeunaaceleracinnormal.Sustituyendolosmdulos:

F = mp an

F = mp vp

2

R; (1)

Delasleyesdelmovimientocircular:

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p =2

T vp =

2 RT (2)

Sustituyendolaecuacin(2)enla(1):

F = mp 4 2 R

T2

SisustituimoselperiodoporlaexpresindelaterceraleydeKepler:

F = mp 4 RK R3

Simplificandoyreordenando:

F = 4 K

mpR2

Como4esconstanteyKdependadelamasadelSol,sepuedeescribir:

F = cte Ms m p

R2

QueeslaexpresindelaLeydeGravitacinUniversaldeNewton.

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3 Teora de Campos

I. Concepto y tipos de campo.Paraexplicarqueunamasaacteadistanciaeinstantneamentesobreotracolocadaaciertadistancia,

seplanteaqueunamasainfluyeenelespacioquetieneasualrededor,creandoencadapuntodelespaciouncampo.

Uncamposedefinecomounazonadelespaciodondeexisteunamagnitudfsica(temperatura,presin,fuerza,velocidad,etc...)conunvalorparacadapuntodelcampo.LamagnitudfsicaquedefineelcamposellamaIntensidaddeCampo.

Porlotanto,cadamasacreauncampogravitatorioensusalrededores,yesestecampoelqueactadeinmediatosobreotramasaquesesitecercadelaprimera.

Loscampossepuedenclasificarsegnlamagnitudfsicaquelosdefine:

Silamagnitudesunescalar,setratadeuncampoescalar;porejemplo:lapresinatmosfricasobrelasuperficiedelaTierra(mapadeltiempo),lastemperaturasenunahabitacin,...

Silamagnitudesunvector,setratadeuncampovectorial:velocidadesdelaguadentrodeunatubera,fuerzadegravedadcercadeunamasa....

Dentrodeloscamposvectoriales,uncampodefuerzasesuncampocuyamagnitudesunafuerza.ElCampoGravitatorioesuncampodefuerzas.

Uncampodefuerzascentralesaquelcampodefuerzasenelquetodaslaslneasdelcamposonrectasradialesquesejuntanenunnicopuntocentral,yenelqueelmdulodelafuerzadelcampoesinversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciaalpuntocentral.

Loscamposescalaresserepresentanenundiagramamedianteisolneasocurvasdenivel;quesonlneasqueunenlospuntosdondeelcampotieneelmismovalor(isobarasenunmapadeltiempoocurvasdenivelenunmapatopogrfico).

Loscamposvectorialesserepresentanmediantelaslneasdecampo.elvectorintensidaddelcampoessiempretangentealaslneasdecampo;elmduloserepresentamedianteladensidaddelaslneasdecampo;ylaslneasdecampotienenunapuntadeflechaindicandoelsentidodelcampo.

II. Trabajo y Energa.EltrabajoquerealizaunafuerzaquedesplazaunobjetodesdeelpuntoAhastaelB,sedefinecomo:

W AB =AB

F d r

Donde d r esunsegmentoinfinitamentepequeodelatrayectoriadelcuerpo.Setratadeunproductoescalar,porloquesepuedeescribir:

W AB=ABF cos dr

Dondeeselnguloqueexisteentre F ylatrayectoriaencadapunto.Silafuerzaesconstanteyelngulosemantieneconstanteparatodalatrayectoria,sepuedeescribireltrabajocomo:

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W AB=F cos AB

dr

yporlotanto:

W AB= F d cos

dondedesladistanciarecorrida.

EltrabajosemideenJuliosenelSistemaInternacionaldeunidades(1Julio=1Newtonmetro).

Laenergasedefinecomolacapacidaddeproduciruntrabajo,yporlotanto,tambinsemideenJulios.

Haymuchostiposdeenerga,energacalorfica,energaelctrica,energanuclear,energacintica,

Laenergacinticaeslaenergaqueposeeuncuerpoporestarenmovimiento.Suvalores:

E c=12

m v2

Laenergapotencialeslaenergaqueposeeuncuerpoenrazndesuposicindentrodeuncampodefuerzasconservativo.Suexpresindependerdelcampodequesetrate.

Alasumadelaenergapotencialylacinticaselellamaenergamecnica.

Em = Ec + Ep

III. Campos de Fuerzas Conservativos.Uncampodefuerzasesconservativosibajosuaccin,laenergamecnicadeuncuerposeconserva

(esconstante).Ladefinicinexactaes:

Uncampodefuerzasesconservativosieltrabajorealizadoporlafuerzadelcamposlodependedelaposicininicialyfinal,nodelcaminorecorrido

Oestaotradefinicinequivalente:

Uncampodefuerzasesconservativosieltrabajorealizadoporlafuerzadelcampoaldesplazaruncuerpoyvolveralpuntoinicialesnulo.

Todocampodefuerzascentralesconservativo.

IV. Energa Potencial.Siuncampodefuerzasesconservativo,entoncessepuededefinirunaenergaqueslodependedel

puntodondeseencuentreelcuerpo,llamadaenergapotencial.Sedefineas:

Ep(B) Ep(A) =WAB

DondeWABeseltrabajorealizadoporlafuerzadelcampoaltrasladaruncuerpodelpuntoAalB.

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Sieltrabajolorealizaunafuerzaexternaencontradelafuerzadelcampo,entonces

Ep(B)Ep(A)=W'AB

Comoseve,ladefinicinserefierealadiferenciadepotencialentredospuntos,nodaunvalorconcreto;porloqueencadacampooproblemapodremosdefinirdndesesitaelOrigendelaEnergaPotencial,esdecirelpuntoenelquelaenergapotencialescero.

V. Principio de Conservacin de la Energa MecnicaLaenergamecnicadeunsistemasemantieneconstantesiemprequenosetransformeenotrotipo

deenerga:Laenerganisecreanisedestruye,slosetransforma.Comolasfuerzasquetransformanlaenergamecnicaenotrostipossonlasfuerzasnoconservativas,secumpleque:

Em FEm 0 = WFnc

DondeEmFyEm0sonlasenergasmecnicasfinaleinicial,yWfnceseltrabajorealizadoporlasfuerzasnoconservativassobreelsistema.

Porlotanto,si sobreunsistemasloactanfuerzasconservativas, Em FEm 0 = 0 yentonces laenergamecnicapermanececonstante.Esteeselprincipiodeconservacindelaenergamecnica.

Ejemplosdefuerzasconservativassonlafuerzadegravedad,lafuerzaelctrica,lafuerzaelstica,etc...

Ejemplosdefuerzasnoconservativassonlasfuerzasderozamiento,lasfuerzasmusculares,lafuerzamagntica,etc...

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4 Campo GravitatorioComoyahemosvisto,unamasaalteraelespacioasualrededor,creandounCampoGravitatorio,que

actuarsobrelasmasasquesesitenensuzonadeinfluencia.Esnecesariopuesdefinirelvectorquedefineelcampo,elvectorIntensidaddeCampoGravitatorio.

I. Intensidad de Campo Gravitatorio.SedefineelVectorIntensidaddeCampoGravitatorio g comolafuerzadegravedadqueaparecera

enunpuntodelespaciosicolocramosenesepuntounaunidaddemasa(1kg).Sielvector g nosdalafuerzadegravedadparaunamasadeunkg,siqueremoscalcularlafuerzadegravedadparaunamasamsituadaenelmismopunto,tendremosquemultiplicarmpor g :

F = m g ;porlotanto,despejando: g =Fm

Entonces,sustituyendolafuerzadegravedadporelvalordadoporlaLeydeGravitacinUniversalysimplificando,seobtieneparauncampogravitatoriocreadoporunamasaMpuntualoesfrica:

g= G Mr 2

Donderesladistanciaalpuntodondeestamoscalculandoelcampo.

Yaque g esunvector,faltaradarsupuntodeaplicacin,direccinysentido:ElpuntodeaplicacineselpuntoPdondequeremoscalcularlaIntensidaddeCampoGravitatorio;ladireccineslalneaqueunelamasaMconelpuntoP;yelsentidoessiemprehacialamasaM.

Alvector g tambinselellamaaceleracindelagravedad;enelSistemaInternacionaldeunidadessemideenms2; yel valormediodesumduloenla superficie dela Tierraesaproximadamente

g0 = 9,80 m s2 .

II. Principio de Superposicin.Sitenemosvariasmasaspuntualesoesfricasdistribuidasporunespacioyqueremoscalcularelvec

torIntensidaddeCampoGravitatorio( g )enunpuntoP,notenemosmsquesumarvectorialmente losvectores g i creadosporcadamasaenelpuntoP.

gT = g1+ g2+g3+.....+gn =i=1

n

g i

EsteeselprincipiodesuperposicindelCampoGravitatorio.

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5 Energa Potencial gravitatoriaElcampogravitatorioesuncampodefuerzascentral,yporlotanto,conservativo.Enconsecuencia,

sepuededefinirunaenergapotencialgravitatoria.

I. Energa Potencial Gravitatoria.PorladefinicindeEnergapotencial:

Ep(B)Ep(A)=WAB

VamosacalcularladiferenciadeenergapotencialgravitatoriadeunamasamentreunpuntoAcualquiera,situadoaunadistanciardelamasaquecreaelcampo(M)yunpuntoBsituadoaunadistanciainfinitadelamasaM.

Ep()Ep(A)=A

F dr =A

Fcos dr

comoseveeneldibujo,elnguloesde180ysustituyendolaexpresindelafuerzadegravedadparaunamasapuntualoesfrica:

Ep()Ep(A)=A

G m Mr 2

(1) dr

comohemosvistoantes,sepuededecidirelpuntodondelaenergapotencialsehacecero;porconvenio,paraelcampogravitatorio,esepuntoeselinfinito.PorlotantoEp()=0.Operandoysacandolasconstan

tesdelaintegral:

0Ep(A) =G m MA

1r 2

dr

laintegralde1r 2

es 1r ,porlotanto:

Ep(A)=G m M [ 1r ]A

=G m M( 1 + 1r )finalmente:

Ep = G m M

r

Recordandoqueestaexpresinesvlidanicamenteparamasaspuntualesoesfricas.

Soloenlascercanasdelasuperficiedeunplaneta,ladiferenciadeenergapotencialentredospuntosesaproximadamente: EP m g0 h .Dondemeslamasadelcuerpo,g0eslaaceleracindelagravedadenlasuperficiedelplanetayhesladiferenciadealturasentrelosdospuntos.

II. Potencial Gravitatorio.Aligualquelaintensidaddecampogravitatorioeslafuerzaporunidaddemasa,sepuededefinirotra

magnitud,elPotencialGravitatorioVg,queserlaenergapotencialenunpuntoporunidaddemasa:

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V g =Epm

Porladefinicin,lasunidadesdelpotencialgravitatoriosonlosJuliospartidoporkilogramo(Jkg1)

Utilizandolaexpresindelaenergapotencialcalculadaantesparamasaspuntualesoesfricas,elpotencialgravitatorioquedaras:

Vg = GMr

III. Velocidad de escape.SedefinecomoVelocidaddeEscape,ve,deunplanetaocuerpoceleste,alavelocidadinicialmnima

quehabraquedaraunobjetoparaqueescaparacompletamentedelaatraccingravitatoriadelplaneta.

Calcularlavelocidaddeescapeessencilloutilizandoelprincipiodeconservacindelaenerga.Siuncuerpoescapazdeescapardelaatraccindeunplaneta,elcuerposeracapazdealcanzarunadistanciainfinita,yaqueelinfinitoeselpuntodondenollegalaatraccingravitatoriadelplaneta.Comobuscamoslavelocidadmnima,elcuerposercapazdellegaralinfinito,yllegarallconvelocidadnula.Porlotanto:

Situacininicial:elobjetoaunadistanciaRdelcentrodelplanetaconlavelocidaddeescapecomosuvelocidadinicial.

Situacinfinal:elobjetoaunadistanciainfinitadelcentrodelplaneta,convelocidadfinalnula.

Comosloactalafuerzadegravedad,queesconservativa,sedebecumplirelprincipiodeconservacindelaenergamecnica:Emo=EmF.

Ec0 + Ep0 = EcF + EpF12

m ve2 G m M

R= 1

2m 02 G m M

12

m ve2 G m M

R= 0

12

m ve2 = G m M

Rsimplificando la masa y despejando la velocidad deescape :

ve = 2 G MREnestaexpresin,MeslamasadelplanetaocuerpocelestedelqueseescapayResladistanciaini

cialalaqueseencuentraelcuerpodelcentrodelplaneta(normalmenteserelradiodelplanetaRP).

Lavelocidaddeescapesirveparadefinirloscuerposcelestesllamadosagujerosnegros:unagujeronegroesuncuerpocelestecongravedadtanintensaquelavelocidaddeescapedesdesusuperficieesigualomayorquelavelocidaddelaluz;demaneraquenisiquieralaluzpuedeescapardel.

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6 Campo gravitatorio TerrestreParaestudiarelcampogravitatorioquecrealaTierraasualrededor,vamosasuponerquelaTierraes

unaesferaperfecta,aunquesuformarealesladeunelipsoidederevolucin,achatadoporlospolos.

LafuerzadegravedadenlasuperficiedelaTierrasesuelellamarpeso(aunquecoloquialmenteseconfundepesoconmasa).LaintensidaddecampogravitatoriooaceleracindelagravedadenlasuperficiedelaTierraes,aproximadamente,g0=9,80ms2.EstevalorsufrepequeasvariacionessegnellugardelaTierraenelquenosencontremoscomovamosaestudiar.

I. Variacin de la Gravedad con la altura.Laaceleracindelagravedad,alserlaTierracasiunaesfera,enlospuntosdelexteriordeellasigue

laexpresin g = GMTr

;porlotanto,alascendersobreelniveldelmar,laintensidaddelagravedaddis

minuirconelcuadradodeladistanciaalcentrodelaTierra.

II. Variacin de la Gravedad con la latitud.LafuerzadegravedadqueseobservaenlasuperficiedelaTierraesrealmentelasumavectorialdeal

menosdosfuerzas:lafuerzadegravedadpropiamentedichaqueapuntaalcentrodelaTierra;ylafuerzacentrfugadebidaalarotacindelaTierra.Ladireccindelafuerzacentrfugaesperpendicularalejede

girodelaTierra,sentidodealejamientodelejeysumdulotendrlaexpresin: Fcf= m v2

r;donder

esladistanciadesdeelpuntodelasuperficiedondenosencontremoshastaelradiodegiroterrestre,esdecir:r = RT cos dondeeslalatituddellugar.

TodoestotendrdosconsecuenciassobrelaaceleracindelagravedadaparenteencualquierpuntodelasuperficiedelaTierra:

ElpesodeuncuerponoapuntadirectamentealcentrodelaTierra,sinoquelagravedadesdesviadaligeramenteporlafuerzacentrfuga.LospolosyelEcuadorsonlosnicospuntosdelaTierradondelagravedadapuntadirectamentealcentrodelaTierra.

Elmdulodelaaceleracindelagravedadaparentesersiempreunpocomenorqueelvalorreal,tambindebidoalafuerzacentrfuga,yenunvalorquedependerdelalatitud.LospolossonlosnicospuntosdelaTierradondelafuerzacentrfuganoafectaporqueesnula.

III. Variacin de la Gravedad con la profundidad.CuandoprofundizamosenelinteriordelaTierra,todalamasadelaTierraqueseencuentremsale

jadadelcentroquenosotrosdejadeatraernos,porloquelaaceleracindelagravedadirdisminuyendohastaanularseenelcentrodelaTierra.

SuponiendoladensidaddelaTierra(dT)constanteyrecordandoquelamasadeuncuerpoesigualasudensidadporsuvolumen;vamosacalcularlaaceleracindelagravedadenelinteriordelaTierrapartiendodesuexpresingeneral:

g= G M 'r2

dondeM'eslamasadelaTierraquequedapordebajonuestra.

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M '= dT V = dT 43 r3

porlotanto:

g= G dT 4 r

3

3 r2

ysimplificando:

g= G 4 dT r

3

Porlotanto,enelinteriordelaTierra,laaceleracindelagravedaddisminuyeconelradio.

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7 Movimiento de cuerpos en Campos GravitatoriosCuandounobjetosemuevebajolaaccindeuncampogravitatorio,secumplendosprincipiosfunda

mentales:

Porunlado,alapuntarlafuerzadegravedaddirectamentehaciaelSol,elmomentodedichafuerzarespectoalSolesnulo,yporlotantoelmomentoangulardelcuerporespectoalSolesconstante.

Porotrolado,comosetratadeuncampoconservativo,laenergamecnicadelobjetotambindebemantenerseconstante.

Siguiendoestosprincipios,unobjetoenmovimientodentrodeuncampogravitatoriosiguesiempreunatrayectoriacnica:hiprbola,parbola,elipseocircunferencia;obienunalnearecta.

Latrayectoriadelcuerporecibeelnombrederbita.

I. rbitas de cuerpos en campos de fuerzas centrales.Eltipoderbitadeuncuerpodentrodeuncampocentraldependedelaenergamecnicadelcuerpo:

Lnearecta:starbitaslosedasielobjetoinicialmentenotieneenergacintica(velocidadnula).Elobjetocaelibrementehaciaelorigendelcampo.

Elipseocircunferencia:stasrbitassedansilaenergapotencialdelobjetoesmayor,envalorabsoluto,quelacintica.Comolaenergapotencialesnegativa,laenergamecnicadelcuerpoesnegativa.Setratadelasrbitasdelosplanetasysatlites.

Parbola:Unaparbolaesunaelipsequesecierraenelinfinito.Sedacuandolaenergapotencialigualaalacintica;porlotantolaenergamecnicaseanula.SetratadelarbitadeloscometasqueslopasanunavezporlascercanasdelSol.

Hiprbola:Setratadeunarbitaabierta.Laenergacinticadelcuerpoesmayorquelapotencial,suenergamecnicaespositiva.

II. rbitas circulares.Lasrbitasdelosplanetasydelossatlitessonelipsesprcticamentecirculares,porloqueparalos

ejercicios,comoprimeraaproximacin,sesuelenconsiderarlasrbitascirculares.Lasfrmulasquesepuedenusar,sonlaspropiasdelmovimientocircular:

F = m v2

Rorb

v =2 Rorb

T

DondeFeslafuerzadegravedaddeNewton: F =G m MRorb

2 ;meslamasadelcuerpoenrbita;M

eslamasadelcuerpocentral;Rorbeselradiodelarbita;veslavelocidaddelcuerpoensurbitayTeselperiododelcuerpoensurbita.

III. Energa Orbital y Energa de Satelizacin.SellamaEnergaOrbitalalaenergamecnicadeunsatliteodeunplanetaensurbita.Vamosa

calcularla:

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Eorb = EM = Ec + Ep

simeslamasadelsatlite,vsuvelocidad,MlamasadelcuerpocentralyRorbelradiodelarbita,entonces:

Eorb =12 m v

2 + (G m MRorb ) (1)vamosacalcularlaexpresindev2utilizandolasegundaleydeNewton:

F = ma n = m v2

Rorb

G m MRorb

2 = mv2

Rorbdespejando v2 y simplificando

v2 = G MRorb

Sustituyendov2en(1):

Eorb =12

m G MRorb

G mMRorb

sacandofactor comn :

Eorb = G m MRorb

( 12 1)Eorb = G

m MRorb

12

Eorb =12

Ep

Comohemosvistoantes,laenergadeuncuerpoenrbitacircularesnegativa,comosuenergapotencial.

SedenominaEnergadeSatelizacinalaenergaquehayqueaportaraunsatliteparaquepasedeestarenreposoenlasuperficiedeunplaneta,acolocarseenrbitaalrededordeeste.Porlotantolaenergadesatelizacinserladiferenciaentrelaenergaorbitalylaenergadelsatliteenlasuperficiedelplaneta.SillamamosEalaenergadesatelizacin:

E = Eorb E reposo

E=G m MRorb

12 (G m MRp )

E = G m M( 1Rp 1

2 Rorb )

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8 Ejercicios

I. Leyes de Kepler1. ElplanetaMartetienedossatlites:FobosyDeimos.Fobosdaunavueltaalplanetaen7,7horas,siendoelradiomediodesurbitade9430km.SiDeimostarda30,3horasendarunavueltaaMarte,calculaelradiomediodesurbita.

2. DosdelossatlitesdeJpitersellamanEuropayGanmedes.Elprimerotieneunperiodode3552dasyelradiomediodesurbitaesde670900km.CalculaeltiempoquetardaGanmedesendarunavueltaalrededordeJpiter,sabiendoquesudistanciamediaaJpiteresde1,07106Km

3. Sabiendo que la distancia Tierra-Sol es de 150 millones de kilmetros, calcula a qu distancia del Soldebera estar situado un planeta para que su periodo fuese la mitad del de la Tierra.

II. Campo gravitatorio.4. Un planeta tiene un radio 3 veces mayor que el de la Tierra y su masa es 10 veces mayor que la de laTierra. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en su superficie, sabiendo que su valor en la superficie dela Tierra es de 9,8 m/s2. (Utilizar slo este dato en la resolucin del problema)

5. La Luna posee una masa 81 veces menor que la de la Tierra y un radio 4 veces menor. Calcula la acele-racin de la gravedad en la superficie de la Luna y cunto pesara una persona de 80 kg en la Luna. Dato: gTie-rra = 9,8 m/s2.

6. Calcula la densidad media de la Luna sabiendo que la intensidad de la gravedad en su superficie es0,195 veces la intensidad de la gravedad en la Tierra (9,8 m/s2) y que su radio medio es de 1600 km. (volu-

men de una esfera: 343

R )

III. Energa, potencial y velocidad de escape 7. La energa potencial gravitatoria de un cuerpo en la superficie de un planeta de 3000 km de radio es de-4,44104 julios. Calcula la fuerza con la que dicho planeta atrae al mismo cuerpo cuando se sita a una dis-tancia de 300 km de la superficie del planeta.

8. SesitandoscuerposdeigualmasaMenelejeX,enlospuntos(1,0)y(1,0)(lascoordenadasvienendadasenmetros).Razonatusrespuestas.

a) Enqupuntosedeberasituaruntercercuerpoparaqueseencontraseenequilibrio(lafuerzatotalsobrelfuesenula)?

b) Enqupuntoopuntosseanularaelpotencialgravitatoriocreadoporlasdosmasas?

c) CalculaelvectorintensidaddecampogravitatorioenelpuntoA(2,0)

d) Calcula el potencial gravitatorio en el punto B (0 , 1)

9. Un satlite artificial se encuentra a una altura de 600 km sobre la superficie de la Tierra. La masa del sa-tlite es de 600 kg. Calcula:

a) Aceleracin de la gravedad en la posicin del satlite.

b) Potencial gravitatorio en la posicin del satlite.

c) Energa potencial del satlite.

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Radio de la Tierra: 6380 km; Masa de la Tierra: 5,981024 kg.

10. Un satlite artificial se mueve a una velocidad de 500 m/s cuando se encuentra a una distancia de 105km del centro de la Tierra. Si sobre el satlite no acta ninguna fuerza aparte de la gravedad terrestre, calculaa qu velocidad se mover cuando se encuentre a una distancia de 7000 km del centro de la Tierra.

Masa de la Tierra: 5,981024 kg.

11. Una nave despega desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de 500 km/s, movindosenicamente por su impulso inicial. Calcula cul ser la distancia mxima de la Tierra que podr alcanzar.Cul debera haber sido su velocidad inicial mnima para que la nave se alejase indefinidamente de la Tie-rra?

(Masa de la Tierra: 5,981024 kg; Radio de la Tierra: 6400 km)

12.

a) Calcula la aceleracin de la gravedad en un punto situado a 300 km sobre la superficie terrestre.

b) Calcula para ese mismo punto el potencial gravitatorio.

c) Si se deja caer un objeto de 80 kg desde ese punto, calcula con qu velocidad alcanzar la superficiede la Tierra.

(MasadelaTierra:5,981024kg;RadiodelaTierra:6400km)

13. Sobre la superficie de un planeta la aceleracin de la gravedad es g = 5 ms -2. Sabiendo que la masa delplaneta es de 31020 kg;

a) Calcula el radio del planeta.

b) Calcula el potencial gravitatorio debido a dicho planeta a una distancia de 100 km de su superficie.

c) Calcula la energa potencial gravitatoria de un objeto de 1000 kg a 100 km de la superficie del pla-neta.

14. Un satlite de masa m gira alrededor de la Tierra a una altura de 600 km sobre su superficie. Calculasu energa mecnica. Si se aport toda la energa al satlite en el instante de su lanzamiento, calcula su velo-cidad inicial en ese instante. Radio de la Tierra = 6400 km. Masa de la Tierra = 5,981024 kg.

15. UnmeteoritoseencuentraaunadistanciaR0delcentrodelaTierraysemuevehaciadichocentroconunavelocidadv0.Razonesi,cuandoelmeteoritoseencuentreaunadistanciaR0/2delcentrodelaTierra,lassiguientesmagnitudeshanaumentadoodisminuidorespectoalinstanteinicial.

a) Lavelocidaddelmeteorito

b) Laenergapotencialdelmeteorito.

c) Laenergamecnicadelmeteorito.

d) ElmomentoangulardelmeteoritorespectoalcentrodelaTierra.

16. Razonasilassiguientesafirmacionessonverdaderasofalsas:

a) SitenemosdossatlitesenrbitaalrededordelaTierra,elperiododelsatlitemsalejadodelaTierraesmayorqueelperiododelsatlitemscercano.

b) EnlarbitadeunplanetastealcanzasuvelocidadmximaenelpuntomsalejadodelSol.

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c) Laenergadeunobjetoquesemueveenlascercanasdeunplanetapuedesernegativa,ysiloes,elobjetoposeeenergasuficienteparaescapardelcampogravitatoriodelplaneta.

17. Definevelocidaddeescape.SetienentresplanetasA,ByC.ElplanetaBposeelamismamasaqueelAperolamitadderadioyelplanetaCtieneelmismoradioqueelAperoeldobledemasa.Indicarazonadamenteenculdelostresplanetassermayorlavelocidaddeescapeyenculsermenor.

18. Uncuerpode2105 kgposeeunarbitaelpticaalrededordelaTierra.EnelpuntodesurbitamscercanoalaTierra(perigeo),elcuerposeencuentraaunadistanciadelcentrodestade6900kmyelmdulodesumomentoangularrespectoalcentrodelaTierraes L =1,041016kgm2/s.Sesabequeenelapogeoelcuerposeencuentraaunadistanciade7150kmdelcentrodelaTierra.

a) Calculalavelocidaddelcuerpoenelperigeoyenelapogeo.

b) CalculalaintensidaddecampogravitatoriocreadoporlaTierraenelapogeoyelperigeodelarbitadelcuerpo.

c) CalculalavelocidaddeescapedeuncuerpodesdelasuperficiedelaTierra.

Datos: MasadelaTierra:MT=5,981024kg;Radio de la Tierra: RT = 6400 km

19. Calcula qu velocidad habra que dar a la Tierra para que escapase completamente de la atraccin so-lar. Datos: Masa de la Tierra: 5,981024 kg. Distancia Tierra-Sol: 1,5 108 km. Masa del Sol: 21030 kg. Radiodel Sol: 2106 km.RadiodelaTierra:6,4103km

20. Unanaveespacialsemueveenlascercanasdeunplaneta,conunavelocidadtalquesuenergamecnicaesnegativa.SercapazlanavedeescapardelaatraccindelaTierrasinutilizarsusmotores?Cmodeberasersuenergamecnicaparaescapardedichaatraccin?

21. Unagujeronegroesuncuerpocuyavelocidaddeescapeesigualosuperioralavelocidaddelaluzenelvaco(3108m/s).Calculaelradiomximoquedeberatenerunagujeronegrodediezmasassolares(masadelSol:21030kg)

a) Calculalaaceleracindelagravedadenlasuperficiededichoagujeronegro.

b) Calculaelperiodoylavelocidaddeunanavequeorbitaraalrededordelagujeronegroaunadistanciade1000kmdesucentro.

c) Calculalaenergamecnicadedichanave.

22. Unanavede100toneladasquehaagotadosucombustibleseencuentraaunadistanciade20000kmdelcentrodelaTierraysemueveconunavelocidadde19,97m/s.

a) EscaparlanavedelaatraccindelaTierra,ovolveracaerhacialaTierra?responderazonadamente.

b) Calculalavelocidaddelanavecuandoseencuentrea25000kmdelcentrodelaTierra.

23. Selanzaunanaveespacialde300kgdesdelasuperficiedelaTierraconunavelocidadinicial:104

m/s.

a) PoseelanaveenergasuficienteparaescapardelaatraccindelaTierra?Porqu?

b) CalculaladistanciamximadelaTierraquealcanzarlanave,suponiendoquelanicafuerzaqueactaeslagravedad.

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c) Calculalaenergapotencialdelanavecuandoseencuentraaesadistanciamxima.

d) CalculaelpotencialgravitatorioylaintensidaddecampogravitatoriocreadosporlaTierraenelpuntodondelanavesedetiene.

Datos: MasadelaTierra:5,981024kg.RadiodelaTierra:6380km.

24. LamasadelaLunaesde7,351022kgylavelocidaddeescapedesdesusuperficieesde2374ms1.CalculaelradiodelaLuna.

25. Cadakilogramodecombustibleleproporcionaauncoheteunaenergade8,14107julios.Calculaelcombustiblemnimoquedeberallevaruncoheteparalograrescapardelaatraccinterrestre.Lamasadelcoheteesde1000kgvacodecombustible.

Datos:MasadelaTierra:5,981024kg;Radioterrestre:6370km.

26. Unanaveespacialde3toneladasseencuentraenreposoenlasuperficiedeunasteroide.Sesabequeelpesodelanaveenesepuntoesde232,1Nyquenecesitaunavelocidadinicialde88ms 1paraescaparcompletamentedelagravedaddelplaneta.

a) Calculelamasayelradiodelasteroide.

b) Calculeelpotencialylaintensidaddecampogravitatorioenunpuntosituado50kmsobrelasuperficiedelasteroide.

27. Cmosededucelafrmuladelavelocidaddeescapedeunplaneta?.Elasteroide8Floraposeeunamasade3,61018kgysuradiomedioesde66km.Calculasuvelocidaddeescape,sugravedadsuperficialyelpotencialgravitatorioensusuperficie.

IV. rbitas28. Un satlite de un planeta desconocido posee una rbita de 10000 km de radio y su periodo es de9,9321104s.

a) Calcula la masa del planeta.

b) Calcula la energa orbital del satlite, suponiendo que su masa es de 21010 kg.

c) Calcula la velocidad deescapedeunobjetoenlasuperficiedelplanetasisuradioesde3500km.

29. La nave espacial Apolo XI orbit alrededor de la Luna con un periodo de 119 minutos y a una distan-cia media al centro de la Luna de 1,8106 metros. Suponiendo que su rbita fue circular y que la Luna es unaesfera uniforme, calcula:

a) La masa de la Luna

b) La energa mecnica del Apolo XI, suponiendo que su masa era de 1500 kg.

30. Unsatliteartificialde500kgdavueltasalrededordelaTierraenunarbitade7000kmderadio.

a) Calculasuperiodo.

b) CalculalaenergaquehasidonecesariaparaponerloenesarbitadesdelasuperficiedelaTierra.

Masa de la Tierra: 5,981024 kg. Radio de la Tierra: 6400 km.

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31. CalculalamasadelaTierrasabiendoquelaLunatarda27dasendarunavueltaasualrededoryqueladistanciamediaentrelasdosesde384400km.

32. UnsatliteenrbitacircularalrededordelaTierratieneunperiodode150horas.Calcula:

a) Radiodesurbita.

b) Medianteunafuerzaperpendicularalavelocidaddelsatlitesemodificalarbitadelsatlitedemaneraquesuradiopasaaserde7000km.Calculaelnuevoperiododelsatlite.

Dato:MasadelaTierra:5,981024kg;

33. Explicarazonadamentesilassiguientesafirmacionessonciertasono:

a) Uncuerpoenrbitacircularalrededordeotroconservaentodomomentosumomentoangular.

b) Sisearrojaunobjetosobreunmuelleelstico,elobjetotrasrebotaralcanzarsualturainicial.(Despreciandoelrozamientodelaire)

c) Laaceleracindelagravedadterrestredisminuyealelevarnossobrelasuperficieterrestreyaumentasidescendemosbajolamisma.

d) LavelocidaddelaLunaesmximaenelpuntodesurbitamscercanoalaTierraymnimaenelpuntomsalejado.

34. SesabequeelplanetaVenustieneunperiodode1,94107segundosyquesudistanciamediaalSolesde1,081011metros.TambinsesabequeelperiododeMarteesde1aoy322,5das.

a) CalculaladistanciamediadeMartealSol.

b) CalculalamasadelSol.

c) CalculaelpotencialgravitatorioylaintensidaddecampogravitatoriodebidasexclusivamentealSolenunpuntodelarbitadeVenusyenunpuntodelarbitadeMarte.

35. Unasteroidetieneunradiode600kmyunamasade1,701019kg.

a) Calculalavelocidaddeescapedesdelasuperficiedelasteroide.

b) Sequiereponerenrbitaunsatlitede2toneladasalrededordelasteroidelanzndolodesdelasuperficie;paraloquelolanzamosconunavelocidadinicialde40m/s.Culserelradiomediodelarbitadelsatlitesisobrelsloactalagravedad?

c) Calculacuntaenergahabrquedaralsatliteensurbitaparaqueescapedelaatraccindelasteroide.

36. Unanaveespacialseencuentraenrbitacircularalrededordeunplanetadesconocido.Medianteelradarsemideladistanciaalcentrodelplaneta,queesde7106m.Seconocetambinelradiodelplaneta:5,8106m.Lanavetarda1hora42minutosy28segundosendarunavueltacompletaalplaneta.

a) Calculalamasadelplaneta.

b) Calculalavelocidaddeescapedesdelasuperficiedelplaneta.

c) Calculalaenergamecnicadelanavesabiendoquesumasaesde4300kg.

37. SequierelanzardesdelasuperficiedelaTierraunsatlitegeoestacionariode750kg.Calcule:

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a) AlturasobrelasuperficiedelaTierraalaquedebesituarselarbitadelsatlite.

b) Calculalaenergamecnicadelsatliteensurbita.

c) Siselecomunicaalsatlitetodaelimpulsoenelinstantedellanzamiento,calculalavelocidadinicialnecesariaparaquealcancesurbita.

Datos: Masa de la Tierra: 5,981024 kg. Intensidad de la gravedad en la superficie de la Tierra:g0= 9,8 ms

2 .

38. LamasadelaLunaesde7,351022kg,yladelaTierra,5,981024kg.LadistanciamediadelaTierraalaLunaesde3,84108m.Calcula:

a) ElperiododegirodelaLunaalrededordelaTierraendas.

b) LaenergacinticadelaLuna.

c) A qu distancia de la Tierra se cancela la fuerza neta ejercida por la Luna y la Tierra sobre un cuer-po all situado?

V. SELECTIVIDAD 39. Suponiendo un planeta esfrico que tiene un radio la mitad del radio terrestre e igual densidad que laTierra, calcule:

a) La aceleracin de la gravedad en la superficie de dicho planeta.

b) La velocidad de escape de un objeto desde la superficie del planeta, si la velocidad de escapedesde la superficie terrestre es 11,2 km/s.

Datos: Aceleracin de la gravedadenlasuperficiedelaTierrag=9,81ms2

40. Mercurio describe una rbita elptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 6,99x1010m, y su velocidad orbital es de 3,88x104 m/s, siendo su distancia al Sol en el perihelio de 4,60x 1010 m.

a) Calcule la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio.

b) Calcule las energas cintica, potencial y mecnica de Mercurio en el perihelio.

c) Calcule el mdulo de su momento lineal y de su momento angular en el perihelio.

d) De las magnitudescalculadasenlosapartadosanteriores,decirculessonigualesenelafelio.

Datos:MasadeMercurioMM=3,18x1023kg

MasadelSolMs=1,99x1030kg

ConstantedeGravitacinUniversalG=6,67x1011Nm2kg2

41. Dosmasasiguales,M=20kg,ocupanposicionesfijasseparadasunadistanciade2m.Unaterceramasa,m=0,2kg,sesueltadesdeelreposoenunpuntoAequidistantedelasdosmasasanterioresyaunadistanciade1mdelalneaquelasune(B=1m).Sinoactanmsquelaaccionesgravitatoriasentreestasmasas,determine:

a) Lafuerzaejercida(mdulo,direccinysentido)sobrelamasamenlaposicinA.

b) LasaceleracionesdelamasamenlasposicionesAyB.

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42. Desdelasuperficieterrestreselanzaunsatlitede400kgdemasahastasituarloenunarbitacircularaunadistanciadelcentrodelaTierraigualalas7/6partesdelradioterrestre.Calcule:

a) Laintensidaddecampogravitatorioterrestreenlospuntosdelarbitadelsatlite.

b) Lavelocidadyelperiodoquetendrelsatliteenlarbita.

c) Laenergamecnicadelsatliteenlarbita

d) LavariacindelaenergapotencialquehaexperimentadoelsatlitealelevarlodesdelasuperficiedelaTierrahastasituarloensurbita.

Datos:MasadelaTierraMT=5,98x1024kg

RadiodelaTierraRT=6,37x106m

ConstantedeGravitacinUniversalG=6,67x1011Nm2kg2

43. Llamandog0yV0alaintensidaddecampogravitatorioyalpotencialgravitatorioenlasuperficieterrestrerespectivamente,determineenfuncindelradiodelaTierra:

a) Laalturasobrelasuperficieterrestrealacuallaintensidaddecampogravitatorioesg0/2.

b) LaalturasobrelasuperficieterrestrealacualelpotencialgravitatorioesVo/2.

44.

a) Enunciela2leydeKepler.Expliqueenquposicionesdelarbitaelpticalavelocidaddelplanetaesmximaydndeesmnima.

b) Enunciela3leydeKepler.Deduzcalaexpresindelaconstantedeestaleyenelcasoderbitascirculares.

45. UncometasemueveenunarbitaelpticaalrededordelSol.Expliqueenqupuntodesurbita,afelio(puntomsalejadodelSol)operihelio(puntomscercanoalSol)tienemayorvalor:

a) Lavelocidad.

b) Laenergamecnica.

46. Unasteroideestsituadoenunarbitacircularalrededordeunaestrellaytieneunaenergatotalde1010J.Determine:

a) Larelacinqueexisteentrelasenergaspotencialycinticadelasteroide.

b) Losvaloresdeambasenergaspotencialycintica.

47.

a) Expreselaaceleracindelagravedadenlasuperficiedeunplanetaenfuncindelamasadelplaneta,desuradioydelaconstantedegravitacinuniversalG.

b) Silaaceleracindelagravedadsobrelasuperficieterrestrevale9,8ms 2,calculelaaceleracindelagravedadaunaalturasobrelasuperficieterrestreigualalradiodelaTierra.

48. Unasondaespacialdemasam=1000kgseencuentrasituadaenunarbitacircularalrededordelaTierraderadior=2,26xRT,siendoRTelradiodelaTierra.

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a) Calculelavelocidaddelasondaenesarbita.

b) Cuntovalesuenergapotencial?

c) Cuntovalesuenergamecnica?

d) Quenergahayquecomunicaralasondaparaalejarladesdedicharbitahastaelinfinito?

49. UnsatlitedemasamgiraalrededordelaTierradescribiendounarbitacircularaunaalturade2104

kmsobresusuperficie.

a) CalculelavelocidadorbitaldelsatlitealrededordelaTierra.

b) SupongaquelavelocidaddelsatliteseanularepentinaeinstantneamenteysteempiezaacaersobrelaTierra.Calculelavelocidadconlaquellegaraelsatlitealasuperficiedelamisma.Consideredespreciableelrozamientodelaire.

50. Unanaveespacialde3000kgdemasadescribe,enausenciaderozamiento,unarbitacircularentornoalaTierraaunadistanciade2,5104kmdesusuperficie.Calcule:

a) ElperododerevolucindelanaveespacialalrededordelaTierra.

b) Lasenergascinticaypotencialdelanaveendicharbita.

51. Unsatliteartificialde400kgdescribeunarbitacircularderadio5/2RTalrededordelaTierra.Determine:

a) Eltrabajoquehayquerealizarparallevaralsatlitedesdelarbitacircularderadio5/2RTaotrarbitacircularderadio5RTymantenerloendicharbita.

b) Elperiododerotacindelsatliteenlarbitaderadio5RT.

52. (junio2013)Calcule:

a) LadensidadmediadelplanetaMercurio,sabiendoqueposeeunradiode2440kmyunaintensidaddecampogravitatorioensusuperficiede3,7Nkg1.

b) Laenerganecesariaparaenviarunanaveespacialde5000kgdemasadesdelasuperficiedelplanetaaunarbitaenlaqueelvalordelaintensidaddecampogravitatoriosealacuartapartedesuvalorenlasuperficie.

53. (junio2013)UranoesunplanetaquedescribeunarbitaelpticaalrededordelSol.Razonelaveracidadofalsedaddelassiguientesafirmaciones:

a) ElmdulodelmomentoangularrespectoalaposicindelSolenelafelioesmayorqueenelperihelioylomismoocurreconelmdulodelmomentolineal.

b) Laenergamecnicaesmenorenelafelioqueenelperihelioylomismoocurreconlaenergapotencial.

54. (septiembre2013)Dossatlitesdescribenrbitascircularesalrededordeunplanetacuyoradioesde3000km.Elprimerodeellosorbitaa1000kmdelasuperficiedelplanetaysuperiodoorbitalesde2h.Larbitadelsegundotieneunradio500kmmayorqueladelprimero.Calcule:

a) Elmdulodelaaceleracindelagravedadenlasuperficiedelplaneta.

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b) Elperiodoorbitaldelsegundosatlite.

55. (septiembre2013)Dosplanetas,AyB,tienenlamismadensidad.ElplanetaAtieneunradiode3500kmyelplanetaBunradiode3000km.Calcule:

a) Larelacinqueexisteentrelasaceleracionesdelagravedadenlasuperficiedecadaplaneta.

b) Larelacinentrelasvelocidadesdeescapeencadaplaneta.

56. (junio2014)ElplanetaAtienetresvecesmsmasaqueelplanetaBycuatrovecessuradio.Obtenga:

a) Larelacinentrelasvelocidadesdeescapedesdelassuperficiesdeambosplanetas.

b) Larelacinentrelasaceleracionesgravitatoriasenlassuperficiesdeambosplanetas.

57. (junio2014)Uncohetedemasa2kgselanzaverticalmentedesdelasuperficieterrestredetalmaneraquealcanzaunaalturamxima,conrespectoalasuperficieterrestre,de500km.Despreciandoelrozamientoconelaire,calcule:

a) Lavelocidaddelcuerpoenelmomentodellanzamiento.Comprelaconlavelocidaddeescapedesdelasuperficieterrestre.

b) Ladistanciaalaqueseencuentraelcohete,conrespectoalcentrodelaTierra,cuandosuvelocidadsehareducidoenun10%conrespectoasuvelocidaddelanzamiento.

Datos:RadioTerrestre,RT=6,37106m;MasadelaTierra,MT=5,971024kg;

ConstantedeGravitacinUniversal,G=6,671011Nm2kg2

58. (Septiembre2014)Unsatlitedescribeunarbitacircularalrededordeunplanetadesconocidoconunperiodode24h.Laaceleracindelagravedadenlasuperficiedelplanetaes3,71ms 2ysuradioes3393km.Determine:

a) Elradiodelarbita.

b) Lavelocidaddeescapedesdelasuperficiedelplaneta.

59. (septiembre2014) Unplanetaesfricotieneunadensidaduniforme =1,33gcm 3 yunradiode71500km.Determine:

a) Elvalordelaaceleracindelagravedadensusuperficie.

b) Lavelocidaddeunsatlitequeorbitaalrededordelplanetaenunarbitacircularconunperiodode73horas.

Dato:Constantedegravitacinuniversal,G=6,671011Nm2kg2

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1 Leyes de Kepler de los movimientos planetariosI. Concepciones del Universo: Ptolomeo y Coprnico.II. Tycho Brahe y Johannes Kepler.III. Primera Ley de Kepler.IV. Segunda Ley de Kepler.V. Tercera Ley de Kepler

2 Ley de Gravitacin Universal de NewtonI. Newton y la gravedad.II. De las Leyes de Kepler a la Gravitacin Universal de Newton.

3 Teora de CamposI. Concepto y tipos de campo.II. Trabajo y Energa.III. Campos de Fuerzas Conservativos.IV. Energa Potencial.V. Principio de Conservacin de la Energa Mecnica

4 Campo GravitatorioI. Intensidad de Campo Gravitatorio.II. Principio de Superposicin.

5 Energa Potencial gravitatoriaI. Energa Potencial Gravitatoria.II. Potencial Gravitatorio.III. Velocidad de escape.

6 Campo gravitatorio TerrestreI. Variacin de la Gravedad con la altura.II. Variacin de la Gravedad con la latitud.III. Variacin de la Gravedad con la profundidad.

7 Movimiento de cuerpos en Campos GravitatoriosI. rbitas de cuerpos en campos de fuerzas centrales.II. rbitas circulares.III. Energa Orbital y Energa de Satelizacin.

8 EjerciciosI. Leyes de KeplerII. Campo gravitatorio.III. Energa, potencial y velocidad de escapeIV. rbitasV. SELECTIVIDAD

Tema 1 Gravitación

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