Polinomios y

Fracciones algebraicas

Introducción.Polinomios.

Un polinomio en una indeterminada x es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios .

Ejemplo

El Grado de un polinomio es el mayor de los grados de los términos que lo forman.

P(x )=−7 x3+4 x2

−5

Términos CoeficientesGrados

Introducción.

Igualdad de Polinomios. Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes delos términos semejantes son iguales

Suma y resta de Polinomios. Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términosSemejantes. Para restar se suma el minuendo con el opuesto delSustraendoEjemoplo: P( x)=2 x4

− x2+3 y Q(x )=x3

+2x2−x+1

P (x)+Q(x )=2 x4+ x3

+(−1+2) x2−x+(3+1)=2 x4

+x3+ x2

−x+4P(x )−Q (x)=2 x4

−x3+(−1−2) x2

−x+(3−1)=2 x4−x3

−3 x2+x+2

Introducción.

Producto de Polinomios. Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada termino del primerpolinomio por todos los términos del segundo polinomio y se agrupan lostérminos semejantes. Ejemoplo:

P(x )=2x 4−x2

+3 y Q (x)=x3+2 x2

− x+1P(x )⋅Q( x)=2 x4

⋅(x3+2 x2

− x+1)−x2⋅(x3

+2 x2−x+1)+3⋅( x3

+2 x2−x+1)=

=2 x7+4 x6

−2 x5+2 x4

− x5−3 x2

−2 x4 x−x3

− x2+3 x3

+6 x2−3 x+3=

=2 x7+4 x6

−3 x5+3 x3

+2 x2−3 x+3

Introducción.

La potencia de base un polinomio y de exponente n natural se define como:

Potencias de polinomios. [ p (x)]n

[ p (x)]n=p( x)⋅p (x)⋅…⋅p (x) n vecesProductos notables.

(a+b)2=a2

+2⋅a⋅b+b2

(a−b)2=a2

−2⋅a⋅b+b2

(a+b)⋅(a−b)=a2−b2

(a+b)3=a3

+3⋅a2⋅b+3⋅a⋅b2

+b3

(a−b)3=a3

−3⋅a2⋅b+3⋅a⋅b2

−b3

Introducción.

División de polinomiosLa división de dos polinomios llamados dividendo y divisor, consiste en encontrar otros dos polinomios llamados cociente y resto que cumplen:● Dividendo = divisor · Cociente + Resto● Grado del Resto < Grado del divisor.

Además el Grado del cociente será la diferencia entre los grados del dividendo y del divisor.

3 x4−4 x3

+5 x2−2 x+12 x2

−3 x+5−3 x4

+9 x3−15 x2 3 x2

+5 x+55 x3

−10 x2−2 x

−5 x ³+15 x2−25 x

5 x2−27 x+12

−5 x2+15 x−25−12x−13

Cociente

Resto

Dividendo divisor

1 Regla de RuffiniLa regla de Ruffini nos permite calcular los coeficiente del cociente y el resto de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x-a) donde “a” es un número real.Ejemplo:

(2 x3+3 x2

+x−4 ) :(x−1)

= Resto

2 x2+5 x+6Cociente =

1

1

2

22

2 3 -4

556

6

2 Teorema del resto y el Factor

Valor numérico de un polinomios.

Teorema del resto

Llamamos Valor numérico de un polinomio al resultado de sustituir la indeterminada por el número dado:

P(x )=x3−3 x2

+2 x−5si x=0 P(0)=03

−3⋅02+2⋅0−5=−5

si x=2 P (2)=23−3⋅22

+2⋅2−5=−5

El resto de la división de un polinomio P(x) por (x-a) es igual al valor numérico del polinomio para x=a

Teorema del factorun polinomio P(x) tiene como factor (x-a) , o es divisible por el monomio (x-a), si el valor numérico del polinomio para x=a es cero. Luego el polinomio puede escribirse como P(x)=(x-a) · C(x)

3 Factorización de polinomiosLlamamos Raíz de un polinomio P(x) , a cada uno de los números “a” para los cuales el valor numérico del polinomio es cero .

Las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente, siempre que este no sea nulo

a es raíz de P(x )⇔ P(a)=0

● Descomposición factorial de un polinomioEl polinomio de grado n

Con n raíces x1, x2, … xn queda descompuesto de la forma siguiente:

P(x )=an xn+an−1 xn−1

+…+a1 x+a0

P(x )=an⋅(x−x1)⋅(x−x2)⋅…⋅(x− xn)

4 Fracciones AlgebraicasLlamamos Fracción algebraica al cociente de dos polinomios

P(x )

Q(x )● Fracciones Algebraicas Equivalentes

Son Equivalentes

P(x )

Q(x ) y

R (x)T (X)

⇔P( x)⋅T ( x)=R(x )⋅Q( x)

Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador de una fracción algebraica por un mismo polinomio, obtenemos una fracción equivalente a la original.

5 Operaciones con Fracciones Algebraicas

● Fracciones Algebraicas irreducibles.Son aquellas cuyo numerador y denominador son primos entre sí.

● Simplificación de Fracciones Algebraicas.Para simplificar Fracciones algebraica se divide numerador y denominador por el MCD.● Suma y resta de Fracciones Algebraicas.Se reducen a común denominador y se suman o restan los numeradores. Finalmente se transforma en una fracción irreducible.

● Producto de Fracciones Algebraicas.Se multiplican los numeradores y denominador. Finalmente se transforma en una fracción irreducible.● Cociente Fracciones Algebraicas.Se multiplica la primera por la inversa de la segunda. O bien, se multiplican los términos cruzados. Finalmente se transforma en una fracción irreducible.