Tema 2 Funciones Variables

7/18/2019 Tema 2 Funciones Variables

http://slidepdf.com/reader/full/tema-2-funciones-variables 1/56



FUNCIÓN VECTORIAL

Teorema 1

Sean f , g y h funciones reales de la variable real t. Entonces se define lafunción vectorial F por medio de:

F(t) = f(t) + g(t) + h(t) = [ f(t), g(t), h(t)]

Donde la función o ecuación vectorial F(t) asigna a cada escalar t en unintervalo o dominio, un vector F(t) o contradominio.

A las funciones vectoriales se les llama también campos vectoriales y hay dedos tipos:

1. Campos vectoriales de variable escalar.

2. Campos vectoriales de variable vectorial.

2

Tema 2 Funciones Variables

Ejemplo: Encontrar el dominio de la función vectorial

= 2 ( 3)− ln



FUNCIÓN VECTORIAL Teorema 2

Una función o campo vectorial de variable escalar (o real) es una reglaque asocia a cada número real t de un conjunto S ⊂ ℝ, uno y sólo un vector(t) ℝ.

Para 1 dimensión m = 1 : ℝ → ℝ

F(t) = f(t)

Para 2 dimensiones m = 2 : ℝ → ℝ

F(t) = f(t) + g(t)

Para 3 dimensiones m = 3 : ℝ → ℝ

F(t) = f(t) + g(t) + h(t) 3




FUNCIÓN VECTORIAL

Ejercicios: Determinar que dimensión tiene el contradominio de lasfunciones vectoriales, así como el dominio de ellas.

4


=

= ( sin ) (1 cos )

= ( )

= cos sin



FUNCIÓN VECTORIAL Teorema 3

Una función o campo vectorial de variable vectorial es una regla queasocia a cada vector r=(x 1, x 2 , …, x n ) de un conjunto S ⊂ ℝ, uno y sólo unvector (t) ℝ.

Para vector de 2 variables y 1 dimensión n = 2, m = 1 : ℝ

→ ℝ

F(t,s) = f(t,s)

Para vector de 2 variables y 3 dimensiones n = 2, m = 3 : ℝ → ℝ

F(t,s) = f(t,s) + g(t,s) + h(t,s)

Para vector de 3 variables y 2 dimensiones n = 3, m = 2 : ℝ → ℝ

F(t,s,u) = f(t,s,u) + g(t,s,u) 5




FUNCIÓN VECTORIAL

Ejercicios: Determinar que dimensión tiene el contradominio de lasfunciones vectoriales, así como el dominio de ellas.

6


, = 1 1 2 = 2 , = 3 , = 4 , = 5 = 1 0 , = 2 , = 1 , = 3

, = cos sin = 2 , =

2 = 2 , = 2 = = 3

2

. , = sin cos cos sin =

2 , = , = 2 = , = , = 3



FUNCIÓN VECTORIAL

Teorema 4

Dadas las funciones vectoriales F y G y las función real f :

•

Suma (F + G) (t) = F(t) + G(t)• Diferencia (F – G) (t) = F(t) – G(t)

• Producto punto (F ∙ G) (t) = F(t) ∙ G(t)

• Producto cruz (F × G) (t) = F(t) × G(t)

• Producto función real ( f F) (t) = f (t) F(t)

• Función compuesta (G ° f ) (t) = G( f (t) )

7




FUNCIÓN VECTORIAL

Producto punto

Dadas las funciones vectoriales

= (, , ) = (, , )

⋅ = ∗ ∗ ( ∗ )

8


Producto cruz

Dadas las funciones vectoriales

= (, ) = (, ) × = ∗ ∗

= (, , ) = (, , )

× = ( )



FUNCIÓN VECTORIAL

Ejemplo: Calcule el producto punto y el producto cruz

= (1,2) G = (4,3)

= (4,0,2) G = (5,2, 1)

9


*Ejercicio: Calcule el producto punto y el producto cruz

= (2,0) G = (1,1)

= 3 2 G = 6 7 2



LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Teorema 5

Sea F(r) una función vectorial, entonces L es el vector límite de F(r) cuandor tiene a r0 , y se expresa como

lim→

=

Si y solo si para > 0 existe δ > 0 tal que:

< siempre que 0 < <

10


Teorema 6Sea : ℝ → ℝ definida por = , , … , () entonces:

lim→

() = lim→

, lim→

() , … , lim→

()



LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Teorema 7

Sean: : ℝ → ℝ, G: ℝ → ℝ, lim→

() = , lim→

() =

Entonces:

1. Si A existe, es único.

2. lim→

± () = ±

3. lim→

() ∙ () = ∙

4. Para m = 3, lim→

() × () = ×

5. lim→

| | = ||

11




12

Ejemplos: Encontrar los límites de las funciones vectoriales cuando t tiendea los valores dados.

→ 0 = cos 2 3

→ 1 =

−

−

−

||

→ (1,1) , = arctan() ln

−+

−





Ejercicios: Determinar los límites de las funciones vectoriales.

13


F = 2 4 2

→ 2

F = sin cos sin

→ 0

F = + − (1 )

→ 0




Teorema 8

La función vectorial F es continua en r0 , sí y sólo si se satisfacen las 3condiciones:

1. F(r0 ) existe.

2. lim→

().

3. lim→

() = 0 .

14


Ejemplo: Encontrar los puntos donde la función es continua

, = sin ln 1 1



DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Teorema 9

Sea F una función vectorial de variable escalar.

= , , … , () →()

=

, , … , ′()

Sea F una función vectorial de variable vectorial.

= , , … , () →

=

,

, … ,

15




DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

16


Ejercicio: Calcular la primera y segunda derivada de la función vectorial.

= ln 1 1

sin

Ejercicio: Encontrar las primeras derivadas parciales y la mixta de lafunción vectorial.

, = s in ln() −

Ejemplo: Calcular la primera y segunda derivada de la función vectorial.

= sin ln tan

Ejemplo: Encontrar las primeras derivadas parciales y la mixta de la

función vectorial. , = ln cos



REGLA DE LA CADENA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Teorema 10

Sea F una función vectorial, h una función real y G una función vectorialdefinida por G(t)=F(h(s)), si =h(s) entonces la regla de la cadena nos dice:

()

=

(ℎ())

=

()

=

()

ℎ()

17


Ejemplo: Encontrar las primeras derivadas parciales, usar la regla de lacadena.

, = = =



J ACOBIANO

Teorema 11

Sea F una función vectorial, se le llama matriz jacobiana o gradiante de F [grad(F) o ] a la siguiente matriz:

=

=

⋯

⋮ ⋱ ⋮

⋯

Si m=n se puede calcular su determinante y se llama jacobiano.

18


Ejemplo: Encontrar de la función vectorial.

, , = ln cos()



Teorema 13

Las ecuaciones paramétricas de una curva no son únicas.

Ejemplo: Encontrar las ecuaciones paramétricas de:

= 1

a) =

b) =

20


Ejercicio: Encontrar las ecuaciones paramétricas de:

= 1

a) =

b) = c o s

CURVAS EN R3



APLICACIONES DE CURVAS EN R3

Integral definida = =

donde C(t) es un vector constante.

Parametrización o Desplazamiento = = ()

Velocidad =

= ′()

Longitud de arco = ′() ′() ′()

= ′()

=

Diferencial de longitud de arco = ′() =

= ′() ′() ′() dt

Parametrización con longitud de arco

= → → = ()

() → ()

21





Ejemplos:

Determine la función vectorial más general cuya derivada sea

= sin 3 cos 2

Obtenga el vector para el cual:

′ = − 3 0 = 6

Calcular la longitud de arco de la curva representada por la funciónvectorial en el intervalo

[0,2] = ( sin ) (1 cos )

Calcular la longitud de arco descrita por el punto terminal de latrayectoria r(t) conforme t se incrementa de 1 a 4.

= sin cos

Parametrizar la función utilizando la longitud de arco como parámetro.

= sin cos

22





Ejercicio: Obtenga los vectores para los cuales:

( ) =

− 3 0 = 6

() = (sin ) 2(cos ) r = 0 0 0

23


Ejercicio: Calcular la longitud de arco de la curva representada por lafunción vectorial en los intervalos mencionados.

= 1 1 2 [1,2]

= sin cos

Ejercicio: Parametrizar la función utilizando la longitud de arco comoparámetro.

= cos sin

= 2 0 = 0




Vector Tangente = =

Vector Tangente Unitario =()

()=

= ′()

( ) ⊥ = 1

Vector de magnitud constante ∙ ´ = 0 ⊥ ´ Vector siempre paralelo × ´ = 0 ∥ ´

Ecuaciones recta tangente a la curva en P 0

′()=

′()=

′()

Ecuación del plano normal a la curva en P 0

= 0

Vector Normal Unitario =()

()=

()×() ×()

()×() ×()=

⊥ ∥ = 1

24





Curvatura = ′() = ()()

= ()×()()

Radio de curvatura =

Vector curvatura = =()

()

Vector Unitario Binormal = × = ()×()()×()

= × = sin

= 1

∥ [ × ] ⊥ ′()

⊥ ⊥ ∙ = 0

′() ⊥ ′() ∥

Triedro = × = × = ×

Torsión = ′() = ∙ =()∙ ()×()

()×()

Radio de torsión =

25





Ejemplos:

Obtener T,N y B

= 3 3

Obtenga el triedro móvil T, N y B

= cos sin

Obtener T, N y B en = 0 .

= s i n c o s

Obtenga el triedro móvil en el punto , 2,4 . = sin 1 cos 4 sin

2

Obtenga el triedro móvil, considere s la longitud de arco.

= cos

sin

26





Ejemplos:

Obtener ,, , en cualquier punto t.

= cos sin

Obtenga la curvatura, la torsión y sus radios en cualquier punto t.

= 1

2 l n 2

Obtener ,, , en cualquier punto t y en = 0.

= s i n c o s

Obtenga los valores de t para los cuales los radios de curvatura y detorsión , sean mínimos.

= 3 3 3

Obtenga ,, ,, considere s la longitud de arco.

= cos sin

27





Ejemplos:

Obtener las ecuaciones de la recta tangente a la curva en el punto = .

= sin 2 cos 2

Obtenga la ecuación del plano normal a la curva con ecuacionesparamétricas ,, en el punto = .

= c o s

= 3 sin 2

= 1 cos 3 Dada la superficie, determinar las ecuaciones paramétricas de la recta

normal y la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto(0,2,

).

, = cos sin 28





Ejercicio: Obtener el triedro móvil en = .

= ln sin 5

29


Ejercicio: Obtener la curvatura, la torsión y sus radios en = .

= ln sin 5




Plano oscilador T y N

Plano rectificador T y B

Plano normal N y B

Fórmulas de Frenet Serret

= =

= =

= =

Relaciones de Frenet Serret

∙

= ∙ =

∙

= ∙ =

∙

= ∙ =

Curva es una línea recta = 0

τ = 0

30





Ejemplo: Dada la curva, determinar las ecuaciones de los planos oscilador(osculador), rectificador y normal.

= (3 2) ( 4) (2 1)

31


Ejercicio: Obtener los planos oscilador, rectificador y normal en el punto

de

() = (sin cos ) (cos sin ) 2



APLICACIONES DE CURVAS EN R3 CINEMÁTICA

Vector desplazamiento = ()

Vector velocidad v(t )=r’(t)

Rapidez = v() = =

Vector aceleración = = =

= ó

ó í

=()∙()

()=

∙

= = v() =

×

=

Curvatura =×

()

Torsión =×∙()

× =

×

32




APLICACIONES DE CURVAS EN R3 CINEMÁTICA

33


Ejemplos:

Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración de unapartícula que se mueve en la hélice de ecuación:

= cos sin

Obtenga la velocidad, aceleración y rapidez de una partícula que semueve sobre la curva en el punto (2, 1,4) . También calcular lascomponentes tangencial y normal de la aceleración.

= 2 ( 1)

Ejercicio: Obtenga la velocidad, aceleración y rapidez de una partícula quese mueve sobre la curva en =

. También calcular las componentestangencial y normal de la aceleración.

= 2 3 3

2




MOVIMIENTO CIRCULAR

Velocidad angular =

= ′

Aceleración angular =

=

Longitud de arco =

Rapidez =

Aceleración tangencial =

Aceleración normal =

Aceleración =

1 rps (rev. por seg.) 2

1 rpm (rev. por min.)

Fuerza = 34




35


Ejemplos:

Calcular la fuerza que actúa sobre un objeto de masa m que se mueve enla trayectoria:

= cos β sin

Un niño juega con una pelota que está unida a un hilo. El niño la hacegirar con una velocidad constante (angular) de 3 revoluciones por segundoy la longitud del hilo es de 0.5m. Si la masa de la pelita es de 0.3 kg y elpeso del hilo es despreciable. Calcular la fuerza ejercida por la pelotasobre el hilo.

= cos β sin


MOVIMIENTO CIRCULAR




Ejercicio de repaso: Obtenga s ,,,,,, , y las ecuaciones de los planos

oscilador, rectificador y normal, para la curva

= cos sin sin

36


Ejercicio de repaso: Obtener la velocidad, rapidez, aceleración,componentes tangencial y normal en el punto = 2.

= 4 4 8 3



Teorema 14

Sea F una función vectorial

, = , = , , ℎ , =

Los parámetros u y v se conocen como coordenadas curvilíneas y las curvas = y = donde y son constantes se conocen como curvasparamétricas.

37


SUPERFICIES EN R3

Teorema 15

Si

×

≠ 0 en un punto, asegura la existencia de un plano tangente en ese

punto, y se le conoce como punto ordinario. Una superficie formada deúnicamente puntos ordinarios se le llama superficie suave.

Si

×

= 0 en un punto, se le conoce como punto singular.



Función escalar

Sea f una función escalar, su gradiente es un vector o tensor de primerorden.

= =

38


GRADIENTE

Función vectorial

Sea F un función vectorial, su gradiente es una matriz jacobiana o tensor desegundo orden.

= =



Propiedades

=

=

=

=

≠ 0

= det () Jacobiano

39


GRADIENTE



Función escalar

Sea f un función escalar, su divergencia es siempre nula.

40


DIVERGENCIA

Función vectorial

Sea F un función vectorial, su divergencia será siempre un escalar.

= ∙ =

Fluidos compresibles e incompresibles

Sea V un campo de velocidades de un fluido en movimiento en cualquierpunto, entonces la divergencia de V representa la razón de expansión delfluido por unidad de volumen.

∙ < 0 El fluido se está comprimiendo.

∙ > 0 El fluido se está expandiendo.

∙ = 0 El fluido es incomprensible.



Campo solenoidal

En un cierto punto P, la divergencia de un campo F puede ser:

∙ < 0 P es un punto sumidero.

∙ > 0 P es un punto manantial o surgente. ∙ = 0 para todo P, F es un campo solenoidal.

41


DIVERGENCIA

Propiedades

∙ = ∙ ∙ ∙ = ( ∙ ) ∙

∙ × = ∙ × ( × )



Función escalar

Sea f un función escalar, su rotacional es siempre cero.

43


ROTACIONAL

Función vectorial

Sea F un función vectorial, su rotacional será siempre un vector.

= × =

Definición

El rotacional es una medida de la rotación o vorticidad local de una partículadentro de un flujo, por esta razón, se le conoce también como campovorticoso.



Irrotacional

Si se cumple × = 0 se dice que es un flujo irrotacional, es decir, lacorriente del fluido está libre de vórtices o remolinos. Si se cumple la mismacondición pero para una fuerza eléctrica E , × = 0, se dice que solamenteexisten fuerzas electrostáticas.

Si se cumple la condición para una fuerza F , es decir, × = 0 se dice quela fuerza o campo F es una fuerza o campo conservativo, donde F se puedeexpresar como el gradiente de una función escalar llamado potencial

44


ROTACIONAL

Propiedades

× = × ×

× = ( × ) ×

× × = ∙ ∙ ∙ ∙

Donde ( ∙ ) =

( ∙ ) =



Aplicación 1 (Ecuaciones de Maxwell)

Intensidad de campo magnético × =

densidad de corriente

Intensidad de campo eléctrico × =

Si es 0 es irrotacional y

existe potencial eléctrico

45


ROTACIONAL



Función escalar

Sea f un función escalar, su laplaciano es siempre un escalar.

= ∙ () =

46


L APLACIANO

Función vectorial

Sea F un función vectorial, su laplaciano será siempre un vector.

= ∙ ( ) =

Definición

Se define al operador laplaciano como la divergencia del gradiente.



Función armónica

Si el laplaciano de una función es 0, = 0, se dice que la función esarmónica y la ecuación iguala a 0 se llama ecuación de Laplace.

47


L APLACIANO

Otros operadores

Rotacional de un gradiente × = 0

Gradiente de una divergencia ∙

Divergencia de un rotacional ∙ × Rotacional de un rotacional × × = ∙



48


Ejemplos:

Calcular la divergencia, el rotacional y el laplaciano de

= 5 4 2

Determinar los valores de a para que el vector sea solenoidal.

= ( 3) ( 2) ( )

Obtener los valores de a,b,c para que el campo sea irrotacional.

= ( 2 ) ( 3 ) (4 2)

Calcular desarrollando × ( ∙ ) = ( ) ( ) (4)

Determinar si la función potencial del campo es función armónica.

=

DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO



50


Un cambio de coordenadas es una transformación

= (, , ) = (, , ) = (, , )

= (, , ) = (, , ) z = (, , )

El vector posición de un punto será: = =

Para que exista una transformación de coordenadas entre los 2 sistemas , el jacobiano debe ser diferente de cero.

,,,, ≠ 0 ó ,,,, ≠ 0

COORDENADAS CURVILÍNEAS

Ejemplo: Determinar si las ecuaciones de transformación definen unsistema de coordenadas curvilíneas.

= 2 3 = 4 12 9 =



51


Si se fija una de las variables como puede ser (, , ) = 1, es decir, = (1, , ) entonces se denomina superficie coordenada.

Si se fijan dos de las variables = (, 2, 3) se denomina curvacoordenada.

Un punto en ℝ se puede definir a partir de la intersección de las 3superficies coordenadas o de las 3 curvas coordenadas.

Un punto en ℝ se define por su vector posición, el cual se expresa por mediode vectores base, unitarios mutuamente ortogonales. Para coordenadascurvilíneas existen 2 tipos de vectores base.


T F i V i bl



52



Vectores normales a las superficies coordenadas.

=

=

=

= = =

Vectores tangentes a las curvas coordenadas.

=

=

=

ℎ =

ℎ =

ℎ =

Los valores ℎ, ℎ, ℎ, , , se les llama factores de escala.

Un sistema de coordenadas curvilíneas es ortogonal si

∙ = ∙ = ∙ = 0

T 2 F i V i bl



53


Además se cumple:

=

=

=

= = =

, ,,,

= ∙ × = = 1ℎℎℎ

, ,, ,

= ∙ × = ℎℎℎ =1

, ,,,

,,, , = 1


Ejemplo: Determinar si los sistemas de coordenadas son ortogonales.

= 2 = 2 =

= 4 3 = 3 4



T 2 F i V i bl



55



El gradiente en coordenadas curvilíneas es:

=1

ℎ

1

ℎ

1

ℎ

=

La divergencia en coordenadas curvilíneas es:

=

∙ =1

ℎℎℎ

(ℎℎ )

(ℎℎ )

(ℎℎ )

El laplaciano en coordenadas curvilíneas es:

=1

ℎℎℎ

ℎℎ

ℎ

ℎℎ

ℎ

ℎℎ

ℎ

T 2 F i V i bl



56


COORDENADAS CURVILÍNEAS El rotacional en coordenada curvilíneas es:

× =

ℎℎ

(ℎ )

(ℎ )

ℎℎ

(ℎ )

(ℎ )

ℎℎ

(ℎ )

(ℎ )

Ejemplo: Sea la función , = 3− definida en el sistema de

coordenadas dado por

= =

Determinar el gradiente referido a las bases , , , , , y el laplacianode f .

Ejercicio: Sea la función , = 2 definida en el sistema decoordenadas dado por

= = =

Determinar el gradiente referido a las bases y el

Tema 2 Funciones Variables

Documents

Transcript of Tema 2 Funciones Variables