TEMA 1

INTRODUCCIÓN AL CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CONTENIDO:

LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LA SOLUCIÓN.

EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN DEL MODELO.

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Cualquier fenómeno que sucede en las diferentes

áreas de la ingeniería, es o debe ser explicado por alguna ley o principio que se relaciona con las leyes fundamentales de conservación.

A saber, son tres dichas leyes: Ley de Conservación de Energía, Ley de Conservación de Masa y Ley de Conservación de Impetu.

Se puede decir que estas tres leyes forman una unidad y son universales en el sentido de que a partir de una de ellas se puede llegar a cualquiera de las otras y cualquier fenómeno, es explicado por ellas.

Así, cuando un fenómeno es explicado por una de ellas, es fácilmente explicado por cualquiera de las otras.

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES… La Ley de Conservación de Masa establece que “En

un sistema cerrado, la cantidad de masa total es constante”.

Por su parte, la Ley de Conservación de Energía establece que “En un sistema aislado, la energía se puede transformar de una forma a otra, pero no se puede crear ni destruir; la energía total es constante”

Finalmente, La Ley de Conservación de Impetu (Lineal) nos dice que “Cuando la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema es cero, el ímpetu lineal total del sistema permanece constante”.

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES… Conocemos otras leyes tales como: “Leyes de Newton del

Movimiento”, “Leyes de Kirchoff”, etc., pero estas últimas, son casos particulares de las leyes fundamentales y precisamente por ello, explican un tipo particular de fenómeno.

Así, las Leyes de Newton explican los fenómenos donde existen fuerzas y/o aceleraciones en algún cuerpo, mientras que las Leyes de Kirchoff explican las corrientes eléctricas y voltajes en circuitos eléctricos.

Podemos preguntarnos acerca de otras áreas; por ejemplo, economía, ¿Será cierto que la ley de oferta y demanda es explicada por las leyes fundamentales mencionadas con anterioridad? La respuesta es sí; uno puede entender las ofertas y demandas como excesos y consumos y es precisamente la Ley de Conservación de Masa quién nos da una explicación.

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES… En otras áreas básicas para la ingeniería tales como

matemáticas, hay problemas en los cuales podemos hablar de otras formas de conservación y que son igualmente válidas que las anteriores. Por ejemplo, pensemos en un problema con ángulos, tal que si un ángulo es dividido en dos ángulos y tal como se muestra en la figura 1, entonces una ecuación de conservación nos dice que:

Figura 1. Conservación de ángulos

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES… Pensemos ahora en un fenómeno cualquiera y

supongamos que en él interactuan objetos, elementos, fuerzas, excitaciones, etc. y digamos que llamamos a esto un SISTEMA que deseamos estudiar.

Uno se preguntará ¿Qué significa estudiar al sistema? Bueno, diremos que estudiar significa cuantificar y/o determinar el valor que están tomando los elementos del sistema. Más importante aún, podriamos preguntarnos cómo está respondiendo el sistema ante un agente excitador externo.

La figura 2 nos muestra graficamente lo anterior:

SistemaAgente Externo o

Excitación

Respuesta del

Sistema

Figura 2. Sistema, excitación y respuesta

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES… Para responder las preguntas anteriores necesitamos

asociar variables a los elementos del sistema y posteriormente determinar el valor de esas variables por medio de principios que nos digan cómo se relacionan estas variables.

Es en este momento en el que las leyes particulares juegan su papel indicándonos estas relaciones. Con ellas generamos un modelo matemático del sistema a estudiar, de tal forma que si en este modelo aparecen derivadas, lo llamamos ECUACIÓN DIFERENCIAL.

A manera esquemática, en la figura 3 se describe lo anterior:

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES…LEYES DE CONSERVACION

LEY PARTICULAR

SistemaAgente

Externo oExcitación

Respuesta del

Sistema

OTRAS LEYES

Otrosistema

Agente Externo oExcitación

Respuesta del

Sistema

Modelo matemático para la descripción de las variables del sistema

ECUACIÓN DIFERENCIAL

Figura 3. Generación de la ecuación diferencial del sistema

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES… Por lo anterior, decimos entonces que

una ecuación diferencial es un modelo matemático de un sistema gobernado bajo ciertas leyes y/o principios, que puede estar siendo excitado y del cual nos interesa saber cómo responde ante dicha excitación.

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES… Analizando detenidamente los conceptos anteriores,

vemos que la ecuación diferencial no será otra cosa más que una ecuación de conservación, en donde los elementos del sistema que consumen energía estarán representados en un lado de la ecuación y aquellos que dán la energía, estarán en el otro lado. Así, el agente externo que se muestra en la figura 3 anterior, deberá estar representado como aquellos que dan la energía.

Para el caso del problema de los ángulos, el ángulo es el que jugará el papel de dar la energía.

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES…

SistemaAgente Externo o

Excitación = R(x)

Respuesta del

Sistema

MODELO MATEMÁTICO DEL SISTEMA

ECUACIÓN DIFERENCIAL

ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN

CONSUMOS DE ENERGIA = FUENTES DE ENERGIA

CONSUMOS DE ENERGIA = R(x)

Figura 4. Significado de una ecuación diferencial

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES… Llegamos al punto en que finalmente sabemos que

todo tiene una relación: Las leyes nos sirven para obtener el modelo matemático, este modelo matemático es una ecuación diferencial y representa una ecuación de conservación en donde los consumos se darán por los elementos del sistema, mientras que las fuentes de energía serán los términos externos que excitan al sistema.

En este momento surge la pregunta, ¿Cómo vamos a obtener la respuesta del sistema? Pues bien, la respuesta del sistema corresponderá a la solución la ecuación diferencial. Así que para responder nuestras preguntas sobre el sistema, debemos resolver la ecuación diferencial.

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES…

RESPUESTA DEL SISTEMA

SOLUCION DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Figura 5. Respuesta del sistema y la solución de la ecuación diferencial

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES… Algunos ejemplos de ecuaciones

diferenciales con solución se muestran en la siguiente tabla :

32' xy xxxy 3)( 2

,

43)( 2 xxxy

tedt

dx

dt

xd 4

2

2tt eeCCtx

3

1)( 4

21

07227 drdrr Crr 22 7 17 22 rr

Ecuación Diferencial Alguna(s) solución(es) de la ecuación diferencial

1.1 LOS SISTEMAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES… Es obvio que parte de nuestro propósito

será encontrar dicha solución o varias soluciones, pero por lo pronto, pensemos un poco en términos matemáticos y tratemos de responder a la siguiente pregunta, ¿Cómo definimos la solución de una ecuación diferencial? o ¿Cómo saber si una función es solución de una ecuación diferencial?

1.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL En este curso nos centraremos exclusivamente en

sistemas que se modelan matemáticamente por una ecuación diferencial ordinaria.

Estas ecuaciones diferenciales se llaman así porque las derivadas que ahí aparecen son con respecto a una sola variable independiente.

Veremos cuatro grandes métodos para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales, los cuales son:

1. Métodos con procesos de integración2. Método de series de potencias alrededor de puntos

ordinarios.3. Método de la transformada de Laplace.4. Métodos numéricos.

1.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL… El primero de estos métodos involucra integrales en

su procedimiento para obtener la solución de la ecuación diferencial.

Por su parte, el método de series de potencias exige el desarrollo en series de potencias de los términos que componen a la ecuación diferencial.

En lo que respecta al método de la transformada de Laplace, una ecuación diferencial ordinaria será transformada mediante ciertas propiedades, a una ecuación algebráica y resuelta mediante un procedimiento inverso.

Para terminar, los métodos numéricos nos serán de ayuda para obtener soluciones aproximadas de una ecuación diferencial.

1.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL… Cabe hacernos la pregunta ¿Cuál es la

diferencia entre los métodos anteriores? o ¿Cómo vamos a saber cuál de los métodos usar?

La respuesta no es tan simple ya que todos los métodos que mencionamos anteriormente pueden resolver alguna ecuación diferencial específica, pero como veremos más adelante, existen ecuaciones diferenciales que solamente pueden ser resueltas por uno de ellos.

1.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL… Por ejemplo, sabemos que en muchos casos las funciones deben

ser continuas en un intervalo para que exista su integral ahí, entonces los métodos con procesos de integración son más apropiados para ecuaciones diferenciales donde el término excitador R(x) sea una función continua.

El método de series de potencias es adecuado para funciones continuas y que no tan fácilmente sean integrables.

Por su parte, el método de la transformada de Laplace es ideal para funciones seccionalmente continuas y/o periódicas. Este tipo de funciones es ampliamanete utilizado en materias como electrónica, circuitos eléctricos y señales entre otras, aunque pueden ser de gran utilidad en otras materias.

En los métodos numéricos no tenemos problemas de este tipo, ya que generalmente basta que las funciones puedan ser evaluadas en algún punto específico y mediante una aproximación de las derivadas se puede encontrar la solución de forma numérica aproximada.

1.3 ANALISIS E INTERPRETACION DE LA SOLUCION Una vez que la solución de la ecuación diferencial ha sido

obtenida, debemos continuar con un análisis para verificar que la variable de respuesta satisface las condiciones del sistema. Este punto es de suma importancia porque estaremos validando que la respuesta que se obtuvo concuerda con las características que el sistema mismo tiene establecidas.

Si los procesos de solución de la ecuación diferencial se llevaron a cabo de una forma correcta, entonces la solución de la misma es una forma determinística para encontrar el valor de la variable de respuesta dado el valor de la variable independiente. Así, la solución que se obtiene será válida para todo punto de la variable independiente.

1.4 EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN DEL MODELO Supongamos que tenemos un sistema en donde un cuerpo

formado por un paracaidista y su paracaídas, caen desde una cierta altura h. Digamos además que iniciaron su descenso con una velocidad inicial Vo y que en este descenso, existe una fuerza de fricción donde k es una constante de proporcionalidad y v es la velocidad que lleva en cualquier momento. Nuestro interés es determinar la velocidad para cualquier tiempo considerando a m y w como la masa y peso del sistema.

Para obtener el correspondiente modelo matemático del sistema, debemos aplicar la segunda ley de Newton . En tal caso, debemos considerar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

fr = kv

w = mg

1

1.4 EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN DEL MODELO… Al considerar la aceleración en y como

y tomando como positivas las fuerzas que actúan hacia abajo, la ecuación diferencial queda determinada como sigue:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

También se puede reescribir la ecuación anterior en términos de la altura y,

(1.4)

dt

dva y

yr mafmg

dt

dvmkvmg

mgkvdt

dvm

mgdt

dyk

dt

ydm

2

2

1

1.4 EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN DEL MODELO… Cualquiera de las cuatro ecuaciones anteriores representan

exactamente lo mismo. Es un balance de fuerzas y lo que nos indican es que la fuerza correspondiente al peso, es equivalente a la fuerza de fricción más el cambio en el ímpetu del cuerpo . Observe cómo en este sistema el peso es el responsable de que el sistema caiga y es en este sentido que el peso actúa como agente externo dando la energía para que el sistema “funcione”.

1

1.4 EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN DEL MODELO… Como buenos previsores que somos, hemos decidido tener

un ahorro por lo que vamos a un banco cualquiera llevando nuestro dinero. Por todos nosotros es sabido que hay una cierta tasa de interés, sea k esta tasa y sea D la cantidad de dinero, la razón de crecimiento o la forma en que nuestra cantidad de dinero crece, es proporcional a la cantidad misma que tengamos en cada instante.

2

1.4 EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN DEL MODELO… En términos matemáticos, la explicación anterior queda

descrita por la siguiente ecuación diferencial en donde k es la tasa de interés compuesto (continuamente):

(2.1)

(2.2)

La explicación de los términos es simple y sencilla: el aumento en nuestro dinero es lo que se nos da de intereses. En general, ecuaciones diferenciales como estas se obtienen cuando tratamos sistemas con poblaciones en donde una población puede ser de personas, dinero, cantidad de material, etc.

2

kDdt

dD

0 kDdt

dD

1.4 EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN DEL MODELO… Analicemos ahora el siguiente sistema donde tenemos un

tanque inicialmente lleno con agua limpia y sea V = Volumen inicial de agua.

Suponga que a continuación agregamos Kkilos por litro de un cierto soluto S a una razón de M litros por segundo y al mismo tiempo, abrimos la llave de salida para que salgan M litros por segundo de la mezcla que se supone es homogénea. ¿Qué cantidad de soluto S habrá en cualquier instante en el tanque?

3

seg

ltM

lt

kgK ,

seg

ltM

lt

kg

V

S,

1.4 EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN DEL MODELO… Conforme se va agregando soluto al tanque, la cantidad

que existe en cualquier momento es variable por lo que la hemos llamado S. Ahora, esta variable va creciendo en valor debido a estamos agregando una cierta cantidad aún y cuando estamos permitiendo que salga líquido.

El párrafo anterior nos ha dado una explicación sobre cómo obtener el modelo matemático de este sistema. A saber, este modelo debe formarse de la siguiente forma:

3

1.4 EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN DEL MODELO… Razón de acumulación =

Razón de entrada – Razón de salida(3.1)

(3.2)

(3.3)

Estas ecuaciones representan una aplicación de la ley de conservación de masa.

3

MV

SKM

dt

dS

KMMV

S

dt

dS