Tema 12 Centroides

7/30/2019 Tema 12 Centroides

1/51

Centroides

Supongamos que queremos determinar la

posicin media de un grupo de alumnos enun saln de clases.

Lo primero que necesitamos es un sistema

de referencia para establecer la posicin

exacta de cada banca.

Supongamos que los ejes estn alineados

con las paredes del saln como se muestra

en la figura.

Numeramos los estudiantes del 1 al N y

denotamos la posicin del estudiante i como

(xi, yi).

(xi, yi)


2/51

(xi, yi)

La coordenada x media es

La coordenada y media es

x

y

El punto medio es

rm

N

xx

N

1i

i

==

N

yy

N

1ii

==

( )

=

==

==

==N

1i

i

N

1i

i

N

1i

i

N

1i

i

m y,xN

1

N

y

,N

x

y,xr


3/51

Estas ecuaciones sirven para determinar la posicin media de cualquier conjunto de

cantidades a las que podamos asociar posiciones.

Entonces, si ci es el nmero de libretas que tiene el estudiante i, la posicin media de las

libretas se encuentra mediante la suma del producto del nmero de libretas que cadaestudiante tiene por la coordenada de ese estudiante, y dividido entre el nmero total de

libretas:

Ahora, supongamos que queremos saber la posicin media de las libretas que tienen los

estudiantes, los cuales seguramente tendrn un nmero diferente de ellas.

Una posicin media obtenida de estas ecuaciones se denomina posicin de pesosponderados o centroide.

=

=

=

= ==N

1i

i

N

1i

ii

N

1i

i

N

1i

ii

c

yc

y

c

xc

x

( )

== ===

N

1i

ii

N

1i

iiN

1i

i

c yc,xc

c

1y,xr


4/51

Centro de gravedad

Si lo que nos interesa es la posicin media de los pesos de una distribucin discreta de

objetos, el centro de gravedadoposicin media del peso, tenemos que

Si la distribucin del peso es continua, el centro de gravedadoposicin media del peso, es

dado por

====

====

dW

M

dW

ydWy

dW

M

dW

xdWx

MydWWyMxdWWx

xy

xy

==

=

==

=

==

====

====

N

1i

i

xN

1i

i

N

1i

ii

N

1i

i

yN

1i

i

N

1i

ii

x

N

1i

iiy

N

1i

ii

W

M

W

Wy

y

W

M

W

Wx

x

MWyWyMWxWx


5/51

x=[-3,3]

x=0.1 y=x2-x+4 Masa=10( x) Ponderacinx Ponderaciny

-3.0000 16. 0000 0.0000 0.0000 0.0000

-2.9000 15. 3100 1.0000 -2.9000 15. 3100

-2.8000 14. 6400 1.0000 -2.8000 14. 6400

-2.7000 13. 9900 1.0000 -2.7000 13. 9900

-2.6000 13. 3600 1.0000 -2.6000 13. 3600

-2.5000 12. 7500 1.0000 -2.5000 12. 7500

-2.4000 12. 1600 1.0000 -2.4000 12. 1600

-2.3000 11. 5900 1.0000 -2.3000 11. 5900

-2.2000 11. 0400 1.0000 -2.2000 11. 0400

-2.1000 10. 5100 1.0000 -2.1000 10. 5100

-2.0000 10. 0000 1.0000 -2.0000 10. 0000

-1.9000 9.5100 1.0000 -1.9000 9.5100

-1.8000 9.0400 1.0000 -1.8000 9.0400

-1.7000 8.5900 1.0000 -1.7000 8.5900

-1.6000 8.1600 1.0000 -1.6000 8.1600

-1.5000 7.7500 1.0000 -1.5000 7.7500

-1.4000 7.3600 1.0000 -1.4000 7.3600

-1.3000 6.9900 1.0000 -1.3000 6.9900

-1.2000 6.6400 1.0000 -1.2000 6.6400

-1.1000 6.3100 1.0000 -1.1000 6.3100

-1.0000 6.0000 1.0000 -1.0000 6.0000

-0.9000 5.7100 1.0000 -0.9000 5.7100

-0.8000 5.4400 1.0000 -0.8000 5.4400

-0.7000 5.1900 1.0000 -0.7000 5.1900

-0.6000 4.9600 1.0000 -0.6000 4.9600

-0.5000 4.7500 1.0000 -0.5000 4.7500

-0.4000 4.5600 1.0000 -0.4000 4.5600

-0.3000 4.3900 1.0000 -0.3000 4.3900

-0.2000 4.2400 1.0000 -0.2000 4.2400

-0.1000 4.1100 1.0000 -0.1000 4.1100

0.0000 4.0000 1.0000 0.0000 4.0000

0.1000 3.9100 1.0000 0.1000 3.9100

0.2000 3.8400 1.0000 0.2000 3.8400

0.3000 3.7900 1.0000 0.3000 3.7900

0.4000 3.7600 1.0000 0.4000 3.7600

0.5000 3.7500 1.0000 0.5000 3.7500

0.6000 3.7600 1.0000 0.6000 3.7600

0.7000 3.7900 1.0000 0.7000 3.7900

0.8000 3.8400 1.0000 0.8000 3.8400

0.9000 3.9100 1.0000 0.9000 3.9100

1.0000 4.0000 1.0000 1.0000 4.0000

1.1000 4.1100 1.0000 1.1000 4.1100

1.2000 4.2400 1.0000 1.2000 4.2400

1.3000 4.3900 1.0000 1.3000 4.3900

1.4000 4.5600 1.0000 1.4000 4.5600

1.5000 4.7500 1.0000 1.5000 4.75001.6000 4.9600 1.0000 1.6000 4.9600

1.7000 5.1900 1.0000 1.7000 5.1900

1.8000 5.4400 1.0000 1.8000 5.4400

1.9000 5.7100 1.0000 1.9000 5.7100

2.0000 6.0000 1.0000 2.0000 6.0000

2.1000 6.3100 1.0000 2.1000 6.3100

2.2000 6.6400 1.0000 2.2000 6.6400

2.3000 6.9900 1.0000 2.3000 6.9900

2.4000 7.3600 1.0000 2.4000 7.3600

2.5000 7.7500 1.0000 2.5000 7.7500

2.6000 8.1600 1.0000 2.6000 8.1600

2.7000 8.5900 1.0000 2.7000 8.5900

2.8000 9.0400 1.0000 2.8000 9.0400

2.9000 9.5100 1.0000 2.9000 9.5100

3.0000 10. 0000 1.0000 3.0000 10. 0000

Masa Total Momento Totalx Momento Totaly

60. 0000 3.0000 417.1000

0.0500 6.9517

Centro de Masa (x, y)


6/51

Ejemplo 1:

[ ]3,3x = 4xxy 2 += x10m =

dx10dxdmdxdm === ( ) ( ) kg60310310x10dx10m 33

3

3

====

( ) ( ) ( ) m0kg60

kgm0

dm

dmx

xkgm03535x5dx10xdmx3

3

3

3223

3

2

3

3

3

3

=======

( )( ) ( )

m7kg60

kgm420

dm

dmy

y

kgm420x40xxdx104xxdmy

3

3

3

3

3

3

2

3103

310

3

3

2

3

3

===

=+=+=


7/51

Centroides de reas

Sea un rea A arbitraria en el plano xy.

Dividamos esta rea en partes A1, A2, ,

AN y denotemos la posicin de las partes

mediante sus coordenadas (x1,y1), (x2,y2),

, (xN,yN).

El centroide oposicin media del rea es

=

=

=

= ==N

1i

i

N

1i

ii

N

1i

i

N

1i

ii

A

yA

y

A

xA

x

y

A

x

y

x

A

x i

yii

y

x

y

x


8/51

Sin embargo, cada sub-rea Ai tiene un rea

finita, por lo cual tenemos el problema de no

saber la posicin exacta de Ai.

Para evitar este problema, hacemos un

proceso lmite haciendo tender cada sub-rea

Ai a cero, por lo que la posicin media es

dada por

Entonces, el centroidedel rea es

==

A

A

A

A

dA

ydA

ydA

xdA

x

y

x

A

x i

yii

y

x

y

x

=

=

=

=

==

N

1i

i

N

1i

ii

0AN

1i

i

N

1i

ii

0A

A

yA

limy

A

xA

limxii

y

xx

y


9/51

Losprimeros momentos de rea son definidos por las integrales

Qx es el primer momentos de rea respecto al eje y y Qy es el primer momentos de rea

respecto al eje x.

Los centroides de figuras geomtricas simtricas se encuentras en el eje de simetra.

==A

y

A

x xdAQydAQ


10/51

Ejemplo 1. Determinar el centroide del rea triangular mostrado en la figura

x

y

h

b


11/51

Respuesta: Sea dA el rea de una franja vertical.

xdx

x

y

h

b

dA

a

La base de esta franja es dx y la altura a se

encuentra usando los tringulos semejantes

que se forman.

Entonces,

Por lo tanto, el rea de la franja es

Entonces, la coordenada x del centroide del rea es

xb

h

b

h

xtan === a

a

dxxb

hdxdA == a

3

b2

2

b

b

h

3

b

b

h

2

x

b

h

3

x

b

h

dxxb

h

dxxb

h

dxxb

h

dxxb

hx

dA

xdA

x2

3

b

0

2

b

0

3

b

0

b

0

2

b

0

b

0

A

A ====

==


12/51

para calcular la coordenada y del centroide de rea, seleccionamos a y como la ordenada del

punto medio de la franja

xdx

x

y

h

b

dA

a/2Entonces,

3

h

2

b

b

h

3

b

b2

h

2

x

b

h

3

x

b2

h

dxxb

h

dxxb2

h

dxxb

h

dxxb

hx

b

h

2

1

dA

ydA

y2

3

2

2

b

0

2

b

0

3

2

2

b

0

b

0

2

2

2

b

0

b

0

A

A ====

==

xb2

h

2yx

b

h===

a

a


13/51

x

y

h

b

3h

dA

ydA

y

A

A ==3

b2

dA

xdA

x

A

A ==

3

hy =

3b2x =

=

3

h,

3

b2rc


14/51

Ejemplo 2. Determinar el centroide del rea triangular mostrado en la figura

x

y

h

b


15/51

x

y

h

b

Respuesta: Sea dA el rea de una franja vertical

xdx

dA

a

La base de esta franja es dx y la altura a se

encuentra teniendo en cuenta que los

tringulos que se forman son semejantes

Entonces,

Por lo tanto, el rea de la franja es

Entonces, la coordenada x del centroide del

rea es

( )xbb

h

b

h

xb==

a

a

( ) dxxxbb

hdxdA == a

( )

( )

( )

( )3

b

2

b

6

b

2

bb

3

b

2

b

2

xbx

b

h

3

x

2

xb

b

h

dxxb

b

h

dxxbxb

h

dxxb

b

h

dxxbb

hx

dA

xdA

x2

3

22

33

b

0

2

b

0

32

b

0

b

0

2

b

0

b

0

A

A ==

=

=

=

==


16/51

para calcular la coordenada y del centroide de rea, seleccionamos a y como la ordenada del

punto medio de la franja

Entonces,

x

y

h

b

xdx

dA

y=a/2

( ) ( )

( )

( )

( )

3

h

2

b

3

b

2

h

2

bb

3

bbb

b2

h

2

xbx

3

x

2

xb2xb

b2

h

dxxb

b

h

dxxbx2bb2

h

dxxb

b

h

dxxbb

hxb

b2

h

dA

ydA

y

2

3

22

333

b

0

2

b

0

322

b

0

b

0

22

2

2

b

0

b

0

A

A

=

=

+

=

+

=

+

=

==

( )

( )xbb2h

2y

xbb

h

b

h

xb

==

==

a

a

a

( ) dxxbb

hdxdA == a


17/51

x

y

h

b

3

h

dA

ydA

y

A

A ==

3

b

dA

xdA

x

A

A ==

3

hy =

3

bx =

=

3

h,

3

brc


18/51

x

y

h

b

x

y

h

b

3h

dA

ydA

y

A

A ==3

b2

dA

xdA

x

A

A ==

3

hy =

3b2x =

3

h

dA

ydA

y

A

A ==

3

b

dA

xdA

x

A

A ==

3

hy =

3

bx =

= 3h

,3

b

rc

=

3

h,

3

b2rc


19/51

Ejemplo 3. Determinar el centroide del rea mostrado en la figura

y

x

y=x

y=x

(1,1)

2


20/51

Respuesta: Sea dA el rea de una franja vertical, como se muestra en la figura. La base de esta franja es

dx, y la altura es la resta de las funciones

y

x

x-x

(1,1)

2

xdx

( )dxxxdA 2=

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( ) 2

1

12

6

xx

xx

dxxx

dxxx

dxxx

dxxxx

dA

xdA

x

61

121

31

21

41

31

1

0

3

312

21

1

0

4

413

31

1

0

2

1

0

32

1

0

2

1

0

2

A

A ===

=

=

=

==


21/51

Para calcular y media, tomamos y como la ordenada del punto medio de la franja, ver la

figura, entonces

y

x(x+x)

(1,1)

2

x

2

1

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( ) 5

2

30

12

xx

xx

dxxx

dxxx

dxxx

dxxxxx

dA

ydA

y

61

152

21

31

21

51

31

21

1

0

3

312

21

1

0

5

513

31

21

1

0

2

1

0

42

21

1

0

2

1

0

22

21

A

A ===

=

=

=

+

==


22/51

5

2

dA

ydA

y

A

A ==

2

1

dA

xdA

x

A

A ==

y

x

y=x

y=x

(1,1)

2

x

y


23/51


24/51


25/51

En muchos casos, el objeto bajo estudio puede ser dividido en figuras comunes, esto

permite calcular sus centroides usando los centroides de estas reas comunes. Por ejemplo:


26/51

Ejemplo 4.: Para el rea mostrada en la figura, determine: (a) los primeros momentos con

respecto a los ejes; (b) la ubicacin de su centroide.


27/51

Respuesta: Para simplificar el problema dividimos la figura en partes de rea conocida, por

ejemplo rectngulos, crculos y semicrculos.


28/51

Ahora se calculan las reas y los primeros momentos:

( )( )2

21

21

trian

m0036.0

m06.0m12.0

alturabaseA

=

=

=

( )

( )m02.0,m04.0

3

m06.0,

3

m12.0

3h,

3by,x 1

=

=

=

( ) ( )( )( )3434

33

yx

m101.44,m1072.0

m0.000144,m0.000072

xA,yAQ,Q

=

=

=


29/51

( )( )2

rect

m0096.0

m08.0m12.0

alturabaseA

=

==

( )

( )m04.0,m06.0

2

m08.0,

2

m12.02

h,

2

by,x 2

=

=

=

( ) ( )( )( )3434

33

yx

m10765.,m103.84

m0.000576,m0.000384

xA,yAQ,Q

=

=

=


30/51

( )( )

2

2

21

2

21

semic

m005655.0

m06.0

radioA

=

=

=

( )

( )

( )m0.1055,m06.0

3

m06.04h,m06.0

3

r4h,ry,x

2

121

=

+=

+=

( ) ( )( )( )3434

33

yx

m103929.3,m105.9639

m0.00033929,m90.00005963

xA,yAQ,Q

=

=

=


31/51

( )2

2

2circ

m005027.0

m04.0

radioA

=

=

=

( ) ( )( )m08.0,m06.0

h,ry,x 22

==

( ) ( )( )( )3434

33

yx

m100159.3,m100212.4

m0.00030159,m0.00040212

xA,yAQ,Q

=

=

=


32/51

(a) los primeros momentos con respecto a los ejes

(b) la ubicacin de su centroide

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )3434

34343434

34343434yx

m107.577,m105.0627

m101.44,m1072.0m10765.,m103.84

m103929.3,m105.9639m100159.3,m100212.4Q,Q

=++

+=

( )

( ) ( )m106612.3m,104795.5m036612.0m,054795.0

m0.013828

m105.0627,

m0.013828

m107.577

A

Q,

A

Qy,x

22

2

34

2

34xy

==

=

=

2

2222

semiccircrecttrian

m0.013828

m005027.0m005655.0m0096.0m0036.0

AAAAA

=

++=

++=


33/51

Ejemplo 5: Localice el centroide del rea mostrada en la figura.


34/51

Respuesta: Es claro que el rea se puede dividir en dos partes bsicas: un cuadrado y un

tringulo.

En el caso de reas simtricas el centroide seencuentra en el punto medio del rea,

entonces, para el rectngulo,

y el rea se encuentra multiplicando la base

por la altura, entonces,

Por lo que los primeros momentos son:

( ) ( )in4,in5y,x =

( )( ) 2rect in80in8in10A ==

[ ][ ][ ][ ] 32y

32x

in400in80in5AxQ

in320in80in4AyQ

===

===

x

y


35/51

En el caso del triangulo, el centroide se encuentra mediante las ecuaciones obtenidas en el

ejemplo 2:

y el rea se encuentra multiplicando la

base por la altura, entonces,

Por lo que los primeros momentos son:

in43

in12

3

hy

in133

in9in10

3

bxx

0

====+=+=

( ) ( ) 221

trin in54in12in9A ==

[ ][ ][ ][ ] 32y

32x

in702in54in13AxQ

in216in54in4AyQ

===

===

x

y


36/51

Los primeros momentos totales se encuentran sumando los momentos de las dos reas:

Entonces, el centroide del rea dada es

y el rea total se encuentran sumando las dos reas:

333y

333x

in1102in702in400Q

in536in216in320Q

tringulorectngulo

=+=

=+=

+

in4in134

in536

A

Qy

in8.2239in134

in1102

A

Qx

2

3x

2

3y

===

===

222trinrect in134in54in80AAA =+=+=

x

y


37/51

Ejemplo 6: Localice el centroide del rea mostrada en la figura.


38/51

Respuesta: Es claro que el rea se puede dividir en dos partes bsicas: un cuadrado y un

cuarto de crculo. Restando al cuarto de crculo el cuadrado encontramos el resultado:

Para el cuarto de crculo tenemos que

( )

( )

( ) 2222

crculoin201.0619in64

4

in16

4

rA

in6.7906in3

64

3

in164

3

r4

y

in6.7906in3

64

3

in164

3

r4x

41 ==

=

=

====

=

=

=

=

( )

( ) 332y

332x

in1365.3333in3

4096in64in

3

64xAQ

in1365.3333in3

4096in64in

3

64yAQ

==

==

==

==


39/51

Para el cuadrado tenemos que

Los primeros momentos totales se encuentran restando los momentos del cuadrado a los del

cuarto de crculo:

y el rea total se encuentran restando el rea del cuadrado a la del cuarto de crculo :

( ) 222cuadrado in64in8Ain42

in8

2y

in42

in8

2x

======

===

a

a

a

( ) ( )( ) ( ) 32

y

32x

in256in64in4xAQ

in256in64in4yAQ

===

===

333y

333

x

41

in1109.3333in256in1365.3333Qin1109.3333in256in1365.3333Q

rectngulocrculo

====

222cuadradocrculo

in137.0619in64in0619.201AAA41 ===


40/51


in8.0937in0619.137

in3333.1109

A

Qy

in8.0937in0619.137

in3333.1109

A

Qx

2

3x

2

3y

===

===


41/51

Ejemplo 7 : Cul es el centroide del rea

mostrada en la figura. Las unidades

corresponden al SI.

x

y

1

1-1

-2

Respuesta: Es claro que el rea se puede

dividir en dos partes bsicas: un cuadrado y

un tringulo.

Dado que el cuadrado es una figura

geomtrica, el centroide se encuentra en el

punto medio, entonces

Para el tringulo, usamos las ecuaciones

encontradas en el ejemplo 2 para encontrar

el centroide.

m1y0x == my0x31==

( ) 22cuadrado m4m2A == ( )( )2

21

tringulo m1m1m2A ==

( ) ( )( ) ( ) 0m40xAQ

m4m4m1yAQ

2y

32x

===

=== ( )( )( ) ( ) 0m10xAQ

mm1myAQ

2y

3

312

31

x

===

===

m1h =

2 2


42/51

Los primeros momentos totales se encuentran sumando los momentos del cuadrado y deltringulo

y el rea total se encuentran sumando las reas del cuadrado y del tringulo


( ) ( )0,m4Q,Q 3yx = ( ) ( )0,mQ,Q 331yx =

2cuadrado m4A =

2tringulo m1A =

( ) ( )( ) ( )0,m0,m4Q,Q 33113

31

yx =+=

222trinrect m5m1m4AAA =+=+=

( )

m15

11

m5

m

A

Qy

0m24

0

A

Qx

2

3

311

x

2

y

=

==

=+

==

Ejercicio 8 L li l t id d l t d l fi


43/51

Ejercicio 8: Localice el centroide del rea mostrada en la figura.

Respuesta: El rea de esta figura se puede

dividir en 3 partes:

1) Rectngulo de 17 in de base por 9 in de altura que se suma.

1) Un rectngulo de 17 in de base por 9 in dealtura que se suma.

2) Un cuarto de crculo de 4.5 in de radio

que se resta.

3) Un cuarto de crculo de 6 in de radio que

se resta.

1

2 3

( ) ( )in5.4,in5.8y,x =

( )( ) 2cuadrado in153in9in17A ==

( ) ( )( ) ( ) 32

yrectngulo

32

xrectngulo

in5.1300in153in5.8Q

in5.688in153in5.4Q

==

==

2) C t d l d 4 5 i d di 3) C t d l d 6 i d di


44/51

2) Cuarto de crculo de 4.5 in de radio que se

resta.

3) Cuarto de crculo de 6 in de radio que se

resta.

( )

( ) in7.0901in693

in5.44in9y

in6.0901in6

83

in5.44in8x

= ==

=

=

=

( ) 22

crculoin15.9043

4

in5.4A

41 =

=

( ) ( )

( )

( ) in6.4535in93in64

in9y

in10.5465in83

in64in8x

8

8

===

=+=

+=

( ) 22

crculoin28.2743

4

in6A

41 =

=

( ) ( )( ) ( ) 32y1c

32

x1c

in96.8588in9043.15in0901.6Qin112.7631in9043.15in0901.7Q

==== ( ) ( )( ) ( ) 32

y2c

32

x2c

in298.1949in2743.28in5465.10Qin182.4682in2743.28in4535.6Q

====

3333y

3333x

in905.4463in1949.298in8588.96in5.1300Q

in393.2687in4682.182in7631.112in5.688Q

==

==

2222 in108.8214in2743.28in9043.15in153A ==

in3.6139in8214.108

in2687.393

A

Qy

in8.3205in8214.108

in4463.905

A

Qx

2

3x

2

3y

===

===


45/51

Ejercicio 9: Localice el centroide del rea

mostrada en la figura.

Respuesta: El rea de esta figura se puede

dividir en 2 tringulos:

1) Un tringulo de 90 mm de base y 270 mm

de altura.

2) Un tringulo de 135 mm de base y 270

mm de altura.

1) Tringulo de 90 mm de base por 270 mm

de altura (ejemplo 1).

2) Tringulo de 135 mm de base por 270

mm de altura (ejemplo 2).

( ) ( )mm90,mm603

h,

3

b2y,x

=

=( ) ( )mm90,mm135

3

h,

3

bxy,x0

=

+=

( )( ) 221

1 in12150mm270mm90A == ( )( )2

21

2 in18225mm270mm135A ==

( ) ( )( ) ( ) 32

y1

32x1

mm729000mm12150mm60Q

mm1093500mm12150mm90Q

==

== ( ) ( )( ) ( ) 32

y2

32x2

mm2460375mm18225mm135Q

mm1640250mm18225mm90Q

==

==


46/51

21 in12150A = 22 in18225A =

( ) ( )33

y1x1 mm729000,mm1093500Q,Q = ( ) ( )33

y2x2 mm2460375,mm1640250Q,Q =

( ) ( )33yx mm3189375,mm2733750Q,Q =

2in30375A =

mm90mm30375

mm2733750

A

Qy

mm510mm30375

mm3189375

A

Qx

2

3x

2

3

y

===

===


47/51


48/51

Ejercicio 10 (Ejercicio 5.23): Un alambre

delgado y homogneo se dobla para formar

el permetro de la figura. Localice el centro

de gravedad de la figura formada por el

alambre.

x

y

225 mm

375 mm

Respuesta: Debido a que el alambre es

homogneo, su centro de gravedad coincide

con el centroide de la lnea, de manera que

cada segmento de alambre tiene esta misma

propiedad.

Entonces, para este problema, dividimos el alambre en 3 partes como se muestra en la

figura:

Pedazo 1: El segmento de la recta que empieza en (225 mm, 0) y termina en (375 mm, 0).

Pedazo 2: El segmento de la recta que empieza en (0, 225 mm) y termina en (375 mm, 0).

Pedazo 3: El arco que corresponde a al cuarto de circunferencia de radio 225 mm y

centrado en el origen, colocado en el segundo cuadrante

Pedazo 1: El segmento de la recta que


49/51

En los segmentos lineales, los centroides se

encuentran a la mitad del mismo.

ed o : seg e o de ec que

empieza en (225 mm, 0) y termina en (375

mm, 0).

Pedazo 2: El segmento de la recta que empieza en (0, 225 mm) y termina en (375 mm, 0).

0y

mm75

2

mm375mm225x

1

1

=

=+

=

mm5.112

2

0mm225ymm5.187

2

mm3750x 22 =

+==

+=

( ) mm600mm225mm375xxL if1 ===

( ) ( ) ( ) ( ) mm437.3214mm22500mm375yyxxL 222if2

if2 =+=+=

( )( )

0Ly

mm45000mm600mm75Lx

11

211

=

==

( )( )

( )( ) 222

222

mm49198.6566mm3214.437mm5.112Ly

mm81997.7610mm3214.437mm5.187Lx

==

==

Pedazo 3: El arco que corresponde a al


50/51

cuarto de circunferencia de radio 225 mm y

centrado en el origen, colocado en el

segundo cuadrante

( )

( )

=

=

==mm2252r2

y

mm2252r2

x

3

3 ( )2mm225

2rL3 ==

( ) ( )( )

( ) ( )( ) 2233

2233

mm50625mm2252

mm225mm2252Ly

mm50625mm2252

mm225mm2252Lx

==

=

==

=

mm1390.7506mm353.4292mm437.3214mm600LLL 321 =++=++

222332211

2222332211

mm99823.6566mm50625mm49198.65660LyLyLy

mm76372.7610mm50625mm81997.7610mm45000LxLxLx

=++=++

=+=++

mm71.7768mm7506.1390

mm6566.99823

y

mm54.9148mm7506.1390

mm7610.76372x

2

2

==

==

y


51/51

Ejercicio 11: Localice el centroide de la

barra doblada en forma de arco parablico,

mostrada en la figura.

x

y

1 m

y=x2

1 m

Tema 12 Centroides

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