TEMA II.10Gasto o Caudal

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Departamento de AstronomıaUniversidad de Guanajuato

DA-UG (Mexico)

papaqui@astro.ugto.mx

Division de Ciencias Naturales y Exactas,Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 16

Descarga

En el analisis de sistemas de fluido, con frecuencia se necesita saber elgasto de un fluido pasa por un tubo o canal.

Q que es simplemente el volumen de fluido que pasa por un area porunidad de tiempo, m3/s.

El gasto esta relacionado con la velocidad de flujo y con el area de secciontransversal del tubo.

Considere el flujo idealizado de un fluido en un tubo como el que semuestra en la Figura II.10.1, en el cual la velocidad es constante en todala seccion del tubo.

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Descarga

Figura II.10.1: Volumen de un fluido que fluye con distribucion de velocidaduniforme que pasa por la seccion A-A en un tiempo ∆t

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Flujo masico

El fluido que pasa por un area A en el tiempo ∆t se representa por elvolumen. Cuya longitud de volumen es V ∆t ası que el volumen es ∆Vol =V S∆t. La cantidad de flujo volumetrico que pasa por un area A es∆Vol/∆t = ∆V , ası que

Q = A V

Otra cantidad es el flujo masico, m, que es la masa del fluido que para unaestacion por unidad de tiempo. Las unidades ∆m = ρA V ∆t, donde ρ esla densidad.

La ecuacion para el flujo masico es m = ∆m/∆t o bien

m = ρA V = ρQ

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Flujo volumetrico

Flujo volumetrico con distribucion de velocidad variable

La expresion Q = A V esta basada en una velocidad uniforme.

En general, la velocidad varıa a traves de la seccion de tubo como semuestra en al figura II.10.2. El gasto dQ, por un area diferencial de laseccion es VdA, y el flujo volumetrico total Q, se obtiene por integracionsobre toda la seccion de flujo:

Q =

∫A

V dA

En una manera similar, el flujo masico que pasa por una seccion esta dadopor

m =

∫AρV dA

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Flujo volumetrico

Figura II.10.2: Volumen de fluido que asa por la seccion A-A en un tiempo ∆t

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Flujo volumetrico

Si la densidad es constante a traves de la seccion de flujo, el flujo masicoesta dado por

m = ρ

∫A

V dA = ρQ

En los desarrollos que siguen, el area de seccion transversal estara siempreorientada, normal al vector velocidad.

Si se consideran otras orientaciones, tal como la mostrada en la FiguraII.10.3, donde el flujo para la seccion A-A, puede verse que solo lacomponente de la velocidad (la componente x en este caso) contribuye alflujo por dicha seccion.

Por tanto, pata evaluar el flujo volumetrico, se debe siempre considerar yasea el area de una seccion normal a la velocidad total, o la componente dela velocidad normal a una area dada.

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Flujo volumetrico

Figura II.10.3: La velocidad no es normal a la seccion

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Flujo volumetrico

Por tanto, el gasto para el caso de la Figura II.10.3 esta dado por

Q =

∫A

u dA o Q =

∫A

V cos(θ) dA

Si definimos un vector area como uno que tenga la magnitud del area encuestion y que este orientado normal al area, entonces por definicionV cos(θ)dA = V · dA, y el gasto puede escribirse como

Q =

∫A

V · dA

y el flujo masico se convierte en

m =

∫AρV · dA

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Velocidad media

Si al velocidad es constante en toda el area, entonces el gasto esta dadocomo

Q = V · A

El producto escalar o producto punto significa que se utiliza lacomponente de velocidad normal al area para obtener el gasto.

En muchos problemas, se tiene el gasto y se quiere calcular la velocidadmedia (promedio) sin saber la distribucion real de velocidad. Por definicion,la velocidad media es el gasto dividido entre el area de seccion transversal

v =Q

A

Es costumbre quitar el sımbolo de barra de la velocidad y simplementeindicar la velocidad media con v .

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Gasto o Caudal

Ejemplo: Aire que tiene una densidad de 1.24 kg/m3 fluye por un tubocon un diametro de 30 cm a un flujo masico de 3 kg/s ¿Cual es lavelocidad media de flujo en este tubo, y el flujo volumetrico?

Solucion:m = ρQ

Q = m/ρ = 2.42 m2/s

V =Q

A=

2.42 m2/s

( 14π)(0.30 m)2

= 34.2 m/s

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Gasto o Caudal

Ejemplo: Fluye agua en un canal que tiene una pendiente de 30o . Si sesupone la velocidad constante de 12 m/s, y si se mide una profundidad de60 cm a lo largo de una lınea vertical. ¿Cual es el gasto por metro deancho del canal? (ver Figura II.10.4)

Solucion: El gasto en 1 metro de ancho es

Q = V cos(30o) A = (12 m/s)(cos(30o))(0.6 m · 1 m) = 62.4 m3/s

El gasto por unidad de ancho se designa usualmente como q y se obtieneal dividir la entre el ancho ω, que en este caso es de 1 m, ası que

q =Q

ω= 62.4 m2/s

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Gasto o Caudal

Figura II.10.4: Canal con una pendiente

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Gasto o Caudal

Ejemplo: La velocidad del agua en el canal mostrado en la Figura II.10.5tiene una distribucion a traves de la seccion vertical igual a u/umax =(y/d)1/2 ¿Cual es el gasto en la seccion si esta tiene 2 m de profundidad(d = 2 m) y 5 m de ancho, y la velocidad maxima es de 3 m/s?

Solucion: El flujo volumetrico esta dado por

Q =

∫ d

0u dA

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Gasto o Caudal

Figura II.10.5: Velocidad del agua en un canal

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Gasto o Caudal

El canal es de 5 m de ancho, ası que un diferencial de area es 5 dy . Portanto

Q =

∫ 2

0umax(y/d)1/25 dy

=5umax

d1/2

∫ 2

0y1/2dy

=5umax

d1/2

2

3y3/2|20

=(5)(3)

21/2

2

323/2

= 20 m3/s

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