Tema 1- Recuento
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Tema 1. RECUENTO
Dpto. de Estadística, Investigación Operativa y Computación. Universidad de La Laguna.
OPTIMIZACIÓN
Principios Básicos de Recuento - Regla del Producto - Regla de la Suma - Principio de Inclusión-Exclusión - Principio del Palomar Selecciones básicas sobre conjuntos - Permutaciones - Variaciones - Combinaciones Coeficientes Binomiales. Binomio de Newton
Principios Básicos de Recuento
REGLA del PRODUCTO Supongamos que una tarea se puede dividir en dos tareas consecutivas. Si hay n formas de realizar la primera tarea y m formas de realizar la segunda tarea, entonces hay nxm formas de completar la tarea.
El resultado se extiende a k subtareas en las condiciones anteriores:
Número de formas de realizar la tarea = n1xn2x···xnk
Ejemplos: 1) ¿Cuántas cadenas de bits diferentes hay con longitud 8? (Resp.
256) 2) ¿Cuántos vehículos se pueden matricular usando sólo tres
consonantes (sin la ñ son 21) y cuatro dígitos? (Resp. 92610000) 3) ¿Cuántos subconjuntos de un conjunto de n elementos se pueden
formar? (Resp. 2n)
REGLA del PRODUCTO (conjuntista)
1 2 1 2n nA A A A A A
Principios Básicos de Recuento
REGLA de la SUMA Si una primera tarea se puede realizar de n formas y una segunda tarea se puede realizar de m formas, y las dos tareas son incompatibles, entonces hay n+m formas de realizar una de las dos tareas.
El resultado se extiende a k subtareas en las condiciones anteriores:
Número de formas de realizar la tarea = n1+n2+···+nk
Ejemplos: 1) Un estudiante debe elegir un ejercicio para entregar. En una lista
de ejercicios hay 15, en otra 20 y en otra 10. ¿Cuántos ejercicios tiene el estudiante para elegir? (Resp. 45)
2) Se tiran un dado rojo y uno verde y se suman las puntuaciones obtenidas. ¿De cuántas formas (en cuántas tiradas) se puede obtener el resultado, la suma 7? (Resp. 12)
REGLA de la Suma (conjuntista)
1 2 1 2n nA A A A A A
Principios Básicos de Recuento
El Principio de INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN
Sean A1, A2,···, An conjuntos finitos. Entonces
1 2
1 1 1
1
1 21 1 1
+ ( 1)
n n n
n i i ji i j i
n n nn
i j k ni j i k j
A A A A A A
A A A A A A
A
B
C
A
B
C
A
B
C
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 0 2 2
2
3 1 1
A B C
A B C A B
A C B C
A B C A B A C
B C A B C
Principios Básicos de Recuento
Ejemplos: 1) ¿Cuántas cadenas de bits de longitud 8 que comienzan por 0 o
acaban en 111? (Resp. 144) 2) Determina el número de enteros positivos menores o iguales que
100 que son bien impares o bien el cuadrado de un entero. (Resp. 55)
3) Calcula el número de elementos de A1 A2 A3 si hay 100 elementos en cada conjunto y si a) Son disjuntos dos a dos. (Resp. 300) b) Hay 50 elementos en común en cada pareja de conjuntos y
ningún elemento en común en los tres. (Resp. 150) c) Hay 50 elementos en común en cada pareja de conjuntos y 25
elementos en los tres. (Resp. 175) d) Los conjuntos son el mismo. (Resp. 100)
Principio del complementario (contando lo que no queremos) Si X es un conjunto finito y A un subcojunto de X (A X) entonces
\X A X A
1) ¿Cuántos números naturales existen menores que 1.000.000 que no sean capicúas (palíndromos)? (Resp. 999.000)
Principios Básicos de Recuento
Principio del Palomar o de Dirichlet
Si k + 1 o más objetos se colocan en k cajas, existe al menos una caja
que contiene dos o más objetos.
Ejemplo: ¿Cuántos estudiantes debe haber en una clase para
garantizar que al menos dos estudiantes reciben la misma nota en el examen, suponiendo que el examen se califica en una escala de 0 a 100 puntos? (Resp. 102)
Ejemplos: ¿Cuál es el menor número de códigos de área necesarios para
garantizar que 25 millones de teléfonos en un país tienen números distintos? (Suponer que los números de teléfono tienen el formato NXX-NXX-XXXX, donde los tres primeros dígitos forma el código de área, N representa un dígito de 2 al 9, y X representa un dígito cualquiera). (Resp. 4)
Principio del Palomar generalizado
Si se colocan N objetos en k cajas, existe al menos una caja que
contiene .
/N k
Selecciones básicas sobre conjuntos.
Existen n! permutaciones de n elementos.
Sol. Regla del producto.
Sea el conjunto formado por n elementos distintos
Llamamos Permutación a cualquier ordenación de los n elementos
1, ,
nA a a
Ej. ¿cuántas permutaciones de las letras ABCDEF contienen la cadena
DEF?
(Resp. 24)
1, ,
na a
DEF
DEF
DEF
DEF
Selecciones básicas sobre conjuntos.
Variaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k.
(Importa el orden pero no se pueden repetir).
Distinguimos si importa el orden entre los elementos, variaciones, o
no importa, combinaciones.
!( 1) ( 1)
( )!
k
n
nV n n n k
n k
Ej. Sea A={1, 2 , 3, 4}, indicar cuantos números de dos cifras sin
repetir dígitos se pueden formar. Puesto que importa el orden, ya que
12 es distinto de 21, tendremos variaciones:
12 21 31 41 13 23 32 42 14 24 34 43
2
4
4!4 *3 12
(4 2)!V
Selecciones básicas sobre conjuntos.
Variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k.
(Importa el orden y se pueden repetir).
k k
nVR nn n n
Ej. Sea A={C, X}, indicar cuantos sucesos distintos pueden darse
cuando se tiran tres monedas “distinguibles” ó una moneda tres veces.
Puesto que las monedas son distinguibles (o lo que es equivalente, se
sabe cual es el resultado en cada una de las tiradas) y pueden repetirse
los elementos de A, tendremos variaciones con repetición
(C, C, C) (C, X, X) (C, C, X) (X, C, X) (C, X, C) (X, X, C) (X, C, C) (X, X, X)
3 3
22*2*2 2 8VR
Selecciones básicas sobre conjuntos.
Combinaciones de n elementos tomados de k en k. (No importa el
orden y no se pueden repetir).
!
!( )!
k
n
n nC
K n kk
Se utiliza bastante, pues nos indica de cuantas formas posibles se
pueden elegir k elementos de un total de n.
Ej. Sea A={1, 2 , 3, 4}, los números asignados a cuatro alumnos,
indicar cuantos grupos de dos alumnos distintos se pueden construir. No
importa el orden, ya que es indistinto tomar el alumno 1 y 2 que el 2 y
el 1, tendremos combinaciones:
12 23 34
13 24
14
2
4
4 4!6
2!(4 2)!2C
Selecciones básicas sobre conjuntos.
Combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k.
(No importa el orden y se pueden repetir).
1
1 ( 1)!
!( 1)!
k k
n n k
n k n kCR C
K nk
Ej. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación
si son enteros no negativos?
Sol. Obsérvese que una solución corresponde a una forma de
seleccionar 11 elementos de un conjunto con trece elementos, por
tanto:
¿y si añadimos las restricciones ? (Resp. 21)
1 2 311x x x
1 2 3, y x x x
11
3
3 11 1 (13)!78
11!(3 1)!11CR
1 2 31, 2 y 3x x x
Selecciones básicas sobre conjuntos.
Permutaciones con objetos indistinguibles. El número de
permutaciones diferentes de n objetos, donde hay n1 objetos
indistinguibles de tipo 1; n2 objetos indistinguibles de tipo 2…, nk
objetos indistinguibles de tipo k es
Ej. ¿De cuántas formas se pueden distribuir a cuatro jugadores manos
de 5 cartas utilizando una baraja de 52 cartas?
Sol.
O igual al número de permutaciones de 52 objetos, con 5 objetos
indistinguibles de cuatro tipos distintos, y 32 objetos de una misma
clase.
1 1 2
1 1 1
, ,
1 2
!
! ! !k k
k
n n n n n
n n n n n n n
k
nC C C C
n n n
52
5
47
5
42
5
37
5
5 5 5 5 32
52 47 42 37 32
52!
5!5!5!5!32!C C C C C
Coeficientes Binoniales. Binomio de Newton.
Teorema del BINOMIO. Sean x e y variables y n un entero no
negativo. Entonces,
0
( )n
n n j j
j
nx y x y
j
Consecuencias.
0
2n
n
j
n
j
0
( 1) 0n
j
j
n
j
0
(2) 3n
j n
j
n
j
Identidad de PASCAL. Triángulo de PASCAL
1
1
n n n
k k k
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1 4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
3
0
3
1
3
2
3
3
2
0
2
1
2
2
1
0
1
1
0
0
Coeficientes Binoniales. Binomio de Newton.
Identidad de Vandermonde.
Consecuencias.
2
0
2 n
j
n n
n j
0
r
k
n m n m
r k r k