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Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALESDepartamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

TEMA Nº 9: TEMA Nº 9: ESTÁTICAESTÁTICA

ROZAMIENTOROZAMIENTO

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IndiceIndice

Punto 9.1 Introducción

Punto 9.2 Características del Rozamiento de Coulomb Punto 9.2.1 Tipos de problemas de rozamiento

Punto 9.3 Análisis de Sistemas con Rozamiento Seco Punto 9.3.1 Cuñas

Punto 9.4 Resistencia a la Rodadura

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Las superficies perfectamente lisas o exentas de rozamientos constituyen un modelo útil para muchas situaciones. Ahora bien, en el contacto entre superficies reales, siempre están presentes fuerzas de rozamiento que se ejercen tangencialmente a las superficies oponiéndose a la tendencia de las superficies en contacto a deslizar una respecto a otra.Estas fuerzas de rozamiento pueden resultar convenientes (andar, conducir un automóvil, recoger objetos, frenos, correas de transmisión, embragues, etc.) o nocivas ya que el rozamiento origina pérdidas de energía y desgaste de las superficies en contacto que deslicen una sobre otra.En la ingeniería se encuentran corrientemente dos tipos principales de rozamiento:

El rozamiento seco o rozamiento de Coulomb que describe la componente tangencial de la fuerza de contacto que existe cuando dos superficies secas deslizan o tienden a deslizar una respecto a la otra. El rozamiento fluido describe la componente tangencial de la fuerza de contacto que existe entre capas contiguas de un fluido que se mueven con velocidad relativa una respecto a otra.

9.1 Introducción

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Experiencia sencilla: Un bloque sólido de masa m descansa sobre una superficie horizontal rugosa y se halla sometido a una fuerza horizontal P.

9.2 Características del rozamientode Coulomb

El equilibrio del bloque exige una fuerza que tenga componente normal N y componente horizontal de rozamiento F que actúen sobre la superficie de contacto.Si P es nula F también lo será y al ir aumentando P también aumenta el rozamiento F.

F no puede aumentar indefinidamente alcanzando su valor máximo Fmax en el valor límite de rozamiento estático. Este punto se conoce como deslizamiento inminente con lo que con una P por encima de este punto el rozamiento ya no puede proporcionar la F necesaria para el equilibrio.Cuando comienza a deslizar el cuerpo, la fuerza de rozamiento disminuye su módulo entre un 20 y un 25 % manteniéndose después aproximadamente constante.

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Tras diferentes experiencias, se demuestra que el valor del rozamiento límite es proporcional a la fuerza normal en la superficie de contacto.

NF smax

La constante de proporcionalidad s recibe el nombre de coeficiente de rozamiento

estático y depende de los tipos de material de contacto. Se cree que el rozamiento seco se debe principalmente a la rugosidad de las dos superficies y, en menor grado, a la atracción entre las moléculas de las dos superficies.Aun cuando se consideren superficies lisas, siempre tienen irregularidades, por lo que el contacto entre el bloque y la superficie solo tiene lugar en unas cuantas áreas pequeñas de la superficie común. Entonces la fuerza de rozamiento F es la resultante de las componentes tangenciales de las fuerzas que se ejercen en cada uno de estos diminutos puntos de contacto, al igual que la fuerza normal N es la resultante de las componentes normales de dichas fuerzas.La situación exacta de N se determinará mediante el equilibrio de momentos, por lo que no conviene dibujar la fuerza actuando en el centro del cuerpo.

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El rozamiento es una fuerza resistiva, por lo que siempre se opone al movimiento (nunca tiende a crear movimiento).

La fuerza de rozamiento que se ejerce nunca es mayor que la necesaria para satisfacer las ecuaciones de equilibrio, donde el signo igual sólo vale en condiciones de deslizamiento inminente. NF sCuando el bloque empiece a deslizar respecto a la superficie, la fuerza de rozamiento disminuirá hasta el valor:

Donde el valor k es el coeficiente de rozamiento cinético que es independiente de

la fuerza normal y de la celeridad del movimiento relativo.Los valores de s y de k deben determinarse experimentalmente para cada par de

superficies de contacto.Los valores de k suelen ser un 20 o 25% inferiores a los dados para s.

Como los coeficientes de rozamiento son cocientes de dos fuerzas, serán magnitudes adimensionales.

NF k

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En muchos problemas sencillos de rozamiento, conviene utilizar la resultante de las fuerzas normal y de rozamiento en lugar de estas componentes por separado.

En el caso del bloque analizado anteriormente, quedarían sólo tres fuerzas ejerciéndose sobre él.El equilibrio de momentos se establece sin más que hacer concurrentes las tres fuerzas y sólo será necesario considerar el equilibrio de fuerzas. Así:

N

FyFNR tan22

En la situación de deslizamiento inminente:

ss

s

ss

N

N

N

F

NNNFNR

tan

1 2222max

2

Donde el ángulo s que forma la resultante con la normal a la superficie recibe el nombre de ángulo de rozamiento estático.

ss arc tan

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Para una fuerza normal N, si la fuerza de rozamiento es menor que la máxima

NF sel ángulo de la resultante será menor que el de rozamiento estático θ < s. En ningún caso puede el ángulo θ de la resultante ser mayor que s si el cuerpo está en equilibrio.En el caso de rozamiento cinético se obtiene una relación análoga,

Donde el ángulo k recibe el nombre de ángulo de rozamiento cinético.

kk tan

Cuando un bloque descansa sobre un plano inclinado y sólo actúa sobre aquel la gravedad, la resultante de las fuerzas normal y de rozamiento debe ser colineal con el peso del bloque. Pero el ángulo que forma la resultante con la normal a la superficie nunca puede ser mayor que el ángulo de rozamiento estático s. Por tanto, la máxima inclinación θ para la cual el bloque pueda estar aún en equilibrio es igual al ángulo de rozamiento estático.

kk arc tan

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9.2.1 Tipos de problemas de rozamiento

En el DSL se representan la fuerza de rozamiento necesaria para mantener, junto con la fuerza normal N, el equilibrio y se determinan mediante las EQ de fuerzas.

La fuerza normal no tiene por qué dibujarse pasando por el centro del cuerpo. Su situación se determina utilizando el equilibrio de momentos.

El rozamiento Fnec que se necesita para que haya equilibrio y la situación de la fuerza normal se comprueban en función de sus valores máximos. Se dan tres casos:

a) Si el rozamiento Fnec necesario para el equilibrio es menor o igual que el rozamiento máximo disponible

y la fuerza normal está situada en el cuerpo, éste estará en equilibrio. En este caso, la fuerza de rozamiento real que opone la superficie es

b) Si el rozamiento Fnec necesario para el equilibrio es menor o igual que el máximo disponible, pero la fuerza normal no se encuentra en el cuerpo, éste no estará en equilibrio y volcará.

c) Si el rozamiento Fnec necesario para el equilibrio es mayor que el máximo disponible el cuerpo no estará en equilibrio y deslizará. En este caso, la fuerza de rozamiento real que opone la superficie será la fuerza de rozamiento cinético

NFF sdisp max

NFFF sdispnecreal

NF kreal

1.- No se supone deslizamiento inminente.

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2.- Se sabe que habrá deslizamiento inminente en todas las superficies de contacto.

Como se sabe que en todas las superficies de contacto hay deslizamiento inminente, en los DSL se podrá considerar que todas las fuerzas de rozamiento valen sN.

Entonces se pueden escribir las EQ y:

a) Si se dan todas las fuerzas aplicadas pero se desconoce s, se podrán despejar N y s de las EQ. Este s será el menor coeficiente para el cual podrá estar en equilibrio el cuerpo.

b) Si se da el coeficiente de rozamiento pero se desconoce una de las fuerzas aplicadas, se podrá despejar esta y N de las EQ.

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3.- Se sabe que hay movimiento inminente pero no se conoce el tipo de movimiento o la

superficie de deslizamiento.

Como no se sabe si el cuerpo vuelca o desliza, habrá que dibujar los DSL como en el caso 1 sin poder considerar que las fuerzas de rozamiento valgan sN.

Así, las tres EQ contendrán más de tres incógnitas, por lo que habrá que formular

hipótesis acerca del tipo de movimiento que está a punto de producirse hasta que el número de ecuaciones sea igual a de incógnitas. Una vez resuelto el sistema habrá que comprobar de acuerdo con las hipótesis realizadas acerca del deslizamiento o vuelco.

Si Fnec resulta ser mayor que Fdisp = sN en alguna superficie o si la fuerza normal no se halla en el cuerpo, habrá que cambiar las hipótesis y volver a resolver el problema.

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En los dos últimos casos (2b y 3), la fuerza de rozamiento se trata como si fuera conocida. Hay que estar seguro de que se oponga a la tendencia de las otras fuerzas a originar movimiento.

El resultado no podrá incluir un signo negativo que indique que el sentido supuesto a la fuerza de rozamiento está equivocado.

Si se asigna incorrectamente el sentido de la fuerza de rozamiento, se tendrá resultados incorrectos.

El sentido se determina fácilmente considerando por un instante que no hay rozamiento. Entonces se aplica el rozamiento en un sentido tal que se oponga al movimiento que se tendría en ausencia del mismo.

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PROBLEMA 9.1PROBLEMA 9.1Una unidad de un equipo electrónico que pesa 100 N se coloca sobre un calzo de madera que pesa 50 N y se apoya sobre un suelo de hormigón. Suponiendo un coeficiente de rozamiento estático de 0,45 determinar la mínima fuerza con que hay que empujar el mango para hacer que el calzo empiece a deslizar sobre el suelo.

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PROBLEMA 9.2PROBLEMA 9.2

Idem al problema anterior aplicando ahora una fuerza de tracción.

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PROBLEMA 9.3PROBLEMA 9.3Una caja homogénea de peso 100 N ha volcado y descansa contra otra caja homogénea de peso 200 N. El coeficiente de rozamiento entre la caja A y el suelo es 0,7; entre la caja B y el suelo es 0,4. Considerar lisa la superficie de contacto de las dos cajas y determinar si éstas están en equilibrio.

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PROBLEMA 9.3 bisPROBLEMA 9.3 bis

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PROBLEMA 9.4PROBLEMA 9.4Las ruedas del frigorífico no pueden girar por estar trabadas. El frigorífico pesa 600 N. Supóngase que el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el piso vale 0,6 y determinar la fuerza necesaria para que el frigorífico inicie su movimiento. Calcular la altura máxima h a la que puede aplicarse la fuerza sin que vuelque el frigorífico.

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PROBLEMA 9.5PROBLEMA 9.5La furgoneta se mueve con una velocidad constante de 80 km/h transportando una caja de peso 300 N. Esta sobresale 30 cm por encima de la cabina de la furgoneta. La resistencia aerodinámica de la caja puede considerarse que es una fuerza de 417 N/m distribuida uniformemente sobre el borde de la caja expuesto al viento. Calcular el mínimo coeficiente de rozamiento necesario para impedir el deslizamiento de la caja en la furgoneta y decir si vuelca o no.

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PROBLEMA 9.6PROBLEMA 9.6(pag. 396)(pag. 396)

Las barras de la figura tienen pesos depreciables y los pasadores están exentos de rozamiento. El coeficiente de rozamiento entre la corredera de 40 kg y el suelo es 0,40.

• Si P es horizontal (θ = 0) determinar su valor máximo de forma que se mantenga el equilibrio del sistema.

• Determínese el ángulo θ que da la máxima fuerza absoluta para la cual no se produce movimiento.

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PROBLEMA 9.13PROBLEMA 9.13(pag. 398)(pag. 398)

El bloque A de la figura está presionado contra el suelo por una fuerza de 325 N aplicada al miembro indicado. El pasador está exento de rozamientos y el peso del miembro se puede despreciar. El coeficiente de rozamiento es 0,2 en todas las superficies. Determinar el peso mínimo de A necesario para evitar el deslizamiento.

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PROBLEMA 9.21PROBLEMA 9.21(pag. 399)(pag. 399)

En la figura la caja A pesa 50 N y descansa sobre un plano inclinado, mientras la caja B pesa 100 N y descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de rozamiento entre la caja A y el plano inclinado es 0,45; entre la caja B y la superficie horizontal es 0,5. las poleas están todas exentas de rozamientos. Determinar el peso máximo que puede tener C para que no se produzca movimiento.¿Qué movimiento tendrá lugar antes?

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PROBLEMA 9.31PROBLEMA 9.31(pag. 401)(pag. 401)

Una cuerda ligera está enrollada alrededor de un tambor que pesa 500 N, pasa por la garganta de una polea exenta de rozamientos y soporta en su extremo un peso W. El coeficiente de rozamiento entre el tambor y las superficies es 0,50. Determinar el peso máximo que puede soportar este dispositivo.

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PROBLEMA 9.34PROBLEMA 9.34(pag. 402)(pag. 402)

Una cuerda ligera está enrollada alrededor de un tambor que pesa 100 N. El coeficiente de rozamiento entre el tambor y el suelo es 0,30. Determinar el máximo ángulo que impida el deslizamiento del tambor y la tensión del cable para este ángulo.

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El rozamiento se encuentra a menudo en aplicaciones sencillas pero también aparece frecuentemente en aplicaciones más complicadas, tales como:

• CUÑAS• TORNILLOS• COJINETES DE BOLAS• COJINETES DE EMPUJE• CORREAS DE TRANSMISIÓN.

Para su estudio será necesario considerar el equilibrio de las partes componentes de la maquinaria, aun cuando sólo interesen fuerzas exteriores o reacciones.

En el presente curso de Mecánica I, debido al nº de horas que se dispone para impartir el temario, únicamente estudiaremos las CUÑAS.

9.3 Análisis de sistemas con rozamiento seco

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Una cuña es un bloque que tiene dos caras planas que forman un ángulo pequeño.

Las cuñas se utilizan muchas veces por parejas para elevar cargas pesadas. Según cual sea el ángulo de las caras de la cuña, el peso que se eleva puede ser mucho mayor que la fuerza P aplicada a la cuña.

Además, una cuña proyectada adecuadamente se mantendrá en su sitio y aguantará la carga incluso después de suprimir la fuerza P.

9.3.1 Cuñas

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Los problemas de cuñas se pueden resolver a menudo mediante un método semigráfico.

• Las cuñas están vinculadas casi siempre contra la rotación, por lo que sólo será necesario considerar equilibrio de fuerzas.• Además el nº de fuerzas que se ejercen sobre la cuña suele ser pequeño (el rozamiento y las fuerzas normales suelen combinarse en una sola fuerza resultante) por lo que el equilibrio de fuerzas podrá expresarse mediante un polígono de fuerzas.• Para relacionar fuerzas y ángulos se podrán utilizar el teorema del seno y el del coseno.

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En el caso de movimiento inminente, la resultante de las fuerzas normal y de rozamiento se dibuja según el ángulo de rozamiento estático y se determina el módulo de la resultante u otra fuerza.

Si el movimiento no es inminente, se dibuja la resultante con un módulo cualquiera y según un ángulo cualquiera 1 que sea de los que corresponden al equilibrio. Este ángulo se compara entonces con el de rozamiento estático 1 ≤ 1s para determinar si hay equilibrio o no.

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Al igual que otras máquinas, las cuñas se caracterizan por su desarrollo mecánico (D.M.) que es la razón de la fuerza de salida a la de la entrada.

•El numerador es la fuerza que hay que aplicar directamente a un objeto para efectuar la tarea deseada (por ejemplo: el peso del cuerpo que se eleva).

•El denominador es la fuerza que hay que aplicar a la cuña para efectuar la misma tarea. (por ejemplo: la fuerza P indicada en la figuras).

•Resulta obvio que una cuña bien proyectada debe tener un D.M. > 1.

No obstante, una cuña que tenga un D.M. muy grande puede no ser lo más conveniente. Un criterio de diseño habitual es que la cuña permanezca en su sitio después de haber estado sometida a una carga (irreversibilidad de la cuña)

cuñaladefuerza

directafuerzaMD ..

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PROBLEMA 9.6PROBLEMA 9.6

Se utiliza una cuña para hacer deslizar sobre el suelo la caja de caudales de 3.000 N de peso representada en la figura. Determinar la mínima fuerza P necesaria para ello si el coeficiente de rozamiento es 0,35 en todas las superficies y se puede despreciar el peso de las cuñas.

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PROBLEMA 9.6 bisPROBLEMA 9.6 bis

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PROBLEMA 9.7PROBLEMA 9.7Se utiliza una cuña para elevar un frigorífico de 1750 N de peso. El coeficiente de rozamiento es 0,2 en todas las superficies.

• Determinar la mínima fuerza P necesaria para introducir la cuña.

• Determinar si el sistema seguirá estando en equilibrio cuando P = 0.

• Si el sistema no estuviera en equilibrio cuando P = 0, determinar la fuerza que sería necesaria para mantener la cuña en su sitio o, si el sistema estuviera en equilibrio cuando P = 0, determinar la fuerza necesaria para extraer la cuña.

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PROBLEMA 9.7 bisPROBLEMA 9.7 bis

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La resistencia a la rodadura tiene que ver con las fuerzas que hacen que una rueda que esté rodando se vaya parando gradualmente y llegue a detenerse.Esta no se debe al rozamiento de Coulomb ya que no existe un deslizamiento y no se puede describir mediante un coeficiente de rozamiento.Por tanto habrá que examinar el origen y naturaleza de la resistencia a la rodadura:

9.4 Resistencia a la rodadura

Para hacer que una rueda que gire se ralentice gradualmente y llegue a pararse se combinan diversos efectos entre los que se encuentran la resistencia al aire y el rozamiento en los cojinetes.En adelante se considerará que la principal fuente de resistencia es la interacción de la rueda con la superficie sobre la cual está rodando.

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En la figura inferior se ha representado el DSL de la rueda. La fuerza L representa su peso más toda la carga vertical que pueda estar aplicada a su eje.• Si la rueda y la superficies son perfectamente rígidas, la fuerza normal pasará por el centro de la rueda. • Sumando momentos respecto de este centro dará que F = 0. Es decir, sobre el punto más bajo de la rueda no se ejerce rozamiento de Coulomb. • Además, la suma de fuerzas en la dirección horizontal da P = 0. Es decir, no se necesita ninguna fuerza impulsora para mantener la rueda girando con velocidad constante.

En la 1ª figura tenemos una rueda que avanza rodando con velocidad constante por una superficie plana horizontal gracias a una fuerza P aplicada a su centro.

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El error cometido está en suponer que la rueda y la superficie son perfectamente rígidas. Los materiales reales se deforman todos en mayor o menor grado. Cuanto más blandos sean los materiales y/o más pesada sea la carga, tanto mayor será la deformación.La situación real se parecerá más a la representada en la figura inferior en la que una rueda de goma rueda sobre un piso de goma.

Nuestra experiencia nos dice que el hecho de que no se necesite ninguna fuerza impulsora para mantener la rueda girando con velocidad constante no ocurre realmente.

La carga L hará que se abollen la superficie y la rueda. Además, como se empuja la rueda hacia la derecha, probablemente la superficie se dilatará y ascenderá un poco delante de la rueda.

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El equilibrio de momentos respecto al centro de la rueda exige que R pase por dicho centro. Entonces, sumando momentos respecto al punto A por donde pasa R, se tiene

En la figura puede verse el DSL correspondiente a esta situación, en el cual R representa la resultante de todas las fuerzas de contacto entre rueda y superficie.

bPaLM A ..En la mayoría de los casos de interés la deformación es pequeña, por lo que b será casi igual al radio de la rueda. Por tanto, la fuerza P necesaria para mantener la rueda girando con velocidad constante valdrá:

r

LaP

.

A la distancia a se le suele llamar coeficiente de resistencia a la rodadura (No es adimensional) y depende de las propiedades de las superficies de contacto. Como se debe a la deformación y no a la rugosidad no está relacionado con s y k .

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PROBLEMA 9.156PROBLEMA 9.156(pag.433)(pag.433)

Una grúa aérea tiene dos ruedas de acero de 75 mm de diámetro que cabalgan sobre un rail de acero. Determinar la fuerza horizontal necesaria para empujar la grúa cuando transporte una carga de masa 2000 kg. Despreciar todo rozamiento menos la resistencia a la rodadura.

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PROBLEMA 9.165PROBLEMA 9.165(pag.435)(pag.435)

En la figura se ha representado un dispositivo elevador de objetos rectangulares tales como ladrillos y bloques de hormigón. Determinar el mínimo coeficiente de rozamiento estático entre las superficies en contacto que haga útil el dispositivo.

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PROBLEMA 9.166PROBLEMA 9.166(pag.435)(pag.435)

El coeficiente de rozamiento estático entre la pastilla de freno y el tambor de freno de la figura vale 0,40. cuando a la palanca de freno se aplica una fuerza de 350 N, determinar qué par se necesita para iniciar la rotación del tambor si el sentido de rotación es (a) horario y (b) antihorario.

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PROBLEMA PROBLEMA EXAMENEXAMEN

La prensa de la figura se emplea para troquelar un pequeño sello E. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre la guía vertical y el troquel D es 0,30, hallar • La fuerza que el troquel ejerce sobre el sello. (664 N ↓)• El desarrollo mecánico conseguido con este dispositivo. (2,656)

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PROBLEMA PROBLEMA EXAMENEXAMEN

Una roca tiene una masa de 500 Kg y se mantiene horizontal por una cuña en B, como se muestra en la figura. Si el coeficiente de fricción estática es µs = 0,3 en la superficie de contacto con la cuña, determinar la fuerza P necesaria para mover la cuña, suponiendo que la roca no resbala en el punto A. (1.153,75 N)