Tema 2: Electrocinética * Intensidad de corriente eléctrica. * Resistencia. Ley de Ohm. * Energía en circuitos eléctricos. Ley de Joule. * Generadores y fem. Alonso-Finn: 24 A * Leyes de Kirchhoff. Tipler: 25 Aplicaciones - Conexiones de resistencias: serie y paralelo. -Instrumentos de medida. Amperímetros y voltímetros.

Intensidad de corriente eléctrica Cuando se conectan una serie de conductores a un generador para formar un circuito

eléctrico, de forma casi instantánea se alcanza un flujo de corriente eléctrica estacionaria. La intensidad de corriente eléctrica se define como el flujo neto de cargas eléctricas que atraviesa la sección transversal de un conductor por unidad de tiempo: donde dQ es la carga que fluye a través del área A en un intervalo diferencial de tiempo dt. La

unidad de intensidadde corriente en el SI es el ampere (A), que definiremos más adelante. Los portadores de carga de los conductores (electrones) en ausencia de efectos externos se

mueven aleatoriamente. Al conectar los generadores, se ven sometidos a un campo eléctrico que los acelera en el sentido opuesto (-eE). La energía cinética que adquieren se pierde posteriormente en choques contra los iones de la red metálica, pero en promedio se adquiere una cierta velocidad en el sentido opuesto al campo, la velocidad de desplazamiento vd.

dtdQI =

Intensidad de corriente eléctrica

Si n es la densidad de portadores de un material y q la carga de cada partícula, el flujo de carga dQ en el lapso de tiempo dt a que hacíamos referencia antes, será:

La magnitud vectorial densidad de corriente J se define a través de: La corriente a través de una superficie S depende de la orientación relativa de la superficie respecto a la dirección de desplazamiento de los portadores: Podemos ver que esto se corresponde con la expresión que escribimos antes suponiendo una densidad de corriente uniforme, y tomando una superficie ortogonal a la dirección de flujo de portadores:

dvnqJ =

∫ ⋅=S

AdJI

AnqvAJAdJAdJI dSS

=⋅=⋅=⋅= ∫∫

( ) dd nqAvdtdQIdtvnqAdQ ==⇒=

Resistencia. Ley de Ohm.

Consideremos un segmento de un cable de longitud ∆L y sección A. La diferencia de

potencial entre los puntos a y b, extremos de este, será: si el campo eléctrico es uniforme. Se define la resistencia del segmento como el cociente entre la caída de potencial en el sentido de la corriente y la intensidad de corriente que circula por él: Su unidad en el SI es el V/A, que recibe el nombre de ohm (Ω). Para los buenos conductores, la resistencia no es función de la intensidad de corriente que

fluye. El comportamiento de estos materiales se denomina óhmico, puesto que siguen la denominada ley de Ohm:

Hay que recalcar que esta no es una ley fundamental, sino de tipo empírico.

LEVVV ba ∆=−=∆

IVR ∆=

IRV =∆

Resistencia. Ley de Ohm. La resistencia de un cable conductor es proporcional a su longitud y a la inversa de su

sección: ρ es una propiedad del conductor denominada resistividad, que se mide en Ω·m.. Podemos sustituir en la ley de Ohm, de donde obtenemos: donde hemos supuesto un campo y una corriente uniformes en el conductor. De hecho la

ecuación vectorial es la expresión microscópica puntual de la ley de Ohm. La inversa de la resistividad recibe el

nombre de conductividad (σ), cuya unidad es el Ω−1m-1. Resistividad y conductividad son función de la temperatura de operación de las resistencias. Para los buenos conductores, y dentro del rango de temperaturas comunes, la resistividad muestra un incremento lineal con T, que viene determinado por el denominado coeficiente de temperatura:

ALR ρ=

JLELALIV ρ=⇒ρ=

EJJE

σ=⇔ρ=

0

00

TT/)(

−ρρ−ρ

=α

Energía en circuitos eléctricos. Ley de Joule. Como expusimos anteriormente, los portadores de carga se aceleran bajo el efecto del campo

eléctrico pero chocan contra los iones de la red, lo que conduce a una situación en promedio estacionaria. Vamos a estudiarla desde un punto de vista energético.

Tomemos un pequeño elemento de volumen dv en un conductor. La carga asociada a los

portadores en dicho elemento es dQ=nqdv. Sobre este elemento actúa una fuerza eléctrica neta

El trabajo realizado por dicha fuerza al desplazar las cargas del elemento un breve lapso de

tiempo dt es Esta energía adquirida se dispersa en los choques. Podemos cuantificar la potencia disipada

por unidad de volumen, que de acuerdo con la expresión anterior será: que es la expresión puntual de la ley de Joule. Podemos escribirla macroscópicamente para

un elemento resistivo:

dvEnqdQEFd

==

dtdvJ·Edtv·dvEnqldFddW d

==⋅=

J·Edv

dt/dWdvdP

==

RVRIVI)JA)(EL()AL(EJdvJ·EP

22

V

====== ∫

Generadores y fem.

Todo lo dicho hasta este momento, pone de manifiesto que es necesario disponer de fuentes

energéticas que mantengan el estado cinético en los circuitos. Estos dispositivos reciben el nombre de fuentes o generadores de fem (fuerza electromotriz). Estos dispositivos transforman, por ejemplo, energía química (baterías y pilas) o mecánica (dinamos y alternadores) en eléctrica.

El parámetro fundamental que caracteriza estas fuentes energéticas es el trabajo que realizan

por unidad de carga, denominado fem (ξ). Su unidad en el SI es la misma que se utiliza para el potencial, el volt (V). Una batería ideal

mantiene una diferencia de potencial constante entre sus terminales, que coincide con ξ. En la figura vemos la representación común de una fem y una resistencia. La fem mantiene una diferencia de potencial entre a y b, que origina una corriente en el sistema, que circula en el sentido indicado y tiene una intensidad

RI ξ=

Generadores y fem.

Cuando una pequeña cantidad de carga dQ fluye a través del generador, su energía potencial

se ve incrementada en la magnitud dQ·ξ. La potencia suministrada por la fem será: El funcionamiento de las baterías reales difiere ligeramente de lo descrito, puesto que estas

presentan también una pequeña resistencia al flujo de la corriente. Si denotamos esa resistencia por r, podemos evaluar la diferencia de potencial exacta entre los bornes: Por tanto, vemos que disminuirá con la intensidad de corriente en el circuito. Para este simple ejemplo

ξ=ξ= Idt

dQP

IrVVIrVV baba −ξ=−⇒−ξ+=

rRIIrVVIR ba +

ξ=⇒−ξ=−=

Leyes de Kirchhoff. Para analizar circuitos más complicados que el que acabamos de mostrar, se utilizan las leyes

de Kirchhoff. Estas se enuncian del modo siguiente 1. En un nudo de un circuito (punto en que convergen dos o más componentes, sean

resistencias y/o generadores) la suma algebraica de las corrientes que entran en el nudo debe ser igual a la suma algebraica de las corrientes que salen del mismo.

2. La suma algebraica de las variaciones de potencial a lo largo de cualquier malla

(subcircuito cerrado) debe ser igual a 0. La primera ley se deriva del principio de conservación de la carga, mientras que la segunda

es consecuencia conjunta de la ley de Ohm y del hecho de que el campo eléctrico es conservativo.

La segunda ley se puede enunciar alternativamente para una rama (tramo de circuito

comprendido entre dos nudos), del modo siguiente 2. La diferencia de potencial entre dos nudos de un circuito es la suma algebraica de las fems

y de las caidas de tensión en las resistencias presentes entre dichos nudos.

∑∑ =salientesentrantes

II

∑ ∑+ξ=−j k

KKjba RIVV

0RIj k

KKj =+ξ∑ ∑

Leyes de Kirchhoff. Conexiones de resistencias: serie y paralelo.

Conexión en serie Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff para la rama: La resistencia equivalente en conexiones en serie es la suma de las individuales: Conexión en paralelo Aplicamos la 1ª al nudo a: Aplicamos la 2ª a las dos ramas: esto es, la inversa de la resistencia equivalente es la suma de las inversas de las resistencias

individuales

)RR(IIRIRVV 2121ca +=+=−

∑=j

jeq RR

21 III +=

eq

ba

2

ba

1

ba

22ba

11ba

RVVI

RVV

RVV

RIVVRIVV −

==−

+−

=−=−

∑=j jeq R

1R1

Leyes de Kirchhoff. Instrumentos de medida. Amperímetros y voltímetros.

Los dispositivos de medida de corriente (amperímetros), diferencia de potencial (voltímetros)

y resistencia (ohmímetros) están basados en el mismo componente principal, el galvanómetro. Un galvanómetro es un aparato capaz de detector pequeñas corrientes que lo atraviesan.

Los galvanómetros comunes consisten en un circuito que forma un bobinado, el cual se sitúa entre los polos de un imán. Como veremos en el tema próximo, cuando una corriente circula por la bobina, el campo magnético del imán genera sobre ella un par proporcional a la magnitud de la corriente. La resistencia propia del galvanómetro la denotaremos por Rg. Detallemos ahora cómo se diseñan y operan los tres dispositivos de medida.

Leyes de Kirchhoff. Instrumentos de medida. Amperímetros y voltímetros.

La diferencia de potencial se mide colocando el voltímetro en paralelo con el elemento del

circuito en cuestión. De este modo la caída de potencial para el voltímetro es la misma que para el elemento.

Se debe perturbar lo mínimo posible el circuito sobre el que se mide, por lo que interesa que la resistencia del voltímetro sea muy alta (conexión de resistencias en paralelo): Por tanto, un voltímetro se puede construir conectando una elevada resistencia en serie con un galvanómetro.

RRRRsi;R

1R1

R1

eqvoltvolteq

≈⇒>>+=

Leyes de Kirchhoff. Instrumentos de medida. Amperímetros y voltímetros.

La intensidad corriente se mide colocando el amperímetro en serie con el elemento del

circuito en cuestión. De este modo la corriente que fluye por el amperímetro es la misma que para el elemento.

Se debe perturbar lo mínimo posible el circuito sobre el que se mide, por lo que interesa que la resistencia del amperímetro sea muy baja (conexión de resistencias en serie): Por tanto, un amperímetro se puede construir conectando una pequeña resistencia en paralelo con un galvanómetro.

RRRRsi;RRR eqampampeq ≈⇒<<+=

Leyes de Kirchhoff. Instrumentos de medida. Amperímetros y voltímetros.

Finalmente, un ohmímetro puede construirse con un galvanómetro conectado en serie con un

generador y una resistencia. La resistencia RS se elige de forma que al cortocircuitar los terminales a y b la corriente a través del galvanómetro produzca una deflexión al fondo de la escala. Si los terminales a y b están en abierto, no hay corriente y el galvanómetro da medida nula, mientras que al insertar una resistencia dada entre los terminales, la desviación será intermedia y, debidamente calibrada, establecerá la magnitud correspondiente.