Tema 2. Sucesiones de números realesmramirez/relaciones/Inf_Tema_2.pdf · 2004-02-07 · Tema 2....

Tema 2. Sucesiones de números reales

2.1.- Concepto de sucesión y noción de Concepto de sucesión y noción de convergencia. Álgebra de límites. Sucesiones convergencia. Álgebra de límites. Sucesiones parciales.parciales.

2.2.2.2.-- Acotación y convergencia. Sucesiones Acotación y convergencia. Sucesiones monótonas de números reales. monótonas de números reales.

2.3.2.3.-- Cálculo de límites. Criterios deCálculo de límites. Criterios de StolzStolz, de la, de laRaizRaiz, de la Media Aritmética y de la Media , de la Media Aritmética y de la Media Geométrica.Geométrica.

Maribel Ramírez Álvarez

Tema 2. Sucesiones de números reales

En el presente tema nos proponemos estudiar unEn el presente tema nos proponemos estudiar uncaso particular de aplicaciones de A (un caso particular de aplicaciones de A (un cto cto no vacío de números reales) en no vacío de números reales) en ÑÑ..Concretamente, aquellas cuyo dominio de Concretamente, aquellas cuyo dominio de definición es el conjunto de los números definición es el conjunto de los números naturales: las sucesiones.naturales: las sucesiones.

Su tratamiento detallado nos permitirá un mejor Su tratamiento detallado nos permitirá un mejor conocimiento de nuestro objeto de estudioconocimiento de nuestro objeto de estudiodurante el presente curso: el conjunto durante el presente curso: el conjunto ÑÑ de de los números reales y el conjuntolos números reales y el conjuntoF(A, F(A, ÑÑ)) de las funciones reales de variable real.de las funciones reales de variable real.

La piedra angular del tema será el TeoremaLa piedra angular del tema será el Teoremade de ComplitudComplitud de de ÑÑ : la proximidad entre sí de: la proximidad entre sí detodos los elementos de una sucesión obliga sutodos los elementos de una sucesión obliga suconvergencia; o dicho de otro modo: convergencia; o dicho de otro modo: toda sucesión detoda sucesión de CauchyCauchy de números reales esde números reales esconvergente. convergente.


Definiciones

2.1. Sucesiones de 2.1. Sucesiones de numerosnumeros reales. Convergencia reales. Convergencia de sucesiones de números reales. Concepto de de sucesiones de números reales. Concepto de sucesión y noción de convergencia. Álgebra de sucesión y noción de convergencia. Álgebra de límites. Sucesiones parciales.límites. Sucesiones parciales.

DefiniciónDefiniciónLlamamos sucesión de números reales a toda Llamamos sucesión de números reales a toda aplicación de aplicación de ÍÍ en en ÑÑ. .

Notaremos por S(Notaremos por S(ÑÑ)) al conjunto de todas las al conjunto de todas las sucesiones de números reales.sucesiones de números reales.

Si fSi fŒŒ S(S(ÑÑ)) ,convendremos la siguiente ,convendremos la siguiente notacionnotacion, , comunmentecomunmente aceptada, para referirnos a ella. aceptada, para referirnos a ella. SeráSerá

f: f: ÍÍ ôôÑÑnnôôf(n) para todo n en f(n) para todo n en ÍÍ ..

Maribel Ramírez Álvarez Página 3Página 3

Definiciones y primeros ejemplos

Pues bien, la sucesiPues bien, la sucesióón f se notarn f se notaráá por (por (xxnn) y a) y axxnn:=f(n) se le llamar:=f(n) se le llamaráá ttéérmino general de la rmino general de la sucesisucesióón (n (xxnn).).

Haremos especialHaremos especial hincapiehincapie en distinguir entre (en distinguir entre (xxnn) ) y {y { xxnn;n en ;n en ÑÑ} . } .

Recordemos que la primera se refiere a un Recordemos que la primera se refiere a un subconjunto de subconjunto de ÍÍ ¥¥ ÑÑ (es una aplicaci(es una aplicacióón)n)mientras que la segunda se refiere a la imagenmientras que la segunda se refiere a la imagende tal aplicacide tal aplicacióón, que es un subconjunto de n, que es un subconjunto de ÑÑ..

Como ejemplos destacaremos las progresiones Como ejemplos destacaremos las progresiones aritméticas, las geométricas, las sucesiones aritméticas, las geométricas, las sucesiones constantes, la sucesión nula por antonomasiaconstantes, la sucesión nula por antonomasia(1/n) , o la muy relacionada con la anterior de(1/n) , o la muy relacionada con la anterior detérmino general término general xxnn:=(:=(--11)n)n/n/n..

1.-Progresiones aritméticas. Sean a en ÑÑ y k en ÑÑ--{0}{0}. Definimos

x1=a y xn+1:=k+xn para todo n natural.La sucesión ( xn) definida, se llama progresión aritmética.



2.-Progresiones geométricas. Sean a en ÑÑ--{0}{0} y r en ÑÑ--{0}{0}. Definimos

x1=a y xn+1:=rxn para todo n natural.La sucesión ( xn) definida, se llama progresión geométrica.

3.- Sucesiones constantes. Sea c en ÑÑ--{0}{0}. Definimos xn:=c para todo n natural.La sucesión ( xn) definida, se llama sucesión constante c.

4.- La sucesión de elementos 1,1/2,1/3,1/4,.... Su término general, xn, se escribe de la forma 1/n.

5.- Muy relacionada con la anterior está la sucesión de término general xn:=(-1)n/n. Es decir, -1,1/2,-1/3,1/4,......

6.- El conjunto ÍÍ de los números naturales es la imagen de la sucesión identidad de ÍÍ en ÍÍ. . xn:=n para todo n en ÍÍ ..



Las sucesiones cuyo tLas sucesiones cuyo téérmino general viene dado rmino general viene dado por un polinomio se llaman sucesionespor un polinomio se llaman sucesionespolinomicaspolinomicas y las que vienen dadas por un y las que vienen dadas por un cociente de polinomios se llaman racionales.cociente de polinomios se llaman racionales.

Como funciones que son, las sucesiones son Como funciones que son, las sucesiones son susceptibles de ser operadas entre ellas. susceptibles de ser operadas entre ellas.

ÇÇ La sucesiLa sucesióón suma (n suma (zznn) que se define como: ) que se define como: zznn:=:=xxnn++yynn, , para todo n en para todo n en ÍÍ ..

ÇÇ La sucesiLa sucesióón producto (n producto (vvnn) que se define como: ) que se define como: vvnn:=:=xxnnyynn, , para todo n en para todo n en ÍÍ ..

ÇÇ La sucesiLa sucesióón (un (unn) definida como:) definida como:vvnn:=:=llxxn n para todo n en para todo n en ÍÍ y y ll real.real.

Es evidente que la terna (S(Es evidente que la terna (S(ÑÑ),+, .) no es un ),+, .) no es un cuerpo: para cualquier cuerpo: para cualquier sucesionsucesion ((xxnn) que ) que contenga contenga algunalgun ttéérmino cero es imposible rmino cero es imposible encontrar alguna otra sucesiencontrar alguna otra sucesióón (n (yynn) tal que ) tal que xxnnyynn=1, =1, para todo n natural.para todo n natural.


Noción de límite

2.1.1 Noción de límite de una sucesión

A continuación procedemos a estudiar un concepto fundamental del Analisis Matematico: la convergencia de sucesiones de números reales.

Partiremos del estudio del ejemplo 4).

La sucesión (1/n) tiene una primera propiedad quese desprende de que n<n+1, para todo n natural:xn+1< xn, para todo n natural.

Surge de manera natural la definición de sucesiónmonótona:

Ç una sucesión (xn) se dice creciente si xn£ xn+1, para todo n natural.(Equivalentemente, sii para cada par de naturales n, m con n£ m, se verifica que xn£ xm.


Página 8

Ç una sucesión (xn) se dice decreciente si xn≥xn+1, para todo n natural.

(Equivalentemente, sii para cada par de naturales n, m con n£ m, se verifica que xn≥ xm.

É Una sucesión (xn) se dice monótona sii es creciente o decreciente.

Notaremos por S M(Ñ) al conjunto de todas las sucesiones monótonas de números reales. Si las desigualdades anteriores son estrictas, es decir, no se da el igual, aparece el concepto de monotonía estricta:

É una sucesión (xn) se dice estrictamente creciente si xn < xn+1, para todo n natural.

(Equivalentemente, sii para cada par de naturales n, m con n< m, se verifica que xn < xm.

É una sucesión (xn) se dice estrictamaentedecreciente si xn >xn+1, para todo n natural.

(Equivalentemente, sii para cada par de naturales n, m con n£ m, se verifica que xn > xm.

É Una sucesión (xn) se dice estrictamente monótona sii es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.


Sucesiones Parciales

En consecuencia, la sucesión (1/n) es estrictamente decreciente.

DefiniciónDada una sucesión de números reales (xn),

llamamos sucesión parcial o subsucesión de ella a toda otra sucesión (yn) tal que exista una aplicación s estrictamente creciente de Í en Í, tal que yn= x s(n) para todo n natural.

Notemos que una aplicación s : Íö Í se dice que es estrictamente creciente si s (n)< s (n+1) para todo n en Í.

También se verifica el siguiente resultado :

''Toda sucesión admite una parcial monótona.''


2.2.-- Acotación y convergencia. Sucesiones Acotación y convergencia. Sucesiones monótonas de números reales. Teorema demonótonas de números reales. Teorema deBolzanoBolzano--WeierstrassWeierstrass..Otra propiedad q se observa en la sucesión del

ejemplo xn:=1/n, es la siguiente:

consideremos el número real positivo 10-3 ; es claro que 0£ xn£ 10-3 "nŒÍ tal que n≥1000Sin embargo si el número real positivo es 10-8

entonces 0£ xn£ 10-8 "nŒÍ tal que n≥108.

¿Podríamos razonar con un número real¿Podríamos razonar con un número real

positivo arbitrario en la misma líneapositivo arbitrario en la misma línea

de argumentación?de argumentación?

En efecto, dado E >0, existe por el Principio de

Arquímedes, un natural n tal que m≥1/E "mŒô.

Es decir, si m≥n, entonces 0 £ 1/m=xm£ E


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Noción de límite

Saquemos algunas conclusiones de ésto:i) dado un número real positivo E siempre podemos

encontrar un ''momento'' n en la sucesión (xn)

a partir del cual todos los términos de la sucesiónestén por debajo de tal E (y siempre por encima de 0.

ii) el ''momento'' n a partir del cual todos los términosde la sucesión estan por debajo de E,depende del tal Eiii) el número real 0 parece estar asociado a la sucesión(xn) independientemente del número E dado:

cualquiera que sea el tal E en el intervalo [0,E] siempre

encontraremos a todos, salvo a un número finito,

los términos de la sucesión (xn).

iv) los términos de la sucesión parecen ''viajar''

Hacia un punto determinado (el 0) de modo que sea

cual sea el número real positivo que fijemos, éste

será mayorante de todos salvo, a lo más, un número

finito de términos de la sucesión.Maribel Ramírez Álvarez

Definición de límite

Si abstraemos la situación anterior a un ambiente

donde 0 sea un número real x0 cualquiera, y el intervalo [0, E ] sea [x0- E ,x0+ E ] podremos

dar la siguiente definición de límite de una

sucesión.

Definición

Sean la sucesión (xn) y el número real x0. Se dice

que la sucesión (xn) converge a x0 o que tiene por

límite al número real x0, y notaremos xnôx0 , sii " E >0, $n0 ŒÍ tal que n ≥n0fi| xn-x0 |< E

Equivalentemente, xnôx0

" E >0, $n0 ŒÍ tal que n ≥n0fix0 - E < xn< x0 +EAcostumbraremos a escribir,

x0 :=lim xn

y al tal x0 lo llamaremos límite de la sucesión (xn).


Sucesiones AcotadasNotaremos por S C(Ñ) al conjunto de todas las sucesiones convergentes de números reales.

¿es único el límite, caso de existir?¿es único el límite, caso de existir?

Proposición:Proposición:Si Si xnôx e xnôy îx=y

Sucesiones acotadasDestaquemos la siguiente propiedad de (1/n): todos los términos de la sucesión (1/n) estáncomprendidos entre 0 y 1. Es lo que se dice unasucesión acotada

É Se dice que la sucesión (xn) está mayoradamayorada si existe k en Ñ tal que xn£k para todo n natural.

É Se dice que la sucesión (xn) está minoradaminorada si existe k en Ñ tal que xn≥k para todo n natural.


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Sucesiones Acotadas

É Se dice que la sucesión (xn) está acotada si acotada si está está mayorada mayorada y minorada.y minorada.

Notaremos por S A(Ñ) al conjunto de todas las sucesiones acotadas de números reales.

Pues bien, lo destacado antes sobre la sucesión (1/n) en cuanto a acotación, es una propiedad de todas las sucesiones convergentes:

Proposición:Proposición:Toda sucesión de números reales convergente Toda sucesión de números reales convergente

está acotada.está acotada.En En simbolossimbolos: : S C(Ñ) Õ S A(Ñ)

El hecho de que una sucesión este acotada NO IMPLICA que sea convergente

Para acostumbrarse al lenguaje de la lógica: para que una sucesión esté acotada es suficiente que sea convergente; o bien, para que una sucesión sea convergente es necesario que esté acotada.


Página 15

Sucesiones Acotadas

Tambien es evidente que, de entrada, entremonotonía y convergencia no hay ninguna relación.

Por ejemplo, la sucesión (n) es creciente pero no converge, y lasucesión ((-1)n /n) es convergente pero no monótona

Pues bien, una condición suficiente para que una sucesión sea convergente va a ser que sea monótona y está acotada.

TeoremaToda sucesión monótona y acotada de n\úmeros

reales es convergente. En símbolos:

S M(Ñ) ' S A(Ñ) Õ S C(Ñ)

El siguiente teorema resume la relación de compatibilidad existente entre la convergencia de sucesiones y la estructura de cuerpo totalmenteordenado de Ñ.


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Propiedades de las Suc. convergentes

TeoremaSean las sucesiones (xn), (yn) y (zn) y los realesa, b, x e y. Supongamos que xnôx y que ynôy .Entonces,

i) La sucesión suma wn:= a xn+ byn " n en Í ,es convergente y su límite vale a x+ by

ii) Si xnπ0 para todo nŒÍ y x π0 , entonces la sucesión 1/xnô 1/x.

iii) Supongamos que $n0 ŒÍ tal que n ≥n0 y xn£ ym . Entonces x£ y .

iv) Regla de Sandwich:

Supongamos que x=y, y que $n0 ŒÍ tal que n ≥n0

xn£ zn £ yn . Entonces la sucesión (zn) es convergente y su

límite es precisamente x .


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† Toda sucesión parcial de una sucesión convergente es convergente y tiene el mismo límite.

Consecuentemente, si una sucesión de númerosreales admite dos parciales convergentes a distintoslímites, dicha sucesión no es convergente.

Enumeramos a continuación las propiedades quedependen de la estructura de Ñ:

i) Si las sucesiones (xn), (yn) son convergentes, entonces (xn+yn) es convergente y se tiene que

lim (xn+yn)= lim (xn)+ lim (yn)

ii) Si la sucesión (xn) es una sucesión nula,(nótese que una sucesión se llama nula si es convergente y tiene como límite el cero),e (yn) es una sucesión acotada, entonces, la Sucesión (xnyn) es nula.

iii) Si las sucesiones (xn), (yn) son convergentes, entonces (xnyn) es convergente y se tiene que

lim (xnyn)= lim (xn) lim (yn)


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iv) Si las sucesiones (xn), (yn) son convergentes, entonces es convergente y se tiene que

v) Sea (xn) una sucesión convergente de númerosreales, y sea aŒÑ+-{1}. Entonceses convergente

vi) Sea (xn) una sucesión convergente de númerosreales positivos, y sea aŒÑ+. Entonceses convergente

vii) Si las sucesiones (xn), (yn) son convergentes, eynπ0 para todo n natural, y lim (yn) π0 entonces (xn/yn) es convergente y se tiene que

lim (xn/yn)= lim (xn) / lim (yn)

( )nynx)lim()lim()lim( nn y

nyn xx =

( )nxann xx aa lim)lim( =

))((log na x

))(lim(log))(lim(log nana xx =


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Sucesiones divergentes

É Se dice que una sucesión (xn) de números realesdiverge positivamente si dado un número real arbitrario k, puede encontrarse un número naturalm tal que, si n ≥ m, se verifica que xn >k.

En tal caso escribimos (xn) ô•.Simbólicamente,

(xn) ô•ï"kŒÑ, $mŒÍ:n≥mî xn>k.

ÉSe dice que una sucesión (xn) de números realesdiverge negativamente si dado un número real arbitrario k, puede encontrarse un número naturalm tal que, si n ≥ m, se verifica que xn <k.

En tal caso escribimos (xn) ô•.Simbólicamente,

(xn) ô-•ï"kŒÑ, $mŒÍ:n≥mî xn<k.

Si una sucesión de números reales es divergente entonces es obvio que no esta acotada. El recíproco,en general, no es cierto, si bien se verifica el siguiente resultado:Teorema. Toda sucesión de números reales crecientey no mayorada diverge positivamente.


Sucesiones divergentes

Proposición.-Sean (xn) e (yn) dos sucesiones de números

reales. Se verifican

i) Si (xn) ô• e (yn) esta minorada (en particularsi (yn) es convergente ó (yn) ô• ), en particular(xn+yn) ô•

ii) Si (xn) ô-• e (yn) esta mayorada (en particularsi (yn) es convergente ó (yn) ô-• ), en particular(xn+yn) ô-• .

Cabe comentar, que en la proposición anterior, queda sin resolver el caso en el que una de las sucesiones diverja positivamemente y la otra negativamente, apareciendo una indeterminación (•- •).


Cálculo de límites

Proposición.-Sean (xn) e (yn) sucesiones de números reales.i) Si (xn) ô• e (yn) ô•î (xn yn) ô•ii) Si (xn) ô-• e (yn) ô-•î (xn yn) ô•iii) Si (xn) ô• e (yn) ô-•î (xn yn) ô-•iv) Si (xn) ô• e (yn) ôL ŒÑ+ î (xn yn) ô•v) Si (xn) ô• e (yn) ôL ŒÑ-î (xn yn) ô-•vi) Si (xn) ô-• e (yn) ôL ŒÑ+ î (xn yn) ô-•vii) Si (xn) ô-• e (yn) ôL ŒÑ- î (xn yn) ô•

Observemos que en los apartados anteriores, siL=0 tenemos nuevos casos de indeterminación.

Sea (xn) una sucesión de números reales. Si xnπ0 para todo n natural, entonces

(xn) ô0ï(1/ | xn |) ô•

Este último resultado nos conduce a otro tipo deindeterminación cuando tenemos un cociente desucesiones divergentes.


Cálculo de límites

Hay algunos casos en los que al aplicar la proposición de cálculo no podemos determinar el límite de la sucesión dando lugar a las llamadas indeterminaciones.

TIPOS DE INDETERMINACIONESTIPOS DE INDETERMINACIONES

00

¶0

1¶0/0¶/¶¶∏ 0¶- ¶


Criterios de Convergencia

Primer Criterio de Primer Criterio de StolzStolzSean (an) e (bn) dos sucesiones de números reales convergentes a cero tal que(bn ) es estrictamente monótona ebnπ0 para todo nŒÍ .

1. Si la sucesi1. Si la sucesióónn

con L con L ŒÑ.


LbaL

bbaa

n

n

nn

nn →

⇒→

−−

+

+

1

1

±∞→

⇒±∞→

−−

+

+

n

n

nn

nn

ba

bbaa

1

1



Segundo Criterio de Segundo Criterio de StolzStolzSean (an) cualquier sucesión de números reales y (bn) una sucesión de números reales no cero estrictamente monótona y no acotada.


con L con L ŒÑ.


LbaL

bbaa

n

n

nn

nn →

⇒→

−−

+

+

1

1

±∞→

⇒±∞→

−−

+

+

n

n

nn

nn

ba

bbaa

1

1



Criterio de la Criterio de la RaizRaizSean (an) una sucesión de números reales positivos.


con L con L ŒÑ.


LaLaa n

nn

n →⇒→

+1

∞→⇒∞→

+ nn

n

n aaa 1


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Criterio de la media aritmCriterio de la media aritmééticaticaSean (xn) una sucesión arbitraria. Definimos una nueva sucesión (yn) dada por: "nŒÍ

Entonces si la sucesiEntonces si la sucesióón (n (xxnn) converge, ) converge, tb tb (yn) converge, y ambos lconverge, y ambos líímites coinciden. mites coinciden. Respectivamente, si Respectivamente, si (xn) diverge positiva, diverge positiva, negativamente, entonces negativamente, entonces (yn) diverge positiva, diverge positiva, negativamente).negativamente).

Criterio de la media geomCriterio de la media geoméétricatricaSean (xn) una sucesión de números reales positivos. Definimos una nueva sucesión (yn) dada por:

Entonces si la sucesiEntonces si la sucesióón (n (xxnn) converge,) converge, tbtb (yn) converge, y ambos lconverge, y ambos líímites coinciden. mites coinciden. Respectivamente, si Respectivamente, si (xn) diverge positivamente, diverge positivamente, entonces entonces (yn) diverge positivamente).diverge positivamente).

nxxxxy n

n++++

=....321

nnn xxxxy ⋅⋅⋅⋅= ....321


El número e

Definimos,Definimos,

para todo n natural. Tenemos así dos sucesiones(xn) e (yn) que verifican las condiciones:i) (xn) es (estrictamente) creciente e (yn) es

(estrictamente) decreciente.ii) xn < yn "nŒÍiii) El límite, que notaremos por ''e'', es irracional.iv) e=limn ô•(1+1/n)n

Señalemos que las propiedades de los límites de sucesiones permitirán definir las potencias de base real positiva y exponente real.

nxye

kx nn

n

kn

1!1

0+==∑

=


El número e

El problema

Si (xn) es una sucesión de números reales positivos e (yn) cualquier sucesión de números reales, de modo que conocemos el carácter de convergencia de cada una de ellas, ¿¿carcaráácter de convergencia de ?cter de convergencia de ?

Casi siempre es posible dar respuesta a esta situación, lo que queda reflejado en los siguientes resultados:

1) Considerando quelos casos en los que (yn) converja a unnúmero negativo o diverja negativamentepueden deducirse de los otros casos.

2) Considerando El problema se reduce a estudiar la sucesión

( (yn)Ln (xn) )Sólo se presentan indeterminaciones en los

siguientes casos:

( )nynx

( )( )nynx

( )( ) ( )( )nn yn

yn xx −= /1

( ) ( )yLnxy ex =


El número e

¶0Si (xn) ô•e (yn) ô0

00Si (xn) ô0 e (yn) ô0

1¶Si (xn) ô1 e (yn) diverge

3 En los demás casos podemos afirmar conocer la respuesta a la cuestión en los siguientes términos:

Página 29Página 29

Si (xn) ô ¶ e (yn) ôL (0<L § ¶)

Si (xn) ôx e (yn) ô ¶ (0<x<1)

Si (xn) ôx e (yn) ô ¶ (x>1)

Si (xn) ôx e (yn) ôy (xœÑ+,yœÑ)

Si (xn) ô0 e (yn) ôL (0§L< ¶) ( )( ) Lx ny

n →

( )( ) yyn xx n →

( )( ) ∞→nynx

( )( ) 0→nynx

( )( ) ∞→nynx


El número e

4 En cuanto a los casos de indeterminación descritosantes, para el que suele denominarse tipo 1¶

contamos con los siguientes resultados:

Sea (xn) una sucesión de números reales positivos convergente a 1 y sea (yn) cualquiersucesión de números reales. Entonces


(yn(xn-1)) ô-•

(yn(xn-1)) ô•

(yn(xn-1)) ôL(L ŒÑ)

( )( ) Lyn ex n →

( )( ) ∞→nynx

( )( ) 0→nynx


Escala de infinitos

Sea (xn) una sucesión de números reales positivos divergente positivamente. Entoncesse tiene

( )( ) ∞→nxLn


(kœÑ+)

( )( ) ∞→knx

( )( ) ∞→nxnx

( ) ∞→nxe


Escala de infinitos

Pero no todas estas sucesiones divergen positivamente con la misma ``fuerza''. Se puedeestablecer una escala de infinitos según el siguienteresultado:

ProposiciónSea (xn) una sucesión de números reales

positivos divergente positivamente. Entoncesse verifica

0→

nx

kn

ex

0→

n

n

xn

x

xe

( ) 0→

kn

n

xxLn


Infinitésimos

Sea (xn) una sucesión de números reales Se dice que (xn) es un infinitésimo si lim (xn) =0

Infinitésimos equivalentes:Vamos a ver las equivalencias entre infinitésimos (también entre infinitos) que usaremos sobre todopara simplificar el cálculo de límites.

Definición:Sean (xn) e (yn) sucesiones de númerosreales no nulas, tal que lim(xn) =lim(yn). Se dice que Son equivalentes ((xn) ~ (yn)) si

Las siguientes equivalencias entre infinitésimostienen una aplicación práctica frecuente. Si (x_n)es un infinitésimo entonces las siguientes

parejas de infinitésimos equivalentes

( )( ) 1lim

lim=

n

n

yx


Infinitésimos Equivalentes

( ) ( )nn xxsen ≈

( ) ( )nn xx ≈tan

( ) ( )2

cos12

nn

xx ≈−

( ) ( )nn xxLn ≈+1

Esta equivalencia última se puede expresar también de la siguiente manera,

( ) ( ) ( ) 1lim1 =−≈ nnn xsixxLn


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