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Área de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas RELACIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 10 Geometría Analítica en el Plano

Profesor Raúl García Santos 4º ESO

1

Ejercicio nº 1 a) Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por los puntos (1, 2) y (2, −1). b) Obtén la ecuación de la recta, s, que pasa por (1, −3) y tiene pendiente 2. c) Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores. Solución:

− − −) = = = −

−

1 2 3a Su pendiente es 3.2 1 1

m

Ecuación: y = 2 − 3(x − 1) → y = 2 − 3x + 3 → y = −3x + 5

b) y = −3 + 2(x − 1) → y = −3 + 2x − 2 → y = 2x − 5 c) El punto de corte es la solución de este sistema:

( )3 5 2 5 5 10 2 13 5

Punto: 2, 12 5x x x x yy x

y x− + = − → − = − → = → = −= − + ⎫⎬ −= − ⎭

Ejercicio nº 2

( )( )

a Halla la ecuación de la recta, , que se pasa por 1, 3 y tiene como vector direc-

ción d 1, 1 .

r)!

b) Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por los puntos (1, 0) y (−1, 4). c) Obtén el punto de intersección de las rectas r y s. Solución:

) = =1a Pendiente 11

Ecuación: y = 3 + 1 ⋅ (x − 1) → y = 3 + x − 1 → y = x + 2

−

) = = = −− − −

4 0 4b Pendiente 21 1 2

Ecuación: y = 0 − 2(x − 1) → y = −2x + 2 → 2x + y − 2 = 0

c) Es la solución del sistema siguiente:

( )+ + − = → = → = → == + ⎫

⎬+ − = ⎭

2 2 2 0 3 0 0 02Punto: 0, 22 2 0

x x x x yy xx y



2

Ejercicio nº 3 a) Obtén la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos (5, −3) y (−4, 3). b) Escribe la ecuación de la recta, s, que pasa por (0, 0) y tiene pendiente −1. c) Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores. Solución:

( )− − −) = = =

− − −

3 3 6 2a Pendiente 4 5 9 3

( )= − − − → = − − + → + − =2Ecuación: 3 5 3 9 2 10 2 3 1 03

y x y x x y

b) Ecuación: y = −x c) Es la solución del sistema siguiente:

( )2 3 1 0 1 1 12 3 1 0

Punto: 1,1x x x x yx y

y x− − = → − = → = − → =+ − = ⎫

⎬ −= − ⎭

Ejercicio nº 4

( ) ( )a Halla la ecuación de la recta, , que pasa por 3, 2 y tiene como vector dirección d 2, 1 .r)!

b) Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por (−1, 7) y tiene pendiente −3. c) Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores. Solución:

) =1a Pendiente2

( )= + − → = + − → − + =1Ecuación: 2 3 2 4 3 2 1 02

y x y x x y

b) y = 7 − 3(x + 1) → y = 7 − 3x − 3 → 3x + y − 4 = 0 c) Es la solución del sistema siguiente:

( )( )

2 1 3 2 1 4 0 6 3 4 02 1 07 7 1 1 Punto: 1, 13 4 0

x y y y y yx yy y xx y

= − → − + − = → − + − = →− + = ⎫⎬

→ = → = → =+ − = ⎭



3

Ejercicio nº 5 a) Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por los puntos (0, −2) y (−1, −5). b) Obtén la ecuación de la recta, s, que pasa por (4, 0) y tiene pendiente −2. c) Halla el punto de intersección de las rectas r y s. Solución:

( )5 2 5 2 3a) Pendiente 31 0 1 1

− − − − + −= = = =

− − − −

Ecuación: y = −2 + 3 (x − 0) → y = −2 + 3x → 3x − y − 2 = 0

b) y = 0 − 2 (x − 4) → y = −2x + 8 c) Es la solución del sistema siguiente:

( )( )

3 2 8 2 0 3 2 8 2 0 5 103 2 02 4 Punto: 2, 42 8

x x x x xx yx yy x

− − + − = → + − − = → =− − = ⎫⎬

= → == − + ⎭

Ejercicio nº 6 a) Halla la ecuación de la recta, r, paralela a 2x − 3y + 4 = 0, que pasa por (−1, 2). b) Halla la ecuación de la recta perpendicular a y − 1 = 0 que pasa por (3, 2). Solución: a) Puesto que son paralelas, tienen la misma pendiente:

2 4 2 4 22 3 4 03 3 3 3

xx y y x m+− + = → = = + → =

( )2Ecuación de : 2 1 3 6 2 2 2 3 8 03

r y x y x x y= + + → = + + → − + =

b) La recta y − 1 = 0 es paralela al eje X; por tanto, la que buscamos, es paralela al eje Y.

Su ecuación será x = 3.



4

Ejercicio nº 7 a) Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por el punto (3, −1) y es paralela a

y = 2x + 5. b) Halla la ecuación de la recta perpendicular a y = −3x + 1 que pasa por el punto (0, 0). Solución: a) Si son paralelas, tienen la misma pendiente:

y = 2x + 5 → m = 2 Ecuación de r : y = −1 + 2 (x − 3) → y = −1 + 2x − 6 → y = 2x − 7

b) y = −3x + 1 → m = −3

1 1 1Pendiente de la perpendicular 3 3m

− −= = =

−

1Ecuación: 3

y x=

Ejercicio nº 8 a) Obtén la ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por el punto (5, −1). b) Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 3x − y = 1 que pasa por el punto

(0, 1). Solución: a) y = −1 b) Pendiente de 3x − y = 1 → y = 3x − 1 → m = 3

1 1Pendiente de la perpendicular 3m

− −= =

1Ecuación: 1 3 3 3 3 03

y x y x x y= − → = − → + − =



5

Ejercicio nº 9 Dados los puntos A (2, −1) y B (3, 4), halla las ecuaciones de las dos rectas siguientes:

: pasa por y es paralela a .!!!!"

r A AB : pasa por y es paralela a .

!!!!"s B AB Solución:

( )1, 5AB =!!!"

( )5 Recta : . Ecuación: 1 5 2 1 5 101

r m y x y x= = − + − → = − + − →#

→ 5x − y − 11 = 0

1 1 1 Recta : 5 5

s mm− −

ʹ = = = −#

( )1Ecuación: 4 3 5 20 3 5 23 05

y x y x x y= − − → = − + → + − =

Ejercicio nº 10

= +1a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y es paralela a 3.2

y x

b) Halla la ecuación de la recta que pasa por (0, −2) y es perpendicular a 2x + y = −3. Solución: a) Si son paralelas, tienen la misma pendiente:

1 132 2

y x m= + → =

( )1Ecuación: 1 2 2 2 2 22 2

xy x y x y x y= + − → = + − → = → =

b) Pendiente de 2x + y = −3 → y = −2x − 3 → m = −2

1 1 1Pendiente de la perpendicular2 2m

− −= = =

−

1Ecuación: 2 2 4 2 4 02

y x y x x y= − + → = − + → − − =



6

Ejercicio nº 11 Halla la distancia entre los puntos P(2, 9) y Q(8, 1). Solución:

( ) ( ) ( )= − + − = + = + = =2 2 2 2, 8 2 1 9 6 8 36 64 100 10dist P Q

Ejercicio nº 12 Obtén la distancia entre los puntos A(2, −3) y B(−3, 9). Solución:

( ) ( ) ( )( )= − − + − − = + = + = =22 2 2, 3 2 9 3 5 12 25 144 169 13dist A B

Ejercicio nº 13 Averigua la distancia que hay entre los puntos M(8, −5) y N(−1, 7). Solución:

( ) ( ) ( )( )= − − + − − = + = + = =22 2 2, 1 8 7 5 9 12 81 144 225 15dist M N

Ejercicio nº 14 Halla la distancia entre los puntos A(10, 15) y B(0, −9). Solución:

( ) ( ) ( )= − + − − = + = + = =2 2 2 2, 0 10 9 15 10 24 100 576 676 26dist A B



7

Ejercicio nº 15 Obtén la distancia entre los puntos P(5, 7) y Q(−7, 23). Solución:

( ) ( ) ( )= − − + − = + = + = =2 2 2 2, 7 5 23 7 12 16 144 256 400 20dist P Q

Ejercicio nº 16 Escribe la ecuación de la circunferencia de centro (3, −4) y radio 4. Solución:

( ) ( )− + + =2 2La ecuación es: 3 4 4x y



8

Ejercicio nº 17

( )

( )( ) .uk,w

v

u

→→

→

→

−

−

a larperpendicu sea2que para k de valor El b).12,con forma que ángulo El a)

:halla ,43,vector el Dado

Solución:

( ) ( )→−≈

−=

−=

−+++−

−−=

⋅

⋅=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ∧

→→

→→→→

894,05

5255

10

1243

46, a)2222

vu

vuvucos

"662153, ʹ=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ∧

→→→

!vu

:cero ser de ha escalar producto su lares,perpendicu sean w y que Para b)→→

u

( ) ( )23

46046,243, ==→=+−=⋅−=⋅

→→

kkkwu



9

Ejercicio nº 18 a) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por los puntos P(2, −1) y Q(3, 4). b) Averigua la posición relativa de la recta obtenida en a) con la recta:

⎩⎨⎧

+−=

=

tytx

s3

:

Solución:

( )( )5,1 :dirección Vector

1,2OP :posición Vectora)PQ

−

Ecuaciones paramétricas:

⎩⎨⎧

+−=+=

tytxr 51

2:

b) Cambiamos el parámetro de la recta s:

⎩⎨⎧

+−==

⎩⎨⎧

+−=+=

kykxsty

txr 3:512:

Igualamos:

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=→=++−=−++=+−⎭

⎬⎫

+−=+−=+

2

0041235

23513512

k

tttt

ttktkt

Sustituyendo t = 0 en las ecuaciones de r (o bien k = 2 en las de s), obtenemos que las dos rectas se cortan en el punto (2, −1).



10

Ejercicio nº 19 a) Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por P(3, −2) y es

perpendicular a la recta 2x − y + 4 = 0. b) Estudia la posición relativa de la recta, r, obtenida en a), con la recta:

⎩⎨⎧

+−=

−=

tytx

s1

3:

Solución: a) El vector (2, −1) es perpendicular a la recta 2x − y + 4 = 0. Por tanto, podemos tomar:

( )( )1,2 :dirección Vector

23 :posición Vector−

−,OP

Ecuaciones paramétricas:

⎩⎨⎧

−−=+=tytxr 2

23:

b) Cambiamos el parámetro de la recta s:

⎩⎨⎧

+−=−=

⎩⎨⎧

−−=+=

kykxsty

txr 13:2

23:

Igualamos:

21212

212

323−=→=→−−=−−

−=

⎭⎬⎫

+−=−−−=+

kttt

tkktkt

Sustituyendo t = 1 en las ecuaciones de r (o bien k = −2 en las de s), obtenemos que las dos rectas se cortan en el punto (5, −3).



11

Ejercicio nº 20 a) Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, −4) y B(−2, 2). b) Determina la posición relativa de la recta que has obtenido en a) con la recta 2x + y + 2 = 0. Solución: a) La pendiente de la recta es:

( ) 23

6342

1242

−=−

=−

+=

−−

−−=m

La ecuación será:

( ) 022224124 =++→+−−=→−−−= yxxyxy b) Tenemos que hallar la posición relativa de las rectas:

recta. misma la de trata se nte,Evidenteme022022⎭⎬⎫

=++=++

yxyx

Ejercicio nº 21 a) Halla la ecuación implícita de la recta, r, que pasa por el punto P(10, −3) y es

perpendicular a y = 2x − 1. b) Estudia la posición relativa de la recta obtenida en a) con la recta 4x + 2y − 5 = 0. Solución:

21 será pendiente su , 12 a larperpendicu es Si a) −

−= xy

Por tanto, como pasa por (10, −3), tenemos que:

( ) 042106210213 =−+→+−−=→−−−= yxxyxy

( )

31

1611116

052168052424

42

0524

042b)

=→=→−=−

=−++−

=−++−

+−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

=−+

=−+

xyy

yyyy

yx

yx

yx

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛611

31 punto el en cortan se rectas dos Las ,



12

Ejercicio nº 22

.v u yvu ,vuvu→→→→→→→→

+−+−−212dibuja vectores, siguientes los sonySi a)

( ) :de scoordenada las Obtén2,21 y32,son vectores dos de scoordenada Las b) . ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

→→

ba

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−+−→→→→→→

bababa31;

21;23

Solución: a)

( ) ( ) ( ) ( )13,74,19,62,2123,2323 b) −=−+−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−−=+−

→→

ba

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−−=+−

→→

4,491,

413,22,

21

213,2

21 ba

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −→→

35,

655,

25

312,

213,2

31

31 ba



13

Ejercicio nº 23

:figura la muestra que losysiendo ,32y21vectores los Dibuja a)

→→→→→→→→

++−− v uvu vu ,vu

( ) :de scoordenada las obtén ,23, y1,32vectores los Dados b) −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

→→

ba

→→→→→→

−−+− ba;ba;ba31223

Solución: a)

( ) ( ) ( ) ( )1,44,63,22,321,32323 b) −=−+−=−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=+−

→→

ba

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−

→→

0,352,32,

342,31,

3222 ba

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−

→→

31,

31

32,11,

322,3

311,

32

31 ba



14

Ejercicio nº 24

( ) ( ) .1,21 y32, vectores los de lineal ncombinació como 14, vector el Expresa a) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛− zyx

!!!

Solución: a) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que:

:decir es ,→→→

⋅+⋅= znymx

( ) ( )

( ) ( )

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−=

nmnm

nnmm

nm

3,2

21,4

,2

3,21,4

1,213,21,4

⎭⎬⎫

+=−+=−

⎭⎬⎫

=+=−

⎭⎬⎫

+−=+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

+−=

+=mmmm

nmnm

nmnm

nm

nm43183148

3148

3148

312

24

43131177=+=+=

=→=

mnmm

Por tanto:

:decir es ;41→→→

⋅+⋅= zyx

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−= 1,

2143,21,4

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