Tema 12. Segundo Semestre. Óptica Física II: Interferencias. Física General.

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TEMA 12: ÓPTICA FÍSICA II: INTERFERENCIAS. 12.1. Condiciones de interferencia.

El principio de superposición que se aplica a todas las ondas conduce al fenómeno de interferencia de las ondas electromagnéticas: vamos a deducir las condiciones necesarias para que las interferencias se produzcan y sean observables.

Antes de proceder al cálculo, y para hacerlo más sencillo, vamos a enunciar algunas consideraciones sobre la polarización que han de tener las dos ondas que interfieren. Supongamos, inicialmente, que superponemos dos ondas de la misma frecuencia con polarizaciones lineales ortogonales entre sí. ¿Cuál es el resultado de esta superposición? No es necesario realizar ningún cálculo porque este problema ya lo hemos resuelto en el tema anterior dedicado a la polarización: si superponemos los campos:

( )φ+ω=ω=tcosEEtcosEE

yoy

xox

lo que obtenemos es el campo: ( y,x son vectores unitarios en la dirección de los ejes)

yExEE yx +=ρ

que es una radiación con polarización elíptica. Es decir, la suma de ondas polarizadas ortogonalmente entre sí no da lugar a interferencias. Así pues, concluimos que para tener interferencias es necesario que las polarizaciones de las ondas no sean ortogonales. Aunque esto no implica que las polarizaciones de ambas ondas hayan de ser iguales para tener interferencias (por ejemplo, las interferencias entre dos ondas una P0º y la otra P45º no es nula), sí es ésta la condición para que las interferencias sean óptimas. Así pues, de ahora en adelante, consideraremos la superposición de ondas con la misma polarización. Esto implica que podemos olvidar el carácter vectorial de las ondas en lo que sigue.

Procedemos, por tanto, a calcular la intensidad resultante de la suma de los campos E1 y E2:

( )( )22202

11101tcosEEtcosEE

φ+ω=φ+ω=

Como ya vimos en el tema 7, la intensidad de una onda electromagnética es proporcional al cuadrado de la amplitud (tomaremos, arbitrariamente, esa constante como la unidad). Por tanto, la intensidad del campo resultante es:

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2

( ) [ ] ( ) ( )( ) ( )22112010

2222

201122

102

212

tcostcosEE2tcosEtcosE)t(E)t(EtE

φ+ωφ+ω+φ+ω+φ+ω=+=

que puede escribirse:

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]2121201021212010

2222

201122

102

tcosEEtcosEEtcosEtcosEtE

φ−φ+ω−ω+φ+φ+ω+ω+φ+ω+φ+ω=

Pero para calcular la energía que realmente detectaría un detector, hemos de tener en cuenta que éste no es capaz de medir I(t) ya que esta función oscila muy deprisa en el tiempo (el valor de las frecuencias ópticas es del orden de 1014 a 1015Hz), mientras que los detectores ópticos sólo pueden detectar frecuencias máximas del orden de 109Hz (el ojo humano detecta frecuencias del orden de 10Hz). Esto significa que durante el tiempo que el detector acumula energía antes de reaccionar la radiación luminosa ha oscilado, en el mejor de los casos, un millón de veces. Así pues, hemos de hacer un promedio temporal de I(t) para obtener lo que realmente puede medirse. Así, la intensidad detectada es el valor medio:

( )dttE1

I 2∫τ=

τ

0

donde τ es el tiempo de respuesta del detector. Al sustituir I(t) aparecen las integrales:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( )( ) 0

sensendttcos

1

E2

1

2

2sen

2

22sen1

2

1Edttcos

EtI

E2

1

2

2sen

2

22sen1

2

1Edttcos

EtI

21

212121

02121

220

2

2

2

22220

022

2220

2

210

1

1

1

11210

011

2210

1

≈τω+ω

φ+φ−φ+φ+τω+ω=∫ φ+φ+ω+ω

τ

≈

τωφ

−τω

φ+τω+=∫ φ+ω

τ=

≈

τωφ

−τω

φ+τω+=∫ φ+ω

τ=

τ

τ

τ

y además:

( )[ ] ( )[ ] ( )( )τω−ω

φ−φ−φ−φ+τω−ω=∫ φ−φ+ω−ω

τ

τ

21

212121

02121

sensendttcos

1

Tenemos por tanto que: ( )[ ] ( )

( )τω−ωφ−φ−φ−φ+τω−ω

++=21

2121212121

sensenII2III

donde se ha hecho uso de Ei2=2Ii.

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Vemos en esta expresión que la intensidad de la superposición de las dos ondas es la suma de intensidades más un término interferencial. Ahora bien, nótese que para que este término interferencial no sea nulo (o prácticamente nulo) es necesario que ( )τω−ω 21 sea una cantidad pequeña. En la práctica, dados los enormes valores de las frecuencias ópticas, esto se traduce en que ( ) 021 =ω−ω o muy próximo a cero. Por tanto, para observar interferencias con luz es necesario que las dos ondas que interfieren tengan la misma frecuencia. En este caso, la expresión anterior queda:

( )φ∆++= cosII2III 2121

donde ∆φ=(φ1−φ2) es el desfase existente entre las dos ondas. Resaltemos ahora que al hacer la última integral hemos supuesto que la

diferencia de fases permanece constante en el tiempo. Si no es así, y esta diferencia de fases varía con un periodo más corto que el tiempo de respuesta del detector, el término interferencial se haría cero y no habría interferencias observables.

A partir de esta expresión vemos que el valor de la intensidad depende del valor del desfase entre las dos ondas, de forma que I está comprendida entre un valor máximo y un valor mínimo dados por:

( ) ( )( )( ) ( )221min

221max

II1m2II

IIm2II

−=π+=φ∆=+=π=φ∆= .

Se define la visibilidad V de las interferencias como:

minmax

minmax

II

IIV

+−

=

que es una cantidad comprendida entre 0 y 1. Si sustituimos el valor obtenido para las intensidades máxima y mínima tenemos:

21

21

II

II2V

+=

La visibilidad mide la calidad de las interferencias: si vale 1 es porque los mínimos de intensidad tienen intensidad nula (con lo que los máximos resaltan en mayor grado) y si vale cero es porque las intensidades máxima y mínima son iguales (con lo que no hay interferencias). Pues bien, la expresión anterior muestra que la condición óptima para observar interferencias con buena visibilidad es que I1=I2.

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Así pues, podemos resumir las condiciones de interferencia diciendo que para que ésta sea observable con alta visibilidad es necesario que:

Nótese que aún no cumpliéndose estrictamente estas condiciones, pueden todavía observarse interferencias pero serán de baja calidad (poca visibilidad).

Pasemos ahora a ver cómo se puede conseguir llevar a cabo experimentalmente la superposición de ondas que hemos descrito en este apartado. Existen dos forma: división de amplitud y división del frente de ondas. 12.2. Interferencias por división del frente de onda.

El método consiste en crear, a partir de un único frente de ondas, dos frentes de onda que luego se recombinan. El paradigma de este tipo de interferencias es la experiencia de Young (que jugó un papel histórico muy importante en la aceptación de la teoría ondulatoria de la luz), que pasamos a considerar de forma simplificada.

La fuente S es monocromática y puntual, con lo que emite ondas esféricas. Los frentes de onda emitidos por S llegan a las aberturas S1 y S2 practicadas en una pantalla opaca. Estas aberturas se convierten en emisores secundarios de ondas esféricas que, se superponen al propagarse. Nótese que las dos ondas que interfieren (las emitidas por S1 y S2) han sido obtenidas a partir de un único frente de ondas (emitido por S). De ahí el nombre de interferencias por división del frente de ondas.

• las polarizaciones de ambas ondas sean iguales. • las frecuencias de ambas ondas sean iguales. • las amplitudes de ambas ondas sean iguales.

• la diferencia de fase permanezca constante en el tiempo (coherencia).

Figura 1. Esquema de difracción e interferencia de Young por división de frente de onda

(método de las dos rendijas).

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Vamos a calcular la intensidad detectada en un punto P cualquiera de la pantalla. Para determinar la intensidad hemos de calcular:

( )φ∆++= cosII2III 2121

donde ∆φ=(φ1−φ2). El desfase entre las dos ondas viene dado por el hecho de que han recorrido caminos diferentes para llegar a P: la onda procedente de S1 ha recorrido el camino PSL 11 = y la procedente de S2 ha recorrido el camino PSL 22 = , con lo que el desfase vale:

( )21 LL2

Lk −λπ=∆=φ∆

Sean (D,x) las coordenadas del punto P. Por construcción, las rendijas S1 y S2 se encuentran en los puntos (0,-a) y (0,a). Así pues, el desfase vale:

( ) ( )( )2222 axDaxD2 −+−++λπ=φ∆

Para obtener una expresión sencilla, vamos a suponer que D>>a,x. En este caso podemos simplificar la anterior expresión:

( ) ( ) φ∆=λπ=

−−+λπ

=

−+−

++

λπ

≈

−+−

++

λπ=φ∆

D

ax22

D2

axaxD

2

D

ax

2

11

D

ax

2

11D

2

D

ax1

D

ax1D

2

2

22

22

22

El primer hecho que se observa es que la diferencia de fase permanece constante para x constante y por tanto el patrón de interferencias consistirá en franjas paralelas entre sí y perpendiculares al plano de la figura. Podemos calcular las posiciones de máximo y mínimo. Para ello imponemos que:

( )π+=φ∆⇔π=φ∆⇔1m2I

m2Imin

max m=0,1,2,3..

con lo que tenemos que las posiciones de máximo y mínimo son:

( )a2

D2/1mx,

a2

Dmx )m(

min)m(

maxλ+=λ=

( )λ+=θλ=θ 2/1msena2;msena2 minmax

donde m es un número entero. Cada valor de m es un orden de interferencia. Nótese que para m=0 tenemos que hay un máximo (situado

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sobre el eje de la figura). La distancia entre dos máximos consecutivos se denomina interfranja y vale:

,a2

Dxxi )m(max

)1m(max

λ=−= +

y es igual que la distancia entre dos mínimos consecutivos. Así pues, el patrón de interferencias proporcionado por el dispositivo de Young es un patrón de franjas claras y oscuras, alternadas, paralelas entre si.(Figura 35.8). Nótese que al hacer la aproximación hemos tomado D>>a, x, lo que significa que para puntos muy alejados del centro de la pantalla, la aproximación deja de ser válida. De hecho, el patrón de interferencia son hipérbolas.

12.3. Interferencias por división amplitud. Es una forma alternativa de producir interferencias. Consiste en reflejar

parcialmente una parte del frente de ondas y transmitir el resto, por lo que este método recibe el nombre de división de amplitud. El ejemplo más sencillo es el de una lámina planoparalela iluminada por una onda plana (un haz de rayos paralelos). (Figura 2).

Para describir el fenómeno de forma lo más sencilla posible vamos a considerar que la superficie tiene un coeficiente de reflexión bajo. De esta forma consideraremos la interferencia entre los haces fruto de las dos primeras reflexiones (que salen hacia arriba en la figura), o entre las dos primeras transmisiones (que salen hacia abajo en la figura), ya que los haces fruto de subsiguientes reflexiones son tan poco intensos que pueden ser despreciados. Evidentemente, en este caso la visibilidad del patrón de

Figura 35.8. a) Diagrama de interferencia observado sobre la pantalla alejada de las dos rendijas. b) Representación de la intensidad en función de sen θ. Las intensidades máxima, y media son 4I0, y 2I0 respectivamente.

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interferencias será pequeña ya que las dos ondas que interfieren tienen intensidades muy distintas.

Para calcular la diferencia de fase entre las dos ondas que interfieren, que es todo lo que necesitamos, basta con determinar la diferencia de camino óptico entre los rayos que representan a esas ondas. Vamos a hacerlo para el caso de transmisión y luego consideraremos la reflexión. 12.3.1. Caso de la transmisión:

En el caso de transmisión, los rayos que interfieren son los marcados con 3 y 4 en la figura 2. Para calcular el desfase hemos de evaluar la diferencia de camino óptico entre los dos rayos. Nótese que ambos recorren el mismo camino hasta que se separan en el punto A. (ver figura 3).

La diferencia de camino óptico es ADABCnLopt −=∆ y así, la diferencia de fase resulta:

( )=ε−λπ=∆

λπ=φ∆ sinACABn2

2L

2

0opt

0

Figura 2. Interferencias por división de amplitud, formada por la reflexión y refracción de luz monocromática sobre una lámina planoparalela.

Figura 3. Cálculo de la diferencia de camino óptico para dos rayos transmitidos a través de una lámina planoparalela.

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( ) ( )=εε−ελ

π=εε−λπ= sin'senn

'cos

e22sin'sennAB2

2

00

ε−λπ≈

ε−

ελπ=

nne2

2sen

n

1n

'cos

e22 2

0

2

0

siendo la aproximación última válida para valores pequeños de ε. En incidencia normal queda:

0

ne4

λπ=φ∆

Recordemos que las condiciones de máximo y mínimo eran:

( )π+=φ∆⇔π=φ∆⇔1m2I

m2Imin

max

Podemos interpretar esta ecuación de diferentes formas: si suponemos fijados n y la longitud de onda habrá entonces valores del espesor para los que la transmisión será máxima y otros para los que será mínima (y otros intermedios, obviamente). Pero también podemos suponer fijados el espesor y el índice de refracción y en ese caso concluimos que habrá longitudes de onda para las que la transmisión será máxima o mínima, que vienen dadas por:

m

ne2mmax,0 =λ

2/1m

ne2mmin,0 +

=λ

Esto significa que si iluminamos una lámina como la considerada con luz blanca, la luz transmitida ya no es blanca sino que aparece coloreada debido a que unas longitudes de onda interfieren constructivamente y otras destructivamente. 12.3.2. Caso de la reflexión.

¿Qué ocurre en el caso de la reflexión cuando los rayos que interfieren son los rayos 1 y 2 de la figura 2? Si realizamos el cálculo siguiendo los pasos anteriores llegamos a exactamente el mismo resultado. Pero esto es incorrecto porque si para, digamos, la luz roja de 680 nm hay interferencia constructiva por transmisión, la conservación de la energía exige que haya interferencia destructiva por reflexión. Esto es de hecho así y se justifica porque, al sufrir reflexiones sobre un medio de índice de refracción superior, la fase de la luz sufre saltos de fase de π radianes. Como los rayos que interfieren por reflexión sufren un número de saltos de fase distinto al

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caso de la transmisión, ahí radica el origen del desfase adicional que justifica que cuando hay un máximo por transmisión haya un mínimo por reflexión.

Una situación cotidiana en la que puede observarse el fenómeno descrito son las franjas coloreadas que se observan en los charcos. Lo que ocurre es que sobre el agua del charco hay una película de aceite que juega el papel de la lámina de caras planoparalelas. La razón por la que se observa un arco iris es que a nuestros ojos llegan los rayos correspondientes a distintos ángulos de incidencia sobre el charco. Como hemos demostrado que la diferencia de fase depende del ángulo de incidencia, es evidente que a los rayos que inciden con ángulos distintos corresponderá una longitud de onda de interferencia máxima (y mínima) distinta.

12.4. Interferómetros. Los interferómetros son dispositivos diseñados para producir interferencias y

encuentran múltiples aplicaciones científicas y técnicas. Hay multitud de tipos de interferómetros pero aquí sólo vamos a describir, muy brevemente, el interferómetro de Michelson por su importancia histórica.

Este interferómetro, en su configuración más simple, consta de dos espejos (E1 y E2) y de una lámina semitransparente (L).

La luz entra por la izquierda y al llegar a la lámina semitransparente una parte se refleja hacia el espejo 1 y otra se transmite hacia el espejo 2. Tras reflejarse en los espejos, los rayos vuelven hacia la lámina donde de nuevo en parte se reflejan y en parte se transmiten. El resultado es que parte de la luz proveniente del espejo 1 y parte proveniente del espejo 2 sale hacia abajo, donde interfieren (también parte de la luz sale hacia la izquierda, no representada en la figura, pero ésta no se detecta). En el dispositivo, la diferencia de camino óptico se puede variar desplazando uno de los espejos o introduciendo una célula con alguna sustancia en uno de los brazos del interferómetro. Así, este dispositivo es muy sensible, a pequeños desplazamientos o modificaciones del índice de refracción, que se determinan midiendo cambios en la posición de las franjas de interferencia.

El tipo de patrón de interferencia que se forma en el campo de salida es el mismo que se forma en las láminas planoparalelas estudiadas en el apartado anterior. Para ello basta con darse cuenta que el dispositivo dibujado en la figura anterior es equivalente a dos espejos paralelos iluminados desde abajo: uno es el espejo E1 y el otro es la imagen del espejo E2 proporcionado por la lámina planoparalela.

Figura 4. Esquema del interferómetro de Michelson.