IES “Los Colegiales” Matemáticas 1º ESO Tema 2 Divisibilidad

Tema 2 Divisibilidad1. Relación de Divisibilidad Entre dos números “a” y “b” existe la relación de divisibilidad si al dividir “a” : “b” la división es exacta.

Ejemplo:

¿Existe la relación de divisibilidad entre estos números?

a) 42 y 6

Dividimos 42 : 6 El cociente es 7 y el resto es 0. La división es exacta.

Si existe la relación de divisibilidad.

b) 35 y 8

Dividimos 35 : 8 El cociente es 4 y el resto es 3. La división no es exacta.

No existe la relación de divisibilidad.

2. Múltiplos y Divisores de un número Si entre dos números “a” y “b” existe la relación de divisibilidad se cumple siempre que:

“a” es múltiplo de “b” “a” está en la tabla de multiplicar de “b”

“b” es divisor de “a” “b” divide exactamente a “a”

Ejemplo:

a) 42 y 6

Entre 42 y 6 si existe la relación de divisibilidad porque la división es exacta, por lo tanto:

42 es múltiplo de 6, porque está en la tabla del 6 6x7 = 42

6 es divisor de 42, porque la división 42:6 es exacta.

b) 35 y 8

Entre 35 y 8 no existe la relación de divisibilidad porque la división no es exacta, por lo tanto:

35 no es múltiplo de 8, porque 35 no está en la tabla del 8

8 no es divisor de 35, porque la división no es exacta.

3. Múltiplos de un número Para calcular los múltiplos de un número “a” construimos su tabla de multiplicar:

múltiplos de “a” = {a·0, a·1, a·2, a·3, a·4, …}

Ejemplo:

Calcula los 15 primeros múltiplos de 7

múltiplos de 7 = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 ,77, 84, 91, 98, 105, … }

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4. Divisores de un número Para calcular los divisores de un número “a” dividimos “a” entre los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor. Tachamos las divisiones que no sean exactas y de las divisiones exactas cogemos todos los divisores y todos sus cocientes.

Ejemplo:

Calcula los divisores de 45

div (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45 }

45 l 1 45 l 2 45 l 3 45 l 4 45 l 5 45 l 6 45 l 7 No sigo

00 45 01 22 00 15 01 11 00 9 03 7 03 6 porque el

cociente (6) es menor o igual que el divisor (7)

5. Números Primos y Compuestos Números primos son los que sólo tienen dos divisores: el 1 y el mismo número.

Ejemplo:

17 l 1 17 l 2 17 l 3 17 l 4 No sigo dividiendo porque el cociente es

00 17 01 8 02 5 01 4 menor o igual que el divisor.

Div(17) = { 1, 17 } Es un número primo.

Números Compuestos son los que tienen más de dos divisores, es decir, además del 1 y del mismo número también tiene otros divisores

Ejemplo:

45 l 1 45 l 2 45 l 3 45 l 4 45 l 5 45 l 6 45 l 7

00 45 01 22 00 15 01 11 00 9 03 7 03 6

div (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45 }Es un número compuesto.

6. Números Primos comprendidos entre el 1 y el 100 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19,23, 29,31, 37,41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97

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7. Criterios de Divisibilidad Son reglas que nos ayudan a saber si un número es divisible por otro sin tener que hacer la división.

Vamos a estudiar los criterios de divisibilidad de los primeros números primos: 2, 3, 5, 7 y 11:

Un número es divisible por 2, cuando termina en cifra par (0, 2, 4, 6 y 8).

Ejemplo:

54: SI es divisible por 2, porque acaba en cifra par

79: NO es divisible por 2, porque no acaba en cifra par (9 es impar)

Un número es divisible por 3, cuando la suma de todas sus cifras es múltiplo de 3.

Ejemplo:

87: SI es divisible por 3, porque 8 + 7 = 15 = múltiplo de 3

179: NO es divisible por 3, porque 1 + 7 + 9 = 17 = no es múltiplo de 3

Un número es divisible por 5, cuando termina en 0 o en 5

Ejemplo:

130: SI es divisible por 5, porque acaba en 0

709: NO es divisible por 5, porque no acaba ni en 0 ni en 5

El 7 no tiene criterio de divisibilidad, hay que hacer la división: Si da exacta es divisible por 7. Si no da exacta no es divisible por 7.

Ejemplo:

91: SI es divisible por 7, porque la división 91 : 7 es exacta

142: NO es divisible por 7, porque la división 142 : 7 no es exacta

Un número es divisible por 11, cuando :

– Sumamos las cifras que ocupan lugar par.

– Sumamos las cifras que ocupan lugar impar.

– Restamos los dos resultados y tiene que dar 0 o múltiplo de 11

Ejemplo:

253 : SI es divisible por 11, porque:

2 + 3 = 5

2 5 3 5 – 5 = 0

5

Los siguientes números primos 13, 17, 19, 23 … no tienen criterios de divisibilidad. Hay que hacer la división para saber si es divisible por ellos.

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8. Descomponer un número en Factores Primos Consiste en expresar un número “a” como producto de números primos (factores primos):

30 = 6 x 5 No vale, 6 no es un número primo

30 = 2 x 3 x 5 Si vale, 2, 3 y 5 son números primos.

Para descomponer un número en factores primos tenemos que saber dos cosas:

– Los números primos

– Los criterios de divisibilidad

Procedimiento para descomponer un número en factores primos:

60 2 Es divisible por 2 porque acaba en cifra par. 60 : 2 = 30

30 2 Es divisible por 2 porque acaba en cifra par. 30 : 2 = 15

15 3 Ya no se puede a 2. Es divisible por 3 porque 1 + 5 = 6 = múltiplo de 3

5 5 5 es primo y sólo se puede dividir entre él mismo 5 : 5 = 1

1 Ya hemos terminado.

Expresamos 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5 En forma de potencia.

9. ¿Cómo puedo averiguar si un número es primo? Con los criterios de divisibilidad de 2, 3, 5, 7, 11 y a partir del 13, 17, 19, 23..., haciendo las divisiones hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor. Si ninguna división ha dado exacta el número es primo.

Ejemplo:

241 241 No es divisible por 2, porque no acaba en cifra par

1 No es divisible por 3, porque 2 + 4 +1 = 7 no es múltiplo de 3

No es divisible por 5, porque no acaba ni en 0 ni en 5

No es divisible por 7, porque la división no es exacta. Hacemos la división:

241 l 7

31 34

3

Con los siguientes números primos hacemos las divisiones:

241 l 11 241 l 13 241 l 17 No sigo dividiendo porque

21 21 111 18 71 14 el cociente es menor o igual

10 7 3 que el divisor.

No se cumple ningún criterio de divisibilidad y ninguna división ha dado exacta, por lo tanto:

241 es un número primo.

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10. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de varios números. Dados dos o más números el m.c.m., es el menor de los múltiplos comunes de esos números, distinto de cero.

Ejemplo:

Calcula el m.c.m.(4, 6, 9)

Múltiplos de 4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76 …}

Múltiplos de 6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, …}

Múltiplos de 9 = {0, 9, 18,. 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, ...}

Los múltiplos comunes de 4, 6 y 9 son: 0, 36, 72, ...

El m.c.m. (4, 6 y 9) = 36 Es el menor distinto de cero

Esta forma de hacerlo tiene inconvenientes: larga, te puedes equivocar y ya todos mal..., así que vamos a a aprender un método para calcular el m.c.m.1º Se descomponen los números en factores primos.

2º El m.c.m., es el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

Ejemplo:

a) Calcula el m.c.m.(4, 6 y 9)

4 2 6 2 9 3 4 = 22

2 2 3 3 3 3 6 = 2 x 3

1 1 1 9 = 32

m.c.m. (4, 6 y 9) = 22 x 32 = 4 x 9 = 36

b) Calcula el m.c.m. (42, 70 y 90)

42 2 70 2 90 2 42 = 2 x 3 x 7

21 3 35 5 45 3 70 = 2 x 5 x 7

7 7 7 7 15 3 90 = 2 x 32 x 5

1 1 5 5

1

m.c.m. (42, 70 y 90) = 2 x 32 x 5 x 7 = 2 x 9 x 5 x 7 = 630

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11. Máximo Común Divisor (M.C.D.) de varios números Dados dos o más números el M.C.D., es el mayor de los divisores comunes de esos números.

Ejemplo:

Calcula el M.C.D. (12, 24, 30)

Div(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Div(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Div(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

12 l 1 12 l 2 12 l 3 12 l 4

00 12 00 6 00 4 00 3

24 l 1 24 l 2 24 l 3 24 l 4 24 l 5

00 24 00 12 00 8 00 6 04 4

30 l 1 30 l 2 30 l 3 30 l 4 30 l 5 30 l 6

00 30 00 15 00 10 2 7 00 6 00 5

Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6

El M.C.D.(12, 24 y 30) = 6 porque 6 es el mayor de todos.

Esta forma de hacerlo tiene inconvenientes: larga, te puedes equivocar y ya todos mal..., así que vamos a a aprender un método para calcular el M.C.D.1º Se descomponen los números en factores primos.

2º El M.C.D., es el producto de los factores comunes elevados al menor exponente.

Ejemplo:

a) Calcula el M.C.D.(12, 24, 30)12 2 24 2 30 2 12 = 22 x 3

6 2 12 2 15 3 24 = 23 x 3

3 3 6 2 5 5 30 = 2 x 3 x 5

1 3 3 1

1

M.C.D.(12, 24 y 30) = 2 x 3 = 6

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