Tema 1 Numeros a Mi Alrededor

7/21/2019 Tema 1 Numeros a Mi Alrededor

1/42

Nmeros reales. Aplicaciones: Nmeros a mialrededor


2/42

1. Fuente propia

Nmeros, Matemticas para qu?.

Estimada alumna, estimado alumno:

Es un honor y una gran alegra para nosotros el que ests leyendo esta introduccina la asignatura de Matemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Esperamos que sea elcomienzo de un recorrido agradable y til por el temario que aqu se desarrolla.

Para qu las matemticas en un Bachillerato deCiencias Sociales? Bien, en primer lugar porrazones formativas. Vivimos en una sociedad encontinuo proceso de cambio, donde las tecnologasnos exigen un esfuerzo constante de adaptacin anuevos avances, y con unos medios decomunicacin que nos abruman con tal cantidad deinformacin que, a veces, no tenemos tiempo devalorar. As, se hace necesaria una actitud crticaque nos permita tener criterio propio y facilidadpara asumir y aprovechar las oportunidades que loscambios sociales y las nuevas tecnologas puedanofrecernos. Aqu entran las matemticas,aportndonos formas de razonar y analizar larealidad.

Adems hay motivos puramente prcticos, relacionados con el Bachillerato de CienciasSociales: el conocimiento, la comprensin, interpretacin y expresin de los fenmenossociales y econmicos, requieren la utilizacin de unas herramientas matemticas bsicas.

2. Fuente propia 3. Fotografa en ISFTICbajo licencia Creative Commons

Uniendo las dos ideas expuestas, os propondremos unas matemticas eminentemente

prcticas, enfocadas a la aplicacin en problemas habituales de las ciencias sociales y de lavida cotidiana. Por ejemplo, en la primera de las dos fotos anteriores vemos como el uso dela geometra en el arte aporta belleza en la arquitectura (algo que, como se muestra en lareconstruccin de una vivienda celta de la foto de arriba, se ha hecho desde pocas muyantiguas). En la imagen de la derecha vemos una mesa de oficina, un puesto de trabajo queprecisa conocimientos de informtica, contabilidad, estadstica y clculo.

Pero, tal vez todo lo anterior te parezca ms o menos bien, y no obstante, por tu experienciapersonal con esta materia tengas cierta preocupacin ante el inicio de este curso: por eltiempo que llevas sin ponerte delante de un ejercicio de matemticas o, simplemente, porque no te gusten o no entiendas bien sus contenidos. Si ests pensando: no es ese micaso", genial, espero que sigas disfrutando de las matemticas a lo largo de las 6 unidadesde este curso. En el supuesto de que s lo sea, me gustara hacerte llegar el convencimientode que la materia que aqu te ofrecemos estar perfectamente a tu alcance. Intentaremoshacerla prctica y accesible, y es por ello que hemos empezado por este primer tema

Nmeros a mi alrededor.

Cuando pases al siguiente apartado vers como recuerdas las tcnicas y los conceptos, comosiguiendo los contenidos aprenders a HACER, realizars sin dificultad las actividades ytareas ro uestas e irs ad uiriendo las habilidades necesarias ara afrontar el tema


3/42

A continuacin te presentamos tres enlaces para que tengas otra visin de lasmatemticas, con cosas muy interesantes sobre nmeros fuera de los trabajosescolares habituales:

La belleza de los nmeros. Imgenes y propiedades curiosas de los nmeros:

Descripcin del sistema de numeracin maya:Los nmeros mayas

Fotografas con contenido matemtico:Matemticas y fotografa


4/42

1. Nmeros para contar

4. Fuente propia 5. Fotografa en ISFTICbajo licencia Creative Commons

Domicilio, edad, sueldo, cunto cuesta?, cuntos hijos tienes?, rebajas , cuntos dasfaltan para las vacaciones?, cuntos caballos hay en la foto?, cuntas personas?, sepodra estimar la superficie del recinto que encierra a los caballos?, qu proporcin hayentre caballos y personas dentro del recinto?, cuntos de los asistentes a la "rapa dasbestas" (tradicin popular de Sabucedo, Pontevedra) son turistas?, qu beneficio econmicoconllevar para esta localidad y las vecinas esta tradicin?, cuntas primitivas habra querellenar para acertar seguro?, cunto se puede ganar?, cunto cuesta jugar un boleto?,...Imaginas un mundo sin nmeros?

Si te preguntan por la edad, por el nmero de hijos, por los coches que tienes o por lasestrellas que podras contar en una noche entera, estars usando los nmeros naturales.

Con los nmeros naturales se puede operar, y seguro que recuerdas cmo, no obstante elsiguiente video nos lo recuerda en un momento:

Piensa, qu conjunto ser el formado por los nmeros naturales?


5/42

A continuacin te planteo unas cuantas preguntas para recordar cosas sobre losnmeros naturales:

Existe un nmero natural mayor que todos los dems?

Verdadero

Falso

La suma y el producto de nmeros naturales siempre da un nmero natural.

Verdadero

Falso

La resta de nmeros naturales resulta siempre un nmero natural.

Verdadero

Falso

El cociente de nmeros naturales no es necesariamente un nmero natural.

Verdadero

Falso

La suma y el producto de nmeros naturales son operaciones que verifican la propiedadconmutativa.

Verdadero

Falso


6/42

En la familia Martnez-Cruz estn haciendo un anlisis de su economa domstica. Laseora Cruz trabaja por horas con el siguiente horario de trabajo: los lunes, mircoles yviernes trabaja cuatro horas al da, los martes y los jueves slo tres horas por da ysabemos que cobra a 14 la hora. Su marido, el seor Martnez tiene un sueldo de1620 al mes, y su hijo Miguel gana la mitad que su padre.

Cunto ingresa la familia en dos semanas?.

Si la familia destina a pagar la hipoteca la tercera parte de sus ingresos en esos 15 das,a comida 120 quincenales, a ropa y calzado 250 mensuales y el resto de gastosaseguran que los cubren con 350 semanales. Cunto ahorran cada dos semanas?.

Miguel quiere quedarse con la tercera parte de su sueldo para ahorrar y comprarse unamoto. Puede asumir la familia esta propuesta sin cambiar el reparto de gastos quetiene?.

Escuchamos mucho eso de que el tiempo vuela, pero:

Cuntos minutos transcurrieron desde las 18 horas 15 minutos del 4 de Febrero de1988 hasta las 14 horas 20 minutos del da 27 de Junio del mismo ao?.

Utilizando todas las cifras del 1 al 9, una sola vez cada una, y las operaciones +, -, , :,todas las veces que quieras, obtn 13.

Sabas que hay nmeros triangulares y nmeros cuadrados?.

6. Fotografa en ISFTICbajo licencia Creative

Commons

Te recomendamos para conocer estos nmeros el enlace: Nmeros poligonales.


7/42

A ver si lo has entendido

Un avin recorre 798 km cada hora. Al cabo de 4 horas, cuntos kilmetros lefaltarn para finalizar un viaje de 7.834 km?.

7.036 km

3.192 km

4.642 km.

Ya ha llegado a su destino.

Un seor vendi el lunes 27 conejos, el martes el doble que el lunes, y el mircoles latercera parte que el lunes y el martes juntos. Cuntos conejos ha vendido?

324.

162

Menos de 100.

108


8/42

2. Buscando mltiplos y divisores

Escribe un nmero de tres cifras. Ahora escrbelo dos veces seguidas (p.e. si el nmero es347, escribe 347347).

Divide el nmero de 6 cifras entre 7. Seguro que sale un cociente exacto.

El cociente obtenido divdelo por 11. Verdad que de nuevo da un cociente exacto?.

Vuelve a dividir el cociente obtenido en el paso anterior entre 13. Genial, de nuevo exacto.Pero, sorpresa, qu nmero has obtenido?. El nmero de tres cifras que escribiste alprincipio.

Intenta descubrir la razn de lo ocurrido.

Necesitamos recordar los conceptos de mltiplo y divisor de un nmero y los criteriosde divisibilidad por 2, por 3, por 5 y por 6. Puedes buscarlo en libros de texto dematemticas, en enciclopedias o en la siguiente direccin de la wikipedia:

Divisibilidad.


9/42

Podemos repartir 1065 paquetes de manera exacta entre 5 personas

S

No

Se pueden empaquetar 2563 pinceles en paquetes de a 3.

S

No

896112 ladrillos se pueden empaquetar de 6 en 6

S

No

Podemos juntar en grupos de 10 los 230 turistas japoneses que han venido a visitar la

Alhambra

S

No


10/42

Ahora vamos a recordar la rutina para descomponer un nmero en nmeros primos y elclculo del mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo. Lo haremos con dosnmeros, pero se puede hacer con tres o ms, el proceso sera el mismo. (haz clic en laimagen para ir pasando las diapositivas)

fuente propia

En mi casa tengo una pared de 435 cm de largo por 240 cm de alto. Deseo cubrirlaentera con azulejos de forma cuadrada, todos del mismo tamao, y usando el menornmero posible de ellos (sin romper ninguno).

La medida del lado de los azulejos ser mltiplo o divisor del largo y del alto de lapared?

La longitud buscada para el lado del azulejo, por tanto, ser un divisor de ambos lados yel azulejo debe ser lo ms grande posible (para utilizar el menor nmero de azulejos).Luego, buscamos el MXIMO COMN DIVISOR de las longitudes de los lados. Intentacalcularlo.


11/42

En nuestro instituto funcionan cinco talleres: fotografa, ajedrez, canto, teatro yliteratura. Las reuniones del taller de fotografa se hacen cada dos das; el de ajedrezcada tres; el de canto cada cuatro das; el de teatro cada cinco das y el de literaturacada seis das.

Si el da 1 de Octubre se reunieron los cinco talleres, cuando ser la prxima vez enque volvern a coincidir las reuniones de todos los talleres?.

Para terminar: multiplica 7 x 11 x 13, cunto da?. Toma un nmero de 3 cifras ymultiplcalo por ese resultado. Eso es! Se ha transformado en un nmero de 6 cifras

(las tres iniciales dos veces seguidas). Por tanto, al escribir el nmero de tres cifrasdos veces, lo estamos multiplicando por 1001. Y luego lo fuimos dividiendo por losfactores de 1001. Era simple, pero curioso.

Espero que este apartado te haya resultado fcil y tengas ganas de pinchar en elsiguiente. Antes unas preguntas sencillas.


12/42

Entrnate con los dos siguientes problemas:Tres luces se encienden a intervalos fijos. Una cada 25 segundos, la segunda cada 20segundos y la tercera cada 30 segundos. Si a las 12 de la noche coinciden las tresencendidas, a qu hora volvern a coincidir?

A las 2 de la madrugada.

A las 12 horas y 5 minutos.

A las 12 horas y 1 minuto.

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

Un depsito tiene 600 litros de agua y otro 480 litros de vino. Queremos pasar elcontenido de ambos depsitos a bidones de la misma capacidad mxima, sin que sobre ni

agua ni vino en los depsitos, sin mezclarlos y dejando todas los bidones completos.Qu capacidad debe tener la bidones?

Bidones de 100 litros.

2625 litros.

120 litros.

El vino y el agua no se deben mezclar.


13/42


Commons

3. Bajo cero

Marina, la protagonista de nuestra historia inicial,sale para su oficina en la caja de ahorros. Hacefro. Acaba de ver en la prensa las mnimas de ayery ha sentido ms fro an. Por razones de trabajodebe hacer un viaje a Suecia y se teme lo peor.Cuando llega a la oficina se encuentra con uncliente que quiere aclarar la razn por la que tieneun saldo negativo. No lo entiende. Ayer tena en sucuenta 650 , deba haber recibido un pago de untrabajo por un importe de 460 y aunque cumplael plazo de su hipoteca, que ascenda a 850 , susaldo debera ser positivo. Comprobando los datosde los que dispone, Marina comprueba que lo quedice el cliente es cierto. Pero no ha contado conque tambin le han cargado el seguro de su coche,320 . El cliente conforme hace un ingreso para cubrir sus "nmeros rojos".


14/42

Las siguientes cuestiones (para responder verdadero o falso) las utilizaremos pararecordar las operaciones con nmeros enteros.

1. Segn el cliente, su saldo debera ser de 260 .

Verdadero

Falso

2. El saldo real del cliente es el mismo que el resultado que da hacer la operacin:

5(-13) - (-5)

Verdadero

Falso

3. El valor absolutode un nmero no puede ser mayor que el nmero.

Verdadero

Falso

4. La operacin siguiente es correcta, ya que el exponente es par: - (-2)2= 4

Verdadero

Falso

5. La suma de dos nmeros de signo contrario siempre es un nmero negativo.

Verdadero

Falso


15/42

A continuacin te ofrecemos dos videos que te permitirn recordar las cuestiones bsicas sobrelos nmeros enteros:

LAS REGLAS DE LOS SIGNOS.

8 y 9. Fotografas en ISFTICbajo licencia Creative Commons

Te ofrecemos dos enlaces en los que puedes repasar y aprender ms sobre nmerosenteros. El autor de las dos aplicaciones es Eduardo Barbero Corral.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enteros1/index.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enteros2/index.htm


16/42

4. Nmeros reales

Hemos tratado en los puntos anteriores los nmeros naturales y los nmeros enteros. Eneste nos dedicaremos a recordar los nmeros decimales, las fracciones, la relacin existenteentre estos nmeros, y los nmeros irracionales. Todos estos nmeros formarn un conjunto

de nmeros que llamaremos nmeros reales. Estos nmeros sern la base sobre la quetrabajaremos durante el Bachillerato. Por eso, es importante que repases estos conceptoscon inters. Su utilidad inmediata es mucha, pero la que tendr en el desarrollo de lostemas de Matemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales tambin lo ser.

No obstante, no creas que lo dicho anteriormente significa que este punto va a ser difcil.Vas a ver como todo se va estructurando y acabars comprendiendo los conceptostrabajados. Adelante, te esperan los conjuntos , y . Disfrutars viendo supotencial.

10, 11, 12, 13, 14 y 15. Fotografas en ISFTICbajo licencia Creative Commons


17/42

4.1. Pngame cuarto y mitad

Imgenes 16, 17, 18, 19, 20 y 21. Fotografas en ISFTICbajo licencia Creative Commons

En nuestra actividad cotidiana utilizamos habitualmente trminos como mitad, untercio, un cuarto,... Se trata de expresiones que designan a partes de un todo. Lasconocemos como fracciones. El origen de las fracciones, o quebrados, es muy remoto.

Ya eran conocidas por los babilonios que las utilizaron teniendo como nicodenominador al nmero 60, los egipcios, por su parte, las emplearon con slo el 1como numerador (por ejemplo, si queran representar 5/8 escriban: 1/2 y 1/8,considerando que 1/2 equivale a 4/8) y los griegos que marcaban con un acento el

numerador, y con dos el denominador. Pero el nombre de fraccin se lo debemos aJuan de Luna, que tradujo al latn, en el siglo XII, el libro de aritmtica deAl-Juarizmi. De Luna emple la palabra fractio para traducir la palabra rabeal-Kasr, que significa quebrar, romper.


18/42

En la historia, es posible distinguir dos motivosprincipales por los que fueron inventadas lasfracciones. El primero de ellos fue la existencia de divisiones inexactas. Por ejemplo: 5/4representa 5:4.

Un segundo motivo por el cual se crearon las fracciones result de la aplicacin de unidadesde medida de longitud. Para realizar las mediciones de trozos, se tomaba otro trozo comounidad de medida, y se vea las veces que contena en el otro. Como no siempre caba demanera exacta, se divida el trozo que serva de unidad en partes iguales y ms pequeas,

para que el resultado fuera exacto. Este resultado de la medicin se expresaba en fraccin.

Antes de entrar en materia, hacemos un primer acercamiento visual con el siguiente video:

En la siguiente aplicacin (que puedes encontrar en http://descartes.cnice.mec.es) puedestrabajar sobre las fracciones y recordar los conceptos que hayas olvidado:

Definiciones bsicas, el concepto de fracciones equivalentes, la reduccin a denominadorcomn y la forma de comparar fracciones

Suma y resta de fracciones.

La fraccin como operador, producto y divisin

Paso de fraccin a decimal

La autora de este trabajo es ngela Nez Castan.


19/42

En los siguientes enlaces a videos repasamos las operaciones combinadas con nmerosracionales, incluyendo las potencias:


20/42

Marcos ha sacado dinero de su cuenta corriente utilizando la tarjeta de crdito, en uncajero automtico. Ha sacado 120 , pero ha perdido el comprobante de la operacin yno puede saber el saldo que tiene. Mirando el comprobante de la ltima vez que us latarjeta observa que tena 904,21 . Despus le han ingresado la nmina del mes, de1339,56 y ha pagado de esa cuenta los recibos de la luz cuyo importe ha sido de

53,21 , del alquiler del piso, por un valor de 320,80 y la letra del coche, de 207,95 .1. Qu saldo indicaba el comprobante que ha perdido Marcos?

2. Al llegar a su casa Marcos encuentra el aviso de cobro de dos domiciliaciones: agua,32,67 y seguro del coche, 437,45 . Con el dinero que le quede despus de esos pagosquiere hacer 3 partes iguales, una para comprar un ordenador que cuesta 380 , otrapara libros y msica y la tercera para sus gastos. Podr comprarse el ordenador?

El profesor de matemticas suele desayunar en la cafetera del instituto: "Por favor, uncaf y media de tomate". Su amiga Paqui, que quiere que la invite a desayunar: "Parami otra media". El camarero trae una tostada completa. Paqui sonre, nunca entiende lasbromas del camarero.En una mesa, mientras se toma su bocadillo, Meki, una chica del instituto, llama a suprofe: "Esto debe estar mal, me salen tres cuartos y no se puede dividir". Paqui, que esprofe de francs pero suele hacer la compra de su casa, salta: "Pues claro que se puede,ayer compr tres cuartos de kilo de carne y me pusieron 750 gramos". Suena el timbrey todos a clase.

1. El profesor sabe que en su prxima clase encontrar ms chicas que chicos. del

grupo son chicas y en total son 28. Cuntas chicas hay en esa clase?

2. Paqui debe ir al cajero a sacar dinero. Piensa que si gasta de su dinero en la

entrada para un coche, en comprarse los muebles que necesita, la dcima parte de

sus ahorros en un ordenador y de los mismos en liquidar lo que le falta para

terminar de pagar su casa, an le quedarn 375 . "No est nada mal", piensa ella. Porcierto, cunto dinero tiene Paqui?

3. Por su parte, Meki que tiene 250 ahorrados, piensa gastarse de su dinero en

ropa, de lo que an le quede en msica y 30 en un libro. Lo que le sobre se loregalar a su hermana. Es muy generosa con su hermana?

4. El profesor de matemticas debe corregir los exmenes de una clase. Ayer corrigi

de todos los exmenes, hoy piensa corregir de los que le quedan, y as para maana

slo le restarn 8. Cuntos alumnos/as se presentaron al examen?.


21/42

Haz los dos problemas que vienen a continuacin

1. Una madera tiene un quinto de su longitud pintada de rojo, siete dcimos del resto

de azul y los doce centmetros restantes son blancos. Cunto mide la madera?.

60 cm

50 cm.

55 cm.

Ninguna de las respuestas anteriores es la correcta.

2. Si de una bolsa de 200 bolas sacamos del total y de las que quedan quitamos, cuntas bolas quedan en la bolsa?

20 bolas.

No se puede hacer. Salen decimales y no puede ser, debera partir las bolas.

30 bolas.

Ninguna de las respuestas anteriores es la correcta.

Una fraccin se puede convertir en un nmero decimal, basta con dividir elnumerador entre el denominador. Puede ocurrir que el decimal resultante sea: exacto(por ejemplo, ), peridicopuro (por ejemplo, ) o peridico

mixto (por ejemplo, ).

Los nmeros decimales exactos, los peridicos puros y los peridicos mixtos sepueden convertir en fracciones.

En el siguiente enlace tienes una actividad en la que puedes aprender a transformarestos decimales en fracciones, es decir, hallar la fraccin generatriz.


22/42

En la mitologa egipcia, Horus era hijo de Osiris, el dios que fue asesinado por supropio hermano Seth. Horus intent vengar a su padre, y en sus combates con Sethperdi el ojo izquierdo. Pero Thot, el dios de la sabidura, la msica y la escritura ledevolvi la vista con un ojo de cualidades mgicas. Sabas que los signos de las

fracciones mayores fueron tomados de las partes que formaban el jeroglfico de eseojo?

Puede completar esta informacin en el siguiente artculode la wikipedia.


23/42

4.2. Las cifras decimales incontrolables

En el apartado anterior hemos hablado de los nmeros fraccionariosy de su relacin con losnmeros decimales (exactos, peridicos puros y peridicos mixtos). Veamos el siguientevideo para abordar este bloque de contenidos sobre otros nmeros decimales:

En este video nos hablaban de un nmero muy presente en la ciencia y en el arte. Estenmero tiene infinitas cifras decimales, pero no forma periodos. De este modo, en el nmerode oro, conocida una serie de cifras decimales no podemos predecir las siguientes, salvo quesigamos el proceso.Ms ejemplos de nmeros con infinitas cifras decimales y que no son peridicos:

3,01001000100001... .................... 12,123123312333123333...

Llamaremos nmero irracional a un nmero decimal con infinitas cifras decimales,pero no son peridicos. Por tanto, los nmeros irracionales no se pueden poner en formade fraccin. Es decir, nada tienen en comn con los nmeros racionales.El conjunto de los nmeros irracionaleslo representamos por la letra

EJEMPLOS DE NMEROS IRRACIONALES.El nmero , Aparece en el clculo del rea y la longitud de una

circunferencia.El nmero e, Aparecen en muchos procesos biolgicos,

qumicos, fsicos,...La raz cuadrada de 2, De este tipo tenemos muchos ms:

.


24/42

LOS NMEROS REALES.Acabaremos con un par de videos dedicados a unificar todo lo trabajado en los dos apartadosanteriores. En los siguientes videos resumiremos todo lo que ya conocemos.

La raz cuadrada de un nmero da un nmero racional slo cuando dicho nmero esun cuadrado perfecto.

Aqu tienes un vdeo con una explicacin a partir de la raz cuadrada de 2. Con estademostracin se prueba que no es un nmero racional:


25/42

En muchas ocasiones, y en vista de que la mayora de races dan lugar a nmerosirracionales, nos interesa operar con las races de manera exacta, es decir, sin hacerla operacin de la raz.

En el siguiente enlace puedes ver como se multiplican, se dividen, se hace una

potencia y una raz dentro de otra y practicar con la escena. Operaciones conradicales.

En este otro puedes ver como sumar y restar races.


26/42

5. Relacionamos cantidades

22. Fotografa en ISFTICbajo licencia Creative Commons 23. Fuente propia

En la fotografa que aparece a la izquierda vemos la pirmide de Kukulkan (ChichnItz, Mxico). Pensemos en un turista de los que visitan la zona arqueolgica. A unadeterminada hora, en un da soleado, tanto la pirmide como el turista tendrn unasombra, pero qu sombra ser ms larga?. Claro, si la pirmide es ms altaproyectar ms sombra. Adems, si la altura de la pirmide es de unos 30 metros y elturista fuese un seor muy alto, con una estatura de 2 metros, cabe esperar que lalongitud de la sombra de la pirmide sea ..... veces la del turista.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir unacantidad de una de ellas por un nmero, la cantidad correspondiente de la otra quedamultiplicada o dividida por dicho nmero. Es decir, cuando el cociente de doscantidades que se corresponden (de una y otra magnitud) es constante.

En la foto de la derecha vemos una imagen del paseo martimo de Vera (Almera).Observamos como a la derecha del paseo hay colocadas farolas, a distancias constantes.En un kilmetro de paseo, si las farolas estuviesen colocadas cada 10 metros (en elpunto de partida no hay), cuntas se habran colocado? Seguro, que sin mayordificultad, has pensado que 100 (cierto, 10 100 = 1000); y si te hubiese planteado quelas farolas estn cada 25 metros, tu respuesta sera ...


27/42

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar o dividir unacantidad de una de las magnitudes por un nmero, la cantidad correspondiente de laotra queda dividida o multiplicada por dicho nmero, respectivamente. Es decir, elproducto de dos cantidades que se correspondan (de ambas magnitudes) se mantieneconstante.

Indica, en las siguientes situaciones, si la afirmacin que se hace sobre lasmagnitudes que aparecen relacionadas es verdadera o falsa.

1. Un coche que se desplaza por un circuito a velocidad constante. El espacio recorrido yel tiempo son directamente proporcionales.

Verdadero Falso

2. El coche circulando de nuevo por el circuito, pero ahora se trata de hacer 100 km derecorrido. La velocidad y el tiempo son directamente proporcionales.

Verdadero Falso

3. Si nos vamos de viaje a los Estados Unidos deberemos cambiar euros por dlares. Lacantidad de euros cambiados y los dlares recibidos (comisiones y tasas aparte) noguardan ninguna relacin, ya que depende de la cotizacin diaria.

Verdadero Falso

4. Cada mes pasamos por la gasolinera con nuestro coche ms de una vez. Si tenemosla costumbre de pedir gasolina por un importe fijo de dinero, pongamos 30 . El precio yla cantidad de gasolina repostada por nuestro dinero son magnitudes inversamenteproporcionales.

Verdadero Falso

5. El peso de los nios desde que nacen va aumentando. El peso y la edad de unapersona son magnitudes directamente proporcionales.

Verdadero Falso


28/42

5.1. Cuando a ms le corresponde ms


Commons

Viajar a los Estados Unidos? Es una idea muy interesante. Descubrir una cultura, disfrutarde otros paisajes, conocer otras costumbres. Estupendo. Pero bajemos al suelo. Cunto noscostar el viaje?, de cunto dinero disponemos para hacerlo?, cul es la duracin delvuelo?...

Averigua cul es el cambio dlar/euro en este momento e intenta hallar cuntos dlares nosdarn por 600 . Si tuvieses ms euros obtendras ms dlares?

SOBRE CUNTO CORRESPONDE Y CMO REPARTIMOS.

Intentaremos en este apartado que domines los contenidos bsicos relacionados con laproporcionalidad directa y los repartos directamente proporcionales. Repasaremos lo visto enel punto anterior y veremos como resolver problemas de proporcionalidad directa y repartosdirectamente proporcionales. Este aprendizaje lo haremos utilizando el material creado porD. Luis Barrios Calmaestra, y disponible en el CNICE bajo licencia Creative Commons.

Vamos a resolver estas actividades utilizando el procedimiento que podramos llamar dereduccin a la unidad, en el que calcularemos el valor de la segunda magnitud que correspondeal valor 1 de la primera magnitud. Este valor que calculamos es lo que hemos llamado antesconstante de proporcionalidad directa.

Con esta escena se podrn resolver actividades de magnitudes directamente proporcionalesde forma ordenada. La escena indica los pasos a seguir para su resolucin.


29/42

Un automvil consume 56 litros de gasolina al recorrer 800 kilmetros, cuntos litrosde gasolina consumir en un viaje de 500 kilmetros?

Veamos ahora cmo hacer un reparto en partes directamente proporcionales

Con la siguiente escena se pueden hacer, paso a paso, repartos directamente proporcionalesdesde dos a cinco partes.


30/42


31/42

1. Si un automvil que marcha a una velocidad constante tarda 4 horas en recorrer 320km, calcula el tiempo que tardar en recorrer 960 km.

12 horas

3 horas.

80 km/h

Ms tiempo. Una 10 horas.

2. Si un coche que utiliza gasleo - A hace unos 510 kilmetros con 30 decombustible, cuntos kilmetros har con 50 , al mismo precio?

850 km

Por lo menos 900.

No se puede saber depende del coche.

17 km

3. Tres amigos necesitan dinero para pagarse un viaje. Deciden ponerse a trabajar paraconseguirlo, y encuentran trabajo para tres das en un almacn, cargando camiones. Alfinalizar el primer da, Marcos dice que es un trabajo muy duro y que no volver al da

siguiente. Cuando acaba el segundo da de trabajo, Miguel se excusa (al parecer harecordado que tiene un cita mdica) para el da siguiente. De modo que el tercer da slova al almacn Antonio. El dueo del almacn le paga por el trabajo realizado un total de420 . Cunto corresponde a cada uno?

Marcos dice que son amigos y todos deben recibir la tercera parte: 140 .

Miguel opina que Marcos es un vago. El falt un da para ir al mdico, debenrepartirse los 420 entre l y Antonio.

Antonio piensa que los otros no han cumplido. El debe quedarse con 300 ,Miguel con 100 y Marcos 20 ,

El dueo del almacn les dice que a l le da igual pero que lo justo sera: 210 para Antonio, 140 para Miguel y 70 para Marcos.

4. Cuatro socias montan un negocio. Luisa aporta 5.000 , Clara, 10.000 , Laura 7.500 y Silvia, 17.500 . Tras un ao de trabajo se obtienen uno beneficios de 90.000. Quparte de estos beneficios corresponde a cada una, si el reparto se hace de acuerdo con laaportacin inicial realizada?

Todos recibirn lo mismo. Son socios.

La que ms puso (Silvia) se lleva 40.000 , la que aport la segunda cantidad enimportancia (Clara), 30.000 , la siguiente (Laura), 15.000 y Luisa slo 5.000.

A Luisa le corresponden 11.250 , a Clara, 22.500 , a Laura, 16.875 y a


32/42

25 de anikavirobajo licencia Creative Commons

El Teorema de Tales nos acerca la proporcionalidad geomtrica. En el siguienteartculode la wikipedia puedes conocerlo.

Hacia el ao 600 a.C. Tales de Mileto visit Egipto. El faran le pidi que calculara la

altura de la pirmide Kops. Coloc su bastn en el suelo y espero a que su sombrafuese igual a su longitud. Entonces dijo al servidor del faran que fuese a medir lasombra de la pirmide, en ese momento su sombra y su altura seran iguales y sepodra saber su altura.


33/42

5.2. Cuando a ms le corresponde menos

26. Fuente propia

Un viaje a una ciudad maravillosa, con un legado arqueolgico muy amplio y una granriqueza arquitectnica. Pasear por sus calles es un placer, disfrutar de su gastronoma y delcontacto con sus gentes otro tanto.

Soar no cuesta dinero, pero viajar en la realidad s. Si tenemos un dinero destinado apagar el hotel o el apartamento que debemos alquilar para pasar nuestras vacaciones, losdas que podamos estar depender del precio por da de nuestro alojamiento. Si elalojamiento es ms caro nuestra estancia deber ser ms corta. Ms precio menos das.Recordamos que se trata de magnitudes inversamente proporcionales.

Supn que dispones de 1000 para destinarlo a pagar su alojamiento, cuntos das podrasconseguir si el precio es de 40 /da?, y si es de 100 /da?

En cualquiera de sus fantsticos restaurantes y bares podemos pasar a tomar unas tapas. Miamigo Juan dice que la ronda que pag le sali por ..... y que, como ramos 4, el importemedio por persona ha sido de 7,5 . Le he tenido que corregir, en realidad estbamos 5(tiene la costumbre de no contarse a s mismo). Luego, la consumicin por persona ha salidopor .... (ms?, menos?, cul fue el importe total?). Sin duda tienes la respuesta. Claro,ms consumidores para un mismo total, tocan a menos precio por persona (a 6 ) y, porsupuesto, la consumicin sali por 30 .

SOBRE CUNTO CORRESPONDE Y CMO REPARTIMOS.

Intentaremos en este apartado que domines los contenidos bsicos relacionados con laproporcionalidad inversa y los repartos inversamente proporcionales. Repasaremos elconcepto visto en el punto 5 y trabajaremos la resolucin de problemas de proporcionalidadinversa y repartos inversamente proporcionales.


34/42

Vamos a resolver estas actividades utilizando el procedimiento que podramos llamarde reduccin a la unidad, en el que calcularemos el valor de la segunda magnitud quecorresponde al valor 1 de la primera magnitud. Este valor que calculamos es lo quehemos llamado antes constante de proporcionalidad inversa.

Con esta primera escena se podrn resolver actividades de magnitudes inversamenteproporcionales de forma ordenada sin la utilizacin de nmeros decimales. La escenaindica los pasos a seguir para su resolucin.

Nueve personas realizan un trabajo en 16 das. Cunto tiempo tardarn en realizar elmismo trabajo 8 personas?


35/42

Repartos inversamente proporcionalesConsiste en repartir una cantidad entre varias partes de forma que lo que reciba cadauna de las partes sea inversamente proporcional a la cantidad aportada por cada una.

Para hacer un reparto inversamente proporcional entre varias partes, se hace unreparto directamente proporcional entre los inversos de cada una de las partes.

Con la siguiente escena se pueden hacer, paso a paso, repartos inversamenteproporcionales desde dos a cinco partes.


36/42

1. Un padre decide repartir entre sus tres hijos los 533 que ha recibido de un premiode unas quinielas. Con la idea de incentivar en ellos el inters por el estudio, les diceque el reparto lo har de forma inversamente proporcional al nmero de suspensos quetengan en la siguiente evaluacin. Mara, ha tenido 2 suspensos, Jess, 3 y Francisco, 7.Calcula la cantidad de dinero que correspondera a cada uno con este criterio.

Mara recibir 89 , Jess, 133 y Francisco, 311 .

Todos deben recibir lo mismo.

Mara recibir 273 , Jess, 182 y Francisco, 78.

A Mara le correspondern 300 , Jess, 200 y a Francisco, 33 .

2. Una empresa decide hacer una inversin en tres de sus sucursales para abarcarnuevos mercados. La capacidad de produccin y rendimiento de las tres es muydiferente y la empresa desea iniciar un proceso que conduzca a la equiparacin de lasmismas. Con este fin toma como criterio de reparto el nmero de empleados, y recibirms dinero la sucursal que tenga menos empleados, para intentar relanzarla ms.Sabemos que la inversin ser de 1.250.013 y que la sucursal A tiene 5 empleados, lasucursal B tiene 4 empleados y la sucursal C tiene 15 empleados. Cuntocorresponder a cada una de las sucursales?

La sucursal A recibir 483.876 , la B, 604.845 y la C, 161.292 .

La sucursal A recibir 260.419,38 , la B 208.335,5 y la C, 781.258,13 .

Cada una de las tres sucursales recibe 416.671 -

Ninguna de las anteriores es correcta.

3. Con el dinero de que dispongo, hace un ao poda comprar 20 unidades de unproducto que costaba a 30 la unidad. Ahora su precio ha subido a 50 la unidad.Calcula el nmero de unidades que podra comprar.

Aproximadamente 33, pero no da exacto.

600 .

12 unidades.

La misma cantidad, basta poner ms dinero.

4. Tres pintores acaban un trabajo en ocho horas. Cunto tiempo necesitaran cuatropintores, trabajando al mismo ritmo, para realizar el ese trabajo?

6 horas.

1,5 horas.

24 horas.

Depende del tiempo del tiempo. Si llueve no pueden pintar.


37/42

5.3. Relacionamos varias cosas


38/42

AHORA, LA EUROPA IMPERIAL.

27,28 y 29. Fuente propia

Seguimos pensando en viajes. Mi hija se quiere ir al final del curso de viaje de estudios consus compaeros de clase. Pretenden visitar Budapest, Viena y Praga. Para sacar dinero paraeste viaje han conseguido un curioso trabajo. Una empresa les enviar un producto que

comercializa para que a cada bote le pongan su correspondiente etiqueta, lo introduzcan ensu caja y la cierren. Segn sus clculos podan obtener 1.600 en una hora, si trabajabanlos 20 alumnos y alumnas que van al viaje, a un ritmo de 400 unidades a la hora. Noobstante, slo han conseguido 1.500 en una hora, a pesar de haber trabajado a un ritmode 500 unidades a la hora. Podramos saber cuntos alumnos y alumnas se presentaron acolaborar?

Efectivamente, conviene empezar por esquematizar la situacin:

Dinero () ------ Alumnos/as ------ Unidades/hora

1.600 20 400

1.500 x 500

Este ejemplo lo clasificaremos de proporcionalidad compuesta, ya que intervienen ms dedos magnitudes. Y, en este caso, debemos analizar la relacin de la magnitud sobre la quenos preguntan con las otras dos.

Pensamos la relacin entre dinero y alumnos/as: Si trabajan ms alumnos/as (a undeterminado ritmo) sacarn ms dinero. Luego se trata de una relacin de proporcionalidaddirecta entre dinero y alumnos/as.

Analizamos la relacin entre alumnos/as y las unidades trabajadas a la hora: Para conseguiruna cantidad dada de dinero, si hay ms alumnos/as podrn trabajar a menos ritmo. Portanto, entre alumnos/as y nmero de unidades a la hora tenemos una relacin deproporcionalidad inversa.

Ahora, vamos a calcular:

Bien, entre los 20 alumnos/as hacen 8.000 unidades a la hora (20 400 = 8.000), y reciben0,2 por cada unidad (1.600 : 8.000 = 0,2).

Si al final recibieron 1.500 euros en una hora, quiere decir que slo se hicieron 7.500(1.500 : 0,2 = 7.500) unidades a la hora. Y como cada uno/a hizo 500 unidades a la hora,tenemos 15 alumnos/as colaborando (7.500 : 500 = 15).


39/42

Vamos a resolver ejercicios en los que se relacionan tres magnitudes. La forma de hacerlosser relacionar la primera con la tercera y dejar la segunda fija, igual que si se tratara de unejercicio de los dos apartados anteriores. Despus, dejando la primera fija, relacionaremos lasegunda y la tercera.


40/42

fuente propia


41/42

Seguro que lo has entendido:1. Un transportista fija el precio de sus portes en funcin del peso de la carga y de loskilmetros a recorrer. As, por un porte de 12.500 kg que debe llevar a una ciudadsituada a 250 km de distancia cobra 600 . Cunto cobrar por transportar 9.000 kg a500 km de distancia?

1.200

864 km.

200

Ninguna de las respuestas anteriores es cierta.

2. Seis alumnos tardan 5 das en pintar 60 m2 del muro de un instituto, trabajando 3

horas cada da. Si un grupo formado por 10 alumnos/as quiere pintar 100 m2

en 3 das,cuntas horas debe trabajar cada da?.

5 das.

1,8 horas.

Si pasa de 6 alumnos a 10 y de 60 m2a 100, el tiempo debe ser igual 3 horas.


3. Cuatro operarios por trabajar 8 horas reciben un total de 800 . Cuanto recibir unequipo de 5 operarios por 7 horas de trabajo.

560

1142,86 .

7314,29


Puedes practicar todos estos conceptos realizando la siguiente prueba que corresponde a launidad de Proporcionalidad bajo Descartes que hemos utilizado a lo largo del tema.

Ir a la prueba


42/42

Si deseas ms informacin al respecto puede consultar el siguiente enlace a laKalipedia, sobre la proporcionalidad compuesta.

Tema 1 Numeros a Mi Alrededor

Documents

Transcript of Tema 1 Numeros a Mi Alrededor