CENTRO EDUCATIVO DE NIVEL TERCIARIO N 2INTRODUCCIN A LA LOGICA SIMBOLICAPRIMER AO

AO: 2005

GUIA DE TRABAJOS TEORICO PRACTICO N1: LGICA DE LAS PROPOSICIONES

La lgica es una ciencia formal, o sea, una ciencia que no se interesa ni por los

contenidos del pensamiento, ni por el contenido de las expresiones del pensamiento, sino

por sus formas, por sus estructuras. Los objetos lgicos, son pues, las estructuras lgicas:

en especial, las estructuras lgicas de las que se vale la ciencia para elaborar y expresar

el conocimiento cientfico, y, en general, cualquier tipo de conocimiento.

La lgica deductiva es la ciencia que estudia los mtodos y principios que permiten

diferenciar un razonamiento vlido de un invlido.

El lenguaje constituye un sistema de signos muy complejo. Los signos o combinaciones

de signos lingsticos forman expresiones lingsticas, como lo son por ejemplo, las

palabras, las frases y las oraciones.

Las oraciones, en particular, cumplen diversas funciones. Las denominadas

proposiciones o enunciados, son aquellas que tienen una funcin informativa, las cuales

se caracterizan porque afirman o niegan algo, como por ejemplo, Hoy es martes o Seis es

un nmero primo es decir, se caracterizan porque de ellas tiene sentido decir que son

verdaderas o falsas. Del primer ejemplo se puede decir que es verdadero; del ltimo, en

cambio, que es falso.

PROPOSICIN. Para la LGICA se consideran proposiciones, aquellas expresiones lingsticas que tienen una funcin informativa. De ellas tiene sentido decir si son

verdaderas o falsas.

Ejemplo: Consideramos las siguientes oraciones.-

- Estn atendiendo?

-Atiendan!

-El calor dilata los cuerpos

-Hoy es sbado

-Estamos en la clase de Lgica

Lgica Proposicional Luca Hilal1

Se trata de cinco oraciones diferentes: una interrogativa, una imperativa y tres

declarativas. Una pregunta puede formularse o no, una orden puede ser cumplida o no.

En cambio de las tres ltimas que son declarativas, tiene sentido decir si son V F.

ACTIVIDAD 1 : Indicar cules de las siguientes expresiones son proposiciones y cules

no. Fundamentar cada respuesta.

Ej. : Aljate!

Respuesta: No es una proposicin por ser orden

1. Qu te sucede?.

2. Esta materia es entretenida.

3. Es hora de tomar un caf.

4. Que calor hace!.

5. Hace calor.

6. Cundo nos vamos?.

7. Todo nmero par es divisible por dos.

8. Cuntos matemticos se equivocan cuando estn enamorados!

9. Una proposicin es, o bien verdadera o bien falsa.

10. Una pregunta no es una proposicin.

11. Los rboles

12. Se aman

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

Una proposicin simple o atmica (PA) es una proposicin completa sin trminos de

enlace

Una proposicin compuesta o molecular (PM) est formada por una o ms proposiciones

atmicas unidas por trminos de enlace.

Ejemplos:

Las mujeres no atienden las explicaciones

Hoy es lunes y hay clase.-

Hoy no es lunes implica que hay clases

Hoy es lunes o hay clase

Lgica Proposicional Luca Hilal2

Hoy es lunes si y solo si hay clase

Estas proposiciones moleculares se han construido con una o dos proposiciones

atmicas y distintos trminos de enlace .-

Los trminos de enlace "y" , "no" , "o" , "si...entonces" y "si y solo si" no forman parte de las proposiciones atmicas. Se han aadido a ellas para construir una proposicin

molecular.

La forma de las PM construidas, depende del trmino de enlace utilizado y no del contenido de la proposicin o proposiciones atmicas.

Es decir, si en una PM se sustituyen las proposiciones atmicas por otras proposiciones

atmicas cualesquiera, la forma de la proposicin molecular se conserva.

En el ejemplo: Hoy es lunes y hay clase, se puede representar la forma de esta PM

utilizando el trmino de enlace "y" de la siguiente manera

( ) y ( )

Se pueden sustituir los parntesis, por cualquier proposicin y la forma es la misma.

Ejemplo: Es rojo y es azul

Soy alumno de este curso y estoy en la clase de lgica.

Se pueden tambin utilizar proposiciones moleculares y la forma es la misma.

Ejemplo: No me gusta esta clase y deseo no estar aqu

Tambin se podra utilizar una proposicin molecular y una proposicin atmica.

Ejemplo: Soy alumno de este curso y no me gusta lgica

Cualesquiera sean las proposiciones con las que se llenan los espacios, la forma es la

de una proposicin molecular con el trmino de enlace "y".

Todo lo dicho es aplicable a los trminos de enlace antes mencionados.

Ejem: ( ) o ( ) ; no ( )

si ( ) entonces ( )

( ) si y solo si ( )

ACTIVIDAD 2 Indicar cules de las siguientes proposiciones son compuestas y cules

son las proposiciones componentes.

1. Construyeron un dique para controlar las bruscas crecidas de primavera..

2. No se han producido epidemias de viruela en los ltimos diez aos.

Lgica Proposicional Luca Hilal3

3. O me ayudas con el trabajo, o tendr que llamar a otra persona.

4. La clase es interesante y amena.

5. Puedes ver el partido si terminas de hacer la tarea.

6. El viento sopla del norte

7. Es tarde.

8. Es tarde pero no me di cuenta

9. En sueos me despierto y veo el mundo que tendra que ser.

10. Apruebo el examen si y solo si estudio.

SIMBOLIZACIN DE PROPOSICIONES Los ejemplos dados se encuentran en lenguaje coloquial que, generalmente, resulta de

difcil manejo, por lo cual la Lgica tiene su propio lenguaje para simbolizar las

proposiciones y los conectivos: lenguaje simblico. Las proposiciones se representan con

las letras p, q, r...... que se denominan variables proposicionales y los conectivos con los

signos: , , , , , u otros, segn las convenciones adoptadas por cada autor

Ejemplo: Hasta ahora comprendo las explicaciones , se simboliza : p

ACTIVIDAD 3: Escribir en lenguaje lgico las proposiciones de la actividad 2.

OPERACIONES LGICAS

Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos

proposiciones cuyos valores de verdad se conocen, se trata de caracterizar ( conocer la

verdad o la falsedad) la proposicin resultante, a travs de su valor de verdad.

Si se conocen los valores de verdad de las proposiciones atmicas dentro de las

moleculares entonces es posible dar los valores de verdad de stas.

En consecuencia, la verdad o falsedad de una proposicin molecular depende de la

verdad o falsedad de las atmicas que la componen y de los trminos de enlace que las

ligan.

Podemos resumir las operaciones lgicas en el siguiente cuadro:

CONECTIVO OPERACIN ASOCIADA SIGNIFICADO

Lgica Proposicional Luca Hilal4

negacin no p, no es cierto que p, no ocurre que p

conjuncin o producto lgico p y q, (pero, aunque, no obstante sin embargo) disyuncin p o q (en sentido incluyente)

o p , o q

si p entonces q; p implica q, p solo si q; q si p; cuando p, q condicional p es suficiente para q q es necesario para p, si p, q bicondicional p si y solo si q , cuando y solo cuando, es necesario y suficiente

ACTIVIDAD 4.: Proponer ejemplos de oraciones que no sean proposiciones.

ACTIVIDAD 5 : Escribir cinco proposiciones atmicas y luego formar con ellas diez

proposiciones moleculares.

ACTIVIDAD 6.: Considerando las expresiones que representan condicionales, escriba de

cinco maneras distintas en lenguaje coloquial un condicional donde el antecedente est

dado por la proposicin me aburro, y el consecuente por la proposicin resuelvo estas

actividades

AGRUPAMIENTOS Y PARNTESIS Es frecuente encontrar proposiciones que tienen ms de un trmino de enlace pero,

siempre, uno de los trminos de enlace es el mayor, por esto se le denominar dominante

porque es el que acta sobre toda la proposicin.

Ejemplo: ( p q ) r es una conjuncin

Los parntesis son smbolos de puntuacin de la lgica. Muestran como est agrupada

una proposicin y, por lo tanto, sealan cul es el trmino de enlace dominante.

Adoptaremos algunas reglas acerca de la potencia de los trminos de enlace (segn

SUPPES- HILL)

REGLA 1

Lgica Proposicional Luca Hilal5

El signo es ms potente que los otros trminos de enlace

( p q ) ( r s ) puede escribirse p q r s

REGLA 2 El signo es ms potente que y .

( p q ) ( rs ) puede escribirse pq rs.

REGLA 3 El signo de negacin ( ) es ms dbil que cualquiera de los otros trminos de

enlace.

pq ( conjuncin) no es lo mismo que ( pq) ( negacin)

REGLA 4 Los signos y son igualmente fuertes.

Cuando se presentan ambos en una proposicin, se tienen que poner siempre los

parntesis para indicar cul es el trmino de enlace dominante.

Ejemplo:

p q r no es claro

( p q) r conjuncin

p (q r) disyuncin

ACTIVIDAD 7: Colocar parntesis (si fuera necesario) para que la frmula lgica

corresponda a la proposicin que se indica en cada caso:

7.1.-Condicional: p q r s

7.2.-Conjuncin: p q r s

7.3.-Negacin: ~ p q r

7.4.-Disyuncin: p q r

7.5.-Bicondicional: p r q r

7.6.-Negacin: ~ p q r

7.7.-Disyuncin: p q r

7.8.- Conjuncin p q r

Lgica Proposicional Luca Hilal6

ACTIVIDAD 8: Dadas las siguientes proposiciones, simbolizarlas en trminos de la lgica

proposicional. Usar parntesis cuando sea necesario.

1.- Si estudiamos con esfuerzo y resolvemos estos ejercicios, aprobaremos el examen.

2.- Estudiamos con esfuerzo y , si resolvemos estos ejercicios, aprobaremos el examen

3.- Si estudiamos con esfuerzo, resolvemos estos ejercicios y adems, aprobaremos el

examen

ACTIVIDAD 9: Con la proposicin " Las actividades son complicadas" formar cinco

negaciones en lenguaje corriente.

ACTIVIDAD 10: Con las proposiciones: "Comienzo una carrera" y "estoy entusiasmado",

formar conjunciones de cinco maneras distintas.

ACTIVIDAD 11: Traducir al lenguaje corriente cada una de las siguientes frmulas lgicas

considerando que p sustituye a la proposicin: Estoy en la clase de lgica, q: Presto

atencin, r: soy alumno de primer ao, s: Este es un ejercicio lgico.

1. ( p r ) ~ q

O, si estoy en la clase de lgica soy alumno de primer ao o, no presto atencin

2. ~ p r ~ q

3. ~ ( p r ~ q )

4. q ( p r )

5. ( p ~ r ) ( q s )

6. ~ p q r

7. ~ ( p ~ q ~ s )

8. ( p r ) ( ~ p ~ q )

9. p q r ~ p

10. q ~ q

ACTIVIDAD 12: Dadas las siguientes proposiciones, simbolizarlas en trminos de la

lgica proposicional. Usar parntesis cuando sea necesario.

1. Atiendo las explicaciones pero no entiendo.

2. No estoy enamorado aunque soy feliz.

Lgica Proposicional Luca Hilal7

3. Resuelvo sola este ejercicio.

4. La lgica estudia los razonamientos deductivos.

5. No ocurre que haremos recreo.

6. No ocurre que, o trabajo en grupo o no vengo a clase.

7. Si estudio la teora, comprendo las consignas.

8. Estoy en clase o, si me quedo en clase entonces no apruebo el curso.

9. Canto o bailo, pero no me divierto.

10. El aula es incmoda y hay poca luz, o yo no dorm bien anoche.

SINTAXIS DE LAS FORMULAS PROPOSICIONALES

A los efectos de sintetizar lo desarrollado en los apartados precedentes, se establece la

siguiente sintaxis que describe como escribir proposiciones correctas en el lenguaje.

Es preciso definir unas reglas de escritura correcta de estas FORMULAS a partir de las

reglas usualmente admitidas para construir frases en el lenguaje real.

Una frmula sintcticamente correcta se define de acuerdo con las siguientes reglas:

a) Las letras proposicionales p, q,r, s,t, son frmulas correctamente formadas

b) Si A y B son frmulas correctas, tambin son frmulas correctas

A

B

A B

A B

A B

AB

c) Slo son frmulas correctas las que cumplen con la condicin a) y b)

A efectos de interpretacin de la relacin entre conectivos y letras proposicionales cuando

hay mas de una conectiva se definen las reglas siguientes:

d) Una conectiva afecta a las letras proposicionales inmediatas o a algn

conjunto de letras y smbolos inmediatos a ellos entre parntesis.

e) Para evitar el exceso de parntesis se define jerarqua entre conectivas

NIVEL1

NIVEL2 ,

Lgica Proposicional Luca Hilal8

NIVEL3

NIVEL 4

DEFINICION SEMNTICA DE CONECTIVAS

Intuitivamente podemos afirmar que la semntica nos informa el significado de las

proposiciones en el mundo real. Las conectivas generan un significado de las frases

compuestas a partir de las proposiciones componentes que conectan. Para ello se

utilizarn tablas de relacin entre significados de las proposiciones componentes y la

compuesta por cada conectiva, estas tablas se denominan TABLA DE VERDAD.

Se denomina interpretacin de una frmula a una asignacin de significados a sus

frmulas componentes bsicas. Una interpretacin es una lnea de la tabla de verdad de

la frmula.

TABLAS DE VERDAD DE LAS OPERACIONES LOGICAS: DEFINICIONES

NEGACIN

La negacin de una proposicin sustituida por la variable p es la proposicin no p, p

cuya tabla de valores de verdad es :

P p V F F V

Se trata de una operacin unitaria o mondica, pues a partir de una proposicin se

obtiene otra, que es su negacin

CONJUNCIN

La conjuncin de las prop. p y q es la prop. "p q" cuya tabla de verdad es ( cuatro

combinaciones posibles)

P q p q V V V V F F F V F F F F

La conjuncin de dos proposiciones es V si y solo si ambas proposiciones son

verdaderas; en todo otro caso es F. Es una operacin binaria o didica porque a partir de

dos proposiciones atmicas obtenemos una molecular.

Lgica Proposicional Luca Hilal9

Ejemplo: Sea p : llueve, q : sale el sol

pq: Llueve y sale el sol

pq: A la vez llueve y sale el sol

pq: Llueve pero sale el sol

pq: Llueve aunque sale el sol

pq: Llueve sin embargo sale el sol

DISYUNCIN

Una disyuncin es una prop. molecular formada por el trmino de enlace " o". En la

disyuncin se utiliza el sentido incluyente. Esto significa que en cualquier disyuncin, por

lo menos una de las dos prop. es cierta y quizs ambas. Hay cuatro combinaciones

posibles de valores de certeza:

p q p q V V V V F V F V V F F F

Es una operacin binaria o didica, porque a partir de dos proposiciones atmicas se

obtiene una molecular.

Ejemplo: La lgica es difcil o la profesora explica mal .

p: la lgica es difcil

q: la profesora explica mal

Si por lo menos una de las proposiciones atmicas es V, entonces la disyuncin es V;

adems, si ambas proposiciones son V, entonces, la disyuncin tambin ser V. Si las

proposiciones son ambas F, la disyuncin ser F.

CONDICIONAL ( pq ) Los elementos del condicional se denominan antecedente y consecuente. El condicional

usual en matemtica es material en el sentido de que no es necesario que el consecuente

se derive lgicamente del antecedente. Cuando esto ocurre, el condicional se llama

formal y queda incluido en el primero.

Ej. de condicional material: Si 2+2= 4 entonces hoy es lunes

Ej. de condicional formal: Si 2+2= 4 entonces 4= 2+2

Lgica Proposicional Luca Hilal10

La tabla de valores de verdad es:

p q p q V V V V F F F V V F F V

Ejemplo: sea p la variable que sustituye a la proposicin Curso la licenciatura en

Pedagoga De la Matemtica, q representa a la proposicin Estoy entusiasmado, el

condicional entre ambas est dado por:

p q: Si curso la licenciatura en Pedagoga De la Matemtica entonces estoy

entusiasmado

p q: Si curso la tecnicatura, estoy entusiasmado

p q: Cursar la tecnicatura implica estar entusiasmado

p q: Curso la tecnicatura slo si estoy entusiasmado

p q: Estoy entusiasmado si curso la tecnicatura

p q: Para estar entusiasmado, es suficiente cursar la tecnicatura

p q: Estar entusiasmado es necesario para cursar la tecnicatura

p q: Cuando curso la tecnicatura, estoy entusiasmado

BICONDICIONAL ( p q )

El bicondicional, solo es verdadero si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

p q p q V V V V F F F V F F F V

El bicondicional puede definirse como la conjuncin de un condicional y su recproco. De

este modo la tabla de valores de verdad de pq, puede obtenerse mediante la tabla de

( pq ) (qp ).

p q p q q p (p q) (q p) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V

Lgica Proposicional Luca Hilal11

Ejemplo: " Usted puede votar si y solo si figura en los padrones "

" T es un tringulo equiltero si y solo si T es un tringulo "

a)-DIAGRAMA DE VALORES DE CERTEZA (o de verdad)

Independientemente de la longitud y de lo complicada que sea una proposicin molecular,

se pueden hallar sus valores de certeza si se conocen los valores de certeza de sus

partes.-

Sea por ejemplo la frmula ( p q ) r donde p y r son V y q es F , el diagrama tendr

la forma:

( p q) r

V F V

V V Se comienza con las variables atmicas, luego el conectivo de menor alcance y se

contina hasta el trmino de enlace final.-

EJERCICIO:- construir un diagrama para ( p q p) ( r s) donde p y q son V y r

y s son F

b) TABLAS DE VALORES DE VERDAD

Si no se conocen los valores de verdad de sus partes, se utilizan mecanismos de

decisin dados por tablas de verdad. Las tablas son exhaustivas operaciones lgicas

cuyos resultados pueden tener distintas formas:-

Forma Tautolgica:- Su valor de certeza es V, independientemente de los valores de certeza de las proposiciones atmicas. Decimos que la frmula es un tautologa.

EJEMPLO DE TAUTOLOGIA

( p q) p q

Lgica Proposicional Luca Hilal12

Forma Contingente: Las valoraciones son V y F, es una funcin de verdad, porque los valores dependen de los valores de V de las proposiciones. La frmula es una

contingencia.

EJEMPLO DE CONTINGENCIA

Forma Contradictoria: tiene siempre el valor F independientemente del valor de verdad de las variables. Decimos que la frmula es una contradiccin.

EJEMPLO DE CONTRADICCION:

p p

ACTIVIDAD 13 Construir un diagrama de valores de verdad para cada frmula de la

actividad 11 sabiendo que p es V, q , r son F , s es V

ACTIVIDAD 14.Construir una tabla de valores de verdad para cada una de las frmulas

obtenidas en la actividad 12 y clasificarlas

EQUIVALENCIA LGICA

Dos proposiciones son equivalentes cuanto tienen las mismas tablas de Valores de

Verdad bien, cuando al componerlas con el bicondicional, da una tautologa.

ACTIVIDAD 15: Escribir ejemplos de frmulas equivalentes

LEYES LGICAS

Algunas tautologas reciben nombres especiales, por ser de uso frecuente, entre ellas:

1- Involutiva: ~ ~ p p

2.Idem Potencia p p p ; p p p

3.Trasposicin ( p q ) ( ~ q ~ p )

Lgica Proposicional Luca Hilal13

4.Conmutatividad ( p q ) ( q p )

( p q ) ( q p )

5. Asociatividad [ p ( q r ) ] [ ( p q ) r ]

[ p ( q r ) ] [ ( p q ) r ]

6. Distributividad de la conjuncin con respecto a la disyuncin

[ p ( q r )] [ ( p q ) ( p r )]

7. Distributividad de la disyuncin respecto de la conjuncin

[ p ( q r )] [ ( p q ) ( p r )]

8. Distributividad del condicional con respecto de la conjuncin

[ p ( q r )] ( p q ) ( p r )

9. Distributividad del condicional con respecto de la disyuncin

[ p ( q v r )] ( p q ) ( p r )

10. De Morgan :~ ( p q ) ( ~ p ~ q )

~ ( p q ) ( ~ p ~ q )

11. Exportacin: [ ( p q ) r ] [ p ( q r )]

12. Absorcin : p [ p ( p q )]

p [ p ( p q )]13. Definicin de condicional : ( p q) ( p q)

14. Definicin de bicondicional: (pq) ( p q) ( q p)

15. Negacin del condicional: ( p q) ( p q )

16. Expansiones Booleanas: p p (q ~ q) p p (q ~ q) p p (q ~ q r) p p (q ~ q r)

NEGACIN DE UN CONDICIONAL.

Lgica Proposicional Luca Hilal14

Las proposiciones ( p q) y p q

son equivalentes ya que su bicondicional nos dio una tautologa o sea:

( p q) ( p q )

En consecuencia la negacin de la primera es equivalente a la negacin de la segunda

( p q) ( p q )

Aplicando la ley de De Morgan al segundo miembro de la equivalencia, queda: ( p q) ( p q )

La negacin de una implicacin es equivalente a la conj. del antecedente con la

negacin del consecuente.--

ACTIVIDAD 16: Aplicar las leyes lgicas para encontrar proposiciones equivalentes a:

1. No es cierto que, o voy al cine o voy a bailar

2. No ocurre que, si presento la monografa entonces apruebo la asignatura

3. No ocurre que, si desapruebo el parcial, promociono esta asignatura o la regularizo.

4. Salgo a caminar pero no me canso

CONDICIONES NECESARIA Y SUFICIENTE DE UN CONDICIONAL

Consideramos la Tabla Valores de Verdad de la implicacin

p q p q V V V V F F F V V F F V

Hay tres casos en que pq es V :

a) Si sabemos que p q es V y p es V , q tambin debe ser V en cambio si p es F

nada podemos decir de q , ya que puede ser V F .O sea que es suficiente saber que p, es V para que q lo sea.

Se dice entonces que el antecedente p es condicin suficiente para el consecuente q y

se expresa : q si p.

Ejemplos:- Es suficiente que la figura tenga tres lados para ser tringulo.

- Para aprobar este parcial es suficiente resolver los ejercicios y obtener 60 puntos

Lgica Proposicional Luca Hilal15

- atiendo las explicaciones o no comprendo el tema, si asisto a clase.

b)- Cuando p q es V, si q es V entonces p puede ser V F, pero para que p

sea V es necesario que q lo sea.

Se dice entonces que q es condicin necesaria para p y se expresa : p solo si q

Ejemplos:- Para que un metal se dilate es necesario someterlo al calor.

Para regularizar la asignatura, es necesario aprobar el parcial o su recuperatorio

Apruebo el parcial solo si estudio la teoria y comprendo los ejercicios

ACTIVIDAD 17: Analizar las condiciones necesaria y suficiente de los siguientes

condicionales y simbolizarlos

1. Es necesario escuchar msica para ser feliz.

2. Soy feliz si escucho msica.

3. Soy feliz solamente si escucho msica.

4. Es suficiente estar enamorado, para ser feliz.

5. Para ser feliz es necesario escuchar msica y no estar enamorado.

6. Para escuchar msica es suficiente ser feliz o estar enamorado.

7. Soy feliz si escucho msica.

8. Para estar enamorado es necesario ser feliz.

9. Soy feliz o no escucho msica si estoy enamorado.

10. Slo si escucho msica, soy feliz.

11.Para ser feliz es suficiente estar enamorado

CONDICIONALES ASOCIADOS

Sea el condicional p q ,que llamamos directo; en conexin con l , se presentan otros

tres , obtenidos por permutaciones o negaciones del antecedentes y consecuente:

p q directo

q p recproco

p q contrario

q p contrarecproco

Lgica Proposicional Luca Hilal16

Los cuatro condicionales propuestos se llaman conjugados y cualesquiera de ellos puede

tomarse como recproco .-

Construya las tablas de verdad de los condicionales asociados para determinar si existen

frmulas equivalentes entre ellos.

ACTIVIDAD 18: Elegir entre las frmulas de las actividades 11 y 12 las que correspondan

a condicionales y formular los asociados

ACTIVIDAD 19: Negar las frmulas de la actividad 17 y retraducirlas al lenguaje coloquial.

Lgica Proposicional Luca Hilal17