Tema 2 - Orientación

8/20/2019 Tema 2 - Orientación

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ORIENTACIÓN

MECANICA – UNIDAD 2

GRADO DE INGENIERÍA QUÍMICA

SEMESTRE 4 – CURSO 2014-2015


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INDICE

• Bases vectoriales

• Orientación de una base

•

Velocidad y aceleración angular• Derivada de un vector desde cualquier

referencia.

•

Ángulos de Euler.• Ejemplos de aplicación


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BASES VECTORIALES

• Concepto derivado de la Geometría y el Álgebra.Usaremos bases ortonormales definidas en sentidodirecto, es decir:

213 eee ∧=

Recuérdese que el productovectorial NO es conmutativo. Sise altera el orden, cambia elsigno

Podrán ser fijas (designadas entonces como XYZ)

o móviles (nomenclatura usada 123, e1,e2,e3)...La posición de la base NO es relevante, puestoque sólo será una herramienta para:

-Proyectar los vectores-Definir la orientación (cómo están giradoslos ejes respecto a otro sistema de ejes

tomados como referencia)


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BASES VECTORIALES•

Construyamos las bases siguiendo los cambios deorientación que se observen en los sistemasmecánicos que se presenten.

La orientación es un concepto básico asociado al movimiento de sólidos (frente almovimiento de puntos que no tienen “orientación”)

• En un movimiento de traslación, NO seránecesario construir una nueva base, bastará contrasladarla a otro punto.

• Como herramienta de uso habitual, habrá que

familiarizarse con el manejo de diferentes bases.Se recomienda resolver en distintas bases losprimeros ejercicios para entender rápidamentesu uso.


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BASES vs REFERENCIAS

• Aunque son conceptos “similares” (en ambos precisamosde una base ortonormal, puede haber bases o referencias fijas

o móviles…) conceptualmente son distintos: – BASE VECTORIAL: herramienta matemática para proyectar

vectores – REFERENCIA: lugar desde el que se observa el movimiento

EJEMPLO: un vehículo que se traslada en línea recta por una

autopista no precisa una nueva base para proyectar (sus ejesse mantienen en la misma orientación respecto al suelo fijo)pero sí supone una nueva referencia, puesto que “ve”diferente movimiento respecto a un observador “fijo”.


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BASES VECTORIALES•

Practica con los ejemplos siguientes, definiendo las bases precisaspara el movimiento del sistema, tras construir un esquemacinemático simplificado (como el usado en el robot):


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ORIENTACIÓN DE UNA BASE

• La orientación no es una cuestión trivial, existendiferentes técnicas para su definición dependiendo delobjeto de estudio. – Aunque podamos pensar en representar el giro a través de una dirección y un

módulo, no es un vector, el orden en la introducción de los giros modifica el

resultado final. Sí lo es la variación instantánea, como se justifica en los textos dereferencia.

• En todos los casos, orientar supone indicar cómo seencuentra “girada” una base respecto a otra.

• En este curso de Mecánica, utilizaremos, puesto que

nos interesa el análisis de movimiento a lo largo deltiempo: – Para cadenas cinemáticas compuestas por varios sólidos, giros

sucesivos respecto a las articulaciones presentes – Para sólidos, los ángulos de Euler


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ORIENTACIÓN DE UNA BASE

• Una forma de definir la orientación de una base es mediante la matriz decambio de base (matriz de senos y cosenos). En un giro en el plano:

[ ] {} { } { }[ ]

−

==

100

0cos

0cos

321 ψ ψ

ψ ψ

ψ

sen

sen

S XYZ XYZ XYZ

{ } { }123uS u XYZ ⋅= ψ


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ORIENTACIÓN DE UNA BASESe demuestra matemáticamente (ver bibliografía recomendada) a

partir de la matriz de cambio de base anterior, y por suspropiedades, que se puede asociar a este giro un vectorperpendicular al plano, definido según la regla de la manoderecha, que corresponde a la variación temporal de laorientación, y que corresponderá con la “velocidad angular” de

rotación de la base.

ψ

El cambio en la orientación esun vector (no así el ángulogirado) y como tal se

proyectará en la base elegida.Además podrán sumarseestos vectores, configurandola “velocidad angular” en el

espacio 3D.


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ORIENTACIÓN DE UNA BASE• Así se definirá un giro de una base respecto a otra en este curso de

MECANICA. Junto al esquema, se indicará la secuencia de girosrealizados, por ejemplo:

ψ

321 → ψ

Z Y X

{ }123

0

0

0

0

=

=

ψ ψ

ψ

XYZ

Se utilizará la letra griega “omega” mayúscula para designar la velocidad angular deuna base (o de un sólido)

)( 321 eee REF Ω


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VELOCIDAD ANGULAR

• Utilizando esta sistemática de orientación, lasvariaciones angulares se pueden sumar (sumandovectores en la misma referencia escritos en lamisma base). Será la VELOCIDAD ANGULAR.

•

En general, para un sólido libre utilizaremos tresgiros, de manera que podemos encontrarnos, porejemplo:

EJEMPLO PROPUESTO: definir la velocidad angular del brazo del robot anterior


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EJEMPLO PARA TRABAJAR

DEFINIR LA ORIENTACIÓNDE LOS DIFERENTESSÓLIDOS QUECOMPONEN EL ROBOT

POLAR MOSTRADO EN LAFIGURA

Observación: además de la

base fija, aparecerán dosmás, puesto que el brazoextensible no precisa definirun nuevo giro


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EXPRESIÓN DE BOURE: introducida para laderivación temporal de vectores

• Se puede demostrar (ver textos de referencia) quela variación temporal de un vector unitariorespecto a una referencia verifica la expresión deBouré:

] i REF it

REF i eeee

t

ee

dt

d ∧Ω=

∆

∆=

→∆

)( 3210

lim

A partir de esta expresión para un vector unitario, es relativamente sencillo llegar auna expresión válida para cualquier vector (ver textos de referencia), que será laherramienta de uso en este curso.


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DERIVADA DE UN VECTOR EN CUALQUIERBASE

•

A partir de la expresión de Bouré, para un vectorcualquiera, se define su derivada como:

• Esta expresión indica que la variación temporal de un vectorrespecto a una referencia tiene dos partes: variación de lascomponentes del vector (cambio en módulo) más el productovectorial de la velocidad angular de la base en la referencia elegidapor el vector (cambio en la orientación).

• Esta expresión se utilizará profusamente en el curso, ESBÁSICA en cinemática y dinámica 3D.


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SELECCIÓN DE BASES VECTORIALES

• Criterios de selección de una base: ante lavariedad de bases en un problema cualquiera, se recomienda,como primera elección

– en movimiento 2D, resultará cómodo utilizar la base fija XYZ,

en los textos de mecanismos y máquinas se trabajamayoritariamente con estos ejes;

– en el resto de casos en 3D, las leyes de la Dinámicaaconsejarán elegir en función de la Geometría de Masas.

•

Si sólo es un análisis cinemático, en general resulta más cómoda unabase móvil afectada de uno o dos giros (cuestión de práctica según elcaso). La base fija es trabajosa e incómoda puesto que las expresionesal derivar se vuelven muy largas.


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ORIENTACIÓN: cadenas cinemáticas• Orientar un sólido es indicar cómo esta girada una base fija sobre el sólido

respecto a una referencia.• Existen muy diferentes opciones útiles en diferentes campos tecnológicos.

• En este curso diferenciaremos entre sólidos “libres” (balón de rugby) ycadenas cinemáticas.

• En el caso de cadenas cinemáticas (como el robot), se danrotaciones sucesivas en torno a las direcciones impuestas por loselementos constructivos (pares cinemáticos) que se presentan,pasando de un sólido al siguiente. Un posible movimiento detraslación NO precisa una nueva orientación.

Ó


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ORIENTACIÓN DE UN SOLIDO:ÁNGULOS DE EULER

Se utilizarán este curso para indicar cómo está girado un sólido en el espacio.

Existen diferentes posibilidades de definición, (“three body axis” o “two body axis”) lacondición que se debe cumplir en todos los casos es que debe darse siempre el giro

sobre un eje afectado por el giro anterior, estando la diferencia en si se “utilizan” los tresejes diferentes (1-2´-3´´ por ejemplo) o bien se definen dos giros sobre un mismo eje (1-2´-1´´). Estos últimos son los empleados en sólidos de revolución. Los nombres comunespara la secuencia de giro en este caso son: precesión, nutación y giro propio.

Si el sólido posee un eje de revolución, este será siempre el que marque el último giro,

precisando un máximo de dos giros para orientar ese eje en el espacio.


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ÁNGULOS DE EULER

Obsérvese los vectoresasociados al cambio en

la orientación


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VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULAR

• Y para el cálculo de la aceleración angular de unabase (o de un sólido) se procede de la mismaforma que en la velocidad lineal de P, derivando:

• Hablaremos indistintamente de velocidad y aceleración angularde un sólido y de una base, porque orientar un sólido seráorientar una base que se mueva como el sólido objeto deestudio.

Atención• Siempre serán vectores respecto a una referencia.• RECUERDA: No tiene sentido hablar de “velocidad angular de un punto”.


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EJEMPLO: definir la orientación


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EJEMPLO: una posible resolución

SE PROPONE: El lector calcularáen la base 123 la velocidad yaceleración angulares a)del

chasis; b) de una de las ruedas


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ORIENTACIÓN en otros campostecnológicos concretos

•

Existen muy diferentes opciones útiles en diferentes campostecnológicos para la orientación de un sólido.

• En Dinámica Vehicular, es habitual encontrar una designaciónparticular según el caso, como se muestra en la figura.


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EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Defina el vector velocidad yaceleración angular de los sólidos

representados en las figuras (tantoscomo le sea posible), proyectándolosen bases móviles afectadas de uno o

dos giros.


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EJEMPLOS DE APLICACIÓN

El vehículo se mueve sobre una pista de hielo. Obtener la velocidad angular yla aceleración angular del disco que se encuentra montado sobre el chasismostrado, proyectando en los ejes 123 señalados en las figuras.


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Hasta aquí eres capaz de…

• Definir la posición de un punto respecto a unareferencia

• Determinar la cinemática de un punto P por

derivación, desde cualquier referencia• Orientar una base, un sólido y una cadena

cinemática

• Definir velocidad y aceleración angular en unareferencia

• Derivar vectores en cualquier base, fija o móvil

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