Tema 10Distribuciones discretasDistribución binomial

Índice

➢ Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos ➢ Pobabilidad. Propiedades ➢ Regla de Laplace➢ Recuentos ( Combinatoria)➢ Probabilidad condicionada. Sucesos dependientes e

independientes ➢ Distribuciones de probabilidad discretas ➢ Distribución binomial o de las pruebas de Bernoulli

1.1 Experimentos aleatorios

Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un fenómeno o experimento aleatorio. Lo denotaremos con la letra E.

Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio, es cada uno de los subconjuntos que podemos tomar en un espacio muestral E

Definiciones

1.2 Sucesos Algunos tipos de sucesos son:

Sucesos elementales son los formados por un solo resultado del

espacio muestral.

Sucesos compuestos son los formados por varios sucesos

elementales.

Suceso seguro es el que siempre se verifica al realizar el

experimento. Coincide con el espacio muestral (E).

Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por Ø.

Suceso contrario de un suceso A es el suceso que se verifica

cuando no se verifica A . Se representa por A

1.3 Operaciones con sucesos .Unión de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuando lo hacen A ó B . Se representa por

Intersección de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuando lo hacen A y B . Se representa por

Diferencia de A y B es el suceso que se realiza cuando lo hace A y no lo hace B. Se representa por

Diferencia simetrica de A y B es el suceso que se verifica cuando lo hace uno de los dos pero no los dos a la vez

A∪B

A∩B

A−B=A∩B

A B=A∩B∪ B∩A

1.4 Propiedades de las operaciones

Propiedad: Unión intersecciónAsociativa ConmutativaIdempotenteAbsorciónDistributivaNeutralidad

ComplementaciónLey de De Morgan

Además se cumple:

A∪B∪C=A∪B∪C A∩B∩C=A∩B∩C A∪B=B∪A A∩B=B∩AA∪A=A A∩A=A

A∪ B∩A=A

A∪ B∩C =A∪B∩ A∪C A∪∅=AA∪E=EA∪A=E

A∪B=A∩B

A∩ B∪A=AA∩ B∪C =A∩B∪ A∩C

A∩∅=∅A∩A=∅

A∩B=A∪B

A∩E=A

A=A; A−B∪C =A−B∩ A−C ; A−B∩C = A−B ∪A−C

2. Probabilidad.PropiedadesAsignar probabilidad a un suceso de un experimento aleatorio consiste en cuantificar mediante un número la ocurrencia de ese suceso.La probabilidad de un suceso A es el límite al que tiende la frecuencia relativa de A cuando el número de experiencias es muy grande.

Las propiedades más importantes de la probabilidad son: Probabilidad del suceso seguro :Probabilidad de un suceso cualquiera :Probabilidad de la unión de sucesos A y B incompatibles ( ):

Probabilidad del suceso imposible :Probabilidad del suceso contrario :

Probabilidad de la unión de sucesos A y B compatibles ( ):

P A=límn∞

hi A

PE =1P A≥0

A∩B≠∅

P A∪B=P APB

P A =1−P A

P A∪B=P APB−P A∩B

P ∅=0

A∩B=∅

3. Regla de Laplace

Cuando el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio tiene un número limitado de resultados y todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad, es decir, son sucesos equiprobables, en la práctica el cálculo de probabilidades se hace mediante la conocida Regla de Laplace. La probabilidad de un suceso A formado por k sucesos elementales es igual al cociente entre el número de resultados favorables y el número n de resultados posibles.

Siempre que vayamos a aplicar la regla de Laplace, debemos tener en cuenta lo siguiente:● Sólo puede aplicarse cuando los sucesos elementales del experimento

aleatorio son equiprobables.● Los casos posibles son todos los resultados del experimento; es decir,

todos los sucesos elementales que componen el espacio muestral.● Los casos favorables son todos los sucesos elementales que componen el

suceso dado, del cual queremos calcular su probabilidad.

P A=númerode casos favorables al suceso A

númerode casos posibles=kn

4.1 combinatoria

es la rama de la matemática que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones de elementos tos de nun conjuntoExisten distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.Estas formas son:

● Variaciones sin repetición.● Variaciones con repetición.● Permutaciones sin repetición.● Permutaciones con repetición.● Combinaciones sin repetición.● Combinaciones con repetición.

Definición

4.2 Variaciones

Definición:Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos del conjunto, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.El número de variaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:Definición:Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos, eligiéndolos de entre los n elementos del conjunto, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.El número de variaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:

V pn=

n !n− p !

VR pn=np

4.3 Permutaciones

Definición:Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.El número de estas permutaciones será:

Definición:Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n.El número de estas permutaciones será:

Pn=n!

Pna , b , c ,⋯

=n!

a !⋅b!⋅c !⋯

4.4 ConbinacionesDefinición:Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una combinación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

Definición:Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una combinación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

Cnp= np=

n !n− p !⋅p!

CRnp=n p−1p =n p−1!

n−1!⋅p !

5.1. Probabilidad condicionada.

Definición:

Llamamosprobabilidad condicionada del suceso B condicionado al suceso A, y lo denotamos por al cociente

Despejando en esta expresión obtenemos la fórmula de laprobabilidad compuesta o del producto :

P B/ A

P B/ A=P A∩B

P A

P A∩B =P A⋅P B/ A

5.2. Sucesos Dependientes e Independientes En ocasiones la ocurrencia de un suceso viene condicionada a la de otro (sucesos dependientes) y en otras ocasiones no (sucesos independientes).

Definición:Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos nomodifica la probabilidad del otro, es decir:

Dos sucesos A y B son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir:

P A /B=P A

P A/B≠P A

5. 3. Teorema de probabilidad total

Si A1, A2 ,... , An son Sucesos incompatibles 2 a 2.Y cuya unión es el espacio muestral ( ).Y B es otro suceso.

Se verifica que:

Ai∩A j=∅∪Aii

=E

P B=P A1⋅P B /A1P A2⋅P B /A2⋯P An⋅P B/ An

5. 4. Teorema de Bayes

Si A1, A2 ,... , An son Sucesos incompatibles 2 a 2.Y cuya unión es el espacio muestral ( ).Y B es otro suceso.

Se verifica que:

Ai∩A j=∅∪Aii

=E

P Ai /B =P Ai ⋅P Ai∩B

P A1⋅P B/ A1P A2⋅P B /A2⋯P An⋅P B /An

6.1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADEs un modelo teórico que describe la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio, es decir, nos da todas las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse cuando se realiza un experimento aleatorio. Se clasifican como discretas o continuas.

Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar un número finito de valores.

se define la distribución de probabilidad de X como el conjunto de pares que a cada valor de la variable le asocia una probabilidad, donde

tal que la suma de todas las probabilidades es igual a la unidad.

x i , pi

pi=P X =x i≥0

p1 p2 p3⋯ pn=1

6. 2. ParámetrosEn las distribuciones de probabilidad podemos proceder de forma similar a las distribuciones estadísticas y definir las medidas centrales y de dispersión.

Media de una variable discreta X , que toma los valores x1 , x2 , …, xn , con probabilidades P1 , P2 , …, Pn es el valor de la siguiente expresión, que denotamos por µ :

La media aritmética de una variable aleatoria también recibe el nombre de valor esperado o esperanza matemática.Desviación típica de una variable aleatoria discreta X es el valor de las siguientes expresiones, que denotamos por σ :

= x1⋅P1 x2⋅P 2…x n⋅P n=∑i=1

n

x i⋅P i

=∑i=1

n

x i− 2⋅P i=∑i=1

n

x i2⋅P i−

2

7. 1. Distribución binomial Características● Can experiencias idénticas.da situación conlleva n experiencias idénticas.● En cada una de las experiencias sólo son posibles dos resultados, que, por

ser contrarios, son incompatibles. Estos sucesos se denominan: cara-cruz, acierto-fallo, blanco-negro, correcto-incorrecto, etc. En general, éxito (A)-fracaso (A).

● Cada experiencia es independiente de las otras. ● La probabilidad p de que ocurra el éxito(A) es la misma en cada una de las

experiencias.● Lo mismo ocurre para la probabilidad q de que se verifica A Toda experiencia que tiene las características anteriores decimos que sigue el modelo de la distribución binomial o distribución de las pruebas de Bernoulli. Variable aleatoria binomial es la que expresa el número total de éxitos observados en las experiencias que siguen el modelo de una distribución binomial. Designaremos por B(n, p) a la distribución binomial de parámetros n (número de experiencias) y p (probabilidad del éxito).

7. 2. Distribución binomial Llamando a la variable aleatoria binomial que describe el número de éxitos, se tiene,

La expresión anterior se denomina función de probabilidad de la distribución binomial B(n , p)

La media o esperanza matemática de una variable asociada a una distribución binomial es:

La desviación típica de la misma variable es:

P obtener r éxitos=P X=r =nr pr⋅qn –r

=n⋅p

= n⋅p⋅q