Tema 12 - Capa Límite

7/25/2019 Tema 12 - Capa Lmite

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LECCIN 12. CAPA LMITE

12.1 Caractersticas de la capa limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 - 1

12.2 Las ecuaciones de la capa lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 - 3

12.3 Capa lmite laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 - 5

12.4 Capa lmite turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 - 8

12.5 Subcapa laminar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 -10

12.6 Separacin de la capa lmite. Estela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 -12

12.7 Fuerza de arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 -15

12.8 Fuerza de sustentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 -17


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12-1

LECCIN 12. CAPA LMITE

12.1 Caractersticas de la capa lmite

Un avance importante en la comprensin del movimiento de los fluidos fue el realizadopor Prandtl en 1904 cuando concibi e introdujo el concepto de capa lmite. Prandtl mostr que,en el movimiento de un fluido alrededor de un cuerpo con nmeros de Reynolds grandes, losefectos de la viscosidad se limitaban a una regin relativamente delgada en la proximidad delcontorno. Cuando el nmero de Reynolds es suficientemente alto, el espesor de dicha reginresulta ser mucho menor que cualquiera de las dimensiones significativas del cuerpo. El lectordeber recordar que en todas las figuras de esta leccin, la dimensin transversal de la capalmite se dibuja ampliada para su mejor visualizacin aunque en realidad sea muy delgada.

El movimiento puede entonces estudiarse en dos regiones distintas. Una, algo separada

del contorno, donde los efectos de la viscosidad no son importantes y el fluido puede estudiarsecomo un fluido perfecto con movimiento, por tanto, irrotacional. En dicha zona, los efectos deviscosidad son despreciables puesto que los trminos vi,json pequeos. La otra zona es la capaestrecha cercanaalcontorno,donde losefectosdeviscosidadnopuedendespreciarseporquelos trminos vi,j ya no son pequeos. Sin embargo, el hecho de que esta zona sea delgadapermitir simplificar considerablemente las ecuaciones correspondientes.

El concepto de capa lmite puede visualizarse fcilmente considerando un movimientopermanente, paralelo y uniforme en el que se introduce una lmina delgada. Las velocidadesantes de llegar a la lmina tendran un perfil rectangular. Al llegar a la lmina, la velocidad debeanularse en la superficie de la lmina. Por tanto, en cualquier seccin perpendicular a la lmina,

la velocidad debe disminuir gradualmente desde su valor en el campo lejano v0, hasta llegar acero en la superficie de la lmina (Fig. 12.1).

Fig. 12.1 Velocidades y cortantes en la capa lmite

La pendiente de dicha distribucin de velocidades es proporcional a los esfuerzoscortantes. Eso indica que dicha pendiente debe ser finita en el contacto con la lmina. De otromodo, 0tendra un valor infinito, lo que ira contra la experiencia.

Aunque en teora los efectos de la viscosidad llegan hasta el infinito, es til considerar

cul es el espesor sobre el que dichos efectos son importantes. Se han propuesto varias formas

0

Capa lmite

v0 v0

y

x

y


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12-2

de cuantificar el espesor de la capa lmite, es decir, el espesor de la zona en que los efectos de laviscosidad no son despreciables.

Una de estas formas utiliza el concepto de espesor de desplazamiento :

( )

0

0

0

v

dyvv

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

Como puede verse, * es una distancia tal que las reas punteadas por encima y pordebajo de y = *son iguales (Fig. 12.2). Si la distribucin de velocidades fuera uniforme y elcontorno se desplazara una distancia *hacia el interior del fluido, el caudal sera el mismo queel que se tiene con la distribucin real de velocidades. Esta zona y < *, sin embargo, esclaramente menor que la influida por el contorno. La zona sobre la cual las velocidades estn

influidas por la presencia de la lmina es del orden de 3*

.

Fig. 12.2 Distribuciones de velocidades: a) real en la capa lmite b) uniformeequivalente con el contorno del cuerpo desplazado

Las definiciones del espesor de la capa lmite se hacen generalmente en funcin delpunto en el cual la velocidad llega un determinado porcentaje del valor de la velocidad en elcampo lejano, tal como el 99% o el 99,5%. La ms usada, y que utilizaremos aqu, es la altura

para la cual:

0v99,0v= . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

El espesor de la capa lmite debe necesariamente aumentar con la distancia x desde elborde de la lmina. El motivo es que, al aumentar x, aumenta la cantidad de movimientosuministrada por la friccin con la lmina para decelerar el fluido.

Al ir aumentando x y , llega un momento en que la capa lmite ya no puede seguir enrgimen laminar y pasa al turbulento (Fig. 12.3). Esto viene a ocurrir cuando el nmero de

Reynolds Rexllega a valores del orden de 500.000 1.000.000, donde:

vv v0

v0

yy

**

a) b)


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12-3

Fig. 12.3 Inestabilidad de la capa lmite laminar

=

xvRe 0x . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

Puede notarse que las lneas de corriente tendern a separarse al progresar en la

direccin de la lmina. Esto lo exige la continuidad como consecuencia de la prdida develocidad que se experimenta en las cercanas de la lmina, concepto que se ver con msclaridad en la prxima seccin.

Supondremos siempre en las consideraciones de capa lmite de este captulo que elnmero de Reynolds es suficientemente alto como para que el espesor de la capa lmite seapequeo comparado con la longitud del cuerpo considerado.

12.2 Las ecuaciones de la capa lmite

Las ecuaciones de Navier-Stokes para la capa lmite de una lmina plana pueden

escribirse en forma adimensional con el fin de estudiar el orden de magnitud de cada uno de lostrminos. Esto permite concluir que, cuando el espesor de la capa lmite es pequeo, lavariacin de la presin en la direccin transversal en la capa lmite es despreciable con respectoa las dems fuerzas que entran en las ecuaciones: gradientes de las tensiones cortantes,gradientes de presiones en la direccin del movimiento y fuerzas de inercia.

Consideremos entonces la capa lmite asociada a una lmina plana introducidaparalelamente en un fluido incompresible en movimiento rectilneo uniforme (Fig. 12.4). Deesto ltimo se deduce tambin que la distribucin de presiones es uniforme. Aplicaremos elteorema de la conservacin de la cantidad de movimiento al volumen ABCD.

Fig. 12.4 Volumen de control utilizado para obtener la ecuacin de la capa lmite

Capa lmitelaminar

Capa lmite turbulenta

Subcapa laminar

y

x

CR

0(x)

B C

D

h

v0 v0

vx

y

AO


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12-4

Las consideraciones anteriores garantizan que las presiones son uniformes, no slo en elexterior de la capa lmite, sino tambin en la parte del contorno que la atraviesa. Esto se debe aque los gradientes de presiones son despreciables en direccin transversal a la capa lmite. Enesta situacin, la nica fuerza en la direccin del eje x es la resultante de las tensiones cortantes:

=D

0

0 dx)x(F . . . . . . . . . . . . . . . . . (4)

donde F debe entenderse como la fuerza (por unidad de anchura en direccin perpendicular a lafigura) ejercida por la lmina sobre el fluido.

El caudal msico que entra por AB es:

=h

0

0AB dyvQ . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)

donde h es la coordenada y del punto B.

El caudal msico que sale por CD es:

=h

0

CD dyvQ . . . . . . . . . . . . . . . . . (6)

En consecuencia, algo de fluido debe abandonar el recinto ABCD a travs de BC. El

caudal msico que sale a travs de BC ser la diferencia entre (5) y (6):

( ) =h

0

0BC dyvvQ . . . . . . . . . . . . . . . . . (7)

Ahora estamos ya en condiciones de aplicar el teorema de la conservacin de la cantidadde movimiento:

( ) dyvdyvvvdyvFh

0

20

h

0

0

h

0

20 ++=

( )dyvvvF 0h

0

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (8)

La tensin cortante (ver ecuacin (4)) es la variacin de la fuerza 0(x) = dF/dx, con loque obtenemos:

( )dyvvv

dx

d)x( 0

h

0

0 = . . . . . . . . . . . . . . . . . (9)


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12-5

Esta ecuacin rige el movimiento bidimensional sobre una lmina plana y se conoce con elnombre de ecuacin de la capa lmite.

Los clculos de la evolucin de la capa lmite son en general difciles. Sin embargo, si sesupone conocida la ley de variacin transversal de velocidades dentro de la capa lmite, pueden

determinarse el espesor y el cortante 0.

En este tipo de clculos, es estndar suponer que la distribucin de velocidades esidntica a lo largo de la capa lmite, es decir, es independiente de la coordenada x. As:

)(fv

v

0

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (10)

donde = y/es la fraccin del espesor de la capa lmite en que la velocidad es inferior a v. Lafuncin () deber ser tal que f(0) = 0 y f(1) = 1. De esta manera, el cortante puede escribirse

(9):

= dv

v

v

v1

dx

dv)x(

0

1

0 0

200

[ ]

= d)(f)(f1dxd

v1

0

20 . . . . . . . . . . . . . . . . (11)

Debe tambin recordarse que 0es el cortante en el contorno plano:

0y

0 y

v)x(

=

=

0

0

d

fdv

=

= . . . . . . . . . . . . . . . . (12)

Las ecuaciones (11) y (12) permiten determinar 0(x) y (x) si se conoce la distribucin develocidades f. Veremos que las conclusiones que se derivan por esta va se aproximan bastante a

las observaciones experimentales y a los resultados que se obtendran haciendo una integracinexacta de las ecuaciones.

12.3 Capa lmite laminar

Siguiendo las ideas del apartado anterior, Prandtl supuso que la distribucin transversal develocidades en la capa lmite laminar es:

22

3)(f

3= . . . . . . . . . . . . . . . . . (13)


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12-6

Tambin se han usado otras funciones aproximadas, tales como 22, sen, etc.Aunque las diferencias son pequeas, para esta discusin utilizaremos la distribucin develocidades indicada por la ecuacin (13).

= d22

3

22

31dx

dv)x(

31

0

3200

+

= d42

3

24

9

3

2

dx

dv

1

0

64

322

0

+

=

28

1

10

3

8

1

4

3

4

3

dx

dv20

dx

dv139,0

20

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (14)

Las mismas tensiones, calculadas por medio de la ecuacin (12):

0

00

fv)x(

=

=

0

20

2

3

2

3v

=

=

= 0

v

2

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . (15)

Igualando (14) y (15):

=

020

v

2

3

dx

dv139,0

dxv78,10d 0

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (16)

que, integrada, da:

Cxv

78,102 0

2

+

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (17)

Esto nos dice que el espesor de la capa lmite laminar crece parablicamente desde elborde de ataque de la lmina. Tomando la condicin de que, para x = 0, = 0, la constante de

integracin resulta ser nula. El cociente /x puede entonces expresarse:


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xv

65,4x 0

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (18)

xRe

65,4= . . . . . . . . . . . . . . . . . (19)

donde Rexes el nmero de Reynolds con longitud caracterstica x, la distancia al frente de lalmina.

Este resultado permite introducir (18) en (15) para obtener el cortante:

= 00

v

2

3

0

0

vx

65,4

v23

=

x

v322,0

30= . . . . . . . . . . . . . . . . . (20)

La integracin exacta, que fue llevada a cabo por Blasius, proporciona la constante0,332 en lugar de 0,322. Como puede verse, el mtodo aproximado es perfectamente adecuado.

La fuerza de arrastre F se calcula:

=1

0

0 dxF

lv644,0 30= . . . . . . . . . . . . . . . . . (21)

con el 0,644 convertido en 0,664 al hacer la integracin exacta.

La fuerza de arrastre suele expresarse en la forma:

l2

vCF

20

D

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (22)

donde CDes un coeficiente adimensional, conocido como coeficiente de arrastrev0

2/2 es la presin de paradal es el rea (longitud desde el frente)


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La comparacin con (21) muestra que el coeficiente de arrastre

lv

lv0,644x2C

20

30

D=

lRe

288,1= . . . . . . . . . . . . . . . . . (23)

lo que indica que el coeficiente de arrastre es inversamente proporcional a la raz del nmero deReynolds Relen la capa lmite laminar. Como se indic anteriormente, al llegar Re la cifras delorden de 5x105 106, la capa lmite se hace turbulenta.

12.4 Capa lmite turbulenta

La funcin f, que describe la variacin transversal de las velocidades, en una capa lmiteturbulenta toma la forma aproximada:

ml)(f = . . . . . . . . . . . . . . . . . (24)

donde m aumenta con la turbulencia (esto es, con Rex). Mientras Rex< 107, m puede tomarse

igual a 7, con lo que:

7l)(f = . . . . . . . . . . . . . . . . . (25)

Sin embargo, debe de tenerse en cuenta que esta ley de velocidades no es vlida muycerca del contorno, donde el flujo ser laminar: la cercana de la pared impermeable impide alllas fluctuaciones caractersticas del rgimen turbulento.

Tal como se hizo en la capa lmite laminar, los cortantes son:

( ) = dldxd

v)x( 7l1

0

7l200

dxdv

727 2

0

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (26)

No se puede ahora obtener 0(x) independientemente a travs del gradiente develocidades en = 0, ya que dicho gradiente es infinito y, en cualquier caso, la ley f() no esvlida en el entorno de la pared. Por tanto, debemos sustituir esta segunda ecuacin con unaobservacin experimental. As, ajustando con una lnea recta los puntos correspondientes amedidas experimentales de 0 (al que hacemos adimensional dividindolo por la presin deparada) y de (hecho adimensional usando Re) en escala logartmica, se obtiene la relacin:


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12-9

41

020

0 v0456,02v

)x(

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (27)

Eliminando 0(x) entre las dos expresiones queda:

dxv

0,234d

41

0

1/4

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (28)

que, integrada, y suponiendo que para x = 0, = 0, da:

xv

292,041

0

45

=

51

0 xvx37,0

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (29)

51xRe

x37,0= . . . . . . . . . . . . . . . . . (30)

Esto indica que, mientras el espesor de la capa lmite laminar aumentaba con la potencia(11/2) = 1/2 de la distancia al borde de la lmina, el de la capa lmite turbulenta aumenta con la

potencia (11/5) = 4/5 de la distancia. Es claro que en este ltimo caso el espesor crece bastantems deprisa que en el primero.

Introduciendo (29) en (27) se obtiene el cortante en cada punto:

51x

20

0 Re

v029,0)x(

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (31)

y, sin ms que integrar, se obtiene la fuerza:

=1

0

0 dx)x(F

lRe

v036,051

1

20= . . . . . . . . . . . . . . . . . (32)

con lo que el coeficiente de arrastre es:

511D Re072,0C

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (33)


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12-10

La figura 12.5 da los coeficientes de arrastre laminar, turbulento y de transicin enfuncin del nmero de Reynolds Rel. Por transicin se entiende el caso de una lmina en que laparte frontal est bajo una capa lmite laminar mientras en el resto de la lmina la capa ya esturbulenta.

Fig.12.5. Coeficiente de arrastre para una lmina plana

La expresin para nmeros de Reynolds mayores de 107, as como la ecuacin de lazona de transicin pueden verse por ejemplo en Olson (1966).

12.5 Subcapa laminar

El espesor de la subcapa laminar Spuede estimarse a partir del espesor de la capa lmite considerando un perfil lineal de velocidades consistente con un cortante constante en lasubcapa (Fig. 12.6).

Fig.12.6. Subcapa laminar bajo la capa lmite turbulenta

SUBCAPALAMINAR

TURBULENTO

TRANSICION

LAMINAR

105 10 107

10-2

10-

CD

Re

CAPA LMITETURBULENTA

s

0

vs

v0


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12-11

Trataremos aqu de hallar el punto de interseccin (s, vs) de la recta que representa ladistribucin de velocidades en la subcapa laminar con la curva que la representa en la capalmite turbulenta. El valor vses el de la velocidad a la altura s. El cortante en la pared es:

0y

0 y

v

=

=

s

sv

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (34)

expresin que deber dar idnticos resultados a la obtenida empricamente (27):

41

0

200 v

v0228,0

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (35)

Igualando las dos expresiones:

41

0

20

s

s

vv0228,0

v

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (36)

donde, operando, se obtiene la relacin lineal entre s/y vs/v0caracterstica de la subcapalaminar:

43

00

ss

vv

v

0228,0

1

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (37)

Pero, la ley de velocidades en la capa turbulenta era (24):

71

0

y

v

v

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (38)

o, para nuestro y = s:

71

s

0

s

v

v

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (39)

lo que puede tambin escribirse:

7

0

ss

v

v

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (40)


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12-12

Sustituyendo en (37):

=

0

6

0

s

v0228,0

1

v

v

81

00

s

v88,1

v

v

=

81Re88,1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . (41)

Este cociente de velocidades puede tambin expresarse en funcin de Rex, msfcilmente medible, usando (30):

51xRex37,0=

54xRe37,0Re = . . . . . . . . . . . . . . . . . (42)

que, sustituida en (41), da:

101x

0

s Re13,2v

v = . . . . . . . . . . . . . . . . . (43)

De forma similar puede hallarse el espesor sustituyendo (41) en (37):

4381s ReRe88,10228,0

1

=

87Re46,82 = . . . . . . . . . . . . . . . . . (44)

o, utilizando (42), en funcin de Rex:

107xs Re197 =

Puede observarse que, puesto que Rex4/5, se sigue que sRex

1/10. Esto indica que elespesor de la subcapa laminar crece con la distancia al borde de ataque, aunque su crecimientoes mucho ms lento que el del espesor de la capa lmite turbulenta.

12.6 Separacin de la capa lmite. Estela

Si existe un gradiente positivo de presiones en el flujo irrotacional en la direccin de lacorriente, la capa lmite aumenta rpidamente de espesor. El gradiente adverso se ala con las


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12-13

tensiones cortantes producidas en el contorno y contribuye a disminuir la cantidad demovimiento del fluido en la capa lmite.

Cuando ambos fenmenos actan sobre una distancia suficientemente larga, lavelocidad en la capa lmite puede llegar a ser nula en el entorno de la pared. En este punto se

produce separacinde la capa lmite con respecto al contorno del cuerpo (Fig. 12.7).

Fig. 12.7 Separacin de la capa lmite

Aguas abajo de este punto, el gradiente de presiones causa una velocidad negativa. Esta zona seconoce como estela. Este fenmeno ocurre en general en todos los cuerpos que estn en

movimiento relativo dentro del seno de un fluido (Fig. 12.8).

Fig.12.8. Separacin de la capa lmite y estela

Una forma fcil de visualizar la inevitabilidad del fenmeno es tener en cuenta que, ensu movimiento irrotacional, el fluido debe mantener el trinomio de Bernoulli constante.

cteg2

vpz

2

=+

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (45)

Si consideramos un cilindro en el seno del fluido, est claro que (z + p/) debe ser

mximo en A y en C, en donde la velocidad debe anularse (puntos de parada) (Fig. 12.9).

y

v dv/dy = 0PUNTO DE SEPARACIN

v0CAPA LIMITE

ESTELA

PUNTO DE SEPARACIN


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12-14

Fig.12.9. Flujo alrededor de un cilindro

Asimismo debe de ser mnimo en B, donde la velocidad es mxima ya que, por continuidad, lasvelocidades varan en proporcin inversa a la distancia entre lneas de corriente. En la direccinBC, por tanto, la presin debe ir aumentando pues en C vuelve a haber un punto de parada. Eseste aumento de presin y disminucin de la velocidad el que produce la separacin de la capalmite y la estela (Fig. 12.10).

Fig.12.10. Separacin aguas abajo de un cilindro

La separacin de la capa lmite impide recuperar las presiones aguas abajo del obstculo. Laconsecuencia es que aumenta la fuerza de arrastre de presin (o de estela) sobre el cuerpo. Lafuerza total de arrastre es la suma de la fuerza de presin o de estela y de la fuerza de friccin.La contribucin relativa de estas dos fuerzas es funcin del nmero de Reynolds; a pequeosnmeros de Reynolds prcticamente toda la fuerza de interaccin se debe a la friccin, mientrasque para mayores Re, la mayor parte proviene de la diferencia de presiones aguas arriba y aguasabajo del cuerpo.

Con el fin de minimizar el arrastre de presin sobre un cuerpo, se le da formaaerodinmica; es decir, se intenta que la separacin se produzca lo ms tarde posible y serecuperen aguas abajo del cuerpo presiones no mucho menores que las ejercidas aguas arriba.

Debe notarse que, si la capa lmite es turbulenta, tarda ms en separarse que si es

laminar. Esto es debido a que, a idnticas distancias normalizadas del contorno (distancias

A

B

C


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divididas por el espesor de la capa lmite), las velocidades son mayores en el caso turbulento y,en consecuencia, cuesta ms frenarlas que en el caso laminar. Para minimizar el arrastre depresin, conviene, por tanto, que la capa lmite se haga turbulenta antes de separarse. Estomejora la recuperacin de presiones aguas abajo del cuerpo.

Al considerar el arrastre, es tambin necesario observar que, como se mencion en elcaso de lminas, el arrastre por friccin es mucho mayor en la capa lmite turbulenta que en lalaminar. Puede, en consecuencia, interesar (para disminuir la fuerza de arrastre) disear elcuerpo de forma que la transicin a rgimen turbulento se retrase lo ms posible. Perfiles coneste criterio suelen tener el ancho mximo en la mitad posterior del perfil, zona donde sealcanzara la mxima velocidad. Esta disminucin de la resistencia de friccin puede o nocompensar el incremento de la presin de estela que suele acompaar a tales perfiles.

12.7 Fuerza de arrastre

En la seccin anterior vimos que la fuerza de arrastre o resistencia al avance de uncuerpo en movimiento relativo respecto de un fluido es la suma de una componente de presin yuna de friccin. Dado que la primera es a menudo la mayor, la fuerza resultante suelecaracterizarse por medio del coeficiente de arrastre CD:

2

vACF

20

D

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (46)

donde F es la resistencia al avance

A es el rea de seccin perpendicular a la direccin del movimiento en el campo lejano

2

v20 es la presin de parada

Las figuras 12.11 y 12.12 muestran los valores del coeficiente CD para esferas ycilindros con eje perpendicular a la velocidad. La disminucin repentina de CDpara nmeros deReynolds del orden de 3-5x105corresponde a que a partir de estos nmeros de Reynolds la capalmite se hace turbulenta antes de separarse.

El nmero de Reynolds exacto al que esto ocurre depende de la rugosidad superficial y

de la turbulencia del movimiento aguas arriba. Esta disminucin de CDes la causa de que laspelotas de golf no sean lisas: as se favorece el que la transicin al rgimen turbulento en la capalmite ocurre antes de la separacin, con la consiguiente disminucin del coeficiente de arrastre.

Las curvas de puntos en las dos figuras corresponden a soluciones analticas, que sonvlidas para rangos limitados del nmero de Reynolds. Ya hemos visto anteriormente lasolucin de Stokes al problema de la esfera, obtenida suponiendo que las fuerzas de inercia sondespreciables (movimientos muy lentos).


17/21

12-16

Fig.12.11 Coeficiente de arrastre. Esferas

Fig. 12.12 Coeficiente de arrastre. Cilindros

LAMB

EXPERIMENTAL

RelnReRe2

8CD

=

Re10-1 1 10 102 103 104 105 106

0,1

1

10

100

1000

CD

STOKES

OSEEN

EXPERIMENTAL

+= Re16

3

1Re

24

CD

Re

24C D =

Re10-1 1 10 102 103 104 105 106

0,1

1

10

100

1000

CD


18/21

12-17

Es curioso observar que el procedimiento de Stokes para hallar la fuerza sobre unaesfera a velocidades muy lentas no sirve para el cilindro. No existe ningn campo develocidades, que sea uniforme en el infinito y nulo en la superficie del cilindro, que satisfagala condicin de que las presiones sean armnicas. Hay que contabilizar, al menosaproximadamente, la influencia de las fuerzas de inercia. Esto fue llevado a cabo por Lamb, que

encontr la siguiente expresin de CDpara el caso del cilindro:

RelnReRe2

8CD

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (47)

ecuacin que vale para Re 1.

Un procedimiento similar fue utilizado por Oseen para ampliar el rango de aplicabilidadde la expresin obtenida por Stokes para la esfera. La expresin de Stokes equivale a:

Re

24CD= . . . . . . . . . . . . . . . . . (48)

que vale slo para Re 1, mientras que Oseen consigui:

+= Re

16

31

Re

24CD . . . . . . . . . . . . . . . . . (49)

que puede usarse hasta Re 5.

En la tabla 12.1 se dan algunos coeficientes de arrastre para perfiles tpicos. Los valoresdados corresponden al rango de nmeros de Reynolds para los cuales el coeficiente de arrastrevara poco con Re.

12.8 Fuerza de sustentacin

Ya hemos visto que, en el movimiento relativo entre un cuerpo y el fluido, se desarrollauna fuerza resultante de la interaccin entre ambos. En casos simtricos, esta fuerza puede tener

la direccin de la velocidad relativa entre el cuerpo y el fluido. Pero, en general, la fuerza deinteraccin tiene una componente longitudinal (en la direccin de la velocidad relativa) y otratransversal. La primera es la fuerza de arrastre FD(D = drag) y la segunda es la de sustentacinFL(L = lift).

Cada una de ellas se estudia por medio de un nmero adimensional: el coeficiente dearrastre

2vA

FC

20

DD

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (50)


19/21

12-18

PERFIL CD( - )

Re(105)

Cilindro circular

elptico 2:1

4:1

8:1

cuadrado

triangular 120

30

semitubular

Ala aerodinmica

Esfera

1.2

0.6

0.46

0.32

0.29

0.20

2.0

1.6

2.0

1.7

1.8

1.0

2.3

1.1

0.1

0.49

0.14

1.5

0.4

1.0

0.25-1

0.25

2

0.35

0.1-1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.4

0.4

5

1

10

Tabla 12.1 Valores del coeficiente de arrastre para algunos perfiles

y el coeficiente de sustentacin

2vA

FC

20

LL

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (51)


20/21

12-19

Como podra esperarse, para un fluido determinado, ambos coeficientes son funcinnicamente de la forma del cuerpo, el nmero de Reynolds y el ngulo de ataque.

Aunque no estudiaremos en detalle el coeficiente de sustentacin y su dependencia delnmero de Reynolds y el ngulo de ataque, veremos aqu un par de ejemplos que permiten

visualizar los mecanismos que actan.

Consideremos primero un perfil de ala de avin como el de la figura, con un ngulo deataque nulo. La forma del perfil fuerza al fluido a correr ms cuando rodea la parte superior quecuando rodea la inferior (Fig. 12.13). La conservacin de la energa (Bernoulli) se ocupaentonces en convertir ese aumento de velocidad en prdida de presin. Por tanto la resultante delas presiones sobre la parte superior es menor que la resultante de las presiones sobre la parteinferior. El efecto neto es el de una fuerza de sustentacin hacia arriba, adems de la fuerza dearrastre que se produzca. Dicho efecto es consecuencia de la forma del cuerpo.

Fig. 12.13 Diferencias de velocidades y presiones entre las partes superior e inferior

Por otra parte, el ngulo de ataque juega tambin un papel importante. La figura 12.14muestra la dependencia de los coeficientes de arrastre y sustentacin en un perfil tpico de ala deavin.

En la figura puede verse cmo el arrastre y la sustentacin aumentan gradualmente conel ngulo de ataque hasta llegar a un ngulo crtico, en este caso de unos 22. Al llegar a esepunto, el flujo se separa en la parte posterior del ala, lo que conlleva un sbito aumento delarrastre y una prdida de sustentacin: es lo que en lenguaje de aviacin se conoce como entrar

en prdida.

Otro ejemplo interesante de sustentacin es el llamado efecto Magnus, que ocurre alcombinar a la traslacin un giro alrededor de un eje perpendicular a la velocidad. Dichacombinacin resulta en la generacin de fuerzas de sustentacin cuya direccin es perpendiculartanto a la velocidad como al eje de giro. Es un efecto muy utilizado en deportes tales comotenis, golf, ping-pong, ftbol, etc. Es la base, por ejemplo, de la aplicacin del "top-spin" a unapelota de tenis. La mxima velocidad que el tenista puede permitirse imprimir a la pelota estlimitada por la condicin de que la gravedad, actuando sobre la pelota progresivamentedecelerada por la fuerza de arrastre, debe generar una trayectoria que intersecte al suelo dentrode la pista (Fig. 12.15).

v0


21/21

12-20

Fig. 12.14 CDy CLen funcin del ngulo de ataque para una velocidad de avance dada

El "top spin" refuerza la gravedad sumndole una fuerza de sustentacin negativa. Sefuerza al aire a decelerarse sobre la pelota y a acelerarse bajo ella gracias al giro de la pelota.Estas diferencias de velocidad originan las diferencias de presiones que empujan a la pelotahacia abajo. El efecto contrario es el que en lenguaje tenstico se conoce como una pelota"liftada".

Fig. 12.15 Trayectoria de pelota y efecto Magnus

Al efecto de sustentacin que resulta cuando el cuerpo gira a la vez que se desplaza se leconoce con el nombre de efecto Magnus.

F

Tema 12 - Capa Límite

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