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Tema 2CAMPO ELECTRICO EN EL VACIO Y EN

MATERIALES

1. Fundamentos de electrostática2. Ley de Coulomb: Fuerza entre cargas eléctricas.3. Campo eléctrico.4. Ley de Gauss del campo eléctrico (1ª Ecuación de Maxwell)5. Potencial eléctrico.6. Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico.7. Materiales en el seno de campos eléctricos.8. Capacidad eléctrica. Condensadores.9. Energía potencial electrostática.

La ELECTROSTATICA trata sobre las interacciones entre “cuerpos” cargados

De hecho, la “carga” es aquella propiedad de la materia que pone de manifiesto estas interacciones (de atracción o de repulsión)

Electricidad estática

Situación en la que hay una acumulación de cargas en una zona de un material, que no tiene capacidad para evacuarlas.

Tema 2. Campo eléctrico Fundamentos

Hace 26 siglos, Tales de Mileto descubrió que, al frotar un trozo de resina fósil (ámbar, “elektron” en griego), podía atraer lana u otros materiales (pequeños).

Explicación de la carga por contacto (o frotación).

Electrones pasan desde la superficie de un material al otro; quedan cargados con cargas de signos opuestos.


Impresión láser

Pantallas interactivas

Aplicaciones tecnológicas de la electrostática

Almacenamiento de “información”: ferroeléctricos


Carga eléctrica: (Recordatorio)

- Se considera continua

- La carga móvil en los metales está compuesta por electrones

- Los electrones pueden moverse por los materiales conductores

Esfera conductora

cargada

Esfera conductora descargada

Hilo conductor

La carga se reparte

+++ ++++++++

+++

++ +++ ++++ +

++ ++

La carga del electrón la determinó experimentalmente Millikan en 1909

Qe=1.6·10-19 C


La tierra es un enorme “océano” de cargas. Todo objeto cargado que se conecte a ella,se descargará

Carga por inducción electrostática:


Interacción entre cargas

Ley de Coulomb

- Puede ser atractiva o repulsiva

- Es central

- Dependencia inversa con la distancia al cuadrado

- K depende del medio en el que estén las cargas

En el vacío: K = 8,99·109 N m2 C-2

e0 = 8,85·10-12 C2 N-1 m-2

q1

q2

r12

K=1

4

e permitividad del medio

Tema 2. Campo eléctrico Ley de Coulomb


Ley de Coulomb fuerza de q1 sobre q2

La interacción electrostática es aditiva:

(suma vectorial)

Principio de superposición:

El efecto causado por varias cargas es la suma de los efectos de cada una de ellas consideradas por separado.

F s=∑iF i=∑i

Kq i q0

r i02 r i0

F=Kq1 q2

r122 r12



Ley de Coulomb

Para una distribución continua de carga:

F s=∫ d F=∫q0

r2 dq r

F=Kq1 q2

r122 r12

dq

r

dF

q0


Campo eléctrico

En Física, se define un campo como una magnitud (escalar o vectorial) que depende del espacio

Campo de temperaturas en una llama

Campo de velocidades en un remolino

Tema 2. Campo eléctrico Campo eléctrico

Campo eléctrico

Se define el campo eléctrico, , como la fuerza eléctrica que siente una carga unidad (1 C) situada en ese punto del espacio

La fuerza que siente una carga q en una región del espacio donde existe un campo eléctrico es:

El campo creado por una carga puntual, q

0, es:

(la carga se ha situado en el origen de coordenadas)

El campo creado por una distribución discreta de carga es:

E

F=q E

E=Kq0

r 2r

E=∑iEi=∑i

Kqi

r 2r


Campo eléctrico

Se representa el campo eléctrico a través de las líneas de campo: “Líneas tangentes a la fuerza que siente una carga unidad en ese punto espacial”

Carga puntual

Pares de cargas


Campo eléctrico

Campo eléctrico generado por una distribución continua de carga

Densidad volumétricade carga:

Densidad superficialde carga:

Densidad linealde carga:

F e=∫ d F=∫QK

dq q0

r 2 r E=∫d E=∫QK

dq

r2 r

dq=dV


dq= dS

dq= dl

Campo eléctrico

Campo eléctrico generado por una varilla uniformemente cargada, en un punto de su mediatriz:

Varilla infinita:

E=∫d E=∫QK

dq

r2 r

d E=Kdq

r2 r=K dx

r2 cos j

E=2 K L

y1

L24 y 2

j

E=2 K

yj


Campo eléctrico

Campo eléctrico generado por un anillo uniformemente cargado, en un punto de su eje:

En el centro, el campo es nulo.

E=∫d E=∫QK

dq

r2 r

d E=Kdq

r 2 r=K dq

r2 cos i

E=K Q x

x2a2

3/2

i


Campo eléctrico

Campo eléctrico generado por un disco uniformemente cargado, en un punto de su eje:

Para un disco infinito:

Es independiente de la distancia!!

E=∫d E=∫QK

dq

r2 r

d E=K2πaσ x da

(x2+a2

)3/2 i

E=2 K 1− x

x2R2 i

E=2 K i=

20

i


Campo eléctrico: Ley de Gauss

Flujo de campo a través de una superficie:

Flujo a través de una superficie cerrada:

El flujo de campo eléctrico a través una superficie esférica centrada en la carga:

=∫AE · d A

=∮AE ·d A

=∮AE · d A = 4 K Q =

Q0

Tema 2. Campo eléctrico Ley de Gauss


La ley de Gauss establece que el flujo de campo a través de una superficie cerrada es igual a Q/e

0, siendo Q la carga total encerrada

en la superficie:

Y en forma diferencial:

div

Nota matemática:

div

Φ =Qε0

E =0

E = ∇ E =∂ E x

∂ x

∂ E y

∂ y

∂ E z

∂ z



Cálculo del campo eléctrico utilizando la ley de Gauss

Plano uniformemente cargado

Φ=∮AE · d A =

Qε0

- En la superficie lateral el flujo es nulo

- En las caras paralelas a la superficie, el campo es constante

- La carga total encerrada es sS.

Superficie cilíndrica, de caras paralelas al plano, de sección S

Φ= 2 E S=Qε0


E=± σ2ε0

k


Cálculo del campo eléctrico utilizando la ley de Gauss

Esfera con carga uniforme Varilla infinita con carga uniforme

=∮AE · d A =

Q0

Superficie esférica, concéntrica a la cargada

Superficie cilíndrica, coaxial a la línea cargada

E={K Q

r 2rR

KQ

R3r rR }

E=2 K

r


Potencial eléctrico

Se define el potencial eléctrico en un punto como el trabajo necesario para trasladar una carga unitaria desde el infinito hasta el punto

La diferencia de potencial entre dos puntos es, entonces:

Las cargas positivas se mueven de las zonas de mayor a menor potencial

V a=U a

q=−∫∞

aE · d l

V b−V a= U

q=−∫a

bE ·d l

Tema 2. Campo eléctrico Potencial eléctrico


El potencial generado por una carga puntual

Distribución discreta de cargas:

Distribución continua de cargas:

V a=−∫∞

aE ·d l =K

qra

V a=∑iK

qi

r i

V =∫Kdqr



Esfera uniformemente cargada:

Superficie esférica uniformemente cargada:

V r =KQr

si rR

V r =KQR

si r≤R


V r =KQr

si rR

V r =KQ 3R2

−r2

2R3 si r≤R

Q+

+

+ ++

+ ++ +

+ ++++

+++

+++

+ +

+++

++

+ ++

+

+

Q

+

+

++ +

++ + +

++

+++ +

+++

++++

++

+ ++


Relación entre el potencial eléctrico y el campo que lo genera

grad

Cálculo del campo y el potencial:

- Cálculo directo del campo, e integración para obtener el potencial

- Cálculo del campo con la Ley de Gauss e integración para obtener V

- Cálculo directo del potencial y cálculo del gradiente para obtener el campo

V a=−∫∞

aE ·d l E=− V

E =−∇ V = −∂V∂ x

i−∂V∂ y

j−∂V∂ z

k


Potencial eléctrico: Relación entre potencial y trabajo

La diferencia de potencial eléctrico entre los puntos Q y P es el trabajo realizado por la fuerza eléctrica para llevar una unidad de carga positiva (q0 = 1) desde Q a P

Potencial = trabajo por unidad de carga eléctrica.

Su unidad: [V] = voltio = V = julio / culombio

0

)()(q

WPVQV

Este generador aporta 1.5 Julios de energía a cada culombio que lo atraviesa



Potencial eléctrico: Superficies equipotenciales

Las superficies equipotenciales de un campo eléctrico son las superficies definidas por todos los puntos con igual potencial:

- No se pueden cortar

- Son perpendiculares a las líneas de campo

Movimiento de cargas en el campo eléctrico

Fuerza que siente una partícula cargada

La ecuación del movimiento es:

Si el campo es uniforme, (p.e. creado por placas infinitas), la aceleración

es constante

F=q E

md 2

x

dt 2=q E

Tema 2. Campo eléctrico Movimiento de cargas


Definimos un dipolo eléctrico como un par de cargas con signos opuestos, con una separación entre ellas fija.

Momento dipolar:

El vector L va de la carga negativa a la positiva

Modelo para moléculas o distribuciones complejas

p=q L



Momento dipolar:

La fuerza total es nula en un campo uniforme (o con variación despreciable si L es pequeño), pero el momento tiene a alinear el dipolo con el campo:

El trabajo necesario para rotar el dipolo (igual a la energía potencial) es:

p=q L

M =p×E

d W =−M d U =−W =−p · E


Materiales conductores

Los materiales conductores tienen cargas móviles en su interior

Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando se verifica:

1. El campo eléctrico es nulo en su interior

2. El exceso de carga se sitúa en la superficie, creando un campo s/e0

3. La densidad superficial de carga es mayor en las zonas de mayor

curvatura

++++++ + + + +

+ + ++

+

+

+++++

++++++

Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos


1. El campo eléctrico es nulo en su interior

Las cargas responden al campo externo hasta que se acumulan en la superficie y anulan el campo que las mueve

q

Jaula deFaraday

E = 0


q0E


2. El exceso de carga se sitúa en la superficie, creando un campo s/e0

El valor del campo puede calcularse suponiendo que estamos tan cerca de la superficie que es plana y E = 0 en el interior.

E

nE

tE

Si no fuera perpendicular a la superficie, las cargas se

moverían por ella.

E S

E=σε0

n


El potencial es constante dentro y en la superficie dV =−E · d l =0


3. La densidad superficial de carga es mayor en las zonas de mayor curvatura

Si R1 > R

2 entonces luego

+ +

++

++++

++

+

+ +++++


q1

R12<

q2

R22

σ1<σ2

1

2


Ejemplo:

Un conductor en el senode un campo eléctrico homogéneo y uniforme.

Se verifica que:

• No hay campo en el interior del conductor.• La carga se redistribuye en su superficie.• El campo en su superficie es perpendicular a la superficie• Por tanto, su presencia deforma las líneas de campo.


Materiales dieléctricos

Cuando un material dieléctrico se somete a un campo eléctrico se inducen dipolos en su interior

Átomo sin campo externo:El centro de la nube electrónicacoincide con el núcleo

El dipolo es inducido por el campo externo. Por tanto se anulará cuando éste desaparezca.

El dipolo crea un campo de sentido contrario al que lo ha originado


Campo eléctrico en dieléctricos

Cuando un material dieléctrico se somete a un campo eléctrico se forman dipolos inducidos en el material

Superficie con carga positiva inducida

Superficie con carga negativa inducida

Moléculas polarizadas




En el seno del material puede definirseuna densidad de momento dipolar:

A esta cantidad la llamamos vector polarización




En la superficie, se define una densidadsuperficial de carga inducida:

La carga total en la superficie es:




La ley de Gauss generalizada:

Si la polarización es proporcional al campo eléctrico:

El vector desplazamiento también es proporcional:

Constante dieléctrica relativa, er

Permitividad del medio, e


Susceptibilidad eléctrica


Materiales ferroeléctricos: conservan la polarización después de haber desaparecido el campo aplicado (cerámicas ferroeléctricas).



Cuando el campo eléctrico es muy alto, se arrancan electrones del dieléctrico. Este fenómeno se conoce como ruptura dieléctrica.

Al máximo campo que el material es capaz de soportar sin “romperse” se denomina rigidez dieléctrica, k.



Cuando el campo eléctrico es muy alto, se arrancan electrones del dieléctrico. Este fenómeno se conoce como ruptura dieléctrica.

Al máximo campo que el material es capaz de soportar sin “romperse” se denomina rigidez dieléctrica. Material e

r k (106 V/m)

Aceite 2,24 12 Agua a 20 ºC 80 Aire 1,0006 3 Baquelita 4,9 24 Mica 5,4 10-100 Neopreno 6,9 12 Papel 3,7 16 Parafina 2,3 10 Plexiglás 3,4 40 Porcelana 7 5,7 Vidrio pyrex 5,6 14


Energía del campo eléctrico

Energía necesaria para crear una configuración de cargas

Distribución discreta de cargas:

(Vi es el potencial que crean todas las demás cargas sobre la i)

Distribución continua:


U=12(U AB+U BA+U AC+U CA+U BC+U CB+U AD+U DA+U BD U DB+U CD+U DC)

U=U AB+...

U=U AB+(U AC+U BC)+...

U=U AB+(U AC+U BC)+(U AD+U BD+U CD)

U XY=qY V X (r XY )=qY

k qX

r XY

=U YX =(U XY+U YX )/2

U=0+... Hemos puesto A

Hemos añadido B

Hemos añadido C

Hemos añadido D

“Duplicamos” usando:

Demostremos en el ejemplo que

Energía del campo eléctrico

Si un dieléctrico está en presencia de un campo eléctrico:

Integrando por partes:

Energía del campo eléctrico en un dieléctrico

Energía por unidad de volumen:

Utilizamos la ley de Gauss en un dieléctrico


Integral a todoel espacio

Condensador

Un condensador es un dispositivo diseñado para almacenar energía eléctrica. Se compone de dos conductores aislados uno del otro, que almacenan cargas iguales y de signos opuestos.

Se define la capacidad de un condensador como:

La unidad de capacidad es el Faradio: 1 F = 1 C/V

Condensador de láminas plano-paralelas

Condensador cilíndrico


Condensador

Capacidad de un condensador de láminas plano-paralelas:

Si introducimos un dieléctrico entre las placas:

Energía almacenada en el condensador:


Condensador

Ejemplos de condensadores

Condensadoreselectrolíticos

Cambia la capacidad delcondensador al pulsar

la tecla


Condensador

Condensador en un circuito:

Asociación en serie:

Vb-V

a = V

b-V

m + V

m-V

a

Qeq

= Q1 = Q

2

1 1 1 C

eq C

1 C

2

= +


Condensador

Condensador en un circuito:

Asociación en paralelo:

Vb-V

a = V

1 = V

2

Qeq

= Q1 + Q

2

Ceq

= C1 + C

2

Las asociaciones mixtas deben resolverse de empezando por lasagrupaciones más simples hasta tener un sólo condensador equivalente.


Ejemplo ilustrativo el comportamiento del campo eléctrico (E), el vector de polarización (P) y el vector desplazamiento eléctrico (D) en un material dieléctrico

−=

−+

−= L

d

NnqQ

d

NLQ

d

NLnqQSE

000

11

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

L

00 =E

+++++++++++

-----------

d

00 =E

Q Q−nq+nq−S

UsandoLey de Gauss,calculamos E promedioen eldieléctrico

n = 8 “dipolos” por columna dentrodel cilindro de área S

N = 4 “columnas de dipolos”Fracción de d sin “dipolos”Fracción de d “dentro” de “dipolos”

E

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

L LSd

nqNP =

00 =E

+++++++++++

-----------

d

00 =E

Q Q−S

Sp nP ˆ·

=

Carga polarizada en el dieléctrico(encerrada en el cilindro completo)

Volumen del dieléctrico en el cilindro

Podemos interpretar que en la superficiedel dieléctrico aparece una densidad de carga superficial:

En general, definimos el Vector Polarización:

→

=vk

kkv

Lqv

Pen 0

1lim

Separación entre-q y +q

−= P

S

QEdiel

0

.

1


Luego:

−=

−+

−= L

d

NnqQ

d

NLQ

d

NLnqQSE

000

11

nq+nq−

E

SQSxE P ||1

)(0

−=

-----------------------

00 =E

+++++++++++

-----------

d

00 =E

Q Q−p−S

Sp nP ˆ·

=

Carga polarizada en el dieléctrico(encerrada en el cilindro completo)

Podemos interpretar que en la superficiedel dieléctrico aparece una densidad de carga superficial:

Separación entre-q y +q

−= P

S

QEdiel

0

.

1


Luego:

++++++++++++

p+

++++++++

+++

LSd

nqNP =

Volumen del dieléctrico en el cilindro

→

=vk

kkv

Lqv

Pen 0

1lim

En general, definimos el Vector Polarización:

S

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

00 =E

+++++++++++

-----------

00 =EQ

Q−

S

+++++++++++

+++++++++++

-----------

-----------

)(xE

x

0S

Q

0/P

Cálculo del campo eléctrico

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

+++++++++++

-----------

Q Q−

S

+++++++++++

+++++++++++

-----------

-----------

)()()( 0 xPxExD

+=

x

S

Q

)(xD

Menor campo eléctrico, pero hay polarización

Sólo Campo

eléctrico

Sólo Campoeléctrico

=Ddiv

Definimos el vector desplazamiento

== QdVSdD

·

Ley de Gauss generalizada:

Pdiv

Ediv

p

p

−=

+=

0

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