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TEMA 1. MATERIALES EN

INGENIERÍA.

Curso de Resistencia de Materiales y cálculo de estructuras.

Félix C. Gómez de LeónAntonio González Carpena

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Índice.� Centroide.� Centroide de áreas compuestas.� Momento de Inercia (I).� Teorema de Steiner.� Módulo resistente (W).� Radio de giro (i).� Tablas perfiles estructurales.� Ejemplo de aplicación.

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Centroide.� El centro de gravedad de un cuerpo es el punto de

aplicación donde al ubicar la resultante de las fuerzas los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de gravedad se sustituye por el centroide del área, el cual considera las áreas de los elementos en vez de los pesos y las expresiones para determinar las coordenadas centroidales son:

; xdA ydA

x yA A

= =∫ ∫

x

y

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Centroide áreas compuestas.� En gran cantidad de casos una superficie cualquiera

puede ser subdividida en una serie de figuras comunes (rectángulo, triangulo, circunferencia etc..). Esta forma de análisis es útil y permite determinar el centroide de cualquier superficie según:

;i i i i

ii

x A y Ax y

A A= =∑ ∑∑ ∑

x

y

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Centroide áreas compuestas.Problema 1

� Calcular el centroide de la siguiente figura:

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Momento de Inercia (I).� El centroide es proporcional a

la ubicación del área asociada. Por otra parte, tenemos una medida denominada momento de inercia que no depende solamente de la ubicación del área sino de la distancia hasta un eje dado.

� El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área que representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como la suma de los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje.

2 2; x yI y dA I x dA= =∫ ∫

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Momento de Inercia (I). Problema 2.

� Calcular el momento de inercia respecto del eje x de la siguiente figura.

b

dA = bdy

x

y

dy

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Teorema de Steiner.� Cuando se combinan superficies, los momentos de inercia de

cada área requieren de la transmisión del momento de inercia al nuevo eje centroidal del área compuesta.

� Esta se logra mediante el Teorema de Steiner, donde el momento de inercia con respecto a un eje dado es igual al momento de inercia con respecto al eje centroidal paralelo al eje dado más el producto del área por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.

2AdII +=

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Teorema de Steiner.Problema 3.

� Calcular el momento centroidal de inercia de la figura anterior conociendo el momento con respecto al eje x y utilizando el teorema de Steiner.

b

x

y

�

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Módulo Resistente (W)� Representa la relación del momento de inercia respecto

a la distancia de la fibra más alejada al eje neutro, esta medida es útil en el diseño de vigas y se define como (Parker y Ambrose, 1995):

x

IW

y

IW

y

yx

x == ;

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Radio de Giro (i)� Si el área se concentra en una

franja paralela a un eje con un espesor diferencial, el radio de giro representa la distancia del área transformada para que tenga el mismo momento de inercia respecto al eje dado. Se define como (Beer y Johnston, 1977):

0

0; ;

yxx y

II Ii i i

A A A= = =

y

x

O

A

y

x

O

A

Ix

y

x

O

A

Iy

x

O

A

Io

y

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Ejemplo de aplicación.

0,3

1,2

1,2

0,3

� Determinar el momento de inercia y el radio de giro de la sección mostrada en la figura, con respecto a los ejes x e y.

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HEA : Perfiles de alas aligeradas.HEB : Perfiles de largas alas.HEM : Perfiles de alas reforzadas.

Fuente: Asociación para la Promoción Técnica del Acero (APTA)

14

IPE

Fuente: Asociación para la Promoción Técnica del Acero (APTA)

15

IPN

Fuente: Asociación para la Promoción Técnica del Acero (APTA)

16

UPN

Fuente: Asociación para la Promoción Técnica del Acero (APTA)

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Angulares de lados iguales (L)

Fuente: Asociación para la Promoción Técnica del Acero (APTA)

18

Angulares de lados desiguales (LD)

Fuente: Asociación para la Promoción Técnica del Acero (APTA)