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Tema 1:Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica

de Campos

Arcadi Santamaria

15 de octubre de 2009

Contenido

1 Ecuaciones de onda relativistas: éxitos y fracasosDualidad onda corpúsculoLa ecuación de Klein-GordonLa ecuación de DiracNecesidad de una teoría de muchas partículas

2 Sistemas Continuos y Mecánica CuánticaMotivaciónTransición al continuo de un sistema discretoFormulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana de medioscontinuosCuantización de las ondas en una barra elásticaCuantización canónica

Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 2/57

Dualidad onda corpúsculo

Si no tenemos en cuenta la polarización, un rayo de luz sepuede describir mediante una onda plana

ψ ≈ ei(~k ·~x−ωt),∣∣∣~k ∣∣∣=

2π

λ, ω = 2πν =

2πcλ

ψ satisface la ecuación de ondas

∂ 2

∂ t2 ψ = c2~∇2ψ

Invariancia Lorentz: ~k y ω se transforman como~x y t .Para asociar E , y~p al fotón se escribe

~p = h~k =hλ

, E = hω = hν , h = 2πh,

h deber la misma para E y~p si~p~x−Et invariante Lorentz

ψ ≈ eih (~p~x−Et)


Sustituyendo en la ecuación de ondas se obtiene

E2 = c2 ∣∣~p∣∣2es la relación entre energía y momento para partículas sinmasa.La ecuación de ondas se obtendría con la sustitución

E → i h∂

∂ t, ~p→−i h~∇

en E2 = c2∣∣~p∣∣2 actuando sobre la función de ondas.

Aplicando el mismo argumento a la relación entre energía ymomento NR

E ≈∣∣~p∣∣22m

+ V (~x)


se obtiene la ecuación de Schrödinger

i h∂

∂ tψ =

(− h2

2m~∇2 + V (~x)

)ψ

No es aplicable a fotones, porque son relativistas.La ecuación equivalente para fotones sería la ecuación deondas pero, como veremos, su interpretación como la ecuaciónde ondas de un fotón tiene problemas muy importantes queson generales de todas las ecuaciones de onda relativistas.

Paradoja:El comportamiento de los fotones, que fue esencial para llegara la ecuación de Schrödinger, no se puede describir mediantela misma ni por ecuaciones del mismo tipo.


La ecuación de Klein-Gordon

Haciendo una analogía con el caso no relativista, si

E =√

c2~p2 + m2c4 .

y hacemos E → i h∂t , ~p→−i h~∇ tendremos

i h∂

∂ tψ =

√−h2c2~∇2 + m2c4 ψ .

La raíz cuadrada la hace complicadaUna derivada en el tiempo, dos respecto a posiciones;rompe la covariancia Lorentz explícita.

Alternativamente, podemos utilizar el cuadrado y obtenemos laecuación de Klein-Gordon (KG)

−h2 ∂ 2

∂ t2 ψ =(−h2c2~∇2 + m2c4

)ψ .

Para m = 0 es la ecuación de ondas del fotónArcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 6/57

Si, h = c = 1 y xµ = (x0,x i), i = 1,2,3, se puede escribir deforma totalmente covarianteLa equación de Klein-Gordon libre(

∂2 + m2

)ψ = 0 ,∂ 2 ≡ ∂µ∂

µ ≡ ∂2t −~∇2

con ∂ 2 ≡ ∂µ∂ µ ≡ ∂ 2t −~∇2con ∂t = ∂

∂ t .Para electrones con interacción electromagnética

(E + eφ)2 = (~p + e~A)2 + m2 .

sustituyendo E → i∂t ,~p→−i~∇

(i∂t + eφ)2ψ =

((−i~∇ + e~A)2 + m2

)ψ ,

o en notación covariante (Acoplamiento mínimo ∂µ → ∂µ− ieAµ )La equación de Klein-Gordon con interación electromagnética(

(i∂ + eA)2−m2)

ψ = 0


La ecuación de Klein-Gordon y el átomo de hidrógeno

Para el átomo de hidrógeno (φ = Ze4πr ,

~A = 0)

(E +Zα

r)2

ψ(~x) = (−~∇2 + m2)ψ(~x) ,α ≡ e2/(4π)

Si ψ(~x) = Y`m(θ ,ϕ)Rn`(r)(∂ 2

∂ r2 +2r

∂

∂ r− `(`+ 1)−Z 2α2

r2 +2ZαEn`

r+ (E2

n`−m2)

)Rn`(r) = 0

análoga a la ecuación de Schrödinger para el átomo

En` ≈m(

1− Z 2α2

2n2 −Z 4α4

2n4

(2n

2`+ 1− 3

4

)+ · · ·

)Término no relativista correcto pero

Problemas:No reproduce la estructura finaLa multiplicidad de estados no es correcta


La densidad de probabilidad en la ecuación deKlein-Gordon

ES densidad positiva y una corriente conservada

ρ = |ψ|2 , ~j =− i2m

(ψ∗~∇ψ−ψ~∇ψ

∗)

,

que satisfacen una ecuación de continuidad:

∂

∂ tρ +~∇~j = 0 ,

por Gauss

− ∂

∂ t

∫V

d3~xρ =∫

Sd~S ·~j ,

que se puede interpretar como la ecuación de conservación dela probabilidad, puesto que la densidad, ρ, es definida positiva.


¿Qué pasa con la ecuación de Klein-Gordon? La únicacorriente conservada es

jµ =i

2m(ψ∗∂µψ−ψ∂µψ

∗)= (ρ,−~j) ,

con

ρ =i

2m

(ψ∗ ∂

∂ tψ−ψ

∂

∂ tψ∗)

,

~j = − i2m

(ψ∗~∇ψ−ψ~∇ψ

∗)

.

ProblemaLa densidad, ρ, no es definida positiva y no se puedeinterpretar como una densidad de probabilidad.

Veremos que en el formalismo de campos ρ, se reinterpretarácomo densidad de carga: campos reales representaránpartículas neutras y campos complejos partículas cargadas.


El problema de las soluciones con energía negativa

De KG se obtieneE2 =~p2 + m2

Tiene dos soluciones

E =±√

~p2 + m2

No hay estado fundamental!

-m

m

E

La interpretación de KG como ecuación de ondas en MQ no sesostiene.


La ecuación de Dirac

Dirac: Todos los problemas de KG vienen de que es unaecuación de segundo orden en t (ρ, contiene derivadas respeto t por eso no es definida positiva)

Solución:Solo una derivada en tCovariancia relativista requiere también una derivada en xSe ha de cumplir E2 =~p2 + m2

Con estas condiciones la ecuación sólo puede ser de la forma

i∂ψ

∂ t= Hψ =

(−i~α~∇ + βm

)ψ .

Como el Hamiltoniano H tiene que ser hermítico, ~α y β seránmatrices hermíticas

~α† = ~α, β† = β


Si multiplicamos por β−1 y si definimos

γ0 = β

−1, γi = β

−1α

i ,

podemos escribir la ecuación de forma explícitamentecovarianteLa ecuación de Dirac libre(

iγµ∂µ −m

)ψ ≡

(i /∂ −m

)ψ = 0 , /a≡ γ

µaµ

Se debe cumplir E2 =~p2 + m2, ψ tiene que satisfacer KG.Multiplicando por (i /∂ + m) obtenemos

−(γµ

γν∂µ∂ν + m2)ψ =−(

12

(γµ

γν + γ

µγ

ν )∂µ∂ν + m2)ψ = 0

es necesario que

(γµ

γν + γ

νγ

µ )≡ γµ ,γν= 2gµν


Para µ 6= ν tenemos que γµγν =−γνγµ , no conmutan: γµ tienenque ser matrices.Para µ = ν tendremos que

(γ0)2 = I, (γ

i)2 =−I .

La hermiticidad de ~α y β , implica que

γ0† = γ

0, γi† = γ

0γ

iγ

0 =−γi ,

o en cuatro componentes

γµ† = γ

0γ

µγ

0 .

Es posible encontrar matrices de dimensión 4×4 quesatisfacen todas estas propiedades ya que con solomatrices de Pauli no es posible.ψ contiene dos espinores de dos componentes.


El conjunto de matrices 4×4 complejas forman un espaciovectorial complejo de dimensión 4×4 = 16. Así, paracompletar la base del espacio vectorial, además de laidentidad, I, y las cuatro matrices γµ , podemos escribir 11matrices más linealmente independientes.

γ5 = iγ0γ

1γ

2γ

3 = γ†5 , γ

25 = I, γ5,γ

µ= 0

También es conveniente introducir las 6 matrices

σµν =

i2

[γµ ,γν ]

Las 16 matrices (1 + 1 + 4 + 4 + 6) son

I, γ5, γµ , γ5γµ , σ

µν

Si γµ lo cumple γµ = UγµU†, con UU† = I, también lo cumplirá


Realizaciones de Dirac y Weyl

Una solución es (realización de Dirac)

γ0 =

(I 00 −I

), γ

i =

(0 σ i

−σ i 0

), γ5 =

(0 II 0

)donde los bloques son matrices 2×2: I es la identidad2×2 y ~σ son las matrices de PauliOtra elección útil es (realización de Weyl)

γ0 =

(0 II 0

), γ

i =

(0 σ i

−σ i 0

), γ5 =

(−I 00 I

)o más explícitamente covariante

γµ

Weyl =

(0 σ µ

σ µ 0

), σ

µ ≡ (I,~σ) , σµ ≡ (I,−~σ)


La equación de Dirac y la densidad de probabilidad

Buscaremos una corriente conservada.La ecuación hermítica conjugada de la ecuación de Dirac es:

ψ†(iγµ†←−

∂µ + m) = 0 .

Definiendo ψ ≡ ψ†γ0, insertando el número de γ0 necesarias

ψ

(i←−/D + m

)= 0 ,

Combinando las dos ecuaciones, Dirac y conjugada

ψ

(i←−/D + i

−→/D)

ψ = i∂µ (ψγµ

ψ) = 0 ,

y, por lo tanto, una corriente conservada es:

jµ = ψγµ

ψ =

j0 = ρ = ψ†ψ > 0j i = ψγ iψ = ψ†α iψ

j0 es definida positiva y se puede interpretar como unadensidad de probabilidad. Problema resuelto!


El átomo de hidrógeno en la ecuación de Dirac

Imponiendo acoplamiento mínimo ∂µ → ∂µ − ieAµ(i /D + e /A−m

)ψ = 0 .

Multiplicando por(i /∂ + e /A + m

)(

(i∂ + eA)2−m2 +e2

σµνFµν

)ψ = 0 , F µν = ∂

µAν −∂νAµ

KG con interacción electromagnética más un término adicionalque depende del espín

e2

σµνFµν = 2

e2

(i~α ·~E +~σ ·~B

)Acoplamiento espín-órbita con con un factor g = 2.Justo lo que hace falta añadir a KG para explicar el espectrodel átomo de hidrógeno (n = 1,2, · · · j = 1

2 , 32 , · · · ,n− 1

2 )

Enj ≈m(

1− Z 2α2

2n2 −Z 4α4

2n4

(2n

2j + 1− 3

4

)+ · · ·

)Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 18/57

Estados de energía negativa y la teoría de los huecos

La ED no es más que la raíz cuadrada de KG: se podríapensar que el problema de las energías negativas también estásolucionado, puesto se ha elegido una de las dos raíces.No es así

ψ =

(χ

ϕ

),

encontramos

(E −m) χ−~σ~p ϕ = 0 ,

(E + m)ϕ−~σ~p χ = 0 ,

Problemas:Si~p = 0, contiene las dos soluciones E = m para χ yE =−m para ϕ.Los espinores de Dirac describen una partícula de espín1/2 con energía positiva y una partícula de espín 1/2 conenergía negativa. El Problema permanece!


Solución de Dirac: teoría de los huecosLos electrones son fermiones: principio de exclusión dePauliEl vacío, es decir, el estado de mínima energía, estácompletamente lleno con los estados de energía negativa,los electrones con energía positiva serán estables!Un agujero en el mar de electrones de energía negativa,se manifestará como una partícula de energía positivapero de carga positiva.Predicción de la existencia deantipartículas!


La ecuación de Dirac soluciona:El problema de la interpretación de la función de ondacomo una amplitud de probabilidadIncorpora naturalmente el espín del electrónPredice el momento magnético del electrón y,Predice correctamente el espectro del átomo de hidrógenoCon la teoría de los agujeros, soluciona el problema de losestados de energía negativa y predice la existencia deantipartículas.

Todos estos éxitos le dieron a la teoría de Dirac un prestigio sinprecedentes.Aun así, no puede ser la solución final para construir una teoríacuántica relativista consistente.


La solución de Dirac no es completa

La teoría de los agujeros de Dirac soluciona el problemade los estados de energía negativa para los fermiones,pero, que pasa con los bosones?Dirac explica el factor giromagnético del electrón, g = 2.Pero podemos modificar la ecuación de Dirac(

i /D + e /A−m +∆g2

e4m

σµνFµν

)ψ = 0 .

que conduce a g = 2 + ∆g. De hecho necesitamos esamodificación si queremos explicar el factor giromagnéticodel protón y del neutrón.Las energías del hidrógeno son complejas para Z > 137

A pesar de su enorme éxito, la ecuación de Dirac no da unasolución completa al problema de la formulación de una teoríacuántica relativista.


Problema de localización

Los fotones que motivaron el desarrollo de la mecánicaondulatoria, no se pueden describir con una ecuación de ondasde una sola partícula: los fotones no tienen masa y cualquierinteracción de los mismos conduce casi inevitablemente a laproducción de fotones adicionales.

En general para localizar una partícula de masa m con unaincertidumbre es ∆x , menor que su longitud de ondaCompton, λC = h/(mc), el principio de incertidumbre nos diceque necesariamente el aparato de medida tendrá queinvolucrar intercambio de momentos p ∼mc y energíasE ∼mc2. Para esas energías es posible producir partículasadicionales y la descripción en términos de funciones de onda,con la interpretación probabilística habitual, no tiene sentido.

En una teoría relativista las coordenadas de una partícula noson buenas variables dinámicas.


Problema con causalidad

En MQ no relativista el propagador es:

U(t)≡⟨~x∣∣e−iHt ∣∣~x0

⟩=∫

d3~p⟨~x∣∣e−iHt ∣∣~p⟩⟨~p∣∣ ∣∣~x0

⟩=

1(2π)3

∫d3~pe−iE(~p)tei~p·(~x−~x0) .

si E(~p) =~p2/(2m) encontramos

U(t) =( m

2π it

) 32

ei m2t (~x−~x0)2

.

U(t) es diferente de cero ∀~x ,~x0, t . En MQ NR no hay problemaQue pasa en el caso relativista E(~p) =

√~p2 + m2.

U(t) =1

2π2∣∣~x−~x0

∣∣ ∫ ∞

0d∣∣~p∣∣ ∣∣~p∣∣sin(

∣∣~p∣∣ ∣∣~x−~x0∣∣)e−it

√|~p2|+m2

≈ e−m√|~x−~x0|2−t2 ∣∣~x −~x0

∣∣2 t2 ,

diferente de cero!Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 24/57

Necesidad de una teoría de muchas partículas

Veremos la existencia de antipartículas en una teoríacuántica relativista será esencial para preservar lacausalidad. Así pues, como mínimo, una teoría cuánticarelativista ha de poder describir al mismo tiempo partículasy antipartículas.La famosa fórmula relativista E = mc2 deja claro que sepueden crear partículas aportando energía al sistema, oque el número de partículas del sistema puede disminuiraumentando la energía de las restantes.

Conclusión:Una teoría cuántica relativista necesariamente ha de ser unateoría de muchas partículas.


¿Cómo construirla?

¿Cómo caracterizar una teoría cuántica de muchas partículas?Wigner: un estado de una partícula es un vector de unarepresentación irreducible unitaria del grupo de Lorentzinhomogéneo (Poincaré).Estados de muchas partículas libres se pueden construircomo producto directo de los estados de una partícula.

Para calcular observables (secciones eficaces) no es suficientecon tener caracterizados los estados. Es necesario especificarla dinámica de los mismos, es decir, el Hamiltoniano.Las restricciones sobre la forma de los posibles Hamiltonianosson muy fuertes ya que la teoría resultante ha de satisfacertodos los principios de

La Mecánica CuánticaLa Relatividad Especial


TQC como teoría de muchas partículas

Las teorías cuánticas de campos satisfacen automáticamentetodos estos requerimientos al tiempo que:

Resuelven el problema de la causalidad con laintroducción de las antipartículas.Nos ayudan a entender cuestiones como la conexión entreespín y la estadística o porqué la teoría de Dirac predicecorrectamente el momento magnético del electrón y no eldel protón o del neutrón.Y, lo que es más importante, permiten describir sistemasde muchas partículas y calcular las probabilidades detransición entre estados con diferente número departículas, cálculos que han sido corroborados porinfinidad de experimentos en los más variados rangos deenergías.


Sistemas Continuos y Mecánica Cuántica

En mecánica cuántica tuvo un papel muy importante el“principio de dualidad onda-corpúsculo”. Sin embargo ladualidad no parece simétrica:

Las partículas son sistemas en los qué toda la energía, elmomento, la carga... están concentradas en un punto.

La mecánica cuántica asocia propiedades ondulatorias alas partículas y la ecuación de Schrödinger las expresa deforma precisa.

Por otro lado las ondas son una propiedad de los medioscontinuos (vibraciones de una cuerda, del campoelectromagnético...) sistemas en los qué la energía, elmomento, etc. están repartidas en el espacio.

Decimos que el campo electromagnético está formado porcuánta que tienen energía y momento (propiedades departículas). Pero, ¿cómo surgen las partículas de lasecuaciones del campo electromagnético? ¿cuales son lasecuaciones que describen los fotones como partículas?


Para que la dualidad “onda-corpúsculo” sea completamentesimétrica deberíamos saber cuantizar también las ondas

¿Cómo se cuantizan las ondas?Veremos que la respuesta a esta pregunta, que en principio notiene nada que ver con los problemas de la mecánica cuánticarelativista, conduce inevitablemente a teorías de muchaspartículas y que estas teorías se pueden utilizar para construirteorías cuánticas relativistas consistentes.


Transición al continuo de un sistema discreto

N partículas de masa m separadas, en equilibrio, una distanciaa. ` = a(N + 1) oscilan alrededor del punto de equilibrio.

Límite al contínuo

1 i−1 i i+1 N2

a

ηi son los desplazamientos respecto ala posición de equilibrio

T =12

N

∑i=1

m η2i , V =

12

N

∑i=0

α (ηi+1−ηi)2

α constante de elasticidad, η0 = 0, y ηN+1 = 0.

L = T −V =12

N

∑i=0

(m η

2i −α (ηi+1−ηi)

2)


L =12

N

∑i=0

a

[ma

η2i −αa

(ηi+1−ηi

a

)2]

=N

∑i=0

aLi

y si

pi =∂L∂ ηi

= mηi

el hamiltoniano

H = ∑i

ηipi −L =12

N

∑i=0

(p2

im

+ α (ηi+1−ηi)2

)

Las ecuaciones de movimiento para las coordenadas ηi son

m..η i −α (ηi+1−2ηi + ηi−1) = 0. i = 1, · · ·N, ,η0 = 0, ηN+1 = 0

Sistema de osciladores armónicos acoplados.


Las frecuencias propias son

ωk = 2√

α

msin

k π

2(N + 1), k = 1,2, · · ·N

si k N + 1

ωk ≈√

α

mk π

N + 1=

√αa

m/ak π

`, k N + 1

Son osciladores armónicos y los sabemos cuantizar:

En1n2···nN =N

∑k=1

hωk

(nk +

12

)


Paso al continuo a→ 0 , N→ ∞

ma

..η i −αa

(ηi+1−2ηi + ηi−1

a2

)= 0. i = 1, · · ·N, ,η0 = 0, ηN+1 = 0 .

Ahora hacemos el límite de la siguiente forma

a→ 0 , m→ 0 , α → ∞ , N→ ∞

m/a = ρ = constante , αa = Y = constante , a(N +1) = ` = constante

x ≡ ia, etiqueta la posición de la partícula i .η(x , t) = η(ia, t)≡ ηi

l«ıma→0

ηi+1−ηi

a= l«ım

a→0

η(x + a, t)−η(x , t)a

=∂η

∂xIgualmente

l«ıma→0

ηi+1−2ηi + ηi−1

a2 = l«ıma→0

η(x + a, t)−2η(x , t) + η(x−a, t)a2 =

∂ 2η

∂x2


Así la ecuación de movimiento es

ρ∂ 2η

∂ t2 −Y∂ 2η

∂x2 = 0 , η(0, t) = 0, η(`, t) = 0

Dividiendo por ρ y definiendo v =√

Y/ρ tenemos finalmente

∂ 2η

∂ t2 −v2 ∂ 2η

∂x2 = 0 , η(0, t) = 0, η(`, t) = 0

ecuación de ondas con velocidad v . La solución es

η(x , t) =∞

∑k=1

qk (t)sinωkx

v

dóndeωk =

kπv`

k = 1,2, · · · ,∞ ,

las qk (t) satisfacen la ecuación del oscilador armónico confrecuencia ωk :

..qk (t) + ω

2k qk (t) = 0


Las frecuencias propias en el continuo se pueden obtenertambién a partir de la fórmula obtenida en el discreto, haciendoel límite a→ 0:

ωk = l«ıma→0 2√

α

m sin k π

2(N+1)

= l«ıma→0 2√

αam/a

1a sin k πa

2` =√

Yρ

k π

` = kπv` , k = 1,2, · · ·∞ .

Mucho más fácil de obtener en el continuo!El resultado en el continuo es valido siempre quek N + 1 (frecuencias pequeñas o longitudes de ondagrandes comparadas con a)En el discreto no hay infinitas frecuencias, solo hayN ≈ `/a, con ωmax ≈ 2v/a.


Haciendo el mismo límite en el lagrangiano y usandol«ıma→0 ∑

Ni=0 a →

∫ `0 dx

L =12

∫ `

0dx

[ρ

(∂η

∂ t

)2

−Y(

∂η

∂x

)2]

o redefiniendo el Lagrangiano dividiéndolo por ρ (que para ρ

constando obviamente lleva a las mismas ecuaciones demovimiento)

L≡∫ `

0dxL

dónde hemos definido la densidad Lagrangiana L

L =12

[(∂η

∂ t

)2

−v2(

∂η

∂x

)2]


Igualmente

H ≡∫ `

0dxH

con

H =12

[(∂η

∂ t

)2

+ v2(

∂η

∂x

)2]

.

Además, si, en completo paralelismo con el caso discreto,definimos la densidad de momento conjugado, π, asociado a lavariable η cómo

π =∂L

∂ η,

inmediatamente encontramos que, en este caso, se satisface

H = π η−L

de acuerdo también con el que cabía esperar.Arcadi Santamaria Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de Campos 15 de octubre de 2009 37/57

Papel de x = a i :Las coordenadas x = ai : no son variables dinámicas, de hecho,son independientes del tiempo, sólo juegan el papel deetiquetar el punto donde se está evaluando la función η . Lasúnicas variables dinámicas son los campos η .

Generalizable fácilmente a sistemas continuostridimensionales. Entonces las variables dinámicas sonfunciones de las tres coordenadas espaciales y del tiempo y elLagrangiano se escribe en términos de la densidadLagrangiana cómo

η(x ,y ,z, t) , L =∫ ∫ ∫

L dxdydz .

¿Es posible obtener todas las ecuaciones en el continuosin pasar por el discreto?


Formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana de medioscontinuos

Para simplificar solo una variable espacial

L = L

(η ,

∂η

∂x,∂η

∂ t

),

el Lagrangiano

L =∫ x1

x0

L dx ,

mientras que la acción será

S =∫ t

t0

∫ x1

x0

L dxdt .

Variables espaciales y temporales aparecen de formacompletamente simétrica. Ideal para tratar problemasrelativistas.


Ecuaciones de movimiento

δS = 0 =∫ t1

t0

∫ x1

x0

dtdx(

∂L

∂ηδη +

∂L

∂ (∂η/∂ t)δ (∂η/∂ t) +

∂L

∂ (∂η/∂x)δ (∂η/∂x)

)Integrando por partes en t y x en el segundo y tercer término

∫ t1

t0dt

∂L

∂ (∂η/∂ t)δ (∂η/∂ t) =−

∫ t2

t1dt

∂

∂ t

(∂L

∂ (∂η/∂ t)

)δη

igualmente∫ x1

x0

dx∂L

∂ (∂η/∂x)δ ((∂η/∂x) =−

∫ x1

x0

dx∂

∂x∂L

∂ (∂η/∂x)δη

De aquí obtenemos ∀δη∫ t2

t1

∫ x2

x1

dtdx

∂L

∂η− ∂

∂ t

(∂L

∂ (∂η/∂ t)

)− ∂

∂x

(∂L

∂ (∂η/∂x)

)δη = 0

∂

∂ t

(∂L

∂ (∂η/∂ t)

)+

∂

∂x

(∂L

∂ (∂η/∂x)

)− ∂L

∂η= 0

La generalización a tres dimensiones espaciales esEcuaciones de Euler-Lagrange

∂

∂ t

(∂L

∂ (∂η/∂ t)

)+

3

∑k=1

∂

∂xk

(∂L

∂ (∂η/∂xk )

)− ∂L

∂η= 0

Interesante que formalmente se puede escribir de formacovariante

∂µ

∂L

∂ (∂µη)− ∂L

∂η= 0


Formulación Hamiltoniana

π =∂L

∂ η, H = π η−L

Generalizaciones triviales: p.e. las ecuaciones de Hamilton son

∂H

∂π= η ,

∂H

∂η−

3

∑k=1

∂

∂xk∂H

∂ (∂η/∂kk )=−π .

La primera ecuación nos dará la definición de π entérminos de η ,La segunda, combinada con la primera, nos dará lasmismas ecuaciones de movimiento obtenidas con elformalismo Lagrangiano.

Igualmente paréntesis de Poisson, teoremas de conservación,..Formulaciones completamente equivalentes pero laformulación Lagrangiana trata posiciones y tiempo de formasimilar: más adecuada para tratar problemas relativistas.


Teorema de Noether

Fundamental en teoría de campos encontrar cantidadesconservadas.El teorema de Noether permite relacionar las simetrías deun sistema con las cantidades conservadas.

η(x)→ η ′(x) es una simetría si deja invariantes las ecuacionesde movimiento.Si la acción S es invariante las EM invariantes.

δS = 0 , para η(x)→ η′(x) = η(x) + δη(x) , δη = ∑

iαiFi(η) .

S invariante si

δL = ∂µωµ

Para transformaciones infinitesimales

ωµ = ∑

iαiω

µ

i


Cambio de la acción bajo una transformacion infinitesimal

δS =∫

d4x(

∂L

∂ηδη +

∂L

∂ (∂µη)δ (∂µη)

)restando y sumando la cantidad

∂µ

(∂L

∂ (∂µη)

)δη

obtenemos

δS =∫ ∫

d4x(

∂L

∂η−∂µ

(∂L

∂ (∂µη)

))δη + ∂µ

(∂L

∂ (∂µη)δη

)


si δη define una simetría(∂L

∂η−∂µ

(∂L

∂ (∂µη)

))δη + ∂µ

(∂L

∂ (∂µη)δη

)= ∂µω

µ

si los campos satisfacen las ecuaciones de movimiento

∂µ

(∂L

∂ (∂µη)δη−ω

µ

)= 0 .

Para transformaciones infinitesimalesCorrientes Conservadas:

∂µ jµ

i = 0 , jµ

i =∂L

∂ (∂µη)Fi −ω

µ

i

δη = ∑i

αiFi , δL = ∑i

αi∂µωµ

i


Ejemplo: vibraciones de la barra

η(x , t)→ η′(x , t) = η(x , t) + c , δη = c , ω

µ = 0

j0 =∂η

∂ t, j1 =−v2 ∂η

∂xque cumple

∂ j0

∂ t+

∂ j1

∂x=

∂ 2η

∂ t2 −v2 ∂ 2η

∂x2 = 0


Ejemplo: tensor energía-impulso

Acción invariante bajo translaciones η(x),

η(x)→ η′(x ′ = x + a) = η(x)

η′(x) = η(x−a)≈ η(x)−aν

∂νη(x)

δη =−aν∂νη . Las αi →−aν , Fi → ∂νη

δL = L ′(x)−L (x) =−aν∂νL =−aνgµ

ν ∂µL , ωµ

ν = gµ

ν L

Cantidades conservadas

T µ

ν =∂L

∂ (∂µη)∂νη−gµ

ν L , ∂µT µ

ν = 0

Pν =∫

d3~x T 0ν momento lineal


Cuantización de las ondas en una barra elástica

Una vez sabemos formular teorías en el continuo veamos sipodemos definir las reglas de cuantización ( ρ = 1 y Y = v2 )

L =12

∫ `

0dx

(∂η

∂ t

)2

−v2(

∂η

∂x

)2

H =12

∫ `

0dx

(∂η

∂ t

)2

+ v2(

∂η

∂x

)2

Hemos visto que las frecuencias propias y las funcionespropias son

η(x , t) =∞

∑k=1

qk (t)sinωkx

v, ωk =

kπv`

k = 1,2, · · · ,∞

dóndeωk =

kπv`

k = 1,2, · · · ,∞ ,


sustituyendo y utilizando las relaciones de ortogonalidad

L =`

4

∞

∑k=1

(q2

k (t)−ω2k q2

k (t))

,

suma infinita de osciladores armónicos con frecuencias ωk !

pk =∂L∂ qk

=`

2qk ,

y las reglas de conmutación canónica en la imagen deHeisenberg son [

qk (t),pj(t)]

= i hδkj .

Además qk (t) cumplen las ecuaciones de movimiento cuyasolución es

qk (t) =

√h

`ωk

(ake−iωk t + a†

keiωk t)


Los operadores a†k , ak son independientes del tiempo y

satisfacen el álgebra de los operadores de creación ydestrucción [

ak ,a†j

]= δkj ,

[ak ,aj

]= 0 ,

Nk = a†kak , Nk |n1,n2,n3, . . .〉= nk |n1,n2,n3, . . .〉 , nk = 0,1,2, · · ·

a†k |n1,n2,n3, . . . ,nk , · · ·〉=

√nk + 1 |n1,n2,n3, . . . ,nk + 1, · · ·〉 ,

ak |n1,n2,n3, . . . ,nk , · · ·〉=√

nk |n1,n2,n3, . . . ,nk −1, · · ·〉 .

y

H = ∑k

hωk

(a†

kak +12

),

que cumple

H |n1,n2,n3, · · ·〉= ∑k

hωk

(nk +

12

)|n1,n2,n3, · · ·〉 ,


El estado fundamental |0,0, · · ·〉 tiene energía

E0 =12 ∑

khωk

como ωk = kπv` es infinita. ¿Como se entiende?

En el discreto ωmax ≈ 2v/a y E0 ≈ hv`/a2 que tiende a ∞ sia→ 0.Obviamente la energía de una barra no es infinita. Igual que enel caso clásico el limite a→ 0 se deber hacer de tal forma quelas cantidades físicas macroscópicas sean finitas!Así redefiniremos el hamiltoniàno restando la energía de puntocero

: H :≡∑k

hωka†kak ,

de forma que el estado de mínima energía|0〉 ≡ |0,0,0,0, · · ·〉tiene energía cero.


Problema:El método de quantización quehemos desarrollado se basa en el conocimiento de unasolución explícita de las ecuaciones de movimiento.No siempre conocemos las soluciones de las EM, ¿Es posibledefinir reglas de cuantización para los campos?

Usemos el ejemplo que conocemos

η(x , t) = ∑k

(√h

`ωkake−iωk t sin

ωkxv

+

√h

`ωka†

keiωk t sinωkx

v

).

η(x , t) es un operador cuántico en la representación deHeisenberg y contiene tanto frecuencias positivas comonegativas que están ligadas a los operadores de destrucción ycreación respectivamente.


Siguiendo el paralelismo con discreto-continuo calcularemos elconmutador de

π(x , t) =∂L

∂ η(x , t)= η(x , t)

con η(x , t)[η(x , t),π(x ′, t)

]=

[η(x , t), η(x ′, t)

]= ∑

kj

[qk (t), qj(t)

]sin

ωkxv

sinωjx ′

v

= i h2` ∑

ksin

ωkxv

sinωkx ′

v= i hδ (x −x ′)

Resultado natural si pensamos en η(x , t)→ ηi(t).Igualmente, si

H =12

∫ `

0dx

(π

2 + v2(

∂η

∂x

)2)

,


se cumplen las ecuaciones de Heisenberg para los campos

−iη = [H,η] , −i π = [H,π] ,

y por lo tanto, para cualquier función de los campos F (η ,π)

−i F = [H,F ]

Las ecuaciones de Heisenberg son equivalentes en todo a lasecuaciones de movimiento originales. Es decir, a partir de laforma del hamiltoniano, las reglas de conmutación de los cam-pos, y las ecuaciones de Heisenberg, , podemos recuperar lasecuaciones de movimiento y tenemos definida la teoría cuánticacompleta.


Cuantización canónica

La barra es de longitud finita. En cambio, la mayoría de lossistemas que nos interesarán son infinitos. Hay algunasdiferencias: las frecuencias propias del sistema ya no serándiscretas (ωk = kπv/` se hace continúa cuándo `→ ∞).A pesar de estas diferencias, las reglas que hemos visto sepueden postular para el caso más generalSean ηa , a = 1,2, · · · ,N un conjunto de N campos, reales porsimplicidad, descritos por la densidad Lagrangiana

L (ηa, ηa,~∇ηa)

definimos el momento conjugado asociado a los campos ηa

πa =∂L

∂ ηa

A partir de πa y L construimos la densidad Hamiltoniana

H = ∑a

πaηa−L


Finalmente promocionamos el campos clásicos a operadorescuánticos en la representación de Heisenberg que satisfacenlas siguientes reglas de conmutación a tiempos iguales (h = 1):Reglas de conmutación

[ηa(~x , t),πb(~x ′, t)

]= iδabδ

(3)(~x −~x ′)[ηa(~x , t),ηb(~x ′, t)

]= 0[

πa(~x , t),πb(~x ′, t)]

= 0

Las ecuaciones de movimiento se obtienen a partir de la formadel Hamiltoniano, las reglas de conmutación y las ecuacionesde Heisenberg

−i∂O

∂ t= [H,O]

dónde O es cualquier operador función de los campos ηa y πa.


La solución formal de esta ecuación es

O(t) = eiHtO(0)e−iHt

que se puede utilizar para resolver las ecuaciones demovimiento o como punto de partida de diferentesaproximaciones.Una consecuencia de la ecuación de Heisenberg es que sí Qes una “carga” conservada [Q,H] = 0.En una teoría relativista tanto el operador cuadrimomentolineal, como el tensor de momento angular, conmutarán con elHamiltoniano del sistema.Todo este procedimiento se puede llevar a cabo incluso cuandono sabemos resolver las ecuaciones de movimiento. En ese ca-so, al menos, tenemos la teoría cuantizada, podemos construirlos observables de interés y desarrollar técnicas aproximadaspara calcularlos.


Tema 2:El campo de Klein-Gordon

Arcadi Santamaria


Contenido

1 Cuantización canónica del campo de Klein-Gordon real

2 El campo de Klein-Gordon complejo

3 Reglas de conmutación covariantes y causalidadEl propagador de Feynman

Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 2/40

Cuantización de KG real

Si Reinterpretamos las ecuación de Klein-Gordon como laecuación de movimiento de de un campo y no como unaecuación de ondas, automáticamente tendremos una teoríarelativista de muchas partículas.La ecuación de movimiento del campo de Klein-Gordon real es:

(∂µ∂µ + m2)φ = 0

que se deduce del siguiente lagrangiano utilizando lasecuaciones de Euler-Lagrange,

L =12

(∂µφ∂

µφ −m2

φ2)

=12

(φ

2−∣∣∣~∇φ

∣∣∣2−m2φ

2)

El momento canónico conjugado de φ es

π =∂L

∂ φ= φ


y el hamiltoniano

H = πφ −L =12

(π

2 +∣∣∣~∇φ

∣∣∣2 + m2φ

2)

que es definido positivo para cualquier valor de los campos!(quizá se eviten los problemas con los estados de energíasnegativas)Imponemos las reglas de Cuantización canónicas:[

φ(~x , t),π(~x ′, t)]

= iδ (3)(~x −~x ′) ,[φ(~x , t),φ(~x ′, t)

]= 0 ,[

π(~x , t),π(~x ′, t)]

= 0 .

Para construir los estados necesitamos resolver la ecuación demovimiento: usaremos la transformada de Fourier (los modosnormales no son discretos sino continuos.)


φ(~x , t) =∫ d3~p

(2π)3 ei~p·~xφ(~p, t) ,

y su inversa

φ(~p, t) =∫

d3~xe−i~p·~xφ(~x , t) .

sustituyendo en la EM..φ (~x , t)−~∇2

φ(~x , t) + m2φ(~x , t) = 0

tenemos ..φ (~p, t) + (

∣∣~p∣∣2 + m2)φ(~p, t) = 0 .

Ecuación del oscilador armónico con Ep ≡√∣∣~p∣∣2 + m2 la

frecuencia del oscilador. La solución más general es

φ(~p, t) =1

2Ep

(A(~p)e−iEp t + B(~p)eiEp t

).


Transformada inversa y~p→−~p en el segundo término

φ(~x , t) =∫ d3~p

(2π)32Ep

(a(~p)e−ip·x + a†(~p)eip·x

),

cona(~p) = A(~p) a†(~p) = B(−~p) ,

hemos usado φ(~x , t) real y px = Ept−~p ·~x . Además

π(~x , t) = φ(~x , t) =−i∫ d3~p

(2π)32EpEp

(a(~p)e−ip·x −a†(~p)eip·x

)Invirtiendo estas expresiones

a(~p) = eiEp t∫

d3~xe−i~p·~x (Epφ(~x , t) + i π(~x , t))

= i∫

d3~xeip·x ↔∂t φ(~x , t)

a†(~p) = e−iEp t∫

d3~xei~p·~x (Epφ(~x , t)− i π(~x , t))

=−i∫

d3~xe−ip·x ↔∂t φ(~x , t)

donde f↔∂t g = f ∂tg− (∂t f )g.

Con esto y las reglas de conmutación determinamos losconmutadores de los operadores de creación y destrucción[

a(~p),a†(~p ′)]

= ei(Ep−Ep′ )t∫

d3~xd3~x ′e−i(~p·~x−~p ′·~x ′)(−iEp[φ(~x , t),π(~x ′, t)

]+ iEp′

[π(~x , t),φ(~x ′, t)

])= ei(Ep−Ep′ )t

∫d3~xd3~x ′e−i(~p·~x−~p ′·~x ′) (Ep + Ep′

)δ

(3)(~x −~x ′)

= ei(Ep−Ep′ )t∫

d3~xe−i(~p−~p ′)·~x (Ep + Ep′)

= (2π)32Epδ(3)(~p−~p ′) .

Igualmente para el resto de los conmutadores[a(~p),a†(~p ′)

]= (2π)32Epδ

(3)(~p−~p ′) ,[a(~p),a(~p ′)

]= 0,

[a†(~p),a†(~p ′)

]= 0 ,

satisfacen el álgebra de los operadores de creación: sicuantizamos en un espacio infinito~p no son discretos sinocontinuos y δij Kronecker→ δ (x) de Dirac.


Distintas normalizaciones posibles! Elegimos unanormalización explícitamente invariante Lorentz∫ d4p

(2π)4 (2π)δ (p2−m2)θ(p0) =∫ d3~p

(2π)32Ep

(Comprobar como ejercicio)Y la δ invariante Lorentz es

(2π)32Epδ(3)(~p)

Ahora, utilizando el desarrollo de los campos, podemosconstruir el hamiltoniano del sistema en términos de losoperadores de creación y destrucción (recordemos quepx = Ept−~p ·~x):


H =12

∫d3~x

(π

2 + |∇φ |2 + m2φ

2)

=12

∫d3~x

d3~pd3~p ′

2Ep2Ep′(2π)6

[(−~p ·~p ′+ m2−EpEp′

)(a(~p)a(~p ′)e−i(p+p′)·x + a†(~p)a†(~p ′)ei(p+p′)·x

)+(~p ·~p ′+ m2 + EpEp′

)(a(~p)a†(~p ′)e−i(p−p′)·x + a†(~p)a(~p ′)ei(p−p′)·x

)]Integración en~x da~p ′ =−~p en el primer término y~p ′ =~p en elsegundo. Términos aa y a†a† desparecen.

H =∫ d3~p

(2π)32Ep

12

Ep(a†(~p)a(~p) + a(~p)a†(~p)

)=∫ d3~p

(2π)32EpEp

(a†(~p)a(~p) +

12[a(~p),a†(~p)

])Interpretación como en la barra elástica.


Operador número y energía del vacio

dN(~p) =d3~p

(2π)32Epa†(~p)a(~p)

da el número de estados con~p y dN(~p)Ep su energía.La energía del estado fundamental es

E0 = V∫ d3~p

(2π)312

√|~p|2 + m2 =

V4π2

∫∞

0d |~p||~p|2

√|~p|2 + m2

donde hemos usado que

[a(~p),a†(~p)

]= 2Ep(2π)3

δ(3)(~0) = 2Ep

∫d3~xei~x ·~0 = 2EpV ,

Como es natural la energía es proporcional al volumen, peroademás, la densidad de energía ρ0 = E0/V es divergente comoen el caso de la barra elástica. La razón es la misma: en elcontinuo hay un número infinito de modos con energíascrecientes.


En un espacio discreto hay un momento máximo |~p|max ≈ 2/a,y en el límite 2 am podemos estimar la densidad de energíadel vacío:

ρ0≡ E0

V≈ 1

4π2

∫ 2/a

0d |~p||~p|2

√|~p|2 + m2≈ 1

4π2

∫ 2/a

0d |~p||~p|3 =

1π2a4

Como en el caso de la barra se debe sustraer para obtener unlimite a→ 0 finito. Solo son observables variaciones de energíarespecto al estado fundamental |0〉 que cumple

a(~p) |0〉= 0 . 〈0|0〉= 1

mientras el hamiltoniano (n-ordenado) será

:H:=∫

dN(~p)Ep , :H: |0〉= 0 .

No hay energías negativas!


Tensor energía-impulso y cuadrimomento

Con T. de Noether determinaremos la forma de los operadoresasociados a cantidades conservadasInvariancia bajo translaciones espacio-temporales nos da

T µν = ∂µ

φ∂νφ −gµν 1

2

(∂

σφ∂σ φ −m2

φ2)

y en particular la integral de las componentes, T 0i , nos dará eloperador momento,

~P =−∫

d3~xπ~∇φ =∫ d3~p

(2π)32Ep~pa†(~p)a(~p)

mientras T 00 = φ2−L , es densidad hamiltoniana canónica


Momento angular

Invariancia bajo transformaciones de Lorentz (x´ = Λx ,φ ′(x ′) = φ(x))

Mµν =∫

d3~x(

xµT 0ν −xνT 0µ

)Solo contiene momento angular orbital (a diferencia del campode Dirac, como veremos):Las partículas creadas y destruidas por el campo de KG notienen espín!Utilizando las reglas de conmutación de los campos, se puedecomprobar que los 10 operadores Pµ = (H,~P), y Mµν

satisfacen las reglas de conmutación de los generadores delgrupo de Poincaré:

[Pµ ,Pν ] = 0[Mµν ,Pσ ] = i(gµσ Pν −gνσ Pµ )

[Mµν ,Mσρ ] = i(gµσ Mνρ −gµρMνσ −gνρMµσ + gνσ Mµρ )


Los estados

Es fácil ver que[H,a†(~p)

]= Ep a†(~p) ,

[~P,a†(~p)

]=~pa†(~p)

y por tantoHa†(~p) |0〉= Ep a†(~p) |0〉~Pa†(~p) |0〉=~pa†(~p) |0〉

Así a†(~p) |0〉 es un estado con cuadrimomento p = (Ep,~p) yespín cero que denotaremos cómo

∣∣~p⟩∣∣~p⟩≡ a†(~p) |0〉usando las reglas de conmutación de los a’s y la normalizaciónde |0〉

〈~p ′ ∣∣~p⟩= (2π)32Epδ(3)(~p−~p ′)


mientras la relación de clausura (para estados de 1 partícula)

I1−particula =∫ d3~p

(2π)32Ep

∣∣~p⟩⟨~p∣∣ya que∫ d3~p

(2π)32Ep

∣∣~p⟩〈~p ∣∣~q⟩=∫

d3~p∣∣~p⟩δ

(3)(~p−~q) =∣∣~q⟩

Transformaciones de Lorentz Λ: si p′ = Λp. Existe U(Λ)

U(Λ)a†(~p)U−1(Λ) = a†(→Λp) , U(Λ)

∣∣~p⟩=

∣∣∣∣ →Λp⟩

mientras el campo se transforma como (x ′ = Λx , φ ′(x ′) = φ(x)y φ ′(x) = φ(Λ−1x))

U(Λ)φ(x)U−1(Λ) = φ(Λx)


Estados de dos partículas

Igualmente definimos los estados de dos partículas:∣∣~p2,~p1⟩

= a†(~p2)a†(~p1) |0〉 , ∣∣~p2,~p1⟩

=∣∣~p1,~p2

⟩Las partículas de KG son bosones!La normalización, simétrica, es⟨~p ′2,~p

′1∣∣~p2,~p1

⟩= (2π)32Ep1(2π)32Ep2δ

(3)(~p1−~p ′1)δ(3)(~p2−~p ′2)

+ (2π)32Ep1(2π)32Ep2δ(3)(~p1−~p ′2)δ

(3)(~p2−~p ′1)

Así podemos continuar construyendo los estados de trespartículas, de cuatro, etcétera, hasta construir el espacio deHilbert de todos los estados de la teoría. Este espacio seconoce como espacio de Fock y contiene estados con unnúmero arbitrario de partículas.


El campo de Klein-Gordon complejo

Sean dos campos reales con la misma masa con lagrangiano

L =12

(∂µφ1∂

µφ1−m2

φ21 + ∂µφ2∂

µφ2−m2

φ22

)que es invariante bajo rotaciones de los campos (φ1,φ2),(

φ ′1φ ′2

)=

(cosα −sinα

sinα cosα

)(φ1φ2

)Por el T. de Noether hay una corriente conservadaConveniente escribir el Lagrangiano en términos de camposcomplejos ya que una rotación en el campo complejo es unamultiplicación por una fase. Así si

φ =1√2

(φ1 + iφ2) , φ† =

1√2

(φ1− iφ2)

tendremos queL = ∂µφ

†∂

µφ −m2 |φ |2


que es invariante bajo

φ′ = eiα

φ , φ′† = e−iα

φ† .

Usando las reglas de conmutación de φ1 y φ2[φ(~x , t), φ †(~x ′, t)

]= iδ (3)(~x−~x ′) ,[

φ(~x , t), φ(~x ′, t)]

=[φ(~x , t), φ(~x ′, t)

]=[φ(~x , t),φ †(~x ′, t)

]= 0 ,[

φ(~x , t),φ(~x ′, t)]

=[φ(~x , t), φ †(~x ′, t)

]= 0 ,

y las que se puedan obtener de estas por conjugación.Estas reglas son consistentes con las que se obtienendirectamente del lagrangiano en forma compleja tratando φ yφ † como variables independientes ya que π = φ †.


El desarrollo en términos de operadores de creación ydestrucción es

φ =1√2

(φ1 + iφ2)

=∫ d3~p

(2π)32Ep

(1√2

(a1(~p)+ ia2(~p))e−ip·x +1√2

(a†1(~p)+ ia†

2(~p))eip·x)

=∫ d3~p

(2π)32Ep

(a(~p)e−ip·x + b†(~p)eip·x

)dónde hemos definido

a(~p) ≡ 1√2

(a1(~p) + ia2(~p))

b†(~p) ≡ 1√2

(a†1(~p) + ia†

2(~p))


que cumplen [a(~p),a†(~p ′)

]= (2π)32Epδ

(3)(~p−~p ′)[b(~p),b†(~p ′)

]= (2π)32Epδ

(3)(~p−~p ′)[a(~p),a(~p ′)

]=[a(~p),b†(~p ′)

]=[b(~p),b(~p ′)

]= 0

así, a(~p) y b(~p) satisfacen el álgebra de operadores decreación y destrucción de dos partículas diferentes.De forma similar (después de n-ordenación)

Pµ = (H,~P) =∫ d3~p

(2π)32Eppµ(a†(~p)a(~p) + b†(~p)b(~p)

)Pµa†(~p) |0〉= pµa†(~p) |0〉 , Pµb†(~p) |0〉= pµb†(~p) |0〉

a†(~p) y b†(~p) crean partículas “diferentes” con exactamente elmismo cuadrimomento (y por tanto la misma masa).Que las distingue, pues?


El lagrangiano de KG complejo es invariante bajotransformaciones de fase

δφ = iαφ , δφ† =−iαφ

†

por T. de Noether hay una corriente conservada

jµ = i(φ

†(∂µ

φ)− (∂µ

φ†)φ)

y por tanto

Q =∫

d3~x j0 = i∫

d3~x(φ

†φ − φ

†φ)

es independiente del tiempo y conmuta con el hamiltoniano

Q =∫ d3~p

(2π)32Ep

(a†(~p)a(~p)−b†(~p)b(~p)

)Además (

[Q,a†(~p)

]= a†(~p) y

[Q,b†(~p)

]=−b†(~p))

Q a†(~p) |0〉= a†(~p) |0〉 , Q b†(~p) |0〉=−b†(~p) |0〉Arcadi Santamaria Tema 2: El campo de Klein-Gordon 15 de octubre de 2009 21/40

así si definimos∣∣a,~p⟩≡ a†(~p) |0〉 , tiene cuadrimomento p , ycargaq = +1∣∣a,~p⟩≡ b†(~p) |0〉 , tiene cuadrimomento p , ycargaq =−1

a representa la partícula (todas las cargas conservadas)a representa la antipartícula (cargas cambiadas de signo)

Existencia de antipartículasPor cada partícula con una carga conservada ha de existirotra con las mismas características pero carga contraria!Las dos están descritas por el campo complejo φ .Si el campo es real, no hay ninguna carga conservada ydecimos que la partícula es su propia antipartícula.


EjemplosLos piones cargados π+ y π− se pueden describir con uncampo complejo. La carga conservada es la cargaeléctrica.El bosón de Higgs H no tiene ningún tipo de cargaconservada. Se puede describir mediante un campo deKG real y es su propia antipartícula.Los kaones neutros K 0 y K 0, se distinguen porque existeuna carga aproximadamente conservada, la hipercarga.Uno y otro tienen las mismas propiedades pero hipercargacontraria: Uno es la antipartícula del otro aunque seanneutros respecto a la carga eléctrica.


Cómo veremos la existencia de antipartículas es un resultadocompletamente general y que se aplicará todo tipo departículas, independientemente de su espín.

Problema Resuelto!De esta forma el problema de las energías negativas y laexistencia de antipartículas quedan completamente resueltos eintegrados de una forma admirablemente sencilla.


¿Qué estados crea el campo de KG?

Veamos ahora ¿Qué interpretación tiene el campo de KG?Hagamoslo actuar sobre el vacío

φ(x) |0〉=∫ d3~p

(2π)32Epeip·x ∣∣~p⟩ .

Efectivamente

〈0|φ(x)∣∣~p⟩

= 〈0|∫ d3~p ′

(2π)32Ep′

(a(~p ′)e−ip′·x + a†(~p ′)eip′·x

)a†(~p) |0〉

= e−ip·x = e−iEp tei~p·~x ≡ 〈~x , t∣∣~p⟩ ,

que es una onda plana y confirma, en principio, lainterpretación de que el campo φ(x) actuando sobre el vacíocrea una partícula en el punto~x en el tiempo t .


φ(x) realiza completamente el principio de dualidadonda-corpúsculo:

Está construido con operadores de creación y destrucciónde partículasÉstas son creadas asociadas a ondas planas que, al fin yal cabo, son las soluciones de la ecuación de KGentendida como ecuación de ondas

¿Qué pasa con la causalidad?Si aceptamos el estado

∣∣~x , t⟩≡ φ(x) |0〉 como el estado de una

partícula en el punto~x en el tiempo t , entonces

〈~x , t∣∣~x ′, t ′⟩= 〈0|φ(x)φ(x ′) |0〉=

∫ d3~p(2π)32Ep

e−ip·(x−x ′)≡D(x−x ′) .

¿Es diferente de cero para puntos separados espacialmente((x−x ′)2 < 0)?


D(x) se puede escribir en términos de la función de Bessel K1(o función de Hankel),

D(x) =m

4π2√−x2

K1

(m√−x2

), t → t− iε

para t = 0 y r →+∞ tenemos

D(x)→ 12

m2√(2πmr)3

e−mr ,

Aunque pequeño, el valor de D(x −x ′) es diferente de ceropara (x −x ′)2 < 0 ¿Se viola también causalidad?Quizá la interpretación de D(x −x ′) como una amplitud deprobabilidad “observable” no es correcta.


En MQ hemos de hablar de observablesUna teoría será causal si, para (x −x ′)2 < 0, la medida de unobservable O1(x) en el punto x no afecta a la medida de otroobservable, O2(x ′), en x ′. Par eso es suficiente que conmuten[

O1(x),O2(x ′)]

= 0, (x −x ′)2 < 0

Una condición suficiente para que esto se cumpla es[φ(x),φ(x ′)

]= 0 , (x−x ′)2 < 0

ya que derivando el conmutador respecto t = x0 y utilizandoque φ(x) = π(x) encontramos también[

π(x),φ(x ′)]

= 0 , (x −x ′)2 < 0

y por lo tanto operadores que se sean funciones locales φ(x) yπ(x) también conmutaran para (x −x ′)2 < 0


En el caso del campo de Klein-Gordon, la ecuación condiciónde conmutación se satisface trivialmente:[

φ(x),φ(x ′)]

= 〈0|φ(x)φ(x ′)−φ(x ′)φ(x) |0〉= D(x −x ′)−D(x ′−x)≡ i∆(x −x ′)

Además, cómo hemos visto, para x2 < 0 tenemos queD(x) = D(−x) (demostrar como ejercicio) y por tanto[φ(x),φ(x ′)] = 0 sí (x−x ′)2 < 0Alternativamente podemos usar invariancia Lorentz y las reglasde conmutación:Para (x−x ′)2 < 0 podemos ir al sistema de referencia t = t ′

i∆(~x −~x ′,0) =[φ(~x , t),φ(~x ′, t)

]= 0

y por tanto se deberá cumplir en cualquier sistema dereferencia[

φ(x),φ(x ′)]

= i∆(x −x ′) = 0, (x −x ′)2 < 0


Curvas de nivel de Im∆(x) como función de x y de t

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

x

t


¿Qué sucede con las otras reglas de conmutación a tiemposiguales?

Para (x−x ′)2 ≥ 0 y t ′→ t tenemos

i ∂t ∆(~x−~x ′, t− t ′)∣∣t ′=t =

[π(~x , t),φ(~x ′, t)

]=−iδ (3)(~x−~x ′)

Relaciones de conmutaciónLa relación de conmutación covariante[

φ(x),φ(x ′)]

= i∆(x−x ′)

engloba todas las relaciones de conmutación a tiempos igualescomo casos particulares:[

φ(~x , t),π(~x ′, t)]

= iδ (3)(~x −~x ′)[φ(~x , t),φ(~x ′, t)

]= 0 ,

[π(~x , t),π(~x ′, t)

]= 0


Para entender mejor que sucede veamos el caso del campocomplejo:

φ(x)† crea partículas y destruye antipartículas,φ(x) crea antipartículas y destruye partículas.

y por tanto〈0|φ(x)φ †(x ′) |0〉= D(x−x ′) representaría la amplitud deprobabilidad de crear una partícula en x ′ y absorberla en x〈0|φ †(x ′)φ(x) |0〉= D(x ′−x) representaría la amplitud deprobabilidad de crear una antipartícula en x y absorberlaen x ′

En los dos casos el punto x pierde una unidad de carga y elpunto x ′ gana una unidad.Estas dos amplitudes no son observables independientementey no se puede distinguir la propagación de una partícula de x ′ ax de la propagación de su antipartícula en dirección contraria.


Expresiones invariantes para D(x) y ∆(x)

D(±x) =∫ d3~p

(2π)32Epe∓ip·x =∓i

∫C±

d4p(2π)4

e−ip·x

p2−m2

Circuitos en p0 utilizados para calcularD(x) y ∆(x)

C

C−

−Ep

C+

+Ep

−CR

−EpCA +Ep


i∆(x) = D(x)−D(−x) =−i∫

C

d4p(2π)4

e−ip·x

p2−m2 ,

Se cumple

(∂2 + m2)D(x) = 〈0|(∂

2 + m2)φ(x)φ(0) |0〉= 0 .

Igualmente(∂

2 + m2)∆(x) = 0 .

Usando el T. de Cauchy, la función ∆(x) se puede separar endiferentes formas según como se eviten los polos:

i∆(x) =−i∫

C

d4p(2π)4

e−ip·x

p2−m2 = DR(x)−DA(x)


dónde (funciones de Green retardadas y avanzadas)

DR,A(x) = i∫

CR,A

d4p(2π)4

e−ip·x

p2−m2 =∓θ(±t)i∆(x)

Circuitos en p0 utilizados para calcular DR(x) y DA(x)

CR

−Ep +Ep

t < 0

t > 0

−Ep +Ep

CA

t < 0

t > 0


Función de Green de Feynman

Circuitos en p0 para calcular DF (x).

−Ep

+EpCF

t < 0

t > 0

DF (x) = i∫

CF

d4p(2π)4

e−ip·x

p2−m2 = l«ımε→0+

i∫ d4p

(2π)4e−ip·x

p2−m2 + iε


Todas estas funciones son funciones de Green de la ecuaciónde KG. p.e.

(∂2 + m2)DF (x) = i

∫CF

d4p(2π)4

(−p2 + m2)e−ip·x

p2−m2

= −i∫ d4p

(2π)4 e−ipx =−iδ (4)(x) ,

y permiten resolver la ecuación de KG inhomogenea, p.e.

(∂2 + m2)φ(x) = j(x) ,

φ(x) = φ0(x) + i∫

d4x ′DF (x −x ′)j(x ′) ,


DF (x) aparecerá naturalmente en cálculos de TQC y tiene unaimportancia capital

DF (x−x ′) = 〈0|T (φ(x)φ(x ′)) |0〉

dónde

T(φ(x)φ(x ′)

)≡ θ(t− t ′)φ(x)φ(x ′) + θ(t ′− t)φ(x ′)φ(x)

O para KG complejo

DF (x −x ′) = 〈0|T (φ(x)φ†(x ′)

) |0〉con la misma definición para el producto T -ordenado decampos complejos,

T(φ(x)φ

†(x ′))≡ θ(t− t ′)φ(x)φ

†(x ′) + θ(t ′− t)φ†(x ′)φ(x)


Interpretación causal muy intuitiva:〈0|φ(x)φ †(x ′) |0〉: creación de una partícula en x ′ yposterior absorción en x , pero esta interpretación sólotiene sentido si t > t ′.〈0|φ †(x ′)φ(x) |0〉 creación de una antipartícula en x yposterior absorción en x ′, interpretación que solo tienesentido si t ′ > t .

Las dos amplitudes contribuyen coherentemente a todos losprocesos donde se intercambian excitaciones del campo φ .El propagador de Feynman nos ofrece una descripción causaly covariante del intercambio de partículas.


Ejemplo: pn→ pn

Diagramas de Feynman

p n

n

p

π+

x′

x

t′ < t

(a)

p n

n

p

π−

x′

x

t < t′

(b)

Como las dos contribuciones nos aparecerán siempre juntaslas describiremos con un solo diagrama en el qué la flecha deltiempo no es relevante: diagramas de Feynman.


Tema 3:El campo de Dirac: covariancia Lorentz y

soluciones

Arcadi Santamaria


Contenido

1 Introducción: conmutadores o anticonmutadores

2 Covariancia Lorentz de la ecuación de Dirac.

3 El lagrangiano de Dirac

4 Soluciones de la ecuación de DiracEspinores de helicidad

Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 2/38

Conmutadores o anticonmutadores

La ecuación de Dirac decribe partículas de espín 1/2:fermionesEl método de cuantización que hemos usado para KG conduceinevitablemente a bosones.Ingredientes de la cuantización:

1 Una densidad hamiltoniana escrita en términos de loscampos y de sus momentos.

2 Unas reglas de conmutación entre campos y momentos atiempos iguales.

3 Las ecuaciones de movimiento de Heisenberg (análogocuántico de las ecuaciones de Hamilton) −iO = [H,O],dónde O es cualquier operador escrito en términos decampos y momentos.

en KG se usó[AB,C] = A [B,C] + [A,C]B


Anticonmutadores

No es la única posibilidad

[AB,C] = AB,C−A,CB

Los conmutadores de productos de operadores se puedenreducir también a anticonmutadores.Las ecuaciones de Heisenberg se pueden realizar tanto si loscampos satisfacen reglas de conmutación como reglas deanticonmutación.Podemos cambiar el punto 2. por “reglas de anticonmutaciónentre campos y momentos a tiempos iguales”.

Teorema espín estadísticaEs más, veremos que la cuantización del campo de Dirac solotiene sentido si usamos anticonmutadores


Álgebra de a,a† con anticonmutadores.

En KG fue esencial el uso del álgebra de operadores decreación y destrucción a†

r , ar : si Nr = a†r ar

[Nr ,as] =−δrsas ,[Nr ,a†

s

]= δrsa†

s

En KG el se realiza con conmutadores[ar ,a†

s

]= δrs , [ar ,as] = 0

No es la única posibilidad: también se puede realizar conanticonmutadores:

ar ,a†s

= δrs , ar ,as= 0

Algunas peculiaridades:

a2r = 0 , N2

r = Nr , nr = 0,1


Podemos seguir un proceso como el seguido en KG peroimponiendo reglas de anticonmutación entre campos y susmomentos conjugados.Si hacemos esto, incluso clásicamente, se debera cumplir quelos campos anticonmutan

ψ(x)χ(x) =−χ(x)ψ(x)

decimos que ψ y χ son variables de Grassman!

¿Problema?Quizá las ecuaciones de Euler-Lagrange, reglas decuantización, etc. deducidas suponiendo que los camposconmutan no son válidas para variables de Grassman.

Puesto que sabremos resolver exactamente la ecuación deDirac libre podemos seguir un proceso similar al seguido en eltema 1 para deducir las reglas de cuantización correctas.


Proceso de cuantización

Construiremos primero las soluciones de la ecuación deDirac en términos de unos coeficientes arbitrarios.La cuantitzación consistirá en reinterpretar estoscoeficientes como operadores de creación y destrucción.Utilizando el T. de Noether obtendremos los operadoresconservados : energía, momento... y veremos que sólotienen la interpretación correcta si el álgebra de losoperadores de creación y destrucción se realiza conanticonmutadores.Comprobaremos que los campos satisfacen las reglas deanticonmutación

ψ(~x , t), iψ†(~y , t)

= iδ (3)(~x−~y)

El hamiltoniano se reinterpretará como un hamiltonianocanónico escrito exclusivamente en términos de ψ y iψ†

entendidos como variables conjugadas la una de la otra.De las reglas de anticonmutación, de la forma delhamiltoniano y de las ecuaciones de Heisenbergpodremos recuperar la ecuación de Dirac.


Covariancia Lorentz de la ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac es(i /∂ −m

)ψ(x) = 0

conveniente usar ψ(x)≡ ψ†(x)γ0 y no ψ†

ψ(x)(−i←−/∂ −m

)= 0

Las tr. de Lorentz son xµ → x ′µ = Λµ

νxν tales que

xµxµ = gµνxµxν = x ′ρx ′ρ = gσρx ′σ x ′ρ = gσρ Λσµ Λ

ρ

νxµxν

es decir,gµν = gσρ Λσ

µ Λρ

ν


Usando la regla de la cadena

∂µ ≡∂

∂xµ→ ∂

∂x ′µ=(

Λ−1)ν

µ

∂

∂xν≡(

Λ−1)ν

µ

∂ν

en general índices abajo se transforman como Λ−1

xµ → x ′µ =(

Λ−1)ν

µ

xν , gµν = gσρ

(Λ−1

)µ

σ

(Λ−1

)ν

ρ

De forma infinitesimal

Λµ

ν ≈ δµ

ν + ωµ

ν , ωµν = gµρωρ

ν

ωµν completamente antisimétrico; 6 parámetros:3 definen los “boost”3 definen las rotaciones


Ejemplo: Invariancia Lorentz de KG

Bajo Lorentz φ(x) es un escalar

φ(x)→ φ′(x ′) = φ(x) , φ

′(x) = φ(Λ−1x)

KG es trivialmente invariante (puesto que ∂ 2 lo es)

(∂

2 + m2)

φ(x) = 0 →(

gµν ∂

∂x ′µ∂

∂x ′ν+ m2

)φ′(x ′) =(

gµν

(Λ−1

)σ

µ

(Λ−1

)ρ

µ

∂

∂xσ

∂

∂xρ+ m2

)φ(x)

=(

∂2 + m2

)φ(x) = 0

Igualmente se comprueba que bajo una transformación Lorentzel Lagrangiano de KG es un escalar, es decir,L (x)→L ′(x ′) = L (x).


Campos no escalares

En general los campos tienen índices y propiedades detransformación más complicadas. Por ejemplo: el campoelectromagnético se puede representar mediante uncuadrivector Aµ (x). En ese caso Aµ (x)→ A′µ (x ′) = Λ

µ

νAν (x).Para campos arbitrarios

Φa(x)→ Φ′a(x ′) = M(Λ)abΦb(x)

donde la forma explícita de la matriz M(Λ) en términos de latransformación de Lorentz Λ depende de la representación delcampo Φa:

Para campos escalares es la identidad,En el caso de campos vectores M(Λ) es Λ

Los espinores de Dirac tienen índices y por lo tantoesperamos que se transformen de una forma no trivial bajoel grupo de Lorentz.


Campo de Dirac

Supondremos pues que

ψ(x)→ ψ′(x ′) = S(Λ)ψ(x)

así (iγµ

∂µ −m)

ψ(x) = 0 −→

(iγµ ∂

∂x ′µ−m

)ψ′(x ′) =

(iγµ

(Λ−1

)σ

µ

∂

∂xσ−m

)S(Λ)ψ(x) = 0

multiplicando por S(Λ)−1(iS(Λ)−1

γµS(Λ)

(Λ−1

)σ

µ

∂

∂xσ−m

)ψ(x) = 0 .


Campo de Dirac

Si queremos mantener la forma de la ecuación de Dirac

S(Λ)−1γ

µS(Λ)(

Λ−1)σ

µ

= γσ

o

S(Λ)−1γ

µS(Λ) = Λµ

νγν

Efectivamente existe S(Λ) con esa propiedad

S(Λ) = exp(− i

4ωµνσ

µν

)con

σµν =

i2

[γµ ,γν ]

y ωµν el tensor antisimétrico que caracteriza la transformaciónde Lorentz.


S(Λ) en general no son matrices unitariasRotaciones son matrices unitarias ya que (σ ij)† = σ ij

Boots; (σ0j)† =−σ0j es antihermítica y por lo tanto S(Λ)no es unitaria.

Como γ0(σ µν )†γ0 = σ µν

S(Λ)−1 = γ0S(Λ)†

γ0

Esta ecuación junto la anterior garantiza que cualquier bilinealque contenga matrices de Dirac se transformará correctamentebajo Lorentz. En particular

ψ(x)ψ(x)→ ψ′(x ′)ψ

′(x ′) = ψ†(x)S†(Λ)γ

0S(Λ)ψ(x) = ψ(x)ψ(x)

se transforma como un escalar y

ψ(x)γµ

ψ(x)→ ψ′(x ′)γ

µψ′(x ′) = Λ

µ

ν ψ(x)γνψ(x)

se transforma como un vector.Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 14/38

Representación reducible

La representación que hemos obtenido de las transformacionesde Lorentz es reducible, es decir, se puede descomponer enrepresentaciones más simples. En efecto, si γ5 = iγ0γ1γ2γ3

[γ5,σµν ] = 0 y [γ5,S(Λ)] = 0

Así si definimos

PL =12

(1− γ5) , PR =12

(1 + γ5)

las componentes del campo ψL = PLψ y ψR = PRψ setransforman por separado,

S(Λ)ψL = PLS(Λ)ψ y S(Λ)ψR = PRS(Λ)ψ

Los campos fundamentales son espinores de doscomponentes ψL y ψR y no el campo de Dirac completo ψ!


El Lagrangiano de Dirac

Para encontrar un Lagrangiano multiplicamos la ecuación deDirac por ψ

L = ψ(x)(i /∂ −m

)ψ(x)

y consideramos tanto ψ cómo ψ como variablesindependientes.Comprobemos podemos deducir lasecuaciones de movimiento exigiendo la que estacionariedad dela acción para variaciones independientes de los campos,ψ(x)→ ψ(x) + δψ(x) y ψ(x)→ ψ(x) + δψ(x)

δL (x) = δψ(x)[(

i−→/∂ −m

)ψ(x)

]+ ψ(x)

[(i−→/∂ −m

)δψ(x)

]= δψ(x)

[(i−→/∂ −m

)ψ(x)

]+ ψ(x)

[(−i←−/∂ −m

)δψ(x)

]+i∂µ (ψ(x)γ

µδψ(x))


Si las variaciones son tales que se anulan en los extremosdesintegración el último término no contribuye y obtenemos laecuación de Dirac para ψ y ψ. Notemos que esta deducción esválida tanto si los campos conmutan como si anticonmutan.El Lagrangiano L tiene algunos inconvenientes:

No es explícitamente real puesto que trata de formadiferente ψ y ψ. La hermeticidad del Lagrangiano esesencial en una teoría de campos, incluso al nivel clásico,puesto que garantiza que el sistema de ecuacionesdiferenciales obtenido es compatible. Al nivel cuántico elhermeticidad del Lagrangiano es también importante paragarantizar que los operadores de los observables seanhermíticos y para garantizar la unitariedad de la teoría.No tiene derivadas respecto al tiempo de ψ y por tanto ψ

no es una variable canónica.


Para evitar estos problemas, es frecuente utilizar unLagrangiano explícitamente hermítico

L →Lh =12(L +L †)=

i2

ψ

↔/∂ ψ−mψψ

que solo se diferencia del anterior en una divergencia (conducepues a las mismas ecuaciones de movimiento).

Es herm´Depende de de la derivada del tiempo de ψ

Sin embargo, es más complicado y enmascara el hecho de queψ y ψ no son variables canónicas independientes.

Usaremos la versión sencilla y veremos que podemos evitar losproblemas.


Ilustrativo ver cual es la Lagrangiano invariante Lorentz másgeneral posible1 construido con ψL y ψR

L = ZLiψL /∂ψL + ZR iψR /∂ψR + AψLψR + h.c.

Podemos redefinir los campos

ψL→ ψL/√

ZL , ψR → ψR/√

ZR

así obtenemos el término cinético canónico. Ahora siescribimos

A =−meiα , ψR → e−iαψR

y definimos ψ = ψL + ψR y llegamos al Lagrangiano de Dirac!

1Si evitamos términos de masa de Majorana.Arcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 19/38

Soluciones de la ecuación de Dirac

El campo de Dirac satisface también KG

ψ(x) =∫ d3~p

(2π)32Ep

(A(~p)e−ip·x + B(~p)eip·x

)con pµ = (Ep =

√~p2 + m2,~p) y donde ahora los coeficientes

A(p) y B(p) son espinores de cuatro componentes y se tienenque elegir de tal forma que ψ(x) sea solución de la ecuaciónde Dirac.Sustituyendo en la ecuación de Dirac

(/p−m)A(~p) = 0 (/p + m)B(~p) = 0

A(~p) y B(~p) serán proporcionales a espinores debidamentenormalizados que denotaremos como u(~p) y v(~p)respectivamente. Así

(/p−m)u(~p) = 0 (/p + m)v(~p) = 0


En el sistema de referencia en qué~p = 0

m(γ0−1)u(~0) = m

(−1 11 −1

)u(~0) = 0

Dónde hemos elegido la representación de Weyl por lasmatrices γ

γ0 =

(0 II 0

), γ

i =

(0 σ i

−σ i 0

), γ

5 =

(−I 00 I

)Las soluciones son

u(~0) =√

m(

ξ

ξ

), ξ

†ξ = 1

ξ son espinores de dos componentes normalizados.

u(~0)u(~0) = 2m .


Para construir espinores de momento arbitrario aplicaremos un“boost” de momento~p

u(~p) = Su(~0) ,

conS−1/pS = mγ

0 .

Entonces está claro que u(~p) es solución de la ecuación deDirac

(/p−m)u(~p) = (/p−m)Su(~0) = mS(γ0−1)u(~0) = 0

¿Qué forma tiene S para un “boost” puro de momento~p?

S =1√

2m(E + m)(/pγ

0 + m)


Las soluciones serán, entonces

u(~p) =1√

2m(E + m)(/p + m)u(~0) ,

donde hemos utilizado γ0u(~0) = u(~0).La forma de la solución es independiente de la representaciónpara las matrices γµ . Si elegimos la representación de Weyl

u(~p) =1√

2(E + m)(/p+m)

(ξ

ξ

)=

1√2(E + m)

((E −~p ·~σ + m)ξ

(E +~p ·~σ + m)ξ

).

usamos que

(E±~p ·~σ +m)2 = (E +m)2 +~p2±2(E +m)~p ·~σ = 2(E +m)(E±~p ·~σ) .

podemos escribir

E ±~p ·~σ + m√2(E + m)

=√

E ±~p ·~σ ,


o definiendo

σµ = (I,~σ) σ

µ = (I,−~σ) = σ2σ

µ∗σ

2

u(~p) =

( √p ·σξ√p · σξ

).

Una base completa de espinores tipo u(~p) es

u(~p,s) =

( √p ·σξ (s)√p · σξ (s)

), ,s =± , ξ

(s)†ξ

(r) = δsr

que satisfacen

u(~p, r)u(~p,s) = 2mδrs , u†(~p, r)u(~p,s) = 2Eδrs .

Los espinores de dos componentes ξ (s) se pueden elegir

ξ(+)e =

(10

), ξ

(−) =

(01

),


de forma que, cuando la partícula está en reposo, representanlas dos componentes del espín quantizado en la dirección deleje z.Más generalmente podríamos cuantizar el espín en unadirección arbitraria~n0, |~n0|= 1

~σ ·~n0 ξ(±) =±ξ

(±) , ξ(s)†

ξ(r) = δsr , s =± .

Es frecuente elegir las fases como

ξ(−) =−iσ2ξ

(+)∗

Con esta convención si ξ (+) =

(10

), entonces ξ (−) =

(01

).

Puesto que que

u(~p,s)u(~p,s)u(~p,s′) = 2mδss′u(~p,s)

el proyector sobre espinores u(~p,s) será u(~p,s)u(~p,s)


Los proyectores

u(~p,s)u(~p,s) = Su(~0,s)u(~0,s)S−1 = mS(

ξ (s)

ξ (s)

)(ξ

(s)†,ξ (s)†)

γ0S−1

= mS(

ξ (s)ξ (s)† 00 ξ (s)ξ (s)†

)(I II I

)S−1

comoξ

(s)ξ

(s)† =12(I + s~σ ·~n0

)tendremos

u(~p,s)u(~p,s) = m12

S(

1 + s~Σ ·~n0

)(γ

0 + 1)S−1

donde~Σ =

(~σ 00 ~σ

)=(

σ23,σ31,σ12

)= γ5γ

0~γ ,


y hemos utilizado que (en la representación de Weyl)(I II I

)= γ

0 + 1 .

si usamos que ~Σ(γ0 + 1) =−γ5~γ(γ0 + 1) y definimos n0 ≡ (0,~n)el proyector se puede escribir como

u(~p,s)u(~p,s) = m12

S (1 + sγ5/n0)(γ0 + 1)S−1

=12

(1 + sγ5/n)(/p + m)

donde /n ≡ S/n0S−1 n2 =−1 , np = 0.Claramente la suma sobre espines es

∑s=±

u(~p,s)u(~p,s) = /p + m


Espinores v(~p,s)

De forma parecida a cómo hemos construido los espinoresu(~p,s) podemos construir los espinores v(~p,s) que satisfacen(/p + m)v(~p,s) = 0

v(~p,s) =

(−√p ·ση(s)√

p · ση(s)

), η

(±) =−iσ2ξ(±)∗

Los espinores v(p,s) están normalizados según

v(~p, r)v(~p,s) =−2mδrs v†(~p, r)v(~p,s) = 2Eδrs .

además son ortogonales a los espinores u(p,s) en el sentidoque

u(~p, r)v(~p,s) = v(~p, r)u(~p,s) = 0

Los proyectores son

v(~p,s)v(~p,s) =12

(1 + sγ5/n)(/p−m)

∑s=±

v(~p,s)v(~p,s) = /p−mArcadi Santamaria Tema 3: El campo de Dirac: covariancia Lorentz y soluciones 15 de octubre de 2009 28/38

Matriz C y espinores v(~p,s)

Hay otra forma de construir los espinores v(~p,s): Podemoscomprobar que existe una matriz de Dirac, C ≡ iγ2γ0, tal que

CγµC−1 =−γ

µT , CT = C† = C−1 =−C

Si u(~p) es solución de la ecuación de Dirac (/p−m)u(~p) = 0,

entonces v(~p)≡ Cu(~p)T

satisface la ecuación de Dirac paraspinores de tipo v :

(/p−m)u(~p) = 0 ⇒ u(~p)(/p−m) = 0 ⇒ (/pT −m)u(~p)T

= 0

⇒ C(/pT −m)CCu(~p)T

= 0 ⇒ (/p + m)v(~p) = 0 .

Las convenciones de fase son tales que

v(~p,±) = Cu(~p,±)T

, u(~p,±) = Cv(~p,±)T.

La matriz C nos permitirá construir una simetría discretallamada conjugación de carga.


Proyectores normalizados

A partir de las sumas sobre espines definimos

Λ+ ≡ 12m ∑

s=±u(~p,s)u(~p,s) =

/p + m2m

Λ− ≡ − 12m ∑

s=±v(~p,s)v(~p,s) =

−/p + m2m

que satisfacen (Λ+)2 = Λ+, (Λ−)2 = Λ− y Λ+Λ− = Λ−Λ+ = 0 yΛ+ + Λ− = 1. Λ+, Λ− son proyectores que proyectan sobre losespinores de tipos u o sobre los de tipos v respectivamente.Igualmente definimos los proyectores de espín

Ps(n)≡ 12

(1 + s γ5/n) , s =±

satisfacen PsPs′ = δss′Ps, P+ + P− = 1 y conmutan con Λ±,PsΛ±= Λ±Ps. Así Ps(n)Λ+ proyecta sobre espinores u(~p,s),mientras Ps(n)Λ− proyecta sobre espinores v(~p,s)


Espinores de helicidad

Si~n0 =~p/|~p| ≡ p no hace falta introducir ninguna direcciónadicional.Espinores propios de helicidad u(p,λ ), v(p,λ )

p ·~Σu(~p,±) =±u(~p,±), p ·~Σv(~p,±) =∓v(~p,±)

puesto que p ·~σξ (λ) = λ |~p|ξ (λ) y p ·~ση(λ) = λ |~p|η(λ).Helicidad conmuta con el boost de momento p

S p ·~Σ = p ·~ΣS ,

Espinores propios de p ·~Σ en reposo también lo son despuésdel “boost”.Los proyectores son

u(~p,λ )u(~p,λ ) =12

(1 + λ p ·~Σ

)(/p + m)

v(~p,λ )v(~p,λ ) =12

(1−λ p ·~Σ

)(/p−m)


Proyectores de helicidad

Así los proyectores de helicidad son

Π± ≡12

(1± p ·~Σ

),

que cumplen

(Π±)2 = Π±, Π±Π∓ = 0, Π+ + Π− = 1 .

además conmutan con los proyectores Λ±.

[Λ+,Π±] = [Λ−,Π±] = 0 .

así tenemos los siguientes proyectores sobrepartículas-antipartículas con helicidad ±.

Π+Λ+ −→ u(~p,+) , Π−Λ+ −→ u(~p,−)

Π+Λ− −→ v(~p,−) , Π−Λ− −→ v(~p,+)

v(~p,±): antipartícula con helicidad ± pero se proyecta con losproyectores cambiados de signo Π∓.


Igualmente podemos usar los proyectores de espínP±(n) = 1

2(1± γ5/n) para el helicidad si n es cuadrivectortransformado de p por lo “boost”.Notemos que aunque S conmuta con p~Σ, no conmuta con p~γ

/n ≡−Sp ·~γS−1 =|~p|m

γ0− E

mp ·~γ ,=⇒ nµ = (

|~p|m

,Em

p) .

Los cuatro espinores de helicidad, en la representación deWeyl para las matrices de Dirac y con la convención de faseshabitual son

u(~p,+) =

√E −

∣∣~p∣∣ξ (+)√E +

∣∣~p∣∣ξ (+)

, u(~p,−) =

√E +

∣∣~p∣∣ξ (−)√E −

∣∣~p∣∣ξ (−)

v(~p,+) =

−√E +∣∣~p∣∣ξ (−)√

E −∣∣~p∣∣ξ (−)

, v(~p,−) =

√E −

∣∣~p∣∣ξ (+)

−√

E +∣∣~p∣∣ξ (+)


Límite ultrarelativista

Estos espinores se simplifican considerablemente en el límiteultrarelativista

u(~p,+)Em−→ −v(~p,−)

Em−→√

2E(

0ξ (+)

),

u(~p,−)Em−→ −v(~p,+)

Em−→√

2E(

ξ (−)

0

).

La base de cuatro espinores colapsa a sólo dos espinores queson propios de γ5 (con autovalores ± para las helicidades ±).El límite ultrarelativista coincide con el límite m→ 0 y en estelímite la ecuación que satisfacen los espinores u(~p,λ ) y v(~p,λ )es la misma. De hecho para m→ 0 la ecuación de Dirac es laecuación de Weyl

/pω(~p) = 0


Usando ~Σ = γ5γ0~γ y ~γ ·~pω(~p) = Eγ0ω(~p), con E =∣∣~p∣∣

tenemos

p ·~Σω(~p) =1∣∣~p∣∣γ5γ

0~γ ·~pω(~p) = γ5ω(~p) ,

en el límite m→ 0 la helicidad viene dada por la matriz de Diracγ5, llamada quiralidad y, por lo tanto, los proyectores dehelicidad coinciden con los de quiralidad, PL = 1

2(1− γ5) yPR = 1

2(1 + γ5) cuando actúan sobre estados que son soluciónde la ecuación de Weyl,

Π±ω(~p)→ 12

(1± γ5)ω(~p) , si /pω(~p) = 0

En la representación de Weyl dónde PL proyecta sobre lascomponentes de arriba y PR sobre las de abajo.


Cambio de representación

La forma concreta de los espinores u(~p,s) depende de larepresentación utilizada para las matrices de DiracMuchos de los resultados obtenidos son independientesde la forma de las matrices de Dirac.De una representación a otra se pasa multiplicado por unamatriz unitaria

γµ → Uγ

µU†, U†U = UU† = 1

y los espinores cambiaran como

u(~p,s)→ Uu(~p,s), v(~p,s)→ Uv(~p,s)

así es inmediato ver que las siguientes propiedades secumplen independientemente de la representación y valentanto para espín como para helicidad

(/p−m)u(~p,s) = 0 (/p + m)v(~p,s) = 0


u(~p, r)u(~p,s) = 2mδrs u†(~p, r)u(~p,s) = 2Eδrs

v(~p, r)v(~p,s) =−2mδrs v†(~p, r)v(~p,s) = 2Eδrs

u(~p, r)v(~p,s) = v(~p, r)u(~p,s) = 0 = u†(~p, r)v(−~p,s) = v†(−~p, r)u(~p,s)

∑s=±

u(~p,s)u(~p,s) = /p + m , ∑s=±

v(~p,s)v(~p,s) = /p−m

Igualmente la forma de los proyectores sobre espín definidoson independientes de la representación.Para cambiar de representación es suficiente encontrar lamatriz U.


Ejemplo: Cambio de Weyl–Dirac

U =1√2

(1 1−1 1

)γ

µ

Dirac = Uγµ

WeylU†

y por lo tanto

uDirac(~p,s) = UuWeyl(~p,s) =1√

(E + m)

((E + m)ξ (s)

~p ·~σξ (s)

)mientras

vDirac(~p,s) = UvWeyl(~p,s) =1√

(E + m)

(~p ·~ση(s)

(E + m)η(s)

).

En el límite NR,~p =~0, los espinores u, en la representación deDirac, sólo tienen la componente superior mientras losespinores v sólo tienen la componente de abajo: másconveniente para estudiar el límite NR!


Tema 4:El campo de Dirac: cuantización y simetrías

discretas

Arcadi Santamaria


Contenido

1 Cuantización del campo de Dirac: reglas deanticonmutación y causalidad

Operador cargaEl cuadrimomentoEl momento angularEl propagador del campo de Dirac

2 Simetrías discretasParidadConjugación de cargaInversión temporalCPT

Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 2/39

La solución más general de la ecuación de Dirac es

ψ(x) = ∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

(a(~p,s)u(~p,s)e−ip·x + b†(~p,s)v(~p,s)eip·x

)Para cuantizar el campo reinterpretaremos los coeficientesa(~p,s) y b†(~p,s) como operadores de creación y destrucción.Veremos que la cuantización solo tiene sentido si los campossatisfacen reglas de anticonmutación pero de momento noharemos ninguna hipótesis al respecto.Partiremos de

L (x) = ψ(x)(i /∂ −m

)ψ(x)

y construiremos las diferentes cargas conservadas usando elT. de Noether sin suponer que los campos conmuten (oanticonmuten)


Teorema de Noether para el Lagrangiano de Dirac

Bajo una transformación infinitesimal,ψ(x)→ ψ(x) + δψ(x),ψ(x)→ ψ(x) + δψ(x), tenemos que

δL (x) = δψ(x)[(

i−→/∂ −m

)ψ(x)

]+ ψ(x)

[(i−→/∂ −m

)δψ(x)

]= δψ(x)

[(i−→/∂ −m

)ψ(x)

]+ ψ(x)

[(−i←−/∂ −m

)δψ(x)

]+iψ(x)

−→/∂ δψ(x) + iψ(x)

←−/∂ δψ(x) = i∂µ (ψ(x)γ

µδψ(x))

para ψ(x) y ψ(x) que satisfacen las ecuaciones de movimiento.Si bajo la transformación, δL = ∂µw µ tendremos

∂µ (iψ(x)γµ

δψ(x)−w µ ) = 0 , δL = ∂µw µ


Operador carga

Las transformaciones de fase se escriben como

ψ′(x) = eiqα

ψ(x)≈ψ(x)+ iqαψ(x), δψ = iqαψ , δL = 0

así

0 =−α∂µ (qψ(x)γµ

ψ(x)) ,

y por lo tanto

jµ = qψ(x)γµ

ψ(x) , ∂µ jµ = 0

y el operador carga conservado será

Q = q∫

d3~x(ψ

†(x)ψ(x))


El cuadrimomento

Las translaciones de coordenadas son

ψ′(x + a) = ψ(x) .

y por lo tanto

ψ′(x) = ψ(x−a)≈ ψ(x)−aν

∂νψ(x)

δψ =−aν∂νψ , δL =−aµ

∂µL

Inmediatamente encontramos

0 = ∂µ (−aν iψ(x)γµ

∂νψ(x) + aµL ) =−aν∂µ

(iψ(x)γ

µ∂νψ(x)−gµ

ν L)

y por lo tanto el tensor energía-impulso es

T µ

ν = iψ(x)γµ

∂νψ(x)−gµ

ν L , ∂µT µ

ν = 0


mientras el operador conservado es el cuadrimomento

Pµ =∫

d3~x(

iψ(x)γ0∂

µψ(x)−g0µL

)en particular el operador energía es

H =∫

d3~x(

iψ(x)γ0ψ(x)−L

)=∫

d3~xψ(x)(−i~γ ·~∇ + m

)ψ(x)

=∫

d3~xψ†(x)iψ(x)

donde en el ultimo paso hemos usado las ecuaciones demovimiento (nótese que, de momento H, es el operadorenergía y no el Hamiltoniano canónico)El operador momento lineal es

~P =−∫

d3~xψ†(x)i~∇ψ(x).


El momento angular

Las transformaciones de Lorentz son ψ ′(Λx) = S(Λ)ψ(x) y porlo tanto

ψ′(x) = S(Λ)ψ(Λ−1x)≈

(1− i

4ωµνσ

µν

)ψ(xµ −ωµνxν )≈

≈ ψ(x)− i4

ωµνσµν

ψ(x)−ωµνxν∂

µψ(x) = ψ(x) + δψ

entonces

δψ(x) =−12

ωσρ

(i2

σσρ + xρ

∂σ −xσ

∂ρ

)ψ(x)

Como el Lagrangiano es escalar

δL (x) =−ωµνxν∂

µL =−∂µ

(gµσ

ωσρxρL)


Insertando estos resultados en la formula general

0 =12

ωσρ∂µ

(iψ(x)γ

µ( i

2σ

σρ + xρ∂

σ −xσ∂

ρ)ψ(x)

−(gµσ xρ −gµρxσ

)L

)y

M µσρ =−iψ(x)γµ( i

2σ

σρ + xρ∂

σ −xσ∂

ρ)ψ(x)

+(gµσ xρ −gµρxσ )L

que satisface ∂µM µσρ = 0 mientras el operador conservado es

Mσρ =∫

d3~x(− iψ(x)γ

0( i2

σσρ + xρ

∂σ −xσ

∂ρ)ψ(x)

+(

g0σ xρ −g0ρxσ

)L

)Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 9/39

El momento angular viene dado por las componentes con losíndices espaciales

~J =(

M23,M31,M12)

y

~J =∫

d3~x(

ψ†(x)

(12~Σ +~x×

(−i~∇

))ψ(x)

)El último término da la contribución del momento angularorbital.El primer término da la contribución del espín al momentoangular total.

Una vez tenemos los operadores relevantes en términos de loscampos podemos pasar a ver qué forma tienen en términos delos operadores a(~p,s) y b†(~p,s)


El Hamiltoniano

H =∫

d3~xψ†(x)iψ(x) = ∑

ss′

∫d3~x

d3~p(2π)32Ep

d3~p ′

(2π)32Ep′Ep

(a†(~p ′,s′)a(~p,s)u†(~p ′,s′)u(~p,s)ei(p′−p)·x

−b(~p ′,s′)b†(~p,s)v†(~p ′,s′)v(~p,s)e−i(p′−p)·x

+b(~p ′,s′)a(~p,s)v†(~p ′,s′)u(~p,s)ei(p′+p)·x

−a†(~p ′,s′)b†(~p,s)u†(~p ′,s′)v(~p,s)e−i(p′+p)·x)

Integrando y utilizando las propiedades de ortogonalidad ynormalización de los espinores u(~p,s) y v(~p,s) encontramos

H = ∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

Ep(a†(~p,s)a(~p,s)−b(~p,s)b†(~p,s)


Problema: Hamiltoniano no acotadoSi interpretamos los operadores b(~p,s) y b†(~p,s) comooperadores de creación y destrucción bosónicos elHamiltoniano no está acotado por abajo!

SoluciónEl álgebra de operadores de creación y destrucción del campode Dirac se debe realizar con anticonmutadores: signo menosen del anticonmutador hace queb(~p,s)b†(~p,s)→−b†(~p,s)b(~p,s) + · · ·

a(~p,s),a†(~p ′,s′)

= (2π)32Epδsr δ

(3)(~p−~p′)b(~p,s),b†(~p ′,s′)

= (2π)32Epδsr δ

(3)(~p−~p′)a(~p,s),a(~p,s)

=

b(~p,s),b(~p ′,s′)

=

a(~p,s),b†(~p ′,s′)

= 0


Así el Hamiltoniano, además de una constante infinita queeliminaremos por N-ordenación se escribe como

H = ∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

Ep(a†(~p,s)a(~p,s) + b†(~p,s)b(~p,s)

)que es definido positivo y tiene la forma general que debe tenercualquier hamiltoniano: la suma de las energías de todas laspartículas (y antipartículas). Es trivial comprobar que[

H,a†(~p,s)]

= Epa†(~p,s),[H,b†(~p,s)

]= Epb†(~p,s)

y así tanto el operador a†(~p,s) cómo b†(~p,s) crean estados deenergía Ep a partir del vacío

Ha†(~p,s) |0〉= Epa†(~p,s) |0〉 , Hb†(~p,s) |0〉= Epb†(~p,s) |0〉


El momento lineal

Para el momento obtenemos

~P = ∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

~p(a†(~p,s)a(~p,s)−b(~p,s)b†(~p,s)

)así si los b(~p,s) anticonmutan

~P = ∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

~p(a†(~p,s)a(~p,s) + b†(~p,s)b(~p,s)

)Como en el caso del Hamiltoniano es fácil ver que

~Pa†(~p,s) |0〉=~pa†(~p,s) |0〉 , ~Pb†(~p,s) |0〉=~pb†(~p,s) |0〉

y así tanto a†(~p,s) cómo b†(~p,s) crean estados de momento~p.


El operador carga

Q = q ∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

(a†(~p,s)a(~p,s) + b(~p,s)b†(~p,s)

)otra vez la propiedad de anticonmutación nos permite escribir,además de una constante

Q = q ∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

(a†(~p,s)a(~p,s)−b†(~p,s)b(~p,s)

)y

Qa†(~p,s) |0〉= qa†(~p,s) |0〉 , Qb†(~p,s) |0〉=−qb†(~p,s) |0〉

a†(~p,s) crea estados de carga qb†(~p,s) crea estados de carga −q.Q solo es la carga si los b(~p,s) anticonmutan!


El momento angular

En MQ el momento angular no se suma tan fácilmente como lacarga o la energía y no se pueda expresar de forma sencilla entérminos de los operadores de creación y destrucción.Afortunadamente Jz = J3 sí es aditivo y tiene una expresiónmas sencilla.Eligiendo~p = (0,0,

∣∣~p∣∣) helicidad y espín son lo mismo y latercera componente del momento angular sólo tienecontribuciones de la parte de espín.Usando las reglas de anticonmutación obtenemos

[Jz ,a†(~p,±)

]=±1

2a†(~p,±)

[Jz ,b†(~p,±)

]=±1

2b†(~p,±)

y

Jza†(~p,±) |0〉=±12

a†(~p,±) |0〉 Jzb†(~p,±) |0〉=±12

b†(~p,±) |0〉 .


Los estados

Así puesa†(~p,±) crea estados con momento~p, helicidades ±, ycarga q.b†(~p,±) crea estados con momento~p, helicidades ±, ycarga −q.

por tanto definimos∣∣~p,±,a⟩≡ a†(~p,±) |0〉

∣∣~p,±, a⟩≡ b†(~p,±) |0〉

que están normalizados correctamente

〈~p,s,a∣∣~p ′,s′,a⟩= 2Ep(2π)3

δss′δ(3)(~p−~p ′)

〈~p,s, a∣∣~p ′,s′, a⟩= 2Ep(2π)3

δss′δ(3)(~p−~p ′)

〈~p,s,a∣∣~p ′,s′, a⟩= 0

Si los electrones son las partículas,q =−1 y a†(~p,±) crearáelectrones con momento~p y helicidades ± y b†(~p,±) crearápositrones con momento~p y helicidades ±.


Transformaciones de Lorentz

Bajo T. Lorentz p′ = Λp mientras el espín no cambia. Así, siU(Λ) es el operador unitario que actuando sobre los estadosgenera la transformación de Lorentz exigiremos

U(Λ)a†(~p,s)U(Λ)−1 = a†(−→Λp,s) , U(Λ)b†(~p,s)U(Λ)−1 = b†(

−→Λp,s)

mientras para los estados tendremos (ya que U(Λ) |0〉= 0)

U(Λ)∣∣~p,s,a

⟩=∣∣∣−→Λp,s,a

⟩U(Λ)

∣∣~p,s, a⟩

=∣∣∣−→Λp,s, a

⟩además usando que

u(−−−→Λ−1p,s) = S(Λ)−1u(~p,s) y v(

−−−→Λ−1p,s) = S(Λ)−1v(~p,s)

podemos calcular cómo se transforma el campo1

U(Λ)ψ(x)U(Λ)−1 = S(Λ)−1ψ(Λx)

1Recordemos que ψ ′(x) = S(Λ)ψ(Λ−1x)


Reglas de anticonmutación de los campos

Conociendo las reglas de anticonmutación de a(~p,s) y b(~p,s)podemos calcular las reglas de anticonmutación de los campos

ψa(~x , t),ψ†b(~x ′, t)

= δabδ

(3)(~x−~x ′),

ψa(~x , t),ψb(~x ′, t)

= 0

Este resultado, se obtendría si iψ†(x) fuera el momentocanónico conjugado de ψ(x) e impusieramos las reglascuantización canónicas pero substituyendo conmutadores poranticonmutadores.Esta interpretación es consistente:

El Hamiltoniano se puede expresar exclusivamente entérminos de ψ(x) y ψ†(x) sin que aparezca ningunaderivada respecto el tiempo de los campos.Usando el Hamiltoniano, las reglas de anticonmutación eimponiendo las ecuaciones de Heisenberg −iψ = [H,ψ]recuperamos la ecuación de Dirac.


El procedimiento que hemos seguido para cuantizar el campode Dirac libre hace uso explícito de la solución.En teorías con interacción no podremos resolver lasecuaciones de movimiento exactamente. Sin embargo,podremos seguir escribiendo una densidad Hamiltoniana entérminos la variable canónica ψ y su momento conjugado iψ†.En ese caso la cuantización se impondrá postulando lasmismas reglas de anticonmutación que hemos visto para elcaso libre:

ψa(~x , t),ψ†

b(~x ′, t)

= δabδ(3)(~x−~x ′) ,

ψa(~x , t),ψb(~x ′, t)

= 0

Con esto tendremos perfectamente definida la teoría a nivelcuántico y podremos proceder a buscar solucionesaproximadas.


Anticonmutadores covariantes

Conociendo el desarrollo del campo y las reglas deconmutación de a(~p,s) y b(~p,s) podemos calcular laanticonmutador de los campos en puntos diferentes

ψ(x), ψ(x ′)

= ∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

(u(~p,s)u(~ps)e−ip·(x−x ′) + v(~p,s)v(~p,s)eip·(x−x ′)

)=∫ d3~p

(2π)32Ep

((/p + m

)e−ip·(x−x ′) +

(/p−m

)eip·(x−x ′)

)=(i /∂ x + m

)∫ d3~p(2π)32Ep

(e−ip·(x−x ′)−eip·(x−x ′)

)=(i /∂ x + m

)i∆(x −x ′)

∆(x−x ′) la misma función del campo escalar[φ(x),φ(x ′)] = i∆(x−x ′) que se anula para (x−x ′) < 0.¿Qué pasa si cuantizamos con conmutadores?


Propagador de Feynman para el campo de Dirac

IgualmenteSF (x)≡

(i /∂ + m

)DF (x) =

=∫ d4p

(2π)4

i(/p + m

)p2−m2 + iε

e−ip·x =∫

CF

d4p(2π)4

i(/p−m

)e−ip·x

SF (x) es una función de Green para la ecuación de Dirac(i /∂ −m

)SF (x) =−

(∂

2 + m2)

DF (x) = iδ (4)(x)

Integrando en p0 y utilizando el teorema de los residuos

SF (x)ab = 〈0|T (ψa(x)ψb(0)) |0〉con

T (ψa(x)ψb(y)) = θ(x0−y0)ψa(x)ψb(y)−θ(y0−x0)ψb(y)ψa(x)

Importante el signo menos!Arcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 22/39

Simetrías discretas

Solo visto grupo de Lorentz propio ortocrono L↑+x2 = t2−

∣∣~x∣∣2 también invariante bajo~x →−~x o t →−tImportante conocer si son simetrías de la naturalezaVeremos que efectivamente es posible definir estas simetríasde forma que el Lagrangiano de Dirac sea invariante.Veremos que también es invariante respecto a una simetríadiscreta adicional que transforma partículas en antipartículasconocida como conjugación de carga.La situación cuando añadimos interacciones es diferente:

Las interacciones electromagnética y fuerte conservan lastres simetrías: P , T y CLas débiles violanC y P separadamente y en algunoscasos muy especiales también violan CP y T .No se ha descubierto hasta ahora ninguna interacción queviole CPT (predicción de TQC!)


Representaciones

Tres tipos de representación de las transformaciones deLorentz:

Sobre coordenadas x ′µ = Λµ

ν xν

Sobre campos ψ ′(x ′) = S(Λ)ψ(x). S(Λ) matriz de Dirac

Sobre estados U(Λ)∣∣~p⟩=

∣∣∣−→Λp⟩

. U(Λ) unitaria

Igualmente para las simetrías discretas:P y T sobre las coordenadas,AP , AT y AC serán las matrices de Dirac necesarias paradefinir correctamente las transformaciones de los camposU(P), U(T ) y U(C) serán los operadores que actúansobre los estados del espacio de Hilbert

U(P) y U(C) unitariosU(T ) antiunitario (antilineal y U(T )−1 = U(T )†)


Paridad

x = (x0,~x)→ x = (x0,−~x),p = (p0,~p)→ p = (p0,−~p), ~L =~x×~p invarianteNecesitamos U(P)† = U(P)−1 cambie~p pero no el espín:

U(P)a†(~p,s)U(P)−1 = η∗aa†(−~p,s)

U(P)b†(~p,s)U(P)−1 = η∗bb†(−~p,s)

s espín no helicidad (helicidad más complicado). Así

U(P)∣∣~p,s,a

⟩= η

∗a∣∣−~p,s,a

⟩, U(P)

∣∣~p,s, a⟩

= η∗b∣∣−~p,s, a

⟩y sustituyendo en los campos tenemos

U(P)ψ(x)U(P)−1 =

= ∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

(ηaa(−~p,s)u(~p,s)e−ip·x + η

∗bb†(−~p,s)v(~p,s)eip·x


cambiando~p→−~p y utilizando γ0/p = /pγ0 y

u(−~p,s) = γ0u(~p,s) , v(−~p,s) =−γ

0v(~p,s)

encontramos que

U(P)ψ(x)U(P)−1 =

= γ0∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

(ηaa(~p,s)u(~p,s)e−ip·x −η

∗bb†(~p,s)v(~p,s)eip·x

)Así si η∗b =−ηa tenemos que

U(P)ψ(x)U(P)−1 = ηaγ0ψ(x) ,

AP ≡ ηaγ0 juega el papel de S(Λ) para las T. de Lorentz.Alternativamente: Si ψp(x)≡ APψ(x) es solución de la eq. deDirac A−1

P γµAP = γµ que se satisface para AP = ηaγ0 con ηauna fase arbitraria


Igualmente

U(P)ψ(x)U(P)−1 = η∗aψ

†(x) = η∗aψ(x)γ

0

¿Cómo se transforman los diferentes bilineales que se puedenusar para construir el Lagrangiano?

ψ(x)ψ(x), iψ(x)γ5ψ(x)

ψ(x)γµ

ψ(x), ψ(x)γµ

γ5ψ(x), ψ(x)σµν

ψ(x)

Escalar

U(P)ψ(x)ψ(x)U(P)−1 = |ηa|2 ψ(x)γ0γ

0ψ(x) = ψ(x)ψ(x)

Pseudoescalar

U(P)iψ(x)γ5ψ(x)U(P)−1 = |ηa|2 iψ(x)γ0γ5γ

0ψ(x) =

=−iψ(x)γ5ψ(x)


Vector

U(P)ψ(x)γµ

ψ(x)U(P)−1 = |ηa|2 ψ(x)γ0γ

µγ

0ψ(x) = ψ(x)γ

µψ(x)

Vector axial

U(P)ψ(x)γµ

γ5ψ(x)U(P)−1 = |ηa|2 ψ(x)γ0γ

µγ5γ

0ψ(x) =

=−ψ(x)γµ

γ5ψ(x)

Tensor

U(P)ψ(x)σµν

ψ(x)U(P)−1 = |ηa|2 ψ(x)γ0σ

µνγ

0ψ(x)

y por lo tanto

U(P)ψ(x)σ0i

ψ(x)U(P)−1 =−ψ(x)σ0i

ψ(x)

U(P)ψ(x)σijψ(x)U(P) = ψ(x)σ

ijψ(x)

La fase ηa desaparece de todos los bilinealesArcadi Santamaria Tema 4: El campo de Dirac: cuantización y simetrías discretas 15 de octubre de 2009 28/39

Paridades intrínsecas

ηa desaparece de todos los bilineales pero el signo enη∗b =−ηa es relevante: Los estados partícula-antipartículatienen signo − bajo paridad

U(P)a†(~p1,s1)b†(~p2,s2) |0〉=−a†(−~p1,s1)b†(−~p2,s2) |0〉

Dos aplicaciones sucesivas de paridad nos devuelven almismo estado: U(P)2 = ηP I o redefiniendoU(P)→ η

1/2P U(P) siempre podemos escribir U(P)2 = I y

η2a = 1 y ηa =±1.

Para un solo campo irrelevante.Para varios campos que interaccionan conservando paridad esposible elegir consistentemente las fases de todas laspartículas de forma que sean +1 o −1 y se conserve en lasinteracciones.Estas cantidades se denominan las paridades intrínsecas


Paridad para el campo escalar y vector

Lo hecho para el campo de Dirac se puede hacer con KG

U(P)φ(x)U(P)−1 = ηφ φ(x)

Si P se conserva podremos elegir ηφ =±1.Escalar: espín cero con paridad +1 (se transforma comoel bilineal escalar: el mesón σ )Pseudoescalar: espín cero y paridad −1 (transforma comoel bilineal pseudoescalar: π)

Igual con campos de espín 1:Vector: como bilineal vector.Vector axial: como el bilineal vector axial.

Fotones (y también gluones) se transforman como vectores: Siψ(x)γµψ(x)Aµ (x) tiene que conservar paridad

U(P)Aµ (x)U(P)−1 = Aµ (x) .

Paridad intrínseca −1: solo las componentes espaciales sonfísicas y éstas cambian de signo bajo paridad.


Conjugación de carga

Busquemos ahora U(C) unitario tal que

U(C)a†(~p,s)U(C)−1 = ηab†(~p,s)

U(C)b†(~p,s)U(C)−1 = ηaa†(~p,s)

Como con paridad U(C)2 = I y ηaηa = 1 o ηa = η∗aPara los estados tendremos

U(C)∣∣~p,s,a

⟩= ηa

∣∣~p,s, a⟩

, U(C)∣∣~p,s, a

⟩= ηa

∣∣~p,s,a⟩

Sustituyendo el desarrollo del campo encontramos que

U(C)ψ(x)U(C)−1

= ∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

(η∗ab(~p,s)u(~p,s)e−ip·x + ηaa†(~p,s)v(~p,s)eip·x

)= η

∗aC ∑

s

∫ d3~p(2π)32Ep

b(~p,s)v(~p,s)T

e−ip·x + a†(~p,s)u(~p,s)T

eip·x

= η∗aCψ(x)

T


donde hemos usado ηa = η∗a y que existe C ≡ iγ2γ0 tal que

v(~p,s) = Cu(~p,s)T

, u(~p,s) = Cv(~p,s)T

CγµC−1 =−γ

µT , CT = C† = C−1 =−C

Para campos de Dirac la fase η∗a es irrelevante y la podemoselegir igual a 1.Ya no es cierto para campos que describen partículas que sonsus propias antipartículas (fotones, piones neutros, etc).En este caso, como ηa = η∗a = ηa, la fase sólo puede ser ±1, yel signo se tiene que asignar de forma que se preserve lasimetría.Son autoestados de C

Fotón, γ: −1Pión neutro, π0: +1


Transformación de bilineales

Utilizando las propiedades de C tenemos que

ψc(x) = Cψ(x)

T= Cγ

0Tψ∗(x)

también es solución de la eq. de Dirac y AC ≡ Cγ0T juega elpapel que S(Λ) para las T. de Lorentz: bajo Lorentz ψc(x) setransforma como ψ(x), ψ

′c(x ′) = S(Λ)ψc(x)

Cγ0T S(Λ)∗ = C

(S†(Λ)γ

0)T

= C(

γ0S−1(Λ)

)T= S(Λ)Cγ

0T

donde hemos usado la forma de S(Λ) y que C(σ µν )T =−σ µνCψ se transforma como

ψ → ψc = ψT

γ0∗C†

γ0 = ψ

T C ,

y los bilineales (Los campos anticonmutan!)

ψψ → ψcψc = ψ

T CCψT =−ψ

Tψ

T = ψψ


Pseudoescalar

iψγ5ψ → iψcγ5ψc = iψT Cγ5Cψ

T =−iψTγ

T5 ψ

T = iψγ5ψ

Vector

ψγµ

ψ → ψcγµ

ψc = ψ

T CγµCψ

T = ψT

γµT

ψT =−ψγ

µψ

La corriente cambia de signo bajo C!Igualmente

ψγµ

γ5ψ → ψγµ

γ5ψ , ψσµν

ψ →−ψσµν

ψ

Como la corriente cambia de signo bajo C, si ψ(x)γµψ(x)Aµ (x)ha de ser invariante entonces

Aµ (x)C7−→ −Aµ (x)


Inversión temporal

T cambia xµ = (t ,~x)→ (−t ,~x) =−x y así~p→−~p.La energía ha de ser positiva mientras~L =~x×~p →−~L.La helicidad, a diferencia del espín, no cambia de signo.Si elegimos el espín tendremos

U(T )a(~p,s)U(T )−1 = a(−~p,−s) , U(T )b(~p,s)U(T )−1 = b(−~p,−s)

Hemos escogido las posibles fases iguales1 (no hay problema).

U(T ) es antiunitario:Si U(T ) es una simetría debe conmutar con el Hamiltoniano.En la imagen de Schrödinger tenemos |f , t〉= e−iHt |f , t = 0〉.

Si U(T ) es lineal y conmuta con el HamiltonianoU(T ) |f , t〉= e−iHtU(T ) |f , t = 0〉 y cambia t →−t .Si U(T ) es antilineal, cambia también el signo de la i ypodemos obtener U(T ) |f , t〉= eiHtU(T ) |f , t = 0〉.


Transformación del campo

Usando la definición y las propiedades de los espinores sepuede ver que

U(T )ψ(x)U(T )−1 =−γ1γ

3ψ(−x)

En lugar de demostrarlo veremos como se transforman losdiferentes bilineales y comprobaremos que efectivamente elLagrangiano de Dirac es invariante

U(T )ψ(x)U(T )−1 = U(T )ψ†(x)U(T )−1(γ

0)∗ =

=(

U(T )ψ(x)U(T )−1)†

(γ0)∗= ψ

†(−x)(−γ1γ

3)†(γ0)∗= ψ(−x)γ

1γ

3

donde hemos usado (γ0)∗ = γ0 y U(T )−1 = U(T )†. Así

U(T )ψ(x)ψ(x)U(T )−1 = ψ(−x)γ1γ

3(−γ1γ

3)ψ(−x) = ψ(−x)ψ(−x)


U(T )iψ(x)γ5ψ(x)U(T )−1 = ψ(−x)γ1γ

3(−γ1γ

3)ψ(−x) =

=−iψ(−x)γ5ψ(−x)

U(T )ψ(x)γµ

ψ(x)U(T )−1 = ψ(−x)γ1γ

3(γµ )∗(−γ

1γ

3)ψ(−x) =

= ψ(−x)γµ

ψ(−x)

donde γµ = (γ0,−~γ). Así pues el término de masas en elLagrangiano de Dirac es invariante y el término cinético

U(T )iψ(x)γµ

∂µψ(x)U(T )−1 =−iψ(−x)γµ

∂µψ(−x)

= iψ(−x)γµ ∂

∂ (−xµ )ψ(−x)

también es invariante.


CPT

Si definimos

S(x) = ψ(x)ψ(x) , P(x) = iψ(x)γ5ψ(x) , V µ (x) = ψ(x)γµ

ψ(x)

Aµ (x) = ψ(x)γµ

γ5ψ(x) , T µν (x) = ψ(x)σµν

ψ(x)

S(x) P(x) V µ (x) Aµ (x) T µν (x)

P S(x) −P(x) Vµ (x) −Aµ (x) Tµν (x)

T S(−x) −P(−x) Vµ (−x) Aµ (−x) −Tµν (−x)

C S(x) P(x) −V µ (x) Aµ (x) −T µν (x)

CPT S(−x) P(−x) −V µ (−x) −Aµ (−x) T µν (−x)

y usamos la notación Vµ = gµνV µ = (V 0,−~V )


Teorema CPT

TQC conserva siempre CPTUna TQC obtenida a partir de un Lagrangiano que:

Sea local (construido con campos en el mismo punto)Sea hermíticoSea invariante relativista

Siempre conserva CPT : masas, vidas medias, cargas (exceptosigno), momentos magnéticos, etc de partículas y antipartículasson exactamente iguales.

C, P, T y CP se violan individualmente en las interaccionesdébiles pero, hasta el momento no se ha encontrado ningúnproceso que viole CPT


Tema 5:Matriz S y secciones eficaces


Contenido

1 Matriz S

2 Teoría de perturbaciones. Desarrollo de la matriz SUn ejemplo en mecánica cuántica no relativista.

3 Secciones eficaces y anchuras de desintegraciónSección eficaz e integral de espacio fásicoRitmos de desintegración

Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 2/27

Descripción del proceso de colisión

Los estados antes y después de la colisión, se puedendescribir como producto directo de estados de partículaslibres.En el experimento lo único que se mide es la probabilidadde transición entre estos estados iniciales y finales.Estas probabilidades se escriben en términos de la matrizS que contiene toda la información sobre la dinámica.Conociendo S se pueden calcular secciones eficaces,ritmos de desintegración. . .El uso de simetrías nos permite obtener información sobrela matriz S pero para calcularla hace falta una teoríadinámica.La TQC nos dará la dinámica necesaria para podercalcular los elementos de la matriz S.

En este tema veremos como se define la matriz S y cómo,conociéndola, se pueden calcular los observables.


¿Cuál es el espacio de Hilbert de una TQC en interacción(fotones y electrones por ejemplo)?Para t →+∞ el espacio de Hilbert es el espacio de Fockproducto directo de los estados de las partículas que puedenescapar de la región de interacción.El problema está en determinar el espectro de la teoría; losnúmeros cuánticos de los estados asintóticos de la teoría:

Si las interacciones son débiles, podemos tratar deadivinar el espectro despreciando las interacciones yestudiando solo la parte cuadrática del Lagrangiano.Si las interacciones son muy fuertes (QCD) el espectro dela teoría será muy diferente de lo que sugiere la partecuadrática del Lagrangiano!


Supondremos de momento que el espectro es conocido ytomamos como base del espacio de Hilbert los estadosestacionarios del Hamiltoniano total

|α〉 , H |α〉= Eα |α〉

〈α ′|α〉= δαα ′ ∑α

|α〉〈α|= 1

Ahora bien, las bases que representan el espacio de Hilbert enel estado inicial y final son en general diferentes.La transformación que nos da el cambio de base es lo quedenominaremos matriz S. Explícitamente sí

|α,−〉 , |β ,+〉

son las dos bases que representan el espacio de Hilbert paraestados iniciales (t →−∞) y finales (t →+∞), definimos

Sβα ≡ 〈β ,+|α,−〉


la matriz S es unitaria

(SS†)βγ = ∑α

〈β ,+ |α,−〉〈α,−|γ,+〉= δβγ .

Los estados |α,−〉 y |β ,+〉 están conectados por el operadorde evolución temporal. Para ver la conexión pasaremos a laimagen de interacción

H = H0 + (H−H0)≡ H0 + ∆H .

H0 es el Hamiltoniano libre que representa las partículasmedidas en el experimento (los parámetros no sonnecesariamente los que aparecen en la parte cuadrática de H)Ahora definimos unos estados propios de H0 pero con losmismos valores propios

H0 |α,0〉= Eα |α,0〉 .


|α,−〉 y |α,0〉 están conectados por los operadores deevolución temporal

|α,−〉= Ω(−∞) |α,0〉 , Ω(t)≡ exp(iHt)exp(−iH0t)

Igualmente

|α,+〉= Ω(+∞) |α,0〉 , Ω(t)≡ exp(iHt)exp(−iH0t)

Así llegamos a la siguiente expresión para la matriz S

Sβα = 〈β ,0|U(+∞,−∞) |α,0〉donde

U(tf , ti) = Ω†(tf )Ω(ti) = exp(iH0tf )exp(−iH(tf − ti))exp(−iH0ti) .

Así si definimos el operador

S = U(+∞,−∞)

la matriz Sβα son los elementos de matriz de este operadorentre estados libres |α,0〉


Serie de Dyson

Para calcular S necesitamos conocer U(tf , ti). Derivandorespecto tf es fácil ver que

ddtf

U(tf , ti) =−iHI(tf )U(tf , ti) , U(ti , ti) = 1

dondeHI(tf )≡ eiH0tf ∆H(t = 0)e−iH0tf

Se puede escribir como una ecuación integral

U(tf , ti) = 1− i∫ tf

tidt1HI(t1)U(t1, ti)

Recursivamente

U(tf , ti) = 1− i∫ tf

tidt1HI(t1) + (−i)2

∫ tf

tidt1∫ t1

tidt2HI(t1)HI(t2) + · · ·


el segundo termino se puede escribir de forma simétrica∫ tf

tidt1∫ t1

tidt2HI(t1)HI(t2) =

∫ tf

tidt1∫ tf

tidt2θ(t1− t2)HI(t1)HI(t2)

=12

∫ tf

tidt1∫ tf

tidt2T (HI(t1)HI(t2))

dónde

T (HI(t1)HI(t2))≡ θ(t1− t2)HI(t1)HI(t2) + θ(t2− t1)HI(t2)HI(t1)

En general

U(tf , ti) =∞

∑n=0

(−i)n

n!

∫ tf

tidt1∫ tf

tidt1 · · ·

∫ tf

tidtnT (HI(t1)HI(t2) · · ·HI(tn))

Así pues

S = U(+∞,−∞) = T(

exp(−i∫ +∞

−∞

dtHI(t))

)Tema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 9/27

Invariancia relativista de S

¿Que deberíamos exigir a H para que S sea invariantePoincaré?

Si HI se escribe en términos de un densidad Hamiltonianaescalar bajo Poincaré

HI(t) =∫

d3~xHI(x) , H ′I (x ′) = HI(x)

tendremos

S = T(

exp(−i∫

d4xHI(x)

).

de forma que la exponencial es invariante relativista.¿Que pasa con la ordenación temporal? Si exigimos que

[HI(x1),HI(x2)] = 0 para (x1−x2)2 ≤ 0

el producto T -ordenado de HI también es invariante. Estaes justo condición de causalidad para dos observablesque ya hemos discutido TQC.


Ejemplo: MQ NR con V (x)≡∆H = gδ (x)

〈x |p,0〉= ψp,0(x) = eipx

〈x |p,−〉= ψp,−(x) = eipx + ρei |px | , ρ =−1

1− ia, a≡ |p|

mg

〈x |p,+〉= ψp,+(x) = eipx + ρ∗e−i |px |

Sp′p = 〈p′,+ |p,−〉= 2πδ (p′−p)− i 2πδ (Ep′−Ep)|p|g

|p|+ img.

Se puede obtener fácilmente usando

Sp′p = 2πδ (p′−p)− i 2πδ (Ep′−Ep)⟨p′∣∣V |p,−〉 ,

y 〈p′|V |p,−〉= gψp,−(0)


La sección eficaz

EscribiremosS = 1 + iT

Usando conservación de momento

〈β |T |α〉= (2π)4δ

4(pβ −pα )Mβα

M es el elemento de matriz reducido (es sencillamenteMβα =−〈β |∆H (0) |α,−〉).Así

Wβα =∣∣Tβα

∣∣2es la probabilidad de que el estado α sea observado como elestado β después de la colisión.Los estados de momento definido no son normalizables y Wβα

contiene factores que están mal definidos. Así en el estadoinicial es conveniente tomar paquetes muy “picados” alrededorde un momento dado.


Paquetes

tomamos pues

|f1, f2〉=∫ d3~k1

(2π)32E(~k1)

d3~k2

(2π)32E(~k2)f1(~k1)f2(~k2)

∣∣∣~k1,~k2

⟩que están normalizados como

〈f1, f2|f1, f2〉

=∫ d3~k1

(2π)32E(~k1)

∣∣∣f1(~k1)∣∣∣2 ∫ d3~k2

(2π)32E(~k2)

∣∣∣f2(~k2)∣∣∣2 = 1

Si definimos

fi(x) =∫ d3~k

(2π)32E(~k)e−ikx fi(~k) .

fi(x) es solución de la ecuación de KG y jugará el papel de unafunción de ondas relativista.


Es fácil ver que

∫d3~xi fi(x)∗

←→∂

µ fi(x)≈∫ d3~k

(2π)32E(~k)

∣∣∣fi(~k)∣∣∣2 k µ

E(~k).

está debidamente normalizada y se puede interpretar comouna densidad de probabilidad.Las componentes espaciales darán el flujo de probabilidad.Si los paquetes están muy “picados” en pi

i fi(x)∗←→∂

µ fi(x)∼ 2pµ

i |fi(x)|2 ,

de forma que

ρi(x)∼ 2Ei

∣∣∣fi(x)∣∣∣2 , ~j ∼ 2~p

∣∣∣fi(x)∣∣∣2

son la densidad y el flujo de probabilidadTema 5: Matriz S y secciones eficaces 15 de octubre de 2009 15/27

Sustituyendo

Wβα = |〈β |T |f1, f2〉|2 =∫ d3~k ′1f ∗1 (~k ′1)

(2π)32E(~k ′1)

d3~k ′2f ∗2 (~k ′2)

(2π)32E(~k ′2)

d3~k1f1(~k1)

(2π)32E(~k1)

d3~k2f2(~k2)

(2π)32E(~k2)

(2π)4δ

4(pβ−k ′1−k ′2)(2π)4δ

4(pβ−k1−k2)M ∗(pβ ,k ′1,k′2)M (pβ ,k1,k2)

Ahora podemos escribir

(2π)8δ

4(pβ −k ′1−k ′2)δ4(pβ −k1−k2) =

(2π)4δ

4(pβ −k1−k2)∫

d4xeix(k1+k2−k ′1−k ′2)

y utilizar que si los paquetes están “picados” en p1 y p2

M (pβ ,k ′1,k′2)∼M (pβ ,k1,k2)∼M (pβ ,p1,p2)


y

Wβα =∫

d4x |f1(x)|2 |f2(x)|2 (2π)4δ

4(pβ−k1−k2)∣∣M (pβ ,p1,p2)

∣∣2o de forma infinitesimaldWβα

d3~xdt= |f1(x)|2 |f2(x)|2 (2π)4

δ4(pβ −p1−p2)

∣∣M (pβ ,p1,p2)∣∣2 .

donde dWβα/(d3~xdt) es la probabilidad de transición porunidad de volumen y por unidad de tiempo.Si la partícula 2 está en reposo definimos la sección eficazcomo

σ =dWβα/(d3~xdt)

(flujo− incidente)(densidad−blanco).

Usando los resultados anteriores

σβα = (2π)4δ

4(pβ −p1−p2)

∣∣M (pβ ,p1,p2)∣∣2

4m2∣∣~p1∣∣


Versión rápida

Wβα = (2π)4δ

4(0)(2π)4δ

4(pβ −pα )|Mβα |2 =

=∫

d3~xdt(2π)4δ

4(pβ −pα )|Mβα |2

donde(2π)4

δ4(0) =

∫d4xe−i0x =

∫d3~xdt

así puesdWβα

d3~xdt= (2π)4

δ4(pβ −pα )|Mβα |2

que se puede usar para calcular la sección eficaz

σ =dWβα/(d3~xdt)

(flujo− incidente)(densidad−blanco)


Para ondas planas ψ(x) = e−ipx

iψ(x)∗←→∂

µψ(x) = 2pµ

i

de forma queρ(x)∼ 2E , ~j ∼ 2~p

y para un blanco en reposo E2 = m2

σβα = (2π)4δ

4(pβ −p1−p2)

∣∣M (pβ ,p1,p2)∣∣2

4m2∣∣~p1∣∣


Factor de flujo invariante

El factor de flujo se puede escribir de una forma invarianteLorentz

m2∣∣~p1∣∣= m2

√E2

1 −m21 =

√(p1p2)2−m2

2m21 ≡

12

√λ (s,m2

1,m22)

donde s = (p1 + p2)2 y

λ (a,b,c) = a2 + b2 + c2−2ab−2ac−2bc

así

σβα = (2π)4δ

4(pβ −p1−p2)

∣∣M (pβ ,p1,p2)∣∣2

2√

λ (s,m21,m2

2)

Para haces de colineales el factor de flujo también se puedeescribir cómo √

(p1p2)2−m22m2

1 = E1E2∣∣~v1−~v2

∣∣con ~vi =~pi/Ei .


Sección eficaz e integral de espacio fásico

La formula considera estados de momento completamentedefinido. En general la resolución en momentos es finita ydeberemos sumar para todos los momentos finales observados

dσ =∫

∏i

d3~qi

(2π)32Ei(|~qi |)(2π)4

δ4(pβ−p1−p2)

∣∣M (pβ ,p1,p2)∣∣2

2√

λ (s,m21,m2

2),

La integral∫dΦn =

∫ n

∏i

(d3~qi

(2π)32Ei(|~qi |)

)(2π)4

δ(4)(∑

iqi −p1−p2)

se denomina integral de espacio fásico y caracteriza ladensidad de estados finales.La δ (4)(∑i qi −p1−p2) permite integrar cuatro de las variablesAdemás en muchos casos, la geometría del sistema, hará quenada dependa de algunas de las otras variables y se puedantambién integrar.


Espacio fásico de dos partículas en CM

Para una colisión p1,p2→ q3,q4 (con masas m1,m2, m3,m4

respectivamente) definimos Ei(x) =√

x2 + m2i . Así en el

sistema CM (~p2 =−~p1) tendremos∫dΦ2 =

∫ d3~q3

(2π)32E3(|~q3|)d3~q4

(2π)32E4(|~q4|)(2π)4

δ4(q3 +q4−p1−p2)

=∫ d3~q3

(2π)22E3(|~q3|)2E4(|~q3|)δ (E3(|~q3|) + E4(|~q3|)−

√s)

=∫ dΩ

∣∣~q3∣∣2

16π2E3(|~q3|)E4(|~q3|)

( ∣∣~q3∣∣

E3(|~q3|)+

∣∣~q3∣∣

E4(|~q3|)

)−1

=∫

dΩ

∣∣~q3∣∣

16π2√

s=∫

dΩ

√λ (s,m2

3,m24)

32π2s


además hemos usado que en CM

∣∣~q3∣∣=

√λ (s,m2

3,m24)

2√

sAsí la sección eficaz diferencial será

dσ

dΩ=

√λ (s,m2

3,m24)

32π2s|M |2

2√

λ (s,m21,m2

2)=

√λ (s,m2

3,m24)

λ (s,m21,m2

2)

|M |2

64π2s

Para una colisión elástica (m3 = m1, m4 = m2)

dσ

dΩ=|M |2

64π2sPara partículas con espín pero colisiones con haces nopolarizados y si no medimos espines finales tendremos

dσ =dΦn

2√

λ (s,m21,m2

2)∑spin |M |

2


donde si s1 y s2 son los espines de las partículas iniciales,hemos definido

∑spin |M |2 ≡ 1

(2s1 + 1)(2s2 + 1) ∑spin|M |2 .

Para dos partículas finales tenemos que

dσ

dΩ=

1(2s1 + 1)(2s2 + 1)

√λ (s,m2

3,m24)

λ (s,m21,m2

2)

164π2s ∑

spin|M |2

Para el caso de dos partículas idénticas en el estado final hayque añadir un factor 1/2 en la sección eficaz total para tener encuenta que hemos contado dos veces la misma cantidad.


Ritmos de desintegración

Los ritmos (o anchuras) de desintegración (o anchuras dedesintegración) para partículas inestables se definen como

Γ≡ Desintegraciones/unidad− tiempoNumero−particulas

En el sistema en que la partícula, de masa M, está en reposo

dΓ =Wβα

Densidad−particulas=

12M

dΦn∑spin |M |2

Para una partícula de masa M que se desintegra a dospartículas de masas m1 y m2

Γ =

√λ (M2,m2

1,m22)

64π2M3

∫dΩ∑spin |M |

2


Anchura, vida media y Breit-Wigner

En MQ MR los estados inestables (resonancias) la amplitud dede colisión se comporta como

f (E) ∝1

E −E0 + iΓ/2,

mientras la sección eficaz tiene la forma de Breit-Wigner

σ ∝1

(E −E0)2 + Γ2/4.

La evolución temporal de este estado viene dada por unafunción de onda de la forma

ψ(t) ∝ e−i(E0−i Γ2 )t , |ψ(t)|2 ∼ e−Γt , τ = 1/Γ

E0→ E0− iΓ/2. Esencial el signo de la parte imaginaria.


Caso relativista

¿Qué pasa en el caso relativista?

f (p2) ∝1

p2−M2 + iMΓ=

1(p0)2−~p2−M2 + iMΓ

∼ 12Ep(p0−Ep + iMΓ/(2Ep))

con p0 ∼ Ep =√

~p2 + M2. Vemos que Γ(E) = (M/Ep)Γ deacuerdo con la dilatación temporal relativista.Es como si la masa tuviera una pequeña parte imaginariaM2→M2− iMΓ.Nótese la similitud entre f (p2) y el propagador de Feynman1/(p2−M2 + iε)Para partículas inestables las correcciones de orden superiormodifican el propagador ε → ΓM. El signo de ε esencial paraque Γ > 0 y tenga la interpretación correcta.


Tema 6:Campos en interacción I:

Cuantización y reglas de Feynman de λφ4

Arcadi Santamaria

5 de noviembre de 2009

Contenido

1 Campos con interaccionesTeorías renormalizables y no renormalizables

2 Cuantización y teoría de perturbacionesCuantizaciónLa imagen de interacción y teoria de perturbacionesCálculo de una sección eficaz

3 Teorema de Wick y reglas de Feynman para λφ4

El teorema de WickReglas de Feynman para λφ4

Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 2/41

Campos con interacciones

Para describir interacciones necesitamos añadir al lagrangianotérminos con más de dos campos que cumplan las siguientescondiciones:

1 Invariancia relativista: deben ser escalares bajotransformaciones de Lorentz.

2 Causalidad: Tienen que ser locales, es decir todos loscampos tienen que estar en el mismo punto.

3 (*) Términos con dimensión menor o igual a cuatro.Para el campo escalar podemos escribir

L =12

∂µφ∂µ

φ − 12

m2φ

2− λ

4!φ

4

Usando π = φ el Hamiltoniano es

H =12

π2 +

12

∣∣∣~∇φ

∣∣∣2 +12

m2φ

2 +λ

4!φ

4 ≡H0 + ∆H


conH0 ≡ 1

2π

2 +12

∣∣∣~∇φ

∣∣∣2 +12

m2φ

2

el Hamiltoniano libre y

∆H =λ

4!φ

4

el término de interacción. De la fórmula de Dyson M vendrádada por una serie de potencias en λ empezando comomínimo en λ

σ ∝ λ2 (1 +O(λ ))

[σ ] = [M]−2 y [φ ] = [M] y λ no tiene dimensiones. Para E mla sección eficaz se comportará como

σ ∝λ 2

E2 (1 +O(λ ))


Teorías renormalizables y no renormalizables

Este comportamiento es perfectamente razonable: teoríasrenormalizables.Imaginemos ahora una interacción de la forma φ6

∆H =1

Λ2 φ6

En ese caso

σ ∝E2

Λ4

(1 +O

(E2

Λ2

))a energías muy bajas E Λ estas interacciones sondespreciables, son irrelevantes, mientras a energías muy altasE Λ las secciones eficaces crecen de forma descontrolada yla serie de potencias obtenida no tiene sentido: teorías norenormalizables.


De momento nos limitaremos a interacciones con dimension≤ 4. En el caso escalar solo tenemos φ ,(∂φ)2, φ2, φ3, φ4

En el caso de Dirac [ψ] = M3/2 y no es posible construirinteracciones renormalizables con solo fermiones: unainteracción de la (ψψ)2 es de dimensión 6Si tenemos fermiones y escalares podemos escribir elsiguiente Lagrangiano (de Yukawa) renormalizable

LYukawa = LDirac +LKG−gψψφ

con [g] = M0


Cuantización y teoría de perturbaciones

La ecuación de movimiento de la autointeracción escalar es(∂

2 + m2)

φ =− λ

3!φ

3

no es lineal y no tiene una solución analítica.El caso de la interacción de Yukawa no es mejor: hay dosecuaciones acopladas(

∂2 + m2

)φ = −gψψ(

i /∂ −m)

ψ = gψφ

cuya solución es altamente no lineal.A pesar de todo podemos cuantizar el sistema. En el caso dela interacción escalar imponemos[

φ(~x , t),π(~y , t)]

= iδ (3)(~x −~y)

mientras los otros conmutadores a tiempos iguales son cero.Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 7/41

La evolución temporal

Estas reglas de conmutación junto a las ecuaciones deHeisenberg

−i φ = [H,φ ] , −i π = [H,π]

y la forma del Hamiltoniano conducen a la ecuación demovimiento.Estas ecuaciones definen completamente la teoría cuántica.Aunque la solución formal de la ecuación de Heisenberg es

φ(~x , t) = eiHtφ(~x ,0)e−iHt

es difícil de desarrollar si H contiene interacciones.


Uso de la función de Green

¿Qué tipo de soluciones esperamos encontrar? Usando lafunción de Green

φ(x) = φ0(x)− iλ

3!

∫d4x ′DR(x−x ′)φ

3(x ′)

De forma recursiva tendremos

φ(x) = φ0(x)− iλ

3!

∫d4x1DR(x −x1)φ

30 (x1) + · · ·

sustituyendo φ0 por su desarrollo en términos a(~p) vemos queφ(x) puede crear y destruir no sólo estados de una partículasino de 3, de 4 etc. y tiene una expresión muy complicada entérminos de operadores a(~p).


Paso a la imagen de interacción

Alternativamente usaremos un tratamiento basado en laimagen de interacción que nos permitirá calcular directamenteMβα .Así tendremos

HI(t)≡ eiH0t ∆H(t = 0)e−iH0t .

Definiendo los campos en la imagen de interacción

φI(~x , t)≡ eiH0tφ(~x ,0)e−iH0t , πI(~x , t)≡ eiH0t

π(~x ,0)e−iH0t

tendremos que

HI(t) = ∆H(φI(~x , t),πI(~x , t))

Derivando respeto t

−i φI = [H0,φI ] , −i πI = [H0,πI ] ,


donde

H0 = H0(φ(~x ,0),π(~x ,0)) = H0(φI(~x , t),πI(~x , t))

=12

∫d3~x

(π

2I +

∣∣∣~∇φI

∣∣∣2 + m2φ

2I

)φI(~x , t),πI(~x , t) satisfacen relaciones de conmutación canónicas[

φI(~x , t),πI(~y , t)]

= iδ (3)(~x−~y) .

Las ec. de Heisenberg y las reglas de conmutación sonequivalentes a las ec. de movimiento. Como H0 es elHamiltoniano libre tendremos

πI = φI , (∂2 + m2)φI = 0 .

y φI(~x , t),πI(~x , t) se desarrollaran en a(~p) y a†(~p)

φI(x) =∫

dp(

a(~p)e−ipx + a†(~p)eipx)


Estados libres y estados propios de H

Sí |0〉 es el estado fundamental de H0, H0 |0〉= 0, a†(~p)actuando sobre |0〉 crea los estados propios de H0.Todos estos estados, incluido |0〉, no son propios delHamiltoniano total, H, cómo es fácil de comprobar si escribimos

φ(~x ,0) =∫

dp(

a(~p)ei~p~x + a†(~p)e−i~p~x)

y por tanto

H =∫

dpEp

2(a†(~p)a(~p) + a(~p)a†(~p)

)+

λ

4!

∫dp1dp2dp3dp4

(δ

(3)(~p1 +~p2 +~p3 +~p4)a†(~p1)a†(~p2)a†(~p3)a†(~p4) + · · ·)

y :H: |0〉 contiene estados de cuatro partículas libres.|0,−〉 y |0,+〉 son propios del hamiltoniano entero y son unacombinación lineal de |0〉 y otros estados libres.


Elementos de matriz S

La N-ordenación del Hamiltoniano no garantiza que el estadode mínima energía del Hamiltoniano total tenga energía cero:Si queremos que también el estado de mínima energía delHamiltoniano total tenga energía cero tendremos que añadiruna constante al Hamiltoniano de interacción que permitaajustar la energía total a cero.Dado un Hamiltoniano lo podemos utilizar para calcular loselementos de la matriz S

Sβα = 〈β |T(

exp(−i∫

d4xHI(x)

))|α〉

donde |α〉 y |β 〉 son propios de H0 se podrán generar a partir|0〉 haciendo actuar los operadores de creación de φI . AdemásHI es una función de φI y por lo tanto expresable en términosde operadores de creación y destrucción.


Para calcular los elementos de matriz, a un orden dado en elHamiltoniano de interacción, será suficiente desarrollar laexponencial y utilizar las relaciones de conmutación de losoperadores de creación y destrucción.Por ejemplo. Consideremos φφ → φφ , tendremos

Sp3,p4;p1p2 ≈ 〈p3p4|(

1− i∫

d4xHI(x) + · · ·)|p1p2〉

= 〈0|a(p3)a(p4)

(1− i

∫d4xHI(x) + · · ·

)a†(p1)a†(p2) |0〉

si escribimos ai ≡ a(pi) y δij ≡ 2E(pi)(2π)3δ (3)(~pi −~pj) el primertérmino da

a3a4a†1a†

2 |0〉= a3

(δ41 + a†

1a4

)a†

2 |0〉= a3

(δ41a†

2 + δ42a†1

)|0〉


Igualmente

a3a4a†1a†

2 |0〉= (δ41δ32 + δ42δ31) |0〉

y

〈p3p4 |p1p2〉= 〈0|a(p3)a(p4)a†(p1)a†(p2) |0〉= δ41δ32 + δ42δ31

el primer término nos da la relación de normalización paraestados de dos partículas idénticas bosónicas. GráficamenteContribucion de la identidad

p1

p2

p3

p4

+

p1

p2

p3

p4


El segundo término es más interesante ya que nos dará elelemento de matriz de transición. Si S = 1 + iT

i T (0)p3,p4;p1p2

≈−iλ

4!

∫d4x 〈0|a(p3)a(p4) : φ

4I (x) : a†(p1)a†(p2) |0〉

donde suponemos que HI está N-ordenado.: φ4I (x) : contiene

todos los productos posibles de operadores de creación ydestrucción N-ordenados.Solo dan contribuciones productos con dos operadores decreación y dos de destrucción,

i T (0)p3,p4;p1p2

≈−iλ

4!

(42

) ∫d4x

∫dk1dk2dk3dk4e−i(k1+k2−k3−k4)x

×〈0|a(p3)a(p4)a†(k3)a†(k4)a(k1)a(k2)a†(p1)a†(p2) |0〉

donde hemos utilizado que hay(

42

)= 4!

2!2! términos de este

tipo.Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 16/41

Usando relaciones como a3a4a†1a†

2 |0〉= (δ41δ32 + δ42δ31) |0〉reducimos el elemento de matriz.Las δij usan para integrar los momentoski . El resultadoconsiste en cambiar ki → pi y añadir un factor 4 = 2!2! por lacontribución de las funciones delta

i T (0)p3,p4;p1p2

≈−iλ

4!

4!

2!2!2!2!

∫d4x e−i(p1+p2−p3−p4)x

=−i λ (2π)4δ

(4)(p1 + p2−p3−p4)

donde la integración en x nos da la delta de conservación demomentoComparando con la definición de M ,i T (0)

p3,p4;p1p2= (2π)4δ (4)(p1 + p2−p3−p4) i M (0)(p3,p4;p1,p2)

encontramosi M (0)(p3,p4;p1,p2) =−iλ


La sección eficaz

tomando el cuadrado y añadiendo los factores de espaciofásico obtenemos la sección eficaz diferencial

dσ

dΩ

∣∣∣∣CM

=λ 2

64π2s,

Integrando el ángulo sólido obtenemos y multiplicando por elfactor 1

2 de partículas idénticas obtenemos a sección eficaztotal

σtotal =λ 2

32π sque para sm, es decir E m, tiene el comportamiento queesperábamos por análisis dimensional∼ λ 2/E2


El vértice

Cálculo largo pero resultado muy simple.Útil definir reglas que permitan llegar al resultado sin reproducirtodos los pasos:Para cuatro partículas iniciales en : φ4

I : sólo hay un productocon cuatro a(pi) que tiene 4! formas posibles de contraersecon los a†(p) externos: M contiene un factor 4! como antesAsí si definimos las contracciones

φ I(x)a†(p) |0〉= e−ipx , 〈0|a(p)φI(x) = eipx

escribiremos por ejemplo

〈0| :φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(x) :a†(p4)a†(p3)a†(p2)a†(p1) |0〉

=∫

d4xe−i(p4+p3+p2+p1)x = (2π)4δ

4(p4 + p3 + p2 + p1)


y las 4! posibles contracciones dan el mismo resultado.Generalizable a todas las combinaciones de cuatro partículas:

Siempre obtenemos un factor 4! y un producto deexponenciales e−ipx para partículas en el estado inicial yeipx para partículas en el estado final.El producto de exponenciales nos da justo la delta deconservación de momentos.4! cancela el 1/4! que multiplica λ en el Lagrangiano.Así iM =−iλ para cualquier combinación de cuatropartículas.

Natural definir la contribución de un vértice de cuatro partículascon el factor −iλ y la delta de conservación de momentos.Este resultado se obtiene del Lagrangiano ∆L =− λ

4!φ4 si lo

derivamos cuatro veces respecto φ y multiplicamos por i .Generalizable a todo tipo de interacción.


Teorema de Wick

A órdenes superiores nos aparecen términos comoT (HI(x)HI(y)).Nos gustaría poder reducir estos productos T-ordenados aproductos N-ordenados de forma que pudiéramos utilizar losresultados anteriores: Teorema de WickPara dos campos (φ campos libres) es fácil ver que

φ(x)φ(y) =: φ(x)φ(y) : +〈0|φ(x)φ(y) |0〉donde 〈0|φ(x)φ(y) |0〉= D(x −y). Además

: φ(x)φ(y) :=: φ(y)φ(x) :

Finalmente, utilizando estos dos resultados

T (φ(x)φ(y)) =: φ(x)φ(y) : +〈0|T (φ(x)φ(y)) |0〉


Usaremos la notación

〈0|T (φ(x)φ(y)) |0〉 ≡ DF (x −y)≡ φ(x)φ(y)

así

T (φ(x)φ(y)) =: φ(x)φ(y) : +φ(x)φ(y)

El teorema de Wick, que se demuestra por inducción, no esmás que la extensión de este resultado al producto de unnúmero arbitrario de campos:

Teorema de WickEl producto T-ordenado de n campos es la suma N-ordenadade todas las posibles contracciones por parejas que se puedenhacer con los campos.


Ejemplo: Wick para cuatro campos

Para cuatro campos tendremos (φi ≡ φ(xi))

T (φ1φ2φ3φ4) =: φ1φ2φ3φ4 : + : φ1φ2 φ3φ4 : + : φ1φ2φ3φ4 : + : φ1φ2φ3φ4 :

+ : φ1 φ2φ3φ4 : + : φ1 φ2φ3φ4 : + : φ1φ2 φ3φ4 :

+ φ1φ2 φ3φ4 +φ1φ2φ3φ4 +φ1φ2φ3φ4 .

En estas expresiones el producto normal afecta a los camposno contraídos. Así

: φ1φ2φ3φ4 := DF (x1−x4) : φ2φ3 :


Aplicación a la serie de Dyson

En la serie de Dyson no tenemos productos T-ordenados decampos pero productos T-ordenados de Hamiltonianos que sonproductos N-ordenados de campos en el mismo punto.

Generalización del teorema de WickEl producto T-ordenado de operadores locales construidos conproductos N-ordenados de campos es la suma N-ordenada detodas las posibles contracciones por parejas que se puedenhacer con los campos excluyendo todas las contraccionesdentro de un mismo operador.

Intuitivamente: las contracciones se originan cuandocambiamos el orden de los campos para pasar al ordennormal. Si los campos dentro del operador ya están en ordennormal es natural que las contracciones dentro del mismooperador no contribuyan.¿Que pasaría si no N-ordenamos HI?


Ejemplo de amplitud a orden λ 2

Utilizando el teorema de Wick podemos probar a calcular lascontribuciones, a segundo orden en λ , a la colisión elástica dedos partículas escalares. Estas vendrán dadas por el tercertérmino en la serie de Dyson (volvemos a utilizar φI porclaridad)

i T (1)p3,p4;p1p2

≈ (−i)2

2!

∫d4xd4y 〈0|a(p3)a(p4)T (HI(x)HI(y))a†(p1)a†(p2) |0〉

=(−i)2

2!

(λ

4!

)2 ∫d4xd4y 〈0|a(p3)a(p4)T

(:φ4

I (x)::φ4I (y):

)a†(p1)a†(p2) |0〉

Primero usamos el T. de Wick para desarrollar el productoT-ordenado en productos N-ordenados.Luego contremos los productos N-ordenados con laspartículas externas.


Consideremos las contracciones solo entre campos como

a(p3)a(p4)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(y)φ I(y)φ I(y)φ I(y)a†(p1)a†(p2) .

Gráficamente

Contribución del vacío a la normalización del estado de dos par-tículas

×


El vacío

Contribución parecida a la que viene del 1 del desarrollo de lamatriz S.Parece como si cambiara la normalización de los estados dedos partículas. No es posible, los estados deben estarcorrectamente normalizados.La misma corrección se encuentra si calculamos S entreestados |0〉

〈0,+ |0,−〉= 〈0|S |0〉= 1 + + · · ·

Pero el vacío, ha de ser estable: si tenemos un estado sinninguna partícula y lo dejamos evolucionar, no puede cambiara otro estado!


Al obtener la fórmula para S supusimos que los estados, |0〉,|0,−〉 y |0,+〉 tienen energía 0. Pero hemos visto que laN-ordenación del Hamiltoniano no garantiza H |0,−〉= 0Si H |0,−〉= E0 |0,−〉 y H |0,+〉= E0 |0,+〉 tenemos que

〈0,+ |0,−〉= l«ımT→+∞

〈0,−|e−iH2T |0,−〉= l«ımT→+∞

e−i2E0T

una fase pura!

Solución:Cuando hay interacción no es suficiente con N-ordenar elHamiltoniano para garantizar E0 = 0. Hay que definir elHamiltoniano con substracciones adicionales

HI(x)→HI(x)−ρ0 con ρ0 ≡ E0/V

Suficiente para eliminar todas las contribuciones que modificanla normalización de los estados.


Alternativa y equivalentemente:Podemos seguir trabajando con un Hamiltoniano con mínimaenergía no nula, pero entonces tendremos que dividir todas lasamplitudes por 〈0,+ |0,−〉 para eliminar esta fase.

Conclusión:Si definimos correctamente el Hamiltoniano y el vacío de lateoría podemos ignorar estas contribuciones que cambian lanormalización del estado fundamental y vienen dadas pordiagramas (o trozos de diagrama) completamentedesconectados de las partículas externas.


Estados de una partícula

Consideramos ahora contribuciones de la forma


que se pueden representar como la figuraAutoenergías

p1 p3

p2 p4

También modifica la definición de los estados!Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 30/41

Si estudiamos el elemento de matriz de los estados de unapartícula

〈p3,+ |p1,−〉= 〈p3|S |p1〉= (2π)32Ep1δ(3)(~p3−~p1)+ +· · ·

Pero los estados de una sola partícula son estables!El problema está en la separación que hemos hecho delHamiltoniano en parte libre y parte de interacción:H0 es el Hamiltoniano de partículas libres con la misma masa ynúmeros cuánticos que los estados asintóticos delHamiltoniano completo H.Así

H = H0 + H−H0 ≡ H0 + ∆H

es el punto de partida de nuestra teoría de perturbaciones.


Definiremos un campo escalar Φ, y construiremos unHamiltoniano de KG libre con campo Φ y masa mf , H0(Φ,mf ),El Hamiltoniano completo está escrito en términos del campoφ , la masa m, y la constante de acoplamiento λ ,H(φ ,m,λ ). Así

∆H = H(φ ,m,λ )−H0(Φ,mf )

Obviamente, Φ y mf están relacionados con φ y m. Si λ espequeña

Φ = φ

(1 + b1λ

2 + · · ·)

, m2f = m2

(1 + c1λ

2 + · · ·)

Claramente hemos ido demasiado lejos escribiendoΦ = φ y mf = mSi Φ es diferente de φ , y mf de m podemos ir ajustando los b’sy c’s (como hemos hecho con la energía del vacío) de formaque los estados de una partícula estén correctamentenormalizados y representen partículas con masa física.


Si no definimos correctamente los estados de una partículatendremos diagramas comoAutoenergia en pata externa

φ

φ

φ

φ

que nos pueden crear muchos problemas: en la figura hay unacontribución proporcional a i/(p2−m2) que se debe calcular enp2 = m2.Si los estados de una partícula están normalizadoscorrectamente las autoenergías en patas externas nocontribuyen y las podemos ignorar.


Diagramas que no están completamente conectados a laspatas externas corresponden a redefiniciones de los estados.Diagramas con autoenergías en patas externas, tampococontribuyen si los estados de una partícula están definidoscorrectamente.Así para calcular iM a un orden dado en λ tenemos lassiguientes reglas:

1 Dibujamos todos los diagramas topológicamentediferentes a un orden dado λ .

2 Eliminamos los diagramas que no estén completamenteconectados con las líneas externas.

3 Eliminamos todos los diagramas que tengan algunaautoenergía en líneas externas (amputamos).

4 Sumamos las contribuciones de todos los diagramas quequedan.

Sólo queda ver como calcular los diagramas restantes.Arcadi Santamaria Tema 6: Campos en interacción I: Cuantización y reglas de Feynman de λφ4 5 de noviembre de 2009 34/41

Solo contracciones que dejan cuatro campos sin contraerdarán contribuciones no triviales. Por ejemplo


Gráficamente

Contribución a orden λ 2

k1

k2 = p3 + p4 − k1p1

p2

p3

p4

y x


que da ∫d4xd4yei(p3x+p4x−p1y−p2y)DF (x −y)DF (x −y)

Ahora usamos que

DF (x) =∫ d4k

(2π)4 e−ikx ik2−m2 + iε

para escribir∫ d4k1

(2π)4d4k2

(2π)4

∫d4xd4yei(p3x+p4x−p1y−p2y)e−ik1(x−y)e−ik2(x−y)

× ik2

1 −m2 + iεi

k22 −m2 + iε

=


=∫ d4k1

(2π)4d4k2

(2π)4 (2π)4δ

(4)(p1 +p2−k1−k2)(2π)4δ

(4)(k1 +k2−p3−p4)

× ik2

1 −m2 + iεi

k22 −m2 + iε

= (2π)4δ

(4)(p1 + p2−p3−p4)

×∫ d4k1

(2π)4i

k21 −m2 + iε

i(p3 + p4−k1)2−m2 + iε

Cada propagador introduce su correspondiente integral demomentosEn cada Hamiltoniano (cada vértice) nos aparece siempreun producto de exponenciales que después de integradoda lugar a una delta de conservación del momento.


Así ( Hay un factor de simetría Sg = 2)

iM (1)a =

(−iλ )2

2

∫ d4k1

(2π)4i

k21 −m2 + iε

i(p3 + p4−k1)2−m2 + iε

La amplitud iM (1)a se obtiene de la siguiente forma:

Las líneas externas sólo nos generan las exponencialesque en último término garantizan la conservación delmomento.Ponemos un factor (−iλ ) en cada vértice y exigimosconservación de momento en cada vértice.Ponemos un propagador de Feynman (con el momentocorrespondiente) por cada línea interna.Integramos

∫d4k1/(2π)4 en el momento que queda

indeterminado.Dividimos por el factor de simetría.


Diagramas como el considerado, con un momentoindeterminado, se denominan diagramas a “un lazo” (eninglés un “loop”). Habrá tantas integrales de momentoscomo lazos en el diagramaDiagramas sin lazos se denominan a “nivel árbol” (eninglés “tree level”). Su cálculo no requiere ninguna integraly dan lugar a amplitudes que son funciones racionales delos productos de momentos invariantes que intervienen enel proceso.


Los restantes diagramas son

Otras contribuciones orden λ 2

k1k2 = p3 − p1 − k1

p1

p2

p3

p4y

x

k1k2 = p4 − p1 − k1

p1

p2

p3

p4y

x

que dan las siguientes contribuciones:

M(1)b = M

(1)a (p4→−p1) , M

(1)c = M

(1)a (p3→−p1)

de forma que

M (1) = M(1)a +M

(1)b +M

(1)c

La integral en momentos presenta algunas complicacionesadicionales y la dejaremos para más adelante.


Reglas de Feynman para λφ41. Por ada línea externaa) de es alares entrando pondremos 1

k −→b) de es alares saliendo pondremos 1

k −→2. En ada vérti e de uatro es alares impondremos la onserva ión del uadrimomento e insertaremos un fa torφ

φ

φ

φ

−iλ3. Por ada línea interna de es alares insertaremos un propagador de es- alark −→i

k2 −m2 + iǫ4. Integraremos sobre todos los momentos indeterminados en los bu lesañadiendo una integral ∫d4k

(2π)4por ada momento indeterminado.5. Dividiremos por el fa tor de simetría Sg que viene determinado por elnúmero de ontra iones equivalentes del diagrama.


Tema 7:Campos con interacciones II:Generalización y Aplicaciones

Arcadi Santamaria


Contenido

1 Reglas de Feynman: GeneralizacionesGeneralización a interacciones entre varios camposCampos escalares complejosReglas de Feynman para campos de Dirac

2 Cálculo de observablesSumas sobre espines

3 AplicacionesDesintegración de un escalar en fermionesInteracción del bosón de Higgs con fermionesSección eficaz fermión-fermión

4 Acoplamientos con derivadas

Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 2/38

Generalización a interacciones entre varios campos

Si hay varios campos escalares φ1, φ2, ...∆L : suma de monomios de productos de los diferentescampos.Vértices elementales: se obtienen derivando losmonomios de la densidad Lagrangiana respecto todos loscampos tantas veces como haga falta hasta obtener unaconstante y el resultado se multiplicará por i .

Ejemplo:

Si ∆L = gφ21 φ3

2 : interacción entre 2 partículas del campo φ1 y3 del campo φ2 y el vértice elemental será ig 2!3!

La cancelación del factor 1/n! la exponencial se sigueproduciendo (quizá no completamente) debido a lacombinatoria del producto de Hamiltonianos. Si HI = H1 +H2

HI(x)HI(y) = H1(x)H1(y)+H2(x)H2(y)+H1(x)H2(y)+H2(x)H1(y)


Campos escalares complejos

Para campos escalares complejos

φI(x) =∫ d3~p

(2π)32Ep

(a(~p)e−ipx + b†(~p)eipx

),

Inmediatamente tenemos

φ I(x)φI(y) = 0 , φ†I (x)φ

†I (y) = 0

solo contracciones de φ con φ †

φ I(x)φ†I (y)≡ 〈0|T (φI(x)φ

†I (y)) |0〉= DF (x −y) .

Además

φ I(x)a†(p) = e−ipx , φ†I (x)b†(p) = e−ipx

a(p)φ†I (x) = eipx , b(p)φI(x) = eipx .


El teorema de Wick igual pero sólo contracciones entrecampos y campos conjugados.Para determinar los vértices derivamos el Lagrangianorespecto los campos considerando φ y φ † como camposindependientes. Por ejemplo ∆L =−λ |φ |4 =−λφ2 (φ †

)2

conduce a un vértice −4iλ da lugar a φ + φ → φ + φ

,φ + φ → φ + φ o φ + φ → φ + φ conservando la carga.

Regla adicional para campos complejos:Las líneas de campos complejos transportan carga que se tieneque conservar en cada vértice.

En líneas externas el flujo de carga está fijado por el flujode momento y por el hecho de ser partículas oantipartículas.En líneas internas siempre podremos elegir el flujo decarga en la misma dirección que el del momento.


Ejercicios

Ejercicio 1:Dibujad los diagramas que contribuyen a φ + φ → φ + φ yφ + φ → φ + φ a segundo orden en la interacción∆L =−µ ϕ |φ |2 (φ es un campo complejo, ϕ un campo real yµ la constante de acoplamiento).Escribid las amplitudes.

Ejercicio 2:Dibujad los diagramas que contribuyen a φ + φ → φ + φ yφ + φ → φ + φ a segundo orden en la interacción ∆L =−λ |φ |4(φ es un campo complejo).Escribid las amplitudes.


Reglas de Feynman para campos de Dirac

Los campos de Dirac son en cierta forma parecidos a loscampos de Klein-Gordon complejos puesto que son complejosy en general transportan algún tipo de carga:

Solo habrá contracciones no nulas entre campos ycampos conjugados.La carga se conservará en todos los vértices.

Pero, aquí se acaba todo el parecido ya que:Los campos de Dirac satisfacen reglas deanticonmutación.Los campos de Dirac tienen índices de Dirac

Diferencias que se manifiestan en la construcción de las reglasde Feynman


Teorema de Wick para campos de Dirac

Como en el caso del campo escalar complejo tendremos

T (ψa(x)ψb(y)) =:ψa(x)ψb(y): +〈0|T (ψa(x)ψb(y)) |0〉

pero hay un signo menos en el producto T-ordenado

T (ψa(x)ψb(y)) = θ(x0−y0)ψa(x)ψb(y)−θ(y0−x0)ψb(y)ψa(x)

Así:ψa(x)ψb(y):=− :ψb(x)ψa(y):

Teorema de Wick para campos de DiracSolo se contraen campos ψa con campos ψb

Cada vez que debamos cambiar el orden de un par decampos de Dirac para hacer una contracción tendremosque añadir un signo menos.


El propagador de Feynman

Las contracciones dan el propagador de Feynman que es unamatriz de Dirac

ψ(x)ψ(0) = 〈0|T (ψ(x)ψ(0)) |0〉= SF (x) =

=∫ d4p

(2π)4

i(/p + m

)p2−m2 + iε

e−ipx =∫

CF

d4p(2π)4

i/p−m

e−ipx

con los índices de los campos ψaψb que no hemos escritoexplícitamente.La dirección del cuadrimomento es relevante en líneasfermiónicas internas.


Las contracciones con líneas externas

ψ(x) = ∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

(a(~p,s)u(~p,s)e−ipx + b†(~p,s)v(~p,s)eipx

)

ψ(x) = ∑s

∫ d3~p(2π)32Ep

(a†(~p,s)u(~p,s)eipx + b(~p,s)v(~p,s)e−ipx

)y las contracciones con líneas externas darán:

ψ(x)a†(p) = u(~p,s)e−ipx , ψ(x)b†(p) = v(~p,s)e−ipx

a(p)ψ(x) = u(~p,s)eipx , b(p)ψ(x) = v(~p,s)eipx

Aparecen los espinores de Dirac que llevan los índices de loscampos.


Bucles fermiónicos

Búcles fermiónicosPor cada lazo fermiónico, además de la integral en el momentoindefinido, tenemos que añadir un signo menos y tomar la trazasobre los índices de Dirac.

Por ejemplo, sea la interacción ∆L =−gψ(x)ψ(x)φ(x) .A orden cuatro, con todos los campos fermiónicos contraídosentre ellos, genera una interacción entre cuatro camposescalares. Los campos fermiónicos se pueden contraer de lasiguiente forma

(ψa(x1)ψa(x1))(ψb(x2)ψb(x2))(ψc(x3)ψc(x3))(ψd (x4)ψd (x4))

La contracción del primer campo ψa y el último ψd está en elorden incorrecto (ψa a la izquierda y ψd a la derecha).


Para poner estos dos campos en el orden correcto hay quepermutarlos y se genera un signo menos

(ψa(x1)ψa(x1))(ψb(x2)ψb(x2))(ψc(x3)ψc(x3))(ψd (x4)ψd (x4))

=−ψa(x1)ψb(x2)ψb(x2)ψc(x3)ψc(x3)ψd (x4)ψd (x4)ψa(x1)

=−SF (x1−x2)abSF (x2−x3)bcSF (x3−x4)cdSF (x4−x1)da

=−TrSF (x1−x2)SF (x2−x3)SF (x3−x4)SF (x4−x1)Como el índice inicial, a, y final, a, son el mismo esta cantidadrepresenta una traza sobre índices de Dirac.El resultado se generaliza para cualquier número de lazosfermiónicos.


Ejemplo: Teoría de Yukawa

Consideremos la teoría con un campo de Dirac y un campo deKG en interacción

LYukawa =12

∂µφ∂µ

φ − 12

M2φ

2 + ψ(i /∂ −m

)ψ− igψγ5ψφ ,

Consideremos la interacción fermión-fermión-escalar y sucontribución a la desintegración del escalar en un parfermión-antifermión. En la imagen de interacción tenemos

HI = igψIγ5ψIφI

A primer orden de teoría de perturbaciones

iT = 〈0|b(~p2,s2)a(~p1,s1)∫

d4x :gψI(x)γ5ψI(x)φI(x): a†(~p) |0〉


Desintegración φ → ψψ

Las únicas contracciones posibles son

iT = g∫

d4x 〈0|b(p2,s2)a(p1,s1)ψ I(x)γ5ψ I(x)φ I(x)a†(p) |0〉

= g∫

d4x e−i(p−p1−p2)x u(~p1,s1)γ5v(~p2,s2)

= (2π)4δ

(4)(p−p1−p2)gu(~p1,s1)γ5v(~p2,s2) ,

de dondeiM = gu(~p1,s1)γ5v(~p2,s2)

El fermión que sale da un factor u(~p1,s1)

El antifermión da un factor v(p2,s2)

El vértice da un factor gγ5 entre los espinores (justo eltérmino del Lagrangiano eliminando los campos ymultiplicando por i).


que se puede representar mediante el diagrama

El vértice escalar-fermión-fermión

φ

p −→p2ց

p1րgγ5

Hemos representado los fermiones mediante una líneacontinua con una flecha que representa el flujo de carga(para el fermión va en la dirección del momento y para elantifermión va en sentido contrario) pero también el orden enque están contraídos los índices de Dirac.El diagrama se “lee” empezando por la punta de la flecha.


Si en lugar de un antifermión que sale tenemos un fermiónque entra solo cambia la δ (4)(p−p1 + p2) y que en lugarde v(p2,s2) tenemos u(p2,s2).Si en lugar del fermión que sale (con momento p1)tenemos un antifermión que entra tendremos en lugar deu(~p1,s1) tendremos v(p1,s1).

Usaremos el mismo vértice con las flechas dando el flujo decarga y el orden de contracción de los índices de Dirac.Sólo cambiarán los espinores de las patas externas segúnsean fermiones o antifermiones, entrando o saliendo.

Ambigüedad de signo:¿〈0|b(~p2,s2)a(~p1,s1) o 〈0|a(~p1,s1)b(~p2,s2)?Convención: definiremos el vértice utilizando una partículaentrando y una partícula saliendo.


Colisión ψψ → φφ

Se genera a segundo orden. Suprimimos momentos y espines(1,2 se refieren a fermiones y 3,4 a escalares, m2→m2− iε)

iT =(−i)2

2!

∫d4xd4y 〈0|a(~p4)a(~p3)T (HI(x)HI(y))a†(~p1,s1)b†(p2,s2) |0〉

=g2

2!

∫d4xd4y 〈0|a4a3 T (:φI(x)ψI(x)γ5ψI(x)::φI(x)ψI(y)γ5ψI(y):)a†

1b†2 |0〉

=g2

2!

∫d4xd4y 〈0|a4a3 φ I(x)ψ I(x)γ5ψ I(x)φ I(y)ψ I(y)γ5ψ I(y)a†

1b†2 |0〉+· · ·

=g2

2!

∫d4xd4ye−i(p2−p4)xe−i(p1−p3)y v(p2,s2)γ5 ψ I(x)ψ I(y)γ5u(p1,s1)+ · · ·

=g2

2!

∫d4xd4ye−i(p2−p4)xe−i(p1−p3)y

×∫ d4k

(2π)4 v(p2,s2)γ5e−ik(x−y)i(/k + m)

k2−m2 γ5u(p1,s1) + · · ·


=g2

2!(2π)4

∫d4k δ

(4)(p2−p4 + k)δ(4)(p1−p3−k)

×v(p2,s2)γ5i(/k + m)

k2−m2 γ5u(p1,s1) + · · ·

= i (2π)4δ

(4)(p1 + p2−p3−p4)

×g2

2!v(p2,s2)γ5

/p1− /p3 + m(p1−p3)2−m2 γ5u(p1,s1) + · · ·

Los · · · representan otras contracciones.Diagramas que contribuyen al proceso

p1 →

p2 →

k = p1 − p3 = p4 − p2

f

f

φ, p3

φ, p4x

y p1 →

p2 →

k = p1 − p4

f

f

φ, p3

φ, p4x

y


Una vez fijadas las contracciones de los fermiones, podemoscontraer los bosones permutando los momentos p3 y p4(contribución de la derecha)El factor 1/2! de la exponencial también se cancela.La contribución total es

iM =

= ig2v(p2,s2)γ5

(/p1− /p3 + m

(p1−p3)2−m2 +/p1− /p4 + m

(p1−p4)2−m2

)γ5u(p1,s1)

Usando álgebra y la ecuación de Dirac

iM = ig2v(p2,s2)

(/p3

(p1−p3)2−m2 +/p4

(p1−p4)2−m2

)u(p1,s1)

Simétrica bajo p3←→ p4. Los φ son bosones!


Colisión f f → f f

Dos fermiones idénticos tanto en el estado inicial como en elestado final.A segundo orden

iT =g2

2!

∫d4xd4y 〈0|a4a3 T (:ψI(x)γ5ψI(x)φI(x)::φI(x)ψI(y)γ5ψI(y):)a†

1a†2 |0〉

=g2

2!

∫d4xd4y 〈0|a4a3 ψ I(x)γ5ψ I(x)φ I(x)φ I(y)ψ I(y)γ5ψ I(y)a†

1a†2 |0〉+· · ·

=g2

2!

∫d4xd4ye−i(p2−p4)xe−i(p1−p3)y u(p4,s4)γ5u(p2,s2)

×∫ d4k

(2π)4ie−ik(x−y)

k2−M2 u(p3,s3)γ5u(p1,s1) + · · ·

=ig2

2!

(2π)4δ (4)(p1 + p2−p3−p4)

(p1−p3)2−M2 (u(p4,s4)γ5u(p2,s2))(u(p3,s3)γ5u(p1,s1))+ · · ·


Representaremos esta contribución con el diagrama de laizquierdaDiagramas que contribuyen al proceso

p1 →

p2 → p4 →

p3 →

k = p1 − p3 = p4 − p2

f

f

f

fx

y p1 →

p2 →

k = p1 − p4

f

f

f, p3

f, p4x

y

Permutando las contracciones de los fermiones finales

〈0|a4a3 ψ I(x)γ5ψ I(x)φ I(x)φ I(y)ψ I(y)γ5ψ I(y)a†1a†

2 |0〉

dan un signo − adicional. Diagrama de la derecha con doslíneas fermiónicas finales cruzadas.


El elemento de matriz reducido será

iM =ig2

(p1−p3)2−M2 (u(p4,s4)γ5u(p2,s2))(u(p3,s3)γ5u(p1,s1))

− ig2

(p1−p4)2−M2 (u(p3,s3)γ5u(p2,s2))(u(p4,s4)γ5u(p1,s1))

Antisimétrico bajo intercambio de etiquetas 3↔ 4 pero tambiénantisimétrico bajo intercambio 1↔ 2.Lineas fermiónicas cruzadas dan signos menos.El cálculo de todas estas contribuciones se puede generalizar ysistematizar: reglas de Feynman para campos de Dirac.

Load File:yukawarules.pdf


yukawarules.pdf

Sumas sobre espines

Típicamente la amplitud con fermiones será de la forma

M = u(p2,s2)Ou(p1,s1) ,

Si no se mide el espín final y las partículas iniciales no estanpolarizadas

σ ∝ ∑s1,s2

M ∗M = ∑s1,s2

(u†(p1,s1)O†u†(p2,s2)

)(u(p2,s2)Ou(p1,s1))

Como que u = uγ0 y γ0†= γ0

∑s1,s2

M ∗M = ∑s1,s2

(u(p1,s1)γ

0O†γ

0u(p2,s2))

(u(p2,s2)Ou(p1,s1))

Escribiendo explícitamente los índices de Dirac

(u1aAabu2b)(u2cBcdu1d ) = u1d u1aAabu2bu2cBcd = Tru1u1Au2u2B


así∑

s1,s2

M ∗M =

= Tr

(∑s1

u(p1,s1)u(p1,s1)

)γ

0O†γ

0

(∑s2

u(p2,s2)u(p2,s2)

)O

que nos permite utilizar las expresiones para las sumas deespín

∑s1,s2

M ∗M = Tr(

/p1 + m)

γ0O†

γ0 (/p2 + m

)O

El problema se reduce a calcular trazas de productos dematrices de Dirac.


Espines fijados

Este método se puede aplicar también al caso general(espines fijados).

σs1s2 ∝ Tr(

u(p1,s1)u(p1,s1))

γ0O†

γ0 (u(p2,s2)u(p2,s2))O

.

Pero ahora sustituimos

u(p,s)u(p,s) =12

(1 + sγ5/n)(/p + m) ,

v(p,s)v(p,s) =12

(1 + sγ5/n)(/p−m) .


Desintegración de un escalar en fermiones

Como hemos visto

iM = gu(~p1,s1)γ5v(~p2,s2) .

La anchura de desintegración es (en el sistema de referenciaen el qué el escalar está en reposo)

Γ(φ → f f ) =

√1−4m2/M2

64π2M

∫dΩ∑spin |M |

2 ,

√λ (M2,m2,m2) = M2

√1−4m2/M2. Utilizando que la suma

sobre espines es

∑s1s2

|M |2 =−g2Tr

(/p1 + m)γ5(/p2−m)γ5

= g2Tr

(/p1 + m)(/p2 + m)

.

yγ5/p =−/pγ5 , γ

25 = I , Tr

/p1/p2

= 4p1p2


Tenemos

∑s1s2

|M |2 = 4g2(

p1p2 + m2)

= 2g2M2 ,

donde hemos usado M2 = p2 = (p1 + p2)2 = 2(p1p2 + m2).Sustituyendo e integrando el ángulo sólido

∫dΩ = 4π

Γ(φ → f f ) =g2

8πM√

1−4m2/M2

Estructura del diagrama + analisis dimensional+ espacio fásico

Γ≈ g2

8πM ,


Interacción bosón de Higgs-fermiones

El bosón de Higgs es un escalar neutro descrito por un campode KG real, H. Su interacción con los fermiones es del tipoYukawa escalar

LH =−∑i

mi

vFψiψiH ,

la suma se extiende sobre todos los fermiones, mi masas defermiones y vF ≈ 246 GeV.La regla de Feynman para este interacción esVértice del Higgs con fermiones

H

ψi

ψi

−imi

vF

Los quarks tienen NC = 3 colores.Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 28/38

Γ(H→ bb)

(Discusión)H→ bb pero acoplamiento escalar y color del quark b ( sigb = mb/vF )

∑s1s2,color

|M |2 = NCg2bTr

(/p1 + mb)(/p2−mb)

= NC4g2b

(p1p2−m2

b

)= NC4g2

b

(p1p2−m2

b

)= NC2g2

bM2H

(1−4m2

b/M2H

).

Así

Γ(H→b b) =NCg2

b8π

MH

√(1−4m2

b/M2H

)3=

3m2b

8πv2F

MH

√(1−4m2

b/M2H

)3.

Ejercicio: cálculo de los ritmos de desintegración al resto de losfermiones así como la vida media τ = 1/(∑i Γ(H→ fi fi).


Sección eficaz µ+µ−→ bb

El único diagrama que contribuye a µ+µ−→ bb mediado por elbosón de Higgs

Intercambio de Higgs en µ+µ−→ bb

p1ր

p4րH

q = p1 + p2

p2ց

p3ց

µ−

µ+

b

b

la amplitud es

iM =−igµgb

s−M2H

(u3v4)(v2u1)


Así (la NC viene de la suma sobre colores y el 1/4 de la medisobre los espines del estado inicial)

∑spincolor

|M |2 =

=NC

4g2

µg2b

(s−M2H)2

Tr

(/p3 + mb)(/p4−mb)

Tr

(/p2−mµ )(/p1 + mµ )

=NCg2

µg2bs2

(s−M2H)2

(1−4m2

b/s)(

1−4m2µ/s)

dónde hemos utilizado

Tr

(/p3 + mb)(/p4−mb)

= 2s(

1−4m2b/s)


Usando la fórmula de la sección eficaz

σ(µ+

µ−→ H→ bb) =

√λ (s,m2

b,m2b)

λ (s,m2µ ,m2

µ )

164π2s

∫dΩ ∑

spincolor

|M |2

=NCg2

µg2b

16π

s(s−M2

H)2

√(1−4m2

b/s)3 (1−4m2

µ/s)

En el límite sM2H m2

b,m2µ tendremos

σ(µ+

µ−→ H→ bb)≈ NCg2

µg2b

16πs, sM2

H m2b,m2

µ .

Se entiende por análisis dimensionalExplota en s = M2

H . A ordenes más altos en T. perturbaciones

1s−M2

H→ 1

s−M2H + iΓHMH

ΓH es la anchura total del bosón de Higgs.Arcadi Santamaria Tema 7: Campos con interacciones II: Generalización y Aplicaciones 14 de octubre de 2009 32/38

Así puesσ(µ

+µ−→ H→ bb) =

=NCg2

µg2b

16π

s(s−M2

H)2 + Γ2HM2

H

√(1−4m2

b/s)3 (1−4m2

µ/s)

Comportamiento suave para todo s y presenta un pico ens ≈M2

H .

σ(µ+

µ−→ H→ bb)

∣∣pico =

4π

β 2µ M2

HBRµBRb ,

dónde βµ ≡√(

1−4m2µ/M2

H

)(βµ ≈ 1 sí MH mµ ) es la

velocidad de los muones (antimuones) iniciales yBRf = Γ(H→ f f )/ΓH .


Acoplamientos con derivadas

Si la interacción no involucra derivads de los campos HI =−LIy lo que hemos hecho es correcto.¿Que pasa si hay derivadas?Consideraremos KG real con una interacción de la formaJµ∂µφ

L =12

∂µ

φ∂µφ − 12

m2φ

2 + Jµ∂µφ ,

dónde Jµ es una corriente externa fijada.El momento conjugado es

π =∂L

∂ φ= φ + J0 ,

y la densidad Hamiltoniana

H = πφ −L =12

φ2 +

12~∇φ~∇φ +

12

m2φ

2−~J~∇φ


que se debe escribir en términos de π eliminando φ = π−J0

H =12

π2 +

12~∇φ~∇φ +

12

m2φ

2−J0π−~J~∇φ +

12

(J0)2

Separamos Hamiltoniano libre y de interacción (a t = 0)

H = H0 + ∆H

H0 ≡ 12

π2 +

12~∇φ~∇φ +

12

m2φ

2

∆H =−J0π−~J~∇φ +

12

(J0)2

Para pasar a la imagen de interacción φ → φI y π → πI .H0 mantiene la misma forma y HI es

HI =−J0πI−~J~∇φI +

12

(J0)2 .


Finalmente los campos φI y πI son libres y por lo tantopodemos sustituir πI = φI

HI =−Jµ∂µφI +

12

(J0)2

Hay un término adicional no covariante.Si usamos esta interacción en la serie de Dyson (mantenemostérminos solo con dos corrientes externas)

S = 1− i∫

d4x(−Jµ (x)∂µφI(x) +

12

(J0(x))2)

+(−i)2

2!

∫d4x

∫d4yJµ (x)Jν (y)T

(∂µφI(x)∂νφI(y)

)+ · · ·


Producto T-ordenando de las derivadas de los campos:

T(∂µφI(x)∂νφI(y)

)=

∂

∂xµ

∂

∂yνT (φI(x)φI(y))− ig0

µg0ν δ

(4)(x −y) ,

Las contribuciones no covariantes que aparecen el productoT-ordenado de derivadas de los campos son exactamente lasnecesarias para cancelar los otros términos no covariantes! Así

S = 1− i∫

d4x(−Jµ (x)∂µφI(x)

)+

(−i)2

2!

∫d4x

∫d4yJµ (x)Jν (y)

∂

∂xµ

∂

∂yνT (φI(x)φI(y)) + · · ·

Este tipo de cancelaciones ocurren a todos los órdenes!Resultado invariante Lorentz. Receta:

Ignoramos los términos no covariantes en HI

Para calcular las contracciones de los campos conderivadas las sacamos fuera del producto T-ordenado.


Así por ejemplo

∂µφ I(x)a†(p) |0〉=−ipµe−ipx

lo que nos permite mantener todas las derivadas en losvértices (que nos daran momentos de partículas) y usar lospropagadores de Feynman normales.

EjemploLa interacción ∆L = gψγµγ5ψ∂µφ genera un vértice elementalg/pγ5 (para un escalar de momento pµ entrando en el vértice).El resto de las reglas de Feynman no tienen ningún cambio.


Tema 8:Campos “gauge”: fotones y campos de Proca

Arcadi Santamaria


Contenido

1 La interacción electromagnética e invariancia “gauge”: elLagrangiano de QED

2 Cuantización canónica covariante de fotones libresCuantización del Lagrangiano de Fermi para fotoneslibres

3 El propagador de fotones

4 Reglas de Feynman de QEDSumas sobre polarizaciones de fotones

5 Campos Vectoriales MasivosBosones de gauge electrodébiles: reglas de Feynman

Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 2/41

Espín 1 e invariancia gauge

Estudiaremos campos que describen partículas con espín 1,sin masa y con masa.

Espín 1 con masa requiere 3 grados de libertad.Partículas sin massa, como el fotón, no tienen espín sinohelicidad y solo 2 grados de libertad.Necesario un campo bosónico que se transformecorrectamente bajo Lorentz y que tenga al menos 3 gradosde libertad (2 para el fotón). El campo más simple conestas características es el campo vectorial.

Un cuadrivector tiene cuatro componentes!Para espín 1 sobra una componentePara helicidad 1 sobran dos componentes.

Raíz de las dificultades para cuantizar campos con espín 1, enparticular si no tienen masa.


La solución? SimetríaUna simetría: la invariancia “gauge” permitirá eliminar losgrados de libertad sobrantes.

De momento partiremos de las ecuaciones de Maxwell eintroduciremos la notación estándar covariante relativistaLuego veremos que imponiendo la invariancia gauge podemoshacer el camino inverso y redescubrir las ecuaciones deMaxwell.Las ecuaciones de Maxwell se escriben cómo

~∇~E = ρ , ~∇~B = 0 ,

~∇×~B− ∂~E∂ t

=~j , ~∇×~E +∂~B∂ t

= 0

~E y ~B son los campos eléctrico y magnético y ρ y~j la densidadde carga y corriente.


Definimos el cuadrivector corriente cómo jµ = (ρ,~j) y el tensorantisimétrico F µν cómo

F µν =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 −B3 B2

E2 B3 0 −B1

E3 −B2 B1 0

Usando εµνρσ (con ε0123 = 1) definiremos el tensor dual

F µν ≡ 12

εµνρσ Fρσ

Así las ec. de Maxwell se escriben como

a) ∂µF µν = jν , b) ∂µ F µν = 0

La conservación de la corriente ∂µ jµ = 0 es una condición decompatibilidad.


Para cuantizar necesitamos un Lagrangiano que lleve a estasecuaciones.Si usamos ~E y ~B (o F µν ) como variables dinámicas tenemosvarios problemas:

Usamos 6 campos para describir solo dos helicidades.Las ecuaciones de movimiento sólo contienen unaderivada respeto el tiempo (problemas en una formulacióncanónica).Los propagadores de ~E ’s y ~B’s van cómo 1/q y no 1/q2 loque lleva a potenciales 1/r2 y no 1/r .

Solución: usamos b) para escribir

F µν = ∂µAν −∂

νAµ .

No es unívoco ya que las transformaciones gauge

Aµ → Aµ + ∂µ

α

dejan F µν invariante.Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 6/41

La invariancia gauge será esencial para reducir los 4 grados delibertad de Aµ a los dos necesarios para describir un fotón.En términos de Aµ las ecuaciones de Maxwell son

∂2Aµ −∂

µ (∂νAν ) = jµ

que, excepto por el segundo término, tiene la estructura de laec. de KG sin masa.El Lagrangiano más general posible que lleva a esta ecuaciónes

L =−14

F µνFµν − jµAµ

Normalizado de forma que las componentes espaciales de Aµ

tengan la normalización canónica y que conduzca a unHamiltoniano definido positivo y con la normalización correcta.Invariante bajo las transformaciones gauge si ∂µ jµ = 0.


La escritura de las ecuaciones de Maxwell en términos deun potencial vector lleva inevitablemente a la invarianciagauge.Lo que es más interesante es que el requerimiento de lainvariancia gauge, en un sentido más general, conduceinevitablemente a las ecuaciones de Maxwell.

Partimos del Lagrangiano de Dirac para una partícula concarga Q (Q =−1 para electrones)

Lψ = ψ(i /∂ −m)ψ ,

que es invariante bajo una transformación de fase global(α ≡const.)

ψ → ψ′ = eiαQ

ψ .

El teorema de Noether implica que hay una corrienteconservada jµ = eQψγµψ.


Transformaciones globales, α = cte, (en todo el universo) noson realizables físicamente.Transformaciones locales, con α(x), si son realizables.Pero el Lagrangiano de Dirac no es invariante bajo unatransformación de gauge local

ψ → ψ′ = eiα(x)Q

ψ

puesto que

Lψ →L ′ψ = ψ

(i γ

µ(∂µ + i Q∂µα

)−m

)ψ

Para mantener la invariancia de gauge local es necesariointroducir un campo de gauge Aµ con acoplamiento mínimo

∂µψ ⇒ Dµψ ≡(∂µ + ieQAµ

)ψ

y exigir que Aµ se transforme como

Aµ −→ A′µ = Aµ −1e

∂µα


El nuevo Lagrangiano será

LψA = ψ(i γ

µDµ −m)

ψ

que es invariante bajo las transformaciones de gaugecombinadas,

LψA→L ′ψA = ψ

′ (i γµ(∂µ + i eQA′µ

)−m

)ψ′

= ψ(i γ

µ(∂µ + i eQAµ

)−m

)ψ .

El acoplamiento mínimo consecuencia de la invariancia gauge!Para varios campos fermiónicos, ψi , con cargas, Qi ,

L = ∑i

ψi(iγµ(∂µ + ieQiAµ

)−mi

)ψi

interacción jµAµ con jµ = e ∑i Qi ψiγµψi .

La interacción es universal (solo una constante e)!


Aµ necesita un término cinéticoCuadrático en Aµ

Invariante gauge y Lorentz.El único que podemos construir es

LA =−14

FµνF µν

Importante: la invariancia gauge local prohibe un término demasa para Aµ

Sumando los dos términos obtenemos el Lagrangiano de QED

LQED = LA +LψA

Teoría renormalizable que describe correctamente lasinteracciones entre fotones y electrones (y otros fermionescargados).


Generalización: QCD

Receta muy sencilla para construir teorías con interaccionesuniversales:Identificamos simetrías globales y las “gaugeamos”.

Ejemplo: ColorHay tres quarks con la misma carga y masa que se distinguenpor un nuevo número cuántico, el color.Se pueden representar con un vector de tres componentes, ΨQ,formado por campos de Dirac. Su Lagrangiano es

LQ = ΨQ(i /∂ −m)ΨQ , ΨQ =

ψ1ψ2ψ3

LQ es invariante bajo

ΨQ →Ψ′Q = U(α)ΨQ

con U(α) una matriz 3×3 unitaria.Arcadi Santamaria Tema 8: Campos “gauge”: fotones y campos de Proca 21 de octubre de 2009 12/41

U(3) = U(1)⊗SU(3)U(1) corresponde a número bariónico (global)U(α) ∈ SU(3) se puede escribir cómo

U(α) = ei ∑8a=1 αaT a

, ,T a herm«ıtica, Tr

T a= 0 .

Una matriz hermítica 3×3 de traza nula contiene 8 parámetrosreales independientes.Diremos que hay 8 generadores del grupo, T a, y 8 parámetrosde la transformación, αa.Invariancia gauge local bajo SU(3) exige 8 campos gauge, unopor parámetro T aAa

µ −→ T aAa′µ = U(T aAa

µ − ig ∂µ )U†

∂µ → Dµ ≡ ∂µ + ig ∑a

T aAaµ

Dµ ΨQ →(Dµ ΨQ

)′= U (α(x))Dµ ΨQ


de forma que el Lagrangiano invariante gauge es

LQCD = LKin + ΨQγµ (i∂µ −g ∑

aT aAa

µ −m)ΨQ

con LKin es la generalización del término cinético de Aa .Lagrangiano de la cromodinámica cuántica, QCD, que ha sidocapaz de explicar, con un éxito impresionante, lasinteracciones fuertes entre las partículas elementales.

Universalidad del principio gaugeRemarcable que todas las interacciones fundamentalesconocidas, electromagnéticas, débiles, fuertes (e inclusogravitatorias con sus peculiaridades) se han podido integrarbajo el principio de gauge.


Problemas

Si intentáramos aplicar el programa de cuantización canónica aQED inmediatamente encontramos problemas: el momentocanónico asociado a Aµ es

πµ =

∂LA

∂ Aµ

=−F 0µ

π0 = 0 ya que LA es independiente de A0.No es nuevo: el momento asociado a ψ también es nulo.Los problemas son mucho más profundos:La función de Green no existe. En momentos

k2Aν (k)−k µkνAµ (k) =(

k2gµν −k µkν

)Aµ (k) =−jν (k)

k2gµν −k µkν no es invertible: no existe Dνρ (k) tal que(k2gµν −k µkν

)Dνρ (k) = igµ

ρ ya que k2gµν −k µkν es unproyector: No podemos calcular la función de Green.


Gauge de Coulomb

Sobran grados de libertad: el fotón sólo tiene dos grados delibertad mientras el campo Aµ contiene cuatro componentes.

Solución: Gauge de CoulombEliminar completamente de la teoría los grados de libertadespúreos. Esto se puede hacer consistentemente imponiendo

~∇~A = 0

Si jµ = 0 , ~∇~A = 0 implica ∇2A0 = 0 que permite tomar A0 = 0.

El gauge de Coulomb, nos deja los dos grados de libertadfísicos: cuantización canónica consistente.El precio: el formalismo no es explícitamente covariante yno permite utilizar la potencia de la covariancia Lorentz enlos cálculos.


Gauges Covariantes

Alternativa: Modificamos las ecuaciones de movimientoimponiendo condiciones covariantes para fijar el gauge.Precio: Será necesario mantener grados de libertad espúreos.pero al menos permitirá mantener la covariancia explícita de lateoría.La ecuación de movimiento sugiere la condición de Lorentz∂µAµ = 0 que conduce a la ecuación de Klein-Gordon sinmasa.Es conveniente usar los multiplicadores de Lagrange paraincorporar la ligadura que representa la condición de Lorentz

Lλ =−14

F µνFµν − jµAµ − 12

λ(∂µAµ

)2

que conduce a

∂2Aµ + (λ −1)∂

µ (∂νAν ) = jµ


derivando una vez más

λ ∂2 (

∂µAµ)

= ∂µ jµ .

Sí λ 6= 0 y ∂µ jµ = 0 tendremos

∂2 (

∂µAµ)

= 0

Clásicamente podemos elegir ∂µAµ = 0 y por tanto ∂ 2Aµ = jµ

que son las ecuaciones de Maxwell en el gauge de Lorentz.

ClásicamenteLagrangiano Lλ

Condición ∂µ jµ = 0Condiciones de contorno adecuadas

Completamente equivalente a las ecuaciones de Maxwell en elgauge de Lorentz.


Lagrangiano cuantizable

Para cuantizar la teoría podemos partir de Lλ y la condición deLorentz, o su equivalente cuántico, aparecerá como unacondición de consistencia.λ = 1, gauge de Feynman, particularmente simple ∂ 2Aµ = jµ

Lagrangiano de Fermi

LF ≡−12(∂µAν

)(∂

µAν ) = Lλ=1 +12

∂µ (Aν∂νAµ −Aµ

∂νAν ) .

equivalente a λ = 1 y más simple aún.Usaremos LF para cuantizar la teoría.

Cuantización con Lλ posible pero más complicado.LF suma KG para cada componente.Problema: A0 no tiene la normalización canónica.Inevitable si queremos covariancia Lorentz explícita.

Cuantizaremos la teoría con LF y veremos cual es la condiciónde consistencia adicional que deberemos imponer.


Cuantización del Lagrangiano de Fermi

Para jµ = 0 las ecuaciones de movimiento que se derivan deLF (y de Lλ=1 ) son

∂2Aµ = 0

que es KG sin masa para cada componente. Así

Aµ =∫

dk3

∑λ=0

(εµ (~k ,λ )e−ikxa(~k ,λ ) + ε

∗µ (~k ,λ )eikxa†(~k ,λ )

)con

dk =d3~k

(2π)32Ek, Ek = |~k |

εµ (~k ,λ ) conjunto linealmente independiente de cuatrocuadrivectores (equivalentes as u(~p,s) y v(~p,s) en el caso delcampo de Dirac)


Vectores de polarización

Elegiremos εµ (~k ,λ ) reales y

εµ (~k ,0) = nµ ≡ (1,0,0,0) , ε

µ (~k ,λ ) = (0,~ε(~k ,λ )) , λ = 1,2,3

con~ε(~k ,λ ) una base ortonormal de R3

~ε(~k ,λ )·~ε(~k ,λ ′) = δλλ ′ , ~ε(~k ,3)≡~k

|~k |, ~ε(~k ,λ ) ·~k = 0 , λ = 1,2

εµ (~k ,1) y εµ (~k ,2) vectores de polarización transversales.εµ (~k ,3) vector de polarización longitudinal.εµ (~k ,0) vector de polarización escalar.

Si ζ1 = ζ2 = ζ3 = 1 =−ζ0 (ortogonalidad y clausura)

ε(~k ,λ ) · ε(~k ,λ ′) = ε(~k ,λ )µεµ (~k ,λ ′) =−ζλ δλλ ′ , λ ,λ ′ = 0, · · · ,3

3

∑λ=0

ζλ εµ (~k ,λ )ε

ν (~k ,λ ) =−gµν


Vectores de polarización generales

εµ (~k ,3) se puede escribir de forma covariante usando nµ

εµ (~k ,3) =

k µ − (kn)nµ

knEsta base se puede generalizar haciendo una transformaciónde Lorentz a un sistema de referencia arbitrario en dondenµ será un cuadrivector arbitrario con n2 = 1.Las relaciones de ortogonalidad y clausura se mantendrán y

n2 = 1 , εµ (~k ,0) = nµ , ε

µ (~k ,3) =k µ − (kn)nµ

kn

ε(~k ,λ ) ·k = 0 , ε(~k ,λ ) ·n = 0 , λ = 1,2

Suficiente libertad para elegir los vectores de polarización de laforma más conveniente para simplificar los cálculos.Por ejemplo, podríamos tomar n = p/m con p elcuadrimomento de alguna de las partículas masivas de interés.


Reglas de cuantización

Utilizando LF, calculamos el momento conjugado de Aµ

πµ =

∂LF

∂ Aµ

=−Aµ

e imponemos las reglas de conmutación canónicas a tiemposiguales (comentario sobre signos)[

Aµ (~x , t),πν (~y , t)]

= igνµδ

(3)(~x −~y) ,[Aµ (~x , t),Aν (~y , t)

]=

[πµ (~x , t),πν (~y , t)

]= 0

Sustituyendo y subiendo todos los índices arriba tenemos

[Aµ (~x , t), Aν (~y , t)

]= −igµν

δ(3)(~x −~y)[

Aµ (~x , t),Aν (~y , t)]

=[Aµ (~x , t), Aν (~y , t)

]= 0

Las tres componentes espaciales tienen el signo correcto,La componente temporal A0 tiene el signo contrario.


Sustituyendo el desarrollo del campo[a(~k ,λ ),a†(~k ′,λ ′)

]= ζλ δλλ ′(2π)32Ek δ

(3)(~k −~k ′)[a(~k ,λ ),a(~k ′,λ ′)

]=[a†(~k ,λ ),a†(~k ′,λ ′)

]= 0

Las relaciones del conmutación de fotones escalares, a(~k ,0),tienen el signo cambiado!Ignoramos este problema y definimos los estados como

a(~k ,λ ) |0〉= 0 , a†(~k ,λ ) |0〉=∣∣∣~k ,λ

⟩,

donde∣∣∣~k ,λ

⟩es el estado de un fotón con momento ~k y

polarización λ .El Hamiltoniano del sistema (N-ordenado) es

H =∫

d3~x :πµ Aµ −L :=∫

dkEk

3

∑λ=0

ζλ a†(~k ,λ )a(~k ,λ )


que aunque tiene el signo cambiado para λ = 0 és definidopositivo

H∣∣∣~k ,λ

⟩=∫

dk ′Ek ′3

∑λ ′=0

ζλ a†(~k ′,λ ′)a(~k ′,λ ′)a†(~k ,λ ) |0〉= Ek

∣∣∣~k ,λ⟩

Trasladando lo hecho para KG (manteniendo los indices yfactores ζλ adecuados)

[Aµ (x),Aν (y)] =−gµν i ∆(x−y)|m=0

que se anula para intervalos espacialesEl signo incorrecto en las relaciones de conmutación trae unproblema inevitable

〈~k ′,λ = 0|~k ,λ = 0〉= 〈0|a(~k ′,0)a†(~k ,0) |0〉=−(2π)32Ek δ(3)(~k ′−~k)

la norma no es definida positiva! Los estados con fotonesescalares no pueden tener una interpretación probabilística, nopueden ser físicos.


Condición sobre los estados físicos

Falta imponer la condición de consistencia pero

∂µAµ = 0 inconsistente con las relaciones de conmutación[∂µAµ (x),Aν (y)

]=−i ∂

ν ∆(x −y)|m=0 6= 0

Solución: Gupta-BleulerRestricción sobre los estados físicos |Ψ〉 de la teoría

∂µ Aµ (x)|destruccion |Ψ〉= 0

suficiente para garantizar⟨Ψ′∣∣∂µAµ (x) |Ψ〉= 0

Así la condición de Lorentz y las ecuaciones de Maxwell sesatisfacen en el límite clásico de la teoría.


Sustituyendo el desarrollo del campo(a(~k ,3)−a(~k ,0)

)|Ψ〉= 0 , ∀~k

Estados que satisfacen esta condición tienen norma definidapositiva. Además⟨

Ψ′∣∣(a†(~k ,3)a(~k ,3)−a†(~k ,0)a(~k ,0)

)|Ψ〉= 0

mientras solo fotones transversales contribuyen a la energía deestados físicos⟨

Ψ′∣∣H |Ψ〉=

⟨Ψ′∣∣∫ dk

2

∑λ=1

Eka†(~k ,λ )a(~k ,λ ) |Ψ〉

Resultado general: observables de fotones libres sóloinvolucran fotones transversales (fotones longitudinales oescalares no se pueden observar como partículas libres)


〈Ψ′|∂µAµ (x) |Ψ〉= 0 elimina un grado de libertad.Queda libertad para hacer transformaciones gauge con∂ 2α(x) = 0.Equivalente a cambiar el contenido γ ’s con λ = 0,3.

Fotones libres: elegimos estados con solo fotonestransversales (elección de gauge).En presencia de cargas no es posible. Intercambio defotones longitudinales y escalares esencial para mantenerla covariancia de la teoría (descripción covariante de lainteracción instantánea de Coulomb)

RecetaAµ contendrá las cuatro polarizaciones que contribuirán alcálculo de propagadores.Restricción sobre los estados asintóticos de la teoría nosobre el operador campo: estados asintóticos solocontienen polarizaciones transversales.


El propagador de fotones

Como es natural para bosones definimos

T (Aµ (x)Aµ (y)) = θ(x0−y0)Aµ (x)Aµ (y)+θ(y0−x0)Aµ (y)Aµ (x)

Puesto que Aµ satisfacen las reglas de conmutación de KG(excepto A0 que tiene el signo cambiado) podemos escribir

Dµν

F (x−y)≡ 〈0|T (Aµ (x)Aν (y)) |0〉=−gµν DF (x −y)|m=0

y

DF (x)|m=0 =∫ d4k

(2π)4 e−ikx ik2 + iε

=− 14π2

1x2− iε

El propagador Dµν

F (x) contiene contribuciones de las cuatropolarizaciones.


El propagador en un gauge general

Hasta ahora sólo hemos utilizado el Lagrangiano de Fermi(Equivalente a λ = 1).¿Cuál es el propagador para Lλ ? El propagador es unafunción de Green de la ecuación de movimiento! Si

L =12

Aµ (x)OµνAν (x)− jµAµ

p.e. para el Lagrangiano de Fermi Oµν = gµν∂ 2

La ecuación de movimiento es

OµνAν = jµ ,

y la función de Green es la inversa Oµν

OµνDνρ

F (x) = igρ

µ δ4(x)

que en momentos es

Oµν (k)Dνρ

F (k) = igρ

µ


p.e. para el Lagrangiano de Fermi Oµν (k) =−gµνk2 yDµν

F (k) =−gµν i/k2. Solo hay que añadir los iε adecuadosPara un gauge general

Oµν = gµν∂2− (1−λ )∂µ∂ν

En momentos Oµν (k) =−gµνk2 + (1−λ )kµkν de donde

Dµν

F =− ik2 + iε

(gµν +

1−λ

λ

k µkν

k2 + iε

)

λ = 1 (gauge de Feynman) recuperamos el pr. de Fermi.El caso λ → ∞ (gauge de Landau) pr. transversal.λ → 0 el propagador no existe.

Resultados físicos no dependen de λ . Escogeremos el mássencillo (generalmente λ = 1).


Reglas de Feynman de QED

El Lagrangiano de QED es

LQED = ψ(i /∂ −m

)ψ− 1

4F µνFµν −

12

λ(∂µAµ

)2−eQψγµ

ψAµ

Para varios tipos de fermiones ∆L =−jµAµ conjµ = e ∑i Qi ψiγ

µψi . Para los fermiones del SM

∆L =−e∑i

Qi ψiγµ

ψiAµ , i = e,µ,τ u,d ,c,s, t ,b, · · ·

Qµ = Qτ = Qe =−1, Qu = Qc = Qt = 2/3 yQd = Qs = Qb =−1/3.

ImportanteEl vértice electromagnético siempre involucra fermiones delmismo tipo.

Reglas de Feynmand de QEDqedrules.pdf


qedrules.pdf

Sumas sobre polarizaciones

Los fotones asintóticos son transversales, pero la relación declausura involucra λ = 0,3¿Cómo hacemos la suma sobre polarizaciones?Una amplitud con fotones externos será de la forma

M = εµ (~k1,λ1)ε

ν (k2,λ2) · · ·Mµν ···(~k1,~k2, · · ·) , λ1,λ2, · · ·= 1,2

∂µ jµ = 0 implica

k µ

1 Mµν ···(~k1,~k2, · · ·) = 0 , kν

2 Mµν ···(~k1,~k2, · · ·) = 0 , · · ·

Así para un solo fotón externo

M = εµ (~k ,λ )Mµ (~k) , k µMµ (~k) = 0

y la seccion eficaz será

σ ∝

2

∑λ=1

εµ (~k ,λ )ε

ν (~k ,λ )Mµ (~k)M ∗ν (~k)


Pero

2

∑λ=1

εµ (~k ,λ )ε

ν (~k ,λ ) =3

∑λ=0

ζλ εµ (~k ,λ )ε

ν (~k ,λ )+

+εµ (~k ,0)ε

ν (~k ,0)− εµ (~k ,3)ε

ν (~k ,3) =

=−gµν − k µkν

(nk)2 +k µnν + kνnµ

nk

Los términos con k µ se cancelan al contraerse con Mµ . Así

σ ∝−M µ (~k)M ∗µ (~k)

Generalizable a cualquier número de fotones externos.Solo en teorías con corrientes conservadas (QED) y para lasuma de todos los diagramas.Para el promedio sobre polarizaciones iniciales recordar quesolo tiene 2.


Campos Vectoriales Masivos

La ecuación de Proca describe partículas de espín 1:

∂µF µν + m2Aν = 0 , F µν = ∂µAν −∂

νAµ

que se obtiene de

LP =−14

F µνFµν +12

m2AµAµ

Solo Ai tienen el signo correcto.Derivando la ecuación de movimiento

m2∂νAν = 0

La condición de Lorentz aparece naturalmente. Aµ sólocontiene 3 grados de libertad, como corresponde a espín 1.Sustituyendo ∂νAν = 0 en la ecuación de movimiento(

∂2 + m2

)Aµ = 0 , ∂µAµ = 0


Campos Vectoriales Masivos

El desarrollo del campo es

Aµ =∫

dk3

∑λ=1

(εµ (~k ,λ )e−ikxa(~k ,λ ) + ε

∗µ (~k ,λ )eikxa†(~k ,λ )

)con

dk =d3~k

(2π)32Ek, Ek =

√~k2 + m2

debido a ∂µAµ = 0 solo hay tres polarizaciones,

εµ (~k ,λ )k µ = 0 , εµ (~k ,λ )εµ (~k ,λ ′) =−δλλ ′ , ,λ = 1,2,3

3

∑λ=1

εµ (~k ,λ )εν (~k ,λ ) =−(

gµν −kµkν

m2

)Las reglas de commutación son (no hay problema)[

a(~k ,λ ),a†(~k ′,λ ′)]

= δλλ ′(2π)32E(~k)δ(3)(~k −~k ′)


El propagador de Proca

Para la función de Green usamos

LP =12

Aµ

(gµν

(∂

2 + m2)−∂µ∂ν

)Aν

en momentos

Oµν (k) =−gµν (k2−m2) + kµkν

Invirtiendo este operador tenemos

Dµν

F =−(gµν − k µkν

m2 )i

k2−m2 + iε

El factor kµkν/m2 hace que la teoría no sea renormalizable.


Bosones electrodébiles

El bosón Z se puede describir con un propagador de Proca.

Para bosones masivos de espín 1 cargados (bosones W±)podemos hacer lo que hicimos con el campo de KG cargado.Definimos W µ (que destruye W− y crea W +)

W µ =1√2

(W µ

1 − i W µ

2

)Los cambios en el término cinético libre son mínimos.Si W µν = ∂ µW ν −∂ νW µ

LW =−12

W †µνW µν + m2

W W †µW µ

que también conduce al propagador de Proca.


Interacciones del Z

Las interacciones de Z y W se pueden deducir a partir de unprincipio gauge.Aquí nos limitaremos a dar las interacciones más relevantes ya utilizarlas:Interacción de bosón Z

LZ =− e2sW cW

∑i

ψiγµ (giV −giAγ5)ψi Zµ

dónde ψi son los campos de Dirac de los diferentes fermionesy sW ≡ sinθW y cW = cosθW un parámetro,

neutrinos νe,νµ ,ντ : gνV = 12 , gνA = 1

2 ,

leptones e,µ,τ: g`V =−12 + 2s2

W , g`A =−12

quarks u,c, t : guV = 12 −

43s2

W , guA = 12

quarks d ,s,b: gdV =−12 + 2

3s2W , gdA =−1

2


Interacciones del W

Si PL = (1− γ5)/2 es el proyector de quiralidad levógiro

LW =− esW√

2 ∑i ,j

(K e

ji νjγµPLei + K q

ji ujγµPLdi

)W †

µ + h.c.

νi los campos de Dirac de los neutrinos, (νe,νµ ,ντ ),ei , los campos de los leptones cargados, (e,µ,τ),ui , los campos de quarks de tipo “u”, (u,c, t)di , los campos de quarks de tipo “d”, (d ,s,b).

K eji y K q

ji son matrices de mezcla 3×3 entre leptones y quarks,respectivamente (en muchos casos, por simplicidad,tomaremos K e

ji =K qji =δji ).


Sumas sobre polarizaciones y reglas de Feynman

Tenemos que recordar también que la suma de polarizacionespara partículas de Proca es

3

∑λ=1

εµ (~k ,λ )εν (~k ,λ ) =−(

gµν −kµkν

m2

)Además, cuando hagamos el promedio sobre polarizacionesiniciales deberemos recordar que el campo de Proca tiene tresgrados de libertad.

Reglas de Feynman del SMsmrules.pdf


smrules.pdf

Tema 9:Procesos elementales en QED y con campos

de Proca

Arcadi Santamaria


Contenido

1 e−e+→ f f en QEDe+e−→ hadronesPolarizaciones en e+e−→ µ+µ−

2 e−µ−→ e−µ−: simetría de cruce

3 Colisión Compton y aniquilación de paresAniquilación de pares e−e+→ γγ

4 e−e+→ f f en el pico del ZZ → f f

5 e−e+→W−W +: necesidad del Z y el vértice triple

Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 2/43

e−e+→ f f en QED

Para smi ,mf podemos estimar (α = e2/(4π))

σ ∝ Q2i Q2

f πα2

s.Diagrama de i i → f f , i 6= f en QED

p1ր

k2րγ

q = p1 + p2

p2ց

k1ց

i

i

f

f

µ ν


Del diagrama (en el gauge de Feynman)

iM =

u(k1, r1)(−ieQf γν )v(k2, r2)

(−igµν

q2

)v(p2,s2)(−ieQiγ

µ )u(p1,s1)

Contrayendo y agrupando

iM = iQiQfe2

q2 (u(k1, r1)γµv(k2, r2))

(v(p2,s2)γµu(p1,s1)

)En otro gauge resultado idéntico. Tomando el cuadrado enmódulo

|M |2 = Q2i Q2

fe4

q4

(u′1γ

µv ′2)(

v ′2γνu′1)(

v2γµu1)

(u1γνv2)

con(u1γµv2

)∗= v†

2γ†µ u†

1 = v2γµu1


Si no se mide el espín final y para haces sin polarizar

∑spin|M |2 = Q2

i Q2f

e4

4q4 Aµν

f Aiµν

dondeAµν

f = Tr

(/k1 + mf )γµ (/k2−mf )γ

ν

Aµν

i = Tr

(/p1 + mi)γν (/p2−mi)γ

µ

haciendo las trazas en Aµν

f obtenemos

Aµν

f = 4(

k µ

1 kν

2 + kν

1 k µ

2 − (k1k2 + m2f )gµν

)= −2

(pµ

f pν

f + (q2gµν −qµqν ))

,

donde pf ≡ k1−k2 y q2 = 2k1k2 + 2m2f .

Evidente que qµAµν

f = 0 (conservación de la corriente)Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 5/43

Fácil ver que Aµν

i = Aνµ

f (k1→ p1,k2→ p2,mf →mi), entonces

Aµν

i =−2(

pµ

i pν

i + (q2gµν −qµqν ))

con pi ≡ p1−p2. Contrayendo índices

Aµν

f Aiµν = 4(

3q4 + q2(p2f + p2

i ) + (pipf )2)

= 4(

q4 + 4q2(m2i + m2

f ) + (pipf )2)

.

Hemos usado p2f = 4m2

f −q2. Así

∑spin|M |2 = Q2

i Q2f

e4

q4

(q4 + 4q2(m2

i + m2f ) + (pipf )2

)En el sistema CM tenemos (s ≡ q2)

q = (√

s,~0) , pi = (0,2~p1) ,pf = (0,2~k1)

ypipf =−4|~p1||~k1|cosθ .


si ahora usamos

dσ

dΩ

∣∣∣∣CM

=1

64π2s

√1−4m2

f /s1−4m2

i /s ∑spin|M |2

y

|~p1|= 12

√s−4m2

i , |~k1|= 12

√s−4m2

f

encontramos la sección eficaz diferencial en CM

dσ

dΩ

∣∣∣∣CM

= Q2i Q2

fα2

4s

√1−4m2

f /s1−4m2

i /s

×(

1 +4m2

is

+4m2

fs

+

(1− 4m2

is

)(1− 4m2

fs

)cos2

θ

)


Integrando el ángulo solido obtenemos σ

σ = Q2i Q2

f4πα2

3s

√1−4m2

f /s1−4m2

i /s

(1 +

2m2i

s

)(1 +

2m2f

s

)De acuerdo con la estimación.Si sm2

f m2i se simplifica

dσ

dΩ

∣∣∣∣CM∼Q2

i Q2f

α2

4s

(1 + cos2

θ

)σ ∼Q2

i Q2f

4πα2

3s

(1− 6m4

fs2

)Los resultados experimentales de e−e+→ µ−µ+ ye−e+→ τ−τ+ para sm2

Z confirman plenamente estoscálculos.


e+e−→ hadrones

Aplicable a e+e−→ hadrones

R ≡ σ(e+e−→ hadrones)

σ(e+e−→ µ+µ−)≈ NC ∑

fQ2

f , 4m2f < s

e+e−→ hadrones y experimento. Nc = 3 y Qf del SM

10√_s [GeV]

1

2

3

4

5

6

7

R=σ

(e- e+

→ha

dron

s)/σ

(e+e- →

µ− µ+ )


Polarizaciones en e+e−→ µ+µ−

Si u(~p,+) es un spinor con helicidad +

u(~p,+)u(~p,+) = ∑λ

Π+u(~p,λ )u(~p,λ ) = Π+(/p + m)

Así para e−e+→ µ−µ+ tendremos

|M (s1,s2, r1, r2)|2 =e4

q4 Aµν

f (r1, r2)Aiµν (s1,s2)

con

Aµν

f (r1, r2) = Tr

Πr1(/k1 + mf )γµ Π−r2(/k2−mf )γ

ν

Aµν

i (s1,s2) = Tr

Πs1(/p1 + mi)γν Π−s2(/p2−mi)γ

µ

Para partículas sin masa se simplifica

u(~p,+)u(~p,+) = PR /p , u(~p,−)u(~p,−) = PL /p

v(~p,+)v(~p,+) = PL /p , v(~p,−)v(~p,−) = PR /p


En este límite sólo Aµν (+,−) y Aµν (−,+) no se anulan

Aµν

f (+,−) = Tr

PR /k1γµPR /k2γ

ν

= Tr/k1γ

µ /k2γνPR

=

= 2(k µ

1 kν

2 + kν

1 k µ

2 −gµν (k1k2)− iεσ µρνk1σ k2ρ

)igualmente

Aµν

i (+,−) = 2(pµ

1 pν

2 + pν

1pµ

2 −gµν (p1p2) + iεσ µρνp1σ p2ρ

)Contrayendo índices

Aµν

i (+,−)Af µν (+,−) =

= 4(

2(p1k1)(p2k2) + 2(p1k2)(p2k1) + εσ µρνpσ

1 pρ

2 εαµβνkα1kβ2

)= 16(p1k2)(p2k1)

donde εµνσρεµναβ =−2(δ ασ δ

β

ρ −δβ

σ δ αρ )


En CM y para partículas sin masa p1 = (E ,~p1), p2 = (E ,−~p1),k1 = (E ,~k1), k2 = (E ,−~k1), con E = |~p1|= |~k1|, yp1k2 = p2k1 = E2(1 + cosθ), p1k1 = p2k2 = E2(1−cosθ), asífinalmente obtenemos (s = 4E2)

|M (+,−,+,−)|2 = |M (−,+,−,+)|2 = e4 (1 + cosθ)2

|M (+,−,−,+)|2 = |M (−,+,+,−)|2 = e4 (1−cosθ)2

donde los cambios de signo se obtienen de los cambios designo en las εσ µρν . Añadiendo los factores de espacio fásico

dσ(e−Re+L → µ

−L µ

+R )

dΩ

∣∣∣∣∣CM

=α2

4s(1 + cosθ)2

Igualmente para las otras combinaciones.Sumando las cuatro contribuciones y dividiendo por 4recuperamos el resultado para la sección eficaz sinpolarizaciones.


e−µ−→ e−µ−: simetría de cruce

Diferente pero relacionadoDiagrama de e−µ−→ e−µ− en QED

p1−→

k2−→ k1−→

γ q = p1 − p2

p2−→e−

µ−

e−

µ−µ

ν

iM = ie2

q2 (u(k1, r1)γµu(k2, r2))

(u(p2,s2)γµu(p1,s1)

)donde q = p1−p2 = k1−k2. Similar a e−e+→ µ−µ+

cambiando q y los espinores de antipartículas


Si calculamos el elemento de matriz al cuadrado

∑spin|M |2 =

e4

4q4 Aµν

f Aiµν ,

donde ahora (mi = me y mf = mµ )

Aµν

f = Tr

(/k1 + mf )γµ (/k2 + mf )γ

ν

Aµν

i = Tr

(/p1 + mi)γν (/p2 + mi)γ

µ

Se obtiene del resultado para e−e+→ µ−µ+ cambiandok2→−k2, p2→−p2 y añadiendo un − por cada proyector deantipartícula que hemos cambiado (aquí 2 − ).Es suficiente cambiar en el resultadoq = p1−p2 = k1−k2, pi = p1 + p2, pf = k1 + k2La cinemática es completamente diferente. En CMp1 = (Ee,~p1), k2 = (Eµ ,−~p1), p2 = (Ee,~p2), k1 = (Eµ ,−~p2),|~p1|2 = |~p2|2 = E2

e −m2e = E2

µ −m2µ ≡ k2,~p1~p2 ≡ k2 cosθ .


Así q = (0,~p1−~p2), q2 =−2k2(1−cosθ),pi = (2Ee,~p1 +~p2), pf = (2Eµ ,−~p1−~p2),pipf = 4EeEµ + 2k2(1 + cosθ).En el límite smµ me, Ee ≈ Eµ ≈

√s/2 , k2 = s/4 se

simplifica

∑spin|M |2 =

2e4

(1−cosθ)2

(4 + (1 + cosθ)2

),

ydσ

dΩ

∣∣∣∣CM

=α2

2s

(4 + (1 + cosθ)2)

(1−cosθ)2

Divergente para θ = 0! El problema se mantiene incluso simantenemos las masas.Igual que Rutherford en MQ NR.Razón: el fotón no tiene masa y tiene un propagador 1/q2.


Amplitudes de procesos diferentes pero en los quécambiamos partículas (antipartículas) del estado inicial porantipartículas (partículas) al estado final o al revés estánrelacionados de forma muy simple.Generalizable a bosones, fotones (y también al caso deamplitudes polarizadas).

Receta para amplitudes sin polarizaciónEn ese caso para obtener el módulo al cuadrado de la amplituda partir de otro:Al cruzar una partícula (antipartícula) del estado inicial (final) aantipartícula (partícula) al estado final (inicial) se cambia elsigno de su cuadrimomento p→−p, y en el caso de fermionesse añade un signo − global por cada partícula (antipartícula)cruzada.


Colisión Compton

Los diagramas que contribuyen a γ e−→ γ e− son

Diagramas para el cálculo de la colisión Compton

p1 p1 + k1 p2e−

γ, k1

e−

γ, k2

p1 p1 − k2 p2e−

γ, k1

e−

γ, k2

y el elemento de matriz es

iM =−ie2u2

(/ε2

1/p1 + /k1−m

/ε1 + /ε11

/p1− /k2−m/ε2

)u1


Cinemática

Conservación del momento permite eliminar p2

p2 = p1 + k1−k2

Tres invariantes p1k1, p1k2, y k1k2 relacionados por

m2 = p22 = (p2 = p1 + k1−k2)2

que lleva ak1k2 = p1k1−p1k2

En RL p1 = (m,~0), k1 = (w1,~k1), k2 = (w2,~k2) y

w1w2(1−cosθ) = m(w1−w2)


Invariancia gauge

La invariancia gauge exige que si hacemos ε1→ k1 la suma deamplitudes se debe cancelar. Veamoslo

u2

(/ε2

1/p1 + /k1−m

/k1 + /k11

/p1− /k2−m/ε2

)u1

= u2

(/ε2

1/p1 + /k1−m

(/k1 + (/p1−m)

)+(/k1− (/p2−m)

) 1/p2− /k1−m

/ε2

)u1

= 0

Lo mismo sucede al hacer ε2→ k2.Esta propiedad nos permitirá hacer

2

∑λ1=1

εµ (~k1,λ1)εν (~k1,λ1)→−gµν


Escribiremos

1/p1 + /k1−m

=/p1 + /k1 + m

(p1 + k1)2−m2 =/p1 + /k1 + m

2p1k1

y usando (/p1 + m)/ε1u1 = 2(ε1p1)u1 tendremos

iM =−ie2

2u2

(/ε2(/k1/ε1 + 2p1ε1)

p1k1+

/ε1(/k2/ε2−2p1ε2)

p1k2

)u1

Así

∑s1,s2

|M |2 =e4

4Tr

(/p2 + m)

(/ε2(/k1/ε1 + 2p1ε1)

p1k1+

/ε1(/k2/ε2−2p1ε2)

p1k2

)

(/p1 + m)

((/ε1/k1 + 2p1ε1)/ε2

p1k1+

(/ε2/k2−2p1ε2)/ε1p1k2

)


Usando ∑2λ1=1

εµ (~k1,λ1)εν (~k1,λ1)→−gµν , (y el equivalente paraε2)

∑spin |M |2 =

e4

16Tr

(/p2 + m)

(γµ (/k1γν + 2pν

1)

p1k1+

γν (/k2γµ −2pµ

1 )

p1k2

)

(/p1 + m)

((γν /k1 + 2p1ν )γµ

p1k1+

(γµ /k2−2p1µ )γν

p1k2

)

≡ e4

16

(T1

(p1k1)2 +T2 + T3

(p1k1)(p1k2)+

T4

(p1k2)2

)dónde

T1 = Tr

(/p2 + m)γµ (/k1γ

ν + 2pν

1)(/p1 + m)(γν /k1 + 2p1ν )γµ

,

T2 = Tr

(/p2 + m)γµ (/k1γ

ν + 2pν

1)(/p1 + m)(γµ /k2−2p1µ )γν

,

T3 = T2(k1↔−k2) = T2 ,

T4 = T1(k1→−k2)


El cálculo de las trazas da

T1 = Tr/p2γ

µ (/k1γν + 2pν

1)/p1(γν /k1 + 2p1ν )γµ

+ m2Tr

γ

µ (/k1γν + 2pν

1)(γν /k1 + 2p1ν )γµ

= 32

(2m4−m2p1p2−m2p2k1 + 2m2p1k1 + (p2k1)(p1k1)

)= 32

(m4 + m2p1k1 + (p1k1)(p1k2)

)cambiando k1↔−k2, obtenemos T4

T4 = 32(

m4−m2p1k2 + (p1k1)(p1k2))

Un cálculo similar nos da T2 = T3

T2 =−16(

2m4 + m2p1k1−m2p1k2

).

Sustituyendo obtenemos finalmente

= ∑spin|M |2 = 2e4

(w1

w2+

w2

w1−sin2

θ

)

Espacio fásico

La integral de espacio fásico en LAB (~p1 = 0) es

∫dΦ2 =

∫ d3~k2

(2π)32w2

d3~p2

(2π)32E2(2π)4

δ(4)(p1 + k1−p2−k2)

=1

4(2π)2

∫ dw2w22 dΩ

w2E2δ (m + w1−w2−E2)

=1

4(2π)2

∫ w2dΩ

E2

E2w2

mw1

=1

8π

∫d cosθ

w22

mw1,

con

E2 =

√|~k1−~k2|2 + m2 =

√m2 + w2

1 + w22 −2w1w2 cosθ


y hemos usado∫dw2δ

(m + w1−w2−

√m2 + w2

1 + w22 −2w1w2 cosθ

)=

11 + (w2−w1 cosθ)/E2

=E2w2

mw1

también hemos usado las diferentes formas de escribir laconservación de la energía

E2 + w2 = m + w1

y

m + w1−w2−√

m2 + w21 + w2

2 −2w1w2 cosθ = 0

om + w1(1−cosθ) = m

w1

w2

para simplificar el resultado.Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 24/43

La sección eficaz

y la sección eficaz diferencial es

dσ

d cosθ=

12w12m

18π

w22

mw1∑spin|M |2

=πα2

m2

(w2

w1

)2(w2

w1+

w1

w2−sin2

θ

)con

w2 =w1

1 + w1m (1−cosθ)

Para w1m, w1 ≈ w2, y

dσ

d cosθ=

πα2

m2 (1 + cos2θ) , σtotal =

8πα2

3m2

que da la dispersión del campo electromagnético de radiación“clásico” por un electrón libre.


Manteniendo la polarización del fotónElegimos nµ ≡ pµ

1 /m tenemos para las ε1,ε2

p1ε1 = 0 , k1ε1 = 0 , ε21 =−1

p1ε2 = 0 , k2ε2 = 0 , ε22 =−1

así

∑s1,s2

|M |2 =e4

4Tr

(/p2 + m)

(/ε2/k1/ε1p1k1

+/ε1/k2/ε2p1k2

)

(/p1 + m)

(/ε1/k1/ε2p1k1

+/ε2/k2/ε1p1k2

),

≡ e4

4

(W1

(p1k1)2 +W2 + W3

(p1k1)(p1k2)+

W4

(p1k2)2

)W1 = Tr

(/p2 + m)/ε2/k1/ε1(/p1 + m)/ε1/k1/ε2

,

W2 = Tr

(/p2 + m)/ε2/k1/ε1(/p1 + m)/ε2/k2/ε1

,

W3 = W2(ε1↔ ε2,k1↔−k2) = W2 ,

W4 = W1(ε1↔ ε2,k1→−k2)

Anticonmutamos las /k i y /εi hasta que encuentren otro (p.e.)

W1 = Tr

(/p2 + m)/ε2/k1(/p1−m)/k1/ε2

= Tr/p2/ε2/k1/p1/k1/ε2

= 2p1k1Tr

/p2/ε2/k1/ε2

= 8p1k1(2(p2ε2)(k1ε2) + (p2k1)) = 8p1k1(2(k1ε2)2 + (p1k2))

Cambiando ε2↔ ε1, y k1↔−k2 obtenemos W4

W4 =−8p1k2(2(k2ε1)2− (p1k1))

Igualmente

W2 = Tr/ε2/k2/ε1(/p1 + /k1− /k2 + m)/ε2/k1/ε1(/p1 + m)

= Tr

/ε2/k2/ε1(/p1 + m)/ε2/k1/ε1(/p1 + m)

−2k2ε1Tr

/ε2/k2/ε2/k1/ε1/p1

+ 2k1ε2Tr

/ε2/k2/ε1/k1/ε1/p1

= 2p1k1Tr

/ε1/ε2/k2/ε1/ε2/p1

+ 8(k2ε1)2(p1k1)−8(k1ε2)2(p1k2)

= 8(

(p1k1)(p2k2)(

2(ε1ε2)2−1)

+ (k2ε1)2(p1k1)− (k1ε2)2(p1k2))

Cambiando ε2↔ ε1, y k1↔−k2 obtenemos W3 = W2.Sumando todo

∑s1,s2

|M |2 = 2e4(

p1k1

p1k2+

p1k2

p1k1+ 2

(2(ε1ε2)2−1

))Añadiendo los factores de espacio fásico

dσ(λ1,λ2)

d cosθ=

πα2

2m2

(w2

w1

)2(w2

w1+

w1

w2+ 4(ε1ε2)2−2

)Hemos podido llegar a este resultado sencillo sin necesidad desumar sobre las polarizaciones de los fotones!


si sumamos (promediamos) polarizaciones

dσ

d cosθ=

12

2

∑λ1,λ2=1

dσ(λ1,λ2)

d cosθ=

πα2

m2

(w2

w1

)2(w2

w1+

w1

w2−sin2

θ

)

donde hemos utilizado que~ε1(~k1,3) =~k1/|~k1| para sumar

2

∑λ1,λ2=1

(ε1ε2)2 =2

∑λ1,λ2=1

(~ε1~ε2)2 =3

∑i ,j=1

2

∑λ1=1

εi1ε

j1

2

∑λ2=1

εi2ε

j2

=3

∑i ,j=1

(δ

ij − k i1k j

1|k1|2

)(δ

ij − k i2k j

2|k1|2

)

= 3−1−1 +(~k1~k2)2

|~k1|2|~k2|2= 1 + cos2

θ


Aniquilación de pares e−e+→ γγ

Aniquilación de pares en QED

p1

p2

p1 − k1

e−

e+

γ, k1

γ, k2

p1

p2

p1 − k2

e−

e+

γ, k1

γ, k2

que se puede obtener de Compton cambiando p2→−p2 yk1→−k1 y añadiendo un −

∑spin|M |2 = 2e4

(p1k1

p1k2+

p1k2

p1k1−(

1− m2

p1k1− m2

p1k2

)2

+ 1

)

Invariante Lorentz. Vamos a CMp1 = (E ,~p1), k1 = (E ,~k1), k2 = (E ,−~k1),p1k1 = E(E −p cosθ), p1k2 = E(E + p cosθ)


∑spin|M |2 = 2e4

(2

E2 + p2 cos2 θ

E2−p2 cos2 θ+ 1−

(1− 2m2

E2−p2 cos2 θ

)2)Añadiendo el espacio fásico y factor de flujo

dσ

d cosθ

∣∣∣∣CM

=2πα2

sβ

(4−2β 2

1−β 2 cos2 θ−2(

1−β 2

1−β 2 cos2 θ

)2

−1

)con β ≡ p/E =

√1−4m2/s. En el límite sm2

dσ

d cosθ

∣∣∣∣CM

=2πα2

s

(1 + cos2 θ

1−cos2 θ

)mientras σT es ( factor 1/2 por partículas idénticas)

σtotal =πα2

sβ

(3−β 4

βlog

1 + β

1−β−4 + 2β

2)


Límites

En el límite no relativista (β → 0) encontramos,

σtotal =πα2

2m2β, β 1

mientras que en el límite ultra-relativista (β → 1) tenemos,

σtotal =2πα2

s

(log

sm2 −1

), sm2

Análisis dimensional corregido por logaritmos:Para sm σtotal va como 1/s pero si m = 0 diverge debido alpolo del propagador de electrón.Hay que mantener m hasta y hacer el límite de m→ 0 al final.Así se generan correcciones log(s/m2) a la estimación hechacon análisis dimensional.


Z → f f

iM =−ie

2sW cWu(~p1,s1)γµ (gfV −gfAγ5)v(p2,s2)ε

µ

Z (q,λ ) ,

donde q = p1 + p2. Para mf mZ ≈ 90 GeV

∑spin|M |2 =

13

3

∑λ=1

e2

4s2W c2

WTr/p1γµ (gfV −gfAγ5)/p2γν (gfV −gfAγ5)

ε

µ

Z εν

Z

= − e2

12s2W c2

WTr

/p1γµ /p2γν (gfV −gfAγ5)2(

gµν − qµqν

m2Z

)

= − e2

12s2W c2

WTr

/p1γµ /p2γµ (g2

fV + g2fA−2giV giAγ5)

=

2e2

3s2W c2

W(g2

fV + g2fA)p1p2 =

e2

3s2W c2

W(g2

fV + g2fA)m2

Z

Γ(Z → f f ) =αCf

12s2W c2

W(g2

fV + g2fA)mZ


e−e+→ f f en el pico del Z

Diagrama que domina e−e+→ f f en el pico del Z

p1ր

k2րZ

q = p1 + p2

p2ց

k1ց

e−

e+

f

f

Si solo consideramos intercambio del Z

iM = ie2

4s2W c2

W

(gµν − qµqν

m2Z

)1

q2−m2Z + iΓZ mZ

× (u′1γµ (gfV −gfAγ5)v ′2

)(v2γν (giV −giAγ5)u1)


Donde tenemos en cuenta que el Z es inestable haciendoq2−m2

Z → q2−m2Z + iΓZ mZ ,

El término que va cómo qµqν da masas de fermiones y sepuede despreciar. Así

∑spin|M |2 =

e4

64s4W c4

W

1(q2−m2

Z )2 + Γ2Z m2

ZAµν

f Aiµν

donde

Aµν

f = Tr/k1γ

µ (gfV −gfAγ5)/k2γν (gfV −gfAγ5)

Aµν

i = Tr/p1γ

ν (giV −giAγ5)/p2γµ (giV −giAγ5)

Haciendo las trazas en Aµν

f obtenemos

Aµν

f = 4(

(g2fV + g2

fA)(k µ

1 kν

2 + kν

1 k µ

2 −gµν (k1k2))

+ 2igfV gfAεσ µρνkσ

1 kρ

2

)Aµν

i = 4(

(g2iV + g2

iA)(pµ

1 pν

2 + pν

1pµ

2 −gµν (p1p2))−2igiV giAεσ µρνkσ

1 kρ

2

)Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 35/43

Contrayendo índices

Aµν

i Af µν = 16

(2(g2

iV + g2iA)(g2

fV + g2fA)((p1k1)(p2k2) + (p1k2)(p2k1))

+ 4giV giAgfV gfAεσ µρνpσ

1 pρ

2 εαµβνkα1kβ2

)

= 32

((g2

iV + g2iA)(g2

fV + g2fA)((p1k1)(p2k2) + (p1k2)(p2k1))

−4giV giAgfV gfA ((p1k1)(p2k2)− (p1k2)(p2k1))

)

= 4s2(

(g2iV + g2

iA)(g2fV + g2

fA)(1 + cos2θ) + 8giV giAgfV gfA cosθ

)En CM p1k1 = p2k2 = E2(1−cosθ),p1k2 = p2k1 = E2(1 + cosθ), y E2 = s/4.


La asimetria forward-backward

Añadiendo espacio fásico

dσ

d cosθ= F (s)(1 + cos2

θ) + G(s)cosθ

con

F (s) =πα2Cf

32s4W c4

W

s(s−m2

Z )2 + Γ2Z m2

Z(g2

iV + g2iA)(g2

fV + g2fA)

G(s) =πα2Cf

32s4W c4

W

s(s−m2

Z )2 + Γ2Z m2

Z8giV giAgfV gfA

Término que va lineal con cosθ consecuencia de lasinteracciones que van con γ5: asimetría “forward-backward”

AFB =

∫θ<π/2 dσ − ∫

θ>π/2 dσ∫θ<π/2 dσ +

∫θ>π/2 dσ

=38

G(s)

A(s)=

34

4giV giAgfV gfA

(g2iV + g2

iA)(g2fV + g2

fA)


La sección eficaz

Integrando la sección eficaz total es

σ(e−e+→ f f ) =83

F (s) = 12πs

m2Z

Γ(Z → e−e+)Γ(Z → f f )

(s−m2Z )2 + Γ2

Z m2Z

Justo en el pico del Z

σ(e−e+→ f f )s=m2Z

=12π

m2Z

B(Z → e−e+)B(Z → f f )

dónde

B(Z → f f )≡ Γ(Z → f f )

ΓZ


Comparación con el resultado experimental

e−e+→ hadrones en el pico del Z

Solo hay 3 generaciones de neutrinos ligeros!


e−e+→W−W +

Diagrama que contribuye a e−e+→W−W + en LEP2

p1

p2 k2

p1 − k1 νe

k1e−

e+

W−

W+

iM =−ie2

2s2W

v2/ε2PL1/q

/ε1PLu1

con q = p1−k1 = k2−p2. Así

∑spin|M |2 =

e4

16s4W q4

3

∑λ1,λ2=1

Tr/ε2/p2/ε2/q/ε1/p1/ε1/qPR


Se descompone en bloques

3

∑λ2=1

/ε2/p2/ε2 =−γµ /p2γµ +

/k2/p2/k2

m2W

= 2/p2 +/q/p2/qm2

W

usamos que si /p22 = 0, /k2/p2 = /q/p2 y que la parte de γ5 de PR

no contribuye.(2p1p2 = s, 2p1q =−2p2q = q2−m2

W )

∑spin|M |2 =

e4

32s4W q4

Tr

(2/p2/q +

q2/q/p2

m2W

)(2/p1/q +

q2/q/p1

m2W

)

= − e4

16s4W q4

(4 +q4

m4W

)(q2−m2

W

)2+ sq2

(2− q2

m2W

)2


En CM q2 =−(E2 + k2−2Ek cosθ) dónde, s = 4E2, yk2 = E2−m2

W . Para sm2W , q2 ≈−s(1−cosθ)/2, y entonces

∑spin|M |2 ≈ e4

4s4W

s2

m4W

(1−cos2θ)

Añadiendo los factores de espacio fásico y flujo

dσ

d cosθ≈ πα2

8s4W

sm4

W(1−cos2

θ)

y

σ =πα2

6s4W

sm4

W

que crece linealmente con s: consecuencia de los términosqµqν/m2

W en las sumas sobre polarizaciones.El desarrolo perturbativo falla para sm2

W !Arcadi Santamaria Tema 9: Procesos elementales en QED y con campos de Proca 26 de octubre de 2009 42/43

e−e+→W−W +

180 200 220 240

√_s [GeV]

10

20

30

40

50

60

σ(e- e+

→W

- W+)

[pb]

Només intercanvi de ν’sIntercanvi de ν+γModel Estàndard complet

Necesidad del bosón Z con acoplamientos fijados porinvariancia gauge!


Tema 10:Renormalización I: necesidad de la

renormalización en λφ4

Arcadi Santamaria


Contenido

1 Necesidad de la renormalización de masas, funciones deonda y constantes de acoplamiento.

N-ordenar o no N-ordenar?

2 Renormalización a un lazo de λφ4

Comportamiento para s 4m2 : grupo derenormalización

Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 2/36

Necesidad y significado de la renormalización

Vimos queH = H0 + ∆H ,

H0 describe partículas físicas con la masa física y con estadoscorrectamente normalizados. En particular

〈0,out |0, in〉= 〈0|S |0〉= 1 ,

para el estado fundamental (el vacío) de la teoría, mientras⟨~p ′,out

∣∣~p, in⟩

=⟨~p ′∣∣S ∣∣~p⟩= (2π)32Epδ

(3)(~p ′−~p)

para los estados de una partícula. En cambio, si separamos elLagrangiano de la forma más sencilla

L = L0 + ∆L

L0 ≡ 12

(∂

µφ∂µφ −m2

φ2)

,

∆L ≡ − λ

4!φ

4 ,


e interpretamos L0→ H0, ∆L →∆H, inmediatamenteencontramos diagramas cómo

Vacío

〈0|S |0〉 6= 1 el vacío no está bien normalizado!La diferencia es una fase. SoluciónH →H −Λ4

0 con Λ40 = E0/V con Λ0 a ajustar.

Estados de una partícula similar:Autonergía


Misma estructura que la generada por el término de masas, φ2,o el término cinético ∂ µφ∂µφ .El desarrollo perturbativo de S no está definido.Autonergía en pata externa

da una contribución

−iΣ(p)i

p2−m2 ,

infinita para p2 = m2, sí Σ(p2 = m2) 6= 0.


Necesario definir las cosas con más precisión

One-particle irreducible (1PI)

no se puede reducir a dos diagramas desconectados

One-particle reducible

sí se puede reducir cortando sólo una línea interna.


El propagador completo

Σ

= + + + ···

donde −iΣ(p), representa la suma de todos los diagramas 1PI

−iΣ(p) =

Así la contribución a la matriz S de una pata externa será

1 +Σ

p2−m2 +

(Σ

p2−m2

)2

+ · · ·= p2−m2

p2−m2−Σ(p)

si Σ(p2 = m2) 6= 0 en p2→m2 da cero: ambigüedad!Es necesario que Σ(p2 = m2) = 0.


No es suficiente

l«ımp2→m2

p2−m2

p2−m2−Σ(p)=

11−dΣ/dp2

∣∣∣∣p2=m2

6= 0

afecta⟨~p ′∣∣S ∣∣~p⟩ y los estados de una partícula no están

normalizados correctamente.Necesario que Σ′(m2) = 0.

Razón de los problemasSeparación H = H0 + H−H0 ≡ H0 + ∆HIdentificación de H0 con la parte cuadrática y susparámetros con los parámetros medidos en elexperimento.


El problema es obvio cuando definimos el Lagrangiano.¿N-ordenamos o no?

φ4 =:φ4: +6φφ :φ2(x): +3

(φφ)2

.

El último término renormaliza la energía del vacío.El segundo renormaliza el término de masas.

La masa física de las partículas no puede depender de siN-ordenamos o no el Lagrangiano!La masa de un electrón medida experimentalmente contiene lainteracción con su campo electromagnético!

Hemos sido demasiado inocentes identificando los parámetrosde H0 con los parámetros físicos.


Parámetros “bare” y parámetros físicos

Para dejar claro que los parámetros del Lagrangiano no son losobservados en el experimento reetiquetaremos campos,masas y constantes de acoplamiento

φ → φB ,

m → mB ,

λ → λB .

Y mantendremos la notación φ para el campo que creapartículas físicas con la normalización correcta, m para lamasa física y λ para la constante de acoplamiento medida enel experimento.

φB, mB, y λB se denominan parámetros “bare” (desnudos)φ , m, y λ se denominan parámetros renormalizados.

Este tipo de renormalización se llama renormalización“on-shell” (sobre la capa másica) porque los parámetrosrenormalizados están directamente relacionados conobservables físicos.


Con estas definiciones el Lagrangiano de partida será

L =12

(∂

µφB∂µφB−m2

Bφ2B

)− λB

4!φ

4B

con su correspondiente Hamiltoniano.Así definiremos un Lagrangiano libre en términos deparámetros físicos

L0 ≡12

(∂

µφ∂µφ −m2

φ2)

.

Ahora sumaremos y restaremos L0 al Lagrangiano L ,entonces si ∆L ≡L −L0

L = L0 + ∆L

∆L será una perturbación de L0.


φ y m relacionados con φB y mB, pero la relación puede sercomplicada (QCD).Si λ 1 esperamos que

φB ≡√

Zφ φ , m2B ≡m2Zm , λB ≡ λZλ

con

Zφ = 1 + a1λ + · · · , Zm = 1 + b1λ + · · · , Zλ = 1 + c1λ + · · · .

con a1, b1,· · · a determinar. Así

∆L =− λ

4!φ

4 +12

δφ ∂µ

φ∂µφ − 12

δmφ2− δλ

4!φ

4

donde

δφ ≡ Zφ −1 , δm ≡m2(ZmZφ −1) , δλ ≡ λ (Zλ Z 2φ −1) .

que está escrito en términos de m2 y λ .Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 12/36

L0, ahora contiene campos que crean estadoscorrectamente normalizados y masas físicas∆L contiene la interacción original más uncontratérmino,δm, δφ , y δλ , por cada uno de los términosdel Lagrangiano original.Todos los términos en ∆L contienen al menos un factor λ

y se van a cero cuándo λ → 0.

δm, δφ , y δλ no se conocen y se deben determinar exigiendoque m sea la masa física y que φ cree estados con lanormalización correcta, es decir, que la autoenergía y suderivada se anulan en p2 = m2. Para fijar δλ , lo que define, λ

podremos usar cualquier amplitud.


El propagador escalar

Los nuevos términos modifican las reglas de Feynman

−−−⊗−−− i(δφ p2−δm

)Y la autoenergía (1PI) es

−iΣ =−iΣloops + i(δφ p2−δm

).

En general Σloops no es cero en p2 = m2, ni tampoco lo es suderivada.δφ y δm se deben elegir de forma que

Σ(p2 = m2) = 0dΣ

dp2

∣∣∣∣p2=m2

= 0


Así

δφ =dΣloops

dp2

∣∣∣∣p2=m2

δm = −Σloops(p2 = m2) + δφ m2

sustituyendo

Σ(p2) = Σloops(p2)−Σloops(m2)−Σ′loops(m2)(p2−m2)

Altamente no lineales ya que los vértices con δm y δφ tambiénintervienen en el cálculo de Σloops .Si Σloops, δφ , δm se desarrollan en λ se podrán resolvercoeficiente a coeficiente: al orden más bajo Σloops esindependiente de δm y δφ y para calcular Σ(p2) será suficienterestar de Σloops(p2) los dos primeros términos de su desarrolloalrededor de la masa física, p2 = m2 ( No es necesario elcálculo explícito de los contratérminos!)


Diagramas con autoenergías en patas externas nocontribuyen a la matriz S, es decir, sólo contribuyen losdiagramas amputados.En patas internas se usará el propagador completo

ip2−m2 →

ip2−m2−Σ(p2)

Importante siLa partícula intermedia es inestable y estamos cerca de laresonanciaSi p2m2 y queremos resumar las posiblesdependencias de log(p2/m2) en Σ(p2)


Renormalización del propagador de fermión

Para fermiones en una línea externa(1 +

1/p−m

Σ +1

/p−mΣ

1/p−m

Σ + · · ·)

u(~p,s)

=1

1− (/p−m)−1Σ(p)u(~p,s) =

((/p−m)−1(/p−m−Σ)

)−1u(~p,s)

=1

/p−m−Σ(/p−m)u(~p,s) .

Si m es la masa física tenemos que (/p−m)u(~p,s) = 0,Necesario que Σ(/p = m) = 0.Además los estados fermiónicos deben estar normalizadoscorrectamente y por tanto

l«ım/p→m

1/p−m−Σ

(/p−m) = 1


Así las dos condiciones de renormalización son

Σ(/p = m) = 0dΣ

d/p

∣∣∣∣/p=m

= 0

Procediendo como hicimos en el caso escalar

Σ(/p) = Σloops(/p)−Σloops(m)−Σ′loops(m)(/p−m)

Σ′(/p) es la derivada formal respecto /p.En general (en teorías sin violación de la paridad) tendremos

Σloops(/p) = A(p2)/p + mB(p2)


Para hacer el desarrollo en /p = m usaremos p2 = /p2

∂ Σloops

∂ /p= A′(p2)2p2 + A(p2) + mB′(p2)2/p .

Con la autoenergía correctamente definida no será necesarioconsiderar diagramas con autoenergías en líneas externas.En las líneas internas usaremos el propagador fermiónicocompleto

i/p−m

→ i/p−m−Σ

.


El vértice a un loop

¿Cómo calcular elementos de matriz a órdenes más altos?

iM =−i(λ + δλ + Vloops) .

λ se define con un proceso y luego se usará para calcularotros. Definiremos λ en s = 4m2, t = 0, u = 0

−iλ ≡ iM ≡ iM (s = 4m2,u = 0, t = 0) =−i(

λ + Vloops + δλ

).

Esta condición nos fija completamente δλ ,

δλ =−Vloops

y de esta forma

iM =−i(λ + Vloops− Vloops)

Fijada λ en una colisión medida en una cierta configuracióncinemática, la podemos utilizar para predecir la sección eficaza otras energías y configuraciones cinemáticas, y para predecirsecciones eficaces de otros procesos.


¿N-ordenar o no N-ordenar?

La N-ordenación no garantiza que el estado |0〉 sea autoestadodel Hamiltoniano, ni siquiera que el estado de mínima energíadel sistema tenga energía cero.

¿Es necesario N-ordenar la interacción?HI N-ordenado: no se consideran contracciones dentro delmismo termino.Reducción del número de diagramas a considerar: p.e. en− λ

4! φ4, a orden λ , no hay autoenergía del escalar ni energía

del vacío.

Si no N-ordenamos, tenemos

que corrige la energía del vacío


o el diagrama a un loop

que contribuye al autoenergía de la partícula.A orden λ ya necesitamos aplicar el programa derenormalización para definir correctamente la teoría.¿De dónde vienen estas contribuciones?

− λ

4!φ

4 =− λ

4!:φ4:−λ

4φφ :φ2(x):−λ

8(

φφ)2

.

El último término: energía del vacío

−iλ

8(

φφ)2


El segundo término da una contribución a la masa de lapartícula.Justo la que se obtiene con el diagrama de autoenergía quehabíamos dibujado

−iλ

2φφ

Interesante observar que todos estos diagramas tienenfactores de símetria:

8 para el diagrama de vacío2 para el diagrama de autoenergía

Consecuencia directa del teorema de Wick.


La N-ordenación no es más que una renormalización previa dela masa y de la energía del vacío.

Al nivel árbol, e incluso a un loop, donde para calcular losobservables no necesitamos determinar explícitamente loscontratérminos, la N-ordenación tiene ventajas evidentes:p.e. las primeras contribuciones a la autoenergía sonorden λ 2.A órdenes más altos puede ser, a veces, más convenientetrabajar con una interacción que no esté N-ordenada.


La amplitud a un loop

Solo hemos hecho manipulaciones del Lagrangiano y de losdiagramas.

Al calcular el primer diagrama a un loop nos daremoscuenta de que, en general, es divergente y ambiguo:necesitamos algún método para definirlo correctamente.Cuando aplicamos el programa de renormalización,desarrollado a la sección anterior, los infinitos y lasambigüedades se cancelan cuando expresamos lasamplitudes en términos de los parámetros físicos.

Veamos cómo funciona calculando φφ → φφ a un loop en lateoría λφ4

Si la interacción está N-ordenada, a un loop o a orden λ no haycontribuciones a las autoenergías;El primer diagrama no trivial a la autonergia ocurre a 2 loops yorden λ 2.


La amplitud a un loop

A orden λ 2 sí hay contribuciones a la amplitud de colisión

M(1)loop = M

(1)a +M

(1)b +M

(1)c .

M(1)b = M

(1)a (p4→−p1) , M

(1)c = M

(1)a (p3→−p1) ,

iM (1)a =

(−iλ )2

2

∫ d4k(2π)4

i(k2−m2 + iε

) i((p3 + p4−k)2−m2 + iε

) ,

que se tiene que sumar a la contribución a nivel árboliM (0) =−iλ y a las contribuciones de los contratérminos:

iM = i(M (0) +M

(1)loop−M

(1)loop + · · ·

)Arcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 26/36

Regularización

M(1)a log. divergente para k2→ ∞ (va como

∫ d4kk4 )

Hay que regularizar. Por ejemplo, la integral

I =∫

∞

0

dxx + a

, a > 0

es divergente pero la podemos definir cómo

I = l«ımΛ→∞

∫ Λ

0

dxx + a

= l«ımΛ→∞

logΛ + a

a= l«ım

Λ→∞

logΛ

a.

Alternativamente, si FΛ(x) = (Λ−a)/(x + Λ)

I = l«ımΛ→∞

∫∞

0

dxx + a

FΛ(x) = l«ımΛ→∞

∫∞

0dx(

1x + a

− (a→ Λ)

)= l«ım

Λ→∞

logΛ

a

Aplicaremos el método a

I(q²,m)≡∫ d4k

(2π)41(

k2−m2)(

(q−k)2−m2)

donde la sustitución m2→m2− iε se sobreentiendeArcadi Santamaria Tema 10: Renormalización I: necesidad de la renormalización en λφ4 2 de noviembre de 2009 27/36

Para regularizar haremos

IΛ = I(q2,m)− I(q2,Λ)

donde el límite Λ2 q2,m2 es implícito. IΛ es convergente.Parametrizando a la Feynman

IΛ =∫ 1

0dx∫ d4k

(2π)4

(1

(k2−∆m)2 −1

(k2−∆Λ)2

),

con

∆m ≡m2−q2x(1−x) , ∆Λ ≡ Λ2−q2x(1−x)

Ahora combinamos los dos términos en uno

2∫ ∆m

∆Λ

dt1

(k2− t)3 =1

(k2−∆m)2 −1

(k2−∆Λ)2 .

Así

IΛ = 2∫ 1

0dx∫ ∆m

∆Λ

dt∫ d4k

(2π)41

(k2− t)3 .


Explícitamente convergente y se puede resolver

IΛ =−i

(4π)2

∫ 1

0dx∫ ∆m

∆Λ

dtt

=−i

(4π)2

∫ 1

0dx log

∆m

∆Λ.

En el límite Λ q2,m2 tenemos ∆Λ ≈ Λ2 y

IΛ =i

(4π)2

(log

Λ2

m2 + F(

q2

m2

)),

con

F (w)≡−∫ 1

0dx log(1−w x(1−x)− iε) .

El término −iε viene de los propagadores y resuelve lasambigüedades si 1−w x(1−x) < 0. p.e.

log(1−w x(1−x)− iε) = log |1−w x(1−x)|− iπθ(w x(1−x)−1) ,


Resolviendo las integrales

F (w) =

2 +√

1−4/w log

√1−4/w −1√1−4/w + 1

, w < 0

2−2√

4/w −1 arctan1√

4/w −1, 0 < w < 4

2 +√

1−4/w log1−

√1−4/w

1 +√

1−4/w+ iπ

√1−4/w , w > 4

En particular, F (0) = 0, F (4) = 2,y si |w | → ∞ tenemos F (w)≈ 2− log(−w) .Así la amplitud es

iM (1)a = i

λ 2

2(4π)2

(log

Λ2

m2 + F( s

m2

))


y el total

−Vloops = M(1)loops =

λ 2

2(4π)2

(3log

Λ2

m2 + F( s

m2

)+ F

(t

m2

)+ F

( um2

))con s = (p1 + p2)2, t = (p1−p3)2, u = (p1−p4)2. Eligiendo laconfiguración que define λ tal que

iM =−iλ , s = 4m2, t = 0, u = 0 ,

inmediatamente encontramos que la amplitud renormalizada aun loop es

iM =−i(

λ − λ 2

2(4π)2

(F( s

m2

)+ F

(t

m2

)+ F

( um2

)−2))

perfectamente finita y bien definida. Dependencias en Λ yambigüedades de regularización se cancelan si expresamos elresultado en términos de parámetros medidos!


Igualmente podemos determinar el contratérmino

δλ =−Vloops =λ 2

2(4π)2

(3log

Λ2

m2 + 2)

,

aunque a un loop no nos hace falta para nada.La amplitud tiene muchos aspectos interesantes:

Para s < 4m2 es real, pero para s > 4m2 contiene unaparte imaginaria: Necesaria para garantizar la unitariedady satisfacer el teorema óptico.Para bajas energías s ≈ 4m2 y λ 16π2 la corrección deun lazo es una corrección pequeña y la teoría deperturbaciones es una buena aproximación a la amplitudexacta.Para s 4m2 hay correcciones que van como λ log(s/m2)que pueden ser grandes aunque λ sea pequeña y podríanestropear el desarrollo perturbativo.


Comportamiento para s 4m2 : grupo derenormalización

En el límite s 4m2 tenemos F (s/m2)→− log(s/m2).En CM t →−1

2s(1−cosθ) y u→−12s(1 + cosθ).

Si θ 6= 0,π el límite de s grandes implica t y u grandes.Esto quiere decir que para s 4m2 podemos aproximar

iM ≈−i λ

(1 +

3λ

2(4π)2 logs

m2

), s 4m2

donde hemos despreciado los términos subdominantes.

El coeficiente de log(s/m2) es el mismo, cambiado de signo,que el del término log(Λ2/m2) en la amplitud regularizada:Se puede obtener calculando las partes divergentes de lasamplitudes!


Problema con T. perturbaciones

Cuando 3λ

2(4π)2 log sm2 > 1 las correcciones a un lazo son más

grandes que a nivel árbol!

Soluciónλ se fijó en s = 4m2. Perfectamente hubiéramos podido definirλ en otros valores de s , p.e. en s = µ2 y cosθ = 0.Sea λ (µ) al valor de la constante de acoplamiento fijado conestas condiciones ReM =−λ (µ). Entonces

iM ≈−i λ (µ)

(1 +

3λ (µ)

2(4π)2 logs

µ2

), s 4m2 ,

podemos hacer la corrección tan pequeña como queramoseligiendo µ2 tan cerca de s como sea necesario.


¿cómo determinar λ (µ) conociendo p.e. λ ≡ λ (4m2)?M es un observable y no puede depender de la escala en quedecidimos definir λ . Por lo tanto

0 =∂

∂ µM =− ∂

∂ µλ (µ) +

3λ 2(µ)

(4π)21µ

+ · · ·

y

µ∂

∂ µλ (µ) =

3λ 2(µ)

(4π)2 + · · ·

que se resuelve en términos de una condición inicial,λ0 ≡ λ (µ0).

λ (µ) =λ0

1− 3λ0(4π)2 log µ

µ0

y permite determinar λ (µ) en términos de λ0 medido a unaescala µ0.


En particular si elegimos µ =√

s tendremos

iM ≈−iλ (√

s) =−iλ0

1− 3λ02(4π)2 log s

µ20

, s 4m2 ,

Válida siempre que λ (√

s) se mantenga pequeña, aunque ellogaritmo, log(s/µ2

0 ), sea grande!

Grupo de renormalizaciónEsta técnica, conocida bajo el nombre de “grupo derenormalización”, permite obtener desarrollos perturbativosútiles incluso en presencia de diferencias de escalas grandes.Efectivamente resuma correcciones de orden superior de laforma

(λ0 log(s/µ2

0 ))2


Tema 12:Renormalización III: QED a un loop

Arcadi Santamaria


Contenido

1 El Lagrangiano renormalizado de QED

2 El autoenergía del electrón: estructura y renormalización

3 El vértice: estructura y renormalización

4 Identidades de Ward

5 La polarización del vacío

6 Factores de forma del electrón: el momento magnéticoanómalo

Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 2/37

Peculiaridades de QED y Lagrangiano

Consecuencia de la invariancia gauge:1 Los fotones no tienen masa: divergencias IR.2 Las constantes de renormalización no son independientes

ya que el vértice y la autoenergía del electrón estánrelacionados: la renormalización de la constante deacoplamiento se puede calcular estudiando larenormalización de la función de onda del fotón.

3 La invariancia gauge esencial para mantener el fotón sinmasa. Hay que usar métodos de regularización quepreserven la IG (regularización dimensional o Pauli-Villars)

El Lagrangiano de QED escrito en términos de campos yparámetros desnudos es

LQED = ψB(i /∂ −mB

)ψB−

14

F µν

B FBµν−12

λB(∂µAµ

B

)2+eBψBγ

µψBABµ


La relación con los renormalizados es

Aµ

B =√

Z3Aµ , Z3 = 1+δ3 , ψB =√

Z2ψ , Z2 = 1+δ2 ,

Z2√

Z3eB = Z1e = e+eδ1 , Z2mB = m+δm , Z3λB = λ +δλ

de forma que

LQED = ψ(i /∂ −m

)ψ− 1

4F µνFµν −

12

λ(∂µAµ

)2+ eψγ

µψAµ

+ψ(iδ2 /∂ −δm

)ψ− 1

4δ3F µνFµν −

12

δλ

(∂µAµ

)2+ eδ1ψγ

µψAµ ,

El Lagrangiano, además del original, tiene un contratérmino porcada término del Lagrangiano original, δ2 para el términocinético del electrón, δm para la masa, δ3 para el términocinético del fotón, δ1 para el vértice y δλ para el término que fijael gauge.


No todos los contratérminos son independientes:1 El término que fija el gauge no necesita renormalización y

podremos elegir δλ = 0.2 La renormalización del vértice y de la función de onda del

fermión están relacionadas δ1 = δ2 ( y por tanto Z1 = Z2).Esta relación implica que

√Z3eB = e: para renormalizar la

constante de acoplamiento es suficiente estudiar larenormalización de la función de onda del fotón.


La autoenergía del electrón

la autoenergía renormalizada del electrón es

−iΣ2 =−iΣ2loops + i(δ2/p−δm

)y fijaremos las condiciones de renormalización cómo siempre

Σ2(/p = m) = 0 ,

dΣ2

d/p

∣∣∣∣/p=m

= 0 ,

de forma que

δ2 =dΣ2loops

d/p

∣∣∣∣/p=m

δm =−Σ2loops(m) + δ2m

De las reglas de Feynman (en el gauge de Feynman)

−iΣ2loops =−e2∫ d4k

(2π)4 γσ 1

/k + /p−mγσ

1k2


Definiremos el vértice electrón-fotón como la suma de todoslos diagramas 1PI con dos electrones y un fotón en líneasexternas, eliminando espinores y funciones de onda en laspatas externas.Su contribución a un elemento de matriz será

iM = u(~p2,s2)ieΓµ (p2,p1)u(~p1,s1)Jµ

Jµ representa genéricamente la contribución del resto deldiagrama. Al orden más bajo

Γ(0)µ = γµ

mientras el vértice completo es

Γµ = γµ + Γ

µ

loops + δ1γµ = Z1γ

µ + Γµ

loops

Para determinar δ1 tenemos que fijar una condición derenormalización.


En el caso de QED es natural elegir el vértice renormalizado deforma que cuando el cuadrimomento (entrando en el vértice)del fotón, q ≡ p2−p1, se anula (p2→ p1) y los electrones estánsobre la capa másica el vértice no tiene ninguna corrección

Γµ (p1,p1)|/p1=m = γµ

de donde podemos determinar δ1

δ1γµ =− Γ

µ

loops(p1,p1)∣∣∣/p1=m

De las reglas de Feynman (en el gauge de Feynman)

Γµ

loops =−ie2∫ d4k

(2π)4 γσ 1

/k + /p2−mγ

µ 1/k + /p1−m

γσ

1k2


Identidades de Ward

ya vimos que

M = εµ (~k1,λ1)ε

ν (k2,λ2) · · ·Mµν ···(~k1,~k2, · · ·) ,

y

k µ

1 Mµν ···(~k1,~k2, · · ·) = 0 , kν

2 Mµν ···(~k1,~k2, · · ·) = 0 · · ·

Generalizable a fotones “off-shell” (k2i 6= 0) (Identidades de

Ward). Veamos como funcionan a un loop: Si calculamosqµ Γ

µ

loops tenemos

qµ Γµ


(2π)4 γσ

(1

/k + /p2−m− 1

/k + /p1−m

)γσ

1k2 ,

donde hemos escrito

/q = /p2− /p1 = /p2 + /k −m− (/p1 + /k −m)

y hemos cancelado los denominadores.Arcadi Santamaria Renormalización III: QED a un loop 5 de noviembre de 2009 9/37

Comparando con la la autoenergía del electrón

(p2µ −p1µ )Γµ

loops(p2,p1) = Σ2loops(p1)−Σ2loops(p2)

Si ahora hacemos p2→ p1 tendremos que

Γµ

loops(p1,p1) =− ∂

∂p1µ

Σ2loops(p1) =−γµ ∂

∂ /p1Σ2loops(p1)

poniendo los electrones sobre la capa másica, /p1 = m, yutilizando las definiciones de δ1 y δ2 obtenemos

−δ1γµ = Γ

µ


=−γµ ∂

∂ /p1Σ2loops(p1)

∣∣∣∣/p1=m

=−δ2γµ

de forma que δ1 = δ2, o lo que es lo mismo

Z1 = Z2


Si ahora reescribimos esta relación en términos del vértice yautoenergía renormalizadas

Γµ

loops = Γµ − γµ −δ1γ

µ , Σ2loops = Σ2−(δ2/p−δm

)tenemos

qµ Γµ (p2,p1) = Σ2(p1)−Σ2(p2) + /q + (δ1−δ2)/q=

(/p2−m−Σ2(p2)

)−(/p1−m−Σ2(p1)

)= iS−1

F (p2)− iS−1F (p1) ,

Dónde SF (p) es el propagador completo renormalizado delelectrón (es decir con un polo en la masa física m y residuo 1en el polo).La relación identidad de Ward-Takahashi se puede demostrar atodos los órdenes diagramáticamente y por tanto la igualdad delas constantes de renormalización Z1 = Z2 está garantizada atodos los órdenes.


Esta relación garantiza que

e =Z2

Z1

√Z3eB=

√Z3eB

La renormalización de e se puede obtener calculando laautoenergía del fotón.Garantiza, a todos los órdenes, que la fuerza de lainteracción electromagnética es la misma para todas laspartículas con la misma carga.

Esta relación garantiza que la derivada covarianteDµ = ∂µ − ieAµ mantiene la forma bajo renormalización

Dµ = ∂µ − ieAµ = ∂µ − ieBABµ ,→ eAµ = eBABµ = eB√

Z3Aµ

de forma que el proceso de renormalización no cambia launiversalidad del acoplamiento electromagnético.


Polarización del vacío

En el caso del fotón definiremos el conjunto de diagramas dedos puntos 1PI, es decir las autoenergías, cómo iΠµν que tienedos índice Lorentz. En particular a un loop tendremos

iΠµν

loops(q) =−e2∫ d4k

(2π)4 Tr

γµ 1

/k −mγ

ν 1/k + /q−m

Formalmente cuadráticamente divergente. Pero la invarianciagauge garantiza qν Πµν = 0. En efecto, a un loop

qν Πµν

loops = ie2∫ d4k

(2π)4 Tr

γµ 1

/k −m /q1

/k + /q−m

= ie2∫ d4k

(2π)4 Tr

γµ 1

/k −m(/q + /k −m− (/k −m)

) 1/k + /q−m

= ie2

∫ d4k(2π)4 Tr

γ

µ

(1

/k −m− 1

/k + /q−m

)que se anula si podemos hacer k → k −q .


Usando una regularización que preserve qν Πµν = 0,

Πµν (q) = (q2gµν −qµqν )Π(q2) = q2Pµν Π(q2)

dondePµν ≡ gµν − qµqν

q2 , PµνPνσ = Pµ

σ

Ahora sumamos todos los 1PI−igµν

q2 − i1−λ

λ

qµqν

q4 +−igµσ

q2 iΠσρ−igρν

q2 +−igµσ

q2 iΠσρ−igρδ

q2 iΠδγ−igγν

q2 +· · ·

= − iλ

qµqν

q4 − iPµν

q2 − i1q4 Πµν −

1q6 Πµσ Πσ

ν + · · ·

= − iλ

qµqν

q4 −i

q2 Pµν

(1 + Π + Π2 + · · ·

)= − i

λ

qµqν

q4 − i1q2 Pµν

11−Π

.


Solo la parte transversal del propagador recibecorrecciones. La parte que depende del parámetro degauge permanece intacta.Cuando insertamos este propagador entre corrientesconservadas las partes que van cómo qµqν no contribuyeny el único termino que queda es

−igµν

q21

1−Π(q2)

que sólo tiene un polo en q2 = 0. El fotón permanece sinmasa a todos los ordenes!

Por otro lado como Πloops(q2 = 0) 6= 0 es necesaria larenormalización del campo Aµ

B =√

Z3Aµ

−δ3

4F µνFµν →

δ3

2Aµ

(gµν∂

2−∂µ∂ν

)Aν


La regla de Feynman del este vértice que es

−iδ3

(gµνq2−qµqν

).

además el término que fija el gauge no necesitarenormalización,δλ = 0. Así

−12

λB(∂µAµ

B

)2=−1

2λBZ3

(∂µAµ

)2 ≡−12

λ(∂µAµ

)2,

dondeλ ≡ λBZ3 y la polarización del vacío renormalizada será

Π(q2) = Πloops(q2)−δ3

La condición de que el polo del propagador es 1 exige

Π(q2) = 0 =⇒ δ3 = Πloops(0)

y finalmenteΠ(q2) = Πloops(q2)−Πloops(0)


Cálculo de la polarización de vacío

Vamos a calcularla usando regularización dimensional (nóteseque tomamosTrIDirac= 4)

Πµν

loops = 4ie2∫ ddk

(2π)dk µ (k + q)ν + kν (k + q)µ −gµν (k(k + q)−m2)

(k2−m2)((k + q)2−m2)

Combinando denominadores, haciendo k = `−qx y eliminandotérminos impares en `

Πµν

loops = 4ie2∫ 1

0dx∫ dd`

(2π)d

×(

2`µ`ν + gµν (m2 + q2x(1−x)− `2)−2qµqνx(1−x)

(`2−∆)2

)donde

∆ = m2−q2x(1−x)− iε .


usando ∫ dd`

(2π)d`µ`ν

(`2−∆)2 =∫ dd`

(2π)d1d

gµν`2

(`2−∆)2 ,

∫ dd`

(2π)d`2

(`2−∆)2 =∫ dd`

(2π)dd∆

d −21

(`2−∆)2

vemos que efectivamente Πµν es transverso

Πµν

loops = i4e2∫ 1

0dx∫ dd`

(2π)d2x(1−x)

(`2−∆)2

(q2gµν −qµqν

).

La integral que queda solo es logarítmicamente divergente(cuando d → 4) aunque la integral original parecíacuadráticamente divergente.Así pues

Πloops = i8e2∫ 1

0dxx(1−x)

∫ dd`

(2π)d1

(`2−∆)2


Pero lo que nos importa es la polarización del vacíorenormalizada, Π(q2) = Πloops(q2)−Πloops(0), que es finita ypodemos tomar d → 4

Π(q2) = i8e2∫ 1

0dxx(1−x)

∫ ∆

∆0

dt∫ d4`

(2π)42

(`2− t)3

=e2

2π2

∫ 1

0dxx(1−x) log

∆

∆0

=2α

π

∫ 1

0dxx(1−x) log

(1− q2

m2 x(1−x)− iε)

donde ∆0 ≡∆(q2 = 0) = m2

Dim.reg. se ha usado solo para demostrar que el propagadores transverso!


Partes absortivas: teorema óptico

Si q2 > 4m2 el argumento del logaritmo se puede hacernegativo y Π(q2) tiene una parte imaginaria

ImΠ(q2) = −2α

∫ 1

0dxx(1−x)θ(q2x(1−x)−m2)

= −2α

∫ x+

x−dxx(1−x)

= −α

3

(1 + 2

m2

q2

)√1− 4m2

q2

Tiene la misma forma que σ(e+e−→ f +f−). Si s ≡ q2

ImΠ(s)=−

√1−4m2

e/s

1 + 2m2e/s

se2 σ(e+e−→ f +f−)

Ilustración del teorema óptico (2ImTαα= ∑β |Tβα |2)


La integral que da Π(q2) se puede resolver exactamente yescribir en términos de logaritmos.Sin embargo es más sencillo obtener el resultado en algunoslímites de interés y que usaremos más tarde; q2m2 y|q2| m2.Así

q2m2

Π(q2)≈− α

15π

q2

m2

|q2| m2

Π(q2)≈ α

3π

(log(−q2− iε

m2

)− 5

3

)


La carga efectiva

El efecto neto de insertar al polarización del vacío

e2

q2 →e2(

1−Π(q2))

q2

Permite definir la carga efectiva

αef(q2) =e2/4π(

1−Π(q2)) =

α(1−Π(q2)

) ,que absorbe el grueso de las correcciones radiativas.No trivial: en un proceso concreto hay diferentescontribuciones:

Correcciones al propagador del fotón, αef(q2).Correcciones al vértice.Correcciones al propagador del fermión.Diagramas caja.


Para |q|2 0 todas las correcciones log(q2/m2) se cancelanexcepto las que están incluidas en αef(q2):

Las contribuciones al vértice y la autoenergía del electrónse cancelan por las identidades de Ward.Los diagramas caja son finitos UV y no contienen este tipode logaritmos.

Así pues αef(0) = α, y va creciendo a medida |q2| crece,primero como una potencia de |q2|, (para |q2| m2) yfinalmente como log(|q2|/m2), (para |q2| m2).La dependencia en q2 de αef(q2) se puede reinterpretar comouna dependencia en la distancia |~q| ∼ 1/r . Así para r 1/m,αef ∼ α y crece para distancias pequeñas: se puede interpretarcomo un apantallamiento de la carga del núcleo producida porpares electrón-positrón “virtuales” extraídos del vacío (de ahí elnombre de “polarización del vacío”).


Modificación del potencial

En MQ NR y en la aproximación de Born la amplitud de colisiónes básicamente la transformada de Fourier del potencial deinteracción.Método para calcular el potencial de interacción inducido porintercambio de fotones (u otras partículas):

Se calcula la amplitud de colisión en TQC.Se toma el límite no relativista.El potencial será la transformada de Fourier de estaamplitud.

Por ejemplo podemos obtener el potencial de interacciónelectrón-núcleo (de carga Z ) calculando la amplitud de colisióne−NZ → e−NZ , tomando el límite NR y haciendo latransformada de Fourier

V (~r) =−Z4π

∫ d3~q(2π)3 ei~q·~r αef(−|~q|2)

|~q|2


En este caso el intercambio de fotones se produce en el canal ty mN me |pei | asíq2 = (pei −pef )2 = (Eei −Eef )2−|~pei −~pef |2 ≈−|~q|2 donde~q =~pei −~pef . En el límite NR (|q2| m2)

αef(q2) =α(

1 + α

15π

q2

m2

) ≈ α +α2

15π

|~q|2

m2

y

V (~r)≈−Z4π

∫ d3~q(2π)3 ei~q·~r

(α

|~q|2+

α2

15πm+ · · ·

)=−Zα

r− 4Zα2

15m2 δ(3)(~r)

El primer término da justo el potencial de CoulombEl segundo término, que denotaremos por δV (~r), corrigeel potencial de Coulomb.


Lamb shift

El segundo término afectará la energía de los estadosestacionarios de los átomos.

∆En` =∫

d3~r∣∣ψn`(~r)

∣∣2 δV (~r) =−4Zα2

15m

∣∣∣ψn`(~0)∣∣∣2 =−4Z 4α5m

15πn3

donde hemos usado

ψn0(~0) =2√4π

(Zαm

n

)3/2

La corrección, “Lamb shift”, es pequeña pero necesaria paraconseguir el acuerdo con los datos experimentales.


Constante de acoplamiento “running”

Para −q2m2

αef(q2) =α(

1− α

3π

(log(−q2/m2)−5/3

))Nótese el parecido entre esta expresión y la obtenida para laλ (µ) “running” en el caso de la teoría λφ4. Efectivamente

α(µ)≡ αef(−µ2) , µ m

satisface la siguiente ecuación diferencial

µ∂α(µ)

∂ µ=

2α2(µ)

3π

El propagador completo resuma los logaritmos del grupo derenormalización. Igual que en λφ4, α(µ) se puede usar paracalcular incluso cuando |q2| m2, e igual que allí crece si µ

crece y la teoría de perturbaciones no es válida siα

3πlog(|q2|/m2)∼ 1.


Factores de forma del electrón

Directamente de las reglas de Feynman hemos visto que a unlazo

Γµ


(2π)4 γσ 1

/k + /p2−mγ

µ 1/k + /p1−m

γσ

1k2

mientras el vértice completo es

Γµ (p2,p1) = γµ + Γ

µ

loops(p2,p1)− Γµ (p1,p1)|/p1=m

dondeΓ

µ


=−δ1γµ

viene del contratérmino y es proporcional a γµ .


Antes de ponernos a calcular es conveniente ver queesperamos obtener para Γµ .Solo depende de dos cuadrimomentos p2 y p1 (oequivalentemente q = p2−p1 y p = p2)

Γµ = γµG1 +

pµ

2mG2 +

qµ

2mG3

Entre espinores u2 y u1, G1, G2,G3 funciones escalares de q2.Conservación de la corriente qµ u2Γµu1 = 0 implica G3 = 0(para q2 6= 0).La identidad de Gordon

2mu2γµu1 = u2 (pµ + iσ µνqν )u1

Permite escribir (entre espinores)

Γµ = γµF1(q2) +

iσ µνqν

2mF2(q2) , F1 = G1 + G2 , F2 =−G2


La condición de renormalización del vérticeΓµ (p1,p1)|/p1=m = γµ implica

F1(0) = 1

Por otro lado no es difícil ver que F2(0) está relacionado con elfactor giromagnético del electrón

F2(0) = ae =ge−2

2

ae es el momento magnético anómalo.Procedamos a la evaluación de Γ

µ

loops reescribiendo el vérticecomo

Γµ


(2π)4

γσ(/k + /p2 + m

)γµ(/k + /p1 + m

)γσ(

(k + p2)2−m2)(

(k + p1)2−m2)

k2


Ahora combinamos los tres propagadores usando laparametrización de Feynman

1ABC

= 2∫ 1

0dx∫ 1

0dy

x

(A(1−x) + x (By + C(1−y)))3

con A = k2, B = (k + p1)2−m2, C = (k + p2)2−m2. Así eldenominador es

Den = k2(1−x) + x(

(k2 + 2kp1)y + (k2 + 2kp2)(1−y))

=

= k2 + 2xk (p1y + p2(1−y)) = (k + ω)2−ω2

donde hemos definido el cuadrivector

ω ≡ x (p1y + p2(1−y)) , ω2 = x2

(m2−q2y(1−y)

)


Ahora hacemos el cambio de variable k = `−ω. Solo si laintegral es convergente. Pasamos a dimensión d , así

Γµ

loops =−ie22∫ 1

0dxx

∫ 1

0dy∫ dd`

(2π)dNum

(`2−ω2)3

con

Num = γσ(/− /ω + /p2 + m

)γ

µ(/− /ω + /p1 + m

)γσ

Los términos impares en el numerador se anulan y solo eltérmino con `2 es divergente. Solo en el necesitamos hacer loscálculos en d-dims.Así

Numd = γσ /γ

µ /γσ = `ν`ργσ

γνγ

µγ

ργσ

→ `2

d`ν`ργ

σγ

νγ

µγνγσ =

(d −2)2

d`2

γµ

La parte divergente, constante y proporcional a γµ : secancelará con la condición de renormalización.


El resto es convergente. Podemos hacer el álgebra en 4 dims.

Numc = γσ(/p2− /ω + m

)γ

µ(/p1− /ω + m

)γσ

=−2(/p1− /ω

)γ

µ(/p2− /ω

)+ 4(p1 + p2−2ω)µm−2m2

γµ

Ahora usamos que Γµ está entre espinores y podemos usar laecuación de Dirac para simplificar:

/p2γµ /p1→m2

γµ

/p1γµ /p1 = 2m2pµ

1 −m2γ

µ , /p2γµ /p2 = 2m2pµ

2 −m2γ

µ

/p1γµ /p2 = 2pµ

1 /p2− γµ /p1/p2→ 2pµ

1 m−2(p1p2)γµ + γ

µ /p2/p1

→ 2mpµ

1 −2(p1p2)γµ + γ

µ /p2m→ 2mpµ + (q2−3m2)γµ

Además podemos usar que el resto del integrando invariantey → 1−y para hacer

y → 12

(y + (1−y)) =12

, 1−y → 12

(1−y + y) =12


Con esto Num se puede reducir a un termino proporcional a γµ

y otro proporcional a mpµ y podemos escribir

Num→

γµ

((d −2)2

d`2 + 4m2(1−2x)−2(1−x)q2 + ω

2)

+2x(1−x)mpµ

y por tanto

F1(q2) = 1− ie22∫ 1

0dxx

∫ 1

0dy∫ dd`

(2π)d

×

(

(d−2)2

d `2 + 4m2(1−3x + x2)−2(1−x)q2 + ω2)

(`2−ω2)3 − (q2→ 0)

Es finito UV pero contiene divergencias IR. A parte de esto noes particularmente interesante


ae = (ge−2)/2

F2(q2) = ie22∫ 1

0dxx

∫ 1

0dy∫ d4`

(2π)44x(1−x)m2

(`2−ω2)3

=4e2

(4π)2

∫ 1

0dx∫ 1

0dy

x2(1−x)m2

ω2

=α

π

∫ 1

0dx(1−x)

∫ 1

0dy

m2

m2−q2y(1−y)

=α

2π

∫ 1

0dy

m2

m2−q2y(1−y)

q2→0−→ α

2π

ae =ge−2

2=

α

2π≈ 0,00116141

aexpe = 0,00115965218073(28)


α obtenida de ge

Añadiendo correcciones de orden superior (hasta 4 loops,O(α4), que contiene 891 diagramas) el acuerdo es tan buenoque proporciona la medida más precisa de α

1α

= 137,035999084(51)

Medidas de α


aµ

aexpµ = 0,0011659208(6)

El muón es mucho más pesado: loops con partículas pesadasson mas importantes:

Contribución de QED puraContribución de bosones electrodébilesContribución de hadrones

athµ = 0,0011659179(5)

Quizá nueva física??Interesante que gran parte de las correcciones adicionales seobtienen poniendo α(mµ )≈ 1/136

aµ ≈ aeα(mµ )

α≈ ae

137136≈ 0,001168


Fórmulas Útiles

Arcadi Santamaria


Contenido

1 Contracciones y trazas de γ ’s

2 Integrales de FeynmanParametrización de FeynmanIntegrales sobre momentos

Arcadi Santamaria Fórmulas Útiles 28 de octubre de 2009 2/9

Contracciones y trazas de γ ’s

Se obtienen directamente del álgebra de Dirac

γµ

γµ = 4 , γµ

γνγµ =−2γ

ν , γµ

γσ

γρ

γµ = 4gσρ ,

γµ

γσ

γνγ

ργµ =−2γ

ργ

νγ

σ

Trazas:

TrI= 4 , Tr impar︷︸︸︷

γµ · · ·

= 0

Trγµγ

ν= 4gµν , Trγµγ

νγ

σγ

ρ= 4(gµνgσρ −gµσ gνρ + gµρgνσ )

Trγ5= 0 , Trγ5γµ

γν= 0 , Trγ5γ

µγ

νγ

σγ

ρ=−4iεµνσρ ,

En d dims γ5 tiene problemas. Pero

γµ

γµ = d , γµ

γνγµ = (2−d)γ

ν , γµ

γσ

γρ

γµ = dgσρ− i(d−4)σσρ

Las trazas sin γ5 no cambian (ya que se define TrI ≡ 4)


Parametrización de Feynman

Para combinar dos propagadores usaremos

1AB

=∫ 1

0dx

1

(Ax + B(1−x))2

y para tres

1ABC

= 2∫ 1

0dx∫ 1

0dy

x

(A(1−x) + x (By + C(1−y)))3

Ejemplo

B0 ≡∫ d4k

(2π)41

((k −p)2−m21)(k2−m2

2)

=∫ 1

0dx∫ d4k

(2π)41(

((k −p)2−m21)x + (k2−m2

2)(1−x))2


Así el denominador queda cómo

k2−2kpx + p2x−m21x−m2

2(1−x) = (k −px)2−∆

donde∆≡m2

1x + m22(1−x)−p2x(1−x)

Haciendo el cambio de variable k → k + px encontramosfinalmente

B0 =∫ 1

0dx∫ d4k

(2π)41

(k2−∆)2

de forma que sólo nos tenemos que preocupar de hacerintegrales de momento de este tipo.


Integrales sobre momentos

Consideramos entonces integrales de la forma (con d ladimensión del espacio-tiempo)

IMN ≡∫ ddk

(2π)d(k2)M

(k2−∆)N

hacemos (rotación de Wick) k0 = ik0E de forma que

k2 =−((k0E )2 +~k2

E )≡−k2E . Igualmente ddk = iddkE .

IMN ≡ (−1)M−N i∫ ddkE

(2π)d(k2

E )M

(k2E + ∆)N

=

=(−1)M−N i

(2π)d

∫dΩd

∫∞

0dkE

k2M+d−1E

(k2E + ∆)N

,

en coordenadas esféricas en d-dimensionales∫ddkE ≡

∫dΩd

∫dkEkd−1

E


Para determinar el valor del ángulo sólido hacemos

(√

π)d =

(∫∞

−∞

dx e−x2)d

=∫

dd~xe−~x2

=

=∫

dΩd

∫ 1

0dxxd−1e−x2

=∫

dΩd12

∫∞

0dt t

d2−1e−t =

12

Γ(d2

)∫

dΩd

de donde ∫dΩd =

2πd/2

Γ(d/2)

Por ejemplo, Ω1 = 2, Ω2 = 2π, Ω3 = 4π, Ω4 = 2π2. Así

IMN =2(−1)M−N i

(4π)d/2Γ(d/2)

∫∞

0dkE

k2M+d−1E

(k2E + ∆)N

Ahora hacemos x = ∆/(k2E + ∆)

IMN =2(−1)M−N i

(4π)d/2Γ(d/2)

12

∫ 1

0dx xN−M−d/2−1(1−x)M+d/2−1∆M−N+d/2


La última integral es justo la función β de Euler

β (a,b) =∫ 1

0dx xa−1(1−x)b−1 =

Γ(a)Γ(b)

Γ(a + b)

así finalmente tendremos

IMN =i (−1)M−NΓ(N−M−d/2)Γ(M + d/2)

(4π)d/2Γ(N)Γ(d/2)∆−N+M+d/2

Algunos casos interesantes son

I0N =(−1)N i(4π)d/2

Γ(N−d/2)

Γ(N)

1∆N−d/2

I1N =(−1)N+1i Γ(3−d/2)

(4π)d/2d2

Γ(N−1−d/2)

Γ(N)

1∆N−1−d/2 =−d

2∆

(N−1−d/2)I0N

Si N = 3, M = 0 la integral es convergente en d = 4

I03 =−i Γ(3−d/2)

2(4π)d/2 ∆−3+d/2 d→4=⇒ −i

2(4π)2∆


Integrales tensoriales

A veces tendremos integrales con índices Lorentz. Para reducirestas integrales una relación muy útil es∫

d (d)k f (k2)kµkν =∫

d (d)k f (k2)k2

dgµν

con f (k2) es una función escalar arbitraria que solo dependede k (si hay dependencias en otro cuadrimomento p esteresultado ya no es válido)Se obtiene teniendo en cuenta que, por covariancia Lorentz, elresultado de la integral solo puede valer agµν . El coeficiente, a,se calcula contrayendo índices y teniendo en cuenta que, en ddimensiones, gµ

µ = d .Dentro de este tipo de integrales siempre podremos cambiarkµkν → gµνk2/d .


11. Empezaremos a leer ada diagrama por la punta de la e ha de laslíneas fermióni as.2. Por ada línea externaa) de fermiones entrando pondremos u(~p, s) p −→b) de fermiones saliendo pondremos u(~p, s) p −→ ) de antifermiones entrando pondremos v(~p, s) p −→d) de antifermiones saliendo pondremos v(~p, s) p −→e) de es alares entrando pondremos 1

k −→f ) de es alares saliendo pondremos 1

k −→3. En ada vérti e fermión-fermión-es alar impondremos la onserva ióndel uadrimomento e insertaremos un fa tor (entre paréntesis damostambién el fa tor que tendríamos de poner si la intera ión es pseudo-es alar, −igψγ5ψφ, en uenta de es alar, −gψψφ)φ

−ig , (gγ5)4. Por ada línea interna de es alares insertaremos un propagador de es- alark −→i

k2−M2 + iǫ5. Por ada línea interna fermióni a insertaremos un propagador de fer-mión

p −→i

/p−m≡

i(/p +m)

p2−m2 + iǫ6. Cuando sea ne esario añadiremos un signo − para tener en uenta elestadísti a de Fermi. En parti ular para partí ulas (o antipartí ulas)

2 de Dira idénti as en el estado nal o ini ial añadiremos un signo −por ada par de líneas de partí ulas (antipartí ulas) idénti as que se ruzan.7. Por ada bu le fermióni o tomaremos una traza y añadiremos un signo−.8. Integraremos sobre todos los momentos indeterminados en los bu lesañadiendo una integral ∫

d4k

(2π)4por ada momento indeterminado.En el aso de la intera ión de Yukawa no hay fa tores de simetría.

1. Empezaremos a leer ada diagrama por la punta de la e ha de laslíneas fermióni as.2. Por ada línea externa(a) de fermiones entrando pondremos u(~p, s) p −→(b) de fermiones saliendo pondremos u(~p, s) p −→( ) de antifermiones entrando pondremos v(~p, s) p −→(d) de antifermiones saliendo pondremos v(~p, s) p −→(e) de fotones entrando pondremos ǫµ(~k, λ)

k −→(f) de fotones saliendo pondremos ǫ∗µ(~k, λ)

k −→3. En ada vérti e fermión-fermión-fotón impondremos la onserva ión del uadrimomento e insertaremos un fa tor (Qi es la arga del fermión ysolo hay ontribu ión si los dos fermiones son del mismo tipo)γ

ψi

ψi

−iQiγµ µ4. Por ada línea interna de fotones insertaremos un propagador de fotones(la mayoría de las ve es utilizaremos el gauge de Feynman, λ = 1)

k −→

−

i

k2 + iǫ

(

gµν +1 − λ

λ

kµkν

k2 + iǫ

)

µ ν5. Por ada línea interna fermióni a insertaremos un propagador de fer-miónp −→i

p/−m≡

i(p/+m)

p2−m2 + iǫ6. Añadiremos un signo − por ada pareja de líneas fermióni as externasidénti as que se ruzan.

7. Por ada bu le fermióni o tomaremos una traza y añadiremos un signo−.8. Integraremos sobre todos los momentos indeterminados en los bu lesañadiendo una integral ∫ d4k

(2π)4por ada momento indeterminado.En el aso de la QED nun a hay fa tores de simetría.

1. Por ada línea externa(a) de Z entrando pondremos ǫµZ(~k, λ)

k −→(b) de Z saliendo pondremos ǫµ∗Z (~k, λ)

k −→( ) de W− o W+ entrando, ǫµW (~k, λ)

k −→(d) de W− o W+ saliendo, ǫµ∗W (~k, λ)

k −→2. En ada vérti e fermión-fermión-Z impondremos la onserva ión del uadrimomento e insertaremos un fa torZ

ψi

ψi

−ie

2sW cWγµ (giV − giAγ5) µ3. En ada vérti e νj −ei−W o uj −di−W impondremos la onserva ióndel uadrimomento e insertaremos un fa tor

W

ei di

νj uj

−ie

sW

√2K

e,qji γ

µPL µ(donde la arga del W , entrando o saliendo, está jada por la onser-va ión de la arga en el vérti e y las mez las Ke,qji ≈ δji en primeraaproxima ión).4. Por ada línea interna de Z insertaremos un propagador de Pro a

Z−

(

gµν −kµkν

m2Z

)

i

k2 −m2Z + iǫ

µ ν5. Por ada línea interna de W insertaremos un propagador de Pro aW

−

(

gµν −kµkν

m2W

)

i

k2 −m2W + iǫ

µ ν

1.- Introducción y motivación de la TQC

Problema 1.1 Comprobad, usando las ecuaciones de movimiento, que las si-guientes corrientes se conservan en el sentido que ∂tρ +~∇~j = 0 :I) Schrödinger:

iψ =−∇2

2mψ, ρ = |ψ|2 , ~j =− i

2m

(ψ∗~∇ψ−ψ~∇ψ

∗)

II) Klein-Gordon:(∂ 2 +m2)φ = 0

ρ =i

2m

(ψ∗ ∂

∂ tψ−ψ

∂

∂ tψ∗)

, ~j =− i2m

(ψ∗~∇ψ−ψ~∇ψ

∗)

III) Dirac:(i∂/−m)ψ = 0, ρ = ψ

†ψ, ~j = ψ~γψ

Problema 1.2 Comprobad que las matrices de Dirac, tanto en la representaciónde Dirac como en la de Weyl, satisfacen el álgebra:

γµ ,γν= 2gµν

y la condición de hermiticidad:

γµ† = γ

0γ

µγ

0

Problema 1.3 Comprobad que si se multiplica la ecuación de Dirac con interac-ción electromagnética

(i∂/+ eA/−m)ψ = 0

por (i∂/+ eA/+m) se obtiene((i∂ + eA)2−m2 +

e2

σµνFµν

)ψ = 0

1

Problema 1.4 Determinad las frecuencias propias del sistema de N osciladoresclásicos acoplados. Cuales son las frecuencias máxima y mínima (ver Marion).Cuál sería la energía del sistema cuántico asociado.

Problema 1.5 Escribid una densidad lagrangiana que de lugar a la ecuaciónde Schrödinger. Teniendo en cuenta que la densidad lagrangiana obtenida es in-variante bajo una transformación de fase: ψ ′ = eiαψ , ψ

′∗ = e−iαψ∗obtened lacorriente asociada a dicha simetría.

Problema 1.6 Cuantizad el problema de la cuerda vibrante imponiendo condi-ciones periódicas: u(x, t) = u(x+L, t), ∀x.

Problema 1.7 En el sistema de N osciladores acoplados discutido en el texto,calculad la energía del vacío. En el resultado tomad el límite a 1. ¿Cómodepende de a? ¿Y de la longitud del sistema?

2

2.- El campo de Klein-Gordon

Problema 2.1 Usando las reglas de conmutación canónicas del campo del Klein-Gordon real y la forma del Hamiltoniano,H, comprobad que

[H,φ(x)] =−iπ(x), [H,π(x)] = i(m2−∇2)φ(x),

De aquí y de las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para los operadoresφ(x), (−iφ(x) = [H,φ(x)]) y π(x), (−iπ(x) = [H,π(x)]), demostrad que

φ(x) = π(x), (∂ 2 +m2)φ(x) = 0

Problema 2.2 Usando las reglas de conmutación canónicas del campo del Klein-Gordon real y la forma del operador momento, ~P comprobad que[

~P,φ(x)]

= i~∇φ(x),[~P,π(x)

]= i~∇π(x),

Sea F(x) = F(φ(x),π(x)), que se puede desarrollar en serie de potencias de φ(x)y π(x). Demostrad que [

~P,F(x)]

= i~∇F(x),

Añadiendo la ecuación de movimiento de Heisenberg para F(x), [H,F(x)] =−iF(x), comprobad que las ecuaciones de movimiento se pueden escribir de for-ma covariante como

[Pµ ,F(x)] =−i∂ µF(x),

con P0 = H. Usando estos resultados comprobad que

φ(x+a) = eiaPφ(x)e−iaP

(es suficiente con comprobar que ∂φ(x+a)∂aµ = i

[Pµ ,φ(x+a)

]ya que obviamente la

ecuación se satisface para aµ = 0).

Problema 2.3 Calculad

〈0|φ(x)φ(0) |0〉= D(x) =∫ d3~p

(2π)32Epe−ipx

explícitamente en términos de funciones de Bessel para x2 < 0. Comprobad queel resultado solo depende de x2.

3

Problema 2.4 En el problema anterior D(x) satisface la ecuación de Klein-Gordon,puesto que φ(x) la satisface y solo depende de x2 por invariancia Lorentz. Parax2 < 0, se define s =

√−x2. Comprobad que si una función f (s) satisface la ecua-

ción de Klein-Gordon y solo depende de s, debe de satisfacer la ecuación

f ′′(s)+3s

f ′(s)−m2 f (s) = 0

Los dos primeros términos serian equivalentes a la Laplaciana en cuatro dimen-siones en coordenadas esféricas generalizadas. Encontrad las soluciones de estaecuación que satisfacen las condiciones

f (s) s→+∞−→ 0, f (s) s→0−→ 14π2s2

Comprobad que la solución coincide con la D(x) encontrada anteriormente.

Problema 2.5 Encontrad un Lagrangiano que de lugar a la ecuación de Schrö-dinger:

iψ =−∇2

2mψ

con ψ complejo.I) Desarrollad las soluciones de la ecuación de Schrödinger en ondas planasy cuantizadla con reglas de conmutación. Tiene sentido un campo de Schrödingerreal?II) Obtened el Hamiltoniano y desarrolladlo en operadores de creación y des-trucción. Es definida positiva la energía?III) Obtened la corriente conservada asociada a un cambio de fase ψ→ eiαψ ydesarrolladla en operadores de creación y destrucción. Que interpretación podríatener?IV) Calculad el conmutador de dos campos a tiempos diferentes.V) Que cambiaria si en lugar de ser partículas libres estuvieran sometidas aun potencial tipo oscilador armónico. Estudiad el problema en una dimension con

iψ =− 12m

d2

dx2 ψ +12

ω2x2

ψ

4

3.- El campo de DiracProblema 3.1 A partir de la forma del Hamiltoniano para el campo de DiracH =

∫d3~xψ(x)

(−i~γ~∇+m

)ψ(x) y de las reglas de anticonmutación entre los

campos comprobad que las ecuaciones de movimiento de Heisenberg −iψ(x) =[H,ψ(x)], −iψ†(x) =

[H,ψ†(x)

]son equivalentes a la ecuación de Dirac.

Problema 3.2 Sean

PL =12(1− γ5), PR =

12(1+ γ5)

Usando que Γi≡ (1,γ5,γµPL, γµPR, σ µν ) forman una base del espacio de matrices4×4 demostrad que (por simplicidad escribimos ui ≡ u(pi))

(u1APLu2)(u3PRBu4) =12(u3γ

µPLu2)(u1AγµPRBu4)

donde A y B son matrices arbitrarias 4× 4. (Desarrollad la matriz u2u3 en labase, es decir escribid u2u3 = ∑i αiΓi y comprobad que solo las componentesγµPR contribuyen. Los coeficientes αi se pueden determinar multiplicando estedesarrollo por Γ j y tomando la traza en ambos lados). En el caso particular queA = γν y B = γν con índices sumados se obtiene

(u1γνPLu2)(u3γνPLu4) =−(u3γ

νPLu2)(u1γνPLu4)

(Usad PRγν = γνPL y γνγµγν = −2γµ ). Se pueden obtener identidades similarespara los campos en lugar de los espinores, pero entonces hay que tener en cuentalos signos que aparecen cuando se anticonmutan campos fermiónicos. Identida-des de este tipo se denominan identidades de Fierz y son muy útiles para simplifi-car cálculos complicados.

Problema 3.3 Cuantizad la ecuación de Schrödinger como en el problema 2.5pero ahora con reglas de anticonmutación. En particular comprobad que:I) El mismo Lagrangiano obtenido en 2.5 da lugar a la ecuación de Schrödin-ger aunque los campos anticonmuten.II) Desarrollad las soluciones de la ecuación de Schrödinger en ondas planasy cuantizadla con reglas de anticonmutación.III) Obtened el Hamiltoniano y desarrolladlo en operadores de creación y des-trucción. Es definida positiva la energía?IV) Obtened la corriente conservada asociada a un cambio de fase ψ → eiαψ

y desarrollad la carga asociada en operadores de creación y destrucción. Queinterpretación podría tener?V) Calculad el anticonmutador de dos campos a tiempos diferentes.

5

Problema 3.4 Comprobad que los operadores densidad de corriente

jµ = ψ(x)γµψ(x)

de la ecuación de Dirac satisfacen la relación[jµ(x), jν(x′

]= 0, para (x− x′)2 < 0

como requiere microcausalidad si jµ(x) y jν(y) son observables en puntos delespacio-tiempo que no pueden estar conectados causalmente.

Problema 3.5 Demostrad que si en el desarrollo en ondas planas del campo deKlein-Gordon real imponemos reglas de anticonmutación en lugar de reglas deconmutación, es decir si imponemos,

a~p,a†~p′= 2E(p)(2π)3

δ(3)(~p−~p′), a~p,a~p′= a†

~p,a†~p′= 0

se tiene que para (x− x′)2 < 0[φ(x),φ(x′)

]6= 0, φ(x),φ(x′) 6= 0

y por tanto no hay forma de construir una teoría que respete microcausalidad.

Problema 3.6 Sea el Lagrangiano de Dirac. Definimos los campos

ψL =12(1− γ5)ψ, ψR =

12(1+ γ5)ψ,

tales que γ5ψL =−ψL y γ5ψR = ψR.I) Comprobad que si bajo transformaciones de Lorentz ψ→ S(Λ)ψ , se cumpleque tanto ψL como ψR se transforman de forma independiente y sin mezclarseψL→ S(Λ)ψL y ψR→ S(Λ)ψR.II) Comprobad también que el Lagrangiano de Dirac se puede escribir como

L = iψL∂/ψL + iψR∂/ψR−m(ψLψR +ψRψL),

explícitamente invariante Lorentz.III) Escribid las ecuaciones de movimiento y comprobad que en el límite demasa cero las componentes ψL y ψR se desacoplan y en particular ψL describefermiones con solo la helicidad negativa y antifermiones con solo la helicidadpositiva (y ψR justo lo contrario).IV) Reescribid tanto el Lagrangiano como las ecuaciones de movimiento entérminos de espinores de dos componentes usando la representación de Weyl paralas matrices de Dirac.

6

Problema 3.7 Usando la notación del problema anterior consideremos el La-grangiano

LM = iψL∂/ψL−m12(ψc

LψL +ψLψcL)

en donde hemos definido ψcL = CψL

T con C la matriz de conjugación de carga.I) Comprobad que

γ5ψcL = ψ

cL

por tanto se transforma como ψcL→ S(Λ)ψc

L y por tanto el Lagrangiano anteriores invariante Lorentz.II) Comprobad que el termino de masas que hemos escrito solo existe si loscampos ψL anticonmutan.III) Escribid la ecuación de movimiento para el campo ψL.IV) Comprobad que el término cinético es invariante bajo la transformaciónψL→ eiαψL mientras que el termino de masas no lo es.V) Escribid la corriente asociada a ésta transformación y calculad su diver-gencia.VI) Definamos el campo ψM = ψL + ψc

L que satisface ψM = ψcM. Comprobad

que (a parte de derivadas totales)

LM = i12

ψM∂/ψM−m12

ψMψM

VII) ¿Cuales son las ecuaciones de movimiento para ψM.?VIII) Demostrad que ψM describe partículas que son sus propias antipartículascon las dos helicidades.IX) Reescribid todo lo anterior en términos de espinores de dos componentesusando la representación de Weyl para las matrices de Dirac.

7

4.- Matriz S y secciones eficacesProblema 4.1 Sea una partícula no relativista moviéndose en una dimensión ysometida a un potencial tipo delta V (x) = gδ (x). Es decir la partícula obedece laecuación de Schrödinger

ih∂

∂ tψ(x) =

(− h2

2m∂ 2

∂x2 +gδ (x))

ψ(x).

Las funciones de onda de los estados |p,0〉 son sencillamente las ondas planas〈x |p,0〉= eipx ¿Cuales son las funciones de onda de los estados |p,−〉 y |p,+〉?.Construid la matriz S del sistema calculando directamente Sp′p = 〈p′,+ |p,−〉.Usando el desarrollo de la matriz S en términos del operador de evolución tem-poral calculad otra vez la matriz S (ahora solo a primer orden en g).

Problema 4.2 Calculad la integral de espacio fásico para la colisión elástica dedos partículas, una sin masa y la otra masiva en el sistema de referencia en el quela partícula masiva inicial está en reposo, es decir

dΦ2 =∫ d3~k2

(2π)32ω2

d3~p2

(2π)32E2(2π)4

δ(4)(pi− p2− k2)

para pi = k1+ p1 = k2+ p2, con k1 =(ω1,0,0,ω1), p1 =(m,0,0,0), k2 =(ω2,ω2 sinθ ,0,ω2 cosθ),p2 = k1 + p1− k2 con p2

2 = m2 (escogemos como dirección del eje z la direcciónde la partícula con momento k1, y como eje y el perpendicular al plano de coli-sión, de forma que los momentos son independientes de ϕ . El elemento de matrizal cuadrado sí podría depender de ϕ en caso que los haces incidentes estén pola-rizados o se midan polarizaciones en el estado final)

5.- Campos con interaccionesProblema 5.1 Escribid todos los términos que podríamos añadir al Lagrangianode Klein-Gordon real que sean escalares Lorentz y que tengan dimensión menoro igual que seis. Haced lo mismo con el Lagrangiano de Dirac.Y si permitimos un fermión de Dirac y un escalar real?

Problema 5.2 Considerad el Lagrangiano

L =12(∂µφ)2− 1

2M2

φ2 +

12(∂µϕ)2− 1

2m2

ϕ2−µφϕ

2

que describe dos campos reales φ i ϕ con masas M y m respectivamente. El últi-mo término del Lagrangiano describe una interacción entre los dos campos quepermite la desintegración φ → ϕϕ , siempre y cuando M > 2m. Suponiendo queésta condición se satisface calculad la vida media, al orden más bajo en µ , delbosón φ .

8

Problema 5.3 Usando el Lagrangiano del problema anterior calculad la seccióneficaz en centro de masas, al orden mas bajo en µ , del proceso ϕϕ → φφ .I) Dibujad y calculad los diagramas que contribuyen al proceso.II) Obtened la distribución angular y dibujadla para µ = M = 1 GeV, m = 0 ypara un valor de la energía en centro de masas, por ejemplo

√s = 2E1 = 3 GeV.

III) Integrad la distribución angular y obtened la sección eficaz total. Dibujadlacomo función de la energía en centro de masas,

√s.

Problema 5.4 Usando el Lagrangiano del problema anterior calculad la seccióneficaz en centro de masas, al orden más bajo en µ , del proceso ϕϕ → ϕϕ .I) Dibujad y calculad los diagramas que contribuyen al proceso.II) Obtened la distribución angular y dibujadla para µ = M = 1 GeV, m = 0y para dos valores de la energía en centro de masas, por ejemplo

√s = 2E1 =

0,5 GeV (no se puede producir el bosón φ ) y√

s = 2E1 = 2 GeV (si se puedeproducir).III) Integrad la distribución angular y obtened la sección eficaz total. Dibujadlacomo función de la energía en centro de masas

√s.

IV) ¿Que sucede cuando√

s = M? Teniendo en cuenta que la partícula φ esinestable ¿cómo se debería modificar el propagador de la φ para evitar este pro-blema? Recalculad la sección eficaz total incluyendo los efectos de la anchurafinita de la φ y dibujadla como función de la energía en centro de masas.

Problema 5.5 Las desintegraciones semileptónicas del pión cargado π−, π−→µ−νµ y π−→ e−νe, se pueden describir mediante el Lagrangiano

LI = κπ− (mµ µPLνµ +meePLνe

)+h.c.

donde, π− es un campo de Klein-Gordon complejo, µ , e, νµ , y νe son campos deDirac del muón, el electrón, el neutrino muónico y el neutrino electrónico respec-tivamente, mµ = 106 MeV y me = 0,5 MeV son las masas del muón y del electróny PL ≡ (1− γ5)/2 es el proyector de quiralidad levógiro. ¿Qué dimensiones tienela constante de acoplamiento κ? Escribid las reglas de Feynman para estas in-teracciones. Despreciando la posible masa de los neutrinos calculad los ritmosde desintegración Γ(π−→ µ−νµ) y Γ(π−→ e−νe) en términos de las masas yla constante de acoplamiento. Usando los valores de las masas ( mπ = 140 MeV)calculad R ≡ Γ(π− → µ−νµ)/Γ(π− → e−νe) y comparad con el valor experi-mental Rexp = 8129.

Problema 5.6 Si los neutrinos, ν , tienen masa es probable que tengan nuevasinteracciones. Por ejemplo, podrían tener una interacción con un nuevo escalarneutro, φ , de la forma

Lνφ = igφ νγ5ν φ ,

9

donde gφ es una constante de acoplamiento. Suponiendo que el escalar φ no tienemasa (o es tan ligero que su masa se puede despreciar) y que los neutrinos ν soncampos de Dirac con una masa m, calculad la sección eficaz diferencial en centrode masas del proceso ν ν → φ φ . A partir de ella calculad también la seccióneficaz diferencial total.

6.- Campos de spin 1: fotones y campos de Proca.

Problema 6.1 Comprobad explícitamente que las ecuaciones de movimiento quese obtienen del Lagrangiano

Lλ =−14

FµνFµν − λ

2∂µAµ

∂νAν − jµAµ

son∂

2Aµ − (1−λ )∂ µ∂νAν = jµ .

En caso que λ = 1 estas ecuaciones también se pueden obtener del Lagrangianode Fermi

LF =−12

(∂ µAν)(∂µAν

)− jµAµ

Por tanto LF y Lλ=1 deben diferir, como máximo, en una divergencia total. Com-probadlo.

Problema 6.2 Calculad los momentos canónicos asociados a Aµ con los dos La-grangianos del problema anterior, LF y Lλ , e imponed las reglas de conmutacióncanónicas:

[Aµ(~x, t),πν(~y, t)] = igνµδ

(3)(~x−~y),

[Aµ(~x, t),Aν(~y, t)] = 0, [πµ(~x, t),πν(~y, t)] = 0.

Para λ = 1 comprobad que, aunque los momentos canónicos son diferentes en losdos Lagrangianos, las reglas de conmutación escritas en términos de Aµ y Aµ sonidénticas en ambos casos a

[Aµ(~x, t), Aν(~y, t)] =−igµνδ

(3)(~x−~y),

[Aµ(~x, t),Aν(~y, t)] = 0, [Aµ(~x, t), Aν(~y, t)] = 0.

7.- Procesos elementales con fotones y con campos de Proca.

Problema 7.1 Usando los elementos de matriz obtenidos para e+e−→ µ+µ−yla simetría de cruce, obtened las secciones eficaces diferenciales, en centro demasas, de los procesos e−µ−→ e−µ−y e−µ+→ e−µ+.

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Problema 7.2 La amplitud para el proceso Compton, γ e−→ γ e−, se puede des-cribir mediante una expresión de la forma M = T µνεµ(k1,λ1)εν(k2,λ2), siendoεµ(k1,λ1) y k1, y εν(k2,λ2) y k2 los vectores de polarización y cuadrimomentos delfotón inicial y final respectivamente. La invariancia gauge exige que, tanto para elfotón inicial como para el fotón final, si hacemos εµ(k1,λ1)→ εµ(k1,λ1)+αk1µ

el elemento de matriz permanece invariante. En particular esto implica T µνk1µ =0 T µνk2ν = 0. Comprobad explícitamente que eso es así y que la cancelación ocu-rre entre los dos diagramas que contribuyen al proceso.

Problema 7.3 Usando los elementos de matriz obtenidos para γ e−→ γ e− y lasimetría de cruce, obtened la secciones eficaces diferenciales, en centro de masas,de los procesos e−e+→ γ γ y γ γ → e−e+.

Problema 7.4 Si el número muónico no se conserva, en principio podría tenerlugar la desintegración µ−→ e−γ .a) ¿Por qué no es posible describir este proceso mediante una interacción de laforma? eγµ µAµ (e y µ son campos de Dirac que describen el electrón y el muónrespectivamente).b) ¿Por qué el siguiente Lagrangiano de interacción si puede describir la desin-tegración fotónica del muón?

LI =mµ

Λ2 eσµνPRµFµν +h.c.

c) ¿Que dimensiones tiene Λ?d) Justificad que la regla de Feynman para el vértice de esta interacción es

−2mµ

Λ2 σµνqνPR

con q el cuadrimomento del fotón (entrando en el vértice) y PR = (1 + γ5)/2 elproyector de quiralidad dextrógiro.c) Usando esta interacción calculad el ritmo de desintegración Γ(µ−→ e−γ) (elcálculo de trazas se puede simplificar teniendo en cuenta que si el muón está enreposo es posible elegir los vectores de polarización físicos del fotón tales quecumplan simultáneamente (p1 es el cuadrimomento del muón y q el del fotón)ε(q,λ )p1 = 0, ε(q,λ )q = 0 (λ = 1,2). En tal caso ε(q,λ ) = (0,~ε(q,λ )) con~ε(q,λ )~ε(q,λ ) = 1).

Problema 7.5 El bosón de gauge Z se puede describir mediante una campo deProca real y su interacción con los fermiones se puede describir mediante el La-grangiano

LZ =− e2sW cW

∑i

ψiγµ(giV −giAγ5)ψi Zµ

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siendo ψi los campos de Dirac de los diferentes fermiones (e,µ,νe,τ,u,d, · · ·) ela carga del positrón, sW ≡ sinθW y cW = cosθW un parámetro de la teoría, ygiV y giA los acoplamientos vectoriales y axiales de cada uno de los fermiones(para neutrinos gνV = 1

2 , gνA = 12 mientras que para electrones, muones y taus

g`V =−12 +2s2

W , g`A =−12 ). Calculad las anchuras de desintegración Z→ e−e+y

Z → ν ν y la sección eficaz diferencial y total en centro de masas del procesoe+e−→ µ+µ− despreciando el diagrama con intercambio de fotones (discutir enque condiciones esto es razonable). ¿Que sucede cuando s = mZ? ¿Como hay quemodificar el propagador del bosón de gauge Z?

Problema 7.6 Uno de los modos de desintegración más importantes del leptón τ

es τ−→ ρ−ντ . En donde ρ− es una partícula cargada masiva con espín 1 y portanto se puede describir mediante un campo de Proca complejo. Suponed que lainteracción que produce esta desintegración se puede escribir como

LI = g ντγµPLτρ

+µ +h.c.

Donde g es la constante de acoplamiento, ντ y τ son los campos de Dirac quedescriben, respectivamente, el neutrino taónico y el leptón tau, PL ≡ (1−γ5)/2 esel proyector de quiralidad levógiro y ρ+

µ es el campo complejo conjugado de ρ−µ .a) ¿ Que dimensiones tiene g? b) Escribid la regla de Feynman para este vértice.c) Usando esta interacción y suponiendo neutrinos sin masa calculad el ritmo dede desintegración del leptón τ a ese canal.

Problema 7.7 El bosón de gauge W+ se puede describir mediante una campo deProca complejo y su interacción con los leptones se puede describir mediante elLagrangiano

LW =− g√2

νγµPLeW+

µ

siendo ν , y e los campos de Dirac del neutrino y del electrón respectivamente yPL el proyector de quiralidad levógiro. Calculad la sección eficaz diferencial ytotal en centro de masas para el proceso e−e+→W+W−suponiendo que ésta esla única interacción relevante en el proceso y que despreciamos las masas de losneutrinos y electrones ¿Cómo se comporta en el límite s 4m2

W ?

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Tema 1: Motivación e Introducción a la Teoría Cuántica de...

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